第一篇：函數(shù)極限與連續(xù)教案

第四講

Ⅰ 授課題目（章節(jié)）

1.8：函數(shù)的連續(xù)性

Ⅱ 教學(xué)目的與要求：

1、正確理解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)及在某一區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義；

2、會(huì)判斷函數(shù)的間斷點(diǎn).4、了解初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的、基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的；

5、了解初等函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性，反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性； 6 掌握閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)：

重點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，間斷點(diǎn)，初等函數(shù)的連續(xù)性

難點(diǎn)：函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

Ⅳ 講授內(nèi)容：

一 連續(xù)函數(shù)的概念函數(shù)的增量

定義1設(shè)變量u從它的初值u0變到終值u1，終值與初值之差u1?u0，稱為變量u的增

量，或稱為u的改變量，記為?u，即?u?u1?u0

?x?x1?x0

?y?f(x0??x)?f(x0)函數(shù)的連續(xù)性

定義2 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若當(dāng)自變量的增量?x趨近于零

時(shí)，相應(yīng)函數(shù)的增量?y也趨近于零，即

lim?y?0或 ?x?0

?x?0limf(x0??x)?f(x0)?0

則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)

2例1 用連續(xù)的定義證明y?3x?1在點(diǎn)x0?2處是連續(xù)的證明 略

若令x??x0?x則當(dāng)?x?0時(shí)，x?x0又?y?f(x0??x)?f(x0)即

f(x)?f(x0)??y故?y?0就是f(x)?f(x0)

因而lim?y?0可以改寫成limf(x)?f(x0)?x?0x?x0

定義3 設(shè)函數(shù)y?f(x)在點(diǎn)x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義，若

x?x0limf(x)?f(x0)

則稱函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)

由定義3知函數(shù)f?x?在點(diǎn)x0連續(xù)包含了三個(gè)條件：

（1）f?x?在點(diǎn)x0有定義

（2）limf(x)存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

?sinx,x?0?例2 考察函數(shù)f(x)??x在點(diǎn)x?0處得連續(xù)性

?1,x?0?

解略

3左連續(xù)及右連續(xù)的概念.定義4 若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù) x?x0?

若limf(x)?f(x0)，則函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)右連續(xù) x?x0+

由此可知函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)的充分必要條件函數(shù)f(x)在x0點(diǎn)左連續(xù)又右連續(xù)

4、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的定義

（a,b）（a,b）定義5 若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)每一點(diǎn)都連續(xù)，則稱函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連

續(xù)

（a,b）若函數(shù)f(x)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)，且在左端點(diǎn)a右連續(xù)，在右端點(diǎn)b左連續(xù)，則

稱稱函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)

（-?,+?）例3 討論函數(shù)y?x在內(nèi)的連續(xù)性

解 略

二 函數(shù)的間斷點(diǎn)定義6函數(shù)f(x)不連續(xù)的點(diǎn)x0稱為函數(shù)f(x)的間斷點(diǎn)

由定義6可知函數(shù)f(x)不連續(xù)的點(diǎn)x0有下列三種情況

（1）f?x?在點(diǎn)x0沒有定義

（2）limf(x)不存在x?x0

（3）limf(x)?f(x0)x?x0

2間斷點(diǎn)的分類

??左右極限都相等（可去間斷點(diǎn)）第一類間斷點(diǎn)：左右極限都存在??間斷點(diǎn)? ?左右極限不相等（跳躍間斷點(diǎn)）

?第二類間斷點(diǎn)：左右極限至少有一個(gè)不存在?

?x2?1,x?0例4考察函數(shù)f(x)??在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0

解 略

例5考察函數(shù)f(x)??

解 略

?1?,x?0例6考察函數(shù)f(x)??x在x?0處得連續(xù)性

?0,x?0??x,x?0?x?1,x?0在x?0處得連續(xù)性

解 略

三 連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算與初等函數(shù)的連續(xù)性

1、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性

2、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性

3、初等函數(shù)的連續(xù)性：基本初等函數(shù)在它們的定義域內(nèi)都是連續(xù)的．一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的．對于初等函數(shù),由于連續(xù)性x?x0limf(x)?f(x0),求其極限即等價(jià)于求函數(shù)的函數(shù)值

四閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

定理1（最大值最小值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，則函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上必有最大值和最小值

定理2（介值定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，m 和M分別為f(x)在?a,b?上的最小值和最大值，則對于介于m 和M之間的任一實(shí)數(shù)C，至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得

f(?)?C

定理3（零點(diǎn)定理）

若函數(shù)f(x)在閉區(qū)間?a,b?上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號，則至少存在一點(diǎn)???a,b?，使得f(?)?0

例7 證明x5?2x?2?0在區(qū)間(0,1)內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根 證明 略

Ⅴ 小結(jié)與提問：

Ⅵ 課外作業(yè)：

習(xí)題1-8 2，5，7，9

第二篇：函數(shù)極限與連續(xù)

函數(shù)、極限與連續(xù)

一、基本題

1、函數(shù)f?

x??ln?6?x?的連續(xù)區(qū)間?ax2?x?2x?

12、設(shè)函數(shù)f?x???，若limf?x??0，且limf?x?存在，則 x?1x??1x?1?2ax?b

a?-1，b?

41sin2x??

3、lim?x2sin???-2x?0xx??

4、n2x?4/(√2-3)?k?

5、lim?1???e2，則k=-1x???x?

x2?ax?b?5，則a?3，b?-

46、設(shè)limx?1x?

17、設(shè)函數(shù)f?x??2x?sinx?1,g?x??kx，當(dāng)x?0時(shí)，f?x?~g?x?，則k

?ex?2x?0?

8、函數(shù)f?x???2x?10?x?1的定義域R ；連續(xù)區(qū)間(-oo,1),(1,+oo)?3x?1x?1?

?1?xsinx

?a9、函數(shù)f?x????1?xsin?bx?x?0x?0在x?0處連續(xù)，則a?1，b?1x?010、函數(shù)f?x??e?

1e?11

x1x的間斷點(diǎn)為x=0，類型是 跳躍間斷點(diǎn)。

11、f?x,y??x2?y2?xycosx，則f?0,1??f?t,1??y12、f?xy,x?y??x2?y2，則f?x,y??y^2+x13、函數(shù)z?ln?

2?x2?y2??的定義域?yàn)?{(x,y)|1=0}

14、1?e2?xylim?-1?2；?x,y???0,0?x2?y2?exy?x,y???0,0?1?x2?y2x2?y2lim

3?-12；lim?1?2xy?x?15、x?0

y?0

二、計(jì)算題

1、求下列極限

（1）0

0型：

1）limex?e?x?2x

x?0xsin3x；=0

2）limex?x?

1x?0x1?e2x;=-1/

43）limtan3x?ln?1?2x?

x?01?cos2x;=-

34）limtanx?sinx

x?0xsin2x2;=1/4

（2）?

?型：

1）lnsin3x

xlim?0?lnsin2x=1

lim2n?1?3n?1

2）n??2n?3n=3

（3）???型：

1）lim?11?

x?0??x?ex?1??=1/

22）lim?

x?1?11??x?1?lnx??=-1/2

3)xlim???arccosx?=π/3

4)xlim???x?=-1 x?0y?2

（4）0??型：

???1）limx??arctanx?=1x????2?

2)lim?x?1?tanx?1?x2=-π/2

（5）1?型：

?2?1）lim?1??x???x?3x?2=e^(-6)

4x?2?3x?1?2）lim??x??3x?2??

3)lim?1?2x?x?0 =e^(-4)=e^(2/5)1sin5x

1??4)lim?cos?=e^(-1/2)x??x??

（6）00型：1）lim?xsinx=1 x?0x2

方法:lim x^sinx=lim e^(sinxlnx)

公式：f(x)^g(x)=e^(g(x)ln(f(x)))

（7）?型：1）lim?x?20x

x????1x=2

同上

2、已知：f?x??sin2x?ln?1?3x??2limf?x?，求f?x? x?0x

f(x)=(sin2x)/x+ln(1-3x)+

2(方法：兩邊limf(x)x->0)

x2?x3、求函數(shù)f?x??的間斷點(diǎn)，并判定類型。2xx?1駐點(diǎn)x=0,x=1,x=-

11）當(dāng)x=0+時(shí)，f(x)=-1；當(dāng)x=0-時(shí)，f(x)=1 跳躍間斷點(diǎn)

2）當(dāng)x=1時(shí)，f(x)=oo;第二類間斷點(diǎn)

3）當(dāng)x=-1時(shí)，f(x)=1/2;但f(-1)不存在，所以x=-1是可去間斷點(diǎn)

?sin2x?x??

4、設(shè)函數(shù)f?x???a

?ln1?bx?????1?e2xx?0x?0在定義域內(nèi)連續(xù)，求a與b x?0

Lim sin(2x)/x|x->0-=2=a=b/-2=>a=2,b=-

45、證明方程：x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實(shí)根。（存在性與唯一性）證明：

1）存在性：

令f(x)=x^3-3x^2-9x+1

f(0)=1>0;

f(1)=-10<0;

因?yàn)閒(0).f(1)<0所以在（0,1）內(nèi)存在一個(gè)實(shí)根

2）唯一性

f’(x)=3x^2-6x-9=3(x+1)(x-3)

所以f(x)在(0,1)內(nèi)為單調(diào)減函數(shù)

故x3?3x2?9x?1?0在?0,1?內(nèi)有唯一的實(shí)根。

第三篇：函數(shù)極限連續(xù)試題

····· ········密············································訂·········線·································裝·····系·····封················· ··················__ __：_ ：___： ___________名______________業(yè)_姓_____ _號_____ _：：___級_ ____別年專______學(xué)

· ·····密·········· ·············································卷···線·································閱·······封········································

函數(shù) 極限 連續(xù)試題

1.設(shè)f(x)?

求

(1)f(x)的定義域;(2)12?f[f(x)]?2

;(3)lim

f(x)x?0x

.2.試證明函數(shù)f(x)?x3e?x2

為R上的有界函數(shù).3.求lim1n??nln[(1?1n)(1?2

n)

(1?nn)].4.設(shè)在平面區(qū)域D上函數(shù)f(x,y)對于變量x連續(xù)，對于變量y 的一階偏導(dǎo)數(shù)有界，試證：f(x,y)在D上連續(xù).（共12頁）第1頁

5.求lim（2x?3x?4x1

x?03)x.1(1?x)x

6.求lim[

x?0e]x.7.設(shè)f(x)在[?1,1]上連續(xù)，恒不為0，求x?0

8.求lim(n!)n2

n??

.9.設(shè)x??

ax?b)?2,試確定常數(shù)a和b的值.（共12頁）第2頁

10.設(shè)函數(shù)f(x)=limx2n?1?ax?b

n??1?x

2n連續(xù)，求常數(shù)a,b的值.11.若limsin6x?xf(x)6?f(xx?0x3?0，求lim)

x?0x2

.12.設(shè)lim

ax?sinx

x?0?c(c?0),求常數(shù)a,b,c的值.?xln(1?t3)btdt

13.判斷題：當(dāng)x?0時(shí)，?x

1?cost2

0t

是關(guān)于x的4階無窮小量.114.設(shè)a為常數(shù)，且lim（ex

??x?0

2?a?arctan1

x)存在，求a的值，并計(jì)算極限.ex?1

（共12頁）第3頁

215.設(shè)lim[

ln(1?ex)x?0

1?a?[x]]存在，且a?N?，求a的值，并計(jì)算極限.ln(1?ex)

16.求n(a?0).?n

17.求limn?????2(a?0,b?0).?

ln(1?

f(x)

18.設(shè)lim)

x?0

3x?1

=5，求limf(x)x?0x2.19.設(shè)f(x)為三次多項(xiàng)式，且xlim

f(x)f(x)f?2ax?2a?xlim?4ax?4a?1，求xlim(x)

?3ax?3a的值.（共12頁）第4頁

24.設(shè)連續(xù)函數(shù)f(x)在[1,??)上是正的，單調(diào)遞減的，且

dn??f(k)??f(x)dx，試證明：數(shù)列?dn?收斂.n

n

20.設(shè)x?1,求lim(1?x)(1?x2)(1?x4n

n??)

(1?x2).21.試證明：(1)?（?1n111?1+n)?1?

?

?

為遞減數(shù)列；(2)n?1?ln(1?n)?n,n?1,2,3,.limnn

22.求n??3nn!

.23.已知數(shù)列：a1

11?2，a2?2?2，a3?2?，2?2

a4?2?

12?

1的極限存在，求此極限.2?2

（共12頁）第5頁

k?1

25.設(shè)數(shù)列?xn?，x0?a，x1?b，求limn??

xn.26.求lima2n

n??1?a2n

.28.求limx???

.x1

n?2

(xn?1?xn?2)(n?2)，（共12頁）第6頁

29.設(shè)函數(shù)f(x)是周期為T(T?0)的連續(xù)函數(shù)，且f(x)?0,試證：

xlim1x???x?0f(t)dt?1T?T0f(t)dt.30.求lim?1

1n??0

x.en

(1?x)n

n

31.設(shè)lim（1?x)?x

???tetx??x

??dt，求?的值.32.判斷函數(shù)f(x)?limxn?1

n??xn?1的連續(xù)性.33.判斷函數(shù)f(x.（共12頁）第7頁

34.設(shè)f(x)為二次連續(xù)可微函數(shù)，f(0)=0，定義函數(shù)

?g(x)??

f?(0)當(dāng)x?0?，試證：g(x)?f(x)

?x當(dāng)x?0連續(xù)可微.35.設(shè)f(x)在[a,b]上連續(xù)，f(a)?f(b)，對x?(a,b)，g(x)?lim

f(x?t)?f(x?t)

t?0

t

存在，試證：存在c?(a,b),使g(c)?0.36.若f(x)為[a,b]上定義的連續(xù)函數(shù)，如果?b

a[f(x)]2dx?0，試證：

f(x)?0(a?x?b).37.設(shè)函數(shù)f(x)在x=0處連續(xù)，且lim

f(2x)?f(x)

x?0

x

?A，試證：f?(0)=A.（共12頁）第8頁

38.設(shè)f(x)在[a,b]上二階可導(dǎo)，過點(diǎn)A(a,f(a))與B(b,f(b))的直線與曲線

y?f(x)相交于C(c,f(c))，其中a?c?b.試證：至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得f??(?)=0.39.設(shè)f(x)，g(x)，h(x)在a?x?b上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，試證：

f(a)

g(a)

h(a)

至少存在一點(diǎn)??(a,b)，使得f(b)

g(b)h(b)=0,并說明拉格朗日中值 f?(?)g?(?)h?(?)

定理和柯西中值定理是它的特例.40.試證明函數(shù)y?sgnx在x?[?1,1]上不存在原函數(shù).41.設(shè)函數(shù)f(x)=nf(x)的不可導(dǎo)點(diǎn)的個(gè)數(shù).（共12頁）第9頁

42.設(shè)f(x(0?x?

?),求f?(x).43.設(shè)xn?1?(n?1,2,3,)，0?x1?3，試說明數(shù)列?xn?的極限存在.?x?0

44.求函數(shù)f(x)=??sin1?

x2?1

?x(??2x)的間斷點(diǎn).??2cosx

x?0

45.求曲線??

3???的斜漸近線.（共12頁）第10頁

??1?

46.求數(shù)列?nn?的最小項(xiàng).??

50.求lim

x.x?0

sin1

x

47.求limtan(tanx)?sin(sinx)

x?0tanx?sinx

.48.設(shè)f(x)在[0,2]上連續(xù)，在（0,2)內(nèi)有二階導(dǎo)數(shù)，且lim

f(x)

x?1(x?1)2

?1，?

f(x)dx?f(2)，試證：存在??(0,2)，使得f??(?)=(1+??1)f?(?).49.試證：若函數(shù)f(x)在點(diǎn)a處連續(xù)，則函數(shù)f+(x)=max?f(x),0?與

f-(x)=min?f(x),0?在點(diǎn)a處都連續(xù).（共12頁）第11頁

12頁）第12頁

（共

第四篇：函數(shù)極限與連續(xù)習(xí)題(含答案)

1、已知四個(gè)命題：（1）若

（2）若

（3）若

（4）若f(x)在x0點(diǎn)連續(xù)，則f(x)在x?x0點(diǎn)必有極限 f(x)在x?x0點(diǎn)有極限，則f(x)在x0點(diǎn)必連續(xù) f(x)在x?x0點(diǎn)無極限，則f(x)在x?x0點(diǎn)一定不連續(xù)f(x)在x?x0點(diǎn)不連續(xù)，則f(x)在x?x0點(diǎn)一定無極限。其中正確的命題個(gè)數(shù)是（B、2）

2、若limf(x)?a，則下列說法正確的是（C、x?x0f(x)在x?x0處可以無意義）

3、下列命題錯(cuò)誤的是（D、對于函數(shù)f(x)有l(wèi)imf(x)?f(x0)）

x?x04、已知f(x)?1

x，則limf(x??x)?f(x)的值是（C、?1）

?x?0?xx2

x?125、下列式子中，正確的是（B、limx?1?1）2(x?1)

26、limx?ax?b?5，則a、x?11?xb的值分別為（A、?7和6）

7、已知f(3)?2,f?(3)??2,則lim2x?3f(x)的值是（C、8）

x?3x?38、limx?a

x?x?aa?（D、3a2）

29、當(dāng)定義f(?1)?f(x)?1?x

2在x??1處是連續(xù)的。1?x10、lim16?x?12。

x?27x?31111、lim12、x2?1?xx?x?12x???3??1

limx?2x?1?12 ?3x?1?113、lim(x2?x?x2?1)?1

x???

214、lim(x2?x?x2?1)??1

x???2

?x,0?x?1?115、設(shè)(1)求x?f(x)??,x?1

?2

??1,1?x?2

?1時(shí)，f(x)的左極限和右極限；(2)求f(x)在x?1的函數(shù)值，它在這點(diǎn)連續(xù)嗎？(3)求出的連續(xù)區(qū)間。

答：（1）左右極限都為1（2）不連續(xù)（3）（0，1）（1，2）

第五篇：多元函數(shù)的極限與連續(xù)

數(shù)學(xué)分析

第16章

多元函數(shù)的極限與連續(xù)

計(jì)劃課時(shí)：

0 時(shí)

第16章

多元函數(shù)的極限與連續(xù)(1 0 時(shí))

§ 1

平面點(diǎn)集與多元函數(shù)

一.平面點(diǎn)集:平面點(diǎn)集的表示: E?{(x,y)|(x,y)滿足的條件}.余集Ec.1.常見平面點(diǎn)集:

⑴

全平面和半平面 : {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?0}, {(x,y)|x?a}，{(x,y)|y?ax?b}等.⑵ 矩形域: [a,b]?[c,d], {(x,y)|x|?|y|?1}.⑶ 圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán)，圓的一部分.極坐標(biāo)表示, 特別是 {(r,?)|r?2acos?}和{(r,?)|r?2asin?}.⑷ 角域: {(r,?)|?????}.⑸ 簡單域: X?型域和Y?型域.2.鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實(shí)心鄰域 , 空心方鄰域與集

{(x,y)|0?|x?x0|?? , 0?|y?y0|??}的區(qū)別.3． 點(diǎn)與點(diǎn)集的關(guān)系（集拓?fù)涞幕靖拍睿?

（1）內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)：

內(nèi)點(diǎn)：存在U(A)使U(A)?E

集合E的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為intE,.外點(diǎn)：存在U(A)使U(A)?E??

界點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)既有E的點(diǎn)也有不屬于E的點(diǎn)。E的邊界表示為?E

集合的內(nèi)點(diǎn)?E, 外點(diǎn)?E , 界點(diǎn)不定.例1 確定集E?{(x,y)|0?(x?1)?(y?2)?1 }的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集和邊界.例2 E?{(x,y)|0?y?D(x), x?[ 0 , 1 ] } , D(x)為Dirichlet函數(shù).確定集E的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)集.（2）(以凝聚程度分為)聚點(diǎn)和孤立點(diǎn):

聚點(diǎn)：A的任何鄰域內(nèi)必有屬于E的點(diǎn)。

孤立點(diǎn)：A?E但不是聚點(diǎn)。孤立點(diǎn)必為界點(diǎn).例3 E?{(x,y)|y?sin }.確定集E的聚點(diǎn)集.解

E的聚點(diǎn)集?E?[ ?1 , 1 ].221x 2 4．區(qū)域：

（1）(以包含不包含邊界分為)開集和閉集: intE ?E時(shí)稱E為開集 , E的聚點(diǎn)集?E時(shí)稱E為閉集.intE 存在非開非閉集.（3）有界集與無界集:

（4）

點(diǎn)集的直徑d(E)： 兩點(diǎn)的距離?(P1 , P2).（5）

三角不等式：

|x1?x2|（或|y1?y2|）?或?(P1,P2)?R2和空集?為既開又閉集.（2）(以連通性分為)開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域.(x1?x2)2?(y1?y2)2? |x1?x2|?|y1?y2|.?(P1,P3)??(P2,P3)

二.R2中的完備性定理:

1． 點(diǎn)列的極限:

設(shè)Pn?(xn , yn)?R2, P0?(x0 , y0)?R2.Pn?P0的定義(用鄰域語言)

定義1。

limn?????0,?N,n?NPn?U(P0,?)或?(P0,Pn)??

例4(xn , yn)?(x0 , y0)?xn?x0, yn?y0,(n??).例5 設(shè)P0為點(diǎn)集E的一個(gè)聚點(diǎn).則存在E中的點(diǎn)列{ Pn }, 使limPn?P0.n??

2．R2中的完備性定理：

（1）Cauchy收斂準(zhǔn)則:

.（2）.閉域套定理:（3）.聚點(diǎn)原理: 列緊性 ，Weierstrass聚點(diǎn)原理.（4）有限復(fù)蓋定理:

三．二元函數(shù):

1.二元函數(shù)的定義、記法、圖象：

2.定義域： 例6 求定義域：

ⅰ> f(x,y)?3.二元函數(shù)求值: 例7 例8 9?x2?y2x2?y2?1;ⅱ> f(x,y)?lny.2ln(y?x?1)yf(x,y)?2x?3y2, 求 f(1 , ?1), f(1 ,).xf(x,y)?ln(1?x2?y2), 求f(?cos? , ?sin?).4.三種特殊函數(shù): ⑴ 變量對稱函數(shù): f(x,y)?f(y,x),例8中的函數(shù)變量對稱.⑵ 變量分離型函數(shù): f(x,y)??(x)?(y).例如

z?xye2x?3y, z?xy?2x?y?2, f(x,y)?(xy?y)(xy?x)等.(xy)2 4 但函數(shù)z?x?y不是變量分離型函數(shù).⑶ 具有奇、偶性的函數(shù)

四．n元函數(shù)

二元函數(shù) 推廣維空間 記作R n

作業(yè) P9—8.§ 2 二元函數(shù)的極限

一.二重極限

二重極限亦稱為全面極限

1.二重極限

定義1 設(shè)f為定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，A是確定數(shù) 若 ???0,???0,或

2P?U0(P0,?)?D,f(P)?A??則limf(P)?A

P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)?A

例1 用“???”定義驗(yàn)證極限

(x,y)?(2,1)lim(x2?xy?y2)?7.xy2?0.例2 用“???”定義驗(yàn)證極限 lim2x?0x?y2y?0例3 ?x2?y2,(x,y)?(0,0),?xyf(x,y)??x2?y2

?0 ,(x,y)?(0,0).?f(x,y)?0.(用極坐標(biāo)變換)

P94 E2.證明

(x,y)?(0,0)lim2.歸結(jié)原則：

定理 1

limf(P)?A, ?

對D的每一個(gè)子集E , 只要點(diǎn)P0是E的聚點(diǎn) , P?P0P?D就有l(wèi)imf(P)?A.P?P0P?E

推論1

設(shè)E1?D, P0是E1的聚點(diǎn).若極限limf(P)不存在 , 則極限limf(P)也不存在.P?P0P?E1P?P0P?D

推論2

設(shè)E1,E2?D, P0是E1和E2的聚點(diǎn).若存在極限limf(P)?A1，P?P0P?E1P?P0P?E2limf(P)?A2, 但A1?A2, 則極限limf(P)不存在.P?P0P?DP?P0P?D

推論3

極限limf(P)存在, ? 對D內(nèi)任一點(diǎn)列{ Pn }, Pn?P0但Pn?P0, 數(shù)列{f(Pn)}收斂.通常為證明極限limf(P)不存在, 可證明沿某個(gè)方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個(gè)方向的極限P?P0不相等, 或證明極限與方向有關(guān).但應(yīng)注意 , 沿任何方向的極限存在且相等 ?? 全面極限存在

例4 ?xy ,(x,y)?(0,0),? 證明極限limf(x,y)不存在.f(x,y)??x2?y2(x,y)?(0,0)?0 ,(x,y)?(0,0).?6 例二重極限具有與一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算性質(zhì).例6 求下列極限: ⅰ>

(x,y)?(0,0)limsinxyx2ylim;ⅱ>;(x,y)?(3,0)yx2?y2 ⅲ>

3．極限(x,y)?(0,0)limxy?1?1ln(1?x2?y2);ⅳ> lim.22(x,y)?(0,0)xyx?y(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???的定義:

2定義2．設(shè)f為定義在D?R上的二元函數(shù)，P0為D的一個(gè)聚點(diǎn)，若 ?M?0,???0,或

P?U0(P0,?)?D,f(P)?M則limf(P)???

P?P0(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)???

其他類型的非正常極限，(x,y)?無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況.例7 驗(yàn)證(x,y)?(0,0)lim1???.222x?3y二.累次極限

二次極限

1.累次極限的定義:

定義3．設(shè)Ex,Ey?R,x0,y0分別是Ex,Ey的聚點(diǎn)，二元函數(shù)f在集合Ex?Ey上有定義。若對每一個(gè)y?Eyy?y0存在極限limf(x,y)

記作?(y)?limf(x,y)

x?x0x?Ex?x0x?E若L?lim?(y)存在，則稱此極限為二元函數(shù)f先對x后對y的累次極限

y?y0y?Ey記作L?limlim?(y)

簡記L?limlim?(y)

y?y0x?x0y?Eyx?Exy?y0x?x0例8 f(x,y)?xy, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.x2?y2 7 例9 x2?y2, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.f(x,y)?22x?y11?ysin, 求在點(diǎn)(0 , 0)的兩個(gè)累次極限.yx例10 f(x,y)?xsin2.二重極限與累次極限的關(guān)系:

⑴ 兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等.(例9)⑵ 兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), 另一個(gè)可以不存在.例如函數(shù)f(x,y)?xsin1在點(diǎn)(0 , 0)的情況.y

⑶ 二重極限存在時(shí), 兩個(gè)累次極限可以不存在.例如例10中的函數(shù), 由 , y)?(0,0).可見全面極限存在 , 但兩個(gè)累次極限均不存在.|f(x,y)| ? |x|?|y|?0 ,(x

⑷ 兩個(gè)累次極限存在(甚至相等)??

二重極限存在.(參閱例4和例8).綜上 , 二重極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系.但有以下確定關(guān)系.定理2 若二重極限

推論1 二重極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí) , 三者相等.推論1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件.推論2 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí) , 二重極限不存在.但兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在 , 另一個(gè)不存在 ??

二重極限不存在.參閱⑵的例.(x,y)?(x0,y0)limf(x,y)和累次極限limlimf(x,y)(或另一次序)都存在 , 則必相等.x?x0y?y0

作業(yè)提示: P99 1、2、4

§ 3 二元函數(shù)的連續(xù)性(4 時(shí))

一． 二元函數(shù)的連續(xù)（相對連續(xù)）概念：由一元函數(shù)連續(xù)概念引入.1.連續(xù)的定義:

定義

用鄰域語言定義相對連續(xù).全面連續(xù).函數(shù)f(x,y)有定義的孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn).例1 ?xy22 , x?y?0 ,22??x?y

f(x,y)???m , x2?y2?0.??1?m2證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿方向y?mx連續(xù).?1 , 0?y?x2, ???x??? ,例2

f(x,y)??

([1]P124 E4)0 , 其他.?證明函數(shù)f(x,y)在點(diǎn)(0 , 0)沿任何方向都連續(xù) , 但并不全面連續(xù).函數(shù)的增量: 全增量、偏增量.用增量定義連續(xù)性.函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性.2.二元連續(xù)(即全面連續(xù))和單元連續(xù) :

定義

(單元連續(xù))

二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱[1]P132 圖16—9.3.連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.僅證復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.二.二元初等函數(shù)及其連續(xù)性:

二元初等函數(shù) , 二元初等函數(shù)的連續(xù)性.三.一致連續(xù)性: 定義.四.有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì):

1.有界性與最值性.(證)

2.一致連續(xù)性.(證)

3.介值性與零點(diǎn)定理.(證)

Ex

[1]P136—137 1 ⑴—⑸，2，4，5；

P137—138

1，4.10