第一篇：怎樣證明面面垂直

怎樣證明面面垂直

如果一平面經(jīng)過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。(面面垂直判定定理)

為方便，下面#后的代表向量。

#CD=#BD-#BC,#AC=#BC-#BA,#AD=#BD-#BA.對(duì)角線的點(diǎn)積：#AC·#BD=(#BC-#BA)·#BD=#BC·#BD-#BA·#BD

兩組對(duì)邊平方和分別為：

AB2+CD2=AB2+(#BD-#BC)2=AB2+BD2+BC2-2#BD·#BC

AD2+BC2=(#BD-#BA)2+BC2=BD2+BA2+BC2-2#BD·#BA

則AB2+CD2=AD2+BC2等價(jià)于#BD·#BC=#BD·#BA等價(jià)于#AC·#BD=0

所以原命題成立，空間四邊形對(duì)角線垂直的充要條件是兩組對(duì)邊的平方和相等

證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

如果一平面經(jīng)過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。(面面垂直判定定理)

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

第二篇：如何證明面面垂直

如何證明面面垂直

設(shè)p是三角形ABC所在平面外的一點(diǎn)，p到A,B,C三點(diǎn)的距離相等,角BAC為直角，求證：平面pCB垂直平面ABC

過(guò)p作pQ⊥面ABC于Q，則Q為p在面ABC的投影，因?yàn)閜到A，B，C的距離相等，所以有QA=QB=QC，即Q為三角形ABC的中心，因?yàn)榻荁AC為直，所以Q在線段BC上，所以在面pCB上有線段pQ⊥平面ABC，故平面pCB⊥平面ABC

2證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面

然后轉(zhuǎn)化成一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線

也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。

這是解析幾何的方法。

2一、初中部分

1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。

2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法兩條直線的方向向量數(shù)量積為0

2斜率兩條直線斜率積為-1

3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊

4三垂線定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。

Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

第三篇：怎么證明面面垂直

怎么證明面面垂直證明一個(gè)面上的一條線垂直另一個(gè)面;首先可以轉(zhuǎn)化成 一個(gè)平面的垂線在另一個(gè)平面內(nèi),即一條直線垂直于另一個(gè)平面 然后轉(zhuǎn)化成

一條直線垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線 也可以運(yùn)用兩個(gè)面的法向量互相垂直。這是解析幾何的方法。

證:連接AC,BD.PD垂直面ABCD=>PD垂直AC.ABCD為正方形=>AC垂直BD.而BD是PB在面ABCD內(nèi)的射影=>PB垂直AC.PD垂直AC=>AC垂直面PBD.AC屬于面ACE=>面PBD垂直面ACE 2 1利用直角三角形中兩銳角互余證明

由直角三角形的定義與三角形的內(nèi)角和定理可知直角三角形的兩個(gè)銳角和等于90°，即直角三角形的兩個(gè)銳角互余。2勾股定理逆定理

3圓周角定理的推論：直徑所對(duì)的圓周角是直角，一個(gè)三角形的一邊中線等于這邊的一半，則這個(gè)三角形是直角三角形。

二、高中部分

線線垂直分為共面與不共面。不共面時(shí)，兩直線經(jīng)過(guò)平移后相交成直角，則稱兩條直線互相垂直。

1向量法 兩條直線的方向向量數(shù)量積為0 2斜率 兩條直線斜率積為-1 3線面垂直，則這條直線垂直于該平面內(nèi)的所有直線

一條直線垂直于三角形的兩邊，那么它也垂直于另外一邊 4三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果和穿過(guò)這個(gè)平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。

5三垂線定理逆定理 如果平面內(nèi)一條直線和平面的一條斜線垂直，那么這條直線也垂直于這條斜線在平面內(nèi)的射影。

3高中立體幾何的證明主要是平行關(guān)系與垂直關(guān)系的證明。方法如下(難以建立坐標(biāo)系時(shí)再考慮)：

Ⅰ.平行關(guān)系：

線線平行：1.在同一平面內(nèi)無(wú)公共點(diǎn)的兩條直線平行。2.公理4(平行公理)。3.線面平行的性質(zhì)。4.面面平行的性質(zhì)。5.垂直于同一平面的兩條直線平行。

線面平行：1.直線與平面無(wú)公共點(diǎn)。2.平面外的一條直線與平面內(nèi)的一條直線平行。3.兩平面平行，一個(gè)平面內(nèi)的任一直線與另一平面平行。

面面平行：1.兩個(gè)平面無(wú)公共點(diǎn)。2.一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別與另一平面平行。Ⅱ.垂直關(guān)系：

線線垂直：1.直線所成角為90°。2.一條直線與一個(gè)平面垂直，那么這條直線與平面內(nèi)的任一直線垂直。

線面垂直：1.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的任一直線垂直。2.一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直。3.面面垂直的性質(zhì)。4.兩條平行直線中的一條垂直與一個(gè)平面，那么另一直線也與此平面垂直。5.一條直線垂直與兩個(gè)平行平面中的一個(gè)，那么這條直線也與另一平面垂直。

面面垂直：1.面面所成二面角為直二面角。2.一個(gè)平面過(guò)另一平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直。

第四篇：面面垂直證明例題

數(shù)學(xué)面面垂直例題

例4答案：

例8答案：取AC的中點(diǎn)為O，連接OP、OB。AO=OC,PA=PC,故PO垂直

AC

第五篇：面面垂直習(xí)題（模版）

例1如圖,在四面體P-ABC中,PC⊥平面ABC,AB=BC=CA=PC,求二面角B-AP-C的正切值。

解：如圖，過(guò)B作BE⊥AC于E，過(guò)E

作EF⊥PA于F，連接BF

∵PC⊥平面ABC，PC?平面PAC

C ∴平面PAC⊥平面ABC ,∴BE⊥平面PAC

由三垂線定理，有BF⊥PA,∴∠BFE是二面角B-PA-C平面角，設(shè)PC=1,由E是AC的中點(diǎn)，?BE?

32,EF?

12sin45?0B

24?tg?BFE

?BE

EF?6

例2:如圖, PA⊥平面ABC,AC⊥BC,AF⊥PC于F.求證:

AF⊥平面PBC.證明:∵PA⊥平面ABCBC ?平面ABC

∴ PA⊥BC

又AC⊥BC PA∩AC=A

∴ BC⊥平面PAC

?平面PAC又BC P F A C B∴平面PBC⊥平面PAC

?平面PAC,∵AF⊥PCAF

平面PBC∩平面PAC=PC

∴ AF⊥平面PBC

如圖，△ABC為正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，求證：平面ADE⊥平面ACE.E

D

C

A

B

如圖在空間四邊形ABCS中，SA?平面ABC，平面SAB ?平面SBC

(1)求證：AB?BC ；

(2)若設(shè)二面角S?BC?A為45?，SA＝BC，求二面角A?SC?B的大小

S

E

a

A 2aC

已知線段AB的兩端點(diǎn)在直二面角??CD??的兩個(gè)面內(nèi),且與?、?分別成30?和45?角，求AB和CD所成的角

C

如圖PA垂直于矩形ABCD所在平面，E是AB的中點(diǎn)，二面角P?CD?B 為45?求證：平面PEC?平面PCD

G C

E B