第一篇：《垂直關(guān)系證明》專題

《垂直關(guān)系》

例

1、如圖1，在正方體ABCD?A1B1C1D1中，M為CC1 的中點(diǎn)，AC交BD于點(diǎn)O，求證：AO

?平面MBD．

1例

2、如圖2，P是△ABC所在平面外的一點(diǎn)，且PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．

求證：BC⊥平面PAC．

SA⊥平面ABCD，例

3、如圖１所示，ABCD為正方形，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于E，F(xiàn)，G．

求證：AE?SB，AG?SD．

例

4、如圖２，在三棱錐Ａ－BCD中，BC＝AC，AD＝BD，作BE⊥CD，Ｅ為垂足，作AH⊥BE于Ｈ．求證：AH⊥平面BCD．

例

5、如圖３，AB是圓Ｏ的直徑，Ｃ是圓周上一點(diǎn)，PA?平面ABC．若AE⊥PC，Ｅ為垂足，Ｆ是PB上任意一點(diǎn)，求證：平面AEF⊥平面PBC．

例

6、如圖9—40，在三棱錐S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC．求證：AB⊥BC

圖9—40

例

7、如圖9—41，PA⊥平面ABCD，四邊形ABCD是矩形，PA=AD=a，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn)．求證：平面MND⊥平面PCD

例

8、如圖9—42，正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F、M、N分別是A1B1、BC、C1D1、B1C1的中點(diǎn)．求證：平面MNF⊥平面ENF．

圖9—

42《垂直關(guān)系》專題練習(xí)

1、如圖所示,三棱錐V-ABC中,AH⊥側(cè)面VBC,且H是△VBC的垂心，BE是VC邊上的高.求證:VC⊥AB;

2、如圖所示，PA⊥矩形ABCD所在平面，M、N分別是AB、PC的中點(diǎn).(1)求證：MN∥平面PAD.(2)求證：MN⊥CD.(3)若∠PDA＝45°，求證：MN⊥平面PCD.3、已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°,∠BAC=30°,BC=1，AA1=6，M是CC1的中點(diǎn)，求證：AB1⊥A1M．

4、如圖所示，正方體ABCD—A′B′C′D′的棱長為a，M是AD的中點(diǎn)，N是BD′上一點(diǎn)，且D′N∶NB＝1∶2，MC與BD交于P.求證：NP⊥平面ABCD.5、如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1 中.求證：平面ACD1 ⊥平面BB1D1D

DA

1DA

C1

C6、如圖9—45，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，PA⊥底面ABCD，E為AB的中點(diǎn)，且PA=AB．求證：平面PCE⊥平面PCD

圖9—457、如圖，三棱錐P?ABC中，PA⊥平面ABC，平面PAC⊥平面PBC．問△ABC是否為直角三角形，若是，請給出證明；若不是，請舉出反例．BA

C

第二篇：證明垂直位置關(guān)系

第五課時(shí)學(xué)案垂直的證明方法

命題預(yù)測

從近幾年的高考試題來看，線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定與性質(zhì)等是高考的熱點(diǎn),題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中等偏高．客觀題突出“小而巧”，主要考查垂直的判定及性質(zhì)；主觀題考查較全面，在考查上述知識的同時(shí)，還注重考查空間想象、邏輯推理以及分析問題、解決問題的能力．

預(yù)測2013年高考仍將以線面垂直、面面垂直為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象以及邏輯推理能力．

考點(diǎn)1 直線與平面垂直的判定與性質(zhì)

例

1、（08天津）如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是矩形． 已知AB?3,AD?2,PA?2,PD?22,?PAB?60?．（Ⅰ）證明AD?平面PAB；

（Ⅱ）求異面直線PC與AD所成的角的大小；（Ⅲ）求二面角P?BD?A的大?。?/p>

變式1：如圖，已知三棱錐A－BPC中,AP⊥PC,AC⊥BC，M為AB中點(diǎn)，D為PB中點(diǎn)，且△PMB為正三角形．求證：(1)MD∥平面APC；(2)BC⊥平面APC.變式2：（12全國理）如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥底面ABCD，AC=2PA=2，E是PC上的一點(diǎn)，PE=2EC.（Ⅰ）證明：PC⊥平面BED；

（Ⅱ）設(shè)二面角A-PB-C為90°，求PD與平面PBC所成角的大小.變式3：（06福建）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?

（I）求證：AO?平面BCD；（II）求異面直線AB與CD所成角的大??；（III）求點(diǎn)E到平面ACD的距離。

B

E

變式4：（11大綱理）如圖，四棱錐S?ABCD中，AB?CD,BC?CD，側(cè)面SAB為等邊三角形，AB?BC?2,CD?SD?1．

（Ⅰ）證明：SD?平面SAB;（Ⅱ）求AB與平面SBC所成角的大?。?/p>

例

2、（08二）如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，點(diǎn)E在CC1上

AC

1且C1E?3EC．（Ⅰ）證明：A1C?平面BED；（Ⅱ）求二面角A1?DE?B的大小．EC

例

3、（04湖北）在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E 是棱BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F是棱CD上的動(dòng)點(diǎn)。（1）試確定點(diǎn)F的位置，使得D1E⊥平面AB1F；

（2）當(dāng)D1E⊥平面AB1F時(shí)，求二面角C1―EF―A的大小。

例

4、（12北京理）如圖1，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，且DE∥BC，DE=2，將△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1C⊥CD,如圖2.(I)求證：A1C⊥平面BCDE；

(II)若M是A1D的中點(diǎn)，求CM與平面A1BE所成角的大小；

(III)線段BC上是否存在點(diǎn)P，使平面A1DP與平面A1BE垂直？說明理由

（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；

考點(diǎn)2平面與平面垂直的判定與性質(zhì)

例

1、(2011〃高考江蘇卷)如圖，在四棱錐P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F(xiàn)分別是AP，AD的中點(diǎn)．求證：(1)直線EF∥平面PCD；(2)平面BEF⊥平面PAD

變式1：如圖，在直三棱柱:ABC－A1B1C1中,AA1＝AB＝BC＝3，AC＝2，D是AC的中點(diǎn)．(1)求證：B1C∥平面A1BD；

(2)求證：平面A1BD⊥平面ACC1A1；(3)求三棱錐A－A1BD的體積．

變式2：（08湖南）如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是邊長為1的菱形，∠BCD＝60°，E是CD的中點(diǎn)，PA⊥底面ABCD，PA＝2.（Ⅰ）證明：平面PBE⊥平面PAB;

（Ⅱ）求平面PAD和平面PBE所成二面角（銳角）的大小.變式3：（09北京）如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當(dāng)PD?

且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與平面PDB所成的角的大小.變式4：（05）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA=AD=DC=

2AB=1，M是PB的中點(diǎn)。

（Ⅱ）求AC與PB所成的角；

（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

例

2、（12高考江蘇）如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，A1B1?A1C1，D，E分別是棱BC，CC1上的點(diǎn)（點(diǎn)D 不同于點(diǎn)C），且AD?DE，F(xiàn)為B1C1的中點(diǎn)． 求證：（1）平面ADE?平面BCC1B1；（2）直線A1F//平面ADE．

變式：（11遼寧理）如圖，四邊形ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，PD∥QA，QA=AB=2PD．（I）證明：平面PQC⊥平面DCQ；（II）求二面角Q—BP—C的余弦值．

例

3、如圖，四棱錐P－ABCD中,底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形,側(cè)面PAD為正三角形,其所在平面垂直于底面ABCD.(1)求證：AD⊥PB；(2)若E為BC邊的中點(diǎn)，能否在棱PC上找到一點(diǎn)F，使平面DEF⊥平面ABCD？并證明你的結(jié)論．

第三篇：高考復(fù)習(xí)專題---立體幾何垂直關(guān)系證明

5．（2006年福建卷）如圖，四面體ABCD中，O、E分別是BD、BC的中點(diǎn)，CA?CB?CD?BD?2,AB?AD?（I）求證：AO?平面BCD；

BE

4.(2006年湖南卷）如圖4,已知兩個(gè)正四棱錐P-ABCD與Q-ABCD的高分別為1和2,AB=4.(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD;

B

圖

14．（福建19）（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，側(cè)棱PA＝PD,底面ABCD為直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O為AD中點(diǎn).(Ⅰ)求證:PO⊥平面ABCD；

20．（全國Ⅱ20）（本小題滿分12分）

如圖，正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AA1?2AB?4，點(diǎn)E在CC1上且C1E?3EC．

?平面BED；（Ⅰ）證明：AC

1DA1

A

10.如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點(diǎn)，且AC=BC=a，∠VDC=θ

E C ???

?0????。

2??

（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；

26．三棱錐被平行于底面ABC的平面所截得的幾何體如圖所示，截面為A1B1C1，?BAC?90?，A1A?平面ABC，A1A?AB?AC?2AC11?2，D為BC中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：平面A1AD?平面BCC1B1；

A1 B1

C1

A

3．（2006年浙江卷）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面

為直角梯形,AD∥BC,∠BAD=90°,PA⊥底面ABCD，且PA＝AD=AB=2BC,M、N分別為PC、PB的中點(diǎn).(Ⅰ)求證：PB⊥DM;

1．（2006年北京卷）如圖，在底面為平行四邊表的四棱錐P?ABCD中，AB?AC，PA?平面ABCD，且PA?AB，點(diǎn)E是PD的中點(diǎn).（Ⅰ）求證：AC?PB；（Ⅱ）求證：PB//平面AEC12．（天津?理?19題）如圖，在四棱錐P?ABCD中，PA?，AC?CD，?ABC?60°，底面ABC，AB?ADP

B

C

PA?AB?BC，E是PC的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明CD?AE；

（Ⅱ）證明PD?平面ABE；

A

B

D

第四篇：怎么證明垂直

怎么證明垂直

1、利用勾股定理的逆定理證明

勾股定理的逆定理提供了用計(jì)算方法證明兩線垂直的方法，即證明三角形其中一個(gè)角等于，由于利用代數(shù)的方法，只要能計(jì)算出待證直角的對邊的平方和等于另兩邊的平方和即可。

2、利用“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

3、利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

4、圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

5、利用菱形的對角線互相垂直證明

菱形的對角線互相垂直。

6、利用全等三角形證明

主要是找出兩線所成的角中有兩角是鄰補(bǔ)角,并且證明這兩角相等,于是就可知這兩角都為,從而直線垂直.贊同

5|評論

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

2高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：。

第五篇：垂直關(guān)系小結(jié)

課題：垂直關(guān)系小結(jié)

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1.掌握三種垂直關(guān)系的互相轉(zhuǎn)化。2.會(huì)求有關(guān)距離的問題。

二、重點(diǎn)：三種垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化。

難點(diǎn)：如何求距離（點(diǎn)到面、線到面、面到面）。

三、復(fù)習(xí)引入：

1.證明線線垂直的方法：

2.證明線面垂直的方法：

3.證明面面垂直的方法：

4.點(diǎn)到面、線到面、面到面的距離分別指什么？

四、導(dǎo)思探究。

1.三種垂直關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化：線面垂直

線線垂直面面垂直

2.求距離的方法有哪些？

① 作出垂線段，并放在直角三角形中計(jì)算； ② 在三棱錐中可以用等體積求距離。

五、導(dǎo)練展示：

例1.已知矩形ABCD，過A作SA?平面AC，再過A作AE?

SB于E，過E作EF?SC于F ① 求證AF?SC

② 若平面AEF交SD于G，求證AG ?SD

例2.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，底面邊長為2，則點(diǎn)A1到截面AB1D1的距離為

六、達(dá)標(biāo)檢測：

1.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PA?底面ABCD,AB?AD,AC?CD,∠ABC=60°，PA=AB=BC,E是PC的中點(diǎn)。⑴證明：CD?AE

⑵證明：PD?平面ABE

2.在三棱錐A-BCD中，AC?底面BCD,BD?DC,BD=DC,AC=a,∠ABC=30°，則點(diǎn)C到平面ABD的距離是

七、反思小結(jié)：