第一篇：人教版八年級數學上冊14.3因式分解教學設計

14.3 因式分解

14.3.1 提公因式法

【教學目標】 知識與技能

能確定多項式各項的公因式,會用提公因式法把多項式分解因式.過程與方法

使學生經歷探索多項式各項公因式的過程,依據數學化歸思想方法進行因式分解.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生分析、類比以及化歸的思想,增進學生的合作交流意識,主動積極地積累確定公因式的初步經驗,體會其應用價值.【教學重難點】

重點:掌握用提公因式法把多項式分解因式.難點:正確地確定多項式的最大公因式.關鍵:提公因式法關鍵是如何找公因式.方法是:一看系數、二看字母.公因式的系數取各項系數的最大公約數;字母取各項相同的字母,并且各字母的指數取最低次冪.【教學過程】

一、回顧交流,導入新知

【復習交流】

下列從左到右的變形是否是因式分解,為什么?(1)2x2+4=2(x2+2);

(2)2t2-3t+1=(2t3-3t2+t);(3)x2+4xy-y2=x(x+4y)-y2;(4)m(x+y)=mx+my;(5)x2-2xy+y2=(x-y)2.問題:

1.多項式mn+mb中各項含有相同因式嗎? 2.多項式4x2-x和xy2-yz-y呢?

請將上述多項式分別寫成兩個因式的乘積的形式,并說明理由.【教師歸納】我們把多項式中各項都有的公共的因式叫做這個多項式的公因式,如在mn+mb中的公因式是m,在4x2-x中的公因式是x,在xy2-yz-y中的公因式是y.概念:如果一個多項式的各項含有公因式,那么就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.二、小組合作,探究方法

教師提問:多項式4x2-8x6,16a3b2-4a3b2-8ab4各項的公因式是什么?

【師生共識】提公因式的方法是先確定各項的公因式再將多項式除以這個公因式得到另一個因式,找公因式一看系數、二看字母,公因式的系數取各項系數的最大公約數;字母取各項相同的字母,并且各字母的指數取最低次冪.三、范例學習,應用所學 例1:把-4x2yz-12xy2z+4xyz分解因式.解:-4x2yz-12xy2z+4xyz =-(4x2yz+12xy2z-4xyz)=-4xyz(x+3y-1)

例2:分解因式:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2

【分析】觀察所給多項式可以找出公因式(y-x)2或(x-y)2,于是有兩種變形,(x-y)3=-(y-x)3和(x-y)2=(y-x)2,從而得到下面兩種分解方法.解法1:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2 =-3a2(y-x)3-4b2(y-x)2 =-[(y-x)2·3a2(y-x)+4b2(y-x)2] =-(y-x)2[3a2(y-x)+4b2] =-(y-x)2(3a2y-3a2x+4b2)解法2:3a2(x-y)3-4b2(y-x)2 =(x-y)2·3a2(x-y)-4b2(x-y)2 =(x-y)2[3a2(x-y)-4b2] =(x-y)2(3a2x-3a2y-4b2)例3:用簡便的方法計算: 0.84×12+12×0.6-0.44×12.【教師活動】引導學生觀察并分析怎樣計算更為簡便.解:0.84×12+12×0.6-0.44×12 =12×(0.84+0.6-0.44)=12×1=12.【教師活動】在學生完成例3之后,指出例3是因式分解在計算中的應用,提出比較例1,例2,例3的公因式有什么不同?

四、隨堂練習,鞏固深化

課本115頁練習第1、2、3題.【探研時空】 利用提公因式法計算:

0.582×8.69+1.236×8.69+2.478×8.69+5.704×8.69

五、課堂總結,發(fā)展?jié)撃?/p>

1.利用提公因式法因式分解,關鍵是找準最大公因式.在找最大公因式時應注意:(1)系數要找最大公約數;(2)字母要找各項都有的;(3)指數要找最低次冪.2.因式分解應注意分解徹底,也就是說,分解到不能再分解為止.六、布置作業(yè),專題突破 課本119頁習題14.3第1、4(1)、6題.14.3.2 公式法

第1課時

【教學目標】 知識與技能

會應用平方差公式進行因式分解,發(fā)展學生推理能力.過程與方法

經歷探索利用平方差公式進行因式分解的過程,發(fā)展學生的逆向思維,感受數學知識的完整性.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)學生良好的互動交流的習慣,體會數學在實際問題中的應用價值.【教學重難點】

重點:利用平方差公式分解因式.難點:領會因式分解的解題步驟和分解因式的徹底性.關鍵:應用逆向思維的方向,演繹出平方差公式,對公式的應用首先要注意其特征,其次要做好式的變形,把問題轉化成能夠應用公式的方面上來.【教學過程】

一、觀察探討,體驗新知

【問題牽引】

請同學們計算下列各式.(1)(a+5)(a-5);(2)(4m+3n)(4m-3n).【學生活動】動筆計算出上面的兩道題,并踴躍上臺板演.(1)(a+5)(a-5)=a2-52=a2-25;

(2)(4m+3n)(4m-3n)=(4m)2-(3n)2=16m2-9n2.【教師活動】引導學生完成下面的兩道題目,并運用數學“互逆”的思想,尋找因式分解的規(guī)律.1.分解因式:a2-25;2.分解因式16m2-9n2.【學生活動】從逆向思維入手,很快得到下面答案:(1)a2-25=a2-52=(a+5)(a-5).(2)16m2-9n2=(4m)2-(3n)2 =(4m+3n)(4m-3n).【教師活動】引導學生完成a2-b2=(a+b)(a-b)的同時,導出課題:用平方差公式因式分解.平方差公式:a2-b2=(a+b)(a-b).評析:平方差公式中的字母a、b,教學中還要強調一下,可以表示數、含字母的代數式(單項式、多項式).二、范例學習,應用所學

例:把下列各式分解因式:(投影顯示或板書)(1)x2-9y2;(2)16x4-y4;(3)12a2x2-27b2y2;(4)(x+2y)2-(x-3y)2;(5)m2(16x-y)+n2(y-16x).【分析】在觀察中發(fā)現1~5題均滿足平方差公式的特征,可以使用平方差公式因式分解.【教師活動】啟發(fā)學生從平方差公式的角度進行因式分解,請5位學生上講臺板演.【學生活動】分四人小組,合作探究.解:(1)x2-9y2=(x+3y)(x-3y);

(2)16x4-y4=(4x2+y2)(4x2-y2)=(4x2+y2)(2x+y)(2x-y);(3)12a2x2-27b2y2=3(4a2x2-9b2y2)=3(2ax+3by)(2ax-3by);

(4)(x+2y)2-(x-3y)2=[(x+2y)+(x-3y)][(x+2y)-(x-3y)]=5y(2x-y);(5)m2(16x-y)+n2(y-16x)=(16x-y)(m2-n2)=(16x-y)(m+n)(m-n).三、隨堂練習,鞏固深化

課本117頁練習第1、2題.【探研時空】

1.求證:當n是正整數時,n3-n的值一定是6的倍數.2.試證兩個連續(xù)偶數的平方差能被一個奇數整除.連續(xù)偶數的平方差能被一個奇數整除.四、課堂總結,發(fā)展?jié)撃?/p>

運用平方差公式因式分解,首先應注意每個公式的特征.分析多項式的次數和項數,然后再確定公式.如果多項式是二項式,通?？紤]應用平方差公式;如果多項式中有公因式可提,應先提取公因式,而且還要“提”得徹底,最后應注意兩點:一是每個因式要化簡,二是分解因式時,每個因式都要分解徹底.五、布置作業(yè),專題突破

課本119頁習題14.3第2、4(2)、11題.第2課時

【教學目標】 知識與技能

領會運用完全平方公式進行因式分解的方法,發(fā)展推理能力.過程與方法

經歷探索利用完全平方公式進行因式分解的過程,感受逆向思維的意義,掌握因式分解的基本步驟.情感、態(tài)度與價值觀

培養(yǎng)良好的推理能力,體會“化歸”與“換元”的思想方法,形成靈活的應用能力.【教學重難點】

重點:理解完全平方公式因式分解,并學會應用.難點:靈活地應用公式法進行因式分解.關鍵:應用“化歸”、“換元”的思想方法,把問題進行形式上的轉化,達到能應用公式法分解因式的目的.【教學過程】

一、回顧交流,導入新知

【問題牽引】

1.分解因式:

(1)-9x2+4y2;(2)(x+3y)2-(x-3y)2;(3)x2-0.01y2.【知識遷移】 2.計算下列各式:(1)(m-4n)2;(2)(m+4n)2;(3)(a+b)2;(4)(a-b)2.【教師活動】引導學生完成下面兩道題,并運用數學“互逆”的思想,尋找因式分解的規(guī)律.3.分解因式:

(1)m2-8mn+16n2;(2)m2+8mn+16n2;(3)a2+2ab+b2;(4)a2-2ab+b2.【學生活動】從逆向思維的角度入手,很快得到下面答案: 解:(1)m2-8mn+16n2=(m-4n)2;(2)m2+8mn+16n2=(m+4n)2;(3)a2+2ab+b2=(a+b)2;(4)a2-2ab+b2=(a-b)2.【歸納公式】完全平方公式a2±2ab+b2=(a±b)2.二、范例學習,應用所學

例1:把下列各式分解因式:(1)-4a2b+12ab2-9b3;

(2)8a-4a2-4;

(3)(x+y)2-14(x+y)+49;(4)++n4.例2:如果x2+axy+16y2是完全平方,求a的值.【分析】根據完全平方式的定義,解此題時應分兩種情況,即兩數和的平方或者兩數差的平方,由此相應求出a的值,即可求出a3.三、隨堂練習,鞏固深化

課本119頁練習第1、2題.【探研時空】

1.已知x+y=7,xy=10,求下列各式的值.(1)x2+y2;(2)(x-y)2

2.已知x+=-3,求x4+的值.四、課堂總結,發(fā)展?jié)撃?/p>

由于多項式的因式分解與整式乘法正好相反,因此把整式乘法公式反過來寫,就得到多項式因式分解的公式,主要的有以下三個:

a2-b2=(a+b)(a-b);a2±ab+b2=(a±b)2.在運用公式因式分解時,要注意:

(1)每個公式的形式與特點,通過對多項式的項數、次數等的總體分析來確定,是否可以用公式分解以及用哪個公式分解,通常是,當多項式是二項式時,考慮用平方差公式分解;當多項式是三項時,應考慮用完全平方公式分解;

(2)在有些情況下,多項式不一定能直接用公式,需要進行適當的組合、變形、代換后,再使用公式法分解;

(3)當多項式各項有公因式時,應該首先考慮提公因式,然后再運用公式分解.五、布置作業(yè),專題突破

課本119頁習題14.3第3、5、8題.

第二篇：八年級數學上冊《因式分解》教學設計反思

一、教學設計及課堂實施情況的分析： 本課的教學目的是：

1、正確理解因式分解的概念，它與整式乘法的區(qū)別和聯系.2、了解公因式概念和提公因式的方法。

3通過學生的自主探索，發(fā)現因式分解的基本方法，會用提公因式法把多項式進行因式分解.4、在探索提公因式法分解因式的過程中學會逆向思維，滲透化歸的思想方法。教學重點是：因式分解的概念，用提公因式分解因式.教學難點是：找出多項式中的公因式和公因式提出后另一個因式的確定.這是一節(jié)數學常規(guī)課，沒有游戲和豐富的活動，在進行新課改的今天，這節(jié)課如何體現新課改的精神，就成了我思考的重點，這節(jié)課我是這樣上的：

在引入“因式分解”這一概念時是通過復習小學知識“因數分解”，因為因數分解學生已經掌握，由此提出因式分解的概念，一方面突出了多項式因式分解本質特征是一種式的恒等變形，另一方面也說明了它可以與因數分解進行類比，從而對因式分解的概念和方法有一個一整體的認識，也滲透著數學中的類比思想，此處的設計意圖是類比方法的滲透。接著讓學生進行練習，進一步鞏固因式分解的概念。使學生進一步認識到因式分解與整式乘法的區(qū)別則通過把等號兩邊的式子互相轉換位置而直觀得出。從上面幾個式子中的練習中，讓學生觀察屬于因式分解的那幾個式子的共同特點，得出公因式的概念。然后讓學生通過小組討論得到公因式的結構組成，進而總結出找公因式的方法，并且引導學生得出提取公因式法這一因式分解的方法其實就是將被分解的多項式除以公因式得到余下的因式的計算過程。此處的意圖是充分讓學生自主探索，合作學習。而實際上，學生的學習情緒還是調動起來了的。通過小組討論學習，盡管語言的組織方面不夠完善，但是均可以得出結論。接著通過例題講解，使學生進一步認識到多項式可以有不同形式的表示，例題講解的重點一是公因式的概念，如何去找公因式，二是公因式提出后，另一個因式是如何確定的。最后讓學生自主完成練習題，通過練習，以達到深化理解所學內容，形成因式分解解題技能的目的，同時充分讓學生暴露問題，以便查缺補漏，在學生練習之后的交流中，要注意學生出現的問題，最后作出匯總，強調運用提公因式法分解因式時，需注意的地方。然后進行課堂小結，布置作業(yè)，目的是使學生養(yǎng)成反思的習慣，為掌握知識、提高能力服務。

二、教學反思

課后，我認為教學目的已達到，盡管我對易錯點進行了強調，但是做作業(yè)是還是出現了不少錯誤，說實話，以前，我會把這些學生叫過來，把這些出錯的地方在給她們講解一下，不考慮為什么會出現這樣的結果。通過學習讓我認識到：只有深入反思，才能提高我們的教學水平。只有深入反思，才能提高我們的課堂效率。最終得到我們的高效課堂。我覺得要想提高自己的教學水平，就要及時反思自己教學中存在的不足，在每一節(jié)課前充分預想到課堂的每一個細節(jié)，想好對應的措施，不斷提高自己的教學水平。反思改變了我的看法，我們常會聽到老師們抱怨“現在的學生怎么了，我講了幾遍還不會！到底該怎么辦”，其實，在此之前我也經常抱怨，通過學習，我的看法發(fā)生了改變，為什么換位思考一下“我的教學中存在什么問題，為什么我講了幾遍學生還聽不懂？到底是我的問題還是學生的問題”大家試想一下：時代在發(fā)展，社會在進步，人類思想在變化的，學生更不是靜止不變的，每個時期的學生都有不同的思想和個性、生活方式和行為習慣、處事態(tài)度和準則。我反?。涸诟淖儗W生和改變我自己的問題上我選擇改變自己，因為我無權也無法改變別人，但可以改變自己。在學生反思和自己反思的問題上我選擇反思自己。因為我不能反思學生的反思，但我可以反思我自己的反思。反思對教師成長也非常重要，教學反思本身就是發(fā)生在我們身邊的，我們經歷過的一些事情做較深入的分析。這種分析對每位老師來說，從認識到理解一些概念，從形成一些觀念，到形成和改變一些行為習慣，也都是非常重要的，它有利于我們積累和豐富經驗，有利于我們成長，有利于我們成為優(yōu)秀教師，從而影響著一屆又一屆的學生。經驗不是理論，更不能代替理論。要想把經驗轉化成理論，是要經過反思、驗證、實踐、理論化的過程的。而反思是這一過程的開始。所以說反思是一件對我們每位老師成長來說都是非常重要的一件事情。

課后我對本課進行了反思，我認為教學設計引入的過程可以簡化。對于因式分解的概念，學生可通過自己的一系列練習實踐去體會到此概念的特點，故不需在開頭引入的地方多加鋪墊，浪費了一定的時間。在設計的時候腳手架的搭建層次也不夠分明。對于有關概念的建立和提公因式方法的研究，要盡可能地讓學生進行討論和辨析。讓他們在發(fā)現過程中感受到學習數學的樂趣，體驗成功的喜悅。

第三篇：八年級數學上冊《因式分解》教學設計反思

一、教學設計及課堂實施情況の分析： 本課の教學目の是：

1、正確理解因式分解の概念，它與整式乘法の區(qū)別和聯系.2、了解公因式概念和提公因式の方法。

3通過學生の自主探索，發(fā)現因式分解の基本方法，會用提公因式法把多項式進行因式分解.4、在探索提公因式法分解因式の過程中學會逆向思維，滲透化歸の思想方法。教學重點是：因式分解の概念，用提公因式分解因式.教學難點是：找出多項式中の公因式和公因式提出后另一個因式の確定.這是一節(jié)數學常規(guī)課，沒有游戲和豐富の活動，在進行新課改の今天，這節(jié)課如何體現新課改の精神，就成了我思考の重點，這節(jié)課我是這樣上の：

在引入“因式分解”這一概念時是通過復習小學知識“因數分解”，因為因數分解學生已經掌握，由此提出因式分解の概念，一方面突出了多項式因式分解本質特征是一種式の恒等變形，另一方面也說明了它可以與因數分解進行類比，從而對因式分解の概念和方法有一個一整體の認識，也滲透著數學中の類比思想，此處の設計意圖是類比方法の滲透。接著讓學生進行練習，進一步鞏固因式分解の概念。使學生進一步認識到因式分解與整式乘法の區(qū)別則通過把等號兩邊の式子互相轉換位置而直觀得出。從上面幾個式子中の練習中，讓學生觀察屬于因式分解の那幾個式子の共同特點，得出公因式の概念。然后讓學生通過小組討論得到公因式の結構組成，進而總結出找公因式の方法，并且引導學生得出提取公因式法這一因式分解の方法其實就是將被分解の多項式除以公因式得到余下の因式の計算過程。此處の意圖是充分讓學生自主探索，合作學習。而實際上，學生の學習情緒還是調動起來了の。通過小組討論學習，盡管語言の組織方面不夠完善，但是均可以得出結論。接著通過例題講解，使學生進一步認識到多項式可以有不同形式の表示，例題講解の重點一是公因式の概念，如何去找公因式，二是公因式提出后，另一個因式是如何確定の。最后讓學生自主完成練習題，通過練習，以達到深化理解所學內容，形成因式分解解題技能の目の，同時充分讓學生暴露問題，以便查缺補漏，在學生練習之后の交流中，要注意學生出現の問題，最后作出匯總，強調運用提公因式法分解因式時，需注意の地方。然后進行課堂小結，布置作業(yè)，目の是使學生養(yǎng)成反思の習慣，為掌握知識、提高能力服務。

二、教學反思

課后，我認為教學目の已達到，盡管我對易錯點進行了強調，但是做作業(yè)是還是出現了不少錯誤，說實話，以前，我會把這些學生叫過來，把這些出錯の地方在給她們講解一下，不考慮為什么會出現這樣の結果。通過學習讓我認識到：只有深入反思，才能提高我們の教學水平。只有深入反思，才能提高我們の課堂效率。最終得到我們の高效課堂。我覺得要想提高自己の教學水平，就要及時反思自己教學中存在の不足，在每一節(jié)課前充分預想到課堂の每一個細節(jié)，想好對應の措施，不斷提高自己の教學水平。反思改變了我の看法，我們常會聽到老師們抱怨“現在の學生怎么了，我講了幾遍還不會！到底該怎么辦”，其實，在此之前我也經常抱怨，通過學習，我の看法發(fā)生了改變，為什么換位思考一下“我の教學中存在什么問題，為什么我講了幾遍學生還聽不懂？到底是我の問題還是學生の問題”大家試想一下：時代在發(fā)展，社會在進步，人類思想在變化の，學生更不是靜止不變の，每個時期の學生都有不同の思想和個性、生活方式和行為習慣、處事態(tài)度和準則。我反?。涸诟淖儗W生和改變我自己の問題上我選擇改變自己，因為我無權也無法改變別人，但可以改變自己。在學生反思和自己反思の問題上我選擇反思自己。因為我不能反思學生の反思，但我可以反思我自己の反思。反思對教師成長也非常重要，教學反思本身就是發(fā)生在我們身邊の，我們經歷過の一些事情做較深入の分析。這種分析對每位老師來說，從認識到理解一些概念，從形成一些觀念，到形成和改變一些行為習慣，也都是非常重要の，它有利于我們積累和豐富經驗，有利于我們成長，有利于我們成為優(yōu)秀教師，從而影響著一屆又一屆の學生。經驗不是理論，更不能代替理論。要想把經驗轉化成理論，是要經過反思、驗證、實踐、理論化の過程の。而反思是這一過程の開始。所以說反思是一件對我們每位老師成長來說都是非常重要の一件事情。

課后我對本課進行了反思，我認為教學設計引入の過程可以簡化。對于因式分解の概念，學生可通過自己の一系列練習實踐去體會到此概念の特點，故不需在開頭引入の地方多加鋪墊，浪費了一定の時間。在設計の時候腳手架の搭建層次也不夠分明。對于有關概念の建立和提公因式方法の研究，要盡可能地讓學生進行討論和辨析。讓他們在發(fā)現過程中感受到學習數學の樂趣，體驗成功の喜悅。

第四篇：八年級數學因式分解教學設計與反思

八年級數學因式分解教學設計與反思

撰寫人：

王興高 教學內容分析：

因式分解是進行代數式恒等變形的重要手段之一，因式分解是在學習整式四則運算的基礎上進行的，它不僅在多項式的除法、簡便運算中等有直接的應用，也為以后學習分式的約分與通分、解方程（組）及三解函數式的恒等變形提供了必要的基礎，因此學好因式分解對于代數知識的后續(xù)學習，具有相當重要的意義。由于本節(jié)課后學習提取公因式法，運用公式法，分組分解法來進行因式分解，必須以理解因式分解的概念為前提，所以本節(jié)內容的重點是因式分解的概念。由整式乘法尋求因式分解的方法是一種逆向思維過程，而逆向思維對初一學生還比較生疏，接受起來有一定難度，再者本節(jié)還沒涉及因式分解的具體方法，所以理解因式分解與整式乘法的相互關系，并運用它們之間的相互關系尋求因式分解的方法是教學中的難點.教學目標

認知目標：（1）理解因式分解的概念和意義

（2）認識因式分解與整式乘法的相互關系——相反變形，并會運用它們之間的相互關系尋求因式分解的方法。

能力目標：由學生自行探求解題途徑，培養(yǎng)學生觀察、分析、判斷能力和創(chuàng)新能力，發(fā)展學生智能，深化學生逆向思維能力和綜合運用能力。

情感目標：培養(yǎng)學生接受矛盾的對立統一觀點，獨立思考，勇于探索的精神和實事求是的科學態(tài)度。目標制定的思想

1．目標具體化、明確化，從學生實際出發(fā)，具有針對性和可行性，同時便于上課操作，便于檢測和及時反饋。

2．課堂教學體現能力立意。

3．寓德育教學方法

(1)．采用以設疑探究的引課方式，激發(fā)學生的求知欲望，提高學生的學習興趣和學習積極性。

(2)．把因式分解概念及其與整式乘法的關系作為主線，訓練學生思維，以設疑——感知——概括——運用為教學程序，充分遵循學生的認知規(guī)律，使學生能順利地掌握重點，突破難點，提高能力。

(3)．在課堂教學中，引導學生體會知識的發(fā)生發(fā)展過程，堅持啟發(fā)式，鼓勵學生充分地動腦、動口、動手，積極參與到教學中來，充分體現了學生的主動性原則。

(4)．在充分尊重教材的前提下，融教材練習、想一想于教學過程中，增設了由淺入深、各不相同卻又緊密相關的訓練題目，為學生順利掌握因式分解概念及其與整式乘法關系創(chuàng)造了有利條件。教學過程安排

一、提出問題，創(chuàng)設情境

問題：看誰算得快？

(1)若a=101,b=99,則a2-b2=(a+b)(a-b)=(101+99)(101-99)=400

(2)若a=99,b=-1,則a2-2ab+b2=(a-b)2=(99+1)2=10000

(3)若x=-3,則20x2+60x=20x（x+3）=20x(-3)(-3+3)=0

二、觀察分析，探究新知

(1)請每題想得最快的同學談思路，得出最佳解題方法

(2)觀察：a2-b2=(a+b)(a-b)

①的左邊是一個什么式子？右邊又是什么形式？

a2-2ab+b2=(a-b)2

②

20x2+60x=20x(x+3)③

(3)類比小學學過的因數分解概念，（例42=2×3×7 ④）得出因式分解概念。板書課題： 因式分解

1．因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形式叫做因式分解，也叫分解因式。

三、獨立練習，鞏固新知

練習

1．下列由左邊到右邊的變形，哪些是因式分解？哪些不是？為什么？

①（x+2）（x-2）=x2-4

②x2-4=（x+2）（x-2）

③a2-2ab+b2=（a-b）④3a（a+2）=3a2+6a

⑤3a2+6a=3a（a+2）

2．因式分解與整式乘法的關系：

因式分解

結合：a2-b2=========（a+b）（a-b）

整式乘法

說明：從左到右是因式分解其特點是：由和差形式（多項式）轉化成整式的積的形式；從右到左是整式乘法其特點是：由整式積的形式轉化成和差形式（多項式）。

(2)∵xy（）=2x2y-6xy2

∴2x2y-6xy2=xy（）

(3)∵2x（）=2x2y-6xy2

∴2x2y-6xy2=2x（）

四、強化訓練，掌握新知：

練習3：把下列各式分解因式：

(1)2ax+2ay

(2)3mx-6nx

(3)x2y+xy(4)x2+-x

(5)x2-0.01

（讓學生上來板演）

五、整理知識，形成結構（即課堂小結）

1．因式分解的概念 因式分解是整式中的一種恒等變形

2．因式分解與整式乘法是兩種相反的恒等變形，也是思維方向相反的兩種思維方式，因此，因式分解的思維過程實際也是整式乘法的逆向思維的過程。

3．利用2中關系，可以從整式乘法探求因式分解的結果。

4．教學中滲透對立統一，以不變應萬變的辯證唯物主義的思想方法。

六、布置作業(yè)

1．作業(yè)本

（一）中§7.1節(jié)

評價與反饋

1．通過由學生自己得出因式分解概念及其與整式乘法的關系的結論，了解學生觀察、分析問題的能力和逆向思維能力及創(chuàng)新能力。發(fā)現問題，及時反饋。

2．通過例題及練習，了解學生對概念的理解程度和實際運用能力，最大限度地讓學生暴露問題和認知誤差，及時發(fā)現和彌補教與學中的遺漏和不足，從而及時調控教與學。

3．通過課后作業(yè)，了解學生對知識的掌握情況與綜合運用知識及靈活運用知識的能力，教師及時批閱，及時反饋講評，同時對個別學生面批作業(yè)，可以更及時、更準確地了解學生思維發(fā)展的情況，矯正的針對性更強。

4．通過課堂小結，了解學生對概念的熟悉程度和歸納概括能力、語言表達能力、知識運用能力，教師恰當地給予引導和啟迪。

第五篇：魯教版八年級數學上冊 第一章 因式分解 單元測試

第一章因式分解單元測試

一.單選題（共10題；共30分）

1.4x2-12x+m2是一個完全平方式，則m的值應為（）

A.3?????????????????????????????????????????B.-3?????????????????????????????????????????C.3或-3?????????????????????????????????????????D.9

2.下列多項式，能用完全平方公式分解因式的是（）

A.x2+xy+y2????????????????????????????B.x2-2x-1????????????????????????????C.-x2-2x-1????????????????????????????D.x2+4y2

3.已知多項式分解因式為，則的值為（）

A.B.C.D.4.下列分解因式正確的是（）

A.B.C.D.5.若m＞-1，則多項式m3-m2-m+1的值為（）

A.正數??????????????????????????????????B.負數??????????????????????????????????C.非負數??????????????????????????????????D.非正數

6.下列從左到右的變形，是因式分解的是（）

A.（a+3）（a﹣3）=a2﹣9??????????????????????????????????B.x2+x﹣5=x（x+1）﹣5

C.x2+4x+4=（x+2）2??????????????????????????????????????????D.x2﹣4=（x﹣2）2

7.如果多項式x2﹣mx+6分解因式的結果是（x﹣3）（x+n），那么m，n的值分別是（）

A.m=﹣2，n=5????????????????????B.m=2，n=5??????????????????C.m=5，n=﹣2??????????????????D.m=﹣5，n=2

8.﹣（3x﹣1）（x+2y）是下列哪個多項式的分解結果（）

A.3x2+6xy﹣x﹣2y???????????B.3x2﹣6xy+x﹣2y???????????C.x+2y+3x2+6xy???????????D.x+2y﹣3x2﹣6xy

9.不論a，b為何有理數，a2+b2﹣2a﹣4b+c的值總是非負數，則c的最小值是（）

A.4???????????????????????????????????????B.5???????????????????????????????????????C.6???????????????????????????????????????D.無法確定

10.下列各式從左到右的變形為分解因式的是（）

A.m2﹣m﹣6=（m+2）（m﹣3）B.（m+2）（m﹣3）=m2﹣m﹣6

C.x2+8x﹣9=（x+3）（x﹣3）+8x??????????????????????D.x2+1=x（x+）

二.填空題（共8題；共24分）

11.因式分解：a2﹣2a=?________

.12.因式分解：x2﹣1=?________.13.分解因式：9a﹣a3=________?．

14.分解因式：4x3﹣2x=________

15.分解因式：4ax2﹣ay2=________．

16.分解因式：a3﹣a=________．

17.已知a+b=3，ab=2，則a2b+ab2=________．

18.分解因式：xy4﹣6xy3+9xy2=________．

三.解答題（共6題；共42分）

19.已知關于x的多項式2x3+5x2﹣x+b有一個因式為x+2，求b的值．

20.分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），求m，n．

21.已知：a﹣b=﹣2015，ab=﹣，求a2b﹣ab2的值．

22.我們對多項式x2+x﹣6進行因式分解時，可以用特定系數法求解．例如，我們可以先設x2+x﹣6=（x+a）（x+b），顯然這是一個恒等式．根據多項式乘法將等式右邊展開有：x2+x﹣6=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab

所以，根據等式兩邊對應項的系數相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得a=3，b=﹣2或者a=﹣2，b=3．所以x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．當然這也說明多項式x2+x﹣6含有因式：x+3和x﹣2．

像上面這種通過利用恒等式的性質來求未知數的方法叫特定系數法．利用上述材料及示例解決以下問題．

（1）已知關于x的多項式x2+mx﹣15有一個因式為x﹣1，求m的值；

（2）已知關于x的多項式2x3+5x2﹣x+b有一個因式為x+2，求b的值．

24.（1）計算：（﹣a2）3b2+2a4b

（2）因式分解：3x﹣12x3

．

答案解析

一.單選題

1.【答案】C

【考點】因式分解-運用公式法

【解析】【分析】根據完全平方式的構成即可得到結果。

【解答】∵4x2-12x+m2=(2x)2-2×2x×3+m2，∴m2=32=9，解得m=

故選C.【點評】解答本題的關鍵是熟練掌握完全平方公式。

2.【答案】C

【考點】因式分解-運用公式法

【解析】【解答】x2+2xy+y2=（x+y)2，x2-2x+1=（x-1)2；-x2-2x-1=-（x+1)2；x2+4xy+y2=（x+2y)2，故選C．

【分析】由于x2+2xy+y2=（x+y)2，x2-2x+1=（x-1)2，-x2-2x-1=-（x+1)2，x2+4xy+y2=（x+2y)2，則說明只有-x2-2x-1能用完全平方公式分解因式．本題考查了運用完全平方公式分解因式：a2±2ab+b2=（a±b)2

．

3.【答案】C

【考點】因式分解的應用

【解析】【分析】去括號可得。

故

故選擇C。

【點評】本題難度較低，主要考查學生對分解因式整式運算知識點的掌握，去括號整理化簡即可。

4.【答案】D

【考點】因式分解的意義

【解析】【分析】根據提公因式法和公式法分別分解因式，從而可判斷求解．

選項A、，故錯誤；

選項B、，故錯誤；

選項C、，故錯誤；

選項D、，故正確．故選D．

5.【答案】C

【考點】多項式，因式分解的應用，因式分解-分組分解法

【解析】【解答】多項式m3-m2-m+1

=（m3-m2）-（m-1），=m2（m-1）-（m-1），=（m-1）（m2-1）

=（m-1）2（m+1），∵m＞-1，∴（m-1）2≥0，m+1＞0，∴m3-m2-m+1=（m-1）2（m+1）≥0．

選：C．

【分析】解此題時可把多項式m3-m2-m+1分解因式，根據分解的結果即可判斷

6.【答案】C

【考點】因式分解的意義

【解析】【解答】解：A、（a+3）（a﹣3）=a2﹣9是多項式乘法運算，故此選項錯誤；

B、x2+x﹣5=x（x+1）﹣5，不是因式分解，故此選項錯誤；

C、x2+4x+4=（x+2）2，是因式分解，故此選項正確；

D、x2﹣4=（x﹣2）（x+2），故此選項錯誤．

故選：C．

【分析】根據把多項式寫出幾個整式積的形式叫做因式分解對各選項分析判斷后利用排除法求解．

7.【答案】C

【考點】因式分解的應用

【解析】【解答】解：x2﹣mx+6=（x﹣3）（x+n）=x2+（n﹣3）x﹣3n，可得﹣m=n﹣3，﹣3n=6，解得：m=5，n=﹣2．

故選C

【分析】因式分解的結果利用多項式乘以多項式法則計算，利用多項式相等的條件求出m與n的值即可．

8.【答案】D

【考點】因式分解-分組分解法

【解析】【解答】解：3x2+6xy﹣x﹣2y=（3x﹣1）（x+2y），A錯誤；

3x2﹣6xy+x﹣2y=（3x﹣1）（x﹣2y），B錯誤；

x+2y+3x2+6xy=（3x+1）（x+2y），C錯誤；

x+2y﹣3x2﹣6xy=﹣（3x﹣1）（x+2y），D正確．

故選：D．

【分析】根據分組分解法把各個選項中的多項式進行因式分解，選擇正確的答案．

9.【答案】B

【考點】因式分解的應用

【解析】【解答】解：∵a2+b2﹣2a﹣4b+c=（a﹣1）2﹣1+（b﹣2）2﹣4+c=（a﹣1）2+（b﹣2）2+c﹣5≥0，∴c的最小值是5；

故選B．

【分析】先把給出的式子通過完全平方公式化成（a﹣1）2﹣1+（b﹣2）2﹣4+c≥，再根據非負數的性質，即可求出c的最小值．

10.【答案】A

【考點】因式分解的意義，因式分解-十字相乘法

【解析】【解答】解：A、符合因式分解的定義，是因式分解，故正確；

B、是多項式乘法，故不符合；

C、右邊不是積的形式，故不表示因式分解；

D、左邊的多項式不能進行因式分解，故不符合；

故選A.二.填空題

11.【答案】a（a﹣2）

【考點】因式分解-提公因式法

【解析】【解答】a2﹣2a=a（a﹣2）．

故答案為：a（a﹣2）．

【分析】先確定公因式是a，然后提取公因式即可．

12.【答案】（x+1）（x﹣1）

【考點】因式分解-運用公式法

【解析】【解答】解：原式=（x+1）（x﹣1）．

故答案為：（x+1）（x﹣1）

【分析】代數式利用平方差公式分解即可．

13.【答案】a（3+a）（3﹣a）

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】

9a﹣a3，=“a”

（9﹣a2），=a（3+a）（3﹣a）．

【分析】

本題主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟記公式是解題的關鍵，難點在于要進行二次分解因式．

先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解．

14.【答案】2x（2x2﹣1）

【考點】公因式

【解析】【解答】解：4x3﹣2x=2x（2x2﹣1）．

故答案為：2x（2x2﹣1）．

【分析】首直接提取公因式2x，進而分解因式得出答案．

15.【答案】a（2x+y）（2x﹣y）

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】解：原式=a（4x2﹣y2）

=a（2x+y）（2x﹣y），故答案為：a（2x+y）（2x﹣y）．

【分析】首先提取公因式a，再利用平方差進行分解即可．

16.【答案】a（a+1）（a﹣1）

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】解：a3﹣a，=a（a2﹣1），=a（a+1）（a﹣1）．

故答案為：a（a+1）（a﹣1）．

【分析】先提取公因式a，再對余下的多項式利用平方差公式繼續(xù)分解．

17.【答案】6

【考點】因式分解-提公因式法

【解析】【解答】解：∵a+b=3，ab=2，∴a2b+ab2=ab（a+b）=6．

故答案為：6．

【分析】首先將原式提取公因式ab，進而分解因式求出即可．

18.【答案】xy2（y﹣3）2

【考點】提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【解答】解：原式=xy2（y2﹣6y+9）=xy2（y﹣3）2，故答案為：xy2（y﹣3）2

【分析】原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

三.解答題

19.【答案】解：∵x的多項式2x3+5x2﹣x+b分解因式后有一個因式是x+2，當x=﹣2時多項式的值為0，即16+20﹣2+b=0，解得：b=﹣34．

即b的值是﹣34．

【考點】因式分解的意義

【解析】【分析】由于x的多項式2x3+5x2﹣x+b分解因式后有一個因式是x+2，所以當x=﹣2時多項式的值為0，由此得到關于b的方程，解方程即可求出b的值．

20.【答案】解：∵分解2x4﹣3x3+mx2+7x+n，其中含因式（x+2）和（x﹣1），∴x=1、x=﹣2肯定是關于x的方程2x4﹣3x2+mx2+7x+n=0的兩個根，∴2-3+m+7+n=032-24+4m-14+n=0，解得：m=-103n=-83

【考點】因式分解的意義

【解析】【分析】由“多項式2x4﹣3x3+mx2+7x+n含有因式（x﹣1）和（x+2）”得到“x=1、x=﹣2肯定是關于x的方程2x4﹣3x3+mx2+7x+n=0的兩個根”，所以將其分別代入該方程列出關于m、n的方程組，通過解方程組來求m、n的值．

21.【答案】解：∵a2b﹣ab2=ab（a﹣b），∴ab（a﹣b）=（﹣2015）×（﹣）=2016．

【考點】代數式求值，因式分解-提公因式法

【解析】【分析】首先把代數式因式分解，再進一步代入求得數值即可．

22.【答案】解：（1）由題設知：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，故m=n﹣1，﹣n=﹣15，解得n=15，m=14．

故m的值是14；

（2）由題設知：2x3+5x2﹣x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2x3+（2k+t+4）x2+（4k+2t+kt）x+2kt，∴2k+t+4=5，4k+2t+kt=﹣1，2kt=b．

解得：k1=32，k2=﹣1．

∴t1=﹣2，t2=3．

∴b1=b2=2kt=﹣6．

【考點】因式分解-運用公式法，因式分解的應用

【解析】【分析】（1）根據多項式乘法將等式右邊展開有：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，所以，根據等式兩邊對應項的系數相等可以求得m的值；

（2）解答思路同（1）．

23.【答案】解：（1）證明：

z=3x（3y﹣x）﹣（4x﹣3y）（x+3y）

=9xy﹣3x2﹣（4x2+9xy﹣9y2）

=9xy﹣3x2﹣4x2﹣9xy+9y2

=﹣7x2+9y2

∵x是3的倍數時，∴z能被9整除．

（2）當y=x+1時，則z=﹣7x2+9（x+1）2

=2x2+18x+9

=2（x+92）2﹣632

∵2（x+98）2≥0

∴z的最小值是﹣632

．

【考點】因式分解-運用公式法，因式分解的應用

【解析】【分析】（1）首先利用整式的乘法計算方法計算，進一步合并求證得出答案即可；

（2）把y=x+1代入（1）中，整理利用二次函數的性質解決問題．

24.【答案】解：（1）原式=﹣a6b2+2a4b；

（2）原式=﹣3x（x2﹣1）=﹣3x（x+1）（x﹣1）．

【考點】整式的混合運算，提公因式法與公式法的綜合運用

【解析】【分析】（1）原式利用冪的乘方與積的乘方運算法則計算即可得到結果；

（2）原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可．