第一篇：2014年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：正弦定理、余弦定理

2014年高考數(shù)學(xué)第一輪復(fù)習(xí)：正弦定理、余弦定理

一、考試要求：了解利用向量知識(shí)推導(dǎo)正弦定理和余弦定理；掌握正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)單的三角形度量問(wèn)題

二、知識(shí)梳理： 1.正弦定理： ____________________.強(qiáng)調(diào)幾個(gè)問(wèn)題：（1）正弦定理適合于任何三角形；（2）可以證明的外接圓半徑）；（3）每個(gè)等式可視為一個(gè)方程：知三求一；（4）公式的變形：①a?2RsinA,b?2RsinB,c?2RsinC；

a

?__R（R為?ABCsinA

sinA?

②

abc,sinB?,sinC?2R2R2R；③sinA:sinB:sinC?a:b:c．

（5）三角形面積公式：S?ABC?________=_________=________．

(6)正弦定理的應(yīng)用范圍：①已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角。②已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。2.余弦定理： a?_____________________；b

2?____________________；

c2?_____________________.強(qiáng)調(diào)幾個(gè)問(wèn)題：(1)熟悉定理的結(jié)構(gòu)，注意“平方”“夾角”“余弦”等；(2)知三求一；(3)當(dāng)夾角為90時(shí)，即三角形為直角三角形時(shí)即為勾股定理（特例）；

?

b2?c2?a2a2?c2?b2a2?b2?c2

cosC?(4)變形：cosA? cosB?．

2bc2ac2ac

（5）余弦定理的應(yīng)用范圍：①已知三邊，求三個(gè)角；②已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其

他兩個(gè)角.3.解斜三角形(1)．兩角和任意一邊，求其它兩邊和一角；(2)．兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角，進(jìn)而可求其它的邊和角。（見(jiàn)圖示）已知a, b和A, 用正弦定理求B時(shí)的各種情況:

①若A為銳角時(shí):

?a?bsinA無(wú)解?

?a?bsinA一解(直角)

?

?bsinA?a?b二解(一銳, 一鈍)?a?b一解(銳角)?

已知邊a,b和?A

a

無(wú)解

a=CH=bsinA僅有一個(gè)解

CH=bsinA

②若A為直角或鈍角時(shí):??a?b無(wú)解

?a?b一解(銳角)

三、基礎(chǔ)檢測(cè)：1.在 中，則 等于（）

A．B．C．D．

2.若 是（）

A．等邊三角形B．有一內(nèi)角是30°

C．等腰直角三角形D．有一內(nèi)角是30°的等腰三角形

3.在，面積，則BC長(zhǎng)為（）

A．B．75C．51D．49

4．在 中，已知角 則角A的值是（）

A．15°B．75°C．105°D．75°或15°

5． 中，sinB=1,sinC?,則a：b：c為（22）

A.1：3：2B.1：1：C.1：2： D.2：1：或1：1：

6.如圖，在△ABC中，D是邊AC

上的點(diǎn)，且AB?CD,2AB?,BC?2BD，則sinC的值為

A

． B

． C

．D

．

7.若 的三個(gè)內(nèi)角 成等差數(shù)列，且最大邊為最小邊的2倍，則三內(nèi)角之比為_(kāi)_______。

8.在 中，的值為_(kāi)_____。

9.如圖，△ABC中，AB=AC=2，BC=D 在BC邊上，∠ADC=45°，則AD的長(zhǎng)度等于______。

10.在?ABC中。若b=5，?B??4，tanA=2，則sinA=_______；a=__________。

11.已知?ABC 的一個(gè)內(nèi)角為120o，并且三邊長(zhǎng)構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則?ABC的面積為_(kāi)______________.12.在△ABC中，角A、B、C所對(duì)應(yīng)的邊為a,b,c

sin(A?

（1）若?6)?2cosA,求A的值；

1cosA?,b?3c3（2）若，求sinC的值.cosA-2cosC2c-a=cosBb． 13.在?ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c．已知

sinC1

（I）求sinA的值；（II）若cosB=4，b=2，?ABC的面積S。

14.設(shè)?ABC的內(nèi)角A.B.C所對(duì)的邊分別為a.b.c，已知a?1.b?2.cosC?（Ⅰ）求?ABC的周長(zhǎng)

（Ⅱ）求cos?A?C?的值 1.4

第二篇：正弦定理余弦定理[推薦]

正弦定理 余弦定理

一、知識(shí)概述

主要學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的推導(dǎo)及其應(yīng)用，正弦定理是指在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等．即余弦定理是指三角形任何一邊的平方等于其它兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍，即a2=b2＋c2－2bccosA，b2=c2＋a2－2cacosB, c2=a2＋b2－2abcosC．通過(guò)兩定理的學(xué)習(xí)，掌握正弦定理和余弦定理，并能利用這兩個(gè)定理去解斜三角形，學(xué)會(huì)用計(jì)算器解決解斜三角形的計(jì)算問(wèn)題，熟悉兩定理各自解決不同類型的解三角形的問(wèn)題．認(rèn)識(shí)在三角形中，已知兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形，產(chǎn)生多解的原因，并能準(zhǔn)確判斷解的情況．

二、重點(diǎn)知識(shí)講解

1、三角形中的邊角關(guān)系

在△ABC中，設(shè)角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，則有

（1）角與角之間的關(guān)系：A＋B＋C＝180°；

（2）邊與角之間的關(guān)系：

正弦定理：

余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccosA

b2＝c2＋a2－2accosB

c2＝a2＋b2－2abcosC

射影定理：a＝bcosC＋ccosB

b＝ccosA＋acosC c＝acosB＋

bcosA

2、正弦定理的另三種表示形式：

3、余弦定理的另一種表示形式：

4、正弦定理的另一種推導(dǎo)方法——面積推導(dǎo)法

在△ABC中，易證明再在上式各邊同時(shí)除

以在此方法推導(dǎo)過(guò)程中，要注意對(duì)

面積公式的應(yīng)用．

例

1、在△ABC中，ab=60, sinB=cosB．面積S=15，求△ABC的三個(gè)內(nèi)角． 分析：

在正弦定理中，由

進(jìn)而可以利用三角函數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行解題． 解：

可以把面積進(jìn)行轉(zhuǎn)化，由公式

∴C=30°或150°

又sinA=cosB∴A＋B=90°或A－B=90°顯然A＋B=90°不可能成立

當(dāng)C=30°時(shí)，由A＋B=150°，A－B=90°得A=120°B=30°

當(dāng)C=150°時(shí)，由A－B=90°得B為負(fù)值，不合題意故所求解為A=120°，B=30°，C=30°.例

2、在△ABC中，a、b、c分別是內(nèi)角A、B、C的外邊，若b=2a，B=A＋60°，求A的值． 分析：

把題中的邊的關(guān)系b=2a利用正弦定理化為角的關(guān)系，2RsinB=4RsinA，即sinB=2sinA． 解：

∵B=A＋60°

∴sinB=sin(A＋60°)=sinAcos60°＋cosAsin60°

=

又∵b=2a

∴2RsinB=4RsinA，∴sinB=2sinA

例

3、在△ABC中，若tanA︰tanB＝a2︰b2，試判斷△ABC的形狀． 分析：

三角形分類是按邊或角進(jìn)行的，所以判定三角形形狀時(shí)一般要把條件轉(zhuǎn)化為邊之間關(guān)系或角之間關(guān)系式，從而得到諸如a＋b＝c，a＋b>c（銳角三角形），a＋b＜c（鈍角三角形）或sin(A－B)＝0，sinA＝sinB，sinC＝1或cosC＝0等一些等式，進(jìn)而判定其形狀，但在選擇轉(zhuǎn)化為邊或是角的關(guān)系上，要進(jìn)行探索．

解法一：由同角三角函數(shù)關(guān)系及正弦定理可推得，∵A、B為三角形的內(nèi)角，∴sinA≠0，sinB≠0．

．

∴2A＝2B或2A＝π－2B，∴A＝B或A＋B＝所以△ABC為等腰三角形或直角三角形．解法二：由已知和正弦定理可得：

整理得a－ac＋bc－b＝0，即（a－b)（a＋b－c）＝0，于是a＝b或a＋b－c＝0，∴a＝b或a＋b＝c．∴△ABC是等腰三角形或直角三角形．

5、利用正弦定理和余弦定理判定三角形形狀，此類問(wèn)題主要考查邊角互化、要么同時(shí)化邊為角，要么同時(shí)化角為邊，然后再找出它們之間的關(guān)系，注意解答問(wèn)題要周密、嚴(yán)謹(jǐn)．

例

4、若acosA=bcosB，試判斷△ABC的形狀． 分析：

本題既可以利用正弦定理化邊為角，也可以利用余弦定理化角為邊． 解：

解法一：由正弦定理得：2RsinAcosA=2RsinBcosB∴sin2A=sin2B

∴2A=2B或2A＋2B=180°∴A=B或A＋B=90°

故△ABC為等腰三角形或直角三角形解法二：由余弦定理得

∴a(b＋c－a)=b(a＋c－b)∴(a－b)(a＋b－c)=0∴a=b或a＋b=c

故△ABC為等腰三角形或直角三角形．

6、正弦定理，余弦定理與函數(shù)之間的相結(jié)合，注意運(yùn)用方程的思想．

例

5、如圖，設(shè)P是正方形ABCD的一點(diǎn)，點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別是

1，2，3，求正方形的邊長(zhǎng)．

分析：

本題運(yùn)用方程的思想，列方程求未知數(shù)． 解：

設(shè)邊長(zhǎng)為x(1

設(shè)x=t，則1

－5)=16t

三、難點(diǎn)剖析

1、已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，將出現(xiàn)無(wú)解、一解和兩解的情況，應(yīng)分情況予以討論．

下圖即是表示在△ABC中，已知a、b和A時(shí)解三角形的各種情況．

（1）當(dāng)A為銳角時(shí)（如下圖），（2）當(dāng)A為直角或鈍角時(shí)（如下圖），也可利用正弦定理進(jìn)行討論．

如果sinB>1，則問(wèn)題無(wú)解； 如果sinB＝1，則問(wèn)題有一解；

如果求出sinB<1，則可得B的兩個(gè)值，但要通過(guò)“三角形內(nèi)角和定理”或“大邊對(duì)大角”等三角形有關(guān)性質(zhì)進(jìn)行判斷．

2、用方程的思想理解和運(yùn)用余弦定理：當(dāng)?shù)仁絘2＝b2＋c2－2bccosA中含有未知數(shù)時(shí)，等式便成為方程．式中有四個(gè)量，知道任意三個(gè)，便可以解出另一個(gè)，運(yùn)用此式可以求a或b或c或cosA．

3、向量方法證明三角形中的射影定理

在△ABC中，設(shè)三內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別是a、b、c．

4、正弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知兩角和任一邊解三角形；

（2）已知兩邊和一邊的對(duì)角解三角形．

5、余弦定理解三角形可解決的類型：（1）已知三邊解三角形；

（2）已知兩邊和夾角解三角形．

6、三角形面積公式：

例

6、不解三角形，判斷三角形的個(gè)數(shù)． ①a＝5，b＝4，A＝120° ②a＝30，b＝30，A＝50° ③a＝7，b＝14，A＝30° ④a＝9，b＝10，A＝60° ⑤a＝6，b＝9，A＝45° ⑥c＝50，b＝72，C＝135° 解析：

①a>b，A＝120°，∴△ABC有一解．②a＝b，A＝50°<90°，∴△ABC有一解．

③a

④a0 ∴△ABC有兩解．

⑤b>c，C＝45°，∴△ABC無(wú)解（不存在）．⑥b>c，C＝135°>90°，又由b>c知∠B>∠C＝135°，這樣B＋C>180°，∴△ABC無(wú)解．

第三篇：正弦定理和余弦定理的復(fù)習(xí)

第十九教時(shí)

教材：正弦定理和余弦定理的復(fù)習(xí)《教學(xué)與測(cè)試》76、77課

目的：通過(guò)復(fù)習(xí)、小結(jié)要求學(xué)生對(duì)兩個(gè)定理的掌握更加牢固，應(yīng)用更自如。過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)正弦定理、余弦定理及解斜三角形 解之：x?6?2 22?(6?22)?3b?c?a1?3?6?22??? 當(dāng)c?時(shí)cosA?222

二、例一 證明在△ABC中asinA=bsinB=csinC=2R，其中R是三角形外接圓半徑

證略 見(jiàn)P159 注意：1．這是正弦定理的又一種證法(現(xiàn)在共用三種方法證明)2.正弦定理的三種表示方法(P159)例二 在任一△ABC中求證：a(sinB?sinC)?b(sinC?sinA)?c(sinA?sinB)?0

證：左邊=2RsinA(sinB?sinC)?2RsinB(sinC?sinA)?2RsinC(sinA?sinB)

=2R[sinAsinB?sinAsinC?sinBsinC?sinBsinA?sinCsinA?sinCsinB]=0=右邊

例三 在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45 求A、C及c

解一：由正弦定理得：sinA?asinB3sin45?3b?2?2 ∵B=45<90

即b

?當(dāng)A=60時(shí)C=7c?bsinC2sinsinB?756?2sin45??2 當(dāng)A=120時(shí)C=15

c?bsinC2sin15?6sinB?sin45???22 解二：設(shè)c=x由余弦定理 b2?a2?c2?2accosB 將已知條件代入，整理：x2?6x?1?0

22bc2?2?6?22(3?1)22從而A=60

C=75

當(dāng)c?6?22時(shí)同理可求得：A=120 C=15

例四 試用坐標(biāo)法證明余弦定理 證略見(jiàn)P161

例五 在△ABC中，BC=a, AC=b, a, b是方程x2?23x?2?0的兩個(gè)根，且

2cos(A+B)=1 求 1角C的度數(shù) 2AB的長(zhǎng)度 3△ABC的面積

解：

1cosC=cos[

(A+B)]=

cos(A+B)=∴C=120

2由題設(shè)：??a?b?23?a?b?2

∴AB

2=AC2

+BC

2AC?BC?osC?a2?b2?2abcos120?

?a2?b2?ab?(a?b)2?ab?(23)2?2?10 即AB=10

3S1113△ABC=2absinC?2absin120??2?2?2?32

例六 如圖，在四邊形ABCD中，已知AD

CD, AD=10, AB=14，BDA=60BCD=135

求BC的長(zhǎng)

D

C

解：在△ABD中，設(shè)BD=x

則BA2?BD2?AD2?2BD?AD?cos?BDA

A

B ，即142?x2?102?2?10x?cos60? 整理得：x2?10x?96?0

解之：x1?16 x2??6（舍去）由余弦定理：

BCBD16???sin30?82

∴BC??sin?CDBsin?BCDsin135

例七（備用）△ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角，1求最大角 2

求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積。解：1設(shè)三邊a?k?1,b?k,c?k?1 k?N?且k?1

a2?b2?c2k?4∵C為鈍角 ∴cosC???0解得1?k?4

2ac2(k?1)∵k?N? ∴k?2或3 但k?2時(shí)不能構(gòu)成三角形應(yīng)舍去

1當(dāng)k?3時(shí) a?2,b?3,c?4,cosC??,C?109?

42設(shè)夾C角的兩邊為x,y x?y?4

1515??(?x2?4x)44S?xysinC?x(4?x)?當(dāng)x?2時(shí)S最大=15

三、作業(yè)：《教學(xué)與測(cè)試》76、77課中練習(xí)

a2?b2b2?c2c2?a2???0 補(bǔ)充：1．在△ABC中，求證：

cosA?cosBcosB?cosCcosC?cosAD A

2．如圖ABBCD=75

BC CD=33 BDC=45

ACB=30

求AB的長(zhǎng)(112)

B

C

第四篇：《正弦定理和余弦定理》測(cè)試卷

《正弦定理和余弦定理》學(xué)習(xí)成果測(cè)評(píng)

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

1.在△ABC中，a=18，b=24，∠A=45°，此三角形解的情況為()

A.一個(gè)解B.二個(gè)解C.無(wú)解D.無(wú)法確定

2．在△ABC

中，若a?2,b?c??A的度數(shù)是()

A.30°B.45°C.60°D.75°

2223．ΔABC中，若a=b+c+bc，則∠A=()

A.60?B.45?C.120?D.30?

4．邊長(zhǎng)為5、7、8的三角形的最大角與最小角之和為()

A.90°B.120°C.135°D.150°

5.在△ABC中，已知a?3，b?2，B=45?.求A、C及c.06．在?ABC中，若B?

45，c?

b?A.7.在?ABC中，已知a?134.6cm，b?87.8cm，c?161.7cm，解三角形.8．在?ABC中，若a2?b2?c2?bc，求A.能力提升：

AB的取值范圍是()AC

A.(0，2)B.(2,2)C.(2,)D.(,2)9．銳角ΔABC中，若C=2B，則

10.已知在△ABC中，sinA:sinB:sinC=3:2:4，那么cosC的值為()A.?

14B.1

422ABC.?D.銳角ΔABC中，若C=2B，則的取值范圍是 33AC

11.等腰三角形底邊長(zhǎng)為6，一條腰長(zhǎng)12，則它的外接圓半徑為()

12．在?ABC中，已知三邊a、b、c滿足?a?b?c??a?b?c??3ab，則C＝()

A．15B．30C．45D．60

13．鈍角?ABC的三邊長(zhǎng)為連續(xù)自然數(shù)，則這三邊長(zhǎng)為（）。

A、1、2、3B、2、3、4C、3、4、5D、4、5、6 ????

sinC2?(6?1)，則∠A=_______.sinB

5a?b?c?_____.15.在△ABC中，∠A=60°，b=1，c=4，則sinA?sinB?sinC14．在ΔABC中，BC=3，AB=2，16.在△ABC中，∠B=120°，sinA:sinC=3:5，b=14，則a，c長(zhǎng)為_(kāi)____.綜合探究：

17．已知鈍角?ABC的三邊為：a?k,b?k?2,c?k?4,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.a2?b2sin(A?B)?18.在?ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，證明:.2sinCc

參考答案：

基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：

1.B2.A3.C4.B

5.解析：

asinB3sin45?解法1：由正弦定理得：sinA? ??b22

∴∠A=60?或120?

bsinC2sin75?6?2當(dāng)∠A=60?時(shí)，∠C=75?，c?； ??sinB2sin45?

bsinC2sin15?6?2當(dāng)∠A=120?時(shí)，∠C=15?，c?.???sinB2sin45

解法2：設(shè)c=x，由余弦定理b?a?c?2accosB 將已知條件代入，整理：x?x?1?0 解之：x?22226?2 2

222?22)?3b?c?a1?3??2??? 當(dāng)c?時(shí)，cosA?2bc26?22(?1)22?2?22?（從而∠A=60?，∠C=75?； ?2時(shí)，同理可求得：∠A=120?，∠C=15?.2

bc?6.∵，sinBsinC當(dāng)c?

csinBsin45???∴sinC?，b∵0?C?180，∴C?60或C?120

∴當(dāng)C?60時(shí)，A?75； ?????

當(dāng)C?120時(shí)，A?15，；

所以A?75或A?15．

7.由余弦定理的推論得： ????

b2?c2?a287.82?161.72?134.62

?0.5543,?cosA?A?56020?；

c2?a2?b2134.62?161.72?87.82

? cosB?B?32053?；

? C?1800?(A?B)?1800?(56020??32053)

8.∵bc?b2?c2?a2，?0.8398,b2?c2?a21∴由余弦定理的推論得：cosA?? ∵0?A?180，∴A?60.能力提升：

9.C10.A11.C

12.D．由?a?b?c??a?b?c??3ab，得a?b?2ab?c?3ab 222??

a2?b2?c21?，∴由余弦定理的推論得：cosC?2ab2

∵0?C?180，∴C?60.13.B；只需要判定最大角的余弦值的符號(hào)即可。

選項(xiàng)A不能構(gòu)成三角形； ??

22?32?421???0，故該三角形為鈍角三角形； 選項(xiàng)B中最大角的余弦值為2?2?34

32?42?52

?0，故該三角形為直角三角形； 選項(xiàng)C中最大角的余弦值為：2?4?3

42?52?621??0，故該三角形為銳角三角形.選項(xiàng)D中最大角的余弦值為2?4?58

14.120?

1516.4綜合探究：

17.∵?ABC中邊a?k,b?k?2,c?k?4，∴a?k?0，且邊c最長(zhǎng)，∵?ABC為鈍角三角形

∴當(dāng)C為鈍角時(shí) a2?b2?c2

?0，∴cosC?2ab

∴a?b?c?0, 即a?b?c

∴k2?(k?2)2?(k?4)2, 解得?2?k?6,又由三角形兩邊之和大于第三邊：k?(k?2)?k?4,得到k?2，故實(shí)數(shù)k的取值范圍：2?k?6.18.證法一:由正弦定理得： 222222

a2?b2sin2A?sin2Bcos2B?cos2A?? c2sin2C2sin2C

=?2sin(B?A)sin(B?A)sinCsin(A?B)sin(A?B)==.222sinCsinCsinC

222證法二:由余弦定理得a=b+c-2bccosA，a2?b2c2?2bccosA2b??1??cosA，則22ccc

又由正弦定理得bsinB?，csinC

a2?b22sinBsinC?2sinBcosA?1??cosA?∴ 2csinCsinC

sin(A?B)?2sinBcosA sinC

sinAcosB?sinBcosAsin(A?B)??.sinCsinC

sin(A?B)sinAcosB?sinBcosA?證法三:.sinCsinC

sinAasinBb?,?，由正弦定理得sinCcsinCc

sin(A?B)acosB?bcosA?∴，sinCc?

又由余弦定理得

a2?c2?b2b2?c2?a2a??b?sin(A?B)?sinCc

(a2?c2?b2)?(b2?c2?a2)? 22c

a2?b2

?.c2

第五篇：正弦定理余弦定理練習(xí)

正弦定理和余弦定理練習(xí)

一、選擇題

1、已知?ABC中，a?4,b?43,A?300,則B=（）

A.300B.300或1500 C.600D.600或12002、已知?ABC中，AB?6,A?300,B?1200,則S?ABC?()

A.9B.18C.93D.1833、已知?ABC中，a:b:c?1:3:2，則A:B:C?（）

A.1:2:3B.2:3:1C.1:3:2D.3:1:24、已知?ABC中，sinA:sinB:sinC?k:(k?1):2k(k?0)，則k的取值范圍是（）

A.?2,???B.???,0?C.二、填空題

1、已知?ABC中，B?300,AB?23,AC?2,則S?ABC?

2、已知?ABC中，b?2csinB,則角

3、設(shè)?ABC的外接圓的半徑為R，且AB?4,C?450,則R=

4、已知S?ABC?32,b?2,c?3,則角1??,0???2??D.?1?,????2?? A=

5、已知?ABC中，B?450,C?600,a?2(3?1)，則S?ABC?

三、簡(jiǎn)答題

01、在?ABC中，若B?30,AB?23,AC?2,求S?ABC.2、已知?ABC中，C?60,BC?a,AC?b,a?b?6.(1)寫(xiě)出?ABC的面積S與a的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)a等于多少時(shí)，Smax？并求出Smax.23、已知?ABC中，a?a?2(b?c),a?2b?2c?3,若sinC:sinA?4:，求a,b,c.04、a,b,c是?ABC的三內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，4sin

(1)求角A；(2)若a?3,b?c?3,2B?C2?cos2A?72.求b,c的值.