第一篇：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教案

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式·教案

教學(xué)目標(biāo)

1．牢固掌握數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟，熟練表達(dá)數(shù)學(xué)歸納法證明的過(guò)程． 2．通過(guò)事例，學(xué)生掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的思想方法．

3．培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，運(yùn)算能力，和分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：鞏固對(duì)數(shù)學(xué)歸納法意義和有效性的理解，并能正確表達(dá)解題過(guò)程，以及掌握利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的基本思路．

難點(diǎn)：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明的不同方法的選擇及解題技巧． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）復(fù)習(xí)回顧

師：上次課我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)歸納法以及運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法解題的步驟，請(qǐng)同學(xué)們聯(lián)想“多米諾骨牌”游戲，說(shuō)出數(shù)學(xué)歸納法的步驟？

生：數(shù)學(xué)歸納法是用于證明某些與自然數(shù)有關(guān)的命題的一種方法．設(shè)要證命題為P（n）．（1）證明當(dāng)n取第一個(gè)值n0時(shí)，結(jié)論正確，即驗(yàn)證P（n0）正確；（2）假設(shè)n=k（k∈N且k≥n0）時(shí)結(jié)論正確，證明當(dāng)n=k+1時(shí)，結(jié)論也正確，即由P（k）正確推出P（k+1）正確，根據(jù)（1），（2），就可以判定命題P（n）對(duì)于從n0開始的所有自然數(shù)n都正確．

師：演示小黑板或運(yùn)用投影儀講評(píng)作業(yè)．

（講評(píng)作業(yè)的目的是從錯(cuò)誤中進(jìn)一步強(qiáng)調(diào)恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用歸納假設(shè)是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵）

作業(yè)中用數(shù)學(xué)歸納法證明： 2+4+6+8+?+2n=n（n+1）． 如采用下面的證法，對(duì)嗎？

證明：（1）當(dāng)n=1時(shí)，左=2，右=2，則等式成立．（2）假設(shè)n=k時(shí)（k∈N，k≥1），等式成立，即 2+4+6+?+2k=k（k+1）． 當(dāng)n=k+1時(shí)，2+4+6+?+2k+（k+1）

所以n=k+1時(shí)，等式也成立．

根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)于任意自然數(shù)n，原等式都能成立． 生甲：證明過(guò)程正確．

生乙：證明方法不是數(shù)學(xué)歸納法，因?yàn)榈诙阶C明時(shí)，沒(méi)有應(yīng)用歸納假設(shè)． 師：從形式上看此種證明方法是數(shù)學(xué)歸納法，但實(shí)質(zhì)在要證明n=k+1正確時(shí)，未用到歸納假設(shè)，直接采用等差數(shù)列求和公式，違背了數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)特點(diǎn)遞推性，所以不能稱之為數(shù)學(xué)歸納法．因此告誡我們?cè)谶\(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí)，不能機(jī)械套用兩個(gè)步驟，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要利用歸納假設(shè)．（課堂上講評(píng)作業(yè)，指出學(xué)生作業(yè)中不妥之處，有利于鞏固舊知識(shí)，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)掃清障礙，使學(xué)生引以為戒，所謂溫故而知新）

（二）講授新課

師：在明確數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們來(lái)共同研究它在不等式證明中的應(yīng)用．

（板書）例1已知x＞-1，且x≠0，n∈N，n≥2．求證：（1+x）n＞1+nx． 師：首先驗(yàn)證n=2時(shí)的情況．

（板書）證：（1）當(dāng)n=2時(shí)，左邊=（1+x）2=1+2x+x2，右邊=1+2x，因x2＞0，則原不等式成立．

（在這里，一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊）

（2）假設(shè)n=k時(shí)（k≥2），不等式成立，即（1+x）k＞1+kx． 師：現(xiàn)在要證的目標(biāo)是（1+x）k+1＞1+（k+1）x，請(qǐng)同學(xué)考慮． 生：因?yàn)閼?yīng)用數(shù)學(xué)歸納法，在證明n=k+1命題成立時(shí)，一定要運(yùn)用歸納假設(shè)，所以當(dāng)n=k+1時(shí)．應(yīng)構(gòu)造出歸納假設(shè)適應(yīng)的條件．所以有：（1+x）k+1=（1+x）k

k（1+x），因?yàn)閤＞-1（已知），所以1+x＞0于是（1+x）（1+x）＞（1+kx）（1+x）．

師：現(xiàn)將命題轉(zhuǎn)化成如何證明不等式（1+kx）（1+x）≥1+（k+1）x． 顯然，上式中“=”不成立．

故只需證：（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 提問(wèn)：證明不等式的基本方法有哪些？

生甲：證明不等式的基本方法有比較法、綜合法、分析法．

（提問(wèn)的目的是使學(xué)生明確在第二步證明中，合理運(yùn)用歸納假設(shè)的同時(shí)，其本質(zhì)是不等式證明，因此證明不等式的所有方法、技巧手段都適用）

生乙：證明不等式（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x，可采用作差比較法．（1+kx）（1+x）-[1+（k+1）x] =1+x+kx+kx2-1-kx-x =kx2＞0（因x≠0，則x2＞0）． 所以，（1+kx）（1+x）＞1+（k+1）x． 生丙：也可采用綜合法的放縮技巧．

（1+kx）（1+x）=1+kx+x+lx2=1+（k+1）x+kx2．

因?yàn)閗x2＞0，所以1+（k+1）x+kx2＞1+（k+1）x，即（1+kx）（1+x）＞1+（1+k）x成立．

生?。??

（學(xué)生可能還有其他多種證明方法，這樣培養(yǎng)了學(xué)生思維品質(zhì)的廣闊性，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)總結(jié)）

師：這些方法，哪種更簡(jiǎn)便，更適合數(shù)學(xué)歸納法的書寫格式？學(xué)生丙用放縮技巧證明顯然更簡(jiǎn)便，利于書寫．

（板書）將例1的格式完整規(guī)范． 當(dāng)n=k+1時(shí)，因?yàn)閤＞-1，所以1+x＞0，于是

左邊=（1+x）k+1=（1+x）k（1+x）＞（1+x）（1+lx）=1+（k+1）x+kx2； 右邊=1+（k+1）x．

因?yàn)閗x2＞0，所以左邊＞右邊，即（1+x）k+1＞1+（k+1）x．這就是說(shuō)，原不等式當(dāng)n=k+1時(shí)也成立．

根據(jù)（1）和（2），原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立．（通過(guò)例1的講解，明確在第二步證明過(guò)程中，雖然可以采取證明不等式的有關(guān)方法，但為了書寫更流暢，邏輯更嚴(yán)謹(jǐn)，通常經(jīng)歸納假設(shè)后，要進(jìn)行合理放縮，以達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的）

師：下面再舉例子，來(lái)說(shuō)明合理放縮的重要性．（板書）例2證明：2n+2＞n2，n∈N+．

師：（1）當(dāng) n=1時(shí)，左邊=21+2=4；右邊=1，左邊＞右邊．所以原不等式成立．

（2）假設(shè)n=k時(shí)（k≥1且k∈N）時(shí)，不等式成立，即2k+2＞k2． 現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們考慮n=k+1時(shí)，如何論證2k+1+2＞（k+1）2成立． 生：利用歸納假設(shè)2k+1+2=2．2k+2=2（2k+2）-2＞2·k2-2．

師：將不等式2k2-2＞（k+1）2，右邊展開后得：k2+2k+1，由于轉(zhuǎn)化目的十分明確，所以只需將不等式的左邊向k2+2k+1方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即：2k2-2=k2+2k+1+k2-2k-3．

由此不難看出，只需證明k2-2k-3≥0，不等式2k2-2＞k2+2k+1即成立． 生：因?yàn)閗2-2k-3=（k-3）（k+1），而k∈N，故k+1＞0，但k-3≥0成立的條件是k≥3，所以當(dāng)k∈N時(shí)，k-3≥0未必成立．

師：不成立的條件是什么？

生：當(dāng)k=1，2時(shí)，不等式k-3≥0不成立．

師：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用歸納法，將其逐一驗(yàn)證原命題成立，因此在證明第一步中，應(yīng)補(bǔ)充驗(yàn)證n=2時(shí)原命題成立，那么，n=3時(shí)是否也需要論證？ 生：n=3需要驗(yàn)證，這是因?yàn)閿?shù)學(xué)歸納法中的第一步驗(yàn)證是第二步歸納假設(shè)的基礎(chǔ)，而第二步中對(duì)于k是大于或等于3才成立，故在驗(yàn)證時(shí)，應(yīng)驗(yàn)證n=3時(shí)，命題成立．

師：（補(bǔ)充板書）

當(dāng)n=2時(shí)，左=22+2=6，右=22=4，所以左＞右； 當(dāng)n=3時(shí)，左=23+2=10，右=32=9，所以左＞右． 因此當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式成立．（以下請(qǐng)學(xué)生板書）

（2）假設(shè)當(dāng)n=k（k≥3且k∈N）時(shí)，不等式成立．即2k+2＞k2．因?yàn)?k+1+2=2·2k+2=2（2k+2）-2＞2k2-2 =k2+2k+1+k2-2k-3 =（k2+2k+1）+（k+1）（k-3）（因k≥3，則k-3≥0，k+1＞0）≥k2+2k+1=（k+1）2．

所以2k+1+2＞（k+1）2．故當(dāng)n=k+1時(shí)，原不等式也成立． 根據(jù)（1）和（2），原不等式對(duì)于任何n∈N都成立．

師：通過(guò)例2可知，在證明n=k+1時(shí)命題成立過(guò)程中，針對(duì)目標(biāo)k2+2k+1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍（k≥1）太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟（把驗(yàn)證n=1．?dāng)U大到驗(yàn)證n=1，2，3）的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k≥3，促使放縮成功，達(dá)到目標(biāo)．

（板書）例3求證：當(dāng)n≥2時(shí)，（由學(xué)生自行完成第一步的驗(yàn)證；第二步中的假設(shè)，教師應(yīng)重點(diǎn)講解n=k到n=k+1命題的轉(zhuǎn)化過(guò)程）

師：當(dāng)n=k+1時(shí)，不等式的左邊表達(dá)式是怎樣的？ 生：當(dāng)n=k+1時(shí)，k項(xiàng)，應(yīng)是第2k項(xiàng)，數(shù)列各項(xiàng)分母是連續(xù)的自然數(shù)，最后一項(xiàng)是以3k

在3k后面還有3k+1、3k+2．最后才為3k+3即3（k+1），所以正確

（在這里，學(xué)生極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的思維定勢(shì)認(rèn)為從n=k到n=k+1時(shí)，只增加一項(xiàng)，求和式中最后一項(xiàng)即為第幾項(xiàng)的通項(xiàng)，教師在這里要著重分析，化解難點(diǎn)．）

運(yùn)算，應(yīng)針對(duì)問(wèn)題的特點(diǎn)，巧妙合理地利用“放縮技巧”，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷的證明：

（板書略）

師：設(shè)S（n）表示原式左邊，f（n）表示原式右邊，則由上面的證法可知，從n=k到n=k+1命題的轉(zhuǎn)化途徑是：

要注意：這里 S′（k）不一定是一項(xiàng)，應(yīng)根據(jù)題目情況確定．

（三）課堂小結(jié)

1．用數(shù)學(xué)歸納法證明，要完成兩個(gè)步驟，這兩個(gè)步驟是缺一不可的．但從證題的難易來(lái)分析，證明第二步是難點(diǎn)和關(guān)鍵，要充分利用歸納假設(shè)，做好命題從n=k到n=k+1的轉(zhuǎn)化，這個(gè)轉(zhuǎn)化要求在變化過(guò)程中結(jié)構(gòu)不變．

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式是較困難的課題，除運(yùn)用證明不等式的幾種基本方法外，經(jīng)常使用的方法就是放縮法，針對(duì)目標(biāo)，合理放縮，從而達(dá)到目標(biāo)．

3．?dāng)?shù)學(xué)歸納法也不是萬(wàn)能的，也有不能解決的問(wèn)題．

錯(cuò)誤解法：

（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即

當(dāng)n=k+1時(shí)，則n=k+1時(shí)，不等式也成立．

根據(jù)（1）（2），原不等式對(duì)n∈N+都成立．

（四）課后作業(yè)

1．課本P121：5，P122：6． 2．證明不等式：

（提示：

（1）當(dāng)n=1時(shí)，不等式成立．（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即

那么，這就是說(shuō)，n=k+1時(shí)，不等式也成立． 根據(jù)（1）（2）可知不等式對(duì)n∈N+都成立．）3．對(duì)于任意大于1的自然數(shù)n，求證：

（提示：

（2）假設(shè)n=k時(shí)，不等式成立，即

這就是說(shuō)，n=k+1時(shí)，原不等式成立．

根據(jù)（1），（2）可知，對(duì)任意大于1的自然數(shù)n，原不等式都成立．）

用數(shù)學(xué)歸納法證明①式：（1）當(dāng)n=3時(shí)，①式成立．

（2）假設(shè) n=k（k≥3，k∈N）時(shí)，①式成立，即2k＞2k+1．那么2k+1=2k·2＞2（2k+1）

=2（k+1）+1+（2k-1）

＞2（k+1）+1（因k≥3，則2k-1≥5＞0）． 這就是說(shuō)，當(dāng)n=k+1時(shí)，①式也成立．

根據(jù)（1）（2）可知，對(duì)一切n∈N，n≥3①式都成立，即f

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．?dāng)?shù)歸法是以皮亞諾的歸納公理作為依據(jù)，把歸納法與演繹法結(jié)合起來(lái)的一種完全歸納法．?dāng)?shù)學(xué)歸納法證明中的兩個(gè)步驟體現(xiàn)了遞推思想．在教學(xué)中應(yīng)使學(xué)生明確這兩個(gè)步驟的關(guān)系：第一步是遞推的基礎(chǔ)；第二步是遞推的依據(jù)，缺一不可，否則就會(huì)導(dǎo)致錯(cuò)誤．為了取得良好的教學(xué)效果，不妨利用“多米諾骨牌”游戲來(lái)加深這兩步驟之間的關(guān)系的理解，在演示時(shí)，應(yīng)分三種情況：（1）推倒第一張，接著依次倒下直至最后一張；（2）推倒第一張，中途某處停止，最后一張不倒；（3）第一張不倒，后面不管能否推倒，都不會(huì)全部倒下．通過(guò)具體生動(dòng)的模型，幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的實(shí)質(zhì)．

2．用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式，宜先比較n=k與n=k+1這兩個(gè)不等式間的差異，以決定n=k時(shí)不等式做何種變形，一般地只能變出n=k+1等式的一邊，然后再利用比較、分析、綜合、放縮及不等式的傳遞性來(lái)完成由n=k成立推出n=k+1不等式成立的證明． 3．要注意：在證明的第二步中，必須利用“n=k時(shí)命題成立”這一歸納假設(shè)，并且由f（k）到 f（k+1），并不總是僅增加一項(xiàng)，如例2，4．要教會(huì)學(xué)生思維，離開研究解答問(wèn)題的思維過(guò)程幾乎是不可能的，因此在日常教學(xué)中，尤其是解題教學(xué)中，必須把教學(xué)集中在問(wèn)題解答者解答問(wèn)題的整個(gè)過(guò)程上，培養(yǎng)學(xué)生構(gòu)作問(wèn)題解答過(guò)程的框圖，因?yàn)橛梦淖帧⒎?hào)或圖表簡(jiǎn)明地表達(dá)解答過(guò)程或結(jié)果的能力，敘述表達(dá)自己解題思路的能力，這也是問(wèn)題解答所必需的．

第二篇：用比較法證明不等式·教案

用比較法證明不等式·教案

北京二十五中 馮睿

教學(xué)目標(biāo)

1．理解，掌握比較法證明不等式．

2．培養(yǎng)滲透轉(zhuǎn)化、分類討論等數(shù)學(xué)思想，提高分析、解決問(wèn)題能力． 3．鍛煉學(xué)生的思維品質(zhì)（思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、靈活性、深刻性）． 教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

求差比較法證明不等式是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)；求差后，如何對(duì)“差式”進(jìn)行適當(dāng)變形，并判斷符號(hào)是本節(jié)課教學(xué)難點(diǎn)．

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）不等式證明的含義

師：前面我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了不等式性質(zhì)．今天我們要以這些性質(zhì)作為依據(jù)研究不等式證明．

什么是不等式證明呢？（板書）1．什么是不等式證明 我們通過(guò)具體題說(shuō)明．

例1 求證：（2x+1）（3x-2）＞（5x＋9）（x-2）． 這道題含量是什么？（學(xué)生遲疑，教師給以啟發(fā)）

師：同學(xué)們可以想一想恒等式證明的含義．

生：這道題含義是對(duì)任意實(shí)數(shù)x，這個(gè)不等式都成立．

（二）引入比較法證明不等式，理解、認(rèn)識(shí)比較法 師：很好，那么如何證明這個(gè)不等式呢？（讓學(xué)生稍作思考）生：求差．

（學(xué)生口述，教師板書）

證明：由于（2x＋1）（3x-2）-（5x+9）（x-2）＝（6x2-x-2）-（5x2-x-18）＝x2+16≥16＞0，則（2x-1）（3x-2）＞（5x+9）（x-2）． 師：怎么想到“求差”的呢？

生：以前比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小時(shí)曾經(jīng)用過(guò)這種方法．

（學(xué)生回答雖較為膚淺，但教師仍應(yīng)鼓勵(lì)并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考）師：在這里用“求差”有什么好處？（學(xué)生思考片刻回答）

生：直接證這個(gè)不等式有困難，轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0比大小比較容易證明．

師：是的，在這里，通過(guò)“求差”將不等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒等問(wèn)題；將二個(gè)一般式子大小比較轉(zhuǎn)化為一個(gè)一般式子與0的大小比較，使問(wèn)題簡(jiǎn)化．

這種證明的依據(jù)又是什么呢？ 生：依據(jù)是a-b＞0

a＞b，所以要證a＞b，只要證a-b＞0．

師：這種證明的理論依據(jù)是a-b＞0 a＞b，由a-b＞0來(lái)推a＞b是證明不等式常用方種中的一種，叫比較法，這種比較法不妨稱作求差比較法．（板書）2．不等式證明的常用方法（1）比較法（求差比較法）

（三）在求差比較法中，求差后對(duì)“差式”適當(dāng)變形并判斷符號(hào)的方法 師：下面我們將通過(guò)例題來(lái)歸納、總結(jié)求差比較法證明不等式時(shí)，如何對(duì)差式變形并判斷差式符號(hào)．

例2 求證：x2＋3＞3x．

（學(xué)生口述解題過(guò)程，教師板書）

師：求差后，進(jìn)行等價(jià)變形時(shí)用的什么方法？ 生：配方法．

師：為什么用配方法？

生：因?yàn)榍蟛詈?，式子?3x的符號(hào)不確定，所以不容易判斷符號(hào)，配方后變形為一個(gè)完全平方式子與一個(gè)常數(shù)和的形式，這種差式的符號(hào)可以判斷．

師：也就是說(shuō)變形的目的在于能判斷差式的符號(hào)，這道題用的是配方法． 例3 已知：a，b∈R＋．求證：a5＋b5≥a3b2＋a2b3． 師：這道題含義是什么？

生：對(duì)于a，b屬于任意正實(shí)數(shù)，不等式都成立． 師：請(qǐng)同學(xué)們考慮如何用比較法證明．（學(xué)生口述，教師板書）

證明：a5＋b5-a3b2-a2b3=（a5-a3b2）-（a2b3-b5）=a3（a2-b2）-b3（a2-b2）=（a2-b2）（a3-b3）=（a＋b）（a-b）2（a2+ab+b2）由于a，b∈R＋，則a＋b＞0．又a2＋ab＋b2＞0，（a-b）2≥0，所以（a＋b）（a-b）2（a2＋ab＋b2）≥0，即（a5＋b5）（a3b2＋a2b3）≥0． 因此a5＋b5≥a3b2＋a2b3．

師：這道題是用什么方法對(duì)差式進(jìn)行等價(jià)變形． 生：對(duì)差式進(jìn)行因式分解． 師：這樣變形的目的是什么？

生：將差式因式分解變形為幾個(gè)因式積的形式，對(duì)每個(gè)因式進(jìn)行分析，判斷符號(hào)，從而使因式積的符號(hào)可以判斷，差式符號(hào)即可判斷．

師：說(shuō)得很好，變形的目的是能判斷差式符號(hào)，這道題采用的是因式分解的方法，在判斷符號(hào)時(shí)要注意表述嚴(yán)謹(jǐn)、周密，正確判斷a，b∈R+范圍內(nèi)每個(gè)因式符號(hào)．

師：這道題含義是什么？

生：對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式都成立．（此時(shí)有的學(xué)生有異議）

生：我覺得應(yīng)該考慮左式分式有意義的條件． 師：左式分式有意義的條件是什么？ 生：x∈R．

師：對(duì)．這道題忽視分式有意義的條件是不對(duì)的．只不過(guò)在這道題中條件就是x∈R，所以這道題的是對(duì)任意實(shí)數(shù)x，不等式都成立．請(qǐng)證明這道題．

（學(xué)生口述，教師板書）

師：這道題又是如何變形的呢？

生：這道題求差后，先通分，然后將分子配方，最后判斷符號(hào)． 師：通過(guò)以上例題，用比較法證明不等式可以歸納為哪些步驟． 生：有三步：（1）求差；（2）變形；（3）判斷符號(hào)． 師：在這些步驟中哪一步最重要． 生：我認(rèn)為變形最重要． 師：為什么？

生：因?yàn)樽冃芜m當(dāng)才能判斷差式符號(hào)． 師：怎么就叫“變形適當(dāng)”？

生：通過(guò)變形將差式化為容易判斷符號(hào)的式子．

師：對(duì)．求差后，把所得差式進(jìn)行合理變形，化為容易判斷符號(hào)的式子是求差比較證明不等式的關(guān)鍵．在變形中，有哪些具體方法呢？

生：變形時(shí)可以用配方法、因式分解、通分．

師：當(dāng)然，除了這些主要的方法，在今后學(xué)習(xí)中還要不斷積累方法．

（學(xué)生審題，考慮片刻）

師：這道題問(wèn)的是兩個(gè)式子大小關(guān)系，如何判斷？

生：可以利用求差比較法證明不等式的方法．先求差，再變形，轉(zhuǎn)化為能與0比大小的式子，就可以判斷這兩個(gè)式子的大小關(guān)系．

（學(xué)生口述，教師板書）

師：先通分，再對(duì)分子進(jìn)行因式分解，現(xiàn)在如何判斷符號(hào)呢？（讓學(xué)生先討論，再回答）生：需要分類討論？ 師：為什么要分類討論？

生：因?yàn)榉肿又袊?guó)式a-b的符號(hào)隨著a，b大小關(guān)系的不同而有不同的符號(hào)．

師：如何分類？

生：分為a＞b，a=b，a＜b三類討論．（學(xué)生口述，教師板書）

由于a，b＜0，則a·b＞0，a2＞0，b2＞0，a＋b＜0，進(jìn)而2ab＞0，a2＋b2＞0，則（a2＋b2）（a＋b）＜0．

師：這道題在判斷符號(hào)時(shí)用分類討論，分類討論是重要的數(shù)學(xué)思想，要知道為什么分類？怎么分類？分類時(shí)要不重不漏．

（四）小結(jié)

在了解不等式證明的含義的基礎(chǔ)上，今天主要學(xué)習(xí)了不等式證明常用方法之一，比較法（或稱求差比較法）證明不等式，它是不等式證明中最基本、最重要的證明方法．要明確求差比較法證明不等式的依據(jù)，理解轉(zhuǎn)化，使問(wèn)題簡(jiǎn)化是求差比較法證明不等式中所蘊(yùn)含的重要數(shù)學(xué)思想，掌握求差后對(duì)差式變形以及判斷符號(hào)的重要方法，并在今后學(xué)習(xí)中繼續(xù)積累方法． 比較法證明不等式除了求差比較法，還有沒(méi)有其他方式呢？請(qǐng)同學(xué)們課下思考研究．

（五）布置作業(yè)

用比較法證明下列不等式：

（左式-右式=（q＋1）（q-1）2（q2＋1）（q2＋q＋1））

4．已知a，b∈R＋，求證：aabb≥abba．（此題可用求商比較法證明）課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

1．本節(jié)課是不等式證明的第一節(jié)課，因此需要了解不等式證明的含義，在這里是通過(guò)具體例題說(shuō)明的并不需要研究不等式證明的一般定義． 2．例1是一道很簡(jiǎn)單的題，學(xué)生會(huì)很自然地使用求差．這時(shí)教師引導(dǎo)學(xué)生深入思考這種方法正確性的依據(jù)以及這種方法中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法，提高學(xué)生對(duì)求差比較法的認(rèn)識(shí)，同時(shí)使學(xué)生感受到淺顯、平淡知識(shí)中仍有一些值得思索和注意的地方，逐漸培養(yǎng)學(xué)生良好思維品質(zhì)，有利于學(xué)生能力提高． 3．例2，例3，例4三道題主要目的在于讓學(xué)生歸納、總結(jié)，求差后對(duì)差式變形，并判斷符號(hào)的方法，以及求差比較法的步驟．在這里如何對(duì)差式變形是難點(diǎn)，應(yīng)著重解決．首先讓學(xué)生明確變形目的，減少變形的盲目性；其次是總結(jié)變形時(shí)常用方法，有利于難點(diǎn)的突破．例5帶有一些綜合性，加強(qiáng)學(xué)生對(duì)求差比較法認(rèn)識(shí)和掌握，并考查對(duì)分類討論思想的認(rèn)識(shí)，例題設(shè)計(jì)目的在于突出重點(diǎn)，突破難點(diǎn)．

4．本節(jié)課采用啟發(fā)引導(dǎo)，講練結(jié)合的授課方式，發(fā)揮教師主導(dǎo)作用，體現(xiàn)學(xué)生主體地位，學(xué)生獲取知識(shí)必須通過(guò)學(xué)生自己一系列思維活動(dòng)完成，教師通過(guò)設(shè)疑、暗示，課堂討論等多種教學(xué)形式和方法，啟發(fā)誘導(dǎo)學(xué)生深入思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生思維靈活、嚴(yán)謹(jǐn)、深刻等良好思維品質(zhì)．

第三篇：用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式教案

用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式

在明確數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)的基礎(chǔ)上，我們來(lái)共同研究它在不等式證明中的應(yīng)用．

例1 已知x＞－1，且x≠0，n∈N，n≥2．求證：(1＋x)n＞1＋nx．

證：(1)當(dāng)n=2時(shí)，左邊=(1＋x)2=1＋2x＋x2，右邊=1＋2x，因x2＞0，則原不等式成立．

(在這里，一定要強(qiáng)調(diào)之所以左邊＞右邊，關(guān)鍵在于x2＞0是由已知條件x≠0獲得，為下面證明做鋪墊)

(2)假設(shè)n=k時(shí)(k≥2)，不等式成立，即(1＋x)k＞1＋kx．

師：現(xiàn)在要證的目標(biāo)是(1＋x)k1＞1＋(k＋1)x，請(qǐng)同學(xué)考慮．

+

師：現(xiàn)將命題轉(zhuǎn)化成如何證明不等式

(1＋kx)(1＋x)≥1＋(k＋1)x．顯然，上式中“=”不成立．故只需證：(1＋kx)(1＋x)＞1＋(k＋1)x．

提問(wèn)：證明不等式的基本方法有哪些？

(學(xué)生可能還有其他多種證明方法，這樣培養(yǎng)了學(xué)生思維品質(zhì)的廣闊性，教師應(yīng)及時(shí)引導(dǎo)總結(jié))

師：這些方法，哪種更簡(jiǎn)便，更適合數(shù)學(xué)歸納法的書寫格式？學(xué)生丙用放縮技巧證明顯然更簡(jiǎn)便，利于書寫．

當(dāng)n=k＋1時(shí)，因?yàn)閤＞－1，所以1＋x＞0，于是

左邊=(1＋x)k1=(1＋x)k(1＋x)＞(1＋x)(1＋kx)=1＋(k＋1)x＋kx2； 右邊=1＋(k＋1)x． +

因?yàn)閗x2＞0，所以左邊＞右邊，即(1＋x)k1＞1＋(k＋1)x．這就是說(shuō)，原不等式當(dāng)n=k

＋＋1時(shí)也成立．

根據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)任何不小于2的自然數(shù)n都成立．

(通過(guò)例1的講解，明確在第二步證明過(guò)程中，雖然可以采取證明不等式的有關(guān)方法，但為了書寫更流暢，邏輯更嚴(yán)謹(jǐn)，通常經(jīng)歸納假設(shè)后，要進(jìn)行合理放縮，以達(dá)到轉(zhuǎn)化的目的)

例2 證明：2n＋2＞n2，n∈N＋．

證：(1)當(dāng)n=1時(shí)，左邊=21＋2=4；右邊=1，左邊＞右邊．所以原不等式成立．

(2)假設(shè)n=k時(shí)(k≥1且k∈N)時(shí)，不等式成立，即2k＋2＞k2．

現(xiàn)在，請(qǐng)同學(xué)們考慮n=k＋1時(shí)，如何論證2k1＋2＞(k＋1)2成立．

+

師：將不等式2k2－2＞(k＋1)2，右邊展開后得：k2＋2k＋1，由于轉(zhuǎn)化目的十分明確，所以只需將不等式的左邊向k2＋2k＋1方向進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即：2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3．

由此不難看出，只需證明k2－2k－3≥0，不等式2k2－2＞k2＋2k＋1即成立．

師：由于使不等式不成立的k值是有限的，只需利用歸納法，將其逐一驗(yàn)證原命題成立，因此在證明第一步中，應(yīng)補(bǔ)充驗(yàn)證n=2時(shí)原命題成立，那么，n=3時(shí)是否也需要論證？

師：(補(bǔ)充板書)當(dāng)n=2時(shí)，左=22＋2=6，右=22=4，所以左＞右；當(dāng)n=3時(shí)，左=23＋2=10，右=32=9，所以左＞右．因此當(dāng)n=1，2，3時(shí)，不等式成立．(以下請(qǐng)學(xué)生板書)

(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥3且k∈N)時(shí)，不等式成立．即2k＋2＞k2．因?yàn)?k1＋2=2·2k＋2=2(2k

+＋2)－2＞2k2－2=k2＋2k＋1＋k2－2k－3=(k2＋2k＋1)＋(k＋1)(k－3)(因k≥3，則k－3≥0，k＋1＞0)

≥k2+2k＋1=(k＋1)2． 所以2k1＋2＞(k＋1)2．故當(dāng)n=k＋1時(shí)，原不等式也成立．根

+據(jù)(1)和(2)，原不等式對(duì)于任何n∈N都成立．

師：通過(guò)例2可知，在證明n=k＋1時(shí)命題成立過(guò)程中，針對(duì)目標(biāo)k2＋2k＋1，采用縮小的手段，但是由于k的取值范圍(k≥1)太大，不便于縮小，因此，用增加奠基步驟(把驗(yàn)證

n=1．?dāng)U大到驗(yàn)證n=1，2，3)的方法，使假設(shè)中k的取值范圍適當(dāng)縮小到k≥3，促使放縮成功，達(dá)到目標(biāo)．

例3 求證：當(dāng)n≥2時(shí)，(在這里，學(xué)生極易出現(xiàn)錯(cuò)誤，錯(cuò)誤的思維定勢(shì)認(rèn)為從n=k到n=k＋1時(shí)，只增加一項(xiàng)，求和式中最后一項(xiàng)即為第幾項(xiàng)的通項(xiàng)，教師在這里要著重分析，化解難點(diǎn)．)

問(wèn)題的特點(diǎn)，巧妙合理地利用“放縮技巧”，使問(wèn)題獲得簡(jiǎn)捷的證明：

題的轉(zhuǎn)化途徑是：

師：設(shè)S(n)表示原式左邊，f(n)表示原式右邊，則由上面的證法可知，從n=k到n=k＋1命

要注意：這里S＇(k)不一定是一項(xiàng)，應(yīng)根據(jù)題目情況確定．

第四篇：用均值不等式證明不等式

用均值不等式證明不等式

【摘要】：不等式的證明在競(jìng)賽數(shù)學(xué)中占有重要地位．本文介紹了用均值不等式證明幾個(gè)不等式，我們?cè)谧C明不等式時(shí)，常用到均值不等式。要求我們要認(rèn)真分析題目，本文通過(guò)幾個(gè)國(guó)內(nèi)外競(jìng)賽數(shù)學(xué)的試題，介紹用均值不等式證明初等不等式的基本方法及技巧。

【關(guān)鍵詞】：均值不等式；不等式；方法；技巧

均值不等式

設(shè) a1、a2、?、an 是 n 個(gè) 正數(shù)，則不等式H(a)?G(a)?A(a)?Q(a)稱為均值不等式[1]．其中

H(a)?

n

1a

1?1a

2???

1an，G(a)?

a1a2a1a?an，A(n)?

a1?a2???an

n

22，2

Q(n)?

a1?a2???an

n

?、an 的調(diào)和不等式，幾何平均值，算術(shù)平均值，均方根平均分別稱為 a1、a2、值．

例1設(shè)a1、a2、…、an均為正，記

?(n)?n（a1?a2???an

n

?

a1a2?an)

試證：?(n)??(n?1)，并求等號(hào)成立的條件．

證明由所設(shè)條件，得

?(n)??(n?1)

=n（a1?a2???an

n

?

n

a1a2?an)?(n?1)（a1?a2??an?

1n?1

?

n?1

a1a2?an?1)

=a1?a2???an?nna1a2?an?(a1?a2???an?1)?(n?1)n?1a1a2?an?1

=an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n，n?1

???(a1a2?an?1)n?1，有 將G(a)?A(a)應(yīng)用于n個(gè)正數(shù)：an，（a1a2?an?1）

?????????????????

n?1個(gè)

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1

n

?(a1a2?an)n，即

an?(n?1)(a1a2?an?1)n?1?n(a1a2?an)n．

所以?(n)??(n?1)，當(dāng)且僅當(dāng)an?(a1a2?an?1)立．

n?1，即ann?1?a1a2?an?時(shí)等號(hào)成1

此題不只是公式的直接應(yīng)用．代表了均值不等式中需要挖掘信

?、an 的一類題． 息找a1、a2、例2設(shè)x?y?z?0，求證：6(x3?y3?z3)2?(x2?y2?z2)3． 證明當(dāng)x?y?z?0時(shí)不等式顯然成立．

除此情況外，x、y、z中至少有一正一負(fù)．不妨設(shè)xy?0，因?yàn)?/p>

z??(x?y)，所以

I?6(x?y?z)?6[x?y?(x?y)]?6[?3xy(x?y)]?54xyz

．

若由此直接用G(a)?A(a)(n?3)，只能得到較粗糙的不等式

I?54xyz?54（x?y?z

2)?2(x?y?z)，3222

3如果改用下面的方法，用G(a)?A(a)，便得

I?54xyz

222

?216

xy2

?

xy2

?z

?xy?xy2???z?

??(2z2?2xy)3，?216???3????

再注意到x2?y2?(x?y)2?2xy?z2?2xy，因而2z2?2xy?x2?y2?z2，于是即得欲證的不等式．

此題解題的關(guān)鍵在于構(gòu)造a1、a2、?、an通常需要拓寬思路多次嘗試，此類也屬均值不等式的?？碱愵}． 例3設(shè)x?0，證明：2

x

?2

x

?2?2

x

．(第16屆全蘇數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題[2])

證明此不等式的外形有點(diǎn)像均值不等式． 由G(a)?A(a)，得

x?2

x

x

?2

x

?2?2

x

?2

x

?2?2，又

x?2

x

1111

?(x12x4)2?x6，即得要證的不等式．

結(jié)語(yǔ)

有些不等式則可以利用某個(gè)已經(jīng)證明成立的不等式來(lái)證明(因此多熟悉幾個(gè)比較常見的不等式是有好處的)；有些不等式還要用數(shù)學(xué)歸納法來(lái)證明等等．而且在一個(gè)題目的證明過(guò)程中，也往往不止應(yīng)用一種方法，而需要靈活運(yùn)用各種方法．因此，要培養(yǎng)和提高自己的證題能力。

參考文獻(xiàn)

[1]陳傳理等編．?dāng)?shù)學(xué)競(jìng)賽教程 [M]．北京：高等教育出版設(shè)，1996，(10)：

133-134．

[2]常庚哲等編．高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講座[M]．上海：上海科學(xué)技術(shù)出版社，1987．38-49

第五篇：不等式·用綜合法證明不等式

不等式·用綜合法證明不等式

教學(xué)目標(biāo)

1．掌握兩個(gè)或三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)這一重要定理，并能運(yùn)用它們證明一些不等式．

2．了解綜合法的意義．

3．通過(guò)對(duì)定理及其推論的推導(dǎo)、證明、應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用綜合法進(jìn)行推理論證的能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

用綜合法證明定理及推論的教學(xué)． 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

（一）新課引入

師：我們已學(xué)過(guò)用比較法（求差、求商）證明不等式，它是一種最基本、最常用的方法．請(qǐng)完成以下練習(xí)．

1．證明：x2＋2＞2x（x為實(shí)數(shù)）．

2．請(qǐng)問(wèn)：x2＋1與2x的大小關(guān)系是什么？并證明你的結(jié)論．（教師巡視學(xué)生的解題情況，請(qǐng)學(xué)生將不同的解法板演到黑板上）1．證法1：由（x2+2）-2x=（x-1）2+1≥1＞0，知x2＋2＞2x．

證法2：由（x-1）2≥0，知（x-1）2+1≥1＞0，即x2-2x＋2＞0，則x2＋2＞2x．

師：兩位同學(xué)的證明都正確，他們都是根據(jù)a2≥0（a≥R）．在證法上有區(qū)別嗎？請(qǐng)大家思考．

2．答：x2＋1≥2x．

證法1：由（x2＋1）-2x=x2-2x＋1=（x-1）2≥0，知x2+1≥2x． 證法2：由（x-1）2≥0，① 知x2-2x＋1≥0，則x2+1≥2x． ② 師：同學(xué)們得到的結(jié)論幾乎是一致的，是x2+1≥2x．主要證法已列在黑板上，請(qǐng)大家思考：這些證明是否正確？所采用的方法是什么？

生：都正確．證法一是求差比較法，證法二是??

師：一時(shí)答不出也沒(méi)關(guān)系，證法一用的是求差比較法，至于證法二，我們不妨先問(wèn)問(wèn)寫出證法二的同學(xué)是怎么想出來(lái)的．

生：我一看到是兩個(gè)“平方項(xiàng)”與它們的兩倍“交叉項(xiàng)”比大小，就首先想到了平方公式，這個(gè)完全平方一定是非負(fù)的；然后再根據(jù)不等式性質(zhì)，就得到了結(jié)論；最后就按這個(gè)思路進(jìn)行的證明．

師：他是從已經(jīng)成立的事實(shí)出發(fā)，經(jīng)過(guò)正確推理，得到要證的結(jié)論．也就是說(shuō)他是以公式①為基礎(chǔ)，運(yùn)用不等式的性質(zhì)推出②式，這種利用某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式作為基礎(chǔ)，再運(yùn)用不等式的性質(zhì)推導(dǎo)出所要求證的不等式的方法通常叫做綜合法．

對(duì)于綜合法大家并不陌生，初中的平面幾何題大多是用綜合法加以證明的． 今天我們一起研究如何用綜合法證明不等式（板書課題）．

（二）用綜合法證明不等式 1．綜合法

師：我們已經(jīng)知道用綜合法證明需要一些已經(jīng)證明過(guò)的不等式作為基礎(chǔ)，因此我們應(yīng)先證明出一些最重要、最基本的不等式．

2．定理推導(dǎo)

師：通過(guò)剛才的兩道小題，我們不難得出：如果a，b∈R，那么有（a-b）2≥0．把左邊展開，得a2-2ab＋b2≥0，則a2＋b2≥2ab．這就是課本P8中介紹的定理1．我們采用的是綜合法，課本中是用求差比較法加以證明的．

（把課前準(zhǔn)備好的課本中的這段證明投出來(lái)供大家一起閱讀．此處需實(shí)物投影儀）

證明：a2＋b2-2ab=（a-b）2．

當(dāng)a≠b時(shí)，（a-b）2＞0；當(dāng)a=b時(shí)，（a-b）2=0． 所以（a-b）2≥0，即a2＋b2-2ab≥0．因此a2＋b2≥2ab．

師：值得我們注意的是這是帶有“=”的不等式，取“=”這種特殊情況應(yīng)予以重視．不等式a2＋b2≥2ab中“=”成立的充要條件是什么？ 生：是a=b．

師：充要條件通常用“當(dāng)且僅當(dāng)”來(lái)表達(dá)，“當(dāng)”表示條件是充分的，“僅當(dāng)”表示條件是必要的．所以定理1表述為：

定理1 如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取“=”號(hào)）．（板書）

師：這個(gè)定理的功能是什么？功能往往源于它的結(jié)構(gòu)．

生：公式a2＋b2≥2ab的一邊是和的形式，另一邊是積的形式．我想功能大概是：和可以縮小變成積，積可以放大變成和．

師：雖然語(yǔ)言欠準(zhǔn)確，但其含意是對(duì)的．這個(gè)定理非常重要，且用途廣泛，但由于各項(xiàng)都是二次的，使用時(shí)不太方便，誰(shuí)有辦法將它們的次數(shù)降下來(lái)？

師：大家都同意他的作法嗎？有什么不同意見嗎？

師：同學(xué)們思考問(wèn)題已越來(lái)越嚴(yán)謹(jǐn)了，的確，從學(xué)生甲的方法應(yīng)得到學(xué)生乙的結(jié)論，學(xué)生丙提到的條件是不可缺少的．由于有這個(gè)條件，的情況單獨(dú)提出來(lái)，做為定理1的推論．

“＝”號(hào)）．（板書）

生丁：我與學(xué)生甲的想法不同．既然定理1的a2＋b2≥2ab對(duì)任意

師：學(xué)生丁的想法更自然，他直接利用定理得到推論，這個(gè)推論十 的算術(shù)平均數(shù)不小于（即大于或等于）它們的幾何平均數(shù)． 3．定理的初步應(yīng)用

師：看到這個(gè)問(wèn)題，你的第一想法是什么？ 生：使用定理加以證明．

師：若想定理幫忙，首先要看是否符合定理的條件．

師：再看是否符合定理的結(jié)構(gòu)．

師：實(shí)際上，我們是用定理1的推論進(jìn)行證明的．

（教師把證明過(guò)程板演到黑板上）師：使用定理時(shí)，應(yīng)特別注意：等號(hào)何時(shí)成立，不過(guò)這只要看定理是怎么形成的就可以了．

4．定理的推廣

師：我們已研究得到兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．這個(gè)結(jié)論可以推廣到3，4，?，n（n∈N+）個(gè)正數(shù)，在中學(xué)只要掌握到三個(gè)正數(shù)的相應(yīng)結(jié)論．請(qǐng)問(wèn)應(yīng)是什么？

生：應(yīng)該是：三個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)． 師：用符號(hào)語(yǔ)言應(yīng)如何表述？請(qǐng)寫到黑板上．（學(xué)生書寫在黑板上）

師：如何證明呢？ 生：??

使式子看起來(lái)較為復(fù)雜，能否做適當(dāng)變形使之簡(jiǎn)化呢？

師：想得好，它有條件嗎？ 生：有．同樣是a，b，c∈R+．

師：這個(gè)命題大家能證明出來(lái)嗎？一時(shí)不能完全證出來(lái)也沒(méi)關(guān)系，想出多少說(shuō)多少．

生甲：我覺得證a3＋b3＋c3≥3abc更容易點(diǎn)．它能拆成a3≥abc，b3≥abc，c3≥abc，由條件只要證出a2≥bc，b2≥ac，c2≥ab即可．

生乙：這三個(gè)分著不可能證出來(lái)，不過(guò)合起來(lái)的2a2＋2b2＋2c2≥2bc＋2ac＋2ab很容易證出．

師：雖然他們還沒(méi)能把命題證出，但從他們的發(fā)言中我們得到了一點(diǎn)啟發(fā)：三次的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次的解決． 生?。何易C出來(lái)了．（學(xué)生口述，教師板書）

證明：由于a，b，c∈R+，由定理1，得a2＋b2≥2ab，則a2-ab＋b2≥ab． 所以a3＋b3=（a＋b）（a2-ab＋b2）≥（a＋b）ab=a2b＋ab2，即a3＋b3≥a2b＋ab2．

同理，b3＋c3≥b2c＋bc2，c3+a3≥a2c＋ac2． 三式相加，得

2a3＋2b3＋2c3≥a2b+ab2+b2c＋bc2+a2c+ac2 =b（a2＋c2）+a（b2＋c2）＋c（a2+b2）≥b·2ac＋a·2bc＋c·2ab =2abc+2abc+2abc ＝6abc．

故a3+b3＋c3≥3abc．

師：證得漂亮，你是怎么想出來(lái)的？

生?。何矣X得證這個(gè)題目只能根據(jù)已知條件和定理1及推論．證題時(shí)我又借鑒了他們倆的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)a3，b3，c3的降次轉(zhuǎn)化工作不是一個(gè)、成．

師：他還有兩處處理得很好．一處是：a2-ab＋b2≥ab；另一處是對(duì)三式相加后的式子的重組．很明顯，他是在努力創(chuàng)設(shè)條件、充分利用定理證題．這個(gè)問(wèn)題是用什么方法加以證明的？

生：綜合法．

師：剛才的證明過(guò)程不僅幫我們把問(wèn)題得以解決，而且還幫助我們加深了對(duì)綜合法的認(rèn)識(shí)，從中可體會(huì)到應(yīng)如何使用綜合法證題． 證明此題還有其它辦法嗎？ 生：我是用求差比較法證的．（學(xué)生口述，教師板書）證明：由于a3+b3+c3-3abc =（a＋3）3+c3-3a2b-3ab2-3abc =（a＋b＋c）[（a＋b）2-（a＋b）c＋c2]-3ab（a＋b＋c）=（a＋b＋c）[a2＋2ab+b2-ac-bc＋c2-3ab] =（a＋b＋c）（a2+b2＋c2-ab-ac-bc）

又a，b，c∈R＋，則a＋b＋c＞0．

由（a-b）2≥0，（b-c）2≥0，（c-a）2≥0，知（a-b）2+（b-c）2＋（c-a）2≥0．

進(jìn)而a3＋b3＋c3-3abc≥0．即a3＋b3＋c3≥3abc．

師：正確，而且思路很清晰．這個(gè)思路你是怎么想出來(lái)的？

生：我是一看到這個(gè)題目就想用比較法的．我本以為作差后，能因式分解，再用條件或定理1，就可斷定式子的符號(hào)，題目也就證出來(lái)了，但我第一次兩兩分組就不成功，沒(méi)分解出來(lái)．再試時(shí)，我看a3，b3，c3，3abc這四項(xiàng)都是3次的，就先湊出與之齊次的（a＋b）3再配平，結(jié)果就出來(lái)了．

師：數(shù)學(xué)中很多時(shí)候也是需要試一試、拼拼湊湊的． 其實(shí)，課本中采用的就是這種證法．

這同樣是帶有“=”的不等式，我們?nèi)孕柩芯科洹?”成立的充要條件．從剛才的證明過(guò)程看，“=”出現(xiàn)在（a-b）2＋（b-c）2＋（c-a）2≥0中，這是顯然有：當(dāng)且僅當(dāng)a=b，b=c，c=a同時(shí)成立，即a=b=c時(shí)等號(hào)成立． 至此，我們已得到了定理2及其推論．（教師板書）

定理2 如果a，b，c∈R+，那么a3＋b3＋c3≥3abc（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)取“=”號(hào)）．

時(shí)取“=”號(hào)）．

師：這個(gè)定理及推論同樣是非常重要而且廣泛的．它的證明方法遠(yuǎn)不只上述這些，推論也可直接證得，同學(xué)們不妨課下試一試．

（三）小結(jié)

（引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)）

1．已學(xué)過(guò)的不等式證明方法：比較法、綜合法． 2．用綜合法證明不等式的依據(jù)是什么？（1）已知條件和不等式性質(zhì)；（2）基本不等式：

“＝”號(hào)）．

3．綜合法與比較法的內(nèi)在聯(lián)系．

本節(jié)課的課前兩個(gè)練習(xí)與兩個(gè)定理的證明都是既用了比較法，又用了綜合法，這引起了我們對(duì)二者內(nèi)在聯(lián)系的思考． 由于作為綜合法證明依據(jù)的不等式本身是可以根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法證出的，所以用綜合法可以獲證的不等式往往可以直接根據(jù)不等式的意義、性質(zhì)或比較法來(lái)證明．

擺在我們面前的問(wèn)題恐怕是方法的選擇．方法選擇不當(dāng)，不是證不出來(lái)就是難度加大；方法合理使用，會(huì)使題目難度大大下降．因此我們不要學(xué)過(guò)某種方法就抱定不放，要善于觀察，根據(jù)題目的特征選擇證題方法．

顯然，對(duì)于需用基本不等式證明的問(wèn)題，直接用結(jié)論要比再?gòu)念^證一遍容易很多．

4．注意：

（1）定理使用的條件．

只有a2＋b2≥2ab是對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b都成立，其余都要求在正數(shù)范圍內(nèi)．（2）定理中“=”號(hào)成立的條件．

（四）布置作業(yè)

《高級(jí)中學(xué)課本·代數(shù)·下冊(cè)（必修）》（人教社90年版98年印刷）P11練習(xí)1，2．

補(bǔ)充題：

（1）已知：a，b∈R，求證：a2＋b2＋1≥a＋b＋ab．

課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

這節(jié)課是本章（第五章、不等式）的重點(diǎn)．在這堂課中不僅要講授證明不等式的一種方法——綜合法，而且還要介紹兩個(gè)基本而又重要的不等式定理及推論．在這二者關(guān)系的處理上，我們發(fā)現(xiàn)：要使用綜合法證明不等式就需要一些最重要、最基本的不等式作為基礎(chǔ)，而證明得到它們時(shí)又可采用綜合法．因此，我們?cè)谡n前設(shè)計(jì)了兩個(gè)練習(xí)題，尤其是稍放開一點(diǎn)的第2題，如果學(xué)生能自覺不自覺地用初中已很常用而沒(méi)正式講過(guò)的綜合法的思考方法解題，綜合法的引入就會(huì)很自然，即使生沒(méi)有想到，教師點(diǎn)撥起來(lái)也并不困難．而后順著學(xué)生用綜合法的需要，介紹了4個(gè)基本不等式，在它們的證明過(guò)程中，使用綜合法，幫助學(xué)生掌握如何用綜合法證明不等式．

從教學(xué)設(shè)計(jì)上，我們力圖從學(xué)生的需要出發(fā)，適時(shí)地設(shè)計(jì)一系列問(wèn)題，幫助學(xué)生抓住知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)到的公式、方法能用、會(huì)用，而不是只支離破碎地記住了一些名詞和公式． 表面上看，本節(jié)練習(xí)不夠，但實(shí)際上，定理2及推論的證明正是最好的練習(xí)．構(gòu)思這個(gè)證明，起點(diǎn)要高、思維跨度要大．這正是鍛煉學(xué)生思維，培養(yǎng)學(xué)生推理論證能力的絕對(duì)機(jī)會(huì)．我們認(rèn)為：最好的習(xí)題就是定理本身的推證過(guò)程．這里又是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，在此花點(diǎn)功夫、適當(dāng)展開是應(yīng)當(dāng)?shù)?；同時(shí)學(xué)生對(duì)用綜合法證明不等式會(huì)有更深刻的體驗(yàn)．因此講透它比做幾個(gè)練習(xí)更有意義． 對(duì)于幾何證法、三角證法等基本不等式的證明方法，由于擔(dān)心會(huì)沖淡學(xué)生對(duì)綜合法的認(rèn)識(shí)，在本節(jié)中并未提及．

在課堂教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生有可能直接證出定理2的推論，這也無(wú)妨．一般來(lái)講，它同樣是要用到兩項(xiàng)的結(jié)論（定理1或其推論）去證的．課上應(yīng)就學(xué)生的實(shí)際，順其自然．