第一篇：利用全等證明垂直問題范文

利用全等證明垂直問題

1.如圖，AD⊥BC于D，AD=BD，DE=DC。猜想并證明BE和AC有何關(guān)系？

圖19

2.如圖：在△ABC中，BE、CF分別是AC、AB兩邊上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延長線上截取CG=AB，連結(jié)AD、AG。猜想 AD與AG的關(guān)系，并證明。A G

FE

B

C

作業(yè)：1.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，連接EF，EF與AD交于G，AD與EG垂直嗎？證明你的結(jié)論。（6分）

2.如圖, 已知: 等腰Rt△OAB中,∠AOB=900, 等腰Rt△EOF中,∠EOF=900, 連結(jié)AE、BF.求證:(1)AE=BF;(2)AE⊥BF.3.兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，B，C，E在同一條直線上，連結(jié)DC．（1）請(qǐng)找出圖2中的全等三角形，并給予證明（說明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：DC⊥BE．

C

圖

1圖

2利用全等證明線段的相等以及和、差、倍、分問題

1.如圖，△ABC中，AB=AC，D是AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，DF⊥BC于點(diǎn)F，交CA延長線于點(diǎn)E，（1）試判斷AD、AE的大小關(guān)系，并說明理由；（2）當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長線上時(shí)，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否還成立？請(qǐng)說明理由。

F

備用圖

2.在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，過點(diǎn)C在△ABC的外部作直線MN（如圖（1）），AM⊥MN于M，BN⊥MN于N。（1）求證：MN=AM+BN。（2）若將條件改為“過點(diǎn)C 在△ABC內(nèi)作直線MN”，其它條件不變，問結(jié)論（1）是否仍然成立？如不成立，它們之間又滿足怎么的關(guān)系，請(qǐng)畫出圖形并證明。

M

C

N

A

B

3.如圖23，△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，過D點(diǎn)的直線GF交AC于F，交AC的平行線BG于G點(diǎn)，DE⊥DF，交AB于點(diǎn)E，連結(jié)EG、EF.⑴求證：BG=CF ⑵請(qǐng)你判斷BE+CF與EF的大小關(guān)系，并說明理由。

4.如圖,AD⊥BC,BD=DC,點(diǎn)C在AE的垂直平分線上,AB+BD與DE的長度有什么關(guān)系?

并加以證明。（10分）A

BDCE5.已知：三角形ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D為BC的中點(diǎn)，（1）如圖，E，F(xiàn)分為AB,AC上的點(diǎn)，且BE＝AF，求證：△DEF為等腰直角三角形．（2）若E，F(xiàn)分別為AB,CA延長線上的點(diǎn)，仍有BE＝AF，其他條件不變，那么，△DEF是否仍為等腰直角三角形？證明你的結(jié)論．

4.如圖在?AFD和?CEB中，點(diǎn)A，E，F(xiàn)，C在同一條直線上

??D

有下面四個(gè)論斷：（1）AD =CB，（2）AE =CF，（3）?B

一道數(shù)學(xué)問題，并寫出解答過程.利用全等證明角的相等以及和、差、倍、分問題

1.如圖22⑴，AB=CD，AD=BC，O為AC中點(diǎn)，過O點(diǎn)的直線分別與AD、BC相

交于點(diǎn)M、N，那么∠1與∠2有什么關(guān)系？請(qǐng)說明理由。

若過O點(diǎn)的直線旋轉(zhuǎn)至圖⑵、⑶的情況，其余條件不變，那么圖⑴中的∠1與∠2的關(guān)系成立嗎？請(qǐng)說明理由。，（4）AD //BC.請(qǐng)用其中三個(gè)作為條件，余下一個(gè)作為結(jié)論，編

2．（2007年綿陽市）如圖，△ABC中，E、F① AD平分∠BAC，② DE⊥AB，DF⊥AC，③ AD⊥EF．以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題，即：

①② ? ③，①③ ? ②，②③ ? ①．

（1）試判斷上述三個(gè)命題是否正確（直接作答）；（2）請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的命題．

22．如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：①AD?BC ②AC?BD ③CE?DE ④?D??C⑤?DAB??CBA．請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)

正確的結(jié)論（只需寫出一種情況），并加以證明．

已知：

求證：證明：

22．如圖，給出五個(gè)等量關(guān)系：①AD?BC ②AC?BD ③C

E?DE AM④?D??C

17．本題9分，工人師傅要檢查人字梁的∠B和∠C是否相等，但他手邊沒有量角器，只有一個(gè)刻度尺．他是這樣操作的： ①分別在BA和CA上取BE?CG； ②在BC上取BD?CF；

③量出DE的長a米，F(xiàn)G的長b米．

如果a?b，則說明∠B和∠C是相等的．他的這種做法合理嗎？為什么？ ⑤?DAB??CBA．請(qǐng)你以其中兩個(gè)為條件，另三個(gè)中的一個(gè)為結(jié)論，推出一個(gè)正確的結(jié)論（只需寫出一種情況），并加以證明．8

分 O N B

已知： E

求證：

證明：

B

16．如圖9所示，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AD是BC邊上的中線，過C作AD的垂線，交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，求證：∠ADC＝∠．

A B

22.如圖,有一池塘,要測池塘兩端A、B的距離,可先在平地上取一個(gè)可以直接到達(dá)E

和B的點(diǎn)C,連結(jié)AC并延長到D,使CD=CA.連結(jié)BC并延長到E,使EC=CB,圖9

A

連結(jié)DE,量出DE的長,就是A、B的距離.寫出你的證明．

D

F

第二篇：怎么證明垂直

怎么證明垂直

1、利用勾股定理的逆定理證明

勾股定理的逆定理提供了用計(jì)算方法證明兩線垂直的方法，即證明三角形其中一個(gè)角等于，由于利用代數(shù)的方法，只要能計(jì)算出待證直角的對(duì)邊的平方和等于另兩邊的平方和即可。

2、利用“三線合一”證明

要證二線垂直，若能證二線之一是等腰三角形的底邊，另一線是等腰三角形頂角的平分線或底邊上的中線，則二線互相垂直。

3、利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

4、圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

5、利用菱形的對(duì)角線互相垂直證明

菱形的對(duì)角線互相垂直。

6、利用全等三角形證明

主要是找出兩線所成的角中有兩角是鄰補(bǔ)角,并且證明這兩角相等,于是就可知這兩角都為,從而直線垂直.贊同

5|評(píng)論

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

2高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：。

第三篇：全等三角形證明

全等三角形的證明

1.?翻折

如圖（1），?BOC≌?EOD，?BOC可以看成是由?EOD沿直線AO翻折180?得到的；

?旋轉(zhuǎn)

如圖（2），?COD≌?BOA，?COD可以看成是由?BOA繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)180?得到的；

?平移

如圖（3），?DEF≌?ACB，?DEF可以看成是由?ACB沿CB方向平行移動(dòng)而得到的。

2.判定三角形全等的方法：

（1）邊角邊公理、角邊角公理、邊邊邊公理、斜邊直角邊（直角三角形中）公理

（2）推論：角角邊定理

3.注意問題：

（1）在判定兩個(gè)三角形全等時(shí)，至少有一邊對(duì)應(yīng)相等；

（2）不能證明兩個(gè)三角形全等的是，a: 三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，即AAA；b :有兩邊和其中一角對(duì)應(yīng)相等，即SSA。

一、全等三角形知識(shí)的應(yīng)用

（1）證明線段（或角）相等

例1：如圖，已知AD=AE,AB=AC.求證：BF=FC

（2）證明線段平行

例2：已知：如圖，DE⊥AC，BF⊥AC，垂足分別為E、F，DE=BF，AE=CF.求證：AB∥CD

（3）證明線段的倍半關(guān)系，可利用加倍法或折半法將問題轉(zhuǎn)化為證明兩條線段相等

例3：如圖，在△ ABC中，AB=AC，延長AB到D，使BD=AB，取AB的中點(diǎn)E，連接CD和CE.求證：CD=2CE

例4 如圖，△ABC中，∠C＝2∠B，∠1＝∠2。求證：AB＝AC＋CD．

．

例5：已知：如圖，A、D、B三點(diǎn)在同一條直線上，CD⊥AB,ΔADC、ΔBDO為等腰Rt三角形，AO、BC的大小關(guān)系和位置關(guān)系分別如何？證明你的結(jié)論。

例6.如圖，已知C為線段AB上的一點(diǎn)，?ACM和?CBN都是等邊三角形，AN和CM相交于F點(diǎn)，BM和CN交于E點(diǎn)。求證：?CEF是等邊三角形。

N

M

FE

C

A B

第四篇：全等三角形證明

全等三角形證明

1、已知CD∥AB，DF∥EB，DF=EB，問AF=CE嗎？說明理由。

CA2、已知∠E=∠F，∠1=∠2，AB=CD，問AE=DF嗎？說明理由。

F3、已知，點(diǎn)C是AB的中點(diǎn)，CD∥BE，且CD=BE，問∠D=∠E嗎？說明理由。

4、已知AB=CD，BE=DF，AE=CF，問AB∥CD嗎？

A B

C

第五篇：巧用全等三角形證明邊角問題

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巧用全等三角形證明邊角問題

作者：王進(jìn)

來源：《中學(xué)生數(shù)理化·八年級(jí)數(shù)學(xué)人教版》2013年第12期

在證明一些有關(guān)邊角關(guān)系的問題時(shí)，往往需要抓住關(guān)鍵條件，大膽猜測和證明三角形全等，下面舉例說明。