第一篇：2012高中數(shù)學(xué)單元訓(xùn)練不等式的證明(一)

課時訓(xùn)練36不等式的證明

（一）【說明】 本試卷滿分100分，考試時間90分鐘.一、選擇題（每小題6分，共42分）1.設(shè)0＜x＜1，則a=2x,b=1+x,c=

中最大的一個是（）1?x

A.aB.bC.cD.不能確定 答案：C

解析：因0＜x＜1,故 1-x2＞0,即1+x＜

1221,b＜c,又1+x-2x=(x?)+＞0,故a＜1?x2

2b,即最大的是C.2.(2010北京東城區(qū)一模，4)已知a＜0,b＜-1,則下列不等式成立的是（）

aaaa＞2B.2＞＞a bbbbaaaaC.＞2＞aD.＞a＞2 bbbb

A.a＞答案：C

a

＞0,b＞-1.則b2＞1.b

1a

∴2＜1.又∵a＜0,∴0＞2＞a.bbaa

∴＞2＞a.故選C.bb

解析：∵a＜0,b＜-1,則

3.設(shè)a＞b＞0，則下列關(guān)系式成立的是（）A.ab＞(ab)C.aabb=(ab)答案：A 解析：ab÷(ab)

ab

ab

a?b2

B.ab＜(ab)

ab

a?b2a?b2的大小不確定

a?b2

D.aabb與(ab)

a?b2

a=()b

a?b2

a,因a＞b＞0,故ab＞1,a-b＞0,()

b

a?b2

＞1.4.設(shè)a,b∈R+，且ab-a-b≥1，則有（）

A.a+b≥2(2+1)B.a+b≤2+

1C.a+b＜2+1D.a+b＞2(2+1)答案：A

解析：由ab≥1+a+b?(5.若0＜x＜

a?b2)≥1+a+b,將a+b看作一整體即可.2

?,設(shè)a=2-xsinx,b=cos2x,則下式正確的是()2

A.a≥bB.a=bC.a＜bD.a＞b 答案：D

解析：a-b=2-xsinx-cos2x

x2?x2x2?2

=sinx-xsinx+1=(sinx-)+1-,因為0＜x＜,所以0＜＜＜1.所以a-b＞0.22441626.設(shè)a,b,c為△ABC的3條邊，且S=a2+b2+c2,P=ab+bc+ca,則()

A.S≥2PB.P＜S＜2PC.S＞PD.P≤S＜2P 答案：D

解析：2(S-P)=2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ac=(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2≥0,∴S≥P.2P=2ab+2bc+2ca=(ab+bc)+(bc+ca)+(ca+ab)=b(a+c)+c(a+b)+a(c+b)＞b2+c2+a2=S,∴2P＞S.7.若a,xy∈R+,且x+y≤ax?y恒成立，則a的最小值是()A.22B.2C.2D.1 答案：B

解析：因(x?y

x?y)2=1+2xy2xy≤1+=2, x?yx?y

故x?y

x?y的最大值為2.即amin=2.二、填空題（每小題5分，共15分）

8.在△ABC中，三邊a、b、c的對角分別為A、B、C，若2b=a+c，則角B的范圍是___________.答案：0＜B≤?

3a2?c2?b23a2?3c2?2ac29a2c2?2ac1?解析：cosB=≥?.2ac8ac8ac

2∴0＜B≤?.339.已知ab+bc+ca=1，則當(dāng)____________時，|a+b+c|取最小值_________________.答案：a=b=c=

解析：|a+b+c|2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥3ab+3bc+3ac=3.10.民用住宅的窗戶面積必須小于地板面積，但按采光標(biāo)準(zhǔn)，窗戶面積與地板面積的比應(yīng)不小于10%，并且這個比越大，采光條件越好，則同時增加相等的窗戶面積與地板面積，采光條件變_____________（填“好”或“壞”）.答案：好 解析：設(shè)窗戶面積為a，地板面積為b，則a＜b,且aa?ma?.≥10%,設(shè)增加面積為m，易知bb?mb

三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分）

11.已知函數(shù)f(x)=x2+ax+b,當(dāng)p、q滿足p+q=1時，試證明pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)對任意實數(shù)x、y都成立的充要條件是：0≤p≤1.證明：pf(x)+qf(y)-f(px+qy)

=p(x2+ax+b)+q(y2+ay+b)-(px+qy)2-a(px+qy)-b

=p(1-p)x2+q(1-q)y2-2pqxy

=pq(x-y)2.∵(x-y)2≥0,∴欲使pq(x-y)2≥0對任意x、y都成立，只需pq≥0?p(1-p)≥0?p(p-1)≤0?0≤p≤1.故0≤p≤1是pf(x)+qf(y)≥f(px+qy)成立的充要條件.12.若a、b∈R+且a+b=1,求證：a?11?b?≤2.2

2證明：a?11?b?≤2 22

11?b?≤4 22?a+b+1+2a?

?a?

?ab+11?b?≤1 22a?b1+≤1 2

41?ab≤.4

a?b21∵ab≤()=成立, 24

∴原不等式成立.13.已知a、b、x、y∈R+且11?,x＞y.ab

求證:xy?.x?ay?b

證法一：（作差比較法）∵xybx?ay??, x?ay?b(x?a)(y?b)

11?且，a、b∈R+, ab又

∴b＞a＞0.又x＞y＞0,∴bx＞ay.∴bx?ayxy?＞0，即.(x?a)(y?b)x?ay?b

證法二：（分析法）

∵x、y、a、b∈R+,∴要證

0,∴b＞a＞0.又x＞y＞0,14.給出不等式11xy,只需證明x(y+b)＞y(x+a),即證xb＞ya,而同?＞?abx?ay?bxb＞ya顯然成立，故原不等式成立.≥x2?1?c

x2?c1?c(x∈R).經(jīng)驗證：當(dāng)c=1,2,3時，對于x取一切實數(shù)，不等式c

都成立，試問c取任何正數(shù)時，不等式對任何實數(shù)x是否都成立，若成立，則證明，若不成立，求c的取值范圍.解析：由x2?1?c

x2?c

1≥1?c ≥c+?x2?c+x2?c1 c

1≥0)≥0 ?(x2?c-c)+ 1x2?c1-?(x2?c-c)(1-x?c?c2

假設(shè)x∈R時恒成立，顯然x2?c-c≥0

即有1-1

x?c?c2≥0 1?x2?c·≥1?x2≥-c c

左邊x2≥0，而右邊不恒≤0，故此不等式不能恒成立.若恒成立則必有1-c≤0 c

?c2?1?0,??c≥1時恒成立.??c?又c?0,?

第二篇：2012高中數(shù)學(xué)單元訓(xùn)練不等式的證明(二)

課時訓(xùn)練37不等式的證明

（二）【說明】 本試卷滿分100分，考試時間90分鐘.一、選擇題（每小題6分，共42分）

a2b

2?1.設(shè)0＜x＜1,a、b為正常數(shù)，的最小值是（）x1?x

A.4abB.2(a2+b2)

C.(a+b)2D.(a-b)

2答案：C?a2b2

?解析：令x=cosθ,θ∈(0,),則=a2sec2θ+b2csc2θ=a2+b2+a2tan2θ+b2cot2θ≥2x1?x

a2+b2+2ab=(a+b)2.2.若a、b∈R,a2+b2=10,則a-b的取值范圍是（）

A.［-2，25］B.［-2，2］

C.［-，］D.［0，］

答案：A

解析：設(shè)a=cosθ,b=sinθ,則a-b=(cosθ-sinθ)=2·cos(θ+-2,2］.3.已知a∈R+,則下列各式中成立的是（）

A.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＜lg(a+b)B.cos2θ·lga+sin2θ·lgb＞lg(a+b)

C.acos2??)4?bsin?=a+bD.acos??bsin?＞a+b 22

2答案：A

解析：cos2θlga+sin2θlgb＜cos2θlg(a+b)+sin2θlg(a+b)=lg(a+b).4.設(shè)函數(shù)f(x)=ax+b(0≤x≤1),則a+2b＞0是f(x)＞0在［0，1］上恒成立的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

答案：B

解析：a+2b＞0?a+b＞0?f（121)＞0,不能推出f(x)＞0,x∈［0,1］;反之，f(x)＞0,x∈［0,1］2

1?f()＞0?a+2b＞0.2

5.(2010重慶萬州區(qū)一模，7)已知函數(shù)y=f(x)滿足：①y=f(x+1)是偶函數(shù)；②在［1，+∞）上為增函數(shù).若x1＜0,x2＞0,且x1+x2＜-2,則f(-x1)與f(-x2)的大小關(guān)系是()

A.f(-x1)＞f(-x2)B.f(-x1)＜f(-x2)

C.f(-x1)=f(-x2)D.f(-x1)與f(-x2)的大小關(guān)系不能確定 答案：A

解析：y=f(x+1)是偶函數(shù)f(x+1)=f(-x+1)f(x+2)=f(-x).又x1+x2＜-2,-x1＞2+x2＞2，故f(-x1)＞f(2+x2)=f(-x2).6.(2010湖北十一校大聯(lián)考，9)定義在R上的偶函數(shù)y=f(x)滿足f(x+2)=-f(x)對所有實數(shù)x都

成立，且在［-2，0］上單調(diào)遞增，a=f(37),b=f(),c=f(log18)，則下列成立的是()222

A.a＞b＞cB.b＞c＞aC.b＞a＞cD.c＞a＞b

答案：B 解析：由f(x+2)=-f(x)有f(x+4)=f(x),∴T=4,而f（x）在R上為偶函數(shù)又在［-2，0］上單調(diào)遞增，所以f(x)在［0，2］上單調(diào)遞

減.b=f(1137)=f(-)=f(),c=f(log18)=f(-3)=f(1),a=f().22222

∵31＞1＞,∴b＞c＞a.22

227.設(shè)a、b、c、d∈R，m=a2?b2+c2?d2,n=(a?c)?(b?d),則()

A.m＜nB.m＞nC.m≤nD.m≥n

答案：D

解析：設(shè)A(a,b),B(c,d),O(0,0),∵|OA|+|OB|≥|AB|,∴得m≥n.二、填空題（每小題5分，共15分）

8.設(shè)x＞0,y＞0,A=

答案：A＜B

解析：A= x?yxy?,B=,則A，B的大小關(guān)系是__________________.1?x?y1?x1?yxyxy???=B.1?x?y1?x?yx?11?y

9.已知x2+y2=1,對于任意實數(shù)x,y恒有不等式x+y-k≥0成立，則k的最大值是____________.答案：-

2解析：設(shè)x=cosθ,y=sinθ,k≤x+y=sinθ+cosθ=2sin(θ+

-2.10.設(shè)｛an｝是等差數(shù)列，且a12+a112≤100,記S=a1+a2+…+a11則S的取值范圍是______________.答案：［-552，552］ ?),∴k≤-2.∴k的最大值為

4a?a112a?a11a?a11解析：由1≥(1)?1∈［-52,52］.222

∴S=a1+a2+…+a11 22

=(a1+a11)+(a2+a10)+…+(a5+a7)+a6 =11(a1+a11)∈［-552,552］.2

三、解答題（11—13題每小題10分，14題13分，共43分）

11.若x,y均為正數(shù)，且x+y＞2.求證: 1?y1?x與中至少有一個小于2.xy

1?y1?x1?y1?x與均不小于2，即≥2且≥2,則1+y≥2x,1+x≥2y.相加得xxyy證明：假設(shè)

2+x+y≥2(x+y)，推出x+y≤2,與題設(shè)x+y≥2矛盾.故假設(shè)錯誤.n(n?1)(n?1)2

12.已知an=?2?2?3+…+n(n?1)(n∈N),求證：＜an＜對n∈N*

22*恒成立.證明：an＞2?22+…+n2=1+2+3+…+n=n(n?1), 2

1nn2?2n(n?1)2

而an＜［(1+2)+(2+3)+…+(n+(n+1))］=+(1+2+3+…+n)=＜.2222

13.若a,b,c為三角形三邊，x,y,z∈R,x+y+z=0,求證：a2yz+bzzx+c2xy≤0.證明：∵z=-x-y,∴a2yz+b2zx+c2xy=a2y(-x-y)+b2x(-x-y)+c2xy=-b2x2-(a2+b2-c2)yx-a2y2,∴原不等式f(x)=b2x2+(a2+b2-c2)yx+a2y2≥0.?

(*)

∵Δ=(a2+b2-c2)2-4a2b2=［(a2+b2+2ab)-c2］［(a2+b2-2ab)-c2］=(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(a-b-c),a,b,c為三角三邊，∴Δ＜0.∴b2＞0,∴f(x)＞0對x∈R恒成立，即（*）表示，∴原不等式得證.14.已知：a∈R+,求證：a+4?a1a?4

a≥17.4

證明：∵a∈R+，設(shè)t=a+4a≥2a?14=4,則左式=f(t)=t+(t≥4)ta

∴f(t)=(t?12)+2在t≥4上遞增.t

117=得證.44∴f(t)≥f(4)=4+

第三篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法

本科生畢業(yè)設(shè)計（論文中學(xué)證明不等式的常用方法

所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院

專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

姓 名： 張俊

學(xué) 號： 1010510020 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)東

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是對高中學(xué)習(xí)階段不等式證明方法的概括和總結(jié).不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,換元法等等.關(guān)鍵詞: 不等式的證明;函數(shù)的構(gòu)造;極值;導(dǎo)數(shù)

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 錄

1.構(gòu)造函數(shù)法 ·········································1 1.1 移項法構(gòu)造函數(shù) ·································1 1.2 作差法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.3 換元法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.4 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

······················3 1.5 主元法構(gòu)造函數(shù) ··································3 1.6 構(gòu)造形似函數(shù) ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應(yīng)用 ································9 參考文獻(xiàn) ··············································11

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

眾所周知,生活中存在著大量的不等量關(guān)系.不等量關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無可替代.不等式的證明是高中學(xué)習(xí)階段的重要內(nèi)容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學(xué)習(xí)既是重點也是難點,無論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對不等式的證明方法做一個全面的,科學(xué)的,系統(tǒng)的總結(jié)和歸納.1.構(gòu)造函數(shù)法

1.1移項法構(gòu)造函數(shù)

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證：當(dāng)x??1時,恒有

1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)

1?1,從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當(dāng)x?(?1,0)時,g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時,g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù),在x?(0,??)上為增函數(shù),故函數(shù)

g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當(dāng)x??1時,g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當(dāng)?1?x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù), 當(dāng)x?0時,f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

因此,當(dāng)x??1時f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0

∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x??1時,有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最?。ù螅┲?則有f(x)?f(a)

（或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證． 1.2作差法構(gòu)造函數(shù)

【例2】 當(dāng)x?(0,1)時,證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,將兩個函數(shù)變?yōu)橐粋€函數(shù).作差法是最直接把兩者結(jié)合的方法且求導(dǎo)

后能很容易看出兩者的聯(lián)系.證:做函數(shù)f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當(dāng)x?0時,f'(x)?0

而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當(dāng)x?(0,1)時,f''(x)?0

∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減

∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)

性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無法判斷兩個關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)

來先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,再來判斷原函數(shù)的關(guān)系.1.3換元法構(gòu)造函數(shù)

122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x?y經(jīng)常出現(xiàn)在三角代換中.于是可以采用 換元法進(jìn)行嘗試,則結(jié)果顯而易見.證:因為 1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設(shè)x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?)

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??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換

元法.將x,y進(jìn)行替換,再找兩者的關(guān)系來進(jìn)行論證.1.4從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

【例4】 若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數(shù)

a ,b滿足0?a?b,求證:af(a)

xf(x)，?(x)?f(x)此時可以得到F(x)的導(dǎo)數(shù)為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)?f(b)

?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出

F(x),求導(dǎo)后即可得到證明結(jié)果.1.5主元法構(gòu)造函數(shù)

【例5】 設(shè)a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d

分析:本題初看含有四個未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時必須從這條

不等式入手,對其進(jìn)行變換.證:把a看成未知量進(jìn)行化簡,得一元二次不等式

?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0

22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d

用替換,構(gòu)造一個函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上

且當(dāng)x?a時,f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0

?其判別式 ?

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d

疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡,得bc?【啟迪】:有些復(fù)雜的不等式可以看成一個未知量的簡單不等式,再找?guī)讉€未知量之間的關(guān)系,進(jìn)行證明.1.6構(gòu)造形似函數(shù)

【例6】 當(dāng)a?b?e時,證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構(gòu)造函數(shù)

f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調(diào)遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0

設(shè)f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調(diào)遞減.?a?b

?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0

ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡單不等式時,可以采用求導(dǎo)等變換來構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函

數(shù)的單調(diào)性來證明簡單不等式.2.比較法

2.1作差比較法

【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來考慮

問題.證:(1)當(dāng)0?a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?

1?loga(1?x)?0,得證.（2）當(dāng)a?1時,?0?1?x?1,1?1?x?2

? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?1

22222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,或者是對數(shù)式子時可以采用作差法來嘗試.2.2作商比較法

【例2】 設(shè)a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號很難判斷,且無法化簡,考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,從而來證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當(dāng)a?b時,()baa?b?1?0, 當(dāng)0?b?a時，b2baa?a02()?()?1.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當(dāng)0?a?b時，,同理可得bbb2 綜上所述,對于任意的正實數(shù)a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當(dāng)遇到作差法無法解決的問題時可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前

提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數(shù)函數(shù)的形式.3.放縮法

2n?1an(n?N)

【例1】 已知數(shù)列?an?的前n項和為sn?1?2(1)設(shè)xn?(2n?1)sn,求證:數(shù)列?xn?為等差數(shù)列.11115???..........??(2)當(dāng)n?2時,2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識,是為第二小題做的鋪墊,在做

第二小題時,需要采用放縮來證明,來把不等式的左邊放大來比較.2n?1(sn?sn?1)

證:(1)當(dāng)n?2時,sn?1?2

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

化簡,得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1

由已知條件得xn 其通項公式為xn ??xn?是以首項為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2

?2公差d?2的等差數(shù)列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n?

2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44

2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當(dāng)n?2時,f(n)的值隨著n的增大而增

n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法

較多.4.判別式法

?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,?

?3?222

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

分析:實系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個不等實根、有兩個相等實根、沒有實根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0．

?b2?4ac,稱其為方程是否有實根的判別式.同時也是與方程對應(yīng)的

函數(shù)、不等式的判別式.此題含有三個未知數(shù),所以要進(jìn)行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中

證:有條件可得,代入 化簡可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0

x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0

22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復(fù)雜,含有三個未知量,其實只需要簡單的幾個步驟就解決了,因此在解決這類問題時,第一步是替換未知量,第二部把另一個未知量看成已知量,再

用根的判別式來確定范圍.5.反證法 【例1】 設(shè)0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.分析:本題的結(jié)論為否定形式,適合用反證法來證明,假設(shè)命題不成立,從而導(dǎo)出矛

盾.證:假設(shè)(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個數(shù)都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1

?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ?

2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時大于.4【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時”,“至多”等字樣時,可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,然后再用假設(shè)的條件推出矛盾.6.向量法

a2b2c2???12.【例1】設(shè)a?1,b?1,c?1,證明:

b?1c?1a?1 分析:本題只有一個已知條件,且結(jié)論也無法化簡,因此可以想到高中最直接的方法

向量法,構(gòu)造兩個向量.利用向量的知識進(jìn)行解決.?m 證:設(shè)?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c

222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3

?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3?

a?b?c?3 ?23

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時平方可得

b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應(yīng)用

1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)?

ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學(xué)生獨立完成,可得到如下解決

方法.解法一:分析法

1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因為a?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因為1?a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法

?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab?

41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0

?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4

解法三:三角代換法

?a?b?1,a

?0,b?0

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

??? 故設(shè)a?sin?,b?cos?,???0,?

?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ?

4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對問題進(jìn)行一步

步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉(zhuǎn)化

為所學(xué)的知識,或者已知條件.只要分析的過程合理,一般過渡的結(jié)論很

容易得到.第二種方法也是根據(jù)問題入手,不同的是它把問題直接改變?yōu)?/p>

一道運算式,這樣就把問題變?yōu)檫\算式結(jié)果與零比較大小,因為題目所給的數(shù)字往往讓在解題時無從下手,無法想出這個數(shù)字從何而來,一但轉(zhuǎn)化

為零后,解題時只需要考慮對算式的變形,最后只需判斷算式的正負(fù)號.第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是

角的范圍,一般學(xué)生在采用代換時往往忘記角的范圍,從而無法確定三角

函數(shù)值的范圍,容易產(chǎn)生多解或錯解.這種方法好處在于已經(jīng)知道了三角

值的范圍,且三角函數(shù)含有多種變形方式可以對式子進(jìn)行更好的化簡.并

且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均

可采用,根據(jù)學(xué)生個人的掌握程度來選擇方法.本論文主要對高中不等式的常用證明方法進(jìn)行簡單的總結(jié),使中學(xué)生在證明不等式時有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計（論文）

參考文獻(xiàn)

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[A],2012(4):108～109

第四篇：高中數(shù)學(xué)不等式

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識與典型例題(第六章不等式)答案

例1.C例2.B例3.?6?7?5 例4.n3+1>n2+n

例5.提示:把“???”、“??2?”看成一個整體.解:∵??3?=2(??2?)?(???)

又∵2≤2(??2?)≤6,?1≤?(???)≤1 ∴1≤??3?≤7,∴??3?的取值范圍是?1,7? 例6.A例7.A例8.B

例9.B例10.4例11.B

例12.D

例13.C

例14.D 例15.(?1)?（1?x2?1

例16.解：原不等式等價于???x

?0,?x2?1

?

?x

?1.當(dāng)x>0時，上述不等式組變成??x2情形1 ?1,1?x2?x?1.解得：1?x?

情形2 當(dāng)x<0時，上述不等式組變成??

x2?1,?

x2?x?1.解得?1?x?

所以原不等式解集為{|?1?x?12?{x|1?x?1?

2例17.解: 原不等式等價于x2?x?

3x2

?ax

?0.由于x2?x?3?0對x?R恒成立，∴x2?ax?0,即x(x?a)?0當(dāng)a>0時，{x|x??a或x?0}； 當(dāng)a=0時，{x|x?R且x?0}； 當(dāng)a<0時，{x|x?0或x??a}.例18.證明:令y=2x2?2x?1

x2?x?1，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴當(dāng)y≠2時，要方程有實數(shù)解，須Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;

⑵當(dāng)y=2時,代入(y－2)x2+(2－y)x

+y+1=0中,得

3=0，矛盾.∴綜上所述, －

2≤y<2得證.例19.綜合法提示

?a?b)

另外本題還可用幾何法.證明:

先考慮a、b、c為正數(shù)的情況，這時可構(gòu)造出圖形：以a+b+c為邊長畫一個正方形，如圖，則AP1?

PP12?

P2B? AB?a?b?c).顯然AP1?PP1

2?P2B

≥AB，a?b?c).當(dāng)a、b、c中有負(fù)數(shù)或零時，顯然不等式成立.例20.答案見高中數(shù)學(xué)第二冊(上)第27頁例

1可用分析法,比較法,綜合法,三角換元法以及向量法等證

例21.提示:利用aaaa?b?c?a?b??c

a?b?c

例22.高中數(shù)學(xué)第二冊(上)第17頁習(xí)題9 法一:構(gòu)造函數(shù)法

證明：∵ f(x)= xm

x + m(m>0)= 1－x + m在(0, + ?)上單調(diào)遞增，且在△ABC中有a + b > c>0，∴ f(a + b)>f(c)，即 a + bc

a + b + m> c + m。

又∵ a，b ? R*，∴aa?m?b

b?m

? aba + ba + b + m + a + b + m =

a + b + m，∴aa?m?bb?m?c

?c.m法二:分析法

證明:要證aa?m?bb?m?c

c?m，只要證a(b + m)(c + m)+ b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc + 2abm +(a + b－c)m2>0，由于a,b,c為△ABC的邊長，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。

所以abc + 2abm +(a + b－c)m2>0是成立的，因此 aa?m?bb?m?c

c?m.例23.5400,例24.答案見2005-7-30高中數(shù)學(xué)第二冊(上)第13頁例

46、當(dāng)你發(fā)現(xiàn)有“非凡天賦”,就“瘋狂地造夢”吧！

Think great thoughts and you will be great!偉大的理想，會讓你變得偉大！

一個人的夢想有多么偉大，他就有多么偉大！

偉大的目標(biāo)，即使吹起牛來都很爽！所以，目標(biāo)一定要遠(yuǎn)大！你人生才會過得充實而干勁十足！

我在這十多年瘋狂英語的奮斗路上，我發(fā)現(xiàn)一個真理：

“人的潛能無限！相信自己，就能創(chuàng)造奇跡；懷疑自己，人生就會在可憐、悲慘中度過！”

每個人其實都是一座寶藏！“相信自己”是人生最重要的品格，“I can ”是家庭給孩子最寶貴的財富。

而可悲的是，大多數(shù)的父母并沒有給自己孩子這把“最重要的鑰匙”，因為他們的父母，和他們所處的時代，也沒有給他們這把鑰匙。

我們太多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)有這把鑰匙的時候，已經(jīng)年過30歲了??

其實，成功根本不用等到30！10歲、20歲就可以很成功！而“相信自己”就是人生最大的成功源頭。

在此，我非常急切地想與大家分享一個“18歲就成功的故事”，告訴你如果發(fā)現(xiàn)自己有“非凡天賦”時,就瘋狂地造夢想吧，從此，你就會自發(fā)地苦練，并為自己的家庭帶來夢中渴求的一切。

在丁俊暉8歲時，父親送給他一件特別的禮物——一支臺球桿。他很快發(fā)現(xiàn)：兒子在臺球桌上有非凡的天賦，兩年下來，已經(jīng)打遍當(dāng)?shù)責(zé)o敵手。

有一次，爸爸讓小俊暉與臺球名將亨得利一起合影照相，沒想到他卻口吐狂言：“我跟他照什么相，我以后把球打好了，別人找我照相還差不多，總有一天我要戰(zhàn)勝他?！?/p>

看到兒子有如此雄心大志，父親做出了一個驚人的決定：賣掉家鄉(xiāng)的房子，辭去工作，全家搬遷到陌生的廣東東莞，讓兒子專心學(xué)習(xí)臺球，成為職業(yè)臺球手。為了節(jié)省開銷，他們沒有租住球館宿舍，只是在宿舍走道的盡頭蹭了張床，木板隔出一個6平方米的空間，全家三口只睡一張單人床。隔板外，是宿舍樓公廁，悶熱、蚊蟲叮咬、廁所異味??竟然令13歲的丁俊暉含淚向父母發(fā)誓：一定要用球桿，為他們打回一套房子！從此，他把臺球當(dāng)成了自己一輩子奮斗的職業(yè)。

丁俊暉練球常常進(jìn)入到癡迷的狀態(tài)，整天與臺球為伴，很快，父親送給他的臺球桿被練斷了。修理后又接著打，不久又?jǐn)嗔??反反復(fù)復(fù)，一支桿要打斷6、7次，變得不能再打了，才換新球桿。

即使這樣，他父親還時刻提醒、監(jiān)督他，有時剛吃完飯，丁俊暉在一邊坐著休息的時間稍長一點，父親就過來催促：“你去房間練球吧，空調(diào)已幫你開好了?！彼赣H說：“人做事一定要堅定，做一件事就要把它做好，如果連這點精神和承擔(dān)失敗的勇氣都沒有，做其他事也不可能成功！人活著就要轟轟烈烈，在有生之年做些事，但我不會強加給他沒興趣的東西做。我堅信我兒子是5000年才出一個的神童！”

也許，是先有了偉大的丁俊暉父親，才有了18歲成為世界級臺球冠軍的丁俊暉。現(xiàn)在丁俊暉已經(jīng)在老家買了新房，他實現(xiàn)了當(dāng)初許下的用球桿為父母掙回一套房的承諾！用手中的球桿，兌現(xiàn)了奪得世界冠軍的諾言！

所以，偉大的夢想造就偉大的人生！Great dreams make great men!

目標(biāo)定得小，成績就小。有大志才會有大成就！

Think little goals and expect little achievements.Think big goals and win big success!

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第五篇：高中數(shù)學(xué)知識點：不等式的證明及應(yīng)用

不等式的證明及應(yīng)用

知識要點：

1．不等式證明的基本方法：

?a?b?0?a?b

?（1）比較法：?a?b?0?a?b

?a?b?0?a?b?

用比較法證明不等式，作差以后因式分解或配方。

（2）綜合法：利用題設(shè)、不等式的性質(zhì)和某些已經(jīng)證明的基本不等式（a2 | a a?0;a2?b2?2ab;a3?b3?c3?3abc等），推論出所要證的不等式。綜合法的思索路線是“由因?qū)Ч奔磸囊粋€（一組）已知的不等式出發(fā)，不斷地用必要條件來代替前面的不等式，直至推導(dǎo)出所要求證的不等式。

（3）分析法：“執(zhí)果索因”從求證的不等式出發(fā)，不斷地用充分條件來代替前

面的不等式，直至找到已知的不等式。

證明不等式通常采用“分析綜合法”，即用分析法思考，用綜合法表述。

2．不等式證明的其它方法：

（1）反證法：理論依據(jù)A?B與B?A等價。先否定命題結(jié)論，提出假設(shè)，由

此出發(fā)運用已知及已知定理推出矛盾。根據(jù)原命題與逆否命題等價，A得證。

（2）放縮法：理論依據(jù) a > b,b > c?a > c ?B

（3）函數(shù)單調(diào)性法。

3．?dāng)?shù)（式）大小的比較：

（1）作差或作比法（2）媒介法（3）函數(shù)單調(diào)性法

4．不等式在函數(shù)中的應(yīng)用：

（1）求函數(shù)的定義域（2）求函數(shù)的值域（3）研究函數(shù)的單調(diào)性

5．基本不等式法求最值：

（1）均值定理求最值：要求各項為正，一邊為常數(shù)，等號可取。

（2）絕對值不等式|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|的應(yīng)用。其中|a?b|?|a|?|b|取等號的條件是ab且|ab|。|a+ba| + |b|取等號的條件是ab。

6．方程與不等式解的討論

（1）一元二次方程ax2

a?0,??b2?bx?c?0有嚴(yán)格的順序性： 及x1,2??b?2a??4ac?0,b?x1?x2????a?c?xx?12?a?。

（2）函數(shù)與不等式：利用函數(shù)圖象找出等價關(guān)系，轉(zhuǎn)化為不等式問題去解決。