第一篇：高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限連續(xù)練習(xí)題及解析

數(shù)學(xué)任務(wù)——啟動——習(xí)題

1一、選擇題：

(1)函數(shù)y??x?arccosx?1的定義域是()

2(A)x?1;(B)?3?x?1(C)??3,1?(D)xx?1?x?3?x?

1(2)函數(shù)y?xcosx?sinx是()

(A)偶函數(shù)(B)奇函數(shù)(C)非奇非偶函數(shù)(D)奇偶函數(shù)

(3)函數(shù)y?1?cos?????

2x的最小正周期是()

(A)2?(B)

(4)與y??(C)4(D)1 2x2等價的函數(shù)是()

(A)x;(B)?x?(C)x?(D)23x

?x?1?1?x?0(5)f?x???,則limf?x??()x0?x?1x?0?

(A)-1(B)1(C)0(D)不存在二、填空題：

(1)若f????1?

?t?5?2t2,則f?t??_________,ft2?1?__________.t??

??

1(2)??t????sinx??????3，則??????______。???______,??6??6?x?

30,1?，則fx2的定義域為______，f?sinx?的定義域為x??(3)若f?x?的定義域為??

______，f?x?a??a?0?的定義域為___，f?x?a??f?x?a??a?0?的定義域為______。

1?4x

2(4)lim。?__________

12x?1x??2

(5)無窮小量皆以______為極限。

三、計算題

(1)證明函數(shù)y?11sin在區(qū)間?0,1?上無界，但當(dāng)x??0時，這個函數(shù)不是無窮大。xx

(2)求下列極限(1)lim2x3?3x2?5

x??7x3?4x2?1

(3)lim?tanx?tan2x

x??

(5)limex?1

x

x?0

(7)lim?xsinx?1

x?0x2arctanx

(2)lim1?cos2x x?0xsinx(4)lim?1?2n?3n1n n??(6)limtanx?sinxx?0sin32x ?1(8)limx??ex?1??x?????

(3)設(shè)f?x???

?1?xx?0，求limf?x?。2x?0?x?1x?0

(4)證明數(shù)列2,2?2,2?2?2,??的極限存在，并求出該極限。

f(x)?2x3f(x)?2,lim?3, 求f(x)(5)設(shè)f(x)是多項式, 且lim2x??x?0xx

(6)證明方程x?asinx?b，其中a?0,b?0，至少有一個正根，并且它不超過a?b。

x2?ax?b?2,求:a,b.(7).lim2x?2x?x?2

第二篇：高等數(shù)學(xué)函數(shù)極限練習(xí)題

設(shè)f(x)?2x1?x，求f(x)的定義域及值域。設(shè)f(x)對一切實數(shù)x1，x2成立f(x1?x2)?f(x1)f(x2)，且f(0)?0，f(1)?a，求f(0)及f(n)．(n為正整數(shù))定義函數(shù)I(x)表示不超過x的最大整數(shù)叫做x的取整函數(shù)，若f(x)表示將x之值保留二I(x)位小數(shù)，小數(shù)第3位起以后所有數(shù)全部舍去，試用法則保留2位小數(shù)，試用I(x)表示g(x)。表示f(x)。定義函數(shù)I(x)表示不超過x的最大整數(shù)叫做x的取整函數(shù)，若g(x)表示將x依4舍5入在某零售報攤上每份報紙的進價為0.25元，而零售價為0.40元，并且如果報紙當(dāng)天未售出不能退給報社，只好虧本。若每天進報紙t份，而銷售量為x份，試將報攤的利潤y表示為x的函數(shù)。定義函數(shù)I(x)表示不超過?(x)?x?I(x)的周期性。判定函數(shù)f(x)?(exx?xx的最大整數(shù)叫做x的取整函數(shù)，試判定?1)?ln(1?x?x)的奇偶性。設(shè)f(x)?esinx，問在0，???上f(x)是否有界？ 函數(shù)y?f(x)的圖形是圖中所示的折線OBA，寫出y?f(x)的表達式。? ?x，?x，0?x?2；0?x?4；設(shè)f(x)???(x)?? 求f??(x)?及??f(x)?． 2?x?4．4?x?6．?x?2，?x?2，??1，x?0；設(shè)f(x)???(x)?2x?1，求f??(x)?及??f(x)?． ?1，x?0．??ex，x?0；?0，x?0；求f(x)的反函數(shù)設(shè)f(x)???(x)??2?x，x?0．??x，x?0．g(x)及f??(x)?． 2設(shè)f(x)??x，x?0；(x?x)，?(x)??2求f??(x)?． 2?x，x?0．1?2?x，x?0；設(shè)f(x)??求f?f(x)?． ?2，x?0．?0，x?0；?x?1，x?1；設(shè)f(x)???(x)?? 求f(x)??(x)． ?x，x?0．?x，x?1．?ex，???x?0；?設(shè)f(x)??x?1，0?x?4；求f(x)的反函數(shù)?(x)． ?x?1，４?x???．??x，???x?1；?2設(shè)f(x)??x，1?x?4；求f(x)的反函數(shù)?(x)． ?x?2，4?x???．2??1?x，x?0；設(shè)f(x)??求： ???x，x?0．(1)f(x)的定義域；2(2)f(2)及f(a)．(a為常數(shù))。??1，x??1；?22設(shè)f(x)??x，x?1；求f(x?3)?f(sinx)?5f(4x?x?6)． ??1，x?1．?2x?1，x?0；設(shè)f(x)??2求f(x?1)． ?x?4，x?0．?x2，x?1；??設(shè)f(x)??，求f(cos)及f(sec)． 44?log2x，x?1．?1?x?0；?x?2，?設(shè)f(x)??0，x?0；試作出下列函數(shù)的圖形?x?2，x?0．?(1)y?f(x)；(2)y?f(x)；(3)y??f(x)?f(x)2． ：?2?x?0；??x，?設(shè)f(x)??1，x?0試作出下列函數(shù)的圖形??x?2，0?x?2?f(x)?f(?x)(1)y?f(x)；(2)y?f(?x)；(3)y?． 2 ：2??1?x,x?1；設(shè)f(x)?? 試畫出y?f(x)，y??f(x),y?f(x).的圖形。1?x?2．???x?1，?1?x?0，???(x)，設(shè)f(x)??求?(x)，使f(x)在??1，1?上是偶函數(shù)。2?0?x?1．?x?x，???(x)，當(dāng)x?0時，?設(shè)f(x)??0，當(dāng)x?0時，?1，當(dāng)x?0時．?x?x?(1)求f(2?cosx)；(2)求?(x)，使f(x)在(??，??)是奇函數(shù)。?1?x?0；?0，?設(shè)f(x)??x，0?x?1；F(x)?f(1?2x)，?2?x，1?x?2．?(1)求F(x)的表達式和定義域；(2)畫出F(x)的圖形。?0，?1?x?0;?設(shè)f(x)??x?1，0?x?1；求f(x)的定義域及值域。??2?x，1?x?2．?1?x，x?0；設(shè)f(x)??x求f(?2)、f(0)及f(2)的值。?2，x?0.2??x?x?1，x?1；設(shè)f(x)??求f(1?a)?f(1?a)，其中a?0． 2??2x?x，x?1求函數(shù)y?lnx?1的反函數(shù)，并作出這兩個函數(shù)的圖形。求函數(shù)y?sin(x??4)的反函數(shù)y??(x)，并作出這兩個函數(shù)的圖形（草圖）。求函數(shù)y?tan(x?1)的反函數(shù)y??(x)，并作出這兩個函數(shù)的圖形（草圖）。利用圖形的疊加作出函數(shù)y?x?sinx的圖形。利用圖形的疊加作出函數(shù)y?x?1x的圖形。作函數(shù)y?1x?1的圖形（草圖）。作函數(shù)y?ln(x?1)的圖形（草圖）。作函數(shù)y?arcsin(x?1)的圖形。（草圖）作出下列函數(shù)的圖形：（草圖）(1)y?x?1；(2)y??x；222(3)y?(x?1)．設(shè)函數(shù)y?lgax，就a?1和a??2時，分別作出其草圖。利用y?2的圖形（如圖）作出下x列函數(shù)的圖形（草圖）：(1)y?2x?1；(2)y?1x32． 利用y?sinx的圖形（如圖）作出下(1)y?sin2x；(2)y?sin(x?? 4)。列函數(shù)的圖形：（草圖）利用y?sinx的圖形（如圖）作出下列函數(shù)的圖形：（草圖）(1)y?(2)y?1212sinx；sinx?1 ?ππ2 x(??，??)的反函數(shù)，并指出其定義域。3x求函數(shù)y?ch(???x???)的反函數(shù)，并指出其定義域。3x求函數(shù)y?Sh(???x???)的反函數(shù)，并指出其定義域。3求函數(shù)y?ln求函數(shù)，y?ee2x2x?1?1的反函數(shù)，并指出其定義域。驗證1?cthx??驗證1?thx?221shx22。1chx驗證Ch(???)?Ch?Ch??Sh?Sh?。驗證Ch(???)?Ch?Ch??Sh?Sh?。驗證Sh(???)?Sh?Ch??Ch?Sh?。驗證Sh(???)?Sh?Ch??Ch?Sh?。驗證2Shx?Chx?Sh2x。證明Shx?Chx?Ch2x。設(shè)f(x)?arctanx(???x???)，?(x)?x?a，1?ax22(a?1，x?1)，驗證：f??(x)??f(x)?f(a)。x?1，求f??(x)?。設(shè)f(x)?1?lnx，?(x)?設(shè)f(x)?x1?x2，?(x)?x1x，求f??(x)?。設(shè)f(x)?sinx，?(x)?2，求f??(x)?、??f(x)?及f?f(x)?。設(shè)f(x)?x?1，?(x)?1x?12，求f??(x)?及??f(x)?。設(shè)f(x)?設(shè)f(x)?1?1?(x?0，x?1)，求f??及fx?1f(x)??x，?(x)?x?1x?122?f?f?x???。x?1x2，求f??(x)?及其定義域。已知f(x)?e，f??(x)??1?x，且?(x)?0，求?(x)，并指出其定義域。設(shè)f(x)?lnx，?(x)?1?x，求f??(x)?及f??(0)?。2設(shè)f(x)?arcsinx，?(x)?lgx，求f??(x)?及其定義域。求函數(shù)y?x?1(x??1)的反函數(shù)，并指出反函數(shù)的定義域。32求函數(shù)y?lgarccosx(?1?x?1)的反函數(shù)，并指出其定義域。求函數(shù)y?arctg求函數(shù)y?12(e?ea?xa?xx?x1?x的反函數(shù)。1?x)的反函數(shù)，并指出其定義域。求函數(shù)y?ln(a?0)的反函數(shù)的形式。求函數(shù)y?exx1?e的反函數(shù)，并指出其定義域。求函數(shù)y?xx?4x的反函數(shù)。求函數(shù)f(x)?1?1?x1?x1?x(x?1)的反函數(shù)?(x)，并指出?(x)的定義域。求函數(shù)f(x)?loga(x?設(shè)f(x)?e?exx?x1?x)的反函數(shù)?(x)(式中a?0，a?1)。2e?ex設(shè)f(x)?(0?x???)，試討論f(x)的單調(diào)性和有界性。1?x1討論函數(shù)f(x)?x?在區(qū)間(0，1)和(1，??)內(nèi)的單調(diào)性。xx討論函數(shù)f(x)?的有界性。21?x1討論函數(shù)f(x)?，當(dāng)x?(??，0)?(0，??)時的有界性。13?2xx討論函數(shù)f(x)?2在(??，??)上的單調(diào)性。討論函數(shù)f(x)?x?a?x，求f(x)的反函數(shù)?(x)，并指出其定義域.(a?1)在(??，??)上的單調(diào)性。討論函數(shù)f(x)?1?lnx在(0，??)內(nèi)的單調(diào)性。?1?x?1?x?2，設(shè)f(x)??，?(x)?f(a?x)?b 1?x?3?x?1，試求a，b的值，使?(x)(x?0除外)為奇函數(shù)。判斷f(x)?e?1e?1xxln1?x1?xx(?1?x?1)的奇偶性。證明f(x)?(2?23)?(2?3)是奇函數(shù)。2x判定f(x)?x?arccotx在其定義域(??，??)上的奇偶性。判定f(x)?3(1?3x)?3(1?3x)(???x???)的奇偶性。判定f(x)?ax?a22(a?0)(???x???)的奇偶性。?xG(x)與偶函數(shù)F(x),使f(x)?G(x)?F(x)。設(shè)f(x)?2exx1?e，求奇函數(shù)11設(shè)函數(shù)f(x)滿足4f(x)?2f()?，討論f(x)的奇偶性。xx判斷f(x)?loga(x?x?1)(a?0，a?1)的奇偶性。x2判定函數(shù)f(x)? aa2x?1(a?0，a?1)的奇偶性。設(shè)函數(shù)f(x)對任意實數(shù)x、y滿足關(guān)系式：　　f(x?y)?f(x)?f(y)(1)求f(0)；(2)判定函數(shù)f(x)的奇偶性。求f(x)?sinx?12sin2x?13sin3x的最小正周期。設(shè)f(x)是以T?2為周期的周期函數(shù)，且上的表達式。在?0，2?上f(x)?x?2x，求f(x)在??2，4?2求f(x)?sin3x?cosx的最小正周期。設(shè)f(x)為奇函數(shù)，且滿足條件f(1)?a和f(x?2)?f(x)?f(2)。(1)試求f(2)及f(n)(n為正整數(shù))；(2)如果f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，試確定a的值。設(shè)F(x)?(x?x)e則F(x)?x?x?1(???x???)?(A)是奇函數(shù)而不是偶函數(shù)；(B)是偶函數(shù)而不是奇函數(shù)；(C)是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(D)非奇函數(shù)又非偶函數(shù)。答（）2 討論函數(shù)f(x)?1?2x1?x4在(??，??)的有界性。設(shè)f(x)是定義在(??，??)內(nèi)的任意函數(shù)，則f(x)?f(?x)是（）(A)奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)非奇非偶函數(shù)；(D)非負函數(shù)。下列函數(shù)中為非偶數(shù)函數(shù)的是（）(A)y?sinx?(C)y? 22?12?1xx；(B)y?arccosx；x?3x?4；(D)y?2 x?3x?4?x1?x2lg(x?1?x)2設(shè)f(x)?xx，(??，??)，則f(x)()(A)在(??，??)單調(diào)減；(B)在(??，??)單調(diào)增；(C)在(??，0)內(nèi)單調(diào)增，而在(0，??)內(nèi)單調(diào)減；(D)在(??，0)內(nèi)單調(diào)減，而在(0，??)內(nèi)單調(diào)增。答（）x?x f(x)?(e?e)sinx在其定義域(??，??)上是(A)有界函數(shù)；(B)單調(diào)增函數(shù)；(C)偶函數(shù)；(D)奇函數(shù)。答（）f(x)?sinx在其定義域(??，＋?)上是(A)奇函數(shù)；(B)非奇函數(shù)又非偶函數(shù)；(C)最小正周期為2?的周期函數(shù)；(D)最小正周期為?的周期函數(shù)。答（）f(x)?cos(x?2)1?x2在定義域(??，??)上是(A)有界函數(shù)；(B)周期函數(shù)；(C)奇函數(shù)；(D)偶函數(shù)。答（）f(x)?(cos3x)在其定義域(??，??)上是(A)最小正周期為3?的周期函數(shù)；(B)最小正周期為2?的周期函數(shù)；3(C)最小正周期為2?3的周期函數(shù)；(D)非周期函數(shù)。答（）設(shè)f(x)????x3，?3?x?0?，則此函數(shù)是??x3，0?x?2(A)奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)有界函數(shù)；(D)周期函數(shù)。答（）設(shè)f(x)???sin3x，???x?0?，則此函數(shù)是???sin3x，0?x??(A)周期函數(shù)；(Ｂ)單調(diào)減函數(shù)；(C)奇函數(shù);(D)偶函數(shù)。答（）f(x)?x(ex?e?x)在其定義域(??，??)上是(A)有界函數(shù)；(B)奇函數(shù)；(C)偶函數(shù)；(D)周期函數(shù)。答（）函數(shù)f(x)?lna?xa?x(a?0)是(A)奇函數(shù)；(B)偶函數(shù)；(C)非奇非偶函數(shù)；(D)奇偶性決定于a的值　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函數(shù)中為非奇函數(shù)的是x(A)y?2?1；(B)y?lg(x?1?x2)；2x?1(C)y?xarccosx；(D)y?x2?3x?7?x2?3x?71?x2 答（）關(guān)于函數(shù)y??1x的單調(diào)性的正確判斷是1x1x1x1x單調(diào)增；單調(diào)減；單調(diào)減；當(dāng)x?0時，y??單調(diào)增；當(dāng)x?0時，y??1x1x單調(diào)增；單調(diào)增。(A)當(dāng)x?0時，y??(B)當(dāng)x?0時，y??(C)當(dāng)x?0時，y??(D)當(dāng)x?0時，y?? 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函數(shù)中（其中?x?表示不超過x的最大整數(shù)），非周期函數(shù)的是(A)y?sinx?cos?x；(B)y?sin22x；(C)y?a?cosbx；(D)y?x??x?　　　　　　　　　　　　　　　　答（）下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是(A)y?xtan(sinx)；(B)y?xcos(x?(C)y?cos(arctanx)；(D)y?2?2x22?4)； ?x　　　　　　　　　　　　　　　　答（）求函數(shù)y?arcsin(lg確定函數(shù)y?arccosx102x)的定義域及值域。的定義域及值域。1?x求函數(shù)y?lg(1?2cosx)的定義域及值域。求函數(shù)y?2?x?x的定義域及值域。22f(x)已知f(x)是二次多項式，且f(x?1)?f(x)?8x?3，f(0)?0，求。圖中圓錐體高OH = h，底面半徑HA = R，在OH上任取一點P（OP = x），過P作平面?垂直于OH，試把以平面?為底面的圓錐體的體積V表示為x的函數(shù)。設(shè)一球的半徑為r，作外切于球的圓錐，試將圓錐體積V表示為高h的函數(shù)，并指出其定義域。在半徑為R的球內(nèi)嵌入一內(nèi)接圓柱，試將圓柱的體積表示為其高的函數(shù)，并指出函數(shù)的定義域。在半徑為20厘米的圓內(nèi)作一個內(nèi)接矩形，試將矩形的面積表示成一邊長的函數(shù)。135生產(chǎn)隊要用籬笆圍成一個形狀是直角梯形的苗圃（如圖），它的相鄰兩面借用夾角為?的兩面墻（圖中AD和DC），另外兩面用籬笆圍住，籬笆的總長是30米，將苗圃的面積表示成AB的邊長x的函數(shù)。有一條由西向東的河流，經(jīng)相距150千米的A、B兩城，從A城運貨到B城正北20千米的C城，先走水道，運到M處后，再走陸道，已知水運運費是每噸每千米3元，陸運運費是每噸每千米5元，求沿路線AMC從A城運貨到C城每噸所需運費與MB之間的距離的函數(shù)關(guān)系。由直線y?x，y?2?x及x軸所圍成的等腰三角形OAB。在底邊上任取一點x?[0 , 2]，過x作垂直x軸的直線，試將圖上陰影部分的面積表示成x的函數(shù)。旅客乘火車可免費攜帶不超過20千克的物品，超過20千克，而不超過50千克的部分，每千克交費0.20元，超過50千克部分每千克交費0.30元，求運費與攜帶物品重量的函數(shù)關(guān)系。設(shè)有一塊邊長為a的正方形鐵皮，現(xiàn)將它的四角剪去邊長相等的小正方形后，制作一個無蓋盒子，試將盒子的體積表示成小正方形邊長的函數(shù)。等腰直角三角形的腰長為l（如圖），試將其內(nèi)接矩形的面積表示成矩形的底邊長x的函數(shù)。在底AC = b，高BD = h的三角形ABC中，內(nèi)接矩形KLMN（如圖），其高為x，試將矩形的周長P和面積S表示為x的函數(shù)。設(shè)M為密度不均勻的細桿OB上的一點，若OM的質(zhì)量與OM的長度的平方成正比，又已知OM = 4單位時，其質(zhì)量為8單位，試求OM的質(zhì)量與長度間的關(guān)系。等腰梯形ABCD（如圖），其兩底分別為AD = a和BC = b，（a > b），高為h。作直線MN // BH，MN與頂點A的距離AM = x(的面積S表示為x的函數(shù)。a?ba?b?x?)，將梯形內(nèi)位于直線MN左邊22 建一蓄水池，池長50 m，斷面尺寸如圖所示，為了隨時能知道池中水的噸數(shù)（1立方米水為1噸），可在水池的端壁上標(biāo)出尺寸，觀察水的高度x，就可以換算出儲水的噸數(shù)T，試列出T與x的函數(shù)關(guān)系式。設(shè)　f(x)?arcsin(lg設(shè)　f(x)?arcsinx10x?32)，求f(x)的定義域.?ln(4?x),　求f(x)的定義域.2設(shè)　f(x)?設(shè)f(x)?2?x?6?5x?x?lg(x?5x?6)，求f(x)的定義域。21，求f(x)的定義域.lg(1?x)設(shè)f(x)?lg(1?2cosx)，求f(x)的定義域。設(shè)　f(x)?lgx?12x?1，求f?x?的定義域。2 9?x2x?1設(shè)　f(x)??srcsin，求f(x)的定義域ln(x?2)4設(shè)　?(t)?t322。2??(t)?　???(t)? 設(shè)　f(x?2)?x?2x?3 求f(x)及f(x?h).?1　求?(t)?1?x1,求f(2)，f(a),　f()，f??。1?xa?f(x)?設(shè)　f(x)?設(shè)　f(x)?設(shè)　f(sin1?x1　求f()及f?f(x)?.設(shè)　f(x?1)?x?2x,求f(x).1?xxx)?1?cosx, 求f(cos222x).2設(shè)　2f(x)?xf(1x?2x，求f(x)。)?xx?121x設(shè)　f(x?)?(x?0), 求f(x)。4xx?1設(shè)　z?x?y?f(x?y), 且當(dāng) y?0 時 , z?x , 求f(x)及z。設(shè)　f(t)?e , 證明　t2f(x)f(y)?f(x?y)。2設(shè)F(x)?lg(x?1), 證明當(dāng) y?1 時有F(y設(shè)f(x)?ln?2)?F(y?2)?F(y)。y?z1?x,證明f(y)?f(z)?f()1?x1?yz(式中y?1,z?1).設(shè)f(x)?2x?2,求f(2),f(?2),f(5)。2t1x2設(shè)f()?x(),求f(x)。xx?12設(shè)f(t)?2t2?22?51?5t , 證明f(t)?f()。tt設(shè)f(x?1)?x　 ,　求f(2x?1)。t1設(shè)y?f(t?x)，且當(dāng)x?2 時，y?x222?2t?5，求f(x)。設(shè)f(lnx)?x?x?2，0?x???，求f(x)及其定義域設(shè)f(1)?x(1?xx2。?1)(x?0)，求f(x)。1x?x設(shè)f(x?)?(x?0)，求f(x)。42xx?3x?13設(shè)f(x)?x1?x22，求f(1?x)(x??1)。1?x設(shè)f(x)?ax?bx?c，計算f(x?3)?3f(x?2)?3f(x?1)?f(x)?1的值，其中a，b，c是給定的常數(shù)。設(shè)f(x)?a?bx?c(x?0，abc?0), xm)?f(x)，對一切x?0成立。x求數(shù)m，使f(設(shè)f(x)?lgx?5, x?5(1)確定f(x)的定義域；(2)若f?g(x)??lgx，求g(2)的值。設(shè)y?1?a?f(x?1)滿足條件，求f(x)及y.y|a?0?x及y|x?1?2, 設(shè)f(x)?設(shè)f(x)?25?x22?arctan1x，求f(x)的定義域。lgx?5x62，求f(x)的定義域。設(shè)f(x)?設(shè)f(x)?2?x1?x，求f(x)的定義域16?x2。sinx?，求f(x)的定義域F(x)設(shè)f(x)的定義域為?a．b?，F(xiàn)(x)?f(x?m)?f(x?m)，(m?0)，求的定義域。求函數(shù)f(x)?arccos2x1?x?1?x?2x2的定義域。設(shè)f(x)?ln?1?，求f(x)?f??的定義域。2?x?x?2x?1522?x設(shè)f(x)?arcsin?sin?x，求f(x)的定義域2。設(shè)f(x)?2?xx2?ln(x?x)，求f(x)的定義域。f(x)?log2(logf(x)?2xx2x)的定義域是_________________。的定義域是________________。2x?13?3x?2函數(shù)f(x)?arcsin的定義域用區(qū)間表示為______________。函數(shù)f(x)?1x?x的定義域用區(qū)間表示為________________。函數(shù)f(x)?arccos(2x?1)的定義域用區(qū)間表示為_____________。函數(shù)f(x)?x(x?4)的定義域是_____________。2函數(shù)f(x)?ln(6?x?x)的定義域用區(qū)間表示為______________。函數(shù)f(x)?1ln(x?4)的定義域用區(qū)間表示為_____________。設(shè)f(x)?函數(shù)f(x)?x?1?ln(2?x)，則f(x)的定義域用區(qū)間表示為。2?xx?2的定義域用區(qū)間表示為_______________。設(shè)f(x)?arcsin2?x，則f(x)的定義域用區(qū)間表示為______________。2設(shè)f(x)的定義域是(0,1)，則f(1?x)的定義域是________________。設(shè)f(x)?lnx，?(x)?arcsinx，則f[?(x)]的定義域是________________。2設(shè)f(x)的定義域是[0，4），則f(x)的定義域是______________。?1?設(shè)f(x)的定義域是(1 , 2]，則f??的定義域是______________。x?1??設(shè)f(x)的定義域是（0，1），則f(lgx)的定義域是______________。函數(shù)f(x)?sin(arcsinx)與函數(shù)g(x)?arcsin(sinx)是否表示同一函數(shù)？為什么？ 2函數(shù)f(x)?ln(x?2x?1)與函數(shù)g(x)?2ln(x?1)是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?cos(arccos函數(shù)f(x)?(1?cosx)2x)與函數(shù)g(x)?x是否表示同一函數(shù)？為什么？ 12與函數(shù)g(x)?sinx是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?x?1x?12與函數(shù)g(x)?lgx11?x是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?10函數(shù)f(x)?3與函數(shù)g(x)?x是否表示同一函數(shù)？為什么？ 33與函數(shù)g(x)?xx?1是否表示同一函數(shù)？為什么？ x4?x函數(shù)f(x)?x?1x?2x與函數(shù)g(x)?lnxx?1x?2是否表示同一函數(shù)？為什么？ 函數(shù)f(x)?lne與函數(shù)g(x)?e函數(shù)f(x)?x2是否表示同一函數(shù)？為什么？ 1x2?1?x與函數(shù)g(x)?是否表示同一函數(shù)？為什么？ ?1?x設(shè)f(x)?1?x1?x，確定f(x)的定義域及值域。

第三篇：高等數(shù)學(xué)第一章 函數(shù)、極限與連續(xù)

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教師姓名：________________________

教學(xué)班級：________________________

2004年9月1至2005年1月10

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第一章

函數(shù)、極限與連續(xù)

第一節(jié) 函數(shù)概念

1、內(nèi)容分布圖示

★ 集合的概念

★ 集合的運算

★ 區(qū)間

★ 例

1★ 鄰域

★ 例2

★ 常量與變量

★ 函數(shù)概念

★ 例

3★ 例

4★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 分段函數(shù)舉例

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 函數(shù)關(guān)系的建立

★ 例 12

★ 例 13

★ 例 14

★ 函數(shù)特性

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-1

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1解下列不等式,并將其解用區(qū)間表示.(1)|2x?1|?3;(2)|3x?2|?3;(3)0?(x?1)2?9.講解注意：

例2將點12的鄰域表示為不帶絕對值的不等式.33

講解注意：

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例3函數(shù)y?2.講解注意：

例4絕對值函數(shù)y?|x|??x,x?0??x,x?0?

講解注意：

例5下面是幾個常見的表格.(1)2002年2月21日國務(wù)院公布的利率表.如表1.1.1.表1.1.1時間年利率(%)3個月6個月1年1.711.891.982年2.253年2.525年2.79(2)國民生產(chǎn)總值統(tǒng)計表《中國統(tǒng)計年鑒((2001)》).如表1.1.2.表1.1.2年份生產(chǎn)總值(億元)******.966850.573142.776967.280579.488189.6

講解注意：

例6下面是幾個常見的圖形.(1)兩位患者的心電圖.見圖1.1.1.圖1.1.1(2)1995?2000年天津市人才市場狀況圖《天津年鑒((2001)》).見圖1.1.2.高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

人數(shù)(人)55 00044 00033 00022 00011 00001995達成意向人次進場人次***92000年份圖1.1.2

講解注意：

例7下面是幾個常見的公式.(1)自由落體運動的距離公式:12gt,g為常數(shù)2(2)成本函數(shù)(costfunctiong):C(x)?C0?C1(x),其中C0為S?固定成本;C1(x)為可變成本;x為生產(chǎn)量.講解注意：

例8判斷下面函數(shù)是否相同,并說明理由,畫圖表示.(1)y?x2與y?|x|;(2)y?1與y?sin2x?cos2x(3)y?2x?1與x?2y?1.講解注意：

例9求函數(shù)y ?講解注意：

121?x ?x?2的定義域.例10設(shè)f(x)??講解注意：

?1,0?x?1??2,1?x?2,求函數(shù)f(x?3)的定義域.高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例11求函數(shù)f(x)?講解注意：

lg(3?x)sinx?5?4x?x2的定義域.例12把一半徑為R的圓形鐵片,自中心處剪去圓心角為?的扇形后,圍成一無底圓錐,試將圓錐的體積V表為?的函數(shù).講解注意：

例13某工廠生產(chǎn)某型號車床,年產(chǎn)量為a臺,分若干批進行生產(chǎn),每批生產(chǎn)準(zhǔn)備費為b元,設(shè)產(chǎn)品均勻投入市場,且上一批用完后立即生產(chǎn)下一批,即平均庫存量為批量的一半.設(shè)每年每臺庫存費為c元.顯然,生產(chǎn)批量大則庫存費高;生產(chǎn)批量少則批數(shù)增多,因而生產(chǎn)準(zhǔn)備費高.為了選擇最優(yōu)批量,試求出一年中庫存費與生產(chǎn)準(zhǔn)備費的和與批量的函數(shù)關(guān)系.講解注意：

例14某運輸公司規(guī)定貨物的噸公里運價為:在a公里以內(nèi),每公里k元,超過部分每公里為數(shù)關(guān)系.講解注意：

例15證明(1)函數(shù)y?(2)函數(shù)y?xx2?1在(??,??)上是有界的;4k元.求運價m和里程s之間的函5

1在(0,1)上是無界的.x2

講解注意：

例16證明函數(shù)y?講解注意：

x在(?1,??)內(nèi)是單調(diào)增加的函數(shù).1?x

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例17判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1)f(x)?ex?1ex?1ln1?x1?x?1?x?1;(2)f(x)?(2?3)x?(2?3)x;(3)f(x)?lg(x?1?x2);(4)f(x)?(x2?x)sinx.講解注意：

例18設(shè)f(x)滿足af(x)?bf|a|?|b|,證明f(x)是奇函數(shù).c?,其中a,b,c為常數(shù),且(1)xx

講解注意：

?1,x?Q7,求D?,D(1?例19設(shè)D(x)??5?0,x?Q()2).并討論D(D(x))的性質(zhì).講解注意：

例20若f(x)對其定義域上的一切x,恒有f(x)?f(2a?x),則稱f(x)對稱于x?a.證明:若f(x)對稱于x?a及x?b(a?b),則f(x)是以T?2(b?a)為周期的周期函數(shù).講解注意：

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第二節(jié) 初等函數(shù)

1、內(nèi)容分布圖示

★ 反函數(shù)

★ 例★ 例2 ★ 復(fù)合函數(shù)

★ 例★ 例4

★ 例★ 例6

★ 例7

★ 冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)

★ 三角函數(shù)

★ 反三角函數(shù)

★ 初等函數(shù)

★ 函數(shù)圖形的迭加與變換

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-2

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求函數(shù)y?1?1?1?4x1?4x的反函數(shù).講解注意：

例2已知?1,x?0?sgnx??0,x?0,sgnx為符號函數(shù),??1,x?0?求y?(1?x2)sgnx的反函數(shù).講解注意：

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例3將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合.(1)y?lnsin2x;(2)y?earctanx2;(3)y?cos2ln(2?1?x2).講解注意：

例4設(shè)f(x)?x?1,?(x)?x2,求f[?(x)]及?[f(x)],并求它們的定義域.講解注意：

例5設(shè)求f[?(x)].f(x)??e??xx,x?1,x?1,??x?2,(x)??2?x?1,x?0x?0，講解注意：

例6設(shè)fx?講解注意：

(11?x2?2,求f(x).xx)

例7設(shè)f(x)?ln(3?x)?的定義域(a?0).149?x2,求g(x)?f(x?a)?f(x?a)

講解注意：

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第三節(jié) 經(jīng)濟學(xué)中的常用函數(shù)

1、內(nèi)容分布圖示

★ 單利與復(fù)利

★ 例1

★ 多次付息

★ 貼現(xiàn)

★ 例2 ★ 需求函數(shù)

★ 供給函數(shù)

★ 市場均衡

★ 例

3★ 例4 ★ 成本函數(shù)

★ 例5

★ 收入函數(shù)與利潤函數(shù)

★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-3

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1現(xiàn)有初始本金100元,若銀行年儲蓄利率為7%,問：(1)按單利計算,3年末的本利和為多少?(2)按復(fù)利計算,3年末的本利和為多少?(3)按復(fù)利計算,需多少年能使本利和超過初始本金的一倍?

講解注意：

例2某人手中有三張票據(jù),其中一年后到期的票據(jù)金額是500元,二年后到期的是800元,五年后到期的是2000元,已知銀行的貼現(xiàn)率6%,現(xiàn)在將三張票據(jù)向銀行做一次性轉(zhuǎn)讓,銀行的貼現(xiàn)金額是多少?

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例3某種商品的供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為qd?25P?10,qs?200?5P求該商品的市場均衡價格和市場均衡數(shù)量.講解注意：

例4某批發(fā)商每次以160元/臺的價格將500臺電扇批發(fā)給零售售商,在這個基礎(chǔ)上零售商每次多進100臺電扇,則批發(fā)價相應(yīng)降低2元,批發(fā)商最大批發(fā)量為每次1000臺,試將電扇批發(fā)價格表示為批發(fā)量的函數(shù),并求出零售商每次進800臺電扇時的批發(fā)價格.講解注意：

例5某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品,每日最多生產(chǎn)200單位.它的日固定成本為150元,生產(chǎn)一個單位產(chǎn)品的可變成本為16元.求該廠日總成本函數(shù)及平均成本函數(shù).講解注意：

例6某工廠生產(chǎn)某產(chǎn)品年產(chǎn)量為q臺,每臺售價500元,當(dāng)年產(chǎn)量超過800臺時,超過部分只能按9折出售.這樣可多售出200臺,如果再多生產(chǎn).本年就銷售不出去了.試寫出本年的收益(入)函數(shù).講解注意：

例7已知某廠生產(chǎn)單位產(chǎn)品時,可變成本為15元,每天的固定成本為2000元,如這種產(chǎn)品出廠價為20元,求(1)利潤函數(shù);(2)若不虧本,該廠每天至少生產(chǎn)多少單位這種產(chǎn)品.講解注意：

例8某電器廠生產(chǎn)一種新產(chǎn)品,在定價時不單是根據(jù)生產(chǎn)成本而定,還要請各銷售單位來出價,即他們愿意以什么價格來購買.根據(jù)調(diào)查得出需求函數(shù)為x??900P?45000.該廠生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定成本是270000元,而單位產(chǎn)品的變動成本為10元.為獲得最大利潤,出廠價格應(yīng)為多少?

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例9已知某商品的成本函數(shù)與收入函數(shù)分別是C?12?3x?x2R?11x試求該商品的盈虧平衡點,并說明盈虧情況.講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

第四節(jié) 數(shù)列的極限

1、內(nèi)容分布圖示

★ 極限概念的引入

★ 數(shù)列的意義 ★ 數(shù)列的極限

★ 例1

★ 例

2★ 例

3★ 例

4★ 例

5★ 例6 ★ 收斂數(shù)列的有界性

★ 極限的唯一性

★ 例7

★ 收斂數(shù)列的保號性

★ 子數(shù)列的收斂性

★ 內(nèi)容小結(jié)

★習(xí)題1-4

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1證明limn?(?1)n?1n?1.n??

講解注意：

例2證明limqn?0,其中q?1.n??

講解注意：

例3用數(shù)列極限定義證明5?2n2??.n??1?3n3lim

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

n2?2?1.例4用數(shù)列極限定義證明lim2n??n?n?1

講解注意：

例5設(shè)xn?0,且limxn?a?0,求證limn??n??xn?a.講解注意：

例6證明:若limxn?A,則存在正整數(shù)N,當(dāng)n?N時,不等式n??|xn|?|A|2成立.講解注意：

例7證明數(shù)列xn?(?1)n?1是發(fā)散的.講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

第五節(jié) 函數(shù)的極限

1、內(nèi)容分布圖示

★ 自變量趨向無窮大時函數(shù)的極限

★ 例★ 例★ 例3 ★ 自變量趨向有限值時函數(shù)的極限

★ 例★ 例5

★ 左右極限

★ 例6

★ 例7 ★ 函數(shù)極限的性質(zhì)

★ 子序列收斂性 ★ 函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-5

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1證明lim講解注意：

sinx?0.x??x

例2用函數(shù)極限的??X定義證明limx??x?2?1.x?1

講解注意：

例3(1)lim12xx????0;(2)lim2x?0.x???

講解注意：

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例4證明limx2?1?2.x?1x?1

講解注意：

例5證明:當(dāng)x0?0時,lim講解注意：

x?x0x?x0.例6設(shè)f(x)??講解注意：

例7驗證lim?1?x,x?0?1,x?0?x2,求limf(x).x?0

x?0x不存在.x

講解注意：

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第六節(jié) 無窮大與無窮小

1、內(nèi)容分布圖示

★ 無窮小

★ 無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系

★ 例1 ★ 無窮小的運算性質(zhì)

★ 例2 ★ 無窮大

★ 無窮大與無界變量

★ 無窮小與無窮大的關(guān)系

★ 例3

★ 內(nèi)容小結(jié)

★習(xí)題1-6

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

1例1根據(jù)定義證明:y?x2sinx當(dāng)x?0時為無窮小.講解注意：

例2求lim講解注意：

x??sinx.x

x4.例3求lim3x??x?5講解注意：

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第七節(jié) 極限運算法則

1、內(nèi)容分布圖示

★ 極限運算法則

★ 例1

★ 例2 –3

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11 ★ 復(fù)合函數(shù)的極限運算法則

★ 例 12

★ 例 13

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-7

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求x3?1xlim?2x2?3x?5.講解注意：

例2求lim4x?1x2?2x?3.x?1

講解注意：

例3求limx2?1.x?1x2?2x?3

講解注意：

★ 例 14

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例4求lim講解注意：

2x3?3x2?57x3?4x2?1x??.例5求lim講解注意：

x??12n?????222nnn

例6計算下列極限:x?1lim(1?x)(1?x)(1?x)(1?x)334.講解注意：

例7計算下列極限:?12?lim???.x?1?1?x21?x?

講解注意：

例8計算下列極限:3x??lim8x3?6x2?5x?1.3x?2

講解注意：

例9計算下列極限:x???lim(sinx?1?sinx).講解注意：

例10求lim(x2?x?x2?x).x??8

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例11計算下列極限:3(1)limn??n2sinn!;n?1(2)x?0limtanx12?ex.講解注意：

例12已知?x?1,?f(x)??x2?3x?1,??x3?1x???x?0x?0求limf(x),limf(x),limf(x).x?0x???

講解注意：

例13求極限limlnx?1[x2?1.2(x?1)]

講解注意：

例14已知lim(5x?ax2?bx?c)?2,求a,b之值.x???

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

第八節(jié) 極限存在準(zhǔn)則

兩個重要極限

1、內(nèi)容分布圖示

★夾逼準(zhǔn)則★例1★例2★單調(diào)有界準(zhǔn)則★例4★limsinx?1x?0x★例6★例7★例9★例10 x★xlim??(1?1x)?e★例12 ★例13 ★例15 ★例16 ★例17 柯西極限存在準(zhǔn)則★連續(xù)復(fù)制★內(nèi)容小結(jié)★課堂練習(xí)★習(xí)題1-8★返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求nlim1??n2?1?1n2?2???1n2?n?

講解注意：

例2計算下列極限:(1)lim(1nn???2?3n1)n;(2)1nlim??n2?1(n?1)2???1(n?n)2?

講解注意：

★例3★例5★例8★例11★例14★例18

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例3證明下列極限:n?0(a?1);n??anan(2)lim?0(a?0);n??n!n!(3)limn?0.n??n(1)lim

講解注意：

例4證明數(shù)列xn?3?3???3(n重根式)的極限存在.講解注意：

例5設(shè)a?0為常數(shù),數(shù)列xn由下式定義:xn?1axn?1?xn?12n??

(n?1,2,??)其中x0為大于零的常數(shù),求limxn.講解注意：

例6求lim講解注意：

tan3x.x?0sin5x

例7求lim講解注意：

x?01?cosx.x2

例8下列運算過程是否正確:x??limxtanxtanxxtanx?lim??limlim?1.sinxx??xsinxx??xx??sinx

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例9計算lim講解注意：

cosx?cos3x.2x?0x

例10計算lim講解注意：

x21?xsinx?cosxx?0.例11計算lim講解注意：

x?02?tanx?2?sinx.x3

1例12求lim1?xx??講解注意：

().x

例13計算下列極限:limx?01x(1?2x);

講解注意：

例14求lim1?n??(1n)n?3.講解注意：

例15求lim講解注意：

x??(x2x2?1)x.例16計算limxx??0cosx.高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

講解注意：

例17計算lim(e?x?0x1xx).講解注意：

tan2x.例18求極限lim(tanx)x??4

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

第九節(jié) 無窮小的比較

1、內(nèi)容分布圖示

★ 無窮小的比較

★ 例1-2

★ 例3 ★ 常用等價無窮小

★ 等價無窮小替換定理

★ 例★ 例★ 例6

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-9 ★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1證明:當(dāng)x?0時,4xtan3x為x的四階無窮小.講解注意：

例2當(dāng)x?0時,求tanx?sinx關(guān)于x的階數(shù).講解注意：

例3當(dāng)x?1時,試將下列各量與無窮小量x?1進行比較:(1)x3?3x?2;(2)lgx;(3)(x?1)?sin1.x?1

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例4求limx?0tan2x.sin5x

講解注意：

例5求limtanx?sinx.sin32xx?0

講解注意：

(1?x2)1/3?1.例6求limx?0cosx?1

講解注意：

例7計算lim1?tanx?1?tanx1?2x?1.x?0

講解注意：

ex?excosx.例8計算limx?0xln(1?x2)講解注意：

例9計算lim講解注意：

x?02?1?cosx.sin2x

例10求lim講解注意：

x?0ln(1?x?x2)?ln(1?x?x2).secx?cosx

例11求limx?0tan5x?cosx?1.sin3x

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講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

第十節(jié) 函數(shù)的連續(xù)性與間斷點

1、內(nèi)容分布圖示

★ 函數(shù)的連續(xù)性

★ 例

1★ 例2 ★ 左右連續(xù)

★ 例3

★ 例

4★ 例5 ★ 連續(xù)函數(shù)與連續(xù)區(qū)間

★ 例6

★ 函數(shù)的間斷點

★ 例7

★ 例8

★ 例9

★ 例 10

★ 例 11

★ 例 12

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)

★習(xí)題1-10

★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

?xsin1,x?0,?x例1試證函數(shù)f(x)??在x?0處連續(xù).?x?0,?0，講解注意：

例2f(x)是定義于[a,b]上的單調(diào)增加函數(shù),x0?(a,b),若x?x0limf(x)存在,證明f(x)在x0連續(xù).講解注意：

?x?2,x?0,()fx3?例討論在x?0處的連續(xù)性.??x?2,x?0，高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

講解注意：

?1?x,x?0?2?x?0在x?0和x?1處的連例4討論函數(shù)f(x)??0,?1?x2,0?x?1?x?1?4?x,續(xù)性.講解注意：

?x4?ax?b,x?1,x??2,?例5設(shè)f(x)??(x?1)(x?2)為使f(x)在x?1?x?1,?2,處連續(xù),a與b應(yīng)如何取值?

講解注意：

例6證明函數(shù)y?sinx在區(qū)間(??,??)內(nèi)連續(xù).講解注意：

例7討論函數(shù)f(x)????x,x?0,?1?x,x?0,在x?0處的連續(xù)性.講解注意：

例8討論函數(shù)?2x,0?x?1?f(x)??1,x?1?x?1?1?x,在x?1處的連續(xù)性.講解注意：

?1,x?0,?x例9討論函數(shù)f(x)??在x?0處的連續(xù)性.,0,xx??

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例10求下列函數(shù)的間斷點,并判斷其類型.若為可去間斷點,試補充或修改定義后使其為連續(xù)點.?x2?x?|x|(x2?1),f(x)???0,?x??1及0x??1

講解注意：

?x?sin1,x?0,?x例11研究f(x)??在x?0的連續(xù)性.?ex??,x?0,?

講解注意：

x?x2e?nx例12討論f(x)?lim的連續(xù)性.n??1?e?nx

講解注意：

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

第十一節(jié) 連續(xù)函數(shù)的運算與性質(zhì)

1、內(nèi)容分布圖示

★ 連續(xù)函數(shù)的算術(shù)運算

★ 復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

★ 例1★ 初等函數(shù)的連續(xù)性

★ 例

3★ 例★ 例4

閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) ★ 最大最小值定理與有界性定理

★ 零點定理與介值定理

★ 例5

★ 例6

★ 例7

★ 內(nèi)容小結(jié)

★ 課堂練習(xí)★習(xí)題1-11 ★ 返回

2、講解注意：

3、重點難點：

4、例題選講：

例1求nlim??cos(x?1?x).講解注意：

例2求limln(1?x)x?0x.講解注意：

例3求limx?1sinex?1.講解注意：

★ 例8

高等數(shù)學(xué)教學(xué)備課系統(tǒng)

例4求lim(x?2ex?01xx?1).講解注意：

例5證明方程x3?4x2?1?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個根.講解注意：

例6證明方程內(nèi)的兩個實根.111???0有分別包含于(1,2),(2,3)x?1x?2x?3

講解注意：

例7設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù),且f(a)?a,f(b)?b證明:???(a,b),使得f(?)??.講解注意：

例8設(shè)f(x)在[a,??)上連續(xù),f(a)?0,且limf(x)?A?0,x???證明:在(a,??)上至少有一點?,使f(?)?0.講解注意：

第四篇：函數(shù)極限與連續(xù)

函數(shù)、極限與連續(xù)

一、基本題

1、函數(shù)f?

x??ln?6?x?的連續(xù)區(qū)間?ax2?x?2x?

12、設(shè)函數(shù)f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設(shè)limx?1x?

17、設(shè)函數(shù)f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當(dāng)x?0時，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數(shù)f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續(xù)區(qū)間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數(shù)f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續(xù)，則a?1，b?1x?010、函數(shù)f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點為x=0，類型是 跳躍間斷點。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數(shù)z?ln?

2?x2?y2??的定義域為 {(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數(shù)f?x??的間斷點，并判定類型。2xx?1駐點x=0,x=1,x=-

11）當(dāng)x=0+時，f(x)=-1；當(dāng)x=0-時，f(x)=1 跳躍間斷點

2）當(dāng)x=1時，f(x)=oo;第二類間斷點

3）當(dāng)x=-1時，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點

?sin2x?x??

4、設(shè)函數(shù)f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內(nèi)連續(xù)，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因為f(0).f(1)<0所以在（0,1）內(nèi)存在一個實根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實根。

第五篇：函數(shù)極限連續(xù)試題

····· ········密············································訂·········線·································裝·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________業(yè)_姓_____ _號_____ _：：___級_ ____別年專______學(xué)

· ·····密·········· ·············································卷···線·································閱·······封········································

函數(shù) 極限 連續(xù)試題

1.設(shè)f(x)?

求

(1)f(x)的定義域;(2)12?f[f(x)]?2

;(3)lim

f(x)x?0x

.2.試證明函數(shù)f(x)?x3e?x2

為R上的有界函數(shù).3.求lim1n??nln[(1?1n)(1?2

n)

(1?nn)].4.設(shè)在平面區(qū)域D上函數(shù)f(x,y)對于變量x連續(xù)，對于變量y 的一階偏導(dǎo)數(shù)有界，試證：f(x,y)在D上連續(xù).（共12頁）第1頁

5.求lim（2x?3x?4x1

x?03)x.1(1?x)x

6.求lim[

x?0e]x.7.設(shè)f(x)在[?1,1]上連續(xù)，恒不為0，求x?0

8.求lim(n!)n2

n??

.9.設(shè)x??

ax?b)?2,試確定常數(shù)a和b的值.（共12頁）第2頁

10.設(shè)函數(shù)f(x)=limx2n?1?ax?b

n??1?x

2n連續(xù)，求常數(shù)a,b的值.11.若limsin6x?xf(x)6?f(xx?0x3?0，求lim)

x?0x2

.12.設(shè)lim

ax?sinx

x?0?c(c?0),求常數(shù)a,b,c的值.?xln(1?t3)btdt

13.判斷題：當(dāng)x?0時，?x

1?cost2

0t

是關(guān)于x的4階無窮小量.114.設(shè)a為常數(shù)，且lim（ex

??x?0

2?a?arctan1

x)存在，求a的值，并計算極限.ex?1

（共12頁）第3頁

215.設(shè)lim[

ln(1?ex)x?0

1?a?[x]]存在，且a?N?，求a的值，并計算極限.ln(1?ex)

16.求n(a?0).?n

17.求limn?????2(a?0,b?0).?

ln(1?

f(x)

18.設(shè)lim)

x?0

3x?1

=5，求limf(x)x?0x2.19.設(shè)f(x)為三次多項式，且xlim

f(x)f(x)f?2ax?2a?xlim?4ax?4a?1，求xlim(x)

?3ax?3a的值.（共12頁）第4頁

24.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在[1,??)上是正的，單調(diào)遞減的，且

dn??f(k)??f(x)dx，試證明：數(shù)列?dn?收斂.n

n

20.設(shè)x?1,求lim(1?x)(1?x2)(1?x4n

n??)

(1?x2).21.試證明：(1)?（?1n111?1+n)?1?

?

?

為遞減數(shù)列；(2)n?1?ln(1?n)?n,n?1,2,3,.limnn

22.求n??3nn!

.23.已知數(shù)列：a1

11?2，a2?2?2，a3?2?，2?2

a4?2?

12?

1的極限存在，求此極限.2?2

（共12頁）第5頁

k?1

25.設(shè)數(shù)列?xn?，x0?a，x1?b，求limn??

xn.26.求lima2n

n??1?a2n

.28.求limx???

.x1

n?2

(xn?1?xn?2)(n?2)，（共12頁）第6頁

29.設(shè)函數(shù)f(x)是周期為T(T?0)的連續(xù)函數(shù)，且f(x)?0,試證：

xlim1x???x?0f(t)dt?1T?T0f(t)dt.30.求lim?1

1n??0

x.en

(1?x)n

n

31.設(shè)lim（1?x)?x

???tetx??x

??dt，求?的值.32.判斷函數(shù)f(x)?limxn?1

n??xn?1的連續(xù)性.33.判斷函數(shù)f(x.（共12頁）第7頁

34.設(shè)f(x)為二次連續(xù)可微函數(shù)，f(0)=0，定義函數(shù)

?g(x)??

f?(0)當(dāng)x?0?，試證：g(x)?f(x)

?x當(dāng)x?0連續(xù)可微.35.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)?f(b)，對x?(a,b)，g(x)?lim

f(x?t)?f(x?t)

t?0

t

存在，試證：存在c?(a,b),使g(c)?0.36.若f(x)為[a,b]上定義的連續(xù)函數(shù)，如果?b

a[f(x)]2dx?0，試證：

f(x)?0(a?x?b).37.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim

f(2x)?f(x)

x?0

x

?A，試證：f?(0)=A.（共12頁）第8頁

38.設(shè)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，過點A(a,f(a))與B(b,f(b))的直線與曲線

y?f(x)相交于C(c,f(c))，其中a?c?b.試證：至少存在一點??(a,b)，使得f??(?)=0.39.設(shè)f(x)，g(x)，h(x)在a?x?b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，試證：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一點??(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并說明拉格朗日中值 f?(?)g?(?)h?(?)

定理和柯西中值定理是它的特例.40.試證明函數(shù)y?sgnx在x?[?1,1]上不存在原函數(shù).41.設(shè)函數(shù)f(x)=nf(x)的不可導(dǎo)點的個數(shù).（共12頁）第9頁

42.設(shè)f(x(0?x?

?),求f?(x).43.設(shè)xn?1?(n?1,2,3,)，0?x1?3，試說明數(shù)列?xn?的極限存在.?x?0

44.求函數(shù)f(x)=??sin1?

x2?1

?x(??2x)的間斷點.??2cosx

x?0

45.求曲線??

3???的斜漸近線.（共12頁）第10頁

??1?

46.求數(shù)列?nn?的最小項.??

50.求lim

x.x?0

sin1

x

47.求limtan(tanx)?sin(sinx)

x?0tanx?sinx

.48.設(shè)f(x)在[0,2]上連續(xù)，在（0,2)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且lim

f(x)

x?1(x?1)2

?1，?

f(x)dx?f(2)，試證：存在??(0,2)，使得f??(?)=(1+??1)f?(?).49.試證：若函數(shù)f(x)在點a處連續(xù)，則函數(shù)f+(x)=max?f(x),0?與

f-(x)=min?f(x),0?在點a處都連續(xù).（共12頁）第11頁

12頁）第12頁

（共