第一篇：雙曲線教案

2.2.1 雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)

1.通過試驗體會雙曲線圖形，從中抽象出雙曲線定義，通過討論能正確說出雙曲線定義.2.會畫雙曲線簡圖.3.能由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程類比推導(dǎo)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程，熟記雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程.4.能根據(jù)條件確定雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單應(yīng)用.二、教學(xué)重點（難點）

1.教學(xué)重點：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.教學(xué)難點：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).三、教學(xué)過程

第一環(huán)節(jié) 雙曲線的定義

1.橢圓的定義是什么？(學(xué)生回答，教師板書)平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)(大于|F1F2|)的點的軌跡叫做橢圓.教師要強(qiáng)調(diào)條件：(1)平面內(nèi)；(2)到兩定點F1、F2的距離的和等于常數(shù)；(3)常數(shù)2a＞|F1F2|.2.提出問題

橢圓是平面內(nèi)一個動點到兩個定點距離之和等于定長的點的軌跡,當(dāng)然這個定長要大于這兩個定點之間的距離.那么,平面上到兩定點距離差等于定長的點的軌跡是什么? 3.簡單實驗(邊演示、邊說明)做拉鏈試驗

取一條拉鏈，拉開它的一部分，在拉開的兩邊上各選擇一點，分別固定在點F1，F(xiàn)2上，把筆尖放在點M處，隨著拉鏈逐漸拉開或者閉攏，筆尖所經(jīng)過的點就畫出一條曲線.（1）演示圖形

4.應(yīng)該如何描述出動點M所滿足的幾何條件？ 5.還有其他約束條件嗎? 發(fā)現(xiàn)問題：（1）當(dāng)2a?2c時，（2）當(dāng)2a?2c時，（3）當(dāng)2a?2c時，（4）當(dāng)2a =0時，6.定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點F1 ,F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個定點F1 ,F2叫做雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫做焦距.指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記.第二環(huán)節(jié)

畫出雙曲線簡圖 第三環(huán)節(jié)

雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這時設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo).標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：(1)建系設(shè)點

取過焦點F1、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

建立直角坐標(biāo)系.設(shè)M(x，y)為雙曲線上任意一點，雙曲線的焦距是2c(c＞0)，那么F1、F2的坐標(biāo)分別是(-c，0)、(c，0)．又設(shè)點M與F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù).(2)點的集合

由定義可知，雙曲線就是集合：

P={M||M F1|-|M F2||=2a}={M|M F1|-|M F2|=±2a}．(3)代數(shù)方程

(4)化簡方程(由學(xué)生演板)將這個方程移項，兩邊平方得：

化簡得：

兩邊再平方，整理得：(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2).(以上推導(dǎo)完全可以仿照橢圓方程的推導(dǎo).)由雙曲線定義，2c＞2a 即c＞a，所以c2-a2＞0． 設(shè)c2-a2=b2(b＞0)，代入上式得： b2x2-a2y2=a2b2.這就是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)：

x2y2（1）2?2?1（a>0 ,b>0）表示焦點在x軸上的雙曲線，焦點是

abF1（-c，0）、F2（c，0），這里c2?a2?b2;y2x2(2）2?2?1（a>0 ,b>0）表示焦點在x軸上的雙曲線，焦點是

abF1（0，-c）、F2（0，c），這里cy互換即可得到）

教師指出：

2?a2?b2；（只須將（1）方程的x、(1)如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上；如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上.注意有別于橢圓通過比較分母的大小來判定焦點在哪一坐標(biāo)軸上.(2)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中a、b、c的關(guān)系是c2?a2?b2不同于橢圓方程中c2?a2?b2.第四環(huán)節(jié)

應(yīng)用反饋

例1：已知雙曲線上一點P到兩焦點F1(?5,0)、F2(5,0)的距離的差的絕對值為6，求雙曲線的方程.x2y2簡解：雙曲線有標(biāo)準(zhǔn)方程2?2?1（a?0,b?0）.abc?5，2a ?6，又c2?a2?b2 ?a?3，b?4.x2y2??1 ∴916

變式：

1.若P F1?P F2=6?

x2y2??1(x?0)9162.若PF1?PF2?10?

兩條射線

3.若PF1?PF2?12? 軌跡不存在

第二篇：雙曲線的教案

《雙曲線的簡單幾何性質(zhì)》說課稿

一、教材分析

1.教材中的地位及作用

本節(jié)課是學(xué)生在已掌握雙曲線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程之后，在此基礎(chǔ)上，反過來利用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程研究其幾何性質(zhì)。它是教學(xué)大綱要求學(xué)生必須掌握的內(nèi)容，也是高考的一個考點，是深入研究雙曲線，靈活運(yùn)用雙曲線的定義、方程、性質(zhì)解題的基礎(chǔ)，更能使學(xué)生理解、體會解析幾何這門學(xué)科的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的解析幾何觀念，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)。

2.教學(xué)目標(biāo)的確定及依據(jù)

平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。教學(xué)參考書中明確要求：學(xué)生要掌握圓錐曲線的性質(zhì)，初步掌握根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)的方法和步驟。根據(jù)這些教學(xué)原則和要求，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

（1）知識目標(biāo)：①使學(xué)生能運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率、漸近線等幾何性質(zhì)；

②掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念及證明；

③能運(yùn)用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。

（2）能力目標(biāo)：①在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想象能力，數(shù)形結(jié)合能力，分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法；

②使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的概念的理解。

（3）德育目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生對待知識的科學(xué)態(tài)度和探索精神，而且能夠運(yùn)用運(yùn)動的，變化的觀點分析理解事物。

3.重點、難點的確定及依據(jù)

對圓錐曲線來說，漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中我把漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，學(xué)生也易接受。因此，我把漸近線的證明作為本節(jié)課的難點，根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)大綱以及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實際水平和認(rèn)知能力，我把漸近線和離心率這兩個性質(zhì)作為本節(jié)課的重點。

4.教學(xué)方法

這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，得到類似的結(jié)論。在教學(xué)中，學(xué)生自己能得到的結(jié)論應(yīng)該讓學(xué)生自己得到，凡是難度不大，經(jīng)過學(xué)習(xí)學(xué)生自己能解決的問題，應(yīng)該讓學(xué)生自己解決，這樣有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的學(xué)習(xí)積極性，同時也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能力和解決問題的能力。

漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它作出雙曲線的草圖，而學(xué)生對漸近線的發(fā)現(xiàn)與證明方法接受、理解和掌握有一定的困難。因此，在教學(xué)過程中著重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，從已有知識出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。

例題的選備，可將此題作一題多變（變條件，變結(jié)論），訓(xùn)練學(xué)生一題多解，開拓其解題思路，使他們在做題中總結(jié)規(guī)律、發(fā)展思維、提高知識的應(yīng)用能力和發(fā)現(xiàn)問題、解決問題能力。

二、教學(xué)程序

（一）.設(shè)計思路

（二）.教學(xué)流程

1.復(fù)習(xí)引入

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡單的幾何性質(zhì)，請同學(xué)們來回顧這些知識點，對學(xué)習(xí)的舊知識加以復(fù)習(xí)鞏固，同時為新知識的學(xué)習(xí)做準(zhǔn)備，利用多媒體工具的先進(jìn)性，結(jié)合圖像來演示。

2．觀察、類比

這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何性質(zhì)”，教學(xué)中可以與其類比講解，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，首先觀察雙曲線的形狀，試著按照橢圓的幾何性質(zhì)，歸納總結(jié)出雙曲線的幾何性質(zhì)。一般學(xué)生能用類似于推導(dǎo)橢圓的幾何性質(zhì)的方法得出雙曲線的范圍、對稱性、頂點、離心率，對知識的理解不能浮于表面只會看圖，也要會從方程的角度來解釋，抓住方程的本質(zhì)。用多媒體演示，加強(qiáng)學(xué)生對雙曲線的簡單幾何性質(zhì)范圍、對稱性、頂點（實軸、虛軸）、離心率（不深入的講解）的鞏固。之后，比較雙曲線的這四個性質(zhì)和橢圓的性質(zhì)有何聯(lián)系及區(qū)別，這樣可以加強(qiáng)新舊知識的聯(lián)系，借助于類比方法，引起學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，激發(fā)求知欲。

3.雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)、證明

（1）發(fā)現(xiàn)

由橢圓的幾何性質(zhì)，我們能較準(zhǔn)確地畫出橢圓的圖形。那么，由雙曲線的幾何性質(zhì)，能否較準(zhǔn)確地畫出雙曲線的圖形為引例，讓學(xué)生動筆實踐，通過列表描點，就能把雙曲線的頂點及附近的點較準(zhǔn)確地畫出來，但雙曲線向遠(yuǎn)處如何伸展就不是很清楚。從而說明想要準(zhǔn)確的畫出雙曲線的圖形只有那四個性質(zhì)是不行的。

從學(xué)生曾經(jīng)學(xué)習(xí)過的反比例函數(shù)入手，而且可以比較精確的畫出反比例函數(shù)的圖像，它的圖像是雙曲線，當(dāng)雙曲線伸向遠(yuǎn)處時，它與x、y軸無限接近，此時x、y軸是的漸近線，為后面引出漸近線的概念埋下伏筆。從而讓學(xué)生猜想雙曲線

有何特征？有沒有漸近線？由于雙曲線的對稱性，我們只須研究它的圖形在第一象限的情況即可。在研究雙曲線的范圍時，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，可解出，當(dāng)x無限增大時，y也隨之增大，不容易發(fā)現(xiàn)它們之間的微妙關(guān)系。但是如果將式子變形為，我們就會發(fā)現(xiàn)：當(dāng)x無限增大，逐漸減小、無限接近于0，而

就逐漸增大、無限接近于1（）；若將

變形為，即說明此時雙曲線在第一象限，當(dāng)x無限增大時，其上的點與坐標(biāo)原點之間連線的斜率比1小，但與斜率為1的直線無限接近，且此點永遠(yuǎn)在直線 的下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢就可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線的圖形在遠(yuǎn)處與直線

無限接近，此時我們就稱直線

叫做雙曲線的漸近線。這樣從已有知識出發(fā)，層層設(shè)（釋）疑，激活已知，啟迪思維，調(diào)動學(xué)生自身探索的內(nèi)驅(qū)力，進(jìn)一步清晰概念（或圖形）特征，培養(yǎng)思維的深刻性。

利用由特殊到一般的規(guī)律，就可以引導(dǎo)學(xué)生探尋雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線，讓學(xué)生同樣利用類比的方法，將其變形為

，由于雙曲線的對稱性，我們可以只研究第一象限向遠(yuǎn)處的變化趨勢，繼續(xù)變形為

，可發(fā)現(xiàn)當(dāng)x無限增大時，逐漸減小、無限接近于0，逐漸增大、無限接近于，即說明對于雙曲線在第一象限遠(yuǎn)處的點與坐標(biāo)原點之間連線的斜率比

小，與斜率為的直線無限接近，且此點永遠(yuǎn)在直線

下方。其它象限向遠(yuǎn)處無限伸展的變化趨勢可以利用對稱性得到，從而可知雙曲線

(a>0，b>0)的圖形在遠(yuǎn)處與直線

無限接近，直線

叫做雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線。我就是這樣將漸近線的發(fā)現(xiàn)作為重點，充分暴露思維過程，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維，通過誘導(dǎo)、分析，巧妙地應(yīng)用極限思想導(dǎo)出了雙曲線的漸近線方程。這樣處理將數(shù)學(xué)思想滲透于其中，學(xué)生也易接受。

（2）證明 如何證明直線

是雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線呢？

啟發(fā)思考①：首先，逐步接近，轉(zhuǎn)換成什么樣的數(shù)學(xué)語言？（x→∞,d→0）

啟發(fā)思考②：顯然有四處逐步接近，是否每一處都進(jìn)行證明？

啟發(fā)思考③：鎖定第一象限后，具體地怎樣利用x表示d

（工具是什么：點到直線的距離公式）

啟發(fā)思考④：讓學(xué)生設(shè)點，而d的表達(dá)式較復(fù)雜，能否將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化？

分析：要證明直線

是雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線，即要證明隨著x的增大，直線和曲線越來越靠攏。也即要證曲線上的點到直線的距離

｜MQ｜越來越短，因此把問題轉(zhuǎn)化為計算｜MQ｜。但因｜MQ｜不好直接求得，因此又可以把問題轉(zhuǎn)化為求｜MN｜。

啟發(fā)思考⑤：這樣證明后，還須交代什么？

（在其他象限，同理可證，或由對稱性可知有相似情況）

引導(dǎo)學(xué)生層層深入的進(jìn)行探究，從而更深刻的理解雙曲線的漸近線的發(fā)現(xiàn)及證明過程。

（3）深化

再來研究實軸在y軸上的雙曲線

(a>0，b>0)的漸近線方程就會變得容易很多，此時可利用類比的方法或者利用對稱性得到焦點在y軸上的雙曲線的漸近線方程即為。

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向問題，從而可比較精確的畫出雙曲線。但是如果仔細(xì)觀察漸近線實質(zhì)就是雙曲線過實軸端點、虛軸端點，作平行與坐標(biāo)軸的直線

所成的矩形的兩條對角線，數(shù)形結(jié)合，來加強(qiáng)對雙曲線的漸近線的理解。

4.離心率的幾何意義

橢圓的離心率反映橢圓的扁平程度，雙曲線離心率有何幾何意義呢？不難得到：，這是剛剛學(xué)生在類比橢圓的幾何性質(zhì)時就可以得到的簡單結(jié)論。通過對離心率的研究，同樣也可以使學(xué)生進(jìn)一步加深對漸近線的理解。

由等式，可得：，不難發(fā)現(xiàn)：e越?。ㄔ浇咏?），就越接近于0，雙曲線開口越?。籩越大，就越大，雙曲線開口越大。所以，雙曲線的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對這些性質(zhì)的探究，就可以更好的理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關(guān)系，更加準(zhǔn)確的作出雙曲線的圖形。

5.例題分析

為突出本節(jié)內(nèi)容，使學(xué)生盡快掌握剛才所學(xué)的知識。我選配了這樣的例題：

例1.求雙曲線9x2－16y2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的在于拿到一個雙曲線的方程之后若不是標(biāo)準(zhǔn)式，要先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量。本題求漸近線的方程的方法：（1）直接根據(jù)漸近線方程寫出；（2）利用雙曲線的圖形中的矩形框架的對角線得到。加強(qiáng)對于雙曲線的漸近線的應(yīng)用和理解。

變1：求雙曲線9y2－16x2=144的實半軸長和虛半軸長、頂點和焦點坐標(biāo)、漸近線方程、離心率。選題目的：和上題相同先將所給的雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，后根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程分別求出有關(guān)量；但求漸近線時可直接求出，也可以利用對稱性來求解。

關(guān)鍵在于對比：雙曲線的形狀不變，但在坐標(biāo)系中的位置改變，它的那些性質(zhì)改變，那些性質(zhì)不變？試歸納雙曲線的幾何性質(zhì)。（小結(jié)列表）變2：已知雙曲線的漸近線方程是，且經(jīng)過點(

第三篇：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程教案

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第一課時）

教學(xué)目標(biāo)：

1．掌握雙曲線的定義，能說出其焦點、焦距的意義；

2．能根據(jù)定義，按照求曲線方程的步驟推導(dǎo)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握兩類標(biāo)

準(zhǔn)方程；

3．能解決較簡單的求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的問題； 4．培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、歸納和邏輯推理能力。

教學(xué)重點：雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程。

教學(xué)難點：雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程。

教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情景，引入新課： 師：我們先來思考這樣一個問題：（打開幾何畫板）已知定點F1(?1,0)和F2(1,0)，定圓C1的圓心為F1，且半徑為r，動圓C2過定點F2，且與定圓相切。

（1）若r?4，試求動圓圓心的軌跡；（2）若r?1，試求動圓圓心的軌跡。（教師結(jié)合幾何畫板演示分析）：

師：當(dāng)r?4時，我們得到的軌跡是什么？

生：是橢圓。

是：為什么？

生：因為當(dāng)r?4時動圓C2內(nèi)切于定圓C1，所以兩個圓的圓心距MF1滿足

MF1?4?MF2，移項后可以得到：MF1?MF2?4滿足橢圓的定義，所以得到的軌跡是一個以F1、F2為定點，4為定長的橢圓。

師：很好。那么，當(dāng)r?1呢，此時動圓C2與定圓C1相切有幾種情況？

生：有兩種情況：內(nèi)切和外切。

師：我們先來考察兩圓外切時的情況（演示），我們得到的軌跡滿足什么條件？

生（同時教師板書）：由于兩圓外切，所以兩個圓的圓心距MF1滿足 MF1?1?MF2，移項后可以得到：MF1?MF2?1。(教師演示軌跡)師：我們再來考察兩圓內(nèi)切時的情況（演示），我們得到的軌跡又滿足什么條件？

生（同時教師板書）：由于兩圓內(nèi)切，所以兩個圓的圓心距MF1滿足 MF1?MF2?1，移項后可以得到：MF1?MF2??1。(教師演示軌跡)師（同時演示兩種情況下的軌跡）：我們可以得到與定圓相切且過定點的動圓的圓心滿足MF1?MF2??1即MF1?MF2?1，圓心的軌跡我們稱之為雙曲線。

二、新課講解：

1、定義給出

師：今天我們來學(xué)習(xí)雙曲線。同學(xué)們能否結(jié)合剛才的問題給雙曲線下個一般定義？

生：雙曲線是到平面上兩個定點F1、F2的距離的差的絕對值等于常數(shù)的點的軌跡。這兩個定點叫做雙曲線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。

師：由橢圓的定義，一般情況下，我們設(shè)該常數(shù)為2a。那么什么情況下表示的是雙曲線的右支，什么情況下表示的是雙曲線的左支？

生：當(dāng)MF1?MF2?2a時，表示的是雙曲線的右支，當(dāng)MF1?MF2??2a時，表示的是雙曲線的左支。

2、定義探究

（教師引導(dǎo)學(xué)生分情況討論）： 師：這個常數(shù)2a有沒有限制條件？

生：有。這個常數(shù)2a要比焦距F1F2小。師：很好。為什么要有這個限制條件呢？其他情況會是怎樣的呢？我們一起來分析一下：

（1）若a=0，則有MF1?MF2?0即MF1?MF2，此時軌跡為線段F1F2的中垂線；

（2）若2a=F1F2,則有MF1?MF2??F1F2，此時軌跡為直線F1F2上除去線段F1F2中間部分，以F1、F2為端點的兩條射線；

（3）若2a>F1F2,則根據(jù)三角形的性質(zhì)，軌跡不存在。

3、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程：

師：我們學(xué)過求曲線的方程的一般步驟，現(xiàn)在我們一起根據(jù)定義求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。（師生互動，共同推導(dǎo)之）

第一步：建立直角坐標(biāo)系；

第二步：設(shè)點：設(shè)M(x，y)，焦點分別為F1(?c,0)和F2(c,0)，M到焦點的距離差的絕對值等于2a；

第三步：啟發(fā)學(xué)生根據(jù)定義寫出M點的軌跡構(gòu)成的點集： P?MMF1?MF2??2a；

第四步：建立方程：(x?c)2?y2?(x?c)2?y2??2a；

ab教師強(qiáng)調(diào)：我們得到了焦點在x軸上，且焦點是F1(?c,0)和F2(c,0)的雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2b2 師：那么如果焦點在y軸上呢？（學(xué)生練習(xí)）

y2x2 生（練習(xí)后）：此時的標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)該是2?2?1(a?0,b?0)。

ab 4．雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的探討：

師：剛才我們共同推導(dǎo)了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。請同學(xué)想一下，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中字母a、b、c的關(guān)系如何？是不是a?b？ ?y2?1(a?0,b?0)，這里c2?a2?b2 ?? 第五步：化簡，得到

x22?y22?1(a?0,b?0)

生：a、b、c滿足等式c2?a2?b2，所以有a2?c2?b2，可以得到a,b?c，但不能判斷a?b。師：很好。我們在求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程過程中還發(fā)現(xiàn)，確定焦點對求雙曲線方程很重要。那么如何根據(jù)方程判定焦點在哪個坐標(biāo)軸上呢？

y2x2x2y2 生：由于焦點在x軸和y軸上標(biāo)準(zhǔn)方程分別為2?2?1和2?2?1，我們發(fā)現(xiàn)焦點所在軸相

abab關(guān)的未知數(shù)的分母總是a，所以可以由a來判定。

x2y2??1，那么你如何尋找a？

師：很好。如果我們知道的方程是32 生：因為a所在的這一項未知數(shù)的系數(shù)是正的，所以只要找正的系數(shù)就可以了。

x2y2???1呢？

師：如果方程是32 生：先化成標(biāo)準(zhǔn)方程。

師：請同學(xué)總結(jié)一下。生：化標(biāo)準(zhǔn)，找正號。5．運(yùn)用新知：

y2x2??1表示雙曲線，則m的取值范圍是__________，此時

【練習(xí)】已知方程9m?1雙曲線的焦點坐標(biāo)是________________，焦距是________________；

【變式】若將9改成2?m，則m的取值范圍是________________________。

【例1】已知雙曲線兩個焦點的坐標(biāo)為F1(?5,0)、F2(5,0)，雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：因為雙曲線的焦點再x軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為 x22ab 因為2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。?y22?1(a?0,b?0)，所以b2?52?32?16，x2y2??1。

所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為916 【變式】已知兩個定點的坐標(biāo)為F1(?5,0)、F2(5,0)，動點P到F1、F2的距離的差

等于6，求P點的軌跡方程。

解：因為PF1?PF2?6，所以P的軌跡是雙曲線的右支，設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為??1(a?0,b?0)，a2b2 因為2a=6，2c=10，所以a=3，c=5。x2y2 所以b2?52?32?16，x2y2??1(x?3)。

所以所求P點的軌跡方程為916【例2】已知雙曲線的焦點在y軸上，并且雙曲線上兩點P1、P2的坐標(biāo)分別為

9(3,?42)、(,5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

4解：因為雙曲線的焦點在y軸上，所以設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為

y2x2 2?2?1(a?0,b?0)，ab 因為點P1、P2在雙曲線上，所以點P1、P2的坐標(biāo)適合方程，代入得： ?(?42)232?2?1?2ab2????a?162 ?可解得：?。?9?2?????b?9425????2?12?b?ay2x2??1。

所以所求雙曲線得標(biāo)準(zhǔn)方程為：169【變式】已知雙曲線的焦點在坐標(biāo)軸上，并且雙曲線上兩點P1、P2的坐標(biāo)分別為

9（分情況討論）(3,?42)、(,5)，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。4 【練習(xí)】（1）?ABC一邊兩個端點是B(0,6)和C(0,?6)，頂點A滿足AB?AC?8，求A的軌跡方程。

（2）?ABC一邊的兩個端點是B(0,6)和C(0,?6)，另兩邊所在直線的斜率之積是

4，求頂點9A的軌跡。

三、本課小結(jié)：

師：我們總結(jié)一下本節(jié)課我們學(xué)了什么？

生：

1、雙曲線的定義；

2、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)過程；

3、運(yùn)用已有知識解決一些

簡單的問題。

四、作業(yè)：

課本P108：2、3、4 問題：一炮彈在M處爆炸，在F1、F2處聽到爆炸聲。已知兩地聽到爆炸聲的時間差為2s，又知兩地相距800m，并且此時的聲速為340m/s，那么M點一定在哪條曲線上？

第四篇：雙曲線的漸近線教案

雙曲線的漸近線教案

教學(xué)目的

(1)正確理解雙曲線的漸近線的定義，能利用雙曲線的漸近線來畫雙曲線的圖形．

(2)掌握由雙曲線求其漸近線和由漸近線求雙曲線的方法，并能作初步的應(yīng)用，從而提高分析問題和解決問題的能力．

教學(xué)過程

一、揭示課題

師：給出雙曲線的方程，我們能把雙曲線畫出來嗎？

生(眾)：能畫出來．

師：能畫得比較精確點嗎？

(學(xué)生默然．)

其附近的點，比較精確地畫出來．但雙曲線向何處伸展就不很清楚了．在畫其他曲線時，也有同樣的問題．如曲線

我們可以比較精確地畫出整個曲線．因為我們知道，當(dāng)曲線伸向遠(yuǎn)處時，它逐漸地越 的趨向，我們是清楚的，它逐漸地在x軸負(fù)方向上越來越接近x軸，即x軸為y＝2x的一條漸近線，但它的另一端則不然，它伸向何處是不夠清楚的．所以雙曲線和其他曲線一樣，當(dāng)它向遠(yuǎn)處伸展時，它的趨向如何，是需要研究的問題．今天這堂課，我們就來討論一下“雙曲線向何處去”這樣一個問題．

(板書課題：雙曲線的漸近線．)

二、講述定義

師：前一課我們討論了雙曲線的范圍、對稱性和頂點，我們回憶一下，雙曲線的范圍x≤－a，x≥a是怎樣得出來的？

直線x＝－a和x＝a的外側(cè)．我們能不能把雙曲線的范圍再縮小一點？我們先看看雙曲線在第一象限的情況．

設(shè)M(x，y)是雙曲線上在第一象限內(nèi)的點，則

考察一下y變化的范圍：

因為x2－a2＜x2，所以

這個不等式意味著什么？

(稍停，學(xué)生思考．)

平面區(qū)域．

之間(含x軸部分)．這樣，我們就進(jìn)一步縮小了雙曲線所在區(qū)域的范圍．

為此，我們考慮下列問題：

經(jīng)過A2、A1作y軸的平行線x＝±a，經(jīng)過B2、B1作x軸的平行線y＝±b，以看出，雙曲線 的各支向外延伸時，與這兩條直線逐漸接近．

下面，我們來證明這個事實．

雙曲線在第一象限內(nèi)的方程可寫成

設(shè)M(x，y)是它上面的點，N(x，Y)是直線

上與M有相同橫坐標(biāo)的點，則

設(shè)|MQ|是點M到直線 的距離，則|MQ|＜|MN|．當(dāng)x逐漸增大時，|MN|逐漸減小，x無限增大，|MN|接近于零，|MQ|也接近于零，就是說，雙曲線在第一象限的部分從射線ON的下方逐漸接近于射線ON．

在其他象限內(nèi)也可以證明類似的情況．我們把兩條直線

叫做雙曲線的漸近線．

現(xiàn)在來看看實軸在y軸上的雙曲線的漸近線方程是怎樣的？由于實軸在y軸上的雙曲線方程是由實軸在x軸上的雙曲線方程，將x、y字母對調(diào)所得到，自然，前者

這樣，我們就完滿地解決了畫雙曲線遠(yuǎn)處趨向的問題，從而可比較精確地畫出雙

手畫出比較精確的雙曲線．

[提出問題，解決問題，善始善終．]

三、初步練習(xí)

(根據(jù)由雙曲線求出它的漸近線方程與由漸近線求出相應(yīng)的雙曲線方程這兩要求，出四個小題讓學(xué)生練習(xí)．)

1．求下列雙曲線的漸近線方程(寫成直線方程的一般式)，并畫出雙曲線：

(1)4x2－y2＝4；(2)4x2－y2＝－4．

2．已知雙曲線的漸近線方程為x±2y＝0，且雙曲線過點：

求雙曲線方程并畫出雙曲線．

(練習(xí)畢，由學(xué)生回答，教師總結(jié)．)

解題的主要步驟：

第1題：(1)把雙曲線方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求得a、b；(3)根據(jù)定義寫出漸近線方程．

第2題：(1)判斷何種雙曲線，設(shè)出相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)寫出漸近線方程，從而得到關(guān)于a、b的一個關(guān)系式；(3)將點M代入標(biāo)準(zhǔn)方程，得到關(guān)于a、b的另一個關(guān)系式；(4)解a、b的方程組，求得a、b，寫出雙曲線方程．

師：這是兩個關(guān)于雙曲線漸近線的最基本的練習(xí)．一個是由雙曲線求漸近線，比較簡單；一個是由漸近線求雙曲線，卻比較復(fù)雜．這是因為，一個是正向思考和運(yùn)算，另一個是逆向思考和運(yùn)算，有一定的難度．同時，因為一條雙曲線有兩條確定的漸近線，而兩條漸近線對應(yīng)有許多雙曲線，因此，求雙曲線方程還必須具有另一個條件，兩個條件的綜合顯然比較困難．我們要特別注意對逆向問題的分析，提高解決逆向問題的能力．

[問題雖然簡單，但確是基礎(chǔ)，不僅掌握基本知識，同時有利于正、逆兩方面思考問題的訓(xùn)練．]

四、建立法則

師：仔細(xì)分析一下上述練習(xí)的結(jié)果：

雙曲線方程：4x－y＝4；漸近線方程：2x±y＝0．

雙曲線方程：4x－y＝－4；漸近線方程：2x±y＝0．

雙曲線方程：x2－4y2＝4；漸近線方程：x±2y＝0．

雙曲線方程：x2－4y2＝－4；漸近線方程：x±2y＝0．

可以發(fā)現(xiàn)，雙曲線與其漸近線的方程之間似乎存在某種規(guī)律．

(啟發(fā)學(xué)生討論、歸納．)

生甲：每項開平方，中間用正負(fù)號連結(jié)起來，常數(shù)項改為零，就得到漸近線方程．

生乙：以各項系數(shù)絕對值的算術(shù)平方根為x、y的系數(shù)，且用正負(fù)號連結(jié)起來等于零，就是漸近線方程．

生丙：如果兩個雙曲線方程的二次項相同，那么漸近線方程就相同，與常數(shù)項無關(guān)．

生?。悍催^來，漸近線的方程相同，雙曲線方程的二次項就相同，常數(shù)可以不同．

生戊：應(yīng)該說二次項系數(shù)成比例．

師：大家揭示了其中的規(guī)律．但是，大家的回答，還不夠嚴(yán)格，也不夠簡潔，是否可以歸納出一種方法，把雙曲線方程處理一下，就得到漸近線方程？

把雙曲線方程中常數(shù)項改成零，會怎樣呢？

點適合這個方程，適合這個方程的點在漸近線上．

就是兩漸近線的方程．實際上，兩條漸近線也可看作二次曲線，是特殊的雙曲線．同樣，b2x2－a2y2＝0，即 bx±ay＝0；

b2y2－a2x2＝0，即 by±ax＝0．

所以把雙曲線方程的常數(shù)項改為零，就得到其漸近線方程．這具有一般性嗎？也就是說對任意雙曲線

A2x2－B2y2＝C(C≠0)

它的漸近線方程是不是A2x2－B2y2＝0？回答是肯定的．

分情況證明一下：

C＞0，A2x2－B2y2＝C，故漸近線方程為

也可以化成 Ax±By＝0，即 Ax－By＝0．

其他情況，同學(xué)們可以自己去證明．反之，漸近線方程為

Ax±By＝0 的雙曲線方程是什么？可以證明是：A2x2－B2y2＝C(C≠0)．C＞0，實軸在x軸上；C＜0，實軸在y軸上．因此，我們得到下列法則：

(1)雙曲線 A2x2－B2y2＝C(C≠0)的漸近線方程是

A2x2－B2y2＝0；

(2)漸近線方程是Ax±By＝0的雙曲線方程是

A2x2－B2y2＝C

(C≠0的待定常數(shù))．

現(xiàn)在誰能把上面的練習(xí)第2題再解答一下？

生：因為漸近線方程是x±2y＝0，所以雙曲線方程為

x2－4y2＝C． 22

∴ 雙曲線方程為x2－4y2＝4．

∴ 雙曲線方程為x2－4y2＝－4．

[建立解題法則，既使解題比較方便，又使學(xué)生得到解題能力的培養(yǎng)．]

五、鞏固應(yīng)用

師：前面我們講述了雙曲線漸近線的定義和法則，下面大家使用定義或者法則再做兩個練習(xí)．

2．證明：雙曲線上任一點到兩漸近線的距離之積是個常數(shù)．

(練習(xí)畢，由學(xué)生回答，教師總結(jié)解題步驟．)

師：解練習(xí)1的方法有兩種．一是直接運(yùn)用定義．

由雙曲線求漸近線：

由漸近線求雙曲線：

二是直接運(yùn)用法則．

練習(xí)2的解法如下：

六、布置作業(yè)

課本練習(xí)；略．

教案說明

(1)本課教材內(nèi)容不難接受，但教學(xué)中如何引出漸近線以致不感到突然，我采取了進(jìn)一步縮小雙曲線所在范圍的方法，引出了漸近線．至于課題的引出，也是順應(yīng)認(rèn)識的需要，為了對雙曲線作深入的研究．我認(rèn)為這些做法都是比較自然的．

(2)本課的基礎(chǔ)內(nèi)容，一是定義和法則，二是雙曲線與其漸近線的互求的方法．

本教案既注意狠抓基礎(chǔ)，也注意綜合提高．

(3)本教案建立了一個法則，作為定義的補(bǔ)充，也是為了解題的方便，建立法則的過程，也是學(xué)生提高觀察能力、歸納總結(jié)能力的一種訓(xùn)練．

第五篇：2.3雙曲線 教學(xué)設(shè)計 教案

教學(xué)準(zhǔn)備

1.教學(xué)目標(biāo) 知識與技能

[1] 理解雙曲線的概念，掌握雙曲線的定義、會用雙曲線的定義解決實際問題。[2] 能根據(jù)已知條件利用定義或待定發(fā)系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程及化簡無理方程的常用的方法。

[3] 進(jìn)一步感受曲線方程的概念，了解建立曲線方程的基本方法.了解借助信息技術(shù)探究動點軌跡的《幾何畫板》的制作或操作方法。

2過程與方法

[1]提高運(yùn)用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力及運(yùn)算能力。

[2]通過定義及標(biāo)準(zhǔn)方程的挖掘與探究，使學(xué)生進(jìn)一步體驗類比及數(shù)形結(jié)合等思想方法的運(yùn)用.[3]培養(yǎng)學(xué)生的類比推理能力、觀察能力、歸納能力、探索發(fā)現(xiàn)能力。3 情感態(tài)度與價值觀

[1]親身經(jīng)歷雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的獲得過程，感受數(shù)學(xué)美的熏陶。

[2]通過主動探索，合作交流，感受探索的樂趣和成功的體驗，體會數(shù)學(xué)的理性和嚴(yán)謹(jǐn)。

[3]養(yǎng)成實事求是的科學(xué)態(tài)度和契而不舍的鉆研精神.通過自主學(xué)習(xí)、主動參與、積極探究的學(xué)習(xí)過程，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心和積極性，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力。

2.教學(xué)重點/難點

重點：通過類比、提出猜想進(jìn)而操作確認(rèn)，獲得雙曲線的定義并推導(dǎo)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

難點：[1]雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)。

[2]綜合應(yīng)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解決生產(chǎn)生活中的實際問題。

3.教學(xué)用具

多媒體、木板、拉鏈等 4.標(biāo)簽

教學(xué)過程

教學(xué)過程設(shè)計 舊知回顧、引入新課

【師】同學(xué)們好。從今天我們開始進(jìn)入新一節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

【板書】2.3.1.雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 【師】請同學(xué)們回憶一下前幾節(jié)課的知識？ 【板書】

橢圓的定義？

橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？

橢圓的簡單幾何性質(zhì)？

橢圓知識的考查方式？

【生】橢圓的定義是：平面內(nèi)與兩個定點F1,F2的距離之和等于常數(shù)（大于ⅠF1F2Ⅰ）的點的軌跡叫做橢圓（ellipse）．其中這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩定點間的距離叫做橢圓的焦距．即當(dāng)動點設(shè)為m時，橢圓即為點集。

【生】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程有兩個（分焦點在x軸和焦點在y軸兩種情況）：

【生】橢圓的簡單幾何性質(zhì)有范圍、對稱性、頂點、焦點坐標(biāo)、離心率等內(nèi)容?！旧繖E圓知識的考查方式有兩種方式：給方程題和求方程題。常見延伸問題有焦點弦、焦點半徑、焦點三角形、直線與曲線的交點、直線與圓錐曲線相交的弦長公式、圓錐曲線的最值、定值及過定點等難點問題。

給方程題：較大分母是a2,較小分母是b2,焦點所在軸與含a2項所在的分子所含字母相同，可求出半焦距c,繼而依次寫出頂點、焦點坐標(biāo)、離心率等。求方程題：根據(jù)待定系數(shù)法就是確定a2與b2和焦點所在軸。

【師】下面我們研究一種我們初中曾經(jīng)學(xué)過的“新”的曲線。（反比例函數(shù)的圖像就是雙曲線，但是坐標(biāo)系建立方式不同，方程形式也不同）【師】考慮以下問題，思考后作答：

問題：如果把橢圓定義中的“距離之和”改為“距離之差”，那么點的軌跡是怎樣的曲線？即“平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差等于非零常數(shù)的點的軌跡”是什么？

閱讀教材P52～55，回答下列問題：雙曲線的定義、圖形、標(biāo)準(zhǔn)方程、應(yīng)用?！旧啃〗M合作，思考、交流，得出結(jié)論。（1）小組合作

[1]取一條拉鏈；[2]如圖把它固定在板上的兩點F1、F2；[3] 拉動拉鏈（M）。思考：拉鏈運(yùn)動的軌跡是什么？

觀察AB兩圖探究雙曲線的定義 ①如圖(A)，|MF1|-|MF2|=|F2F|=2a ②如圖(B)，|MF2|-|MF1|=|F1F|=2a 由①②可得：| |MF1|-|MF2| | = 2a

上面兩條曲線合起來叫做雙曲線。

【師】根據(jù)以上分析，試給雙曲線下一個完整的定義？ 【生】 文字描述：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值 等于非零常數(shù)（小于︱F1F2︱）的點的軌跡叫做雙曲線。兩個定點F1、F2叫做雙曲線的焦點。兩個定點間的距離|F1F2|=2c 叫做焦距。符號描述：| |MF1|-|MF2| | = 2a（2a<2c）。圖形：

【師】請同學(xué)們利用搜集的知識說一說雙曲線的歷史起源和現(xiàn)實應(yīng)用。【生】我說雙曲線的歷史起源：

2000多年前，古希臘數(shù)學(xué)家最先開始研究圓錐曲線，并獲得了大量的成果。古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼采用平面切割圓錐的方法來研究這幾種曲線。用垂直于錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，得到橢圓；當(dāng)平面傾斜到“和且僅和”圓錐的一條母線平行時，得到拋物線；用平行圓錐的軸的平面截取,可得到雙曲線的一邊;以圓錐頂點做對稱圓錐,則可得到雙曲線[1]。阿波羅尼曾把橢圓叫“虧曲線”，把雙曲線叫做“超曲線”，把拋物線叫做“齊曲線”。事實上，阿波羅尼在其著作中使用純幾何方法已經(jīng)取得了今天高中數(shù)學(xué)中關(guān)于圓錐曲線的全部性質(zhì)和結(jié)果?！旧课艺f雙曲線的現(xiàn)實應(yīng)用：

雙曲線在實際中的應(yīng)用有通風(fēng)塔，冷卻塔，埃菲爾鐵塔，廣州塔等。

【師】初中學(xué)過的反比例函數(shù)的圖像就是一種特殊的雙曲線，叫做等軸雙曲線，以其漸近線為坐標(biāo)系建立方程，得到的函數(shù)解析式就是在教師的啟發(fā)下，師生共同完成幾種特殊情形的探究。

。【師】再考慮以下問題，思考后作答:（1）|MF1|-|MF2|=2a表示雙曲線的哪一支？ 【生】右支。

【師】（2）|MF2|-|MF1|=2a表示雙曲線的哪一支？ 【生】左支。

【師】（3）若2a=2c,則軌跡是什么？

【生】分別以F1、F2為端點方向向外的兩條射線F1P、F2Q?！編煛浚?）若2a>2c,則軌跡是什么？ 【生】無軌跡。

【師】（5）若2a=0,則軌跡是什么？

【生】此時|MF1|=|MF2|，軌跡是線段F1F2的垂直平分線?！編煛糠抡諜E圓建立坐標(biāo)系的方法，請建立雙曲線的方程?！旧拷ㄏ翟O(shè)點。設(shè)M（x , y）,雙曲線的焦距為2c（c>0）,F1(-c,0),F2(c,0)，常數(shù)=2a 雙曲線就是集合： P={M |||MF1|-|MF2|| = 2a }。

叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。它所表示的雙曲線的焦點在x 軸上，焦點是F1(-c,0),F2(c,0)，這里c2=a2+b2。

【師】請同學(xué)們嘗試將焦點所在軸設(shè)為y軸，過焦點連線的垂直平分線為x軸，方程會變成怎樣？ 【生】和橢圓的方程焦點在y軸的變化一樣，方程中的x、y位置互換！方程變?yōu)椤?/p>

【師】好，誰來總結(jié)一下？ 【生】雙曲線有兩個標(biāo)準(zhǔn)方程： 分別是焦點在x軸上時。

【師】討論一下a、b有沒有必然的大小關(guān)系？

【生】雙曲線中的a、b沒有必然的大小關(guān)系，方程右邊為1時，左邊被減數(shù)的分母是a2。2 新知介紹

[1]雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

【師】于是，我們可以得到雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程。

文字描述：平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于︱F1F2︱）的點的軌跡叫做雙曲線。符號描述和圖形：（如右圖）

和焦點在y軸上時

助記：(橢圓到雙曲線)“和”變“差”，一字之差，天地大變，從有限變無限，從看整個到看不全，a、c大小互換，還好焦點坐標(biāo)沒變、三對稱沒變?！編煛空垖㈦p曲線與橢圓對比記憶。

[2]雙曲線非標(biāo)準(zhǔn)方程的標(biāo)準(zhǔn)化 【師】下面我們做一些練習(xí)！

求出下列雙曲線的a2、b2，并寫出焦點坐標(biāo)。

【生】（1）a2＝16

b2＝9，焦點F（±5，0）

（2）a2＝9 b2＝16，焦點F（±5，0）【師】以上答案有問題么? 【生】第二個方程有問題，方程右邊不是1，而是－1.【師】有什么辦法么？

【生】方程兩邊同時乘以－1就可以了?！編煛浚?）的正確答案變了么？

【生】正確答案是（2）a2＝16 b2＝9，焦點F（0，±5）【師】對于非標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要標(biāo)準(zhǔn)化才可以提取相關(guān)信息。

非標(biāo)準(zhǔn)方程的陷阱及對應(yīng)措施：（注意到就不會出錯）

1、方程右邊不為1：兩邊同除以該數(shù)使右邊為1（如練習(xí)1、3、5）

2、方程左邊不標(biāo)準(zhǔn)。

（1）位置不標(biāo)準(zhǔn)：被減數(shù)與減數(shù)位置互換，（M—N型寫為－N+M型）

（2）系數(shù)不標(biāo)準(zhǔn)：沒有分母（分母為1）或分母為分?jǐn)?shù)形式不恰當(dāng)整理 【生】（3）、（4）、（5）都是非標(biāo)準(zhǔn)方程，先標(biāo)準(zhǔn)化再提取信息。

（3）兩邊同時除以－225，得到標(biāo)準(zhǔn)方程焦點F（0，±），a2＝25，b2＝9，（4）左邊分母標(biāo)準(zhǔn)化，0）

（5）兩邊同時除以5,得，a2＝1 b2＝，焦點F（±，位置和系數(shù)標(biāo)準(zhǔn)化，得

[3]雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用

問題：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程能解決什么問題？

【生】由雙曲線繞其虛軸旋轉(zhuǎn)，可以得到單葉雙曲面，它又是一種直紋曲面，由兩組母直線族組成，各組內(nèi)母直線互不相交，而與另一組母直線卻相交。應(yīng)用于通風(fēng)塔，冷卻塔、地標(biāo)建筑等建筑設(shè)計。造型優(yōu)美，功效顯著！既輕巧又堅固。生活中和軍事上可以用于定位。[4]例題處理

【師】下面我們來處理書上的例題?！旧烤毩?xí)并討論。【例1】已知雙曲線的焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，雙曲線上一點P到F1、F2的距離的差的絕對值等于6，求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

解：因為雙曲線的焦點在 x 軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，∵ 2a = 6,2c=10，∴ a = 3, c = 5.∴ b2 = 52-32 =16.所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

【拓展探究】已知兩定點F1(-5,0),F2(5,0)，動點P滿足|PF1|-|PF2|＝6.求動點P的軌跡方程.解：∵|F1F2|＝10，|PF1|-|PF2|＝6，∴由雙曲線的定義可知，點P的軌跡是雙曲線的右支.∵兩焦點為F1(-5,0),F2(5,0)，∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

∵2a=6,2c=10,∴a=3,c=5.∴b2 =52-32 =16.∴動點P的軌跡方程為

【師】請大家總結(jié)求雙曲線方程的基本步驟。

【生】1.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是確定三項內(nèi)容：焦點所在軸（方程二選一）、a2、b2.2.現(xiàn)實應(yīng)用中雙曲線有可能變?yōu)閱吻€（一支）,通過限制方程中的x的取值范圍實現(xiàn).【師】補(bǔ)充一點，還有一種可能，焦點所在軸不確定時可能兩種情況都成立，需分情況討論。

【例2】已知A,B兩地相距800 m,在A地聽到炮彈爆炸聲比在B地晚2 s,且聲速為340 m/s, 求炮彈爆炸點的軌跡方程.【分析】首先根據(jù)題意,判斷軌跡的形狀.由聲速及A，B兩處聽到爆炸聲的時間差,可知A，B兩處與爆炸點的距離的差為定值.這樣，爆炸點在以A，B為焦點的雙曲線上.因為爆炸點離A處比離B處遠(yuǎn)，所以爆炸點應(yīng)在靠近B處的雙曲線的一支上.解: 如圖所示，建立直角坐標(biāo)系xOy,使A，B兩點在x軸上，并且坐標(biāo)原點O與線段AB的中點重合.∴設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

設(shè)爆炸點P的坐標(biāo)為(x,y)，則|PA|-|PB|＝340x2=680，即 2a=680，a=340.又|AB|＝800，即 2c=800,c=400,b2 = c2-a2 =160000－115600＝44400.∴炮彈爆炸點的軌跡(雙曲線的一支)方程為(注：課本上只是x>0,本設(shè)計更精確)【應(yīng)用提升】1.若在A,B兩地同時聽到炮彈爆炸聲,則炮彈爆炸點的軌跡是什么? 解: 爆炸點的軌跡是線段AB的垂直平分線.2.根據(jù)兩個不同的觀測點測得同一炮彈爆炸聲的時間差，可以確定爆炸點在某條曲線上，但不能確定爆炸點的準(zhǔn)確位置.而現(xiàn)實生活中為了安全，我們最關(guān)心的是炮彈爆炸點的準(zhǔn)確位置，怎樣才能確定爆炸點的準(zhǔn)確位置呢? 解:再增設(shè)一個觀測點C，利用B，C（或A，C）兩處測得的爆炸聲的時間差，可以求出另一個雙曲線的方程，解這兩個方程組成的方程組，就能確定爆炸點的準(zhǔn)確位置.這是雙曲線的一個重要應(yīng)用.【例3】如果方程解：由

表示雙曲線，求m的取值范圍.【應(yīng)用提升】如果方程值范圍.表示焦點在y軸上的雙曲線，求m的取由例題，從m的取值中選取適合的范圍即有 【拓展探究】已知圓C1：(x+3)2+y2=1和圓C2：(x-3)2+y2=9，動圓M同時與圓C1及圓C2相外切，求動圓圓心M的軌跡方程．

解：

【師】引導(dǎo)學(xué)生分析條件與結(jié)論，認(rèn)識到解題關(guān)鍵是確認(rèn)已知條件中的隱藏信息。再次強(qiáng)調(diào)：

1、求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是確定三項內(nèi)容：焦點所在軸（方程二選一）、a2、b2.2、焦點所在軸不確定時可能兩種情況都成立，需分情況討論。

3、現(xiàn)實應(yīng)用題中雙曲線有可能變?yōu)閱吻€（一支）注意相應(yīng)自變量x的取值會發(fā)生變化。【強(qiáng)化練習(xí)】

已知B（-5，0），C（5，0）是三角形ABC的兩個頂點，且，求頂點A的軌跡方程。解：在△ABC中，|BC|=10，故頂點A的軌跡是以B、C為焦點的雙曲線的左支，又因c=5，a=3，則b2=16，則頂點A的軌跡方程為[5]小結(jié)：雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

【師】現(xiàn)在我們來總結(jié)一下，雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程?！景鍟?PPT】

【雙曲線的定義】平面內(nèi)與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值等于非零常數(shù)（小于︱F1F2︱）的點的軌跡叫做雙曲線。（1）當(dāng)|MF1|-|MF2|=2a表示雙曲線的右支。（2）|MF2|-|MF1|=2a表示雙曲線的左支。

（3）若2a=2c,則軌跡是分別以F1、F2為端點方向向外的兩條射線F1P、F2Q。（4）若2a>2c,則無軌跡。

（5）若2a=0,則軌跡是線段F1F2的垂直平分線?！倦p曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程】有兩個： 分別是焦點在x軸上時。

【考查方式】給方程題與求方程題 給方程題一般涉及方程的標(biāo)準(zhǔn)化：

對于非標(biāo)準(zhǔn)方程，首先要標(biāo)準(zhǔn)化才可以提取相關(guān)信息。非標(biāo)準(zhǔn)方程的陷阱及對應(yīng)措施：（注意到就不會出錯）

1.方程右邊不為1：兩邊同除以該數(shù)使右邊為1（如練習(xí)1、3、5）2.方程左邊不標(biāo)準(zhǔn)。

和焦點在y軸上時。

（1）位置不標(biāo)準(zhǔn)：被減數(shù)與減數(shù)位置互換，（M—N型寫為－N+M型）

（2）系數(shù)不標(biāo)準(zhǔn)：沒有分母（分母為1）或分母為分?jǐn)?shù)形式不恰當(dāng)整理 求方程題：一般用待定系數(shù)法：

3.求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程就是確定三項內(nèi)容：焦點所在軸（方程二選一）、a2、b2.4.焦點所在軸不確定時可能兩種情況都成立，需分情況討論。

5.現(xiàn)實應(yīng)用題中雙曲線有可能變?yōu)閱吻€（一支）注意相應(yīng)自變量x的取值會發(fā)生變化。【易錯點點撥】

1.與橢圓相關(guān)知識混淆，誤認(rèn)為一定有a>b或仍然用a2=b2+c2來求相關(guān)值。2.忽略非標(biāo)準(zhǔn)方程的存在，錯誤提取相關(guān)數(shù)據(jù)。3.該分情況討論的沒有分情況討論。答案不完整。

4、忽略問題的實際意義將雙曲線的一支確定為兩支。課堂小結(jié)（投影，給出知識脈絡(luò)圖）

1.雙曲線的定義

2.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

3.利用雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程解決簡單的應(yīng)用問題 3 復(fù)習(xí)總結(jié)和作業(yè)布置 [1]課堂練習(xí)

一、填空題

1.a=4，b=3 ,焦點在x軸上的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

.2.焦點為（0,-6）,（0，6）,經(jīng)過點（2，-5）的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是

.3.設(shè)雙曲線上的點P到(5,0)的距離是15,則P到(-5,0)的距離是

..4.如果方程

表示雙曲線，則m的取值范圍是

.二、選擇題． 5．設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線的焦點，點P在雙曲線上，且，則點P到x軸的距離（）A．1

B．

C．2

D．

6．P為雙曲線徑的圓與圓

為上一點，若F是一個焦點，以PF為直的位置關(guān)系是（）A．內(nèi)切

B．外切

C．內(nèi)切或外切

D．無公共點或相交 7．已知兩定點F1(－5,0)，F(xiàn)2(5,0)，動點 P 滿足|PF1|－|PF2|＝2a，則當(dāng)a＝3和5時，P點的軌跡為（）A．雙曲線和一直線 B．雙曲線和一條射線 C．雙曲線的一支和一條射線 D．雙曲線的一支和一條直線

三、解答題

8．若方程(k2+k-2)x2+(k+1)y2=1的曲線是焦點在y軸上的雙曲線，求k的取值范圍。

【解答】

一、填空題

二、選擇題．5.B 6.C 7.C

三、解答題

8.解：由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可知(k+1)>0且(k2+k-2)<0，9.解：因為雙曲線的焦點位置不確定，所以設(shè)雙曲線方程為mx2＋ny2＝1(mn<0)，因P1，P2在雙曲線上，所以有

所以所求雙曲線方程為[2]作業(yè)布置

1、自學(xué)完成課本P58練習(xí)。.2、課本P61習(xí)題2．3（A組）第1、2題

課本P62習(xí)題2．3（B組）第2題

3、選做題：

1.設(shè)P為雙曲線上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是該雙曲線的兩個焦點，若|PF1|∶|PF2|＝3∶2，則△PF1F2的面積為_______.2.已知△ABC的兩個頂點A,B的坐標(biāo)為A(-5,0),B(5,0)，且AC,BC的斜率之積等于m(m≠0)，若頂點C的軌跡是雙曲線（去掉兩個頂點），求m的取值范圍.(附答案：)1.由已知得2a＝2，又由雙曲線的定義得，|PF1|－|PF2|＝2，又|PF1|∶|PF2|＝3∶2，∴|PF1|＝6，|PF2|＝4.又|F1F2|＝2c＝

由余弦定理得∴△PF1F2為直角三角形．

2.設(shè)C點的坐標(biāo)為C（x,y)，則AC的斜率為，BC的斜率為依題意有原方程可化為,化簡得mx2-y2=25m(y≠0).因為m≠0，所以①

由題知方程①表示的軌跡是焦點在x軸上的雙曲線（去掉兩個頂點）,所以m＞0.所以所求m的取值范圍是(0,+∞)．

4、預(yù)習(xí)提綱：

前面學(xué)習(xí)了橢圓的簡單幾何性質(zhì)，類比學(xué)習(xí)下一節(jié)雙曲線的簡單幾何性質(zhì)．