第一篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明的常用方法經(jīng)典例題
關(guān)于不等式證明的常用方法
(1)比較法證不等式有作差(商)、變形、判斷三個(gè)步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，判斷過程必須詳細(xì)敘述如果作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個(gè)變量的二次式，則考慮用判別式法證
(2)綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法換元法主要放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一.有些不等式，從正面證如果不易說清楚，可以考慮反證法 凡是含有“至少”“惟一”或含有其他否定詞的命題，適宜用反證法 典型題例
例1證明不等式1?
12?1
3???1
n?2n(n∈N*)知識(shí)依托 本題是一個(gè)與自然數(shù)n有關(guān)的命題，首先想到應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，另外還涉及不等式證明中的放縮法、構(gòu)造法等 例2求使x?y≤ax?y(x＞0，y＞0)恒成立的a 知識(shí)依托 該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來，等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值例3已知a＞0，b＞0，且a+b=1求證(a+11)(b+)ba證法一(分析綜合法）證法二(均值代換法)證法三(比較法）證法四(綜合法)證法五(三角代換法）鞏固練習(xí)已知x、y是正變數(shù),a、b是正常數(shù),且ab?=1，x+y的最小值為xy設(shè)正數(shù)a、b、c、d滿足a+d=b+c，且|a－d|＜|b－c|，則ad與bc的大小關(guān)系是 若m＜n，p＜q，且(p－m)(p－n)＜0，(q－m)(q－n)＜0，則m、n、p、q的大小順序是__________ 已知a，b，c為正實(shí)數(shù)，a+b+c=1求證1(2)a?2?3b?2?c?2≤6
312已知x，y，z∈R，且x+y+z=1，x2+y2+z2= x，y，z∈［0，］ 23(1)a2+b2+c2≥證明下列不等式b?c2c?a2a?b2z≥2(xy+yz+zx)x?y?abc
y?zz?xx?y111??(2)若x，y，z∈R+，且x+y+z=xyz，則≥2(??)xyzxyz(1)若x，y，z∈R，a，b，c∈R+，則
已知i，m、n是正整數(shù)，且1＜i≤m＜n(1)證明 niAi
m＜miAi
n(2)(1+m)n＞(1+n)m
若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求證 a+b≤2，ab≤1不等式知識(shí)的綜合應(yīng)用
典型題例
例1用一塊鋼錠燒鑄一個(gè)厚度均勻，且表面積為2平方米的正四棱錐形有蓋容器(如右圖)設(shè)容器高為h米，蓋子邊長(zhǎng)為a米，(1)求a關(guān)于h的解析式；(2)設(shè)容器的容積為V立方米，則當(dāng)h為何值時(shí)，V最大？求出V的最大值(求解本題時(shí)，不計(jì)容器厚度)
知識(shí)依托本題求得體積V的關(guān)系式后，應(yīng)用均值定理可求得最值
例2已知a，b，c是實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=ax2+bx+c，g(x)=ax+b，當(dāng)－1≤x≤1時(shí)|f(x)|≤
1(1)|c|≤1；
(2)當(dāng)－1 ≤x≤1時(shí)，|g(x)|≤2；
(3)設(shè)a＞0，有－1≤x≤1時(shí)，g(x)的最大值為2，求f(x)
知識(shí)依托 二次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)、函數(shù)的單調(diào)性，絕對(duì)值不等式
例3設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a＞0)，方程f(x)－x=0的兩個(gè)根x1、x2滿足0＜x1＜x2(1)當(dāng)x∈［0，x1)時(shí)，證明x＜f(x)＜x1；
(2)設(shè)函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x=x0對(duì)稱，證明 x0＜
x
1鞏固練習(xí)
定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間［0，+∞)的圖象與f(x)的圖象重合，設(shè)a＞b＞0，給出下列不等
式，其中正確不等式的序號(hào)是()
①f(b)－f(－a)＞g(a)－g(－b)②f(b)－f(－a)＜g(a)－g(－b)③f(a)－f(－b)＞g(b)－g(－a)④f(a)－f(－b)＜g(b)－g(－a)①③
B②④
C①④
②③
下列四個(gè)命題中①a+b≥
2ab②sin2x+
4≥4③設(shè)x，y都是正數(shù)，若則x+y的最小值是12④?=1，2
xysinx
若|x－2|＜ε，|y－2|＜ε，則|x－y|＜2ε，其中所有真命題的序號(hào)是__________
已知二次函數(shù) f(x)=ax2+bx+1(a，b∈R，a＞0)，設(shè)方程f(x)=x的兩實(shí)數(shù)根為x1，x2
(1)如果x1＜2＜x2＜4，設(shè)函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸為x=x0，求證x0＞－1；(2)如果|x1|＜2，|x2－x1|=2，求b的取值范圍
設(shè)函數(shù)f(x)定義在R上，對(duì)任意m、n恒有f(m+n)=f(m)·f(n)，且當(dāng)x＞0時(shí)，0＜f(x)＜
1(1)f(0)=1，且當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＞1；
(2)f(x)在R上單調(diào)遞減；
(3)設(shè)集合A={(x，y)|f(x2)·f(y2)＞f(1)}，集合B={(x，y)|f(ax－g+2)=1，a∈R}，若A∩B=?，求a的取值范圍
2x2?bx?c
已知函數(shù)f(x)=(b＜0)的值域是［1，3］，2x?1
(1)求b、c的值；
(2)判斷函數(shù)F(x)=lgf(x)，當(dāng)x∈［－1，1］時(shí)的單調(diào)性，并證明你的結(jié)論；(3)若t∈R，求證 lg
711≤F(|t－|－|t+|)≤566數(shù)列與不等式的交匯題型分析及解題策略
【命題趨向】
數(shù)列與不等式交匯主要以壓軸題的形式出現(xiàn)，試題還可能涉及到與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)等知識(shí)綜合一起考查.主要考查知識(shí)數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及二者之間的關(guān)系、等差數(shù)列和等比數(shù)列、歸納與猜想、數(shù)歸納法、比較大小、不等式證明、參數(shù)取值范圍的探求，在不等式的證明中要注意放縮法的應(yīng)用.【典例分析】
題型一 求有數(shù)列參與的不等式恒成立條件下參數(shù)問題
求得數(shù)列與不等式結(jié)合恒成立條件下的參數(shù)問題主要兩種策略：(1)若函數(shù)f(x)在定義域?yàn)镈，則當(dāng)x∈D時(shí)，有f(x)≥M恒成立?f(x)min≥M；f(x)≤M恒成立?f(x)max≤M；(2)利用等差數(shù)列與等比數(shù)列等數(shù)列知識(shí)化簡(jiǎn)不等式，再通過解不等式解得.11
1【例1】等比數(shù)列{an}的公比q＞1，第17項(xiàng)的平方等于第24項(xiàng)，求使a1＋a2＋…＋an＞…恒成立的正整數(shù)n的取
a1a2an值范圍.【例2】（08·全國(guó)Ⅱ）設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn．已知a1＝a，an+1＝Sn＋3n，n∈N*．
(Ⅰ)設(shè)bn＝Sn－3n，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若an+1≥an，n∈N*，求a的取值范圍．【點(diǎn)評(píng)】 一般地，如果求條件與前n
項(xiàng)和相關(guān)的數(shù)列的通項(xiàng)公式，則可考慮Sn與an的關(guān)系求解
題型二 數(shù)列參與的不等式的證明問題
此類不等式的證明常用的方法：(1)比較法，特別是差值比較法是最根本的方法；(2)分析法與綜合法，一般是利用分析法分析，再利用綜合法分析；(3)放縮法，主要是通過分母分子的擴(kuò)大或縮小、項(xiàng)數(shù)的增加與減少等手段達(dá)到證明的目的.【例3】 已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，a3＝7，S4＝24．(Ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)p、q都是正整
1數(shù)，且p≠q，證明：Sp+q＜(S2p＋S2q)．【點(diǎn)評(píng)】 利用差值比較法比較大小的關(guān)鍵是對(duì)作差后的式子進(jìn)行變形，途徑主要有：（1）
2因式分解；（2）化平方和的形式；（3）如果涉及分式，則利用通分；（4）如果涉及根式，則利用分子或分母有理化.【例4】(08·安徽高考)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝0，an+1＝can3＋1－c，c∈N*，其中c為實(shí)數(shù).(Ⅰ)證明：an∈[0，1]對(duì)任意n∈N*11成立的充分必要條件是c∈[0，1]；(Ⅱ)設(shè)0＜c＜，證明：an≥1－(3c)n?1，n∈N*；（Ⅲ）設(shè)0＜c＜，證明：a12＋a22＋…＋an
2332
＞n＋1－n∈N*.1－3c
題型三 求數(shù)列中的最大值問題
求解數(shù)列中的某些最值問題，有時(shí)須結(jié)合不等式來解決，其具體解法有：(1)建立目標(biāo)函數(shù)，通過不等式確定變量范圍，進(jìn)而求得最值；(2)首先利用不等式判斷數(shù)列的單調(diào)性，然后確定最值；(3)利用條件中的不等式關(guān)系確定最值.【例5】(08·四川)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S4≥10，S5≤15，則a4的最大值為______.【例6】 等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1＝2002，公比q＝－．(Ⅰ)設(shè)f(n)表示該數(shù)列的前n項(xiàng)的積，求f(n)的表達(dá)式；(Ⅱ)當(dāng)n
取何值時(shí)，f(n)有最大值．
題型四 求解探索性問題
數(shù)列與不等式中的探索性問題主要表現(xiàn)為存在型，解答的一般策略：先假設(shè)所探求對(duì)象存在或結(jié)論成立，以此假設(shè)為前提條件進(jìn)行運(yùn)算或邏輯推理，若由此推出矛盾，則假設(shè)不成立，從而得到“否定”的結(jié)論，即不存在.若推理不出現(xiàn)矛盾，能求得在范圍內(nèi)的數(shù)值或圖形，就得到肯定的結(jié)論，即得到存在的結(jié)果.【例7】 已知{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＋Sn＝4.(Ⅰ)求證：數(shù)列{an}是等比數(shù)列；(Ⅱ)是否存在正整數(shù)k，使
【點(diǎn)評(píng)】在導(dǎo)出矛盾時(shí)須注意條件“k∈N*”，這是在解答數(shù)列問題中易忽視的一個(gè)陷阱.【例8】(08·湖北)已知數(shù)列{an}和{bn}滿足：a1＝λ，an+1＝n＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整
3數(shù).（Ⅰ）對(duì)任意實(shí)數(shù)λ，證明數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；（Ⅱ）試判斷數(shù)列{bn}是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論；（Ⅲ）設(shè)0＜a＜b,Sn為數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和.是否存在實(shí)數(shù)λ，使得對(duì)任意正整數(shù)n，都有a＜Sn＜b?若存在，求λ的取值范圍；若不存在，說明理由.數(shù)列與不等式命題新亮點(diǎn)
例1 把數(shù)列一次按第一個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù),按第二個(gè)括號(hào)兩個(gè)數(shù),按第三個(gè)括號(hào)三個(gè)數(shù),按第四個(gè)括號(hào)一個(gè)數(shù)?,循環(huán)分為(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(23)?,則第50個(gè)括號(hào)內(nèi)各數(shù)之和為_____.點(diǎn)評(píng):恰當(dāng)?shù)姆纸M,找到各數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系是解決之道.此外,這種題對(duì)觀察能力有較高的要求.例2 設(shè)A.bn
Sk+1－2
＞2成立.Sk－2
?an?是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列, bn?an?1?an?2,cn?an?an?3,則()
S
?cnB.bn?cnC.bn?cnD.bn?cn
點(diǎn)評(píng):此題較易入手,利用作差法即可比較大小,考察數(shù)列的遞推關(guān)系.例3 若對(duì)x?(??,?1],不等式(m
?m)2x?()x?1恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍()
A
B
D
A.(?2,3)B.(?3,3)C.(?2,2)D.(?3,4)
例4四棱錐S-ABCD的所有棱長(zhǎng)均為1米,一只小蟲從S點(diǎn)出發(fā)沿四棱錐的棱爬行,若在每一頂點(diǎn)處選擇不同的棱都是等可能的.設(shè)小蟲爬行n米后恰好回到S點(diǎn)的概率為Pn(1)求P2、P3的值;(2)求證: 3Pn?1?Pn
例5 已知函數(shù)
?1(n?2,n?N)(3)求證: P2?P3???Pn>6n?5(n?2,n?N)
4f?x??x2?x.(1)數(shù)列
?an?滿足: a1?0,an?1?f??an?,若?
1?對(duì)任意的n?N恒成立,試求a1的取值范圍;2i?11?ai,Sk為數(shù)列?cn?的前k項(xiàng)和, Tk為數(shù)列?cn?的1?bn
n
(2)數(shù)列
?bn?滿足: b1?1,bn?1?f?bn??n?N?,記cn?
Tk7
?.?10k?1Sk?Tk
n
前k項(xiàng)積,求證
例6(1)證明: ln
?1?x??x(x?0)(2)數(shù)列?an?中.a1?1,且an???1?
?1?1
a??n?2?;?n?1
2n?1?n
2①證明: an【專題訓(xùn)練】
?
7?n?2?②an?e2?n?1? 4
aaD．a(chǎn)6a8（）D．bn≤cn
（）
1．已知無窮數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等差數(shù)列，則有
aaA．＜
a6a8
aaB．
a6a8
aaC．＞a6a8
2．設(shè){an}是由正數(shù)構(gòu)成的等比數(shù)列，bn＝an+1＋an+2，cn＝an＋an+3，則
A．bn＞cn
B．bn＜cn
C．bn≥cn
3．已知{an}為等差數(shù)列，{bn}為正項(xiàng)等比數(shù)列，公比q≠1，若a1＝b1，a11＝b11，則（）
A．a(chǎn)6＝b6 A．9 A．S4a5＜S5a4
B．a(chǎn)6＞b6 B．8 B．S4a5＞S5a4
C．a(chǎn)6＜b6 C．7 C．S4a5＝S5a4 S
(n＋32)Sn+1
1C．
D．a(chǎn)6＞b6或a6＜b6（）D．6 D．不確定（）
150
4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2－9n，第k項(xiàng)滿足５＜ak＜８，則k＝
5．已知等比數(shù)列{an}的公比q＞0，其前n項(xiàng)的和為Sn，則S4a5與S5a4的大小關(guān)系是（）
6．設(shè)Sn＝1＋2＋3＋…＋n，n∈N*，則函數(shù)f(n)＝
A．
120
B．
130
D．
7．已知y是x的函數(shù)，且lg3，lg(sinx－)，lg(1－y)順次成等差數(shù)列，則
A．y有最大值1，無最小值B．y有最小值
（）
1111
C．y有最小值，最大值1D．y有最小值－1，最大值11212
（）
Ｄ．(－∞，－1?∪?3，＋∞)
8．已知等比數(shù)列{an}中a2＝1，則其前3項(xiàng)的和S3的取值范圍是
Ａ．(－∞，－1?
Ｂ．(－∞，－1)∪(1，＋∞)Ｃ．?3，＋∞)
9．設(shè)3b是1－a和1＋a的等比中項(xiàng)，則a＋3b的最大值為()
A．1（）
A．充分不必要條件 11．{an}為等差數(shù)列，若
A．11
B．必要不充分條件C．充分比要條件
D．既不充分又不必要條件
（）
B．2
C．
3D．4
10．設(shè)等比數(shù)列{an}的首相為a1，公比為q，則“a1＜0，且0＜q＜1”是“對(duì)于任意n∈N*都有an+1＞an”的a1，且它的前n項(xiàng)和Sn有最小值，那么當(dāng)Sn取得最小正值時(shí)，n＝ a10
B．17
C．19
D．21
12．設(shè)f(x)是定義在R上恒不為零的函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)x、y∈R，都有f(x)f(y)＝f(x＋y)，若a1＝an＝f(n)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn的取值范圍是
1A．?，2)
B．[，2]
（）1
C．1)
D．[1]
S13．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a4－a2＝8，a3＋a5＝26，記Tn＝，如果存在正整數(shù)M，使得對(duì)一切正整數(shù)n，Tn≤M都
n
成立．則M的最小值是__________．
14．無窮等比數(shù)列{an}中，a1＞1，|q|＜1，且除a1外其余各項(xiàng)之和不大于a1的一半，則q的取值范圍是________.(a＋b)
215．已知x＞0，y＞0，x，a，b，y成等差數(shù)列，x，c，d，y成等比數(shù)列，則的最小值是________.cd
Ａ．0
Ｂ．1
Ｃ．2
Ｄ．
416．等差數(shù)列{an}的公差d不為零，Sn是其前n項(xiàng)和，給出下列四個(gè)命題：①A．若d＜0，且S3＝S8，則{Sn}中，S5和S6都是
{Sn}中的最大項(xiàng)；②給定n，對(duì)于一定k∈N*(k＜n)，都有an?k＋an+k＝2an；③若d＞0，則{Sn}中一定有最小的項(xiàng)；④存在k∈N*，使ak－ak+1和ak－ak?1同號(hào) 其中真命題的序號(hào)是____________.17．已知{an}是一個(gè)等差數(shù)列，且a2＝1，a5＝－5．（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)an；（Ⅱ）求{an}前n項(xiàng)和Sn的最大值．
18．已知{an}是正數(shù)組成的數(shù)列，a1＝1，且點(diǎn)(an，an+1)(n∈N*）在函數(shù)y＝x2＋1的圖象上.(Ⅰ)求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)
若列數(shù)｛b｝滿足b＝1,b＝b＋2an，求證：b ·b＜b2.n
n+1
n
n
n+2
n+1
19．設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0，1)，an＝
3－an?1
n＝2，3，4，….2
（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)bn＝a3－2an，證明bn＜bn+1，其中n為正整數(shù)． 20．已知數(shù)列{an}中a1＝2，an+1＝(2－1)(an＋2)，n＝1，2，3，….（Ⅰ）求{an}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{an}中b1＝2，bn+1＝
3bn＋4
n＝1，2，3，….2＜bn≤a4n?3，n＝1，2，3，… 2bn＋
321．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，其導(dǎo)函數(shù)為f?(x)＝6x－2，數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn)(n∈N*)均在函
數(shù)y＝f(x)的圖像上.（Ⅰ）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
1m
（Ⅱ）設(shè)bn＝，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，求使得Tn＜對(duì)所有n∈N*都成立的最小正整數(shù)m
20anan＋1
22．?dāng)?shù)列，?是常數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)a2??1時(shí)，求?及a3的值；（Ⅱ）2，?）?an?滿足a1?1，an?1?(n2?n??)an（n?1，數(shù)列?an?是否可能為等差數(shù)列？若可能，求出它的通項(xiàng)公式；若不可能，說明理由；（Ⅲ）求?的取值范圍，使得存在正整數(shù)m，當(dāng)n?m時(shí)總有an
一、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式
（一）、利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)單調(diào)性來證明不等式
?0．
利用導(dǎo)數(shù)處理與不等式有關(guān)的問題
某個(gè)區(qū)間上導(dǎo)數(shù)大于（或小于）0時(shí)，則該單調(diào)遞增（或遞減）。因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性,然后再用函數(shù)單調(diào)性達(dá)到證明不等式的目的。
1、直接構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的增減性；再利用函數(shù)在它的同一單調(diào)遞增（減）區(qū)間，自變量越大，函數(shù)值越大
（?。?，來證明不等式成立。
x2例1：x>0時(shí),求證；x?－ln(1+x)＜02、把不等式變形后再構(gòu)造函數(shù),然后利用導(dǎo)數(shù)證明該函數(shù)的單調(diào)性，達(dá)到證明不等式的目的。例2：已知：a,b∈R,b>a>e, 求證:ab>b a,(e為自然對(duì)數(shù)的底)
（二）、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值（或值域）后，再證明不等式。
導(dǎo)數(shù)的另一個(gè)作用是求函數(shù)的最值.因而在證明不等式時(shí)，根據(jù)不等式的特點(diǎn)，有時(shí)可以構(gòu)造函數(shù)，用導(dǎo)數(shù)求出該函數(shù)的最值；由當(dāng)該函數(shù)取最大（或最?。┲禃r(shí)不等式都成立，可得該不等式恒成立。從而把證明不等式問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值問題。例
3、求證：n∈N*,n≥3時(shí)，2n >2n+1 例
4、g
x2?(b?1)2的定義域是A=[a,b)，其中a,b∈R+,a (x)?(?1)Aax 若x1∈Ik=[k2,(k+1)2), x2∈Ik+1=[(k+1)2,(k+2)2) 3、利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的值域，再證明不等式。例5：f(x)= 3x－x, x1,x2∈[－1,1]時(shí)，求證：|f(x1)－f(x2)|≤ 二、利用導(dǎo)數(shù)解決不等式恒成立問題 不等式恒成立問題，一般都會(huì)涉及到求參數(shù)范圍，往往把變量分離后可以轉(zhuǎn)化為m>f(x)(或m a ?(?9(a?R),對(duì)f(x)定義域內(nèi)任意的x的值，f(x)≥27恒成立，求a的取值范圍 x nn? 1例 7、已知a＞0，n為正整數(shù)，（Ⅰ）設(shè)y=(x?a)，證明y??n(x?a)； n （Ⅱ）設(shè)fn(x)=xn－(x?a)，對(duì)任意n≥a，證明f ’n+1(n+1)＞（n+1）f ’n（n）。 例 6、已知函數(shù)f(x) 三、利用導(dǎo)數(shù)解不等式 例8：函數(shù) ?ax(a?0),解不等式f(x)≤1 本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文中學(xué)證明不等式的常用方法 所在學(xué)院：數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院 專 業(yè)： 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 姓 名： 張俊 學(xué) 號(hào)： 1010510020 指導(dǎo)教師： 曹衛(wèi)東 完成日期： 2014年04月15日） 摘 要 本文主要是對(duì)高中學(xué)習(xí)階段不等式證明方法的概括和總結(jié).不等式的證明方法多種多樣,其中有比較法,分析法,綜合法,反證法,數(shù)學(xué)歸納法,放縮法等常見的方法,另有一些學(xué)生比較不熟悉但也經(jīng)常采用的方法,如構(gòu)造法,向量法,求導(dǎo)法,換元法等等.關(guān)鍵詞: 不等式的證明;函數(shù)的構(gòu)造;極值;導(dǎo)數(shù) ABSTRACT This paper is mainly on the high school stage the inequality proof method and summarized.The inequality proof methods varied, including comparison, analysis, synthesis, reduction to absurdity, mathematical induction, scaling and other common methods, and some students are not familiar with but also the methods used, such as construction method, vector method, derivation method, method and so on.Key words: The inequality proof;function;extreme value;derivative 目 錄 1.構(gòu)造函數(shù)法 ·········································1 1.1 移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) ·································1 1.2 作差法構(gòu)造函數(shù) ·····························2 1.3 換元法構(gòu)造函數(shù) ·····························2 1.4 從條件特征入手構(gòu)造函數(shù) ······················3 1.5 主元法構(gòu)造函數(shù) ··································3 1.6 構(gòu)造形似函數(shù) ····································4 2.比較法 ·············································4 2.1 作差比較法 ······································4 2.2 作商比較法 ······································5 3.放縮法 ············································5 4.判別式法 ············································6 5.反證法 ············································7 6.向量法 ···········································8 7.不等式證明的具體應(yīng)用 ································9 參考文獻(xiàn) ··············································11 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 眾所周知,生活中存在著大量的不等量關(guān)系.不等量關(guān)系是基本的數(shù)學(xué)關(guān)系,它在數(shù)學(xué)研究與應(yīng)用中起著不可忽視的作用,因此,研究不等式的方法至關(guān)重要,許多數(shù)學(xué)家在這一領(lǐng)域取得豐碩的成果,他們的成就舉世矚目,無可替代.不等式的證明是高中學(xué)習(xí)階段的重要內(nèi)容之一,縱觀近幾年的高考,不等式的證明每年都有涉及,一般都出現(xiàn)在最后一題,可見它的困難和重要程度,因此不等式證明的學(xué)習(xí)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn),無論是求最值還是求不定量的范圍都需要用到不等式的證明.所以,有必要對(duì)不等式的證明方法做一個(gè)全面的,科學(xué)的,系統(tǒng)的總結(jié)和歸納.1.構(gòu)造函數(shù)法 1.1移項(xiàng)法構(gòu)造函數(shù) 【例1】 已知函數(shù)f(x)?ln(x?1)?x,求證：當(dāng)x??1時(shí),恒有 1?1?ln(x?1)?x.x?1分析：本題是雙邊不等式,其右邊直接從已知函數(shù)證明,左邊構(gòu)造函數(shù) 1?1,從其導(dǎo)數(shù)入手即可證明.g(x)?ln(x?1)?x?1證:先證左邊,令g(x)?ln(x?1)?111x?1, 則g?(x)? ??x?1x?1(x?1)2(x?1)2 當(dāng)x?(?1,0)時(shí),g?(x)?0;當(dāng)x?(0,??)時(shí),g?(x)?0 , 即g(x)在x?(?1,0)上為減函數(shù),在x?(0,??)上為增函數(shù),故函數(shù) g(x)在(?1,??)上的最小值為g(x)min?g(0)?0, ∴當(dāng)x??1時(shí),g(x)?g(0)?0,即ln(x?1)?1?1?0 x?1 ∴ ln(x?1)?1? 再證右邊,f?(x)?1(左邊得證).x?11x?1?? x?1x?1 ∴ 當(dāng)?1?x?0時(shí),f?(x)?0,即f(x)在x?(?1,0)上為增函數(shù), 當(dāng)x?0時(shí),f?(x)?0,即f(x)在x?(0,??)上為減函數(shù), 于是函數(shù)f(x)在(?1,??)上的最大值為f(x)max?f(0)?0, 1 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 因此,當(dāng)x??1時(shí)f(x)?f(0)?0,即ln(x?1)?x?0 ∴ ln(x?1)?x(右邊得證).綜上可知,當(dāng)x??1時(shí),有1?1?ln(x?1)?x x?1【啟迪】: 如果f(a)是函數(shù)f(x)在區(qū)間上的最?。ù螅┲?則有f(x)?f(a) （或f(x)?f(a))那么要證不等式,只要求函數(shù)的最小值不超過0就可得證． 1.2作差法構(gòu)造函數(shù) 【例2】 當(dāng)x?(0,1)時(shí),證明:(1?x)ln(1?x)?x.分析:本題是一個(gè)單邊不等式,很難直接看出兩者有什么聯(lián)系,因此聯(lián)想到采用作差的方法,將兩個(gè)函數(shù)變?yōu)橐粋€(gè)函數(shù).作差法是最直接把兩者結(jié)合的方法且求導(dǎo) 后能很容易看出兩者的聯(lián)系.證:做函數(shù)f(x)?(1?x)ln(1?x)?x,易得f(0)?0，221?x)?2x,當(dāng)x?0時(shí),f'(x)?0 而f'(x)?ln(1?x)?2ln(又得,f''(x)?22ln(1?x)22??2?[ln(1?x)?x]，1?x1?x1?x 當(dāng)x?(0,1)時(shí),f''(x)?0 ∴f'(x)在x?(0,1)上遞減,即f'(x)?f'(0)?0,即f(x)在(0,1)遞減 ∴f(x)?f(0)?0,從而原不等式得證.【啟迪】: 本題先構(gòu)造出一個(gè)函數(shù)并利用所設(shè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,再根據(jù)單調(diào) 性的性質(zhì)來證明原不等式如果一階導(dǎo)數(shù)無法判斷兩個(gè)關(guān)系,可以采用二階導(dǎo)數(shù) 來先判斷一階導(dǎo)數(shù)關(guān)系,再來判斷原函數(shù)的關(guān)系.1.3換元法構(gòu)造函數(shù) 122?x?xy?y?3.1?x?y?2 【例3】 已知 ,求證:222 分析:本題看上去毫無聯(lián)系,但發(fā)現(xiàn)x?y經(jīng)常出現(xiàn)在三角代換中.于是可以采用 換元法進(jìn)行嘗試,則結(jié)果顯而易見.證:因?yàn)?1? 其中1?2x2?y2?2,所以可設(shè)x?rcos?,y?rsin?，22r2?2,0???2?.1212 ∴x?xy?y?r?rsin2??r(1?sin2?) 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ??1?sin2??, 222121322 ?r?(1?sin2?)r?r 22232121 而r?3,r? 222122?x?xy?y?3.?2【啟迪】:當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式題目中含有x2?y2,或者別的與x,y有關(guān)的不等式,可以采用換 元法.將x,y進(jìn)行替換,再找兩者的關(guān)系來進(jìn)行論證.1.4從條件特征入手構(gòu)造函數(shù) 【例4】 若函數(shù)y?f(x)在R上可導(dǎo)且滿足不等式xf?(x)??f(x)恒成立,且常數(shù) a ,b滿足0?a?b,求證:af(a) xf(x)，?(x)?f(x)此時(shí)可以得到F(x)的導(dǎo)數(shù)為xf ?F?(x)?0,所以F(x)在R上為增函數(shù)，f(a)?f(b) ?af(a)?bf(b)?0?a?b,? 得證.【啟迪】：把條件進(jìn)行簡(jiǎn)單的變形后,很容易發(fā)現(xiàn)它是一個(gè)函數(shù)積的導(dǎo)數(shù),因此可以構(gòu)造出 F(x),求導(dǎo)后即可得到證明結(jié)果.1.5主元法構(gòu)造函數(shù) 【例5】 設(shè)a,b,c,d?R,且滿足(a?b?c)求證:ab?bc?ca2?2(a2?b2?c2)?4d，?3d 分析:本題初看含有四個(gè)未知量,且題目中只含一條不等式,因此解題時(shí)必須從這條 不等式入手,對(duì)其進(jìn)行變換.證:把a(bǔ)看成未知量進(jìn)行化簡(jiǎn),得一元二次不等式 ?2(b?c)a?(b?c)2?4d?0 22xaf(x)?x?2(b?c)x?(b?c)?4d 用替換,構(gòu)造一個(gè)函數(shù) a2x2前面的系數(shù)大于0,所以該拋物線開口向上 且當(dāng)x?a時(shí),f(a)?0.22??4(b?c)?4[(b?c)?4d]?0 ?其判別式 ? 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） d.同理把b,c看成未知量,可得ca?d,ab?d 疊加可得ab?bc?ca?3d.化簡(jiǎn),得bc?【啟迪】:有些復(fù)雜的不等式可以看成一個(gè)未知量的簡(jiǎn)單不等式,再找?guī)讉€(gè)未知量之間的關(guān)系,進(jìn)行證明.1.6構(gòu)造形似函數(shù) 【例6】 當(dāng)a?b?e時(shí),證明a?b.分析:要證a?b,只要證lnababab?lnba,即證明blna?alnb?0, 也就是要證明blnx?xlnb,因此構(gòu)造函數(shù) f(x)?blnx?xlnb,然后只需要證明 證:要證a?b,只要證lnabaf(x)單調(diào)遞減就可以了.b?lnb xb?lnba即證blna?alnb?0 設(shè)f(x)?blnx?xlnb(x?b?e),則f?(x)? ?b?e,x?b ?lnb?1, ?b?1?f?(x)?0 xf(x)在(e,??)上單調(diào)遞減.?a?b ?f(a)?f(b)故blna?alnb?blnb?blnb?0 ba 即blna?alnb ?a?b.【啟迪】:在證明簡(jiǎn)單不等式時(shí),可以采用求導(dǎo)等變換來構(gòu)造出一些相似的函數(shù),再利用函 數(shù)的單調(diào)性來證明簡(jiǎn)單不等式.2.比較法 2.1作差比較法 【例1】 若0?x?1,證明loga(1?x)?loga(1?x),(a?0,a?1).分析:用作差法來做,則需去掉絕對(duì)值,必須要分a?1和0?a?1兩種情況來考慮 問題.證:(1)當(dāng)0?a?1時(shí),?0?1?x?1,1?1?x?2 ?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x) ?0?x?1,?0?1?x? 1?loga(1?x)?0,得證.（2）當(dāng)a?1時(shí),?0?1?x?1,1?1?x?2 ? loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x)?loga(1?x)??loga(1?x) ?0?x?1,?0?1?x?1 22222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ??loga(1?x)?0,得證.綜合（1）（2）可得loga(1?x)?loga(1?x).【啟迪】:當(dāng)不等式兩邊的式子比較相近,或者是對(duì)數(shù)式子時(shí)可以采用作差法來嘗試.2.2作商比較法 【例2】 設(shè)a,b?R,且a?0,b?0,求證(ab)a?b22?aabb.分析:發(fā)現(xiàn)作差變形后符號(hào)很難判斷,且無法化簡(jiǎn),考慮到兩邊都是正數(shù),可以作商, 判斷比值和1的大小關(guān)系,從而來證明不等式.證:?ab?0,(ab)aba?b2?0,?將不等式兩邊相除，b?a2baa??()2 baabb 得(ab)a?b2?aa?b2bbaa?2?1.當(dāng)a?b時(shí),()baa?b?1?0, 當(dāng)0?b?a時(shí)，b2baa?a02()?()?1.由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可知,bbbaa?a0aa?b2()?()?1.?1?0 當(dāng)0?a?b時(shí)，,同理可得bbb2 綜上所述,對(duì)于任意的正實(shí)數(shù)a,b都有(ab)a?b2?aabb.【啟迪】:當(dāng)遇到作差法無法解決的問題時(shí)可以采用作商法來證明不等式,使用作商法的前 提條件是不等式兩邊均要大于0,一般為指數(shù)函數(shù)的形式.3.放縮法 2n?1an(n?N) 【例1】 已知數(shù)列?an?的前n項(xiàng)和為sn?1?2(1)設(shè)xn?(2n?1)sn,求證:數(shù)列?xn?為等差數(shù)列.11115???..........??(2)當(dāng)n?2時(shí),2.222xnxnxx32?1n?22n 分析:本題分為兩小題,第一小題是考察數(shù)列的知識(shí),是為第二小題做的鋪墊,在做 第二小題時(shí),需要采用放縮來證明,來把不等式的左邊放大來比較.2n?1(sn?sn?1) 證:(1)當(dāng)n?2時(shí),sn?1?2 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 化簡(jiǎn),得(2n?1)sn?2?(2n?1)sn?1 由已知條件得xn 其通項(xiàng)公式為xn ??xn?是以首項(xiàng)為x1?xn?1?2,即xn?xn?1?2 ?2公差d?2的等差數(shù)列，?2n.1111???..........?(2)2222 xnxnxx?1n?22n11111??......?] ?[2?222 4n(n?1)(n?2)(2n)11111???......?] ?[4n(n?1)n(n?1)(n?1)(n?2)(2n?1)(2n)1111111?[(?)?(?)?(?)?......4n?1nnn?1n?1n? 2111111n?1?(?)]?(?)?()2n?12n4n?12n42n(n?1)1n?1 ? 42(n?1)2?6(n?1)?411? 44 2(n?1)?6?n?14 令f(n)?2(n?1)?,當(dāng)n?2時(shí),f(n)的值隨著n的增大而增 n?1 大,?f(n)?f(2), 111136??? 即4 44f(2)?616322(n?1)?6?n?111115?2?.?2?2?2?..........xnxn?1xn?2x2n32【啟迪】: 采用放縮法題目一般比較開放,且沒有固定的放縮范圍,一般比較靈活,且方法 較多.4.判別式法 ?7? 【例1】 已知x?y?z?5,x?y?z?9,求證x,y,z都屬于?1,? ?3?222 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 分析:實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2?bx?c?0有兩個(gè)不等實(shí)根、有兩個(gè)相等實(shí)根、沒有實(shí)根的充要條件是: b 記??4ac?0、b2?4ac?0、b2?4ac?0． ?b2?4ac,稱其為方程是否有實(shí)根的判別式.同時(shí)也是與方程對(duì)應(yīng)的 函數(shù)、不等式的判別式.此題含有三個(gè)未知數(shù),所以要進(jìn)行替換.222z?5?x?yx?y?z?9中 證:有條件可得,代入 化簡(jiǎn)可得:x ?2?(y?5)x?y2?5y?8?0 x?R,且方程有解,?根的判別式??b2?4ac?0 22?7?7y?1,?.即(y?5)?4(y?5y?8)?0,解得1?y?,即?3?3??7??7? 同理,替換x,y可得z??1,?,x??1,?.?3??3? ?得證.【啟迪】:本題看似復(fù)雜,含有三個(gè)未知量,其實(shí)只需要簡(jiǎn)單的幾個(gè)步驟就解決了,因此在解決這類問題時(shí),第一步是替換未知量,第二部把另一個(gè)未知量看成已知量,再 用根的判別式來確定范圍.5.反證法 【例1】 設(shè)0?a,b,c?1,求證:(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時(shí)大于.分析:本題的結(jié)論為否定形式,適合用反證法來證明,假設(shè)命題不成立,從而導(dǎo)出矛 盾.證:假設(shè)(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a三個(gè)數(shù)都大于, 則有(1?a)b?111,(1?b)c?,(1?c)a? 444 又?0?a?1,0?b?1,0?c?1 ?111(1?a)b?,(1?b)c?,(1?c)a?.222 7 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）?(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a? ? 2a?b1?a?bab?(1?a)b? 又由基本不等式得，221?b?c1?c?a(1?b)c?,(1?c)a?, 把上面三個(gè)式子相加得(1?a)b?(1?b)c?(1?c)a?3 ? 2 顯然?與?相矛盾,所以假設(shè)不成立.?(1?a)b,(1?b)c,(1?c)a,不可能同時(shí)大于.4【啟迪】:命題中出現(xiàn)“至少”,“都”,“同時(shí)”,“至多”等字樣時(shí),可以采用反證法, 反證的關(guān)鍵在于找出與命題相反的結(jié)論,然后再用假設(shè)的條件推出矛盾.6.向量法 a2b2c2???12.【例1】設(shè)a?1,b?1,c?1,證明: b?1c?1a?1 分析:本題只有一個(gè)已知條件,且結(jié)論也無法化簡(jiǎn),因此可以想到高中最直接的方法 向量法,構(gòu)造兩個(gè)向量.利用向量的知識(shí)進(jìn)行解決.?m 證:設(shè)?(a2b2c2?，),n?(b?1,c?1,a?1)b?1c?1a?1??m 則?n?a2b2c2?b?1??c?1??a?1 b?1c?1a?1?a?b?c 222abc ????a?b?c?3?cos?b?1c?1a?1a2b2c2???a?b?c?3 ?b?1c?1a?1a2b2c2a?b?c??? ? b?1c?1a?1a?b?c?33 ?a?b?c?3? a?b?c?3 ?23 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ?a?1,b?1,c?1.a2b2c2???12.兩邊同時(shí)平方可得 b?1c?1a?1 ?得證.7.不等式證明的具體應(yīng)用 1125【例1】 已知a?0,b?0,且a?b?1,求證(a?)(b?)? ab4分析:本題是高中階段一道普通的不等式證明題,如讓學(xué)生獨(dú)立完成,可得到如下解決 方法.解法一:分析法 1125(a?)(b?)? 要證，ab4222 只要證4?ab??4a?b?25ab?4?0，?? 即證4?ab?2?33?ab??8?0，1ab?或ab?8.即因?yàn)閍?0,b?0,a?b?1,所以ab?8不成立.1ab? 又因?yàn)??a?b?2ab,所以.得證.解法二:作差比較法 ?a?b?1,a?0,b?0 ?a?b?2ab,?ab? 41125a2?1b2?125??? ?(a?)(b?)?ab4ab44a2b2?33ab?8(1?4ab)(8?ab)??0 ?4ab4ab1125 ?(a?)(b?)?.ab4 解法三:三角代換法 ?a?b?1,a ?0,b?0 江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） ??? 故設(shè)a?sin?,b?cos?,???0,? ?2?1122)(cos??)則原式?(sin??22sin?cos?sin4??cos4??2sin2?cos2??2 ? 4sin22?(4?sin2?)2?16 ? 24sin2?22 ? sin2??1?4?sin2??4?1?3.1122?.?(4?sin2?)?16?25,24sin2?41125 ?(a?)(b?)?.ab422本題歸納與小結(jié):本題一共采用了3種不同的方法,第一種是從問題入手,對(duì)問題進(jìn)行一步 步的剖析,有逆向思維的方式,是把問題具體化,把所要證明的問題轉(zhuǎn)化 為所學(xué)的知識(shí),或者已知條件.只要分析的過程合理,一般過渡的結(jié)論很 容易得到.第二種方法也是根據(jù)問題入手,不同的是它把問題直接改變?yōu)?/p> 一道運(yùn)算式,這樣就把問題變?yōu)檫\(yùn)算式結(jié)果與零比較大小,因?yàn)轭}目所給的數(shù)字往往讓在解題時(shí)無從下手,無法想出這個(gè)數(shù)字從何而來,一但轉(zhuǎn)化 為零后,解題時(shí)只需要考慮對(duì)算式的變形,最后只需判斷算式的正負(fù)號(hào).第三種方法使用范圍比較小,它一般具有特殊的條件如a?b?1, a2?b2?1這種情況下會(huì)考慮三角代換,采用三角代換最需要注意的是 角的范圍,一般學(xué)生在采用代換時(shí)往往忘記角的范圍,從而無法確定三角 函數(shù)值的范圍,容易產(chǎn)生多解或錯(cuò)解.這種方法好處在于已經(jīng)知道了三角 值的范圍,且三角函數(shù)含有多種變形方式可以對(duì)式子進(jìn)行更好的化簡(jiǎn).并 且利用三角值的確定性能很快的得到所求式子的范圍.本題三種方法均 可采用,根據(jù)學(xué)生個(gè)人的掌握程度來選擇方法.本論文主要對(duì)高中不等式的常用證明方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的總結(jié),使中學(xué)生在證明不等式時(shí)有法可依,能盡快的找到適合的方法,主要介紹構(gòu)造法,作差法,放縮法,判別式法,反證法,向量法這些常用的方法.江蘇第二師范學(xué)院2014屆本科生畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 參考文獻(xiàn) [1]雷小平.證明不等式的常用方法.太原科技[A],2002(1):54～55 [2]丁海軍.證明不等式的常用方法.自然科學(xué)版[J],2009:55～57 [3]曹軍芳.高中數(shù)學(xué)中不等式證明的常用方法.佳木斯教育學(xué)院報(bào)[A],2014(1):220～221 [4]孔凡哲.證明不等式正確性的幾種常用方法.武漢教育學(xué)院報(bào),1995(3):31～33 [5]劉志雄.談不等式證明的常用方法.重慶師專學(xué)報(bào),1999(4):101～103 [6]徐志科.王彥博.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式的幾種方法.自然科學(xué)版[A],2013(7):7～8 [7]李天榮.曹玉秀.中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明方法.臨滄師范高等?？茖W(xué)校學(xué)報(bào),2013(2):88～90 [8]嚴(yán)萬金.淺談中學(xué)數(shù)學(xué)不等式的證明的常見技巧及方法策略.數(shù)學(xué)教育[A],2012(2):64 [9]封平平.不等式證明方法初探.新課程學(xué)習(xí)[J],2012:72～73 [10]黃俊峰.袁方程.證明不等式中的常用方法.數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J],2012(8):28～30 [11]程勛躍.不等式證明的方法與技巧.課程教育研究[A],2012:60～61 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8、a、b、c?(0,??)且a?b?c?1，求證a?b?c?3。 四、換元法 換元法實(shí)質(zhì)上就是變量代換法，即對(duì)所證不等式的題設(shè)和結(jié)論中的字母作適當(dāng)?shù)淖儞Q，以達(dá)到化難為易的目的。 9、b?1，求證：ab?(1?a2)(1?b2)?1。 22x?y?1，求證：?2?x?y?210、114??.a?bb?ca?c1222212、已知1≤x＋y≤2，求證：≤x－xy＋y≤3． 211、已知a>b>c,求證： 13、已知x－2xy＋y≤2，求證：| x＋y |≤10． 14、解不等式5?x?221x?1＞ 2215、－1≤1?x－x≤2． 五、增量代換法 在對(duì)稱式(任意互換兩個(gè)字母，代數(shù)式不變)和給定字母順序(如a＞b＞c)的不等式，常用增量進(jìn)行代換，代換的目的是減少變量的個(gè)數(shù)，使要證的結(jié)論更清晰，思路更直觀，這樣可以使問題化難為易，化繁為簡(jiǎn)． 16、已知a，b?R，且a＋b = 1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥ 六、利用“1”的代換型 2225． 2111已知a,b,c?R?,且 a?b?c?1,求證： ???9.abc17、七、反證法 反證法的思路是“假設(shè)?矛盾?肯定”，采用反證法時(shí)，應(yīng)從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理必須是正確的。 18、若p＞0，q＞0，p＋q= 2，求證：p＋q≤2．證明：反證法 33119、已知a、b、c?（0，1），求證：(1?a)b，(1?b)c，(1?c)a，不能均大于4。 20、已知a,b,c∈（0，1），求證：（1－a）b,（1－b）c,（1－c）a 不能同時(shí)大于 1。 421、a、b、c?R，a?b?c?0，ab?bc?ca?0，a?b?c?0，求證：a、b、c均為正數(shù)。 八、放縮法 放縮時(shí)常用的方法有：1去或加上一些項(xiàng)2分子或分母放大（或縮小）3用函數(shù)單調(diào)性放縮4用已知不等式放縮 22、已知a、b、c、d都是正數(shù)，求證：1＜＜2． bdac＋＋＋ a?b?cb?c?dc?d?ad?a?b23、n?N，求證：*2(n?1?1)?1?12?13???1n?2n?1。 24、A、B、C為?ABC的內(nèi)角，x、y、z為任意實(shí)數(shù)，求證：x2?y2?z2?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC。 證 九、構(gòu)造函數(shù)法 構(gòu)造函數(shù)法證明不等式24 設(shè)0≤a、b、c≤2，求證：4a＋b＋c＋abc≥2ab＋2bc＋2ca． 25、設(shè)a、b∈R，且a＋b =1，求證：(a＋2)＋(b＋2)≥?222225． 226、設(shè)a＞0，b＞0，a＋b = 1，求證：2a?1＋2b?1≤22． 1．實(shí)數(shù)絕對(duì)值的定義: |a|= 這是去掉絕對(duì)值符號(hào)的依據(jù)，是解含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的基礎(chǔ)。 2．最簡(jiǎn)單的含絕對(duì)值符號(hào)的不等式的解。 若a>0時(shí)，則 |x| |x|>a x<-a或x>a。 注:這里利用實(shí)數(shù)絕對(duì)值的幾何意義是很容易理解上式的，即|x|可看作是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)P(x)到原點(diǎn)的距離。 3．常用的同解變形 |f(x)| |f(x)|>g(x)f(x)<-g(x)或f(x)>g(x)； |f(x)|<|g(x)| f2(x) 4．三角形不等式: ||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|。 2014年高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)：不等式證明的基本方法·例題 例5-2-7已知a，b，c∈R+，證明不等式： 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。 解用綜合法。因a＞0，b＞0，c＞0，故有 三式分邊相加，得 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。 例5-2-8設(shè)t＞0。證明：對(duì)任意自然數(shù)n，不等式 tn-nt+(n-1)≥0 都成立，并說明在什么條件下等號(hào)成立。 解當(dāng)n=1時(shí)，不等式顯然成立，且取等號(hào)。 當(dāng)n≥2時(shí)，由冪分拆不等式，可得以下n-1個(gè)不等式： t2+1≥t+t，t3+1≥t2+t，?，tn-1+1≥tn-2+t，tn+1≥tn-1+t 以上各式當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)。把它們分邊相加，得 故對(duì)任意n∈N，不等式獲證。等號(hào)成立的條件是n=1，或t=1。-1- 注①在以上不等中令t=1+x(x＞-1)，即得著名的貝努利不等式(1+x)n≥ 1+nx 例5-2-9設(shè)a，b，c都是正數(shù)，證明不等式 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取等號(hào)。 分析本例有多種精彩證法。根據(jù)對(duì)稱性，可從左邊一項(xiàng)、兩項(xiàng)入手，當(dāng)然也可根據(jù)平均值不等式或冪分拆不等式從整體入手。 解[法一]從一項(xiàng)入手，適當(dāng)配湊后由平均值不等式知 三式分邊相加，即得 時(shí)，上式取等號(hào)。 [法二]從兩入手，利用冪分拆不等式，有 同理有 三式分邊相加，得 [法三]從整理入手，原不等式等價(jià)于 進(jìn)一步證明參考習(xí)題5-2-7(1)解答。 [法四]由平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，y，∈R+)的變式 三式分邊相加，得 所以 注從證法4我們看到，利用平均值不等式x2+(λy)2≥2λxy(x，式不等式，思路自然，簡(jiǎn)捷明快，頗具特色。 例5-2-10已知關(guān)于x的實(shí)系數(shù)方程x2+px+q=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根α，β。證明：若|α|＜2，|β|＜2，則|q|＜4，且2|p|＞4+q。 解先證|q|＜4，由韋達(dá)定理知 |q|=|αβ|=|α|·|β|＜2×2=4 再證2|p|＞4+q。 欲證不等式即0≤2|α+β|＜4+αβ。故只須證 4(α+β)2＜(4+αβ) 2即4α+8αβ+4β2＜16+8αβ+α2β2 從而只須證 16-4α2-4β2+α2β2＞0 即(4-α2)(4-β2)＞0 由|α|＜2，|β|＜2，知α2＜4，β2＜4，故最后不等式成立，從而原不等式得證。 例5-2-11證明：若a，b，c是三角形的三邊，則 3(ab+bc+ca)≤(a+b+c)2＜4(ab+bc+ca)當(dāng)且僅當(dāng)三角形為正三角形時(shí)，左邊取等號(hào)。解左邊不等式等價(jià)于 3(ab+bc+ca)≤a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)欲證此不等式成立，只須證 ab+bc+ca≤a2+b2+c2 即證 2(a2+b2+c2)-2(ab+bc+ca)≥0 左邊配方即為 (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≥0 此不等式顯然成立，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c，即三角形為正三角形時(shí)取等號(hào)。故左邊不等式獲證。 欲證右邊不等式，仿上只須證 a2+b2+c2＜2(ab+bc+ca)從而只須證 (ab+ac-a2)+(ab+bc-b2)+(bc+ca-c2)＞0 即證 a(b+c-a)+b(a+c-b)+c(b+a-c)＞0 由于a，b，c是三角形的三邊，此不等式顯然成立，故右邊不等式獲證。綜上所述，原不等式得證。 例5-2-12設(shè)f(x)=x2+px+q(p，q∈R)，證明： (2)若|p|+|q|＜1，則f(x)=0的兩個(gè)根的絕對(duì)值都小于1。解用反證法 但是，|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)-2f(2)+f(3) =(1+p+q)-2× (4+2p+q)+(9+3p+q)=2(ii) (i)與(ii)矛盾，故假設(shè)不成立，即原命題成立。 (2)假設(shè)f(x)=0的兩根x1，x2的絕對(duì)值不都小于1，不妨設(shè)|x1|≥1，那么由韋達(dá)定理，有 |p|=|-(x1+x2)|=|x1+x2|≥|x1|-|x2|≥1-|x2| |q|=|x1x2|=|x1|·|x2|≥|x2| 兩式分邊相加，得 |p|+|q|≥ 1這與題設(shè)矛盾，故假設(shè)不成立，即原命題得證。 注反證法的邏輯程序是：否定結(jié)論→推出矛盾→肯定結(jié)論。反證法常用于直接證明難于入手的命題，或結(jié)論中含“不存在”、“都是”、“都不是”、“至少”、“至多”、之類的存在性命題。 經(jīng)典例題透析 類型一：比較法證明不等式 1、用作差比較法證明下列不等式： ； (a，b均為正數(shù)，且a≠b) （1） （2） 思路點(diǎn)撥：（1）中不等號(hào)兩邊是關(guān)于a,b,c的多項(xiàng)式，作差后因式分解的前途不大光明，但注意到如a2, b2, ab這樣的結(jié)構(gòu)，考慮配方來說明符號(hào)；（2）中作差后重新分組進(jìn)行因式分解。 證明： （1） 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立，（2） （當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c取等號(hào)）.∵a>0, b>0, a≠b，∴a+b>0,(a-b)2>0，∴ ∴ .，總結(jié)升華：作差，變形（分解因式、配方等），判斷差的符號(hào)，這是作差比較法證明不等式的常用方法。 舉一反三： 【變式1】證明下列不等式： (1)a2+b2+2≥2(a+b) (2)a2+b2+c2+3≥2(a+b+c) (3)a2+b2≥ab+a+b-1 【答案】 （1）（a2+b2+2）-2(a+b)=(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-1)2+(b-1)2≥0 ∴a2+b2+2≥2(a+b)（2）證法同（1） （3）2（a2+b2）-2（ab+a+b-1)=(a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)=(a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0 ∴2（a2+b2）≥2（ab+a+b-1)，即a2+b2≥ab+a+b-1 【變式2】已知a，b∈，x，y∈，且a+b=1，求證：ax2+by2≥(ax+by)2 【答案】 ax2+by2-(ax+by)2 =ax2+by2-a2x2-b2y2-2abxy =a(1-a)x2+b(1-b)y2-2abxy=abx2+aby2-2abxy =ab(x-y)2≥0 ∴ax2+by2≥(ax+by)2 2、用作商比較法證明下列不等式： (a，b均為正實(shí)數(shù)，且a≠b)，且a，b，c互不相等） （1） （2）（a，b，c∈ 證明： （1）∵a3+b3>0, a2b+ab2>0.∴，∵a, b為不等正數(shù)，∴ ∴，∴ （2）證明： 不妨設(shè)a>b>c，則 ∴ 所以，總結(jié)升華：當(dāng)不等號(hào)兩邊均是正數(shù)乘積或指數(shù)式時(shí)，常用這種方法，目的是約分化簡(jiǎn).作商比較法的基本步驟:判定式子的符號(hào)并作商變形 判定商式大于1或等于1或小于1 結(jié)論。 舉一反三： 【變式1】已知a>2，b>2，求證：a+b ∴ ∴ ∴ 【變式2】已知a，b均為正實(shí)數(shù)，求證：aabb≥abba 【答案】 ∵a>0, b>0, ∴ aabb與abba均為正，∴，分類討論可知（分a>b>0, a=b>0, 0 ，當(dāng)且僅當(dāng)a=b等號(hào)成立，∴ aabb≥abba.類型二：綜合法證明不等式 3、a, b, c是不全相等的正數(shù)，求證：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc 證明： 法一：由b2+c2≥2bc, a>0,得a(b2+c2)≥2abc，同理b(c2+a2)≥2abc，c(a2+b2)≥2abc ∵a,b,c不全相等，∴上述三個(gè)等號(hào)不同時(shí)成立，三式相加有：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)>6abc.法二：∵a，b，c是不全相等的正數(shù)，∴a(b2+c2), b(c2+a2), c(a2+b2)均為正數(shù)，由三個(gè)數(shù)的平均不等式得： a(b2+c2)+b(c2+a2)+ c(a2+b2) ∴不等式成立.總結(jié)升華：綜合法是由因?qū)Ч?，從已知出發(fā)，根據(jù)已有的定義、定理，逐步推出欲證的不等式成立。 舉一反三： 【變式1】a , b, m∈R+，且a 【答案】 ∵0 ∵lg9>0, lg11>0，∴ ∴ , ∴l(xiāng)g9·lg11<1.，4、若a>b>0，求證：.思路點(diǎn)撥：不等號(hào)左邊是一個(gè)各項(xiàng)皆正的“和的形式”，但左側(cè)是兩項(xiàng)而右側(cè)都出現(xiàn)了特征數(shù)“3”.因此啟發(fā)我們將左側(cè)拆成3項(xiàng)的和利用平均值定理.證明：，∵ a>b>0, ∴a-b>0, b>0, ，∴ ，∴ 舉一反三： （當(dāng)且僅當(dāng)，即a=2，b=1的等號(hào)成立） 【變式】x, y,z∈R+, 求證： 證明：∵ x, y,z∈R+,∴ ，同理，∴ ，∴，a2-2ac+c2 5、已知a,b>0，且2c>a+b，求證： 證明：要證 只需證： 即證： ∵a>0，只需證a+b<2c ∵已知上式成立，∴原不等式成立。 總結(jié)升華： 1．分析法是從求證的不等式出發(fā)，分析使之成立的條件，把證不等式轉(zhuǎn)化為判斷這些條件是否具備的 問題，若能肯定這些條件都成立，就可斷定原不等式成立。 2．分析法在不等式證明中占有重要地位，是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想方法。 3．基本思路：執(zhí)果索因 4.格式：要證??，只需證??，只需證??，因?yàn)??成立，所以原不等式得證。 舉一反三： 【變式1】求證：a3+b3>a2b+ab2(a，b均為正數(shù)，且a≠b) 【答案】 要證a3+b3>a2b+ab2，即證(a+b)(a2+b2-ab)≥ab(a+b) ∵a，b∈ ，∴a+b>0 只需證a2+b2-ab≥ab，只需證a2+b2≥2ab 只需證(a-b)2≥0，∵(a-b)2≥0顯然成立 所以原不等式成立。 【變式2】a , b, m∈R+，且a 【答案】 ∵ b>0且b+m>0，.∴，∴ 成立 ∴.【變式3】求證： 【答案】 要證 只需證，而，只需證，只需證，顯然成立，所以原不等式得證。 【變式4】若a>1，b>1，c>1，ab=10求證：logac+logbc≥4lgc 【答案】 要證logac+logbc≥4lgc，只需證 只需證，只需證 ∵，∴成立 所以原不等式成立 【變式5】設(shè)x>0，y>0，x≠y，求證： 證明：要證 只需證，只需證 只需證 因x>0，y>0，x≠y，所以x2y2[3(x-y)2+4xy]>0成立 所以 類型四：反證法證明不等式 6、已知a,b,c∈(0,1)，求證：(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a，至少有一個(gè)不大于。 思路點(diǎn)撥：此題目若直接證，從何處入手？對(duì)于這樣正面情況較為復(fù)雜的問題，可以考慮使用反證法。 證明：假設(shè)原結(jié)論不成立，即，則三式相乘有：??① 又∵0 總結(jié)升華：反證法的基本思路是：“假設(shè)——矛盾——肯定”，采用反證法證明不等式時(shí)，從與結(jié)論相反的假設(shè)出發(fā)，推出矛盾的過程中，每一步推理都必須是正確的。由于本題題目的結(jié)論是：三個(gè)數(shù)中“至少有一個(gè)不大于 ”，情況比較復(fù)雜，會(huì)出現(xiàn)多個(gè)由異向不等式組 ”，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單明了，成的不等式組，一一證明十分繁雜，而對(duì)結(jié)論的否定是三個(gè)數(shù)“都大于為推出矛盾提供了方便，故采用反證法是適宜的。 舉一反三： 【變式】已知a+b+c>0，ab+bc+ca>0，abc>0，求證：a,b,c>0 【答案】 假設(shè)a≤0 若a<0，∵abc>0，∴bc<0 又由a+b+c>0，則b+c>-a>0 ∴ab+bc+ca=a(b+c)+bc<0，與題設(shè)矛盾 若a=0，則與abc>0矛盾，∴必有a>0 同理可證：b>0，c>0 類型五：放縮法證明不等式 7、若a,b,c,dR+，求證： 思路點(diǎn)撥：記中間4個(gè)分式之和的值為m，顯然，通過通分求出m的值再與1、2比大小是困難的，可考慮運(yùn)用放縮法把異分母化成同分母。 證明：記 ∵a,b,c,dR+，∴ ∴1 總結(jié)升華：證后半部分，還可用“糖水公式”，即 常用的放縮技巧主要有： ① f(x)為增函數(shù)，則f(x-1) 進(jìn)行放縮。 ② 分式放縮如 ③ 根式放縮如 舉一反三： ； 【變式1】求證： 【答案】 ∴ 【變式2】 當(dāng)n>2時(shí)，求證：logn(n-1)logn(n+1)<1 【答案】 ∵n>2，∴l(xiāng)ogn(n-1)>0，logn(n+1)>0 ∴ ∴n>2時(shí)，logn(n-1)logn(n+1)<1 類型六：其他證明不等式的方法 1.構(gòu)造函數(shù)法 8、已知a>2，b>2，求證：a+b 當(dāng)a>2時(shí)，f(a) ∴a+b 總結(jié)升華：不等式證明方法很靈活。分析不等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，構(gòu)造函數(shù)，借助函數(shù)單調(diào)性，使問題變得非常簡(jiǎn)單。 舉一反三： 【變式】已知a≥3，求證： 【答案】。 令（x≥0).∵f(x)在x∈[0,+∞)上是遞減函數(shù)，∴f(a-1) 2、三角換元法： 9、求證： [0,π]，證明：∵-1≤x≤1，∴令x=cos, 則 ∵-1≤sin≤1，10、若x2+y2≤1，求證： 證明：設(shè) 則 11、若x>1，y>1，求證： 證明：設(shè) 則 12、已知：a>1,b>0，a-b=1，求證： 證明：∵a>1,b>0,a-b=1，∴不妨設(shè) 則 總結(jié)升華： ①若0≤x≤1，則可令 ②若x2+y2=1，則可令x=cos，y=sin(0≤θ<2π) ③若x2-y2=1，則可令x=sec,y=tan(0≤θ<2π) ④若x≥1，則可令，若xR，則可令 舉一反三： 【變式1】已知x2=a2+b2，y2=c2+d2，且所有字母均為正，求證：xy≥ac+bd 【答案】 ∵x2=a2+b2，∴不妨設(shè) ∵y2=c2+d2，∴不妨設(shè) ∴ ∴xy≥ac+bd 【變式2】已知x>0，y>0，2x+y=1，求證： 【答案】 由x>0,y>0，2x+y=1，可設(shè) 則 類型六：一題多證 13、若a>0，b>0，求證： 思路點(diǎn)撥：由于a>0，b>0，所以求證的不等式兩邊的值都大于零，本題用作差法，作商法和綜合法，分析法給出證明。 證明： 證法一：作差法 ∵a,b>0，∴a+b>0,ab>0 ∴ 證法二：作商法，得證。 ∵a>0,b>0,∴a+b>0，∴得證。 證法三：分析法 要證，只需證a3+b3≥(a+b)ab 只需證(a+b)(a2-ab+b2)≥(a+b)ab(∵a+b>0) 只需證a2-ab+b2≥ab 只需證(a-b)2≥0 ∵(a-b)2≥0成立，∴得證 證法四：綜合法 ∵a>0,b>0，∴同向不等式相加得： 舉一反三： 【變式】已知 【答案】 證法一： 都是實(shí)數(shù)，且求證：，同理 證法二： 即 .證法三： 要證 所以原不等式成立.證法四： 原不等式等價(jià)于不等式 用比較法證明 且 ，只需證 只需證 又 所以 證法五： 設(shè) 則 即 故可考慮用三角換元法.證法六： 用向量的數(shù)量積來證明 設(shè)，第二篇：高中數(shù)學(xué)不等式證明常用方法
第三篇：不等式的證明方法經(jīng)典例題
第四篇：2014年高中數(shù)學(xué)難點(diǎn)：不等式證明的基本方法·例題 有答案
第五篇：不等式證明的基本方法 經(jīng)典例題透析
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