第一篇：怎么證明面面垂直

怎么證明面面垂直證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成 一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面 然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線 也可以運用兩個面的法向量互相垂直。這是解析幾何的方法。

證:連接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD為正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD內(nèi)的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC屬于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法 兩條直線的方向向量數(shù)量積為0 2斜率 兩條直線斜率積為-1 3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊 4三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

第二篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設(shè)p是三角形ABC所在平面外的一點，p到A,B,C三點的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC

過p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因為p到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因為角BAC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面

然后轉(zhuǎn)化成一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

第三篇：怎樣證明面面垂直

怎樣證明面面垂直

如果一平面經(jīng)過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)

為方便，下面#后的代表向量。

#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.對角線的點積：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD

兩組對邊平方和分別為：

AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC

AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA

則AB2+CD2=AD2+BC2等價于#BD·#BC=#BD·#BA等價于#AC·#BD=0

所以原命題成立，空間四邊形對角線垂直的充要條件是兩組對邊的平方和相等

證明一個面上的一條線垂直另一個面;首先可以轉(zhuǎn)化成一個平面的垂線在另一個平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個平面

然后轉(zhuǎn)化成一條直線垂直于另一個平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運用兩個面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個銳角和等于90°，即直角三角形的兩個銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對的圓周角是直角，一個三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

如果一平面經(jīng)過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。(面面垂直判定定理)

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標系時再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個平面無公共點。2.一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個平行平面中的一個，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個平面過另一平面的垂線，那么這兩個平面垂直。

第四篇：面面垂直證明例題

數(shù)學(xué)面面垂直例題

例4答案：

例8答案：取AC的中點為O，連接OP、OB。AO=OC,PA=PC,故PO垂直

AC

第五篇：面面垂直學(xué)案

§2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)

一、學(xué)習目標：

1.掌握平面與平面垂直的性質(zhì)定理的證明及應(yīng)用；

2.掌握空間中的垂直關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的方法。

二、學(xué)習過程：

(一)復(fù)習引入

1.平面與平面垂直的定義：

2.面面垂直判定定理：

（二）探索研究

（1）觀察黑板所在的平面和地面，它們是互相垂直的，那么黑板所在的平面里的任意一條直線是否就一定和地面垂直？

（2）觀察長方體ABCD-A`B`C`D`中，平面AA`D`D與平面ABCD垂直，你能否在平面AA`D`D中找一條直線垂直于平面ABCD？

（三）嚴格證明

已知???,????CD,AB??,AB?CD于B.求證:AB??.A

DB

（四）得出定理

面面垂直的性質(zhì)定理：

兩平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直.符號語言表述：

（五）知識應(yīng)用舉例

例

1、已知平面α與β互相垂直，判斷下列命題是否正確：

（1）若b??,則b??。

（2）若???=l,b?l則b??。

（3）若b??,則b垂直于平面?內(nèi)的無數(shù)條直線。

(4)過一個平面內(nèi)任意一點作交線的垂線,則此垂線

必垂直于另一個平面。

例

2、平面?與平面?互相垂直，????m,P??,P?m,判斷：

（1）過點P且垂直于?的直線a是否一定在?內(nèi)？

（2）過點P且垂直于?的直線l與?是什么位置關(guān)系？并證明

例

3、如圖，AB是⊙O的直徑，C是圓周上不同于A，B的任意一點，平面PAC⊥平面ABC，(1)求證：BC⊥平面PAC。(2)判斷平面PBC與平面PAC是否垂直，并證明。

A

O B

練習：如圖,AB是⊙O的直徑,點C是圓上異于A,B的任意一點,PA⊥平面ABC,AF⊥PC于F.求證:AF⊥平面PBC.C

解題反思：

（六）小結(jié)反思

1.面面垂直的性質(zhì)定理

2..空間垂直關(guān)系有那些？如何實現(xiàn)空間垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化？請指出下圖中空間垂直關(guān)系轉(zhuǎn)化的定理依據(jù)？

①

②

③

④

（七）家庭作業(yè)《同步導(dǎo)學(xué)》