第一篇：高二數(shù)學(xué)推理與證明知識(shí)點(diǎn)與習(xí)題

推理與證明

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1.推理 ：前提、結(jié)論

2.合情推理:

合情推理可分為歸納推理和類比推理兩類：

（1）歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理

（2）類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象具有的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理。

3.演繹推理:

從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。

重難點(diǎn)：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進(jìn)行證明

題型1用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律

；?.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,b

?成立的一個(gè)條件可以是____.點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22，故a?b?222、蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂

巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂

巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖

有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以

f(n)表示第一、推理 n幅圖的蜂巢總數(shù).則

f(4)=_____;f(n)=___________.【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關(guān)系式

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?

1【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系 題型2用類比推理猜想新的命題 [例 ]已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的是______.【解題思路】從方法的類比入手 [解析]原問題的解法為等面積法，即S?等體積法，V?，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論

3111

ah?3?ar?r?h，類比問題的解法應(yīng)為223

1111

Sh?4?Sr?r?h即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高 334

4【名師指引】（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比

（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等

二、直接證明與間接證明

三種證明方法:

綜合法、分析法、反證法

反證法：它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

(2)根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止(3)斷言假設(shè)不成立

(4)肯定原命題的結(jié)論成立

重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題 考點(diǎn)1綜合法

在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC [解析]??ABC為銳角三角形，?A?B?

?

?A?

?

?B，?y?sinx在(0,)上是增函數(shù)，?sinA?sin(?B)?cosB

2同理可得sinB?cosC，sinC?cosA

??

?sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

考點(diǎn)2分析法

已知a?b?0,求證a?b?a?b

[解析]要證a??a?b，只需證(a?)2?(a?b)2即a?b?2ab?a?b，只需證b?

ab，即證b?a

顯然b?a成立，因此a??a?b成立

【名師指引】注意分析法的“格式”是“要證---只需證---”，而不是“因?yàn)?--所以---” 考點(diǎn)3反證法已知f(x)?a?

x

x?2

(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根 x?

1【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾[解析]假設(shè)x0是f(x)?0的負(fù)數(shù)根，則x0?0且x0??1且a

x0

??

x0?2

x0?1

?0?ax0?1?0??

1x0?2

?1，解得?x0?2，這與x0?0矛盾，2x0?1

故方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根

【名師指引】否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多

三、數(shù)學(xué)歸納法

一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)

步驟:

(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k

(k?N?,且k?n0)時(shí)命題成立,證明n=k+1時(shí)命題也成立.在完成了這兩個(gè)步驟后,就可以斷定命題對(duì)于不小于n0的所有正整數(shù)都成立.這種證明方法稱為數(shù)學(xué)歸納法.考點(diǎn)1數(shù)學(xué)歸納法

題型：對(duì)數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟的認(rèn)識(shí)

[例1 ] 已知n是正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，若已假設(shè)n=k（k?2且為偶數(shù)）時(shí)命題為真，則還需證明（）

A.n=k+1時(shí)命題成立B.n=k+2時(shí)命題成立C.n=2k+2時(shí)命題成立D.n=2（k+2）時(shí)命題成立

[解析] 因n是正偶數(shù)，故只需證等式對(duì)所有偶數(shù)都成立，因k的下一個(gè)偶數(shù)是k+2，故選B 【名師指引】用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，要注意觀察幾個(gè)方面：（1）n的范圍以及遞推的起點(diǎn)（2）觀察首末兩項(xiàng)的次數(shù)（或其它），確定n=k時(shí)命題的形式f(k)（3）從f(k?1)和f(k)的差異，尋找由k到k+1遞推中，左邊要加（乘）上的式子 考點(diǎn)2數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用

題型1：用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)學(xué)命題

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式?2?2?3???n(n?1)?

(n?1)2

2[解析]（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=2，右=2，不等式成立（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即?2?則?2?

2?3???k(k?1)?

(k?1)2 2

2?3???k(k?1)?(k?1)(k?2)?

(k?1)2?(k?1)(k?2)2

1(k?2)2(k?1)?(k?2)2

?(k?1)?k?1)(k?2)??k?1)(k?2)??0 222

1??2?2?3???k(k?1)?(k?1)(k?2)?[(k?1)?1]2

?當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式也成立

綜合（1）（2），等式對(duì)所有正整數(shù)都成立

【名師指引】（1）數(shù)學(xué)歸納法證明命題，格式嚴(yán)謹(jǐn)，必須嚴(yán)格按步驟進(jìn)行；（2）歸納遞推是證明的難點(diǎn)，應(yīng)看準(zhǔn)“目標(biāo)”進(jìn)行變形；

（3）由k推導(dǎo)到k+1時(shí)，有時(shí)可以“套”用其它證明方法，如：比較法、分析法等，表現(xiàn)出數(shù)學(xué)歸納法“靈活”的一面

習(xí)題

1、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（）。(A)假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；(B)假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；

(C)假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；(D)假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。

2、在十進(jìn)制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為（）A.29B.254C.602D.200

41?an?

23、利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a＋?＋a=，(a≠1，n∈N)”時(shí)，在驗(yàn)證n=

11?a

n＋1

成立時(shí)，左邊應(yīng)該是（）

3(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a(D)1＋a＋a＋a4、用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n?1)(n?2)?(n?n)?2n?1?2???(2n?1)”（n?N?）時(shí)，從 “n?k到n?k?1”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是

A．2k?

1B．2(2k?1)

C．

D．

（）

2k?1

k?12k?

2k?15、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1?

1111111??????2(????)時(shí)，若已假設(shè)n?k(k?2為偶 234n?1n?2n?42n

（）

B．n?k?2時(shí)等式成立 D．n?2(k?2)時(shí)等式成立

數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證

A．n?k?1時(shí)等式成立 C．n?2k?2時(shí)等式成立

6、否定結(jié)論“至多有兩個(gè)解”的說(shuō)法中，正確的是()

A．有一個(gè)解B．有兩個(gè)解 C．至少有三個(gè)解

D．至少有兩個(gè)解

7、否定“自然數(shù)a、b、c中恰有一個(gè)偶數(shù)”時(shí)的正確反設(shè)為()

A．a(chǎn)、b、c都是奇數(shù)C．a(chǎn)、b、c都是偶數(shù)

B．a(chǎn)、b、c或都是奇數(shù)或至少有兩個(gè)偶數(shù) D．a(chǎn)、b、c中至少有兩個(gè)偶數(shù)

8、已知：a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0.求證：a>0，b>0，c>0.9、已知a，b，c∈(0,1)．求證：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a不能同時(shí)大于.10、（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：n?5n能被6整除；

（2）求證 n3?(n?1)3?(n?2)3(n∈N)能被9整除

*

11、若a,b,c均為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。,求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0。

12、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1?

13、用數(shù)學(xué)歸納法證明下述不等式：

1111?????n?n； 2342?1

11119

??????(n?N?,且n?2).n?1n?2n?33n10

第二篇：高二數(shù)學(xué)推理與證明習(xí)題

高二數(shù)學(xué)推理與證明單元測(cè)試卷

一、選擇題：

1、下列表述正確的是（）.①歸納推理是由部分到整體的推理；②歸納推理是由一般到一般的推理；③演繹推理是由一般到特殊的推理；④類比推理是由特殊到一般的推理；⑤類比推理是由特殊到特殊的推理.A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.2、下面使用類比推理正確的是（）.A.“若a?3?b?3,則a?b”類推出“若a?0?b?0,則a?b”

B.“若(a?b)c?ac?bc”類推出“(a?b)c?ac?bc”

a?bab” ??（c≠0）ccc

nnD.“（ab）?anbn” 類推出“（a?b）?an?bn” C.“若(a?b)c?ac?bc” 類推出“

3、有一段演繹推理是這樣的：“直線平行于平面,則平行于平面內(nèi)所有直線；已知直線 b??平面?，直線a?平面?，直線b∥平面?，則直線b∥直線a”的結(jié)論顯然是錯(cuò)誤?的，這是因?yàn)椋ǎ?/p>

A.大前提錯(cuò)誤B.小前提錯(cuò)誤C.推理形式錯(cuò)誤D.非以上錯(cuò)誤

4、用反證法證明命題：“三角形的內(nèi)角中至少有一個(gè)不大于60度”時(shí)，反設(shè)正確的是（）。

(A)假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度；(B)假設(shè)三內(nèi)角都大于60度；

(C)假設(shè)三內(nèi)角至多有一個(gè)大于60度；(D)假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個(gè)大于60度。

5、在十進(jìn)制中2004?4?100?0?101?0?102?2?103，那么在5進(jìn)制中數(shù)碼2004折合成十進(jìn)制為（）

A.29B.254C.602D.20046、利用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋a＋a＋?＋a2n＋11?an?

2=，(a≠1，n∈N)”時(shí)，在驗(yàn)證n=11?a

成立時(shí)，左邊應(yīng)該是（）

(A)1(B)1＋a(C)1＋a＋a2(D)1＋a＋a2＋a37、某個(gè)命題與正整數(shù)n有關(guān)，如果當(dāng)n?k(k?N?)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n?k?1時(shí)命題也成立.現(xiàn)已知當(dāng)n?7時(shí)該命題不成立，那么可推得

8、用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n?1)(n?2)?(n?n)?2?1?2???(2n?1)”（n?N?）時(shí)，/ 6

n（）A．當(dāng)n=6時(shí)該命題不成立 C．當(dāng)n=8時(shí)該命題不成立 B．當(dāng)n=6時(shí)該命題成立 D．當(dāng)n=8時(shí)該命題成立

從 “n?k到n?k?1”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是

9、已知n為正偶數(shù)，用數(shù)學(xué)歸納法證明1?

A．2k?

1B．2(2k?1)

C．

D．

（）

2k?1

k?12k?

2k?1

1111111??????2(????)時(shí)，若已假設(shè)n?k(k?2為偶 234n?1n?2n?42n

（）

B．n?k?2時(shí)等式成立 D．n?2(k?2)時(shí)等式成立

數(shù)）時(shí)命題為真，則還需要用歸納假設(shè)再證

A．n?k?1時(shí)等式成立 C．n?2k?2時(shí)等式成立

10、數(shù)列?an?中，a1=1，Sn表示前n項(xiàng)和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數(shù)列，通過計(jì)算S1，S2，S3，猜想當(dāng)n≥1時(shí)，Sn=

（）

2n?

1A．n?1

22n?1B．n?1

C．

n(n?1)

n

D．1－

2n?111、根據(jù)下列圖案中圓圈的排列規(guī)律，第2008個(gè)圖案的組成情形是()．

A．其中包括了l003×2008 +1個(gè)◎B．其中包括了l003×2008 +1個(gè)●C．其中包括了l004×2008個(gè)◎D．其中包括了l003×2008個(gè)●

12、在實(shí)數(shù)的原有運(yùn)算法則中，我們補(bǔ)充定義新運(yùn)算“當(dāng)a＜b時(shí)，.則函數(shù)

”如下：當(dāng)a≥b時(shí)，；的最大值等于（）

A．―1B．1C．6D．1

2填空題：

13、一同學(xué)在電腦中打出如下若干個(gè)圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●?若將此若干個(gè)圈依此規(guī)律繼續(xù)下去,得到一系列的圈,那么在前120個(gè)圈中的●的個(gè)數(shù)是。

14、類比平面幾何中的勾股定理：若直角三角形ABC中的兩邊AB、AC互相垂直，則三角形三邊長(zhǎng)之間滿足關(guān)系：AB2?AC2?BC2。若三棱錐A-BCD的三個(gè)側(cè)面ABC、ACD、ADB兩兩互相垂直，則三棱錐的側(cè)面積與底面積之間滿足的關(guān)系為.15、從1=1，1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,1-4+9-16=-(1+2+3+4),?,推廣到第n個(gè)等式為_________________________.16、設(shè)平面內(nèi)有ｎ條直線(n?3)，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點(diǎn)．若用f(n)表示這ｎ條直線交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，則f(4)=； 當(dāng)ｎ＞４時(shí)，三、解答題：

17、（8分）求證：(1)6+7>22+

5(2)a2?b2?3?ab?a?b)

18、用數(shù)學(xué)歸納法證明：n?5n能被6整除；

19、若a,b,c均為實(shí)數(shù)，且錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。,錯(cuò)誤！未找到引用源。,求證：a，b，c中至少有一個(gè)大于0。

20、用數(shù)學(xué)歸納法證明： 1?

f(n)＝（用含n的數(shù)學(xué)表達(dá)式表示）。

1111?????n?n；2342?

121、觀察（1）tan10tan20?tan20tan60?tan60tan10?1;

（2）tan5tan10?tan10tan75?tan75tan5?1 由以上兩式成立，推廣到一般結(jié)論，寫出你的推論并加以證明。

000000

00000022、已知正項(xiàng)數(shù)列?an?和{bn}中，a1 = a（0＜a＜1），b1?1?a 當(dāng)n≥2時(shí)，an?an?1bn，bn?

n?

1(1)證明：對(duì)任意n?N，有an?bn?1；(2)求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；

(3)記cn?anbn?1，Sn為數(shù)列?cn?的前n項(xiàng)和，求Sn

*

高二數(shù)學(xué)選修2-2《推理與證明測(cè)試題》答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分.DCABBCABBB AC

二、填空題：本大題共4小題，每小題3分，共12分.13、1414、錯(cuò)誤！未找到引用源。15、16、5三、解答題：本大題共6題，共58分。

17、證明：（1）∵a2?b2?

2ab,a2?3?,b2?3?;

將此三式相加得

2(a2?b2?3)?2ab??,∴a2?b2?3?aba?b).（2）要證原不等式成立，2

2只需證（6+7）>（22+5），即證242?240。∵上式顯然成立,∴原不等式成立.18、可以用綜合法與分析法---略

19、可以用反證法---略

20、（1）可以用數(shù)學(xué)歸納法---略（2）當(dāng)n?k?1時(shí)，左邊?(1?

1111???k)?(k???k?1)?k? 22?122?

11111

（k?k???k）?k?2k?k?k?1=右邊，命題正確 22

22k項(xiàng)

21、可以用數(shù)學(xué)歸納法---略

22、解：

（1）證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明

① 當(dāng)n=1時(shí)，a1+b1=a+（1-a）=1，命題成立：②假設(shè)n=k（k≥1且k?N*）時(shí)命題成立，即ak+bk=1，則當(dāng)n?k?1時(shí)，ak?1?bk?1?akbk?1=

akbk

21?ak

?

bk

21?ak

?

bk?1?ak?

21?ak

?

bkb

?k?1 1?akbk

∴當(dāng)n?k?1時(shí)，命題也成立綜合①、②知，an?bn?1對(duì)n?N*

（2）解；∵an?1?anbn?1?1an?1

anbn

21?an

?

an?1?an?

21?an

?

1?anan11???1，即，∴

an?1anan1?an

?

?1?1

?1③∴數(shù)列??是公差為1的等差數(shù)列，其首項(xiàng)是an?an?

1111∴ ?，???n?1??1，從而an?

a1aana2

（3）解：∵cn?anbn?1?an?anbn?1??anan?1，③式變形為anan?1?an?an?1，∴cnan?an?1，∴Sn?c1?c2???cn??a1?a2???a2?a3?????an?an?1??a1?an?1?a?∴l(xiāng)imSn?lim?a?

n??

a

1?na

?n???a?

?? 1?na?

第三篇：推理與證明習(xí)題專題

推理與證明練習(xí)題

一、選擇題：

1、用反證法證明：“a,b至少有一個(gè)為0”，應(yīng)假設(shè)（）A.a,b沒有一個(gè)為0B.a,b只有一個(gè)為0C.a,b至多有一個(gè)為0D.a,b兩個(gè)都為0

2、若函數(shù)f(x)sinx是?為周期的奇函數(shù)，則f(x)可以是（）（A）sin2x（B）cos2x（C）sinx（D）cosx

3、設(shè)函數(shù)f(x)??

??1,x?0?1,x?0，則

(a?b)?(a?b)f(a?b)

2(a?b)的值為（）

AaB b a,b中較小的數(shù)Da,b中較大的數(shù)

4、設(shè)a、b、m都是正整數(shù)，且a?b，則下列不等式中恒不成立的是（）（A）

ab?a?mb?m

?1（B）

1b,b?

ab1c?a?mb?m

1（C）

ab

?

a?mb?m

?1（D）1?

a?mb?m

?

ab5、設(shè)a,b,c?(??,0),則a?

a

A都不大于?2B都不小于?2C 至少有一個(gè)不大于?2D 至少有一個(gè)不小于?2

6、平面內(nèi)有n個(gè)圓，其中每?jī)蓚€(gè)都相交于兩點(diǎn)，每三個(gè)點(diǎn)都無(wú)公共點(diǎn)，它們將平面分成f(n)塊區(qū)域，,c?（）

有f(1)?2，f(2)?4，f(3)?8，則f(n)?（）（A）2（B）2?(n?1)(n?2)(n?3)（C）n?n?2（D）n?5n?10n?4

7、設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)且f(x)?

1?f(x?2)1?f(x?2)

n

n

32，且f(3)?2?

3?

3，則f(2007)?（）

（A）3?2（B）3?2（C）2?

8、用數(shù)學(xué)歸納法證明

1n?

1?

1n?

2?

1n?

3??

3（D）?2??112

4n?n1，n?N時(shí)，由n=k到n=k+1時(shí)，不等式

左邊應(yīng)該添加的項(xiàng)是（）（A）（C）

12(k?1)12k?1

?

（B）

12k?2

?

1k?1

2k?11

?

12k?212k?2

?

1k?1

?

1k?2

（D）

2k?1

?

9、已知數(shù)列{xn}滿足xn?1?xn?xn?1（n?2），x1?a，x2?b，Sn?x1?x2???xn，則下面正確的是（）

（A）x100??a，S100?2b?a（B）x100??b，S100?2b?a（C）x100??b，S100?b?a（D）x100??a，S100?b?a10、、數(shù)列?an?中，a1=1，Sn表示前n項(xiàng)和，且Sn，Sn+1，2S1成等差數(shù)列，通過計(jì)算S1，S2，S3，猜

想當(dāng)n≥1時(shí)，Sn=

A．

2n

（）

2n

?

1n?1

222211、已知f(x)是R上的偶函數(shù)，對(duì)任意的x?R都有f(x?6)?f(x)?f(3)成立，若f(1)?2，則

B．

?

1n?1

C．

n(n?1)

n

D．1－

n?1

f(2007)?（）

（A）2007（B）2（C）1（D）0 12、已知函數(shù)f(x)?lg

1?x1?x，若f(a)?b，則f(?a)?（）

1b

（A）b（B）?b（C）（D）?

1b

*

13、已知數(shù)列{an}中，a1?1，a?2an?1n?N，且n?2），則a9可能是：（）

n

2?an?

1A、1B、2C、1D、?

1ax

n

91x

?2,x?

4x14、已知a?R，不等式x?

n

?3,?，可推廣為x?

2(n?1)

?n?1,則a的值（）

n

A 2BnC 2Dn15、定義A㊣B、B㊣C、C㊣D、D㊣A的運(yùn)算分別對(duì)應(yīng)下圖中的（1）、（2）、（3）、（4）。

（1）））則圖中的甲、乙的運(yùn)算式可以表示為：（A、B㊣D、C㊣AB、B㊣D、A㊣C

C、D㊣B、C㊣AD、D㊣B、A㊣乙

16、根據(jù)下列圖案中圓圈的排列規(guī)律，第2008個(gè)圖案組成的情形是：（）●☆☆☆●●●

☆●☆●☆●☆●☆●☆●●●☆☆● A、其中包括了1004×2008個(gè)☆B、其中包括了1003×2008+1個(gè)☆ C、其中包括了1003×2008+1個(gè)●D、其中包括了1003×2008個(gè)●

二、填空題：

17、從下列式子1，1+2+1，1+2+3+2+1，1+2+3+4+3+2+1，…計(jì)算得出的結(jié)果能得的一般性結(jié)論是_________________________________________________

18、已知a,b是不相等的正數(shù)，x?

a?

2b,y?a?b，則x,y的大小關(guān)系是

19、若數(shù)列?an?中，a1?1,a2?3?5,a3?7?9?11,a4?13?15?17?19,...則a10?____20、f(n)?1?

2?

3?????

1n

(n?N?)，經(jīng)計(jì)算的f(2)?

32,f(4)?2,f(8)?

52,f(16)?3,f(32)?

72，推測(cè)當(dāng)n?2時(shí)，有

21、若數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式an?

1(n?1)

(n?N?)，記f(n)?(1?a1)(1?a2)???(1?an)，試通過

計(jì)算f(1),f(2),f(3)的值，推測(cè)出_______________________

22、為了保證信息安全傳輸，有一種稱為秘密密鑰密碼系統(tǒng)，其加密、解密原理如下圖：現(xiàn)在加密密

??密文????密文??????明文。鑰為y?loga(x?4)，明文????如上所示，明文“4”

加密密鑰密碼發(fā)送解密密鑰密碼

通過加密加密后得到“3”再發(fā)送，接受方通過解密鑰解密得明文“4”，問若接受方接到密文為“4”，則解密后得明文是______________________。

23、在等差數(shù)列?an?中，（n?29且n?N）若a20?0，則有a1?a2?a3???an?a1?a2???a39?n 成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列?bn?中，若b20?1，則存在怎樣的等式________________________.24、半徑為r的圓的面積S(r)＝?r,周長(zhǎng)C(r)=2?r，若將r看作(0，＋∞)上的變量，則(?r)`

1，＝2?r○

1式可以用語(yǔ)言敘述為：圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長(zhǎng)函數(shù)?！?/p>

1的式對(duì)于半徑為R的球，若將R看作(0，＋∞)上的變量，請(qǐng)你寫出類似于○子：?！?/p>

2式可以用語(yǔ)言敘述為：?！?/p>

*

25、若f(x)?

4x

x

?

2，則f（1100

1)?f（26、已知數(shù)列?an?滿足a1?2，an?

110011001

1?an*?（n?N），則a3的值為，1?an)???f（1000)=_____________。

a1?a2?a3???a2007的值為．

三、解答題：

27、已知a + b + c > 0，ab + bc + ca > 0，abc > 0，用反證法證明：a, b, c > 028、已知：0?a?1，求證：

1a?

41?a

?9

2n?

2?8n?9能被64整除。29、試證當(dāng)n為正整數(shù)時(shí)，f(n)?

330、是否存在常數(shù)a,b,c使等式

1?(n?1)?2?(n?2)???n?(n?n)?an?bn?c對(duì)一切正整數(shù)n成立？ 并證明你的結(jié)論。

31、由下列各式：1﹥

2，1+

?

3﹥1，1+

?

?

4?

5?

?

﹥

32，1+

?

????

115

﹥2，你能得出怎樣的結(jié)論，并進(jìn)行證明。

32、已知f?1??0,af?n??bf?n?1??1,n?2,a?0,b?0(1)求f?3?,f?4?,f?5?

(2)推測(cè)f?n?的表達(dá)式,并給出證明.33、已知數(shù)列{an}滿足Sn＋an＝2n＋1,(1)寫出a1, a2, a3,并推測(cè)an的表達(dá)式；(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明所得的結(jié)論。（12分）

第四篇：《推理與證明》知識(shí)點(diǎn)

《推理與證明》

知識(shí)結(jié)構(gòu)

一、推理

1.推理 ：前提、結(jié)論

2.合情推理:

合情推理可分為

歸納推理和類比推理兩類：

（1）歸納推理：由某類事物的部分對(duì)象具有某些特征，推出該類事物的全部對(duì)象具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理。簡(jiǎn)言之，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理.（2）類比推理：由兩類對(duì)象具有某些類似特征和其中一類對(duì)象具有的某些已知特征，推出另一類對(duì)象也具有這些特征的推理，簡(jiǎn)言之，類比推理是由特殊到特殊的推理.3.演繹推理:

從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論的推理叫演繹推理，簡(jiǎn)言之，演繹推理是由一般到特殊的推理。

重難點(diǎn)：利用合情推理的原理提出猜想，利用演繹推理的形式進(jìn)行證明

題型1用歸納推理發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1、；?.對(duì)于任意正實(shí)數(shù)a,b，?成立的一個(gè)條件可以是____.點(diǎn)撥：前面所列式子的共同特征特征是被開方數(shù)之和為22，故a?b?222、蜜蜂被認(rèn)為是自然界中最杰出的建筑師，單個(gè)蜂

巢可以近似地看作是一個(gè)正六邊形，如圖為一組蜂 巢的截面圖.其中第一個(gè)圖有1個(gè)蜂巢，第二個(gè)圖

有7個(gè)蜂巢，第三個(gè)圖有19個(gè)蜂巢，按此規(guī)律，以

f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=_____;f(n)=___________.【解題思路】找出f(n)?f(n?1)的關(guān)系式

[解析]f(1)?1,f(2)?1?6,f(3)?1?6?12,?f(4)?1?6?12?18?37

?f(n)?1?6?12?18???6(n?1)?3n2?3n?

1【名師指引】處理“遞推型”問題的方法之一是尋找相鄰兩組數(shù)據(jù)的關(guān)系

題型2用類比推理猜想新的命題

[例]已知正三角形內(nèi)切圓的半徑是高的【解題思路】從方法的類比入手

[解析]原問題的解法為等面積法，即S?1，把這個(gè)結(jié)論推廣到空間正四面體，類似的結(jié)論是______.3111ah?3?ar?r?h，類比問題的解法應(yīng)為等體積法，22

31111V?Sh?4?Sr?r?h即正四面體的內(nèi)切球的半徑是高 334

4【名師指引】（1）不僅要注意形式的類比，還要注意方法的類比

（2）類比推理常見的情形有：平面向空間類比；低維向高維類比；等差數(shù)列與等比數(shù)列類比；實(shí)數(shù)集的性質(zhì)向復(fù)數(shù)集的性質(zhì)類比；圓錐曲線間的類比等

二、直接證明與間接證明

三種證明方法:

綜合法、分析法、反證法

反證法：它是一種間接的證明方法.用這種方法證明一個(gè)命題的一般步驟：

(1)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；

(2)根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理,直到推理中導(dǎo)出矛盾為止

(3)斷言假設(shè)不成立

(4)肯定原命題的結(jié)論成立

重難點(diǎn)：在函數(shù)、三角變換、不等式、立體幾何、解析幾何等不同的數(shù)學(xué)問題中，選擇好證明方法并運(yùn)用三種證明方法分析問題或證明數(shù)學(xué)命題

考點(diǎn)1綜合法

在銳角三角形ABC中,求證:sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

[解析]??ABC為銳角三角形，?A?B??

2?A??

2?B，?y?sinx在(0,)上是增函數(shù)，?sinA?sin(?B)?cosB 2

2同理可得sinB?cosC，sinC?cosA ??

?sinA?sinB?sinC?cosA?cosB?cosC

考點(diǎn)2分析法

已知a?b?0,求證a?b?a?b

[解析]要證a??a?b，只需證(a?b)2?(a?b)2

即a?b?2ab?a?b，只需證b?ab，即證b?a

顯然b?a成立，因此a??a?b成立

【名師指引】注意分析法的“格式”是“要證---只需證---”，而不是“因?yàn)?--所以---”

考點(diǎn)3反證法已知f(x)?a?xx?2(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根 x?

1【解題思路】“正難則反”，選擇反證法，因涉及方程的根，可從范圍方面尋找矛盾

[解析]假設(shè)x0是f(x)?0的負(fù)數(shù)根，則x0?0且x0??1且ax0??x0?2 x0?1

?0?ax0?1?0??1x0?2?1，解得?x0?2，這與x0?0矛盾，2x0?1

故方程f(x)?0沒有負(fù)數(shù)根

【名師指引】否定性命題從正面突破往往比較困難，故用反證法比較多

三、數(shù)學(xué)歸納法

一般地,當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù)N的所有正整數(shù)n都成立時(shí),可以用以下兩個(gè)步驟:

(1)證明當(dāng)n=n0時(shí)命題成立;

(2)假設(shè)當(dāng)n=k（

第五篇：推理與證明知識(shí)點(diǎn)

第十二講推理與證明

數(shù)學(xué)推理與證明知識(shí)點(diǎn)總結(jié):

推理與證明：①推理是中學(xué)的主要內(nèi)容，是重點(diǎn)考察的內(nèi)容之一，題型為選擇題、填空題或解答題，難度為中、低檔題。利用歸納和類比等方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理的選擇題或填空題在近幾年的中考中都有所體現(xiàn)。②推理論證能力是中考考查的基本能力之一，它有機(jī)的滲透到初中課程的各個(gè)章節(jié)，對(duì)本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)先掌握其基本概念、基本原理，在此基礎(chǔ)上通過其他章節(jié)的學(xué)習(xí)，逐步提高自己的推理論證能力。第一講 推理與證明

一、考綱解讀：

本部分內(nèi)容主要包括：合情推理和演繹推理、直接證明與間接證明、數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容，其中推理中的合情推理、演繹推理幾乎涉及數(shù)學(xué)的方方面面的知識(shí)，代表研究性命題的發(fā)展趨勢(shì)。新課標(biāo)考試大綱將抽象概括作為一種能力提出，進(jìn)一步強(qiáng)化了合情推理與演繹推理的要求，因此在復(fù)習(xí)中要重視合情推理與演繹推理。高考對(duì)直接證明與間接證明的考查主要以直接證明中的綜合法為主，結(jié)合不等式進(jìn)行考查。

二、要點(diǎn)梳理：

1.歸納推理的一般步驟：(1)通過觀察個(gè)別事物，發(fā)現(xiàn)某些相同的性質(zhì);(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題。

2.類比推理的一般步驟：

(1)找出兩類事物之間的相似性或一致性;(2)用一類事物的性質(zhì)去推測(cè)另一類事物的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想)。

3.演繹推理

三段論及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情況;③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對(duì)特殊情況作出判斷。

4.直接證明與間接證明

①綜合法：利用某些已經(jīng)證明過的不等式和不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要證明的不等式成立，這種證明方法通常叫做綜合法。綜合法的思維特點(diǎn)是：由因?qū)Ч从梢阎獥l件出發(fā)，利用已知的數(shù)學(xué)定理、性質(zhì)和公式，推出結(jié)論。

②分析法：證明不等式時(shí)，有時(shí)可以從求證的不等式出發(fā)，分析使這個(gè)不等式成立的條件，把證明不等式轉(zhuǎn)化為判定這些條件是否具備的問題，如果能夠肯定這些條件都已具備，那么就可以斷定原不等式成立，這種方法通常叫做分析法。分析法的思維特點(diǎn)是：執(zhí)果索因。

③反證法：要證明某一結(jié)論A是正確的，但不直接證明，而是先去證明A的反面(非A)是錯(cuò)誤的，從而斷定A是正確的，即為反證法。一般地，結(jié)論中出現(xiàn)“至多”“至少”“唯一”等詞語(yǔ)，或結(jié)論以否定語(yǔ)句出現(xiàn)，或要討論的情況復(fù)雜時(shí)，?？紤]使用反證法。

主要三步是：否定結(jié)論 → 推導(dǎo)出矛盾 → 結(jié)論成立。

實(shí)施的具體步驟是：

第一步，反設(shè)：作出與求證結(jié)論相反的假設(shè)；第二步，歸謬：將反設(shè)作為條件，并由此通過一系列的正確推理導(dǎo)出矛盾；第三步，結(jié)論：說(shuō)明反設(shè)不成立，從而肯定原命題成立。

④數(shù)學(xué)歸納法：一般地，證明一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題P(n），有如下步驟：（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)命題成立。n0對(duì)于一般數(shù)列取值為0或1，但也有特殊情況；（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥n0，k為自然數(shù)）時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立。綜合（1）（2），對(duì)一切自然數(shù)n（≥n0），命題P(n）都成立。/ 1