第一篇：雙曲線教學(xué)設(shè)計(jì)

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)

沾化一中

郭梅芳

一、教材分析：

《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》是全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書（人教A版）選修2-1第二章第三節(jié)內(nèi)容，雙曲線是平面解析幾何的又一重要曲線，本節(jié)課既是對(duì)解析幾何學(xué)習(xí)方法的鞏固，又是對(duì)運(yùn)動(dòng)，變化和對(duì)立統(tǒng)一的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)，從整體上進(jìn)一步認(rèn)識(shí)解析幾何，建立解析幾何的數(shù)學(xué)思想。雙曲線是三種圓錐曲線中最復(fù)雜的一種，傳統(tǒng)的處理方法是先學(xué)習(xí)橢圓，再學(xué)習(xí)雙曲線，通過對(duì)比橢圓知識(shí)來學(xué)習(xí)，降低難度，便于學(xué)生學(xué)習(xí)掌握。教材為《雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》安排兩課時(shí)內(nèi)容，本文是第一課時(shí)，本課的主要內(nèi)容是：（1）探求軌跡（雙曲線）；（2）學(xué)習(xí)雙曲線定義；（3）推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程；

二、教學(xué)目標(biāo)：

1、認(rèn)知目標(biāo)：掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程，了解雙曲線及相關(guān)概念；

2、能力目標(biāo)：通過學(xué)生的操作和協(xié)作探討，培養(yǎng)學(xué)生的實(shí)踐能力和分析問題、解決問題的能力，通過知識(shí)的再現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和創(chuàng)新意識(shí)。

3、情感目標(biāo)：讓學(xué)生體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生的全過程，體會(huì)解析法的思想。通過畫雙曲線的幾何圖形讓學(xué)生感知幾何圖形曲線美、簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣．

三、教學(xué)重難點(diǎn)

重點(diǎn)：雙曲線中a,b,c之間的關(guān)系。

難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的探求；領(lǐng)悟解析法思想．

四、教學(xué)方式：

多媒體演示，小組討論。

五、教學(xué)準(zhǔn)備：

多媒體課件，六、教學(xué)設(shè)想： 通過師生的相互“協(xié)作”，以提問的形式完成本堂課

七、教學(xué)過程：

環(huán)節(jié) 內(nèi)容 教學(xué)雙邊活動(dòng) 設(shè)計(jì)意圖 復(fù)習(xí)問題

問題1：橢圓的定義是什么？（哪幾個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)）問題2：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是怎樣的？ 問題3：如何作橢圓？

問題4：性質(zhì)： 學(xué)生回顧，教師補(bǔ)充糾正 回顧橢圓學(xué)習(xí)過程，本身具有復(fù)習(xí)提高價(jià)值．此處側(cè)重于類比研究橢圓的思想和方法，期望在雙曲線學(xué)習(xí)中有一種方法引領(lǐng)。

引入新課:到兩個(gè)定點(diǎn)的距離差為定值的動(dòng)點(diǎn)軌跡？ 過渡

探求軌跡問題：我們用什么方法來探求（畫出）軌跡圖形？用幾何畫板演示拉鏈的軌跡： 同樣的，也有設(shè)問：①定點(diǎn)與動(dòng)點(diǎn) 不在同一平面內(nèi)，能否得到雙曲線？請(qǐng)學(xué)生回答：不能．指出必須“在平面內(nèi)”．② 動(dòng)點(diǎn)M到定點(diǎn)A 與B 兩點(diǎn)的距離的差有什么關(guān)系？請(qǐng)學(xué)生回答，M 到 A與B 的距離的差的絕對(duì)值相等，否則只表示雙曲線的一支，即 是一個(gè)常數(shù)．③這個(gè)常是否會(huì)大于或者等｜AB｜ ？請(qǐng)學(xué)生回答，應(yīng)小于｜AB｜且大于零．當(dāng)常數(shù)2a=｜AB｜ 時(shí)，軌跡是以A、B 為端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)2a> ｜AB｜時(shí)，無軌跡． 小組討論實(shí)驗(yàn)演示提問 通過提出問題，讓學(xué)生討論問題，并嘗試解決問題。讓學(xué)生了解雙曲線的前提條件，并培養(yǎng)學(xué)生的全面思考的能力。

感受曲線，解讀定義:

演示得到的圖形是雙曲線（一部分）；歸納雙曲線的定義：平面內(nèi)，到兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值為常數(shù)（小于兩定點(diǎn)距離）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做雙曲線的焦距。數(shù)學(xué)簡(jiǎn)記： 學(xué)生讀課本并分析其中的關(guān)鍵點(diǎn) 通過閱讀和關(guān)鍵點(diǎn)分析，讓學(xué)生學(xué)會(huì)讀書，學(xué)會(huì)分析書，從而理解書。

推導(dǎo)方程，認(rèn)識(shí)特性 :（1）建系以兩定點(diǎn)所在直線為x軸，其中點(diǎn)為原點(diǎn)，建立直角坐標(biāo)系xOy 設(shè) 為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距為，則設(shè)點(diǎn)M 與A、B 的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)。

（2）點(diǎn)的集合由定義可知，雙曲線上點(diǎn)的集合滿足｜｜MA｜-｜MB｜｜=2a（3）利用坐標(biāo)關(guān)系化代數(shù)方程

（4）化簡(jiǎn)方程

（5）雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程：方程形式：焦點(diǎn)在x軸上： 焦點(diǎn)在y軸上： 焦點(diǎn)的中點(diǎn)在原點(diǎn)（中心在原點(diǎn)）

（6）數(shù)量特征：（2a）——（實(shí)軸長(zhǎng)）,(2c)——（焦距）指出:a,b,c的含義.注:（1）雙曲線方程中，a 不一定大于 b；

（2）如果x 的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 x軸上，如果y 的系數(shù)是正的，那么焦點(diǎn)在 y軸上，有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點(diǎn)的位置.（3）雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a,b,c 的關(guān)系不同于橢圓方程．

交流：建系的任意性與合理性由一位學(xué)生上黑板演示，教師巡視，通過對(duì)雙曲線方程的化簡(jiǎn)，提高學(xué)生的演算能力?？勺⒁獯蟛糠謱W(xué)生寫得是否正確。類比橢圓，認(rèn)識(shí)共同點(diǎn)，辨別不同。

應(yīng)用方程，體驗(yàn)思想 :

例1 ： 說明：橢圓 與雙曲線 的焦點(diǎn)相同．

例2：求到兩定點(diǎn) A、B 的距離的差的絕對(duì)值為6的點(diǎn)的軌跡方程？如果把上面的6改為10，其他條件不變，會(huì)出現(xiàn)什么情況？如果改為12呢？ 教師分析，由學(xué)生分析，教師板書及補(bǔ)充?？梢赃M(jìn)一步鞏固理解雙曲線的定義。

回顧過程，歸納小結(jié) 雙曲線定義的要點(diǎn)，標(biāo)準(zhǔn)方程的形式

課后練習(xí)書本習(xí)題

八、自我教學(xué)評(píng)價(jià)

在教學(xué)過程中注重知識(shí)，能力的融合，努力挖掘內(nèi)容的本質(zhì)和聯(lián)系，以學(xué)生 3 為主體，沿著學(xué)生的思維方向一步步引入新知識(shí)，順利完成知識(shí)的吸納，利用多媒體演示過程，能給學(xué)生一種形象上的吸收，寓思想于教學(xué)中。

九、教學(xué)反思和回顧

在整個(gè)教學(xué)中，利用類比橢圓方程定義的形成過程自然進(jìn)入雙曲線定義的教學(xué)狀態(tài)中，并采取多提問的形式，讓每個(gè)學(xué)生思考問題，回答問題，給他們思考的空間，培養(yǎng)他們思索的習(xí)慣，讓學(xué)生與老師互動(dòng)，交流探討學(xué)習(xí)過程中的問題，可以充分提高學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性與他們的自信心，在今后的教學(xué)中，我要更多的讓學(xué)生來演示，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用,讓學(xué)生真正體會(huì)知識(shí)的形成過程。

第二篇：雙曲線教學(xué)設(shè)計(jì)

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

一.教學(xué)目標(biāo): 1.知識(shí)目標(biāo):掌握雙曲線的定義并會(huì)推導(dǎo)其方程.2.能力目標(biāo):能根據(jù)已知條件,選擇恰當(dāng)?shù)男问降碾p曲線方程解題;加深對(duì)類比,化簡(jiǎn),分類討論的思想的理解與運(yùn)用.3.情感目標(biāo):利用教學(xué)內(nèi)容促進(jìn)學(xué)生對(duì)量變,質(zhì)變規(guī)律的理解和對(duì)學(xué)生進(jìn)行愛國(guó)主義教育.二.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)分析: 本節(jié)的教學(xué)重點(diǎn)是準(zhǔn)確理解雙曲線的定義.本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)是選擇恰當(dāng)?shù)碾p曲線方程解題.三.教學(xué)方法和學(xué)習(xí)方法的設(shè)計(jì): 教法:1.在教學(xué)目標(biāo)的指導(dǎo)下,采用”信息環(huán)境下情境性問題解決”教學(xué)模式實(shí)施教學(xué).這種方法是以問題為中心,以學(xué)生主動(dòng)探索數(shù)學(xué)知識(shí)和強(qiáng)化創(chuàng)新意識(shí)為主要特征的探究型教學(xué)方式.在探索過程中經(jīng)歷”提出問題———分析問題———分組討論———提煉總結(jié)———深化反思”五個(gè)不同的教學(xué)環(huán)節(jié).在整個(gè)教學(xué)過程中,教師利用問題引路,學(xué)生獨(dú)立思考和分組討論,從而自己解決問題.2.通過課件和動(dòng)畫展示數(shù)學(xué)知識(shí)的發(fā)生﹑發(fā)展過程;幫助學(xué)生理解抽象的數(shù)學(xué)概念;借助信息技術(shù)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的“再現(xiàn)”.學(xué)法:在教師的組織,點(diǎn)撥,引導(dǎo)作用下,通過學(xué)生積極思考,大膽想象,總結(jié)規(guī)律,自己不能解決的問題通過小組討論解決,充分發(fā)揮他們的主體作用,讓學(xué)生置身于提出問題﹑思考問題﹑解決問題的動(dòng)態(tài)過程中.四.媒體選擇:多媒體課件.39

五.教學(xué)過程設(shè)計(jì): 探索問題一: 定圓圓O1內(nèi)含于定圓圓O2,當(dāng)圓M與圓O2內(nèi)切而與圓O1外切時(shí), 圓M的圓心M的軌跡是什么曲線? 學(xué)生: 是橢圓.教師: 面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離的和等于常數(shù)(大于F1F2)的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓.若將“距離之和”改為“距離之———差”.那將會(huì)出現(xiàn)什么情況呢? 探索問題二: 設(shè)圓O1,圓O2外離,其半徑分別為r1,r2.動(dòng)圓圓M與圓O1內(nèi)切而與圓O2外切,求動(dòng)圓M的圓心M的軌跡又是什么曲線? 分析: 設(shè)動(dòng)圓M半徑為r,有O2M?O1M??r2?r???r?r1??r1?r2 教師: 誰(shuí)能畫出點(diǎn)M的軌跡?(沒反應(yīng))困難在哪里呢? 學(xué)生: 動(dòng)圓M有無數(shù)個(gè),畫起來困難.所以點(diǎn)M的軌跡畫不出來!(課件演示)教師:原來點(diǎn)M的軌跡是一條開口向左的,向外伸展的不封閉的一條曲線,這是單曲線嗎?:是否還有其他情況? 學(xué)生:如果圓M與圓O1外切而與圓O2內(nèi)切情況會(huì)怎樣? 此時(shí), O1M?O2M??r1?r???r?r2??r1?r2.大概是開口向右的一條曲線吧.課件演示.教師:我們把上述兩條曲線稱為雙曲線(演示課件).請(qǐng)給出雙曲線的定義.學(xué)生:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)的距離的差的絕對(duì)值是常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.教師:好.請(qǐng)看——(課件演示)當(dāng)圓O1與圓O2外切時(shí),雖然MO1?MO2?r1?r2?O1O2,但點(diǎn)在線段O1O2的兩側(cè),是兩條射線.動(dòng)點(diǎn)M必定滿足一個(gè)什么樣的特定條件? 40

學(xué)生:應(yīng)在前面的敘述中,在”常數(shù)”后加上附加條件”小于O1O2”.教師:如果這個(gè)常數(shù)為0呢?這時(shí)點(diǎn)的軌跡是什么? 學(xué)生:平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)O1,O2的距離的差的絕對(duì)值是0的點(diǎn)的軌跡是線段O1O2的垂直平分線.所以這個(gè)常數(shù)不能為0.教師:這就完整了.稱O1,O2為雙曲線的焦點(diǎn).它與橢圓定義比較又有和聯(lián)系呢? 學(xué)生:在橢圓定義中,由三角形兩邊之和大于第三邊的要求,而雙曲線的定義中應(yīng)滿足三角形的兩邊之差的絕對(duì)值小于第三邊的要求.教師:如此復(fù)雜的曲線和平面幾何中最簡(jiǎn)單的結(jié)論緊密聯(lián)系,這充分反映了事物間的和諧的本質(zhì)屬性.問題延伸: 教師:利用平面直角坐標(biāo)系,我們可以求出該曲線方程,這就是數(shù)形結(jié)合的思想.問題是如何建立平面直角坐標(biāo)系? 學(xué)生:以O(shè)1,O2所在的直線為x軸,線段O1O2的中垂線為y軸,建立直角坐標(biāo)系.教師:為什么不以O(shè)1或O2為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系呢? 學(xué)生:那樣的話, O1與O2就不能關(guān)于y軸對(duì)稱,從前面我們學(xué)習(xí)的橢圓方程的推導(dǎo)過程中知道,所得的方程較繁.教師:對(duì).請(qǐng)同學(xué)們自行推導(dǎo)雙曲線方程.(學(xué)生推演,教師歸納).教師:同學(xué)們都能得出方程?c2?a2?x2?a2y2??c2?a2?a2.仿照推導(dǎo)橢圓方程的方法.可

x2y2令c?a?b.則得焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線方程: 2?2?1.類似地,當(dāng)焦點(diǎn)在y軸上

ab222時(shí),(或者說以O(shè)1O2所在的直線為y軸.線段O1O2的中垂線為x軸建立直角坐標(biāo)系).雙曲線的方程是———

y2x2 學(xué)生: 2?2?1

ab 41

教師:它們都是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.焦點(diǎn)在二次項(xiàng)系數(shù)為正的字母所表示的軸上.思考問題一: 例1.(1)已知雙曲線兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)為F1??5,0?,F2?5,0?,雙曲線上一點(diǎn)P到F1,F2的距離的差的絕對(duì)值等于6,求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(2)已知雙曲線的中心是坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在y軸上,焦距為12,且經(jīng)過點(diǎn)P?2,?5?,求雙曲線的方程.(3).求過點(diǎn)A2,43和B?2,?4的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.(第(1),(2)小題為課本的例習(xí)題.)(請(qǐng)三位同學(xué)板演,再請(qǐng)三位同學(xué)講評(píng).第(1),(2)小題略.第3小題不少學(xué)生仍分焦點(diǎn)在x,y軸的情況求解.過程較繁.)學(xué)生:第(3)題他解對(duì)了,但比較繁.我認(rèn)為只要設(shè)mx2?ny2?1.然后把兩點(diǎn)坐標(biāo)分別代入,1得到兩個(gè)二元一次方程組成的方程組,解得m?1, n??,表明它是雙曲線,同時(shí)表示不

6????存在過這兩點(diǎn)的橢圓.教師:對(duì)!講得有道理.求中心在原點(diǎn)的橢圓.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程,只需兩個(gè)獨(dú)立變量.這是它們的本質(zhì)屬性.理解這一點(diǎn),解題運(yùn)算量就小多了.教師:上述圖形的變化過程反映了事物在一定范圍內(nèi)由量的積累引起質(zhì)的變化情況.它包括了目前我們所學(xué)的幾種曲線.現(xiàn)在讓我們來了解雙曲線在軍事上的一些應(yīng)用.思考問題二:一炮彈在某處爆炸,在A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2s.(1)爆炸點(diǎn)應(yīng)在什么樣的曲線上?(2)已知A,B兩地相距800m,并且此時(shí)聲速為340ms,求曲線的方程.(3)要想確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.應(yīng)采取什么措施?(學(xué)生分組討論.教師巡視指導(dǎo).把學(xué)生解答用投影儀展示.)學(xué)生(1)由聲速及A,B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差為2s,可知A,B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的

差為PA?PB?680?800,因此爆炸點(diǎn)應(yīng)該位于以A,B為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處更遠(yuǎn),所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的一支上.(2)如圖,建立直角坐標(biāo)系xoy,使A,B兩點(diǎn)在x軸上,并且點(diǎn)O與線段AB中點(diǎn)重合.設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為?x,y?.則PA?PB?340?2?680 ?AB 即2a?680,a?340.又AB?800 所以2c?800,c?400

b2?c2?a2?44400

因?yàn)镻A?PB?680?0 所以x?0.x2y2所求雙曲線方程為??1(x?0)

11560044400(3).利用兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)側(cè)得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差,可以確定爆炸點(diǎn)所在的雙曲線的方程但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.如果再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C,利用B, C(或A, C)兩處側(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差,可以求出另一個(gè)雙曲線的方程.解這兩個(gè)方程組成的方程組,就可以確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.變式一:若將“在A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚2s”改為“在A處聽到爆炸聲的時(shí)間比在B處晚40s”那么爆炸點(diǎn)P應(yīng)在什么樣的曲線上? 17變式二:若將“A,B兩地相距800m”改為“A,B兩地相距600m” 那么爆炸點(diǎn)P應(yīng)在什么樣的曲線上? 變式三:假若在A,B兩處同時(shí)聽到爆炸聲, 那么爆炸點(diǎn)P又在怎樣的曲線上呢? 六.小結(jié): 1.雙曲線的定義,關(guān)鍵詞是絕對(duì)值的差小于F1F2.43

2.求雙曲線方程要注意選擇方程的形式,以簡(jiǎn)化計(jì)算.3.主要思想方法有類比思想及特殊與一般量變與質(zhì)變的辨證關(guān)系.七.教學(xué)效果: 這節(jié)課充分發(fā)揮了多媒體教學(xué)的優(yōu)勢(shì),教學(xué)設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)”主導(dǎo)----主體”現(xiàn)代教學(xué)思想,徹底地改變了傳統(tǒng)教學(xué)過程匯總學(xué)生被動(dòng)接受知識(shí)的狀態(tài),學(xué)生能夠自主探索獲取知識(shí),愿意學(xué)習(xí)也學(xué)會(huì)學(xué)習(xí);學(xué)生主動(dòng)參與的意識(shí)提高了.通過多媒體教學(xué),教師把學(xué)生引上探索問題之路,調(diào)動(dòng)了每一個(gè)學(xué)生學(xué)習(xí)的主動(dòng)性和創(chuàng)造性,體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位,有利于學(xué)生潛能的開發(fā)和創(chuàng)造性思維的培養(yǎng).44

第三篇：2.3雙曲線 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo) 知識(shí)與技能

[1] 理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會(huì)用雙曲線的定義解決實(shí)際問題。[2] 能根據(jù)已知條件利用定義或待定發(fā)系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程及化簡(jiǎn)無理方程的常用的方法。

[3] 進(jìn)一步感受曲線方程的概念，了解建立曲線方程的基本方法.了解借助信息技術(shù)探究動(dòng)點(diǎn)軌跡的《幾何畫板》的制作或操作方法。

2過程與方法

[1]提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力及運(yùn)算能力。

[2]通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究，使學(xué)生進(jìn)一步體驗(yàn)類比及數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用.[3]培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力、觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力。3 情感態(tài)度與價(jià)值觀

[1]親身經(jīng)歷雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，感受數(shù)學(xué)美的熏陶。

[2]通過主動(dòng)探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗(yàn)，體會(huì)數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)。

[3]養(yǎng)成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和契而不舍的鉆研精神.通過自主學(xué)習(xí)、主動(dòng)參與、積極探究的學(xué)習(xí)過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力。

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

重點(diǎn)：通過類比、提出猜想進(jìn)而操作確認(rèn)，獲得雙曲線的定義并推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

難點(diǎn)：[1]雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

[2]綜合應(yīng)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決生產(chǎn)生活中的實(shí)際問題。

3.教學(xué)用具

多媒體、木板、拉鏈等 4.標(biāo)簽

教學(xué)過程

教學(xué)過程設(shè)計(jì) 舊知回顧、引入新課

【師】同學(xué)們好。從今天我們開始進(jìn)入新一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

【板書】2.3.1.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 【師】請(qǐng)同學(xué)們回憶一下前幾節(jié)課的知識(shí)？ 【板書】

橢圓的定義？

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)？

橢圓知識(shí)的考查方式？

【生】橢圓的定義是：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1,F2的距離之和等于常數(shù)（大于ⅠF1F2Ⅰ）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓（ellipse）．其中這兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩定點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距．即當(dāng)動(dòng)點(diǎn)設(shè)為m時(shí)，橢圓即為點(diǎn)集。

【生】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個(gè)（分焦點(diǎn)在x軸和焦點(diǎn)在y軸兩種情況）：

【生】橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)有范圍、對(duì)稱性、頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等內(nèi)容。【生】橢圓知識(shí)的考查方式有兩種方式：給方程題和求方程題。常見延伸問題有焦點(diǎn)弦、焦點(diǎn)半徑、焦點(diǎn)三角形、直線與曲線的交點(diǎn)、直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)公式、圓錐曲線的最值、定值及過定點(diǎn)等難點(diǎn)問題。

給方程題：較大分母是a2,較小分母是b2,焦點(diǎn)所在軸與含a2項(xiàng)所在的分子所含字母相同，可求出半焦距c,繼而依次寫出頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率等。求方程題：根據(jù)待定系數(shù)法就是確定a2與b2和焦點(diǎn)所在軸。

【師】下面我們研究一種我們初中曾經(jīng)學(xué)過的“新”的曲線。（反比例函數(shù)的圖像就是雙曲線，但是坐標(biāo)系建立方式不同，方程形式也不同）【師】考慮以下問題，思考后作答：

問題：如果把橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”，那么點(diǎn)的軌跡是怎樣的曲線？即“平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差等于非零常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”是什么？

閱讀教材P52～55，回答下列問題：雙曲線的定義、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、應(yīng)用?！旧啃〗M合作，思考、交流，得出結(jié)論。（1）小組合作

[1]取一條拉鏈；[2]如圖把它固定在板上的兩點(diǎn)F1、F2；[3] 拉動(dòng)拉鏈（M）。思考：拉鏈運(yùn)動(dòng)的軌跡是什么？

觀察AB兩圖探究雙曲線的定義 ①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如圖(B)，|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a

上面兩條曲線合起來叫做雙曲線。

【師】根據(jù)以上分析，試給雙曲線下一個(gè)完整的定義？ 【生】 文字描述：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值 等于非零常數(shù)（小于︱F1F2︱）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)。兩個(gè)定點(diǎn)間的距離|F1F2|=2c 叫做焦距。符號(hào)描述：| |MF1|-|MF2| | = 2a（2a<2c）。圖形：

【師】請(qǐng)同學(xué)們利用搜集的知識(shí)說一說雙曲線的歷史起源和現(xiàn)實(shí)應(yīng)用?！旧课艺f雙曲線的歷史起源：

2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線；用平行圓錐的軸的平面截取,可得到雙曲線的一邊;以圓錐頂點(diǎn)做對(duì)稱圓錐,則可得到雙曲線[1]。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實(shí)上，阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果?！旧课艺f雙曲線的現(xiàn)實(shí)應(yīng)用：

雙曲線在實(shí)際中的應(yīng)用有通風(fēng)塔，冷卻塔，埃菲爾鐵塔，廣州塔等。

【師】初中學(xué)過的反比例函數(shù)的圖像就是一種特殊的雙曲線，叫做等軸雙曲線，以其漸近線為坐標(biāo)系建立方程，得到的函數(shù)解析式就是在教師的啟發(fā)下，師生共同完成幾種特殊情形的探究。

?！編煛吭倏紤]以下問題，思考后作答:（1）|MF1|-|MF2|=2a表示雙曲線的哪一支？ 【生】右支。

【師】（2）|MF2|-|MF1|=2a表示雙曲線的哪一支？ 【生】左支。

【師】（3）若2a=2c,則軌跡是什么？

【生】分別以F1、F2為端點(diǎn)方向向外的兩條射線F1P、F2Q。【師】（4）若2a>2c,則軌跡是什么？ 【生】無軌跡。

【師】（5）若2a=0,則軌跡是什么？

【生】此時(shí)|MF1|=|MF2|，軌跡是線段F1F2的垂直平分線?！編煛糠抡諜E圓建立坐標(biāo)系的方法，請(qǐng)建立雙曲線的方程。【生】建系設(shè)點(diǎn)。設(shè)M（x , y）,雙曲線的焦距為2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)，常數(shù)=2a 雙曲線就是集合： P={M |||MF1|-|MF2|| = 2a }。

叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。它所表示的雙曲線的焦點(diǎn)在x 軸上，焦點(diǎn)是F1(-c,0),F2(c,0)，這里c2=a2+b2。

【師】請(qǐng)同學(xué)們嘗試將焦點(diǎn)所在軸設(shè)為y軸，過焦點(diǎn)連線的垂直平分線為x軸，方程會(huì)變成怎樣？ 【生】和橢圓的方程焦點(diǎn)在y軸的變化一樣，方程中的x、y位置互換！方程變?yōu)椤?/p>

【師】好，誰(shuí)來總結(jié)一下？ 【生】雙曲線有兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程： 分別是焦點(diǎn)在x軸上時(shí)。

【師】討論一下a、b有沒有必然的大小關(guān)系？

【生】雙曲線中的a、b沒有必然的大小關(guān)系，方程右邊為1時(shí)，左邊被減數(shù)的分母是a2。2 新知介紹

[1]雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

【師】于是，我們可以得到雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

文字描述：平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于︱F1F2︱）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。符號(hào)描述和圖形：（如右圖）

和焦點(diǎn)在y軸上時(shí)

助記：(橢圓到雙曲線)“和”變“差”，一字之差，天地大變，從有限變無限，從看整個(gè)到看不全，a、c大小互換，還好焦點(diǎn)坐標(biāo)沒變、三對(duì)稱沒變?！編煛空?qǐng)將雙曲線與橢圓對(duì)比記憶。

[2]雙曲線非標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)化 【師】下面我們做一些練習(xí)！

求出下列雙曲線的a2、b2，并寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)。

【生】（1）a2＝16

b2＝9，焦點(diǎn)F（±5，0）

（2）a2＝9 b2＝16，焦點(diǎn)F（±5，0）【師】以上答案有問題么? 【生】第二個(gè)方程有問題，方程右邊不是1，而是－1.【師】有什么辦法么？

【生】方程兩邊同時(shí)乘以－1就可以了?！編煛浚?）的正確答案變了么？

【生】正確答案是（2）a2＝16 b2＝9，焦點(diǎn)F（0，±5）【師】對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要標(biāo)準(zhǔn)化才可以提取相關(guān)信息。

非標(biāo)準(zhǔn)方程的陷阱及對(duì)應(yīng)措施：（注意到就不會(huì)出錯(cuò)）

1、方程右邊不為1：兩邊同除以該數(shù)使右邊為1（如練習(xí)1、3、5）

2、方程左邊不標(biāo)準(zhǔn)。

（1）位置不標(biāo)準(zhǔn)：被減數(shù)與減數(shù)位置互換，（M—N型寫為－N+M型）

（2）系數(shù)不標(biāo)準(zhǔn)：沒有分母（分母為1）或分母為分?jǐn)?shù)形式不恰當(dāng)整理 【生】（3）、（4）、（5）都是非標(biāo)準(zhǔn)方程，先標(biāo)準(zhǔn)化再提取信息。

（3）兩邊同時(shí)除以－225，得到標(biāo)準(zhǔn)方程焦點(diǎn)F（0，±），a2＝25，b2＝9，（4）左邊分母標(biāo)準(zhǔn)化，0）

（5）兩邊同時(shí)除以5,得，a2＝1 b2＝，焦點(diǎn)F（±，位置和系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，得

[3]雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用

問題：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程能解決什么問題？

【生】由雙曲線繞其虛軸旋轉(zhuǎn)，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內(nèi)母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。應(yīng)用于通風(fēng)塔，冷卻塔、地標(biāo)建筑等建筑設(shè)計(jì)。造型優(yōu)美，功效顯著！既輕巧又堅(jiān)固。生活中和軍事上可以用于定位。[4]例題處理

【師】下面我們來處理書上的例題?！旧烤毩?xí)并討論?！纠?】已知雙曲線的焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點(diǎn)P到F1、F2的距離的差的絕對(duì)值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在 x 軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，∵ 2a = 6,2c=10，∴ a = 3, c = 5.∴ b2 = 52-32 =16.所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

【拓展探究】已知兩定點(diǎn)F1(-5,0),F2(5,0)，動(dòng)點(diǎn)P滿足|PF1|-|PF2|＝6.求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.解：∵|F1F2|＝10，|PF1|-|PF2|＝6，∴由雙曲線的定義可知，點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支.∵兩焦點(diǎn)為F1(-5,0),F2(5,0)，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2 =52-32 =16.∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為

【師】請(qǐng)大家總結(jié)求雙曲線方程的基本步驟。

【生】1.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是確定三項(xiàng)內(nèi)容：焦點(diǎn)所在軸（方程二選一）、a2、b2.2.現(xiàn)實(shí)應(yīng)用中雙曲線有可能變?yōu)閱吻€（一支）,通過限制方程中的x的取值范圍實(shí)現(xiàn).【師】補(bǔ)充一點(diǎn)，還有一種可能，焦點(diǎn)所在軸不確定時(shí)可能兩種情況都成立，需分情況討論。

【例2】已知A,B兩地相距800 m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s,且聲速為340 m/s, 求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程.【分析】首先根據(jù)題意,判斷軌跡的形狀.由聲速及A，B兩處聽到爆炸聲的時(shí)間差,可知A，B兩處與爆炸點(diǎn)的距離的差為定值.這樣，爆炸點(diǎn)在以A，B為焦點(diǎn)的雙曲線上.因?yàn)楸c(diǎn)離A處比離B處遠(yuǎn)，所以爆炸點(diǎn)應(yīng)在靠近B處的雙曲線的一支上.解: 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy,使A，B兩點(diǎn)在x軸上，并且坐標(biāo)原點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合.∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則|PA|-|PB|＝340x2=680，即 2a=680，a=340.又|AB|＝800，即 2c=800,c=400,b2 = c2-a2 =160000－115600＝44400.∴炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡(雙曲線的一支)方程為(注：課本上只是x>0,本設(shè)計(jì)更精確)【應(yīng)用提升】1.若在A,B兩地同時(shí)聽到炮彈爆炸聲,則炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡是什么? 解: 爆炸點(diǎn)的軌跡是線段AB的垂直平分線.2.根據(jù)兩個(gè)不同的觀測(cè)點(diǎn)測(cè)得同一炮彈爆炸聲的時(shí)間差，可以確定爆炸點(diǎn)在某條曲線上，但不能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.而現(xiàn)實(shí)生活中為了安全，我們最關(guān)心的是炮彈爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，怎樣才能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置呢? 解:再增設(shè)一個(gè)觀測(cè)點(diǎn)C，利用B，C（或A，C）兩處測(cè)得的爆炸聲的時(shí)間差，可以求出另一個(gè)雙曲線的方程，解這兩個(gè)方程組成的方程組，就能確定爆炸點(diǎn)的準(zhǔn)確位置.這是雙曲線的一個(gè)重要應(yīng)用.【例3】如果方程解：由

表示雙曲線，求m的取值范圍.【應(yīng)用提升】如果方程值范圍.表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，求m的取由例題，從m的取值中選取適合的范圍即有 【拓展探究】已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x-3)2+y2=9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

解：

【師】引導(dǎo)學(xué)生分析條件與結(jié)論，認(rèn)識(shí)到解題關(guān)鍵是確認(rèn)已知條件中的隱藏信息。再次強(qiáng)調(diào)：

1、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是確定三項(xiàng)內(nèi)容：焦點(diǎn)所在軸（方程二選一）、a2、b2.2、焦點(diǎn)所在軸不確定時(shí)可能兩種情況都成立，需分情況討論。

3、現(xiàn)實(shí)應(yīng)用題中雙曲線有可能變?yōu)閱吻€（一支）注意相應(yīng)自變量x的取值會(huì)發(fā)生變化?！緩?qiáng)化練習(xí)】

已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)，且，求頂點(diǎn)A的軌跡方程。解：在△ABC中，|BC|=10，故頂點(diǎn)A的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，又因c=5，a=3，則b2=16，則頂點(diǎn)A的軌跡方程為[5]小結(jié)：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

【師】現(xiàn)在我們來總結(jié)一下，雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。【板書/PPT】

【雙曲線的定義】平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對(duì)值等于非零常數(shù)（小于︱F1F2︱）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。（1）當(dāng)|MF1|-|MF2|=2a表示雙曲線的右支。（2）|MF2|-|MF1|=2a表示雙曲線的左支。

（3）若2a=2c,則軌跡是分別以F1、F2為端點(diǎn)方向向外的兩條射線F1P、F2Q。（4）若2a>2c,則無軌跡。

（5）若2a=0,則軌跡是線段F1F2的垂直平分線。【雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】有兩個(gè)： 分別是焦點(diǎn)在x軸上時(shí)。

【考查方式】給方程題與求方程題 給方程題一般涉及方程的標(biāo)準(zhǔn)化：

對(duì)于非標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要標(biāo)準(zhǔn)化才可以提取相關(guān)信息。非標(biāo)準(zhǔn)方程的陷阱及對(duì)應(yīng)措施：（注意到就不會(huì)出錯(cuò)）

1.方程右邊不為1：兩邊同除以該數(shù)使右邊為1（如練習(xí)1、3、5）2.方程左邊不標(biāo)準(zhǔn)。

和焦點(diǎn)在y軸上時(shí)。

（1）位置不標(biāo)準(zhǔn)：被減數(shù)與減數(shù)位置互換，（M—N型寫為－N+M型）

（2）系數(shù)不標(biāo)準(zhǔn)：沒有分母（分母為1）或分母為分?jǐn)?shù)形式不恰當(dāng)整理 求方程題：一般用待定系數(shù)法：

3.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是確定三項(xiàng)內(nèi)容：焦點(diǎn)所在軸（方程二選一）、a2、b2.4.焦點(diǎn)所在軸不確定時(shí)可能兩種情況都成立，需分情況討論。

5.現(xiàn)實(shí)應(yīng)用題中雙曲線有可能變?yōu)閱吻€（一支）注意相應(yīng)自變量x的取值會(huì)發(fā)生變化?！疽族e(cuò)點(diǎn)點(diǎn)撥】

1.與橢圓相關(guān)知識(shí)混淆，誤認(rèn)為一定有a>b或仍然用a2=b2+c2來求相關(guān)值。2.忽略非標(biāo)準(zhǔn)方程的存在，錯(cuò)誤提取相關(guān)數(shù)據(jù)。3.該分情況討論的沒有分情況討論。答案不完整。

4、忽略問題的實(shí)際意義將雙曲線的一支確定為兩支。課堂小結(jié)（投影，給出知識(shí)脈絡(luò)圖）

1.雙曲線的定義

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

3.利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡(jiǎn)單的應(yīng)用問題 3 復(fù)習(xí)總結(jié)和作業(yè)布置 [1]課堂練習(xí)

一、填空題

1.a=4，b=3 ,焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

.2.焦點(diǎn)為（0,-6）,（0，6）,經(jīng)過點(diǎn)（2，-5）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

.3.設(shè)雙曲線上的點(diǎn)P到(5,0)的距離是15,則P到(-5,0)的距離是

..4.如果方程

表示雙曲線，則m的取值范圍是

.二、選擇題． 5．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)P在雙曲線上，且，則點(diǎn)P到x軸的距離（）A．1

B．

C．2

D．

6．P為雙曲線徑的圓與圓

為上一點(diǎn)，若F是一個(gè)焦點(diǎn)，以PF為直的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切

B．外切

C．內(nèi)切或外切

D．無公共點(diǎn)或相交 7．已知兩定點(diǎn)F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動(dòng)點(diǎn) P 滿足|PF1|－|PF2|＝2a，則當(dāng)a＝3和5時(shí)，P點(diǎn)的軌跡為（）A．雙曲線和一直線 B．雙曲線和一條射線 C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線

三、解答題

8．若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲線是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，求k的取值范圍。

【解答】

一、填空題

二、選擇題．5.B 6.C 7.C

三、解答題

8.解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知(k+1)>0且(k2+k-2)<0，9.解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)位置不確定，所以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，因P1，P2在雙曲線上，所以有

所以所求雙曲線方程為[2]作業(yè)布置

1、自學(xué)完成課本P58練習(xí)。.2、課本P61習(xí)題2．3（A組）第1、2題

課本P62習(xí)題2．3（B組）第2題

3、選做題：

1.設(shè)P為雙曲線上的一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，則△PF1F2的面積為_______.2.已知△ABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A,B的坐標(biāo)為A(-5,0),B(5,0)，且AC,BC的斜率之積等于m(m≠0)，若頂點(diǎn)C的軌跡是雙曲線（去掉兩個(gè)頂點(diǎn)），求m的取值范圍.(附答案：)1.由已知得2a＝2，又由雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝

由余弦定理得∴△PF1F2為直角三角形．

2.設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為C（x,y)，則AC的斜率為，BC的斜率為依題意有原方程可化為,化簡(jiǎn)得mx2-y2=25m(y≠0).因?yàn)閙≠0，所以①

由題知方程①表示的軌跡是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線（去掉兩個(gè)頂點(diǎn)）,所以m＞0.所以所求m的取值范圍是(0,+∞)．

4、預(yù)習(xí)提綱：

前面學(xué)習(xí)了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，類比學(xué)習(xí)下一節(jié)雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)．

第四篇：2．2 雙曲線 教學(xué)設(shè)計(jì) 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)與技能

掌握雙曲線的定義，掌握雙曲線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程形式及其對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)、準(zhǔn)線． 過程與方法

掌握對(duì)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，進(jìn)一步理解求曲線方程的方法——坐標(biāo)法．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，提高學(xué)生觀察、類比、分析和概括的能力．

情感、態(tài)度與價(jià)值觀

通過本節(jié)的學(xué)習(xí)，體驗(yàn)研究解析幾何的基本思想，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實(shí)和解決實(shí)際問題中的作用，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想．

2.教學(xué)重點(diǎn)/難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)

雙曲線的定義及焦點(diǎn)及雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程． 教學(xué)難點(diǎn)

在推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中，如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系．

3.教學(xué)用具

多媒體

4.標(biāo)簽

教學(xué)過程

教學(xué)過程設(shè)計(jì)

新知探究

探究點(diǎn)一

雙曲線的定義 【問題導(dǎo)思】 1．取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)F1，F(xiàn)2處，把筆尖放于點(diǎn)M，拉開閉攏拉鏈，筆尖經(jīng)過的點(diǎn)可畫出一條曲線，思考曲線滿足什么條件？

【提示】 如圖，曲線上的點(diǎn)滿足條件：|MF1|－|MF2|＝常數(shù)；如果改變一下位置，使|MF2|－|MF1|＝常數(shù)，可得到另一條曲線．

2．雙曲線定義中強(qiáng)調(diào)平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離差的絕對(duì)值為常數(shù)，若沒有絕對(duì)值，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是什么？ 【提示】 雙曲線的一支．

3．雙曲線定義中，為什么要限制常數(shù)2a＜|F1F2|? 【提示】 只有當(dāng)2a＜|F1F2|時(shí)，動(dòng)點(diǎn)的軌跡才是雙曲線；若2a＝|F1F2|，軌跡是兩條射線；若2a＞|F1F2|，滿足條件的點(diǎn)不存在．.已知點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿足下列條件，試判斷下列各條件下點(diǎn)P的軌跡是什么圖形？

【提示】(1)∵表示點(diǎn)P(x，y)到兩定點(diǎn)F1(－5,0)、F2(5,0)的距離之差的絕對(duì)值，|F1F2|＝10，∴||PF1|－|PF2||＝6<|F1F2|，故點(diǎn)P的軌跡是雙曲線．(2)∵

表示點(diǎn)P(x，y)到兩定點(diǎn)F1(－4,0)、F2(4,0)的距離之差，|F1F2|＝8，∴|PF1|－|PF2|＝6<|F1F2|，故點(diǎn)P的軌跡是雙曲線的右支．

探究點(diǎn)二

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 【問題導(dǎo)思】

1．能否用推導(dǎo)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的方法推出雙曲線的方程？怎樣推導(dǎo)？ 【提示】 能．

(1)建系：以直線F1F2為x軸，F(xiàn)1F2的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系．(2)設(shè)點(diǎn)：設(shè)M(x，y)是雙曲線上任一點(diǎn)，且雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)．

(3)列式：由|MF1|－|MF2|＝±2a，可得(4)化簡(jiǎn)：移項(xiàng)，平方后可得(c2－a2)x2－a2y2＝a2(c2－a2)． 令c2－a2＝b2，得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

2．雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)形式有兩種，如何區(qū)別焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸？

【提示】 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中x2與y2的系數(shù)的符號(hào)決定了焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸：當(dāng)x2系數(shù)為正時(shí)，焦點(diǎn)在x軸上；當(dāng)y2的系數(shù)為正時(shí)，焦點(diǎn)在y軸上，而與分母的大小無關(guān)． 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

【典例精講】

命題方向一

雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的理解

例1.方程表示的曲線為C，給出下列四個(gè)命題

①曲線C不可能是圓；

②若1＜k＜4，則曲線C為橢圓； ③若曲線C為雙曲線，則k＜1或k＞4； ④若曲線C表示焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則其中正確命題的序號(hào)是________． 【解析】 當(dāng)4－k＝k－1＝0時(shí)，即題．對(duì)于②，當(dāng)1＜k＜4且

時(shí)，曲線C是圓，∴命題①是假命

時(shí)，曲線C是橢圓，則②是假命題．

根據(jù)雙曲線和橢圓定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程，③④是真命題． 【答案】 ③④ 【小結(jié)】

1．雙曲線焦點(diǎn)在x軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中x2項(xiàng)的系數(shù)為正；雙曲線焦點(diǎn)在y軸上?標(biāo)準(zhǔn)方程中y2項(xiàng)的系數(shù)為正． 2．在曲線方程中，若m＝n＞0，則曲線表示一個(gè)圓；若m＞0，n＞0，且m≠n，則曲線表示一個(gè)橢圓；若mn＜0，則曲線表示雙曲線． 【變式訓(xùn)練】若k∈R，則“k＞3”是“方程()A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

表示雙曲線”的

【解析】方程表示雙曲線的充要條件是(k－3)(k＋3)＞0，即k＜－3或k＞3；當(dāng)k＞3時(shí)，一定有(k－3)(k＋3)＞0，但反之不成立．∴k＞3是方程表示雙曲線的充分不必要條件． 【答案】A 命題方向二

求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 例2.(1)已知雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，并且雙曲線過點(diǎn)線的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求與雙曲線解析：

有公共焦點(diǎn)，且過點(diǎn)的雙曲線方程．

求雙曲(1)由已知可設(shè)所求雙曲線方程為解得∴雙曲線的方程為(2)方法一 設(shè)雙曲線方程為

由題意易求得

又雙曲線過點(diǎn)

又∵

故所求雙曲線的方程為

方法二 設(shè)雙曲線方程為k＝4，∴所求雙曲線方程為【小結(jié)】

(－4

代入得1．求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程一般有兩種方法：一是定義法，二是待定系數(shù)法． 2．用待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的步驟：

(1)定位：確定雙曲線的焦點(diǎn)位置，如果題目沒有建立坐標(biāo)系，一般把焦點(diǎn)放在x軸上；

(2)設(shè)方程：根據(jù)焦點(diǎn)的位置設(shè)相應(yīng)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程(當(dāng)焦點(diǎn)在兩個(gè)坐標(biāo)軸上都有可能時(shí)，一般設(shè)為Ax2＋By2＝1(AB＜0))；

(3)定值：根據(jù)題目的條件確定相關(guān)的系數(shù)的方程，解出系數(shù)，代入所設(shè)方程． 【變式訓(xùn)練】

(1)與橢圓共焦點(diǎn)且過點(diǎn)Q(2,1)的雙曲線方程為________．

(2)設(shè)雙曲線的焦點(diǎn)為－|PF2|＝4，則雙曲線的方程為________．

雙曲線上的一點(diǎn)P滿足|PF1|【解析】

(1)由題意知雙曲線的焦點(diǎn)為

設(shè)其方程為雙曲線的方程為，又過Q(2,1)，則

解得a2＝2，則所求(2)由雙曲線的定義可知2a＝4，即a＝2，又為雙曲線的焦點(diǎn)在y軸上，故其方程為

∴b2＝c2－a2＝3，又因【答案】命題方向三

雙曲線定義的應(yīng)用

例3.已知A，B兩地相距2 000 m，在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚4 s，且聲速為330 m/s，求炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡方程． 解析：如圖

建立直角坐標(biāo)系xOy，使A，B兩點(diǎn)在x軸上，并且坐標(biāo)原點(diǎn)O與線段AB的中點(diǎn)重合．

設(shè)爆炸點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則|PA|－|PB|＝330×4＝1 320，即2a＝1 320，a＝660.又|AB|＝2 000，所以2c＝2 000，c＝1 000，b2＝c2－a2＝564 400.因?yàn)閨PA|－|PB|＝330×4＝1 320>0，所以x>0.因此炮彈爆炸點(diǎn)的軌跡(雙曲線)的方程為

小結(jié)

(1)解答與雙曲線有關(guān)的應(yīng)用問題時(shí)，不但要準(zhǔn)確把握題意，了解一些實(shí)際問題的相關(guān)概念，同時(shí)還要注意雙曲線的定義及性質(zhì)的靈活應(yīng)用．

(2)實(shí)際應(yīng)用問題要注意其實(shí)際意義以及在該意義下隱藏著的變量范圍． 【變式訓(xùn)練】已知圓C1：

和圓C2：

動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡方程．

【解】如圖所示，設(shè)動(dòng)圓M與圓C1及圓C2分別外切于點(diǎn)A和B，根據(jù)兩圓外切的條件，得

|MC1|－|AC1|＝|MA|，|MC2|－|BC2|＝|MB|.∵|MA|＝|MB|，∴|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|，∴|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝3－1＝2.這表明動(dòng)點(diǎn)M與兩定點(diǎn)C2，C1的距離的差是常數(shù)2.根據(jù)雙曲線的定義，動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為雙曲線的左支，則2a＝2，a＝1，c＝3，∴b2＝c2－a2＝8 因此所求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為當(dāng)堂檢測(cè) 1．設(shè)P是雙曲線

上一點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是雙曲線左、右兩個(gè)焦點(diǎn)，若|PF1|＝9，則|PF2|＝()A．1

B．17 C．1或17

D．以上答案均不對(duì) 【解析】由雙曲線定義||PF1|－|PF2||＝8，又|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或17，但應(yīng)注意雙曲線的右頂點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小為c－a＝6－4＝2＞1，∴|PF2|＝17.【答案】B 2．若k>1，則關(guān)于x，y的方程A．焦點(diǎn)在x軸上的橢圓 B．焦點(diǎn)在y軸上的橢圓 C．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線 D．焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線

【解析】將已知方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，根據(jù)項(xiàng)的系數(shù)符號(hào)進(jìn)行判斷．原方程可化為∵k>1，∴k2－1>0,1＋k>0.∴已知方程表示的曲線為焦點(diǎn)在所表示的曲線是（）

y軸上的雙曲線．

3．雙曲線方程為x2－2y2＝1，則它的右焦點(diǎn)坐標(biāo)為()

【解析】將雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式

所以a2＝1，∴右焦點(diǎn)坐標(biāo)為【答案】C

4．雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為(0，－6)，且經(jīng)過點(diǎn)(－5,6)，求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 【解】由題意知c＝6，且焦點(diǎn)在y軸上，另一焦點(diǎn)為(0,6)，所以由雙曲線的定義有

∴a＝4，∴b2＝62－42＝20，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

課堂小結(jié)

1．理解雙曲線的定義應(yīng)特別注意以下兩點(diǎn)：(1)距離的差要加絕對(duì)值，否則表示雙曲線的一支．(2)距離差的絕對(duì)值必須小于焦距，否則不是雙曲線

2．求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程包括“定位”和“定量”兩個(gè)過程．“定位”指確定焦點(diǎn)在哪個(gè)坐標(biāo)軸上，“定量”是指確定a2，b2的大小.板書

第五篇：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、學(xué)習(xí)目標(biāo)：

【知識(shí)與技能】:

1、通過教學(xué),使學(xué)生熟記雙曲線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程,并理解這一定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的探索推導(dǎo)過程.2、理解并熟記雙曲線的焦點(diǎn)位置與兩類標(biāo)準(zhǔn)方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.【過程與方法】: 通過“實(shí)驗(yàn)觀察”、“思考探究”與“合作交流”等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng),培養(yǎng)學(xué)生觀察、類比、分析、概括的能力以及邏輯思維的能力,使學(xué)生學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思考與推理,學(xué)會(huì)反思與感悟,形成良好的數(shù)學(xué)觀.【情感、態(tài)度與價(jià)值觀】: 通過實(shí)例的引入和剖析,讓學(xué)生再一次感受到數(shù)學(xué)來源于實(shí)踐又反作用于實(shí)踐;生活中處處有數(shù)學(xué).二、學(xué)情分析：

1、在學(xué)生已學(xué)習(xí)橢圓的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程和掌握“曲線的方程”與“方程的曲線”的概念之后,學(xué)習(xí)雙曲線定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程,符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,學(xué)生有能力學(xué)好本節(jié)內(nèi)容;

2、由于學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力不強(qiáng),分析問題、解決問題的能力,邏輯推理能力,思維能力都比較弱,所以在設(shè)計(jì)的時(shí)候往往要多作鋪墊,掃清他們學(xué)習(xí)上的障礙,保護(hù)他們學(xué)習(xí)的積極性,增強(qiáng)學(xué)習(xí)的主動(dòng)性.三、重點(diǎn)難點(diǎn) ：

教學(xué)重點(diǎn):雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程

教學(xué)難點(diǎn):雙曲線定義中關(guān)于絕對(duì)值,2a<2c的理解

三、教學(xué)過程：

【導(dǎo)入】

1、以平面截圓錐為模型，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)雙曲線，認(rèn)識(shí)圓錐曲線；

2、觀察生活中的雙曲線；

【設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生對(duì)圓錐曲線整體有所把握,體會(huì)數(shù)學(xué)來源于生活.】 探究一

活動(dòng)1：類比橢圓的學(xué)習(xí)，思考：

研究雙曲線，應(yīng)該研究什么？ 怎么研究？

從而掌握本節(jié)課的主線：實(shí)驗(yàn)、雙曲線的定義、建系、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程； 活動(dòng)二：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：

(1)取一條拉鏈，拉開它的一部分，(2)在拉鏈拉開的兩邊上各取一點(diǎn)，分別固定在 點(diǎn)F1，F(xiàn)2 上，(3)把筆尖放在拉頭點(diǎn)M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點(diǎn) 就畫出一條曲線。

(4)若拉鏈上被固定的兩點(diǎn)互換，則出現(xiàn)什么情況？

學(xué)生活動(dòng):六人一組，進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，展示實(shí)驗(yàn)成果：

【設(shè)計(jì)意圖:學(xué)生親手操作，加深對(duì)雙曲線的了解，培養(yǎng)小組合作精神.】

學(xué)生實(shí)驗(yàn)可能出現(xiàn)的情況: 畫出雙曲線的居多，但還是有畫出中垂線，或者兩條射線的可能，學(xué)生展示，小組同學(xué)解釋，為什么會(huì)出現(xiàn)這種情況？

【設(shè)計(jì)意圖:讓學(xué)生在“實(shí)驗(yàn)”、“思考”等活動(dòng)中,自己發(fā)現(xiàn)問題、提出問題】 活動(dòng)三：幾何畫板演示，得到雙曲線的定義： 老師演示，學(xué)生思考：

引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合實(shí)驗(yàn)分析，得出雙曲線上的點(diǎn)滿足的條件，給出雙曲線的定義

雙曲線：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)的距離的距離的差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)2a（小于兩定點(diǎn)F1F2的距離）的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲線。

兩定點(diǎn)F1F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)

兩點(diǎn)間F1F2的距離叫做焦距

在雙曲線定義中,請(qǐng)同學(xué)們思考下面問題: 1:聯(lián)想到橢圓的定義,你是否感到雙曲線中的常數(shù)2a也需要某種限制?為什么? 2:若2a=2c,則M點(diǎn)的軌跡又會(huì)是什么呢?又2a>2c呢? 強(qiáng)調(diào)：2a大于|F1F2｜時(shí)軌跡不存在 2a等于|F1F2｜時(shí)，時(shí)兩條射線。

所以,軌跡為雙曲線,必需限制2a<2c,且2a≠0.學(xué)生第一次修改定義.(2a<2c,非零常數(shù))【設(shè)計(jì)意圖:,讓學(xué)生體會(huì)雙曲線上的點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律,積累感性經(jīng)驗(yàn),通過實(shí)踐思考,為進(jìn)一步上升到理論做準(zhǔn)備.】 探究二

活動(dòng)四：探究雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程：

1、類比:類比橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程(用屏幕顯示圖形),讓學(xué)生認(rèn)真捉摸坐標(biāo)系的位置特點(diǎn)(力求使其方程形式最簡(jiǎn)單).2、合作:師生合作共同推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.(學(xué)生推導(dǎo),然后教師歸納)按下列四步驟進(jìn)行:建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡(jiǎn)從而得出了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程:焦點(diǎn)在x軸上(a>0,b>0)

3、探究:在建立橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí),選取不同的坐標(biāo)系我們得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程.那么雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程還有哪些形式?

222 在y軸上(a>0,b>0)其中:c=a+b活動(dòng)五：歸納、總結(jié)

活動(dòng)六：典例分析

例1：已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-5,0),F2(5,0),雙曲線上的點(diǎn)P到F1、F2 距離差的絕對(duì)值等于6,求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.變式(1):已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1(-5,0),F2(5,0),雙曲線上的點(diǎn)P到F1、F2 距離差等于6,求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.變式(2):若兩定點(diǎn)為|F1F2|=10則軌跡方程如何? 感悟: ①求給定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的基本方法是:待定系數(shù)法.(若焦點(diǎn)不定,則要注意分類討論的思想.)【設(shè)計(jì)意圖:教學(xué)過程是師生互相交流、共同參與的過程.數(shù)學(xué)通過交流,才能得以深入發(fā)展,數(shù)學(xué)思想才能變得更加清晰】 活動(dòng)七：小結(jié)

1.本節(jié)課學(xué)習(xí)的主要知識(shí)是什么? 2.本節(jié)課涉及到了哪些數(shù)學(xué)思想方法? 課后作業(yè)：

必做題: 課本55 頁(yè)練習(xí)2,3

選做題： 課本61頁(yè)習(xí)題A 組2