第一篇：淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維“兩翼”的和諧發(fā)展

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淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維“兩翼”的和諧發(fā)展

作者：黎陽

來源：《現(xiàn)代教育科學(xué)(普教研究)》2013年第03期

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的目標(biāo)在于培養(yǎng)學(xué)生的思維能力，尤其要促進(jìn)學(xué)生的形象思維和抽象思維和諧發(fā)展。本文主要通過探討小學(xué)生思維發(fā)展的特點及發(fā)展的特殊階段，進(jìn)而提出小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)促進(jìn)小學(xué)生形象思維與抽象思維和諧發(fā)展的策略。

小學(xué)數(shù)學(xué)；形象思維；抽象思維；教學(xué)策略

對已有信息進(jìn)行加工處理的過程就是人類的思維過程，形象思維與抽象思維作為人類思維的不同分類，是數(shù)學(xué)思維的基本形式，同時也成為了數(shù)學(xué)思維的兩翼。數(shù)學(xué)教學(xué)要有效促進(jìn)學(xué)生的發(fā)展，其形象思維與抽象思維需和諧并進(jìn)，比翼齊飛，二者不可偏廢。如何實現(xiàn)數(shù)學(xué)的“兩翼”思維和諧發(fā)展，這就要求數(shù)學(xué)教師要根據(jù)教學(xué)內(nèi)容以及小學(xué)生思維發(fā)展特點和階段進(jìn)行教學(xué)。

一、形象思維、抽象思維的概念、特點及關(guān)系

依靠具體事物和材料，可以通過感知獲得認(rèn)識的思維就是形象思維。形象思維依靠個體過去在頭腦中積存的表象去思維。因此，它具有形象性、可感知性、非邏輯性等特點。

在人們認(rèn)識活動中，個體運用概念、判斷和推理等形式進(jìn)行思維的活動就是抽象思維。抽象思維屬于理性認(rèn)識的高級階段。以概念為起點，運用這些抽象概念去認(rèn)識和反映世間萬物本質(zhì)的過程就是抽象思維過程。個體通過認(rèn)識活動獲得超越感性思維的知識以及道理。它依靠判斷和推理進(jìn)行思維，對客觀現(xiàn)實進(jìn)行間接和概括的反映。抽象思維與形象思維不同，抽象思維需要通過分析感性材料進(jìn)行思考，暫時拋棄具體形象和事物的屬性，通過繁瑣的思考方式揭示世間萬物的本質(zhì)特征和屬性，并且運用邏輯形成概念，以達(dá)到間接反映現(xiàn)實的目的。

形象思維與抽象思維的關(guān)系是彼此聯(lián)系、彼此統(tǒng)一的。抽象思維如果匱乏，科學(xué)理論和科學(xué)研究便不會產(chǎn)生。同時，抽象思維又必須與具體思維結(jié)合，否則，個體的認(rèn)識過程便不能由抽象上升到具體，個體的認(rèn)識便會產(chǎn)生缺陷。形象思維以具體事物為起點，抽象思維是以頭腦中的概念為起點。形象思維與抽象思維關(guān)系密切。抽象地思考總是要以形象直感思維為基礎(chǔ)，而形象思維又常常聯(lián)系著抽象思維。

二、課改前后對學(xué)生形象思維、抽象思維的不同要求

通過新課改前后小學(xué)數(shù)學(xué)大綱的教學(xué)目標(biāo)要求分析，形象思維與抽象思維二者在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中不可偏廢?！毒拍炅x務(wù)教育全日制小學(xué)數(shù)學(xué)大綱（試用修訂版）》中提出：學(xué)生通過數(shù)學(xué)教育能夠獲得對整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)四則計算的能力，學(xué)生初步的思維能力和空間概念需要得到培養(yǎng)，通過數(shù)學(xué)內(nèi)容和知識的學(xué)習(xí)，對學(xué)生進(jìn)行引導(dǎo)，使學(xué)生獲得全面觀察、操作和猜測的能力，使學(xué)生能夠獲得初步的分析、綜合、比較、抽象和概括的能力。對簡單問題能夠判斷、推理并逐漸學(xué)會有依據(jù)的思考問題，同時注意培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和靈活性。

綜上所述，新課程改革以前，學(xué)生的抽象思維較被關(guān)注。大綱的要求十分重視對學(xué)生抽象思維的訓(xùn)練和培養(yǎng)，學(xué)生運用學(xué)習(xí)手段在教師的鼓勵和組織下對數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，運用抽象概念，發(fā)展空間觀念，進(jìn)一步提高思維能力。

新課程改革以后，形象思維受重視程度加深?！度罩屏x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》（修訂稿）的總目標(biāo)指出，通過義務(wù)教育階段的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生能獲得適應(yīng)社會生活和進(jìn)一步發(fā)展所必需的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗，能夠運用數(shù)學(xué)的思維方式進(jìn)行思考，增強發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。了解數(shù)學(xué)的價值，增強學(xué)好數(shù)學(xué)的信心。總體目標(biāo)通過四個方面具體闡述，其中要求學(xué)生在數(shù)學(xué)思考方面，要能夠建立數(shù)感、符號意識和空間觀念，初步形成幾何直觀和運算能力，發(fā)展形象思維與抽象思維。

新課程改革后，注重強調(diào)通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)與自然以及人類社會的密切關(guān)系，在情感態(tài)度和一般能力上要充分發(fā)展。這進(jìn)一步強調(diào)了形象思維的發(fā)展。所以，數(shù)學(xué)教育不僅僅是培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維，更應(yīng)該將抽象思維與形象思維協(xié)同發(fā)展，二者不可偏廢，在培養(yǎng)學(xué)生全面發(fā)展的過程中，不能將形象思維與抽象思維的培養(yǎng)割裂。

三、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)促進(jìn)思維兩翼和諧發(fā)展的策略

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該促進(jìn)學(xué)生形象思維與抽象思維的和諧發(fā)展。研究客觀世界中數(shù)量關(guān)系與空間形式的科學(xué)被稱為數(shù)學(xué)。個體思維的過程也可以說是對數(shù)學(xué)知識的研究過程。個體思維的基本方式包括形象思維與抽象思維，二者貫穿數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和認(rèn)知的始終。數(shù)學(xué)思維是指通過連續(xù)的具體事物的感知、運用頭腦的想象力獲得對事物的表象認(rèn)識，提煉出數(shù)學(xué)概念與解決問題的方法，最終形成對知識的理性認(rèn)識。通過這個過程，在整體上，形象思維與抽象思維得到協(xié)調(diào)發(fā)展。

1.根據(jù)兒童的年齡特點有針對地培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生思維的兩翼。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計的重點應(yīng)強化形象思維的根基作用。小學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律在于先對感知的事物比較容易理解，小學(xué)生的思維階段處于形象認(rèn)識階段，此時，教師在進(jìn)行小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，應(yīng)充分考慮到這一特殊階段，重視形象思維的基礎(chǔ)作用。從小學(xué)生的思維發(fā)展特點著手，兒童的思維經(jīng)歷了由形象思維轉(zhuǎn)向抽象思維的過程。年齡的差異決定了小學(xué)生的思維發(fā)展特點不同。年齡是兒童思維發(fā)展的制約因素，小學(xué)生的思維最初在一定程度上依賴于形象思維。正因如此，注重培養(yǎng)小學(xué)生的形象思維能力，既是兒童本身年齡和思維發(fā)展的需要，又是他們學(xué)習(xí)抽象數(shù)學(xué)知識的必經(jīng)之路。

低年級小學(xué)生，教師在進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)過程中應(yīng)該以實物或生活情境作為教學(xué)工具促進(jìn)形象思維發(fā)展。小學(xué)數(shù)學(xué)的整個教育過程，從一到三年級，具體實物一直是數(shù)學(xué)知識的表現(xiàn)方式，小學(xué)生容易觸碰，容易感知。例如，一年級上冊《認(rèn)識物體和圖形》，學(xué)生在初步認(rèn)識長方體、正方體、圓柱等一些立體圖形時，還應(yīng)該通過教具讓學(xué)生進(jìn)行觸摸感知。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師通過利用學(xué)生的感官及觸覺獲取認(rèn)知，依靠直觀體驗讓學(xué)生領(lǐng)會立體圖形的外觀特征。這便是一種培養(yǎng)小學(xué)生形象思維的教學(xué)方式。

在數(shù)學(xué)課堂中，教師通過組織學(xué)生進(jìn)行各種活動，讓學(xué)生感知各種圖形，使學(xué)生在頭腦中建立起各種圖形的特征，提高數(shù)學(xué)想象力，為日后的抽象思維發(fā)展打好基礎(chǔ)。

形象思維與抽象思維的互相作用隨著學(xué)生年齡的增長而到來，思維發(fā)展階段有新的提高就依賴于形象思維與抽象思維的互相協(xié)調(diào)。到小學(xué)四至六年級時，要建立數(shù)學(xué)概念和空間觀念，小學(xué)生已有的形象思維培養(yǎng)便發(fā)揮了作用。小學(xué)生早期有關(guān)形象思維的培養(yǎng)能夠引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)一步發(fā)展其抽象思維能力。這一時期，是小學(xué)生思維發(fā)展的“形象+想象”階段，此時，形象思維與抽象思維這兩種相互關(guān)聯(lián)又互為作用的有機思維整體便發(fā)揮了作用。小學(xué)生在解決實際問題時，左、右腦半球始終會處于互動思考過程中，兩個腦半球都會把感知來的信息，經(jīng)雙方的內(nèi)在加工與轉(zhuǎn)換，將思維推向更深入的階段。所以，此時，形象思維與抽象思維互助互補。形象思維與邏輯思維互相滲透又對立統(tǒng)一。形象思維猶如人體的血肉，抽象思維則是人體的骨架，兩種思維互相作用有機結(jié)合。根據(jù)兒童思維的特點，他們的思維主要是經(jīng)由具體形象思維發(fā)展到抽象思維的過程。盡管如此，這種抽象思維也僅僅是初級的，具體形象和感知性依然難以擺脫。

2.在課堂教學(xué)中有效促進(jìn)小學(xué)生思維兩翼和諧發(fā)展。

首先，通過走進(jìn)情境，收集信息。新教材借用了學(xué)生身邊豐富的資源，創(chuàng)設(shè)了生動活潑的學(xué)習(xí)情境，教師在教學(xué)過程中應(yīng)充分利用這些信息資源，通過對適當(dāng)學(xué)習(xí)情境的展示，教師引導(dǎo)學(xué)生在情境中進(jìn)行全面觀察，然后發(fā)現(xiàn)和收集數(shù)學(xué)信息。同時，對這些信息進(jìn)行篩選、提取，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生收集信息的能力。

其次，積極鼓勵學(xué)生處理信息，鍛煉學(xué)生提出問題，進(jìn)而培養(yǎng)學(xué)生的形象思維和抽象思維。引導(dǎo)學(xué)生對已發(fā)現(xiàn)信息進(jìn)行思考和分析，通過學(xué)生之間的互相討論和交流，整理有用信息，同時引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)信息提出有價值的數(shù)學(xué)問題。

第三，通過學(xué)生對關(guān)系的分析，需找解決問題的思路。在培養(yǎng)小學(xué)生形象思維與抽象思維和諧發(fā)展過程中，要充分調(diào)動學(xué)生的知識基礎(chǔ)和生活經(jīng)驗，鼓勵學(xué)生采取動手操作的辦法或者通過組織學(xué)生進(jìn)行小組討論等方式分析數(shù)學(xué)中的數(shù)量間關(guān)系，進(jìn)而尋求解決問題的途徑和方法。最終目標(biāo)是逐漸使學(xué)生形成自覺思考、個體自主解決問題的意識和能力。

第四，多方訓(xùn)練，拓展提升學(xué)生的形象與抽象思維能力。小學(xué)生解決問題的能力要通過一定程度的練習(xí)來形成，同時，教師要根據(jù)學(xué)生反饋的信息做出及時調(diào)整，起到鞏固所學(xué)知識的作用。在對學(xué)生的練習(xí)設(shè)計上要考慮切合實際，特別需要注意聯(lián)系學(xué)生所熟悉的生活環(huán)境設(shè)計問題情境。教師在設(shè)計教學(xué)內(nèi)容時要由易到難，采用面向全體學(xué)生的策略。這樣做的好處是利于比對，循序漸進(jìn)地提高學(xué)生解決問題的能力。在學(xué)生熟練掌握解決問題的技能時，學(xué)生的形象思維與抽象思維也能夠得到和諧發(fā)展。

總之，只有在課堂中充分重視小學(xué)生的形象思維與抽象思維的協(xié)調(diào)發(fā)展，才能實現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目標(biāo)，對小學(xué)生思維的深入發(fā)展才有真正意義。

第二篇：淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)

淺談小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生創(chuàng)新思維的培養(yǎng)

小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)中明確指出：通過小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，要使小學(xué)生具有初步的創(chuàng)新精神和實踐能力，數(shù)學(xué)教學(xué)對思維的抽象性、邏輯性、概括性提出了很高的要求，數(shù)學(xué)是思維的體操，數(shù)學(xué)課堂教學(xué)是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新思維的重要途徑。

一創(chuàng)設(shè)情景，激發(fā)思維積極性

心理學(xué)研究表明，積極的思維的活動是建立在濃厚的興趣和豐富的情感的基礎(chǔ)之上的。數(shù)學(xué)知識雖然單調(diào)枯燥，但蘊含著豐富的可以激發(fā)學(xué)生興趣的因素。因此在課堂教學(xué)中，教師應(yīng)充分利用這些因素，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)學(xué)生積極地去思維。

如在“長方形、正方形面積公式應(yīng)用”教學(xué)時，我先出示一道題：“小軍最近學(xué)習(xí)了面積這一單元，他家的一個房間長6米，寬3米，現(xiàn)在要給這房間鋪上方磚，每塊方磚的面積是9平方分米。爸爸讓他計算一下一共需要多少這樣的方磚。你能幫助他嗎？”學(xué)生遇到這種生活中比較熟悉的問題，都積極開動腦筋，這時教師在配合圖形加以引導(dǎo)，以喚起學(xué)生思維表象，這樣的情境創(chuàng)設(shè)，巧妙的激發(fā)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，幫助學(xué)生把實際問題轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)問題，并運用數(shù)學(xué)知識解決這個問題。

二、重視數(shù)學(xué)練習(xí)，培養(yǎng)發(fā)散性思維

發(fā)散性思維是一種不依靠常規(guī)，尋求變化，尋求變異，從多方面尋求答案的思維方式。這種思維不受現(xiàn)成知識的局限，不受傳統(tǒng)方式的束縛，其結(jié)果可能由已知推導(dǎo)未知，發(fā)現(xiàn)新事物，新理論，這是培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散性思維能力的有效的方式。培養(yǎng)發(fā)散性思維，主要是培養(yǎng)思維的廣闊性、靈活性和獨創(chuàng)性。思維的發(fā)散點越多，思維發(fā)散量越大，創(chuàng)新思維出現(xiàn)的概率也越大。數(shù)學(xué)教學(xué)中的一題多解、一題多變、一題多問等是培養(yǎng)發(fā)散性思維的有效途徑。如：一瓶油，連瓶一共重800克。吃去一半的油，連瓶一起稱，還剩550克。空瓶重多少克？引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系，畫出線段圖，得到如下幾種解法：

解法一:

先求半瓶油重：800-550=250（克）

再求一瓶油重：250×2=500（克）

最后求空瓶重：800-500=300（克）

解法二：因為半瓶油和空瓶共重550克，所以從550克里減去半瓶油重，就是空瓶重量。算式是：550-（800-550）=300（克）

學(xué)生體會到成功的喜悅，思維變得異?；钴S，此時，教師再因勢利導(dǎo)，借助線段圖，讓學(xué)生思考800÷2是什么？從而引出第三種解法。

解法三：

先求半瓶油和半個空瓶重量：800÷2=400（克）

再求半瓶油和一個空瓶重量減去半瓶和半個空瓶重量，再乘以2，便得一個空瓶重量，算式是：（550-400）×2=300（克）

學(xué)生受到解法三的啟發(fā)，很快又得到更為巧妙、簡捷的解法。

解法四：先求一瓶油和兩個空瓶的重量：550×2=1100（克），再減去一瓶油和一個空瓶的重量，即為一個空瓶的重量：1100－800=300（克）

從上面的解題過程可以看出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，把抽象的數(shù)和形象的圖結(jié)合起來，較好的激發(fā)了學(xué)生的再造想象，使學(xué)生靈活善思，促進(jìn)了學(xué)生發(fā)散性思維的發(fā)展。

三、重視小組合作，培養(yǎng)創(chuàng)新意識

學(xué)生小組合作，是一種很好的教學(xué)形式，學(xué)生互助合作，對問題展開討論，這樣人人都有發(fā)言的機會，通過討論分析問題，解決問題。如：某村挖一條2400米的水渠，前4天挖了全長的40％，還要幾天才能完成？一般的解法是：2400÷（2400×40％÷4）—4=6（天），解答后，老師問，如果工作總量變了，你會解嗎？如果具體的工作總量沒有告訴我們，題目能

解答嗎？學(xué)生通過討論思維的閘門紛紛打開，相繼列出幾種算式：（1）4×〔（1－40％）÷40％〕；（2）4÷〔40％÷（1－40％）〕；（3）1÷（40％÷4）－4（3）4÷40％－4等

小組合作不是所有的內(nèi)容都適合，這種教學(xué)形式必須選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)時機進(jìn)行，才能發(fā)揮最大的作用。（1）當(dāng)題目答案不唯一時；（2）當(dāng)學(xué)生思考出現(xiàn)困難時；（3）當(dāng)問題的涉及的面大，學(xué)生回答不全時；（4）當(dāng)學(xué)生的意見不統(tǒng)一時。學(xué)生通過討論說理，讓問題越辯越明。課堂教學(xué)不僅僅是學(xué)生個體的學(xué)習(xí)活動，也是群體的、多向的學(xué)習(xí)活動，教師應(yīng)充分把握時機，交流信息，在課堂上利用小組合作的形式形成學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的優(yōu)勢互補，激活學(xué)生的主體作用，培養(yǎng)學(xué)生善于發(fā)現(xiàn)新知識和總結(jié)新方法的能力，在學(xué)習(xí)過程中萌發(fā)創(chuàng)新意識。

四、鼓勵大膽設(shè)想，培養(yǎng)獨創(chuàng)性思維

想象是思維的翅膀，教師要鼓勵學(xué)生大膽想象，提出與眾不同的優(yōu)化解法，使學(xué)生的思維從求異向創(chuàng)新發(fā)展。如：甲乙兩地相距300千米，原計劃5小時行完全程，實際提前1小時行完全程。平均每小時比原計劃多行多少千米？

多數(shù)學(xué)生按常規(guī)列式為300÷(5－1)－300÷5,可是有一個學(xué)生列式為300÷5÷（5－1）。原來這名學(xué)生抓住了問題的實質(zhì)進(jìn)行推理，提前1小時行完全程也就是原計劃最后1小時行的路程，在實際中由于每小時都比原計劃多走一點而提前在（5－1）小時走完了，原計劃1小時的路程也就是（5－1）小時里實際比計劃多走的路程。受此影響，有的學(xué)生用假設(shè)法列式為300÷(5－1)÷5=15(千米)。即如果實際再行1小時，就要多行300÷（5－1）=75（千米），這是在5小時內(nèi)比原計劃共多行的路程，那么每小時比原計劃多行75÷5=15（千米）。學(xué)生這種思維的獨創(chuàng)性受到老師的肯定，同學(xué)的贊賞，也體驗到成功所帶來的愉悅。

培養(yǎng)和發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新性思維能力，教師要根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)科的特點，做到適時適度，要針對小學(xué)生的年齡特點，做到有趣有力，這樣小學(xué)生的創(chuàng)新性思維能力就能得到充分發(fā)展。

第三篇：關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維訓(xùn)練的探討

關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)中學(xué)生思維訓(xùn)練的探討

思維是人類的一種重要活動。人們對于它的研究、探討在不斷地發(fā)展進(jìn)步，甚至創(chuàng)造出了可以模仿人的思維活動的電腦。在理論上取得的成果也頗豐，對于思維生理機能的揭示，還有從各個不同的角度對思維進(jìn)行的分類，（例如，有的把它分為形象思維有和抽象思維；有的把它分為求同思維和求異思維；有的認(rèn)為思維是聚斂的和發(fā)散型的；有的認(rèn)為思維有正向和逆向之分等），這些對于思維的進(jìn)一步研究，都有十分重要的價值。

本人多年從事基礎(chǔ)教育，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，對于學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維活動進(jìn)行了一定的探討，把學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的思維活動作了分層次劃分。我認(rèn)為，不妨把他們的思維活動劃分成單向單步思維、單向多步思維和多向多步思維。他們在掌握數(shù)學(xué)知識實現(xiàn)課程目標(biāo)的過程中，總是由最簡單的單向單步思維過渡到單向多步思維，乃至于發(fā)展到多向多步思維。我們知道，數(shù)學(xué)是訓(xùn)練學(xué)生思維的廣播操。新課標(biāo)要求我們把訓(xùn)練學(xué)生的思維，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思想作為一項重要的工作來抓，因此我們要根據(jù)學(xué)生思維形成和發(fā)展的規(guī)律，對他們進(jìn)行有計劃，有目的的訓(xùn)練，由量變到質(zhì)變，在實現(xiàn)認(rèn)知目標(biāo)，情感目標(biāo)和能力目標(biāo)的同時，逐步實現(xiàn)思維應(yīng)達(dá)到的目標(biāo)——形成創(chuàng)造性思維的能力。

一、注重單向單步思維的訓(xùn)練，形成牢固的思維基礎(chǔ)

我們在實施數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，學(xué)生的思維方向基本上是明確的，當(dāng)他們遇到一個簡單的數(shù)學(xué)問題時，在大腦里立即產(chǎn)生一個單向的思維個體，而解決問題又只需一步完成，我們把這種從一個知識點到另一個知識點，單方向，單步驟的思維稱為單向單身思維。

二、單向單步思維是連續(xù)性思維的基礎(chǔ)，是思維的最小單元，思維的目的性明確，時間短。前人對這種思維非常重視，他們總是力圖把所有數(shù)學(xué)知識都濃縮在這一個個的單向單步思維單元里，由“因”到“果”，由“題設(shè)”到“結(jié)論”，總結(jié)出了許多公理、定理、公式，便于人們記憶，成為后人思維向前延伸的基石。

思維的源泉是知識和信息。學(xué)生的單向單步思維就是對已有的人類思維成果的學(xué)習(xí)，包括簡單的重復(fù)，探索性的驗證，創(chuàng)造性的發(fā)現(xiàn)。作為教師，主要是根據(jù)不同的情形，不同的學(xué)習(xí)內(nèi)容，抓好這種思維品質(zhì)的培養(yǎng)。1.使他們的單向單步思維具有完備性。在教學(xué)中對照目標(biāo)，啟發(fā)討論逐步的實現(xiàn)目標(biāo)，做到有問有答，有布置有檢查，及時補充他們思維過程中的缺陷，克服半途而廢或弄個一知半解的壞毛病。例如學(xué)習(xí)等腰梯形的性質(zhì)：等腰梯形ABCD（AD∥BD）同一底角上的兩個角相等，使學(xué)生不僅知道∠B=∠C，而且要知道∠A=∠D。2.使他們的單向單步思維具有準(zhǔn)確性。在教學(xué)中為了達(dá)到目標(biāo)，要一步一個腳印，腳踏實地。只有每個單向單步思維的準(zhǔn)確性，才能保證整個連續(xù)性思維的準(zhǔn)確性，不然的話，思維的結(jié)果是錯誤的沒有意義。

三、在教學(xué)中，我們要加強一題多解的訓(xùn)練，擴大學(xué)的思路范文作文，也就是增大學(xué)生的思維方向。例如。計算，按照所學(xué)的方法，一步一步的施行乘法運算，再合并同類項，得出結(jié)果后，提請他們思考，有沒有其它方法？思維過程：原式= 顯然，既簡單又明了。使學(xué)生在完成某一思維過程后，總要考慮還有沒有更好的思維途徑，克服思維過程中的滿足感。使思維具有一定的探索性，從而發(fā)展到具有一定的創(chuàng)造力。

總之，學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識的過程中，他們是學(xué)習(xí)的主體，會根據(jù)不同的學(xué)習(xí)目標(biāo)，單向單步思維，單向多步思維，多向多步思維交替出現(xiàn)。我們教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的主導(dǎo)者，只有了解了他們思維的這些特點，才能在各種教學(xué)活動中加強引導(dǎo)，不斷實現(xiàn)預(yù)定的目標(biāo)。

第四篇：數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

鄭毓信

（南京大學(xué)哲學(xué)系，江蘇南京210093）

摘要：“幫助學(xué)生學(xué)會基本的數(shù)學(xué)思想方法”是新一輪數(shù)學(xué)課程改革所設(shè)定的一個基本目標(biāo)。以國際上的相關(guān)研究為背景，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中如何突出數(shù)學(xué)思維進(jìn)行具體分析表明，即使是十分初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特

征性質(zhì)。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)思維；小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué) 中圖分類號：G623.5 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：C 收稿日期：2003-09-01；修回日期：2003-11-28

作者簡介：鄭毓信，南京大學(xué)哲學(xué)系教授，博士生導(dǎo)師，國際數(shù)學(xué)教育大會（ICME10）國際程序委員會委員。

對于數(shù)學(xué)思維的突出強調(diào)是國際范圍內(nèi)新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個重要特征，如由美國的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程與評估的標(biāo)準(zhǔn)》和我國的《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》（以下簡稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）關(guān)于數(shù)學(xué)教育目標(biāo)的論述中就可清楚地看出。然而，就小學(xué)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實而言，上述的理念還不能說已經(jīng)得到了很好的貫徹，而造成這一現(xiàn)象的一個重要原因就是以下的認(rèn)識：小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容過于簡單，因而不可能很好地體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的特點。以下將依據(jù)國際上的相關(guān)研究對這一觀點作出具體分析，希望能促進(jìn)這一方向上的深入研究，從而能夠?qū)τ趯嶋H教學(xué)活動發(fā)揮積極的導(dǎo)向作用。

一、數(shù)學(xué)化：數(shù)學(xué)思維的基本形式

眾所周知，強調(diào)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個重要特征。“數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容一定要充分考慮數(shù)學(xué)發(fā)展進(jìn)程中人類的活動軌跡，貼近學(xué)生熟悉的現(xiàn)實生活，不斷溝通生活中的數(shù)學(xué)與教科書上數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使生活和數(shù)學(xué)融為一體。”就努力改變傳統(tǒng)數(shù)學(xué)教育嚴(yán)重脫離實際的弊病而言，這一做法是完全正確的；但是，從更為深入的角度去分析，我們在此則又面臨著這樣一個問題，即應(yīng)當(dāng)如何去處理“日常數(shù)學(xué)”與“學(xué)校數(shù)學(xué)”之間的關(guān)系。

事實上，即使就最為初等的數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，我們也可清楚地看到數(shù)學(xué)的抽象特點，而這就已包括了由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)

學(xué)”的重要過渡。

例如，在幾何題材的教學(xué)中，無論是教師或?qū)W生都清楚地知道，我們的研究對象并非教師手中的那個木制三角尺，也不是在黑板上或紙上所畫的那個具體的三角形，而是更為一般的三角形的概念，這事實上就已包括了由現(xiàn)實原型向相應(yīng)的“數(shù)學(xué)模式”的過渡。再例如，正整數(shù)加減法顯然具有多種不同的現(xiàn)實原型，如加法所對應(yīng)的既可能是兩個量的聚合，也可能是同一個量的增加性變化，同樣地，減法所對應(yīng)的既可能是兩個量的比較，也可能是同一個量的減少性變化；然而，在相應(yīng)的數(shù)學(xué)表達(dá)式中所說的現(xiàn)實意義、包括不同現(xiàn)實原型之間的區(qū)別（例如，這究竟表現(xiàn)了“二元的靜態(tài)關(guān)系”還是“一元的動態(tài)變化”）則完全被忽視了：它們所對應(yīng)的都是同一類型的表達(dá)式，如4+5=9、7-3=4等，而這事實上就包括了由特殊到一般的重要過渡。

應(yīng)當(dāng)強調(diào)的是，以上所說的可說是一種“數(shù)學(xué)化”的過程，后者集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的本質(zhì)特點：數(shù)學(xué)可被定義為“模式的科學(xué)”，也就是說，在數(shù)學(xué)中我們并非是就各個特殊的現(xiàn)實情景從事研究的，而是由附屬于具體事物或現(xiàn)象的模型過渡到了更為普遍的“模

式”。

也正由于數(shù)學(xué)的直接研究對象是抽象的模式而非特殊的現(xiàn)實情景，這就為相應(yīng)的“純數(shù)學(xué)研究”提供了現(xiàn)實的可能性。例如，就以上所提及的加減法運算而言，由于其中涉及三個不同的量（兩個加數(shù)與它們的和，或被減數(shù)、減數(shù)與它們的差），因此，從純數(shù)學(xué)的角度去分析，我們完全可以提出這樣的問題，即如何依據(jù)其中的任意兩個量去求取第三個量。例如，就“量的比較”而言，除去兩個已知數(shù)的直接比較以外，我們顯然也可提出：“兩個數(shù)的差是3，其中較小的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？”或者“兩個數(shù)的差是3，其中較大的數(shù)是4，問另一個數(shù)是幾？”我們在此事實上已由“具有明顯現(xiàn)實意義的量化模式”過渡到了“可能的量化模式”。

綜上可見，即使就正整數(shù)的加減法此類十分初等的題材而言，就已十分清楚地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的一些重要特點，特別是體現(xiàn)了在現(xiàn)實意義與純數(shù)學(xué)研究這兩者之間所存在的辯證關(guān)系。當(dāng)然，從理論的角度看，我們在此又應(yīng)考慮這樣的問題，即應(yīng)當(dāng)如何去認(rèn)識所說的純數(shù)學(xué)研究的意義。特別是，我們是否應(yīng)當(dāng)明確肯定由“日常數(shù)學(xué)”過渡到“學(xué)校數(shù)學(xué)”的必要性，或是應(yīng)當(dāng)唯一地堅持立足

[1]

于現(xiàn)實生活。

由于后一問題的全面分析已經(jīng)超出了本文的范圍，在此僅指明這樣一點：與現(xiàn)實意義在一定程度上的分離對于學(xué)生很好地把握相應(yīng)的數(shù)量關(guān)系是十分重要的。這正是國際上的相關(guān)研究、特別是近年來所興起的“民俗數(shù)學(xué)”研究的一個重要結(jié)論：盡管“日常數(shù)學(xué)”具有密切聯(lián)系實際的優(yōu)點，但也有著明顯的局限性。例如，如果僅僅依靠“自發(fā)的數(shù)學(xué)能力”，人們往往就不善于從反面去思考問題，與此相對照，通過學(xué)校中的學(xué)習(xí)，上述的情況就會有很大改變，這就是說，純數(shù)學(xué)的研究“在幫助學(xué)生學(xué)會使用逆運算來解決問題方面有著明顯的效果”；另外，同樣重要的是，如果局限于特定的現(xiàn)實情景，所學(xué)到的數(shù)學(xué)知識在“可遷移性”方面也會表現(xiàn)出

很大的局限性。

一般地說，學(xué)校中的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就是對學(xué)生經(jīng)由日常生活所形成的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行鞏固、適當(dāng)重組、擴展和組織化的過程，這就意味著由孤立的數(shù)學(xué)事實過渡到了系統(tǒng)的知識結(jié)構(gòu)，以及對于人類文化的必要繼承。這正如著名數(shù)學(xué)教育家斯根普所指出的：“兒童來到學(xué)校雖然還未接受正式教導(dǎo)，但所具備的數(shù)學(xué)知識卻比預(yù)料的多??他們所需要的幫助是從（學(xué)校教學(xué)）活動中組織和鞏固他們的非正規(guī)知識，同時需擴展他們這種知識，使其與我們社會文化部分中的高度緊密的知識體系相結(jié)合?！?/p>

當(dāng)然，我們還應(yīng)明確肯定數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實生活“復(fù)歸”的重要性。這正如著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)的力量源于它的普遍性。人們可以用同樣的數(shù)去對各種不同的集合進(jìn)行計數(shù)，也可以用同樣的數(shù)去對各種不同的量進(jìn)行度量。??盡管運算（等）所涉及的方面十分豐富，但又始終是同一個運算──這即是借助于算法所表明的事實。作為計算者人們?nèi)菀淄浧渌婕暗臄?shù)以及他所面對的文字題中的算術(shù)問題的來源。但是，為了真正理解這種存在于多樣性之中的簡單性，在計算的同時我們又必須能夠由算法的簡單性回到多樣化的現(xiàn)實。”

總的來說，這就應(yīng)當(dāng)被看成“數(shù)學(xué)化”這一思維方式的完整表述，即其不僅直接涉及如何由現(xiàn)實原型抽象出相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念或問題，而且也包括了對于數(shù)量關(guān)系的純數(shù)學(xué)研究，以及由數(shù)學(xué)知識向現(xiàn)實生活的“復(fù)歸”。另外，相對于具體知識內(nèi)容的學(xué)習(xí)而言，我們應(yīng)當(dāng)更加注意如何幫助學(xué)生很好地去掌握“數(shù)學(xué)化”的思想，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解“情境設(shè)置”與“純數(shù)學(xué)研究”的意義。這正如弗賴登塔爾所指出的：“數(shù)學(xué)化??是一條保證實現(xiàn)數(shù)學(xué)整體結(jié)構(gòu)的廣闊途徑??情境和模型，問題與求解這些活動作為必不可少的局部手段是重要的，但它們都應(yīng)該服從于總的方法。”

二、凝聚：算術(shù)思維的基本形式

由以下關(guān)于算術(shù)思維基本形式的分析可以看出，思維的分析相對于具體知識內(nèi)容的教學(xué)而言并非某種外加的成分，而是有著重

要的指導(dǎo)意義。

具體地說，這正是現(xiàn)代關(guān)于數(shù)學(xué)思維研究的一項重要成果，即指明了所謂的“凝聚”，也即由“過程”向“對象”的轉(zhuǎn)化構(gòu)成了算術(shù)以及代數(shù)思維的基本形式，這也就是說，在數(shù)學(xué)特別是算術(shù)和代數(shù)中有不少概念在最初是作為一個過程得到引進(jìn)的，但最終卻又轉(zhuǎn)化成了一個對象──對此我們不僅可以具體地研究它們的性質(zhì)，也可以此為直接對象去施行進(jìn)一步的運算。例如，加減法在最初都是作為一種過程得到引進(jìn)的，即代表了這樣的“輸入—輸出”過程：由兩個加數(shù)（被減數(shù)與減數(shù)）我們就可求得相應(yīng)的和（差）；然而，隨著學(xué)習(xí)的深入，這些運算又逐漸獲得了新的意義：它們已不再僅僅被看成一個過程，而且也被認(rèn)為是一個特定的數(shù)學(xué)對象，我們可具體地去指明它們所具有的各種性質(zhì)，如交換律、結(jié)合律等，從而，就其心理表征而言，就已經(jīng)歷了一個“凝聚”的過程，即由一個包含多個步驟的運作過程凝聚成了單一的數(shù)學(xué)對象。再如，有很多教師認(rèn)為，分?jǐn)?shù)應(yīng)當(dāng)定義為“兩個整數(shù)相除的值”而不是“兩個整數(shù)的比”，這事實上也可被看成包括了由過程向?qū)ο蟮霓D(zhuǎn)變，這就是說，就分?jǐn)?shù)的掌握而言我們不應(yīng)停留于整數(shù)的除法這樣一種運算，而應(yīng)將其直接看成一種數(shù)，我們可以此為對象去實施加減乘除等運算。

對于所說的“凝聚”可進(jìn)一步分析如下：

第一，“凝聚”事實上可被看成“自反性抽象”的典型例子，而后者則又可以說集中地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的高度抽象性，即“是把已發(fā)現(xiàn)結(jié)構(gòu)中抽象出來的東西射或反射到一個新的層面上，并對此進(jìn)行重新建構(gòu)”。這正如著名哲學(xué)家、心理學(xué)家皮亞杰所指出的：“全部數(shù)學(xué)都可以按照結(jié)構(gòu)的建構(gòu)來考慮，而這種建構(gòu)始終是完全開放的??當(dāng)數(shù)學(xué)實體從一個水平轉(zhuǎn)移到另一個水平時，它們的功能會不斷地改變；對這類‘實體’進(jìn)行的運演，反過來，又成為理論研究的對象，這個過程在一直重復(fù)下去，直到我們達(dá)到了一種結(jié)構(gòu)為止，這種結(jié)構(gòu)或者正在形成‘更強’的結(jié)構(gòu)，或者在由‘更強的’結(jié)構(gòu)來予以結(jié)構(gòu)化。”例如，由加法到乘法以及由乘法到乘方的發(fā)展顯然也可被看成更高水平上的不斷“建構(gòu)”。

第二，以色列著名數(shù)學(xué)教育家斯法德（A.Sfard）指出，“凝聚”主要包括以下三個階段：（1）內(nèi)化；（2）壓縮；（3）客體化。其中，“內(nèi)化”和“壓縮”可視為必要的準(zhǔn)備。前者是指用思維去把握原先的視覺性程序，后者則是指將相應(yīng)的過程壓縮成更小的單元，從而就可從整體上對所說的過程作出描述或進(jìn)行反思──我們在此不僅不需要實際地去實施相關(guān)的運作，還可從更高的抽象

[6]

[5]

[4]

[3]

[2]

水平對整個過程的性質(zhì)作出分析；另外，相對于前兩個階段而言，“客體化”則代表了質(zhì)的變化，即用一種新的視角去看一件熟悉的事物：原先的過程現(xiàn)在變成了一個靜止的對象。容易看出，上述的分析對于我們改進(jìn)教學(xué)也具有重要的指導(dǎo)意義。例如，所說的“內(nèi)化”就清楚地表明了這樣一點：我們既應(yīng)積極提倡學(xué)生的動手實踐，但又不應(yīng)停留于“實際操作”，而應(yīng)十分重視“活動的內(nèi)化”，因為，不然的話，就不可能形成任何真正的數(shù)學(xué)思維。另外，在不少學(xué)者看來，以上的分析在一定程度上表明了“熟能生巧”這一傳

統(tǒng)做法的合理性。

第三，由“過程”向“對象”的過渡不應(yīng)被看成一種單向的運動；恰恰相反，這兩者應(yīng)被看成同一概念心理表征的不同側(cè)面，我們應(yīng)善于依據(jù)不同的情景與需要在這兩者之間作出必要的轉(zhuǎn)換，包括由“過程”轉(zhuǎn)向“對象”，以及由“對象”重新回到“過程”。

例如，在求解代數(shù)方程時，我們顯然應(yīng)將相應(yīng)的表達(dá)式，如（x+3）2=1,看成單一的對象，而非具體的計算過程，不然的話，就會出現(xiàn)（x+3）2=1=x2+6x+9=1=?這樣的錯誤；然而，一旦求得了方程的解，如x=-2和-4，作為一種檢驗，我們又必須將其代入原來的表達(dá)式進(jìn)行檢驗，而這時所采取的則就是一種“過程”的觀點。

正因為在“過程”和“對象”之間存在所說的相互依賴、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系，因此，一些學(xué)者提出，我們應(yīng)把相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念看成一種“過程—對象對偶體”procept,這是由“過程”（process）和（作為對象的）“概念”（concept）這兩個詞組合而成的。，即應(yīng)當(dāng)認(rèn)為其同時具有“過程”與“對象”這樣兩個方面的性質(zhì)。再者，我們又應(yīng)很好地去把握相應(yīng)的思維過程（可稱為“過程—對象性思維”〔proceptual thinking〕）的以下特征：（1）“對偶性”，是指在“過程”與相應(yīng)的“對象”之間所存在的相互依存、互相轉(zhuǎn)化的辯證關(guān)系；（2）“含糊性”，這集中地體現(xiàn)于相應(yīng)的符號表達(dá)式：它既可以代表所說的運作過程，也可以代表經(jīng)由凝聚所生成的特定數(shù)學(xué)對象；（3）靈活性，是指我們應(yīng)根據(jù)情境的需要自由地將符號看成過程或概念。特殊地，數(shù)學(xué)中常常會用幾種不同的符號去表征同一個對象，從而，在這樣的意義上，上述的“靈活性”就獲得了更為廣泛的意義：這不僅是指“過程”與“對象”之間的轉(zhuǎn)化，而且也是指不同的“過程—對象對偶體”之間的轉(zhuǎn)化。例如，5不僅是3與2的和，也是1與4的和、7與2的差、1與5的積，等等。

綜上可見，在算術(shù)的教學(xué)中我們應(yīng)自覺地應(yīng)用和體現(xiàn)“凝聚”這樣一種思維方式。

三、互補與整合：數(shù)學(xué)思維的一個重要特征

以上關(guān)于“過程—對象性思維”的論述顯然已從一個側(cè)面表明了互補與整合這一思維形式對于數(shù)學(xué)的特殊重要性。以下再以有

理數(shù)的學(xué)習(xí)為例對此作出進(jìn)一步的說明。

首先，我們應(yīng)注意同一概念的不同解釋間的互補與整合。

具體地說，與加減法一樣，有理數(shù)的概念也存在多種不同的解釋，如部分與整體的關(guān)系，商，算子或函數(shù)，度量，等等；但是，正如人們所已普遍認(rèn)識到了的，就有理數(shù)的理解而言，關(guān)鍵恰又在于不應(yīng)停留于某種特定的解釋，更不能將各種解釋看成互不相關(guān)、彼此獨立的；而應(yīng)對有理數(shù)的各種解釋（或者說，相應(yīng)的心理建構(gòu)）很好地加以整合，也即應(yīng)當(dāng)將所有這些解釋都看成同一概念的不同側(cè)面，并能根據(jù)情況與需要在這些解釋之間靈活地作出必要的轉(zhuǎn)換。

例如，在教學(xué)中人們往往唯一地強調(diào)應(yīng)從“部分與整體的關(guān)系”這一角度去理解有理數(shù)，特別是，分?jǐn)?shù)常常被想象成“圓的一個部分”。然而，實踐表明，局限于這一心理圖像必然會造成一定的學(xué)習(xí)困難、甚至是嚴(yán)重的概念錯誤。例如，如果局限于上述的解

釋，就很難對以下算法的合理性作出解釋：

（5/7）÷（3/4）=（5/7）×（4/3）=?

其次，我們應(yīng)注意不同表述形式之間的相互補充與相互作用。

這也正是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個重要特征，即突出強調(diào)學(xué)生的動手實踐、主動探索與合作交流：“有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動不能單純地依賴模仿與記憶，動手實踐、自主探索與合作交流是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要方式??教師應(yīng)激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，向?qū)W生提供充分從事數(shù)學(xué)活動的機會，幫助他們在自主探索和合作交流的過程中真正理解和掌握基本的數(shù)學(xué)知識與技能、數(shù)學(xué)思想和方法，獲得廣泛的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗?！盵7]（2）由于實踐活動（包括感性經(jīng)驗）構(gòu)成了數(shù)學(xué)認(rèn)識活動的重要基礎(chǔ)，合作交流顯然應(yīng)被看成學(xué)習(xí)活動社會性質(zhì)的直接體現(xiàn)和必然要求，因此，從這樣的角度去分析，上述的主張就是完全合理的；然而，需要強調(diào)的是，除去對于各種學(xué)習(xí)方式與表述形式的直接肯定以外，我們應(yīng)更加重視在不同學(xué)習(xí)方式或表述形式之間所存在的重要聯(lián)系與必要互補。這正如美國學(xué)者萊許（R.Lesh）等所指出的：“實物操作只是數(shù)學(xué)概念發(fā)展的一個方面，其他的表述方式──如圖像，書面語言、符號語言、現(xiàn)實情

景等──同樣也發(fā)揮了十分重要的作用。”

再次，我們應(yīng)清楚地看到解題方法的多樣性及其互補關(guān)系。

眾所周知，大力提倡解題策略的多樣化也是新一輪數(shù)學(xué)課程改革的一個重要特征：“由于學(xué)生生活背景和思考角度不同，所使用的方法必然是多樣的，教師應(yīng)當(dāng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵學(xué)生獨立思考，提倡計算方法的多樣化。”

[7]（53）

當(dāng)然，在大力提倡解題策略多樣化的同時，我們還應(yīng)明確肯定思維優(yōu)化的必要性，這就是說，我們不應(yīng)停留于對于不同方法在數(shù)量上的片面追求，而應(yīng)通過多種方法的比較幫助學(xué)生學(xué)會鑒別什么是較好的方法，包括如何依據(jù)不同的情況靈活地去應(yīng)用各種不同的方法。顯然，后者事實上也就從另一個角度更為清楚地表明了“互補與整合”確應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個重要特點。

最后，我們應(yīng)清楚地看到在形式和直覺之間所存在的重要的互補關(guān)系。特別是，就由“日常數(shù)學(xué)”向“學(xué)校數(shù)學(xué)”的過渡而言，不應(yīng)被看成對于學(xué)生原先所已發(fā)展起來的素樸直覺的徹底否定；毋寧說，在此所需要的就是如何通過學(xué)校的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)使之“精致化”，以及隨著認(rèn)識的深化不斷發(fā)展起新的數(shù)學(xué)直覺。在筆者看來，我們應(yīng)當(dāng)從這樣的角度去理解《課程標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)“數(shù)感”的論述，這就是，課程內(nèi)容的學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)努力“發(fā)展學(xué)生的數(shù)感”，而后者又并非僅僅是指各種相關(guān)的能力，如計算能力等，還包含“直覺”的含義，即對于客觀事物和現(xiàn)象數(shù)量方面的某種敏感性，包括能對數(shù)的相對大小作出迅速、直接的判斷，以及能夠根據(jù)需要作出迅速的估算。當(dāng)然，作為問題的另一方面，我們又應(yīng)明確地肯定幫助學(xué)生牢固地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)基本知識與基本技能的重要性，特別是，在需要的時候能對客觀事物和現(xiàn)象的數(shù)量方面作出準(zhǔn)確的刻畫和計算，并能對運算的合理性作出適當(dāng)?shù)恼f明──顯然，后者事實上已超出了“直覺”的范圍，即主要代表了一種自覺的努力。

值得指出的是，除去“形式”和“直覺”以外，著名數(shù)學(xué)教育家費施拜因曾突出地強調(diào)了“算法”的掌握對于數(shù)學(xué)的特殊重要性。事實上，即使就初等數(shù)學(xué)而言我們也可清楚地看出“算法化”的意義。這正如吳文俊先生所指出的：“四則難題制造了許許多多的奇招怪招。但是你跑不遠(yuǎn)、走不遠(yuǎn)，更不能騰飛??可是你要一引進(jìn)代數(shù)方法，這些東西就都變成了不必要的、平平淡淡的。你就可以做了，而且每個人都可以做，用不著天才人物想出許多招來才能做，而且他可以騰飛，非但可以跑得很遠(yuǎn)而且可以騰飛?！?/p>

[8]這正是數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的一個基本事實，即一種重要算法的形成往往就標(biāo)志著數(shù)學(xué)的重要進(jìn)步。也正因為此，費施拜因?qū)⑿问?、直覺與算法統(tǒng)稱為“數(shù)學(xué)的三個基本成分”，并專門撰文對這三者之間的交互作用進(jìn)行了分析。顯然，就我們目前的論題而言，這也就更為清楚地表明了“互補與整合”確應(yīng)被看成數(shù)學(xué)思維的一個重要特點。

綜上可見，即使是小學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)內(nèi)容也同樣體現(xiàn)了一些十分重要的數(shù)學(xué)思維形式及其特征性質(zhì)，因此，在教學(xué)中我們應(yīng)作出切實的努力以很好地落實“幫助學(xué)生學(xué)會基本的數(shù)學(xué)思想方法”這一重要目標(biāo)。

第五篇：數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

數(shù)學(xué)思維與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)

內(nèi)容摘要：數(shù)學(xué)教學(xué)的最終目的是使學(xué)生學(xué)會一種學(xué)習(xí)方法。隨著社會的進(jìn)步，人們逐漸認(rèn)識到小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的首要目標(biāo)是培養(yǎng)孩子的自主能力，培養(yǎng)孩子的智商。因此，小學(xué)數(shù)學(xué)教育的重點應(yīng)該是培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。這也是教學(xué)的重任和測試教學(xué)質(zhì)量的關(guān)建。本文提到了數(shù)學(xué)思維的概念，講到了小學(xué)數(shù)學(xué)教育要具備的基本功和通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要養(yǎng)成的思想方法。

關(guān)健詞：數(shù)學(xué)思維 小學(xué)數(shù)學(xué) 基本功

思維即人腦對客觀現(xiàn)實的一種反應(yīng)和概括，同時還夾雜著自己的主觀意識。從數(shù)學(xué)的角度對問題進(jìn)行分析，并提出解決問題的方法稱作數(shù)學(xué)思維。而數(shù)學(xué)本身是對模式的一種研究，是一種抽象化的過程。數(shù)學(xué)將具體的問題普遍化、抽象化為一個純粹的數(shù)學(xué)問題，并通過抽象 的模式 解決實際問題。所以，對小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)來講，以他們生活中熟悉的具體事物為依據(jù)，逐步開始以數(shù)學(xué)抽象的思維方式去進(jìn)行分析。

一.數(shù)學(xué)思維的概念

數(shù)學(xué)思維是一種有條件的，按部就班的，循序漸進(jìn)的思維方式，主要以判斷、推理等概念性的思維形式為主要依據(jù)，是小學(xué)生數(shù)學(xué)能力的核心體現(xiàn)。所以，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，需要重點培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，兒童時期是邏輯思維和數(shù)學(xué)概念形成的初期。數(shù)學(xué)知識本身就具有高度的邏輯性和抽象性，所以孩子通過邏輯推理和數(shù)學(xué)思考可以鍛煉他們的分析問題，解決問題的能力，幫助孩子開發(fā)大腦潛能，提高孩子的創(chuàng)造力。

二.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本功的訓(xùn)練與提高

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本功之一――數(shù)學(xué)語言運用準(zhǔn)確。作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師，首先要具備講數(shù)學(xué)語言的能力。數(shù)學(xué)教師在運用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行教學(xué)的時候，盡量要做到思路清晰、表述準(zhǔn)確、語言簡潔。把復(fù)雜話變簡單，把簡單的話變成容易讓學(xué)生聽懂。保證每個學(xué)生都能準(zhǔn)確把握教學(xué)內(nèi)容。比如，一些數(shù)學(xué)老師經(jīng)常會說這樣一句話：“15這個數(shù)字”，其實這是一個技術(shù)性的錯誤，數(shù)字只有0～9這十個，而15是個數(shù)，并非數(shù)字。如果老師在講課中不強調(diào)清楚，就會給學(xué)生留下一個錯誤的概念，不能準(zhǔn)確的區(qū)分，數(shù)和數(shù)字的差別。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本功之二――會寫，會畫。板書是指教師根據(jù)課堂教學(xué)的需要，在黑板上書寫的文字、符號、以及繪制的圖表。一個完整的板書可以反映教師的許多基本技能，因此教師應(yīng)重視板書的設(shè)計，注重基本功的訓(xùn)練。數(shù)學(xué)教學(xué)板書不是單一的，有很多內(nèi)容往往要用圖形來表達(dá)。因此，作為小學(xué)數(shù)學(xué)教師還要具備繪畫的能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本功之三――會制作教具。小學(xué)生的思維正處于從具體形象思維到抽象邏輯思維的過渡階段。在小學(xué)，可以提供一些教具，但不能完全滿足教學(xué)的需要。當(dāng)我們找不到合適的教具時，教師不得不自己動手，以達(dá)到教學(xué)效果。這就要求教師要具有，會制作教具的能力。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)基本功之四――制作試卷。對于一些信息閉塞的山村學(xué)校來說，教師的這項基本功就變的更加重要。教師要根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)、教學(xué)內(nèi)容和學(xué)生的實際情況，制定相應(yīng)的試卷，來測試學(xué)生的水平，改進(jìn)教學(xué)方法，以便促進(jìn)教學(xué)質(zhì)量的提高，縮小與城市學(xué)校的差距。

三.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)要從不同的角度分析問題，看待問題

事實證明，人的智力是有差別的。有些學(xué)生確實學(xué)不好數(shù)學(xué)，可能怎么教都學(xué)不好！對于這樣的學(xué)生，我們也不必強求，可以換一種思維去對待。我們可以這樣看待，他數(shù)學(xué)學(xué)不好，不一定語文學(xué)不好，他只要有一門學(xué)的好，或者有一門其他方面突出的技能，“三百六十行，行行出狀元”，他就能在社會上生存，就能發(fā)揮出自己的聰明才智，為社會做貢獻(xiàn)。同樣會得到別人的認(rèn)可?！斗钦\勿擾》的主持人孟非在主持的過程中，曾經(jīng)說過一句話，他說他上學(xué)的時候，數(shù)學(xué)考20分，英語考20分，語文考150分，滿分150分。就這樣，孟非成為了中國最著名的主持人之一。其實從不同的角度去看待問題就會有不同的結(jié)果，事實也是這樣，其實以上講的，就是一種數(shù)學(xué)思維，從不同的角度去看待問題，從不同的角度去解答問題，就像解數(shù)學(xué)題的時候，一道題可能有好幾種解法，其實在這個過程中就是在培養(yǎng)學(xué)生用不同的方法解決同一個問題的能力，這個角度不行，你換一個角度，說不定就會有不同的答案。

有句話說，授之以魚不如授之以漁，數(shù)學(xué)教學(xué)不僅僅是教受學(xué)生數(shù)學(xué)課程，更多的是在傳授一種學(xué)習(xí)方法，在學(xué)習(xí)的過程中，提升學(xué)生的思維能力，解決問題的能力。其實在這個過程中鍛煉的，是人的思考方式。做為一名小?W數(shù)學(xué)老師，應(yīng)該盡量開發(fā)學(xué)生的潛能，打開他們的思維能力，以達(dá)到教育的目的。

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（作者單位：重慶市墊江縣鳳山小學(xué)）