第一篇：高中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)不等式

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題(第六章不等式)答案

例1.C例2.B例3.?6?? 例4.n3+1>n2+n

例5.提示:把“???”、“??2?”看成一個(gè)整體.解:∵??3?=2(??2?)?(???)

又∵2≤2(??2?)≤6,?1≤?(???)≤1 ∴1≤??3?≤7,∴??3?的取值范圍是?1,7? 例6.A例7.A例8.B

例9.B例10.4例11.B

例12.D

例13.C

例14.D 例15.(?1)?

?x2?

1例16.解：原不等式等價(jià)于???x

?0,?x2?1

?

?x

?1.當(dāng)x>0時(shí)，上述不等式組變成??x2情形1 ?1,1?x2?x?1.解得：1?x?

情形2 當(dāng)x<0時(shí)，上述不等式組變成??

x2?1,?

x2?x?1.解得?1?x?

所以原不等式解集為{|?1?x?12?{x|1?x?1?

2例17.解: 原不等式等價(jià)于x2?x?

3x2

?ax

?0.由于x2?x?3?0對(duì)x?R恒成立，∴x2?ax?0,即x(x?a)?0當(dāng)a>0時(shí)，{x|x??a或x?0}； 當(dāng)a=0時(shí)，{x|x?R且x?0}； 當(dāng)a<0時(shí)，{x|x?0或x??a}.例18.證明:令y=2x2?2x?1

x2?x?1，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴當(dāng)y≠2時(shí)，要方程有實(shí)數(shù)解，須Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;

⑵當(dāng)y=2時(shí),代入(y－2)x2+(2－y)x

+y+1=0中,得

3=0，矛盾.∴綜上所述,－2≤y<2得證.例19.綜合法提示

?2

a?b)另外本題還可用幾何法.證明:

先考慮a、b、c為正數(shù)的情況，這時(shí)可構(gòu)造出圖形：以a+b+c為邊長(zhǎng)畫一個(gè)正方形，如圖，則AP1?

PP12?

P2B? AB?a?b?c).顯然AP1?PP1

2?P2B

≥AB，a?b?c).當(dāng)a、b、c中有負(fù)數(shù)或零時(shí)，顯然不等式成立.例20.答案見高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)第27頁(yè)例1

可用分析法,比較法,綜合法,三角換元法以及向量法等證

例21.提示:利用aaa?c

a?b?c?a?b?

a?b?c

例22.高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)第17頁(yè)習(xí)題9 法一:構(gòu)造函數(shù)法

證明：∵ f(x)= xm

x + m(m>0)= 1－x + m在(0, + ?)上單調(diào)遞增，且在△ABC中有a + b > c>0，∴ f(a + b)>f(c)，即 a + bc

a + b + m> c + m。

又∵ a，b ? R*，∴aa?m?b

b?m

? aba + ba + b + m + a + b + m = a + b + m，∴abc

a?m?b?m?

?c.m法二:分析法

證明:要證aa?m?bc

b?m?

c?m，只要證a(b + m)(c + m)+ b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc + 2abm +(a + b－c)m2>0，由于a,b,c為△ABC的邊長(zhǎng)，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。

所以abc + 2abm +(a + b－c)m2>0是成立的，abc

因此.??

a?mb?mc?m例23.5400,例24.答案見2005-7-30高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)第13頁(yè)例4

第二篇：高中數(shù)學(xué)不等式

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)與典型例題(第六章不等式)答案

例1.C例2.B例3.?6?7?5 例4.n3+1>n2+n

例5.提示:把“???”、“??2?”看成一個(gè)整體.解:∵??3?=2(??2?)?(???)

又∵2≤2(??2?)≤6,?1≤?(???)≤1 ∴1≤??3?≤7,∴??3?的取值范圍是?1,7? 例6.A例7.A例8.B

例9.B例10.4例11.B

例12.D

例13.C

例14.D 例15.(?1)?（1?x2?1

例16.解：原不等式等價(jià)于???x

?0,?x2?1

?

?x

?1.當(dāng)x>0時(shí)，上述不等式組變成??x2情形1 ?1,1?x2?x?1.解得：1?x?

情形2 當(dāng)x<0時(shí)，上述不等式組變成??

x2?1,?

x2?x?1.解得?1?x?

所以原不等式解集為{|?1?x?12?{x|1?x?1?

2例17.解: 原不等式等價(jià)于x2?x?

3x2

?ax

?0.由于x2?x?3?0對(duì)x?R恒成立，∴x2?ax?0,即x(x?a)?0當(dāng)a>0時(shí)，{x|x??a或x?0}； 當(dāng)a=0時(shí)，{x|x?R且x?0}； 當(dāng)a<0時(shí)，{x|x?0或x??a}.例18.證明:令y=2x2?2x?1

x2?x?1，去分母，整理得(y－2)x2+(2－y)x+y+1=0.⑴當(dāng)y≠2時(shí)，要方程有實(shí)數(shù)解，須Δ=(2－y)2－4(y－2)(y+1)≥0得－2≤y≤2，又∵y≠2∴－2≤y<2;

⑵當(dāng)y=2時(shí),代入(y－2)x2+(2－y)x

+y+1=0中,得

3=0，矛盾.∴綜上所述, －

2≤y<2得證.例19.綜合法提示

?a?b)

另外本題還可用幾何法.證明:

先考慮a、b、c為正數(shù)的情況，這時(shí)可構(gòu)造出圖形：以a+b+c為邊長(zhǎng)畫一個(gè)正方形，如圖，則AP1?

PP12?

P2B? AB?a?b?c).顯然AP1?PP1

2?P2B

≥AB，a?b?c).當(dāng)a、b、c中有負(fù)數(shù)或零時(shí)，顯然不等式成立.例20.答案見高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)第27頁(yè)例

1可用分析法,比較法,綜合法,三角換元法以及向量法等證

例21.提示:利用aaaa?b?c?a?b??c

a?b?c

例22.高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)第17頁(yè)習(xí)題9 法一:構(gòu)造函數(shù)法

證明：∵ f(x)= xm

x + m(m>0)= 1－x + m在(0, + ?)上單調(diào)遞增，且在△ABC中有a + b > c>0，∴ f(a + b)>f(c)，即 a + bc

a + b + m> c + m。

又∵ a，b ? R*，∴aa?m?b

b?m

? aba + ba + b + m + a + b + m =

a + b + m，∴aa?m?bb?m?c

?c.m法二:分析法

證明:要證aa?m?bb?m?c

c?m，只要證a(b + m)(c + m)+ b(a + m)(c + m)－c(a + m)(b + m)>0，即abc + abm + acm + am2 + abc + abm + bcm + bm2－abc－acm－bcm－cm2>0，即abc + 2abm +(a + b－c)m2>0，由于a,b,c為△ABC的邊長(zhǎng)，m>0，故有a + b> c，即(a + b－c)m2>0。

所以abc + 2abm +(a + b－c)m2>0是成立的，因此 aa?m?bb?m?c

c?m.例23.5400,例24.答案見2005-7-30高中數(shù)學(xué)第二冊(cè)(上)第13頁(yè)例

46、當(dāng)你發(fā)現(xiàn)有“非凡天賦”,就“瘋狂地造夢(mèng)”吧！

Think great thoughts and you will be great!偉大的理想，會(huì)讓你變得偉大！

一個(gè)人的夢(mèng)想有多么偉大，他就有多么偉大！

偉大的目標(biāo)，即使吹起牛來(lái)都很爽！所以，目標(biāo)一定要遠(yuǎn)大！你人生才會(huì)過(guò)得充實(shí)而干勁十足！

我在這十多年瘋狂英語(yǔ)的奮斗路上，我發(fā)現(xiàn)一個(gè)真理：

“人的潛能無(wú)限！相信自己，就能創(chuàng)造奇跡；懷疑自己，人生就會(huì)在可憐、悲慘中度過(guò)！”

每個(gè)人其實(shí)都是一座寶藏！“相信自己”是人生最重要的品格，“I can ”是家庭給孩子最寶貴的財(cái)富。

而可悲的是，大多數(shù)的父母并沒有給自己孩子這把“最重要的鑰匙”，因?yàn)樗麄兊母改?，和他們所處的時(shí)代，也沒有給他們這把鑰匙。

我們太多人，就像是在黑暗中苦苦摸索，當(dāng)我們發(fā)現(xiàn)有這把鑰匙的時(shí)候，已經(jīng)年過(guò)30歲了??

其實(shí)，成功根本不用等到30！10歲、20歲就可以很成功！而“相信自己”就是人生最大的成功源頭。

在此，我非常急切地想與大家分享一個(gè)“18歲就成功的故事”，告訴你如果發(fā)現(xiàn)自己有“非凡天賦”時(shí),就瘋狂地造夢(mèng)想吧，從此，你就會(huì)自發(fā)地苦練，并為自己的家庭帶來(lái)夢(mèng)中渴求的一切。

在丁俊暉8歲時(shí)，父親送給他一件特別的禮物——一支臺(tái)球桿。他很快發(fā)現(xiàn)：兒子在臺(tái)球桌上有非凡的天賦，兩年下來(lái)，已經(jīng)打遍當(dāng)?shù)責(zé)o敵手。

有一次，爸爸讓小俊暉與臺(tái)球名將亨得利一起合影照相，沒想到他卻口吐狂言：“我跟他照什么相，我以后把球打好了，別人找我照相還差不多，總有一天我要戰(zhàn)勝他?！?/p>

看到兒子有如此雄心大志，父親做出了一個(gè)驚人的決定：賣掉家鄉(xiāng)的房子，辭去工作，全家搬遷到陌生的廣東東莞，讓兒子專心學(xué)習(xí)臺(tái)球，成為職業(yè)臺(tái)球手。為了節(jié)省開銷，他們沒有租住球館宿舍，只是在宿舍走道的盡頭蹭了張床，木板隔出一個(gè)6平方米的空間，全家三口只睡一張單人床。隔板外，是宿舍樓公廁，悶熱、蚊蟲叮咬、廁所異味??竟然令13歲的丁俊暉含淚向父母發(fā)誓：一定要用球桿，為他們打回一套房子！從此，他把臺(tái)球當(dāng)成了自己一輩子奮斗的職業(yè)。

丁俊暉練球常常進(jìn)入到癡迷的狀態(tài)，整天與臺(tái)球?yàn)榘?，很快，父親送給他的臺(tái)球桿被練斷了。修理后又接著打，不久又?jǐn)嗔??反反復(fù)復(fù)，一支桿要打斷6、7次，變得不能再打了，才換新球桿。

即使這樣，他父親還時(shí)刻提醒、監(jiān)督他，有時(shí)剛吃完飯，丁俊暉在一邊坐著休息的時(shí)間稍長(zhǎng)一點(diǎn)，父親就過(guò)來(lái)催促：“你去房間練球吧，空調(diào)已幫你開好了?！彼赣H說(shuō)：“人做事一定要堅(jiān)定，做一件事就要把它做好，如果連這點(diǎn)精神和承擔(dān)失敗的勇氣都沒有，做其他事也不可能成功！人活著就要轟轟烈烈，在有生之年做些事，但我不會(huì)強(qiáng)加給他沒興趣的東西做。我堅(jiān)信我兒子是5000年才出一個(gè)的神童！”

也許，是先有了偉大的丁俊暉父親，才有了18歲成為世界級(jí)臺(tái)球冠軍的丁俊暉?，F(xiàn)在丁俊暉已經(jīng)在老家買了新房，他實(shí)現(xiàn)了當(dāng)初許下的用球桿為父母掙回一套房的承諾！用手中的球桿，兌現(xiàn)了奪得世界冠軍的諾言！

所以，偉大的夢(mèng)想造就偉大的人生！Great dreams make great men!

目標(biāo)定得小，成績(jī)就小。有大志才會(huì)有大成就！

Think little goals and expect little achievements.Think big goals and win big success!

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第三篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法

本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文中學(xué)證明不等式的常用方法

所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院

專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)

姓 名： 張俊

學(xué) 號(hào)： 1010510020 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)東

完成日期： 2014年04月15日）

摘 要

本文主要是對(duì)高中學(xué)習(xí)階段不等式證明方法的概括和總結(jié).不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,換元法等等.關(guān)鍵詞: 不等式的證明;函數(shù)的構(gòu)造;極值;導(dǎo)數(shù)

ABSTRACT

This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words:

The inequality proof;function;extreme value;derivative

目 錄

1.構(gòu)造函數(shù)法 ·········································1 1.1 移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) ·································1 1.2 作差法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.3 換元法構(gòu)造函數(shù)

·····························2 1.4 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

······················3 1.5 主元法構(gòu)造函數(shù) ··································3 1.6 構(gòu)造形似函數(shù) ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應(yīng)用 ································9 參考文獻(xiàn) ··············································11

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

眾所周知,生活中存在著大量的不等量關(guān)系.不等量關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無(wú)可替代.不等式的證明是高中學(xué)習(xí)階段的重要內(nèi)容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學(xué)習(xí)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),無(wú)論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對(duì)不等式的證明方法做一個(gè)全面的,科學(xué)的,系統(tǒng)的總結(jié)和歸納.1.構(gòu)造函數(shù)法

1.1移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù)

【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證：當(dāng)x??1時(shí),恒有

1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù)

1?1,從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當(dāng)x?(?1,0)時(shí),g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時(shí),g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù),在x?(0,??)上為增函數(shù),故函數(shù)

g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當(dāng)x??1時(shí),g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當(dāng)?1?x?0時(shí),f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù), 當(dāng)x?0時(shí),f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

因此,當(dāng)x??1時(shí)f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0

∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x??1時(shí),有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最?。ù螅┲?則有f(x)?f(a)

（或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過(guò)0就可得證． 1.2作差法構(gòu)造函數(shù)

【例2】 當(dāng)x?(0,1)時(shí),證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個(gè)單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,將兩個(gè)函數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)函數(shù).作差法是最直接把兩者結(jié)合的方法且求導(dǎo)

后能很容易看出兩者的聯(lián)系.證:做函數(shù)f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當(dāng)x?0時(shí),f'(x)?0

而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當(dāng)x?(0,1)時(shí),f''(x)?0

∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減

∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào)

性的性質(zhì)來(lái)證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無(wú)法判斷兩個(gè)關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù)

來(lái)先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,再來(lái)判斷原函數(shù)的關(guān)系.1.3換元法構(gòu)造函數(shù)

122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無(wú)聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x?y經(jīng)常出現(xiàn)在三角代換中.于是可以采用 換元法進(jìn)行嘗試,則結(jié)果顯而易見.證:因?yàn)?1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設(shè)x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?)

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換

元法.將x,y進(jìn)行替換,再找兩者的關(guān)系來(lái)進(jìn)行論證.1.4從條件特征入手構(gòu)造函數(shù)

【例4】 若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數(shù)

a ,b滿足0?a?b,求證:af(a)

xf(x)，?(x)?f(x)此時(shí)可以得到F(x)的導(dǎo)數(shù)為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)?f(b)

?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出

F(x),求導(dǎo)后即可得到證明結(jié)果.1.5主元法構(gòu)造函數(shù)

【例5】 設(shè)a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d

分析:本題初看含有四個(gè)未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時(shí)必須從這條

不等式入手,對(duì)其進(jìn)行變換.證:把a(bǔ)看成未知量進(jìn)行化簡(jiǎn),得一元二次不等式

?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0

22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d

用替換,構(gòu)造一個(gè)函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上

且當(dāng)x?a時(shí),f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0

?其判別式 ?

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d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d

疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡(jiǎn),得bc?【啟迪】:有些復(fù)雜的不等式可以看成一個(gè)未知量的簡(jiǎn)單不等式,再找?guī)讉€(gè)未知量之間的關(guān)系,進(jìn)行證明.1.6構(gòu)造形似函數(shù)

【例6】 當(dāng)a?b?e時(shí),證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構(gòu)造函數(shù)

f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調(diào)遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0

設(shè)f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調(diào)遞減.?a?b

?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0

ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡(jiǎn)單不等式時(shí),可以采用求導(dǎo)等變換來(lái)構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函

數(shù)的單調(diào)性來(lái)證明簡(jiǎn)單不等式.2.比較法

2.1作差比較法

【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來(lái)做,則需去掉絕對(duì)值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來(lái)考慮

問題.證:(1)當(dāng)0?a?1時(shí),?0?1?x?1,1?1?x?2

?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?

1?loga(1?x)?0,得證.（2）當(dāng)a?1時(shí),?0?1?x?1,1?1?x?2

? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)

?0?x?1,?0?1?x?1

22222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,或者是對(duì)數(shù)式子時(shí)可以采用作差法來(lái)嘗試.2.2作商比較法

【例2】 設(shè)a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號(hào)很難判斷,且無(wú)法化簡(jiǎn),考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,從而來(lái)證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當(dāng)a?b時(shí),()baa?b?1?0, 當(dāng)0?b?a時(shí)，b2baa?a02()?()?1.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當(dāng)0?a?b時(shí)，,同理可得bbb2 綜上所述,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當(dāng)遇到作差法無(wú)法解決的問題時(shí)可以采用作商法來(lái)證明不等式,使用作商法的前

提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數(shù)函數(shù)的形式.3.放縮法

2n?1an(n?N)

【例1】 已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為sn?1?2(1)設(shè)xn?(2n?1)sn,求證:數(shù)列?xn?為等差數(shù)列.11115???..........??(2)當(dāng)n?2時(shí),2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識(shí),是為第二小題做的鋪墊,在做

第二小題時(shí),需要采用放縮來(lái)證明,來(lái)把不等式的左邊放大來(lái)比較.2n?1(sn?sn?1)

證:(1)當(dāng)n?2時(shí),sn?1?2

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

化簡(jiǎn),得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1

由已知條件得xn 其通項(xiàng)公式為xn ??xn?是以首項(xiàng)為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2

?2公差d?2的等差數(shù)列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n?

2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44

2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當(dāng)n?2時(shí),f(n)的值隨著n的增大而增

n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法

較多.4.判別式法

?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,?

?3?222

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

分析:實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個(gè)不等實(shí)根、有兩個(gè)相等實(shí)根、沒有實(shí)根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0．

?b2?4ac,稱其為方程是否有實(shí)根的判別式.同時(shí)也是與方程對(duì)應(yīng)的

函數(shù)、不等式的判別式.此題含有三個(gè)未知數(shù),所以要進(jìn)行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中

證:有條件可得,代入 化簡(jiǎn)可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0

x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0

22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復(fù)雜,含有三個(gè)未知量,其實(shí)只需要簡(jiǎn)單的幾個(gè)步驟就解決了,因此在解決這類問題時(shí),第一步是替換未知量,第二部把另一個(gè)未知量看成已知量,再

用根的判別式來(lái)確定范圍.5.反證法 【例1】 設(shè)0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時(shí)大于.分析:本題的結(jié)論為否定形式,適合用反證法來(lái)證明,假設(shè)命題不成立,從而導(dǎo)出矛

盾.證:假設(shè)(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個(gè)數(shù)都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1

?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7

江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ?

2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個(gè)式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時(shí)大于.4【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時(shí)”,“至多”等字樣時(shí),可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,然后再用假設(shè)的條件推出矛盾.6.向量法

a2b2c2???12.【例1】設(shè)a?1,b?1,c?1,證明:

b?1c?1a?1 分析:本題只有一個(gè)已知條件,且結(jié)論也無(wú)法化簡(jiǎn),因此可以想到高中最直接的方法

向量法,構(gòu)造兩個(gè)向量.利用向量的知識(shí)進(jìn)行解決.?m 證:設(shè)?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c

222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3

?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3?

a?b?c?3 ?23

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?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時(shí)平方可得

b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應(yīng)用

1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)?

ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學(xué)生獨(dú)立完成,可得到如下解決

方法.解法一:分析法

1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因?yàn)閍?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因?yàn)??a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法

?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab?

41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0

?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4

解法三:三角代換法

?a?b?1,a

?0,b?0

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??? 故設(shè)a?sin?,b?cos?,???0,?

?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ?

4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對(duì)問題進(jìn)行一步

步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉(zhuǎn)化

為所學(xué)的知識(shí),或者已知條件.只要分析的過(guò)程合理,一般過(guò)渡的結(jié)論很

容易得到.第二種方法也是根據(jù)問題入手,不同的是它把問題直接改變?yōu)?/p>

一道運(yùn)算式,這樣就把問題變?yōu)檫\(yùn)算式結(jié)果與零比較大小,因?yàn)轭}目所給的數(shù)字往往讓在解題時(shí)無(wú)從下手,無(wú)法想出這個(gè)數(shù)字從何而來(lái),一但轉(zhuǎn)化

為零后,解題時(shí)只需要考慮對(duì)算式的變形,最后只需判斷算式的正負(fù)號(hào).第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會(huì)考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是

角的范圍,一般學(xué)生在采用代換時(shí)往往忘記角的范圍,從而無(wú)法確定三角

函數(shù)值的范圍,容易產(chǎn)生多解或錯(cuò)解.這種方法好處在于已經(jīng)知道了三角

值的范圍,且三角函數(shù)含有多種變形方式可以對(duì)式子進(jìn)行更好的化簡(jiǎn).并

且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均

可采用,根據(jù)學(xué)生個(gè)人的掌握程度來(lái)選擇方法.本論文主要對(duì)高中不等式的常用證明方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié),使中學(xué)生在證明不等式時(shí)有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）

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第四篇：高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)策略分析

高中數(shù)學(xué)不等式教學(xué)策略分析

摘要：在數(shù)學(xué)教學(xué)中，要求學(xué)生在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程中樹立不等的觀念，對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的一系列不等問題進(jìn)行相應(yīng)的研究具有十分重要的意義。在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，不等式的教學(xué)應(yīng)該有重點(diǎn)地進(jìn)行教學(xué)，抓住難點(diǎn)。當(dāng)前，高中數(shù)學(xué)不等式性質(zhì)教學(xué)中，傳統(tǒng)的填鴨式以及照本宣科的教學(xué)方式已經(jīng)無(wú)法達(dá)到滿意的效果。因此在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中只有結(jié)合高中生的實(shí)際學(xué)習(xí)情況，采取多樣化的教學(xué)方法，才能有效提高不等式性質(zhì)教學(xué)質(zhì)量。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué);不等式;教學(xué)策略

【中圖分類號(hào)】 G633.6

【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】 B

【文章編號(hào)】 1671-8437（2015）02-0066-01

不等式是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容，具有綜合性與系統(tǒng)性特點(diǎn)。此外，不等關(guān)系與相等關(guān)系同樣都包含著豐富的數(shù)量級(jí)關(guān)系，在數(shù)學(xué)應(yīng)用領(lǐng)域具有一定的普遍性。在高中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過(guò)程中，學(xué)生一定要樹立不等的相關(guān)理念，對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中出現(xiàn)的諸多的不等問題進(jìn)行一定的研究和分析。不等和相等的關(guān)系不是絕對(duì)的，二者處在相對(duì)的關(guān)系中，在通常的情況之下，學(xué)生對(duì)相等的觀念會(huì)較容易形成了一定的思維定勢(shì)，這時(shí)一定要讓學(xué)生逐漸地接受在日常生活當(dāng)中非常普遍的不等關(guān)系，通過(guò)這種辯證看問題的思路訓(xùn)練，學(xué)生就會(huì)形成良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

近幾年高考考試大綱發(fā)生了一系列的變化，以這些改革變化為依據(jù)，我們能夠看出，不等式的相關(guān)內(nèi)容基本上不會(huì)出現(xiàn)單獨(dú)命題的情況，也就是說(shuō)在通常情況下都是與其他知識(shí)相結(jié)合，在某些題目中以組合的形式出現(xiàn)，不等式知識(shí)的分值一般都能夠保持在10分左右。高考中更多的題目會(huì)將不等式的知識(shí)穿插在某些實(shí)際情境當(dāng)中，通過(guò)這樣的訓(xùn)練方式使學(xué)生能夠在實(shí)際生活以及數(shù)學(xué)當(dāng)中發(fā)現(xiàn)不等式的廣泛應(yīng)用，從而就會(huì)建立起不等的觀念，并學(xué)會(huì)準(zhǔn)確地處理好不等的相關(guān)關(guān)系。下面介紹幾種有效的數(shù)學(xué)教學(xué)方法，希望能對(duì)不等式教學(xué)起到一定的積極作用。

注重生活情境，將不等式與具體實(shí)際聯(lián)系起來(lái)

在教學(xué)過(guò)程中，要以生活中的實(shí)際情景為例子，也可以將學(xué)生已經(jīng)掌握的不等式內(nèi)容進(jìn)行聯(lián)系對(duì)接，從簡(jiǎn)單的不等關(guān)系中抽離出比較具體的數(shù)量關(guān)系，進(jìn)而建立起比較簡(jiǎn)單的不等式模型，然后以此為基礎(chǔ)進(jìn)行更加深入層次的不等關(guān)系模型的構(gòu)建。在課堂開始階段，教師可以讓學(xué)生自主感受日常生活中的不等關(guān)系的存在，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)生活當(dāng)中的其它不等關(guān)系，以及人們?nèi)绾芜\(yùn)用一定的符號(hào)和數(shù)字表達(dá)。

加強(qiáng)各科知識(shí)之間的相互關(guān)聯(lián)，將實(shí)際生活問題反向抽象化

不等式的應(yīng)用非常廣泛，在數(shù)學(xué)及其它學(xué)科都有廣泛的應(yīng)用，不等式的應(yīng)用通常也會(huì)以其他知識(shí)為相應(yīng)的背景。通過(guò)不等式應(yīng)用問題的學(xué)習(xí)，能夠檢驗(yàn)學(xué)生綜合運(yùn)用能力的水平，并從而有目的的有效地提高學(xué)生綜合分析與解決問題的能力。將抽象的問題形象化和具體化是讓學(xué)生獲得對(duì)知識(shí)重新構(gòu)建的非常實(shí)用的方式。生活中的實(shí)際問題是較為具體，但是在這些實(shí)際問題中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想都是抽象的。學(xué)生應(yīng)該根據(jù)實(shí)際情況遵循“具體――抽象――具體”的思考路徑，從比較具體的事物中經(jīng)過(guò)仔細(xì)的思考，剝離出比較抽象的數(shù)理關(guān)系，然后再利用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)一步抽象和表達(dá)，通過(guò)這樣的方式達(dá)到正確解決問題的目的。

例如“某一個(gè)工廠正在籌劃一個(gè)工程，其中需要建造一個(gè)長(zhǎng)方體的無(wú)蓋儲(chǔ)物池，容積為4800平方米，整體的深度大約為3米，如果池的底部需要進(jìn)行鋪墊瓷磚，那么每平方米的瓷磚成本價(jià)格為150元，池壁鋪墊瓷磚的每平方米成本價(jià)格為120元。那么請(qǐng)問如何設(shè)計(jì)這座儲(chǔ)物池才能讓整體工程的成本造價(jià)最低？最低的成本價(jià)格又是多少？”這道問題聯(lián)系實(shí)際，是現(xiàn)實(shí)生活中常見的函數(shù)和不等式交叉問題，學(xué)生一定要從這種現(xiàn)象中剝離出比較抽象的數(shù)理關(guān)系，并用數(shù)量關(guān)系式具體表示出來(lái)。

這道題中，聯(lián)系實(shí)際生活和數(shù)學(xué)上的相關(guān)原理，其實(shí)就是尋找一個(gè)區(qū)間內(nèi)的最優(yōu)值。設(shè)儲(chǔ)物池底面的一個(gè)長(zhǎng)度為x，總造價(jià)為p 元，就有：

P=240000+720（x+）?R240000+7200×2

=297600

此時(shí)，x=，即x=40時(shí)，p有最小值297600。

探索不等式的豐富解法，提升學(xué)生的思維能力

在不等式知識(shí)的內(nèi)容中，不等式的變換是非常重要的，學(xué)生擁有一定的不等式運(yùn)算能力，就可以非常容易地實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移，并且會(huì)實(shí)現(xiàn)一定的創(chuàng)新。除此之外，對(duì)于含有參數(shù)的不等式的練習(xí)，老師和學(xué)生也應(yīng)該重視，將方程、函數(shù)、立體幾何、三角的知識(shí)都融入到其中，學(xué)生就會(huì)得到很好的訓(xùn)練。比如在進(jìn)行關(guān)于一元二次不等式的解法的研究過(guò)程中，教師能夠根據(jù)實(shí)際情況，利用相應(yīng)的函數(shù)圖像，對(duì)一元二次不等式進(jìn)行研究。通過(guò)這樣的教學(xué)方式，既能使學(xué)生獲得不等式的解答能力，同時(shí)更能夠培養(yǎng)學(xué)生先進(jìn)的數(shù)學(xué)思想，也會(huì)使得學(xué)生的抽象能力以及概括能力得到很好的鍛煉。

總之，在新課程改革的背景下，高中數(shù)學(xué)不等式的教學(xué)需要得到不斷的改革和完善，用新課程的相關(guān)理念對(duì)這一重要內(nèi)容的學(xué)習(xí)與教學(xué)進(jìn)行研究，使學(xué)生在獲取知識(shí)的同時(shí)在思維訓(xùn)練以及能力鍛煉上獲得理想的效果。教師在進(jìn)行教學(xué)的過(guò)程中，一定要注重結(jié)合具體的實(shí)際，使學(xué)生更好更深刻地掌握不等式的相關(guān)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)能力。

第五篇：高中數(shù)學(xué)一元二次不等式練習(xí)題

一、解下列一元二次不等式：

1、x2?5x?6?02、x2?5x?6?03、x2?7x?12?0

4、x2?7x?6?05、x2?x?12?06、x2?x?12?0

7、x2?8x?12?08、x2?4x?12?09、3x2?5x?12?0 10、3x2?16x?12?011、3x2?37x?12?012、2x2?15x?7?0 13、2x2?11x?12?014、3x2?7x?1015、?2x2?6x?5?0 16、10x2?33x?20?01719、?x2?2x?3?022、3x2?7x?2?02325、2x2?11x?6?02628、5x2?14x?3?02931、8x2?2x?3?03234、2x2?x?21?03537、5x2?17x?12?03840、16x2?8x?3?04143、4x2?29x?24?04446、12x2?16x?3?04749、6x2?25x?14?050、x2?4x?5?018、?6x2?x?2?0、6x2?x?1?024、?3x2?11x?4?027、12x2?7x?12?030、8x2?10x?3?033、4x2?8x?21?036、10x2?11x?6?039、10x2?7x?12?042、4x2?21x?18?045、4x2?9?048、20x2?41x?9?051、?x2?4x?4?0

21、x2?3x?5?0、4x2?4x?3?0、x2?4?0、2x2?11x?21?0、4x2?15x?4?0、4x2?8x?5?0、16x2?8x?3?0、10x2?x?2?0、9x2?6x?8?0、12x2?20x?3?0、(x?2)(x?3)?620