第一篇：例說(shuō)一類(lèi)與數(shù)列求和有關(guān)的不等式的證明方略

例說(shuō)一類(lèi)與數(shù)列求和有關(guān)的不等式的證明方略.李新偉

廣東省南雄市第一中學(xué) 512400 摘 要：與數(shù)列求和有關(guān)的不等式在近年高考題中頻繁出現(xiàn)，但卻是考生感到困難的一類(lèi)題目。這類(lèi)題雖然無(wú)固定的模式和方法，但還是可以總結(jié)出若干解題方向和策略。主要有先求和后放縮、先放縮后求和策略。

關(guān)鍵詞：數(shù)列；求和；不等式

1．考題頻現(xiàn)考能力，細(xì)細(xì)品味有規(guī)循

近幾年，形如“?ai?M(或?ai?f(n))，?ai?M(或?ai?f(n))，其

i?1i?1i?1i?1nnnn中M為常數(shù)”的與數(shù)列求和有關(guān)的不等式頻頻出現(xiàn)在各地高考或高考模擬試題中，而且常常是壓軸題、創(chuàng)新題，如2004年全國(guó)卷三22（Ⅲ）、2005年遼寧19（2）、2006年全國(guó)Ⅰ理22（2）、2007年浙江理21（3）等等。由于這類(lèi)題涉及多知識(shí)、多方法的交匯，條件與結(jié)論間的跨度大，解這類(lèi)題常常要用到放縮法，而對(duì)解題方向的判斷和放縮程度的把握要求高，能充分檢測(cè)學(xué)生觀(guān)察、分析、聯(lián)想、靈活和綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)分析解決問(wèn)題能力，因此受到命題者青睞。學(xué)生面對(duì)這類(lèi)試題往往感到難度大，無(wú)從入手，甚至有如墜云里霧里之感。

不過(guò)，雖然這類(lèi)問(wèn)題確有較大難度，但細(xì)心分析還是有規(guī)律可循。從解題方向上看主要有：（1）先求和再放縮 ；（2）先放縮再求和；（3）利用數(shù)學(xué)歸納法證明；（4）構(gòu)造函數(shù)證明等。從解題策略上看，主要應(yīng)重視對(duì)不等式結(jié)構(gòu)特征和通項(xiàng)特征進(jìn)行細(xì)微分析，初步明確證題方向?？上惹蠛驮俜趴s的題目，一般較簡(jiǎn)單；而需要先放縮再求和的題目一般難度較大，這類(lèi)題往往要從待證的不等式出發(fā)，逆向探路，放縮轉(zhuǎn)化，先變?yōu)榈炔顢?shù)列求和、等比數(shù)列求和、裂項(xiàng)求和或錯(cuò)位相減法求和等我們熟悉的數(shù)列求和問(wèn)題，最終通過(guò)適當(dāng)?shù)淖冃位蚍趴s獲證。2．執(zhí)果溯因探路徑，放縮求和巧證明 2．1先求和，再放縮證明

例1(2005年高考湖南（文）16)已知數(shù)列{log2(an?1)}(n?N?)為等差數(shù)列，且a1?3，a3?9，（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）證明

?????1。

a2?a1a3?a2an?1?an解：（1）過(guò)程略，an?2n?1(n?N?)。

（2）證明：∵對(duì)任意n?N?，恒有

111，?n?1?nnan?1?an2?22∴1111111??????2?3???n

a2?a1a3?a2an?1?an222211[1?()n]12 ?2?1?()n?1。

121?2評(píng)析：對(duì)于與數(shù)列求和有關(guān)的不等式，若能先求和，我們常常會(huì)先求和，再考慮用放縮法證明。能先求和的這類(lèi)題一般較簡(jiǎn)單，因此常為文科考題。2．2先放縮，再求和證明

對(duì)于求和困難的形如“?ai?M或?ai?M，其中M為常數(shù)”的不等式，i?1i?1nn很多情況下用數(shù)學(xué)歸納法也往往難于湊效。這時(shí)我們常用先放縮再求和證明或?qū)⑵浼訌?qiáng)為形如?ai?f(n)或?ai?f(n)的不等式，再考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明。

i?1i?1nn2．2．1逐項(xiàng)放縮，再求和證明

例2．已知函數(shù)f(x)?x2?4，設(shè)曲線(xiàn)y?f(x)在點(diǎn)(xn,f(xn))處的切線(xiàn)與x軸的交點(diǎn)為(xn?1,0)(n?N?)。

（1）用xn表示xn?1；（2）若x1?4，記an?lgxn?2，證明：數(shù)列{an}是等xn?2比數(shù)列，并求數(shù)列{xn}的通項(xiàng)公式；（3）x1?4，bn?xn?2，Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和，證明：Tn?3。

解：（1）過(guò)程略，xn?1xn?42(32?1)?。（2）過(guò)程略，xn?2n?1。

2xn3?12n?1 2

（3）由（2）知xn?n?12(323n?1?1)?12n?1，于是bn?xn?2?432n?1?1?0。

bn?132?11111?2n?1?2n?1?2n?1?21?1?, ∵bn33?13?133當(dāng)n?1時(shí)，顯然T1?b1?2?3，111當(dāng)n?1時(shí)，bn?bn?1?()2bn?2???()n?1b1，333∴Tn?b1?b2???bn?11b1[1?()n]1113?b1?b1???()n?1b1??3?3()n?3

13331?3綜上可得，對(duì)于任意n?N?，Tn?3。

評(píng)析：考慮到數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式中有指數(shù)式，而待證不等式右邊為常數(shù)，于是聯(lián)想到等比數(shù)列求和問(wèn)題，我們嘗試?yán)眠f推放縮的方法構(gòu)造等比數(shù)列。將非特殊數(shù)列向特殊數(shù)列轉(zhuǎn)化，這是本文的一個(gè)主體思想和關(guān)鍵策略。2．2．2局部放縮，再求和證明

例1（3）也可以采取局部放縮，再求和證明。

另證：易得b1?2，b2?時(shí)，bn?432n?111141，于是猜想當(dāng)n?3b3??2，b4?8?3，22023?12?14?12n?1。

132n?1由于32n?132n?1?1?12n?1??1?12n?1?32n?1?2n?1?1，所以下面只需證?2n?1?1。下面利用二項(xiàng)式定理證明：

因?yàn)楫?dāng)n?3，n?N?時(shí)，01n?1∵2n?1?(1?1)n?1?Cn?1?Cn?1???Cn?1?1?n?1?1?n?1，∴32n?10n?11nn?1n?1?3n?1?(2?1)n?1?Cn?Cn?1。?12?12???Cn?1?2所以，當(dāng)n?1時(shí)，顯然T1?b1?2?3； 當(dāng)n?2，Tn?b1?b2???bn?2?111?2???n?1 222 3

11[1?()n?1]12?3?()n?1?3。?2?2121?2故對(duì)于任意n?N?，Tn?3。

評(píng)析：從數(shù)列{bn}的通項(xiàng)結(jié)構(gòu)我們猜想應(yīng)將{bn}放縮為一個(gè)等比數(shù)列。通過(guò)計(jì)算，我們從第三項(xiàng)開(kāi)始通過(guò)放縮發(fā)現(xiàn)了數(shù)列{bn}的項(xiàng)所呈現(xiàn)的規(guī)律性，對(duì)于本題的證明，這是重大突破。此外，本題從第3項(xiàng)開(kāi)始放縮，恰當(dāng)使用了局部放縮。G.波利亞曾說(shuō)：“先猜，后證——這是大多數(shù)的發(fā)現(xiàn)之道?！毕炔潞笞C，也是我們常用的數(shù)學(xué)解題方法和策略。2．2．3并項(xiàng)放縮，再求和證明

例3．由原點(diǎn)O向已知的三次曲線(xiàn)y?x3?3x2?bx引切線(xiàn)，切于不同于點(diǎn)O的點(diǎn)P1(x1,y1)，再由P1引此曲線(xiàn)的切線(xiàn)，切于不同P1的點(diǎn)P2(x2,y2)，如此繼續(xù)作下去，??，得到點(diǎn)列{Pn(xn,yn)}（n?N?）。試解答下列問(wèn)題：

（1）求x1的值；（2）求數(shù)列{xn}通項(xiàng)公式；（3）若bn?前n項(xiàng)和，求證：Sn?1。

解：（1）過(guò)程略，易得x1?31。（2）過(guò)程略，易得xn?1?(?)n（n?N?）。221，Sn是數(shù)列{bn}2nxn1（3）∵xn?1?(?)n，2111?n∴bn?n?。n12?(?1)2xn2n[1?(?)n]22n?2n?11?n?1n當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn?1?bn?n?1 ?nnn?122?2?2?12?12?112n?2n?1?n?1n，n?122?2?1又當(dāng)n?2時(shí)，2n?1?2?1，即2n?1?1?0，于是

2n?2n?111bn?1?bn?n?1n?n?1?n，2222

∴Sn?b1?b2???bn?(b1?b2)?(b3?b4)???(bn?1?bn)

11[1?()n]11111112?(?2)?(3?4)???(n?1?n)?2?1?n?1。

122222221?2當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，因?yàn)閎n?1?0，n?1偶數(shù)，所以有 n2xnSn?b1?b2???bn?b1?b2???bn?bn?1

111111?(b1?b2)?(b3?b4)???(bn?bn?1)?(?2)?(3?4)???(n?n?1)

22222211[1?()n?1]12?2?1?n?1?1。

121?2綜上可知，Sn?1。

評(píng)析：由于數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式的分母中有隨n的奇偶+1與-1交替出現(xiàn)的項(xiàng)，于是單項(xiàng)放縮困難，而采取奇偶項(xiàng)并項(xiàng)放縮，則恰好利用其奇偶項(xiàng)特點(diǎn)，成功放縮。

例4．已知數(shù)列{an}和{bn}滿(mǎn)足a1?2，an?1?an(an?1?1)，bn?an?1，Sn是數(shù)列{bn}前n項(xiàng)和。

（1）求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)Tn?S2n?Sn，求證：Tn?1?Tn；（3）求證：對(duì)任意的n?N?，有1?解：（1）過(guò)程略，bn?n1?S2n??n。221。（2）證明略。n（3）方法一（數(shù)學(xué)歸納法），略。

方法二（并項(xiàng)放縮法）：

當(dāng)n?1時(shí)，S2n?1?1； 2

當(dāng)n?2，n?N?時(shí)，S2n?b1?b2???b2n?1?111111111??????????n 234567892 5

1111111111?(?)?(???)???(n?1?n?1???n)23456782?12?221111111111?1??(?)?(???)???(n?n???n)

24488882221111?1??2?2?22?3???2n?1?n

2222111n?1??????1?，2222?1?另一方面，S2n?b1?b2???b2n?1?111111111??????????n 234567892

?1111111111111?1?(?)?(???)?(????)?(n?1?n?1???n)2345678910162?12?22

?1111111111111?1?(?)?(2?2?2?2)?(3?3???3)?(n?1?n?1???n?1)***111??1?2??22?2?23?3???2n?1?n?1 2222211??1?(n?1)??n，22n1綜上可知，對(duì)任意的n?N?，有1??S2n??n。

22評(píng)析：從待證不等式的特點(diǎn)和項(xiàng)數(shù)兩方面產(chǎn)生了并項(xiàng)放縮的想法。并項(xiàng)放縮常常涉及如何并項(xiàng)、怎樣放縮等問(wèn)題，因此，并項(xiàng)放縮比逐項(xiàng)放縮往往難度更大，要求更高。

2．2．4構(gòu)造放縮，再求和證明 例5．在數(shù)列{an}中，an?11，求證a1?a2???a50?。

(2n?1)(2n?2)4證明：由題設(shè)，a1?a2???a50?111。????3?45?6101?102111111設(shè)S?，構(gòu)造T?。顯????????3?45?6101?1022?34?5100?101然S?T。

111111 ???????2?33?44?55?6100?101101?10211111111111?(?)?(?)???(?)?(?)???，***221022∴2S?T?S? 6

故S?11，即a1?a2???a50?。

評(píng)析：本題雖然可先裂項(xiàng)，但不便求和，證明受阻。利用對(duì)偶式進(jìn)行構(gòu)造性放縮后，巧妙實(shí)現(xiàn)了裂項(xiàng)求和，證明簡(jiǎn)捷明快，賞心悅目。

例6．設(shè)函數(shù)f(x)?lnx?px?1(p?R)，（1）求f(x)極值點(diǎn)；

（2）當(dāng)p?0時(shí)，若對(duì)于任意的x?0，恒有f(x)?0，求p的取值范圍；

ln22ln32lnn22n2?n?1（3）證明：當(dāng)n?N，n?2時(shí)，2?2???2?。

2(n?1)23n解：（1）f(x)的定義域?yàn)?0,??)。當(dāng)p?0時(shí)，f?(x)?1 ?p?0，f(x)在其定義域上是增函數(shù)，故沒(méi)有極值點(diǎn)。

x111?px當(dāng)p?0時(shí)，若x?(0,)，則f?(x)??0；若x?(,??)，則

ppxf?(x)?11?px?0，于是f(x)有極小值點(diǎn)x?。

px11（2）由（1）知，p?0時(shí)，f(x)有極小值點(diǎn)f()?ln，由于f(x)在其

pp11定義域上只有一個(gè)極值點(diǎn)，因此f(x)的最大值為f()?ln。所以

ppf(x)?0?ln1?0?p?1。p（3）由（2）知，當(dāng)p?1，x?0時(shí)，f(x)?0?lnx?x?1?ln22ln32lnn2111于是2?2???2?(1?2)?(1?2)???(1?2)

23n23nlnx1 ?1?。

xx ?(n?1)?(又當(dāng)n?N，n?2時(shí)，111????)。22223n1111???，于是 2(n?1)nnn?1n 7

11111111111，?????(?)?(?)???(?)??2334nn?12n?12232n2ln22ln32lnn2111∴2?2???2?(n?1)?(2?2???2)

23n23n2n2?n?111 ?(n?1)?(?，)?2(n?1)2n?1ln22ln32lnn22n2?n?1即2?2???2?。

2(n?1)23n評(píng)析：導(dǎo)數(shù)進(jìn)入中學(xué)數(shù)學(xué)后，為中學(xué)不等式證明提供了一個(gè)強(qiáng)大工具。正因?yàn)槿绱?，通過(guò)構(gòu)造函數(shù)并利用導(dǎo)數(shù)證明不等式已成為高考數(shù)學(xué)試題中一道亮麗的風(fēng)景線(xiàn)。本題第（2）問(wèn)實(shí)際上已經(jīng)作出暗示，對(duì)比待證不等證式與第（2）問(wèn)所得結(jié)論，證明思路自然生成。

第二篇：強(qiáng)化命題證明一類(lèi)數(shù)列不等式

該文發(fā)表于《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》2006年第12期

強(qiáng)化命題證明一類(lèi)數(shù)列不等式

201203華東師大二附中任念兵數(shù)列不等式是近年來(lái)高考和競(jìng)賽中的熱點(diǎn)題型，其中一類(lèi)形如

i?n0?n1?C（C為常數(shù)）ai的證明題難度較大.由于此類(lèi)不等式的右邊是常數(shù)，所以數(shù)學(xué)歸納法證明無(wú)法實(shí)現(xiàn)歸納過(guò)渡，但通過(guò)對(duì)歸納過(guò)渡過(guò)程的研究,可以放縮右邊的常數(shù),將命題加強(qiáng)為

i?n0?an1i?C?1,其中g(shù)ng?n??0表示關(guān)于正整數(shù)n的函數(shù)式,從而可以構(gòu)造單調(diào)遞減數(shù)列巧妙的證明這類(lèi)問(wèn)題.例1：求證：?1

9111?????n?N*? 2252n?14

91111???????????（1）252n?124gn分析：①首先假設(shè)命題可以強(qiáng)化為?

接著思考的問(wèn)題自然是：要使加強(qiáng)命題成立，g?n?應(yīng)滿(mǎn)足什么條件呢？

②既然加強(qiáng)命題（1）成立，則可以利用數(shù)學(xué)歸納法加以證明：

111.??????????????????????????(2)n?1時(shí), ??94g1歸納假設(shè)?1

91111?????,接下來(lái)要證 252k?124gk111111?????????????????????(3)229254gk?12k?12k?3而由歸納假設(shè)只能得到?1

9111111???????.如果能證得252k?122k?324gk2k?32

11111????，即 4gk2k?324gk?1111??.???????????????????????(4)gkgk?12k?32

則可以由不等式的傳遞性知道（3）式成立，從而由歸納法原理證明了加強(qiáng)命題（1）.從上述分析可知, g?n?必須同時(shí)滿(mǎn)足(2)(4)兩式.③明確g?n?應(yīng)滿(mǎn)足的條件后,我們就可以“確定”g?n?的表達(dá)式了.觀(guān)察(4)式的結(jié)構(gòu),不等式右邊分母是二次多項(xiàng)式,于是我們考慮到,如果g?n?是一次多項(xiàng)式,則不等式左邊通分后也是一個(gè)二次多項(xiàng)式,這樣(4)式就轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二次多項(xiàng)式的比較,從而可以通過(guò)g?n?的系數(shù)控制使(4)式成立.設(shè)g?n??an?b(a,b為待定的常數(shù)), 將g?n??an?b代入(4)式知

a?2k?3?2??ak?b??ak?a?b?對(duì)k?N*恒成立,整理得

4ak2?12ak?9a?a2k2?2ab?a2k?b?a?b?對(duì)k?N*恒成立,比較各項(xiàng)系數(shù)得

a?4,b?4.又因?yàn)間?n??an?b同時(shí)滿(mǎn)足(2)式,代入得a?b???36.所以,不妨取a?4,b?4,5

即得g?n??4n?4.從而,原不等式可以加強(qiáng)為:

11111

?n?N*?.???????????????(5)??????

9252n?1244n?4

④將上述分析過(guò)程略加整理就能得到加強(qiáng)命題的數(shù)學(xué)歸納法證明,而下面利用數(shù)列單調(diào)性的方法更為簡(jiǎn)捷.證明:記f?n??

f?n?1??f?n??

1111?????,則有 9252n?124n?4

2n?32

?

1111

??2?2?0即f?n?單調(diào)遞

4n?1?44n?44n?12n?94n?12n?8

減,故f?n??f?1??

??,加強(qiáng)命題(5)得證.984

注:上述證明的關(guān)鍵步驟f?n?1??f?n??0實(shí)際上就是分析過(guò)程中的(4)式.我們不難發(fā)現(xiàn)處理此類(lèi)問(wèn)題的一般步驟是:首先假設(shè)加強(qiáng)命題

i?n0

?

n

成立,?C?

aign接著明確g?n?應(yīng)滿(mǎn)足的條件，然后確定g?n?的表達(dá)式，最后構(gòu)造單調(diào)遞減數(shù)列完成巧妙的證明.按照這樣的思路我們?cè)倏聪旅鎯蓚€(gè)例子:

11115

例2:求證:?2?3???n??n?N*?.2?12?12?12?13分析: 假設(shè)加強(qiáng)命題為：

111151

.g?n?應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足?2?3???n??2?12?12?13gn2?1

151

.?????????????????????????(6)??

2?13g1111

.?????????????????????(7)??k?1

gkgk?12?1

觀(guān)察(7)式的結(jié)構(gòu),不等式右邊的分母是指數(shù)結(jié)構(gòu),因此我們考慮g?n?是指數(shù)結(jié)構(gòu).設(shè)

和

g?n??a?2n,將g?n??a?2n代入(8)式知a?2k?1?2k?1?1恒成立,故有a?1.又因?yàn)?/p>

g?n??a?2n同時(shí)滿(mǎn)足(6)式,代入得a?

3377

.因此得?a?1,不妨取a?,即得g?n???2n,4848

以下略.例3: 已知正整數(shù)n?1,求證: 1?分析: 假設(shè)加強(qiáng)命題為：1?1?

1119

?????.2！3！n!5

11191

.g?n?應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足??????

2！3！n!5gn191

.?????????????????????????(8)??

25g2111

.?????????????????????(9)??

gkgk?1k?1!

k

?1對(duì)k?2恒成立,故有a?2.又因?yàn)間?n??a?n!同時(shí)滿(mǎn)足(8)式,a

和

觀(guān)察(9)式的結(jié)構(gòu),不等式右邊是階乘結(jié)構(gòu),因此我們考慮g?n?是階乘結(jié)構(gòu).設(shè)g?n??a?n!.將

g?n??a?n!代入(9)式知

代入得a?

.因此得?a?2,不妨取a?2,即得g?n??2?n！,以下略.33

本文舉例探討了如何強(qiáng)化命題來(lái)證明不等式

i?n0

n

n

?a

n

i

?C，這里有幾點(diǎn)需要加以說(shuō)明:

①將

i?n0

?

111,關(guān)鍵是明確g?n?應(yīng)滿(mǎn)足的條件和g?n?的式子結(jié)構(gòu).?C強(qiáng)化為?C?aiagni?ni

?

根據(jù)數(shù)學(xué)歸納法的思考過(guò)程可以確定g?n?應(yīng)滿(mǎn)足的條件，而g?n?的式子結(jié)構(gòu)是由an決定的:

若an是多項(xiàng)式則g?n?是多項(xiàng)式,若an是指數(shù)結(jié)構(gòu)則g?n?是指數(shù)結(jié)構(gòu),如此等等.然后,利用待定系數(shù)法便可求出合理的g?n?（這樣的g?n?往往不唯一,但系數(shù)有范圍限制）.②強(qiáng)化命題后,我們利用數(shù)列的單調(diào)性來(lái)證明加強(qiáng)命題,這不僅簡(jiǎn)化了證明過(guò)程,而且縮小了

i?n0

?

n

17341的上界.如例1的上界可以縮小為,例2的上界可以縮小為，例3的上界可以縮小

7221ai

為.另外，我們還可以通過(guò)改變待定系數(shù)來(lái)調(diào)整g?n?,進(jìn)一步縮小的上界.a4ii?n

?

n

③本文研究的不等式

i?n0

n

?

n

都是收斂?C具有深刻的高等數(shù)學(xué)背景.實(shí)際上,這些級(jí)數(shù)

aiaii?n

?

?的,i?n0

n

?

?C就是對(duì)收斂級(jí)數(shù)的上界估計(jì).如例3的背景是級(jí)數(shù)ai

?

?i!?e?1,因此有

i?1

?

近年來(lái)的各地高考中以高等數(shù)學(xué)知識(shí)為背景的問(wèn)題頻??i!?e?1?5.值得一提的是，i?1

i?1

?i!

頻出現(xiàn)，例2實(shí)際上就是從2006年高考福建卷的壓軸題的關(guān)鍵步驟中提煉出來(lái)的問(wèn)題.

第三篇：數(shù)列求和說(shuō)課

數(shù)列求和說(shuō)課

一、教學(xué)內(nèi)容：

數(shù)列求和是高考中的必考內(nèi)容，在高考中占據(jù)著非常重要的地位，學(xué)好數(shù)列求和對(duì)于高考成功起著非常關(guān)鍵的作用。數(shù)列求和方法中涵蓋有倒序相加法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、拆項(xiàng)重組法等幾種方法。

二、教學(xué)對(duì)象：

高三（8）班學(xué)生

三、教學(xué)重點(diǎn)：

一些特殊數(shù)列的求和。

四、教學(xué)難點(diǎn)：

準(zhǔn)確分析數(shù)列特征，選擇合適的數(shù)列求和方法。

五、教學(xué)目標(biāo)分析：

1、知識(shí)目標(biāo)：掌握數(shù)列求和的常見(jiàn)方法，并能運(yùn)用這些方法解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)列求和問(wèn)題；

2、能力目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

3、情感目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，鍛煉學(xué)生遇到困難不氣餒的堅(jiān)強(qiáng)意志和勇于創(chuàng)新的精神。

六、學(xué)生情況分析：

高三（8）班是高三藝術(shù)重點(diǎn)班。班上學(xué)生基礎(chǔ)知識(shí)掌握相較于其他藝術(shù)班比較踏實(shí)，但是相對(duì)于文化班的學(xué)生來(lái)說(shuō)還是比較薄弱。所以在教學(xué)時(shí)應(yīng)適當(dāng)考慮學(xué)生的實(shí)際水平盡量將

七、教學(xué)方法分析：

教法：數(shù)學(xué)是一門(mén)培養(yǎng)和發(fā)展人的思維的重要學(xué)科，因此在教學(xué)中不僅要讓學(xué)生“知其然”，還要“知其所以然”，為了體現(xiàn)以學(xué)生發(fā)展為本，遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，體現(xiàn)循序漸進(jìn)和啟發(fā)式教學(xué)原則，我進(jìn)行這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)：在教師的引導(dǎo)下，創(chuàng)設(shè)情景，通過(guò)開(kāi)放式問(wèn)題的設(shè)置來(lái)啟發(fā)學(xué)生進(jìn)行思考，在思考中體會(huì)特殊數(shù)列蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)方法和思想，使之獲得內(nèi)心感受。同時(shí)依據(jù)藝術(shù)班學(xué)生的特殊性在教學(xué)上盡量將有關(guān)數(shù)列的內(nèi)容和公式詳盡的給學(xué)生說(shuō)明。

教學(xué)手段：利用多媒體和PPT軟件進(jìn)行輔助教學(xué)。

八、教學(xué)情境分析：

1、引入：利用歷年高考中的真題引出數(shù)列求和在高三學(xué)生學(xué)習(xí)中的重要性。

2、內(nèi)容講解：在介紹特殊數(shù)列求和的過(guò)程中通過(guò)實(shí)例進(jìn)行引入。

3、練習(xí)：高考實(shí)例練習(xí)。

4、課堂小結(jié)：特殊數(shù)列求和的五種方法。

5、作業(yè)：高考實(shí)例。

九、教學(xué)評(píng)價(jià)與反饋

根據(jù)高三學(xué)生心理特點(diǎn)、教學(xué)內(nèi)容、遵循因材施教原則和啟發(fā)性教學(xué)思想，本節(jié)課的教學(xué)策略與方法我采用規(guī)則學(xué)習(xí)和問(wèn)題解決策略，即“案例—公式—應(yīng)用”，案例為淺層次要求，使學(xué)生有概括印象。公式為中層次要求，由淺入深，重難點(diǎn)集中推導(dǎo)講解，便于突破。應(yīng)用為綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學(xué)，反饋驗(yàn)證本堂內(nèi)容教學(xué)目標(biāo)的落實(shí)。

南昌市實(shí)驗(yàn)中學(xué)

董

世

清

2012年5月10日

第四篇：數(shù)列與不等式證明專(zhuān)題

數(shù)列與不等式證明專(zhuān)題

復(fù)習(xí)建議：

1．“巧用性質(zhì)、減少運(yùn)算量”在等差、等比數(shù)列的計(jì)算中非常重要，但用“基本量法”并樹(shù)立“目標(biāo)意識(shí)”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地運(yùn)用條件，又要時(shí)刻注意題的目標(biāo)，往往能取得與“巧用性質(zhì)”解題相同的效果2．歸納——猜想——證明體現(xiàn)由具體到抽象，由特殊到一般，由有限到無(wú)限的辯證思想．學(xué)習(xí)這部分知識(shí)，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，計(jì)算能力，熟悉歸納、演繹的論證方法，提高分析、綜合、抽象、概括等思維能力，都有重大意義．

3．解答數(shù)列與函數(shù)的綜合問(wèn)題要善于綜合運(yùn)用函數(shù)方程思想、化歸轉(zhuǎn)化思想等數(shù)學(xué)思想以及特例分析法，一般遞推法，數(shù)列求和及求通項(xiàng)等方法來(lái)分析、解決問(wèn)題．

4．?dāng)?shù)列與解析幾何的綜合問(wèn)題解決的策略往往是把綜合問(wèn)題分解成幾部分，先利用解析幾何的知識(shí)以及數(shù)形結(jié)合得到數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后再利用數(shù)列知識(shí)和方法求解． 證明方法：（1）先放縮后求和；（2）先求和后放縮(3)靈活運(yùn)用 例1．?dāng)?shù)列?a

2n?n?滿(mǎn)足a1?1,a2?2,an?2?(1?cos2)asin2n?

n?2,n?1,2,3,?.(Ⅰ)求a3,a4,并求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；(Ⅱ)設(shè)ba2n?

1n?

a,Sn?b1?b2???bn.證明：當(dāng)n?6S?2?1n2n

n.分析：本題給出數(shù)列相鄰兩項(xiàng)的遞推關(guān)系，且要對(duì)n分奇偶性。

解:(Ⅰ)因?yàn)閍cos

2?

1?1,a2?2,所以a3?(1?2)a1?sin2

?

?a1?1?2,a4?(1?cos2?)a2?sin2??2a2?4.一般地，當(dāng)n?2k?1(k?N*)時(shí)，a2

k?1)?2k?1?[1?cos

(22]a?sin22k?1

2k?12

? ＝a2k?1?1，即a2k?1?a2k?1?1.所以數(shù)列?a2k?1?是首項(xiàng)為

1、公差為1的等差數(shù)列，因此a2k?1?k.當(dāng)n?2k(k?N*)時(shí)，a2k?2k?2?(1?cos

22)a2k?

2k?sin2

2?2a2k.所以數(shù)列?a2k?是首項(xiàng)為

2、公比為2的等比數(shù)列，因此a2k?2k.?故數(shù)列?a?n?1n?的通項(xiàng)公式為an??

2,n?2k?1(k?N*),?n?22,n?2k(k?N*).(Ⅱ)由(Ⅰ)知，ba2n?1n?a?n

12?3n2,Sn??23???n,①2n22222

12S12?23n

n?222?24???2

n?1② 1①-②得，1[1?(1)2]2S1111nn?2?22?23???2n?2n?1??n1n1?2n?1?1?2n?2n?1.2所以S1nn?2

n?2?2n?1?2n?2?2

n.要證明當(dāng)n?6時(shí)，S1n(n?2)

n?2?n成立，只需證明當(dāng)n?6時(shí)，2n

?1成立.證法一

(1)當(dāng)n = 6時(shí)，6?(6?2)26?4864?

34?1成立.(2)假設(shè)當(dāng)n?k(k?6)時(shí)不等式成立，即k(k?2)

k

?1.則當(dāng)n=k+1時(shí)，(k?1)(k?3)k(k?2)(k?1)(k?2k?1?2k?3)2k(k?2)?(k?1)(k?3)

(k?2)?2k

?1.由(1)、(2)所述，當(dāng)n≥6時(shí)，n(n?1)2

2?1.即當(dāng)n≥6時(shí)，Sn?2?

1n

.證法二令cn(n?2)n?

22(n?6)，則c(n?1)(n?3)n(n?2)3?n2

n?1?cn?2n?1?22?2

n?1?0.所以當(dāng)n?6時(shí)，c6?8n?1?cn.因此當(dāng)n?6時(shí)，cn?c6?64?

34?1.于是當(dāng)n?6時(shí)，n(n?2)22?1.綜上所述，當(dāng)n?6時(shí)，Sn

?2?1

n

.點(diǎn)評(píng)：本題奇偶分類(lèi)要仔細(xì)，第（2）問(wèn)證明時(shí)可采用分析法。

例題2.已知?為銳角，且tan??

2?1，函數(shù)f(x)?x2tan2??x?sin(2??

?

4)，數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1?

2,an?1?f(an).(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；⑵ 求證：an?1?an；

⑶ 求證：

1?11?a?1???1?2(n?2,n?N*)11?a21?an

分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關(guān)系，第（2）問(wèn)的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問(wèn)是轉(zhuǎn)化成可以裂項(xiàng)的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。

解：⑴tan2??

??2tan?2(?1)2

又∵?為銳角 ∴2?? ∴sin(2??)?1∴f(x)?x?x??1

441?tan2?1?(2?1)2

∴a2,a3,?an都大于0∴an?0∴an?1?an2

∴

則S?

1111121212111?(????)??(S?)S????? a22a2a3ana2an?13an?13a22an?1

⑵

an?1?an?an∵a1?

點(diǎn)評(píng)：數(shù)列中的不等式要用放縮來(lái)解決難度就較大了，而且不容易把握，對(duì)于這樣的題要多探索，多角度的思考問(wèn)題。

⑶

1an?1

?

1111

???2

an?anan(1?an)an1?an111

??1?ananan?1

例題4.已知函數(shù)f(x)?x?ln?1?x?,數(shù)列?an?滿(mǎn)足0?a1?1,∴

111111111111

???????????????2?

an?1?f?an?;數(shù)列?bn?滿(mǎn)足b1?,bn?1?(n?1)bn, n?N*.求證:

1?a11?a21?ana1a2a2a3anan?1a1an?1an?1

∵a?(12)2?12?34, a?(34)2?3

234

?1 ,又∵n?2an?1?an∴an?1?a3?1

∴1?

2?

1a?2∴1?

1n1?a?1???1

?2

?1

11?a21?an

點(diǎn)評(píng)：把復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成清晰的問(wèn)題是數(shù)學(xué)中的重要思想，本題中的第（3）問(wèn)不等式的證明更具有一般性。

例題3.已知數(shù)列?aa?

n?滿(mǎn)足a1?1,n?1?2an?1?n?N?

（Ⅰ）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列?b?1n?滿(mǎn)足4b1?14b24

b3?1

?4bn?1?(an?1)bn，證明：?bn?是等差數(shù)列；

（Ⅲ）證明：

1?1a???1?2?n?N?a? 23an?13

分析：本例（1）通過(guò)把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列；第（2）關(guān)鍵在于找出連續(xù)三項(xiàng)間的關(guān)系；第（3）問(wèn)關(guān)鍵在如何放縮 解：（1）?an?1?2an?1，?an?1?1?2(an?1)

故數(shù)列{an?1}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列。?ann?1?2n，an?2?1

（2）?4

b1?14

b2?14

b3?1

?4bn?1?(an?1)bn，?4

(b1?b2???bn?n)

?2nbn

2(b1?b2???bn)?2n?nbn①2(b1?b2???bn?bn?1)?2(n?1)?(n?1)bn?1②

②—①得2bn?1

?2?(n?1)bn?1?nbn，即nbn?2?(n?1)bn?1③?(n?1)bn?1?2?nbn?2④ ④—③得2nbn?1

?nbn?nbn?1，即2bn?1?bn?bn?1所以數(shù)列{bn}是等差數(shù)列

（3）?

1a?1111

2n?1?1?2n?1?2?

設(shè)S

?

1n2an?a?1???1，2a3an?1

（Ⅰ）0?a（Ⅱ）aa2nn?1?an?1;n?1?2;

（Ⅲ）若a1?2

則當(dāng)n≥2時(shí),bn?an?n!.分析：第（1）問(wèn)是和自然數(shù)有關(guān)的命題，可考慮用數(shù)學(xué)歸納法證明；第（2）問(wèn)可利用函數(shù)的單調(diào)性；第（3）問(wèn)進(jìn)行放縮。解：(Ⅰ)先用數(shù)學(xué)歸納法證明0?an?1,n?N*.（1）當(dāng)n=1時(shí),由已知得結(jié)論成立;（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),結(jié)論成立,即0?ak?1.則當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)?

1x?1?xx?1

?0,所以f(x)在(0,1)上是增函數(shù).又f(x)在?0,1?上連續(xù),所以f(0)

?1, 得an?1?an?an?ln?1?an??an??ln(1?an)?0,從而an?1?an.綜上可知0?an?1

?an?1.(Ⅱ)構(gòu)造函數(shù)g(x)=

x2

x2x2

-f(x)=

?ln(1?x)?x, 0g(0)=0.因?yàn)??aa2nn?1,所以g?an??0,即2?f?aa2

nn?>0,從而an?1?2

.(Ⅲ)因?yàn)?/p>

b12b1b

n?11?,n?1?2(n?1)bn,所以bn?0,n?1b?n,所以bba2nbn?1bnn?

b??2?b1

1?n?n!————①由(Ⅱ)an?1?,知:an?1?an,n?1bn?2b122an2

所以

ana?a3?na?a1a2?n?1 ,因?yàn)閍a=

a2aa1?, n≥2, 0?an?1?an?1.1

1a2n?12222

a2?a2

所以

a1a2?an?1?aan

1<

n?

2221<2

n?12n

=

2n

————②由①② 兩式可知:

bn?an?n!.點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列、超越函數(shù)、導(dǎo)數(shù)的學(xué)歸納法的知識(shí)交匯題，屬于難題，復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)引起注意。

例題5.已知函數(shù)f(x)=5?2x

16?8x，設(shè)正項(xiàng)數(shù)列?an?滿(mǎn)足a1=l，an?1?f?an?．

(1)試比較a

5n與

4的大小，并說(shuō)明理由；

(2)設(shè)數(shù)列?b5n

nn?滿(mǎn)足bn=4－an，記Sn=?bi．證明：當(dāng)n≥2時(shí),Sn＜(2－1)．

i?

14分析：比較大小常用的辦法是作差法，而求和式的不等式常用的辦法是放縮法。

解：(1)a2ann?1

?

5?16?8a，因?yàn)閍所以a7

31?1,2?,a3?4

.（2）因?yàn)閍n?0,an?1?0,所以16?8an?0,0?an?2.n8a55?2a48(a55

n5n?n?1?)3an?554?16?8a?4?32(2?a??,因?yàn)??an?0,所以an?1?與a?同號(hào)，nn)22?an

4n

4因?yàn)閍51?4??14?0，a5555

2?4?0,a3?4?0,?，an?4?0,即an?4

.（3）當(dāng)n?2時(shí)，b531n?4?an?2?2?a?(5?a31

31n?1)???bn?1???bn?1?2bn?1，n?1422?an?122?5

所以bn

?2?bn?1?22?bn?2???2n?1b31?2n?，13?n

(1?2n)

所以Sn?b1?b2???bn?

4?12???????1?

?2??

?1?2?1

(2n?1)

點(diǎn)評(píng)：本題是函數(shù)、不等式的綜合題，是高考的難點(diǎn)熱點(diǎn)。

例題6.已知數(shù)列?a*

n?中，a1?1，nan?1?2(a1?a2?...?an)?n?N?

．

（1）求a2,a3,a4；（2）求數(shù)列?an?的通項(xiàng)an；（3）設(shè)數(shù)列{b1n}滿(mǎn)足b1?

2,b12

n?1?abn?bn，求證：bn?1(n?k)k

分析：條件中有類(lèi)似于前n項(xiàng)和的形式出現(xiàn)，提示我們應(yīng)該考慮an＝Sn－Sn－1(n≥2)

解：（1）a2?2,a3?3,a4?4（2）nan?1?2(a1?a2?...?an)①

(n?1)an?2(a1?a2?...?an?1)②①—②得nan?1?(n?1)an?2an

即：nan?1

?(n?1)a?1n?1aa3ann，ana?所以aa223n

n?1a...?1...1

?n(n?2)

nna12an?112n?所以a*n

?n(n?N)

（3）由（2）得：b1

?12,b12

n?1?k

bn?bn?bn?bn?1?...?b1?0，所以{bn}是單調(diào)遞增數(shù)列，故要證：bn?1(n?k)只需證bk?1

若k

?1，則b12?1顯然成立;若k?2，則b?1211?

n?1kbn?bn?k

bnbn?1?bn 所以

1b?1??1,因此：1?(1?1)?...?(1?1)?1??k?1?2?

k?1

n?1bnkbkbkbk?1b2b1b1kk所以bk

?

k

k?1

?1,所以bn?1(n?k)點(diǎn)評(píng)：與數(shù)列相關(guān)的不等式證明通常需要“放縮”，而放縮的“度”尤為關(guān)鍵，本題中

1b?(1?1)?...?(1?1)?1,這種拆分方法是數(shù)學(xué)中較高要求的變形.kbkbk?1b2b1b1

例題7.已知不等式

12?13???1n?1

[log2n],其中n為不大于2的整數(shù)，[log2n]表示不超過(guò)log2n的最大整數(shù)。設(shè)數(shù)列?a1

n?的各項(xiàng)為正且滿(mǎn)足a1?b(b?0),anan?n?

n?a(n?2,3,4?)，證明：

n?1

an?

2b

2?b[log，n?3,4,5?

2n]

分析：由條件an?111111n

?

nan?a得：

n?1

a??1

?nan?1n

a??n(n?2)

nan?1

11a?

?

1n?1

an?2

n?1

??

a?1?1以上各式兩邊分別相加得： 2a121a?1?1?1???1?1?1?1?1???1

?1?1[log2n](n?3)na1nn?12anbnn?12

b2

=

2?b[log2n]2b? a2b

n?2?b[logn]

(n?3)

2本題由題設(shè)條件直接進(jìn)行放縮，然后求和，命題即得以證明。

例題8.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿(mǎn)足：Sn?2an?(?1)n，n?1（1）寫(xiě)出數(shù)列{an}的前三項(xiàng)a1，a2，a5；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

（3）證明：對(duì)任意的整數(shù)m?4，有1117

a?????

4a5am8

分析：⑴由遞推公式易求：a1=1,a2=0,a3=2； ⑵由已知得：an

?Sn?Sn?1?2an?(?1)n?2an?1?(?1)n?1（n>1）

化簡(jiǎn)得：an?1anan?1anan?1n

?2an?1?2(?1)

(?1)n??2(?1)n?1?2,(?1)n?23??2[(?1)

n?1

?2

3] 故數(shù)列{

an2(?1)n?3}是以?a1?23為首項(xiàng), 公比為?2的等比數(shù)列.故an21

(?1)

n

?3?(?3)(?2)n?1∴a?23[2n?2?(?1)n]∴數(shù)列{a2

n

n}的通項(xiàng)公式為：an?3

[2n?2?(?1)n].⑶觀(guān)察要證的不等式，左邊很復(fù)雜，先要設(shè)法對(duì)左邊的項(xiàng)進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，使之能夠求和。而左邊=

1a?1a???1?3[111

22?1?23?1???2m?2?(?1)

m]，如果我們把上式中的分母中的?1去掉，就可利45am2用等比數(shù)列的前n項(xiàng)公式求和，由于-1與1交錯(cuò)出現(xiàn)，容易想到將式中兩項(xiàng)兩項(xiàng)地合并起來(lái)一起進(jìn)行放縮，嘗試知：

11111

22?1?123?1?122?1

23，23?1?24?1?23?24，因此，可將

?1

保留，再將后面的項(xiàng)兩兩組合后放縮，即可求和。這里需要對(duì)m進(jìn)行分類(lèi)討論，（1）當(dāng)m為偶數(shù)(m?4)時(shí)，1a?1???1a?1?(1?1)???(1?1)?1?3(1113?4???m?2)4a5ma4a5a6am?1am

22222

?

13112?2?4(1?137

m?4)?2?8?8（2）當(dāng)m是奇數(shù)(m?4)時(shí)，m?1為偶數(shù)，1a?1???1?1?1a?1???1?1?7 4a5ama45a6amam?18

所以對(duì)任意整數(shù)m?4，有

a?a???

?7。本題的關(guān)鍵是并項(xiàng)后進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。45am8

例題9.定義數(shù)列如下：a2

?1?2,an?1?an?an?1,n?N

證明：（1）對(duì)于n?N?

恒有a?

n?1?an成立。（2）當(dāng)n?2且n?N，有an?1?anan?1?a2a1?1成立。（3）1?

112a?12006

?

a???1

?1。12a2006

分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法易證。

（2）由a2

n?1?an?an?1得：an?1?1?an(an?1)

?an?1?an?1(an?1?1)??a2?1?a1(a1?1)

以上各式兩邊分別相乘得：an?1?1?anan?1?a2a1(a1?1)，又a1?2

?an?1?anan?1?a2a1?1

（3）要證不等式1?

11122006

?

a????1?1，可先設(shè)法求和：1?1???，1a2a2006a1a2a2006

再進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s。?a111n?1?1?an(an?1)?

aa?a?1?1?

a n?1?1

?

n?1nanan?1n?1?1

?

1111a?????(?1)?(1?1)???(1?1)1a2a2006a1?1a2?1a2?1a3?1a2006?1a2007?1?

1a1?a?1?

?11?2007?1

aa 12?a2006又a?a2006

1a2?a20061

?22006?1?

1a?1?1

2006?原不等式得證。

1a2?a20062

點(diǎn)評(píng)：本題的關(guān)鍵是根據(jù)題設(shè)條件裂項(xiàng)求和。

第五篇：數(shù)列不等式推理與證明

2012年數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)精品試題第六、七模塊 數(shù)列、不等式、推

理與證明

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．

1．在等比數(shù)列{aa

2n}中，若a3a5a7a9a11＝243，則a的值為()1

1A．9B．1

C．2D．

32．在等比數(shù)列{aaa

n}中，an>an7·a11＝6，a4＋a14＝5，則＋1，且a等于()16

A.23B.32

C16D．－563．在數(shù)列{aa－n}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝1＋aa

n－1n＝()

A.1

nB．n

C.1nD．n2

4．已知0

B．成等比數(shù)列

C．各項(xiàng)倒數(shù)成等差數(shù)列

D．各項(xiàng)倒數(shù)成等比數(shù)列

5．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是()

n-

1A．a(chǎn)n＝2n－1B．a(chǎn)?n?1?

n??n??

C．a(chǎn)n＝n2D．a(chǎn)n＝n)

n2-6n

6．已知正項(xiàng)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的乘積等于Tn＝?的前n項(xiàng)和Sn中的最大值是()

A．S6

B．S

5?1?

??4?

(n∈N*)，bn＝log2an，則數(shù)列{bn}

7．已知a，b∈R，且a>b，則下列不等式中恒成立的是()

?1??1?

A．a(chǎn)>bB.??

?2??2?

ab

C．lg(a－b)>0

aD.b

8．設(shè)a>0，b>0，則以下不等式中不恒成立的是()11?

A．(a＋b)??ab?≥

4B．a(chǎn)3＋b3≥2ab2 D.|a－b|ab

C．a(chǎn)2＋b2＋2≥2a＋2b

9．當(dāng)點(diǎn)M(x，y)在如圖所示的三角形ABC內(nèi)(含邊界)運(yùn)動(dòng)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)z＝kx＋y取得最大值的一個(gè)最優(yōu)解為(1,2)，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是（）

A．(－∞，－1]∪[1，＋∞)B．[－1,1]

C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,1)

??lg|x|(x<0)10．設(shè)函數(shù)f(x)＝?x，若f(x0)>0，則x0的取值范圍是()

?2－1(x≥0)?

A．(－∞，－1)∪(1，＋∞)B．(－∞，－1)∪(0，＋∞)

C．(－1,0)∪(0,1)D．(－1,0)∪(0，＋∞)

a2＋b

211．已知a>b>0，ab＝1，則的最小值是()

a－bA．2C．2D．1

12．下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是()

A．式子1＋k＋k2＋…＋kn(n＝1,2，…)當(dāng)n＝1時(shí)，恒為1 B．式子1＋k＋k2＋…＋kn1(n＝1,2…)當(dāng)n＝1時(shí)，恒為1＋k

－

1111111

C．式子＋＋…＋n＝1,2，…)當(dāng)n＝1時(shí)，恒為

1231232n＋1

111111

D．設(shè)f(n)＝n∈N*)，則f(k＋1)＝f(k)＋n＋1n＋23n＋13k＋23k＋33k＋4

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中的橫線(xiàn)上． 13．已知Sn是等差數(shù)列{an}(n∈N*)的前n項(xiàng)和，且S6>S7>S5，有下列四個(gè)命題：(1)d<0；(2)S11>0；(3)S12<0；(4)數(shù)列{Sn}中的最大項(xiàng)為S11，其中正確命題的序號(hào)是________．

14．在數(shù)列{an}中，如果對(duì)任意n∈N*都有數(shù)列，k稱(chēng)為公差比．現(xiàn)給出下列命題：

(1)等差比數(shù)列的公差比一定不為0；(2)等差數(shù)列一定是等差比數(shù)列；

(3)若an＝－3n＋2，則數(shù)列{an}是等差比數(shù)列；(4)若等比數(shù)列是等差比數(shù)列，則其公比等于公差比． 其中正確的命題的序號(hào)為_(kāi)_______． ＝q，(4)正確． 15．不等式

ax的解集為{x|x<1或x>2}，那么a的值為_(kāi)_______． x－

1an＋2－an＋1

k(k為常數(shù))，則稱(chēng){an}為等差比

an＋1－an

x≥0??

16．已知點(diǎn)P(x，y)滿(mǎn)足條件?y≤x

??2x＋y＋k≤0k＝________.(k為常數(shù))，若z＝x＋3y的最大值為8，則

三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟． 17．(10分)(2011·天津市質(zhì)檢)已知等差數(shù)列{an}的前三項(xiàng)為a－1，4,2a，記前n項(xiàng)和為Sn.(1)設(shè)Sk＝2550，求a和k的值；

S(2)設(shè)bn，求b3＋b7＋b11＋…＋b4n－1的值．

n

18．(12分)已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，首項(xiàng)為a1，且2，an，Sn成等差數(shù)列．

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；

b(2)若bn＝log2an，cn＝，求數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和Tn.an

2bx

19．(12分)已知函數(shù)f(x)(x∈R)滿(mǎn)足f(x)，a≠0，f(1)＝1，且使f(x)＝2x成立的實(shí)

ax－1數(shù)x只有一個(gè)．

(1)求函數(shù)f(x)的表達(dá)式；

21(2)若數(shù)列{an}滿(mǎn)足a1＝an＋1＝f(an)，bn＝1，n∈N*，證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列，3an

并求出{bn}的通項(xiàng)公式；

(3)在(2)的條件下，證明：a1b1＋a2b2＋…＋anbn<1(n∈N*)．

2x??

20．(12分)已知集合A＝?x?x－21?，集合B＝{x|x2－(2m＋1)x＋m2＋m<0}

?

?

?

(1)求集合A，B；

(2)若B?A，求m的取值范圍．

2a2

21．(12分)解關(guān)于x的不等式：x|x－a|≤(a>0)．

922．(12分)某工廠(chǎng)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，每生產(chǎn)一噸產(chǎn)品所消耗的電能和煤、所需工人人數(shù)以及所得產(chǎn)值如表所示：

160千度，消耗煤不得超過(guò)150噸，怎樣安排甲、乙這兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)數(shù)量，才能使每天所得的產(chǎn)值最大，最大產(chǎn)值是多少．