第一篇：1排列組合與二項(xiàng)式定理教案(多份)

2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

§16.1 計(jì)數(shù)原理1—乘法原理（分步計(jì)數(shù)原理）

一、問題引入

常見船上懸掛有紅、藍(lán)、白三種顏色的旗幟，代表了不同的信號、不同的含義，隨著排列順序不同、懸掛數(shù)目不同，能表達(dá)多少種不同的信號？

路上有10盞路燈，為了節(jié)能，關(guān)閉其中三盞燈有多少種關(guān)法？如果三盞燈還要不相鄰，又有多少種關(guān)法？

這便是我們這一章節(jié)主要要學(xué)習(xí)、討論的內(nèi)容，先從最基本的計(jì)數(shù)原理講起．

二、教學(xué)過程

1、（1）參照《課本》P49圖，討論從A到B的不同走法情況．

答：

（2）從甲地到乙地，要從甲地先乘火車到丙地，再于次日從丙地乘汽車到乙地．一天中，火車有3班，汽車有2班，那么兩天中，從甲地到乙地共有多少種不同的走法？

2、乘法原理

①一般地，如果做成一件事情要分為n個(gè)步驟，而完成其中每一步驟又有若干種不同方法，則做成這件事情的方法總數(shù)，可以用分步計(jì)數(shù)原理得到． 乘法原理：如果完成一件事需要n個(gè)步驟，第1步有m1種不同的方法，第2步有m2種不同的方法，??，第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N?m1m2m3?mn種不同的方法． ②注意：m1、m2、mn對應(yīng)的都是完成每一相應(yīng)步驟的方法數(shù)，必須所有步驟都完成后，整件事情才算

完成．

例

1、（1）4名同學(xué)選報(bào)跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，每人報(bào)一項(xiàng)，共有多少種報(bào)名方法？（2）4名同學(xué)爭奪跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三項(xiàng)冠軍，共有多少種可能的結(jié)果？（3）4名同學(xué)爭奪跑步項(xiàng)目的前三名，有多少種可能？（4）4名同學(xué)中選3人分別報(bào)名跑步、跳高、跳遠(yuǎn)三個(gè)項(xiàng)目，有多少種報(bào)名方法？（5）3封信投4個(gè)郵箱，幾種投法？（6）四種型號電視機(jī)搞促銷，3個(gè)顧客各選購一臺，幾種選法？（7）四臺不同型號電視機(jī)搞促銷呢？（8）5名同學(xué)去聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)課外知識講座

例

2、（1）?a1?a2?a3??b1?b2?b3?b4??c1?c2?展開后共有多少項(xiàng)？（2）540的不同正約數(shù)有多少個(gè)？

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例

3、已知x???1,?2,3,4,5?，y???3,4,5,6?，則M?x,y?共可以表示多少個(gè)不同的點(diǎn)？多少個(gè)第2象限點(diǎn)？多少個(gè)不在直線y?x上的點(diǎn)？

例

4、（1）0、1、2、3、4、5能組成多少四位數(shù)？

（2）0、1、2、3、4、5能組成多少無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（3）0、1、2、3、4、5能組成多少無重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)？（4）1、2、3、4、5能組成多少無重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)？

例

5、（1）已知A??0,1,2,3?，若a,b,c?A，且a,b,c互不相等，則可表示的所有一元二次方程ax2?bx?c?0有多少？

（2）若a??1,2,3,5?，b??1,2,3,5?，則能表示多少條不同的直線y?bx？ a22（3）若a??3,4,5?，b??0,2,7,8?，r??1,8,9?，可表示多少不同的圓?x?a???y?b??r2？

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§16.2 排列

一、教學(xué)過程

1、排列：一般地，從n個(gè)元素中取出m（m?n）個(gè)元素，按照一定次序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列． 特點(diǎn)：元素順序不同，對應(yīng)了不同的情況． 如果問題3中改為選取2人充當(dāng)主持而不分正副，則還是排列問題嗎？

2、如何判斷兩個(gè)排列是否相同？ 答：判斷元素是否相同；排列順序是否相同． 例

1、判斷下列問題是否排列問題：

（1）從1，2，3，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)相減（除），可得多少種不同的結(jié)果？（2）從1，2，3，5中任取兩個(gè)不同的數(shù)相加（乘），可得多少種不同的結(jié)果？（3）有12個(gè)車站，共需要準(zhǔn)備多少種普通票？（4）在（3）中共有多少種不同的票價(jià)？

（5）某班有50名同學(xué)，假期約定每2人通一次信，共需寫信多少封？（6）把（5）中寫信問題改為會面，共需通電話多少次？（7）把（5）中通信換成互贈(zèng)照片，共需準(zhǔn)備照片多少張？

3、排列數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m（m?n）個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號Pnm表示． 注：關(guān)于排列數(shù)的計(jì)算，Pn1表示n個(gè)元素里選取1個(gè)元素排成一列的情況，即n個(gè)元素選1個(gè)元素的選法，所以Pn1?n，至于其他情況，有如下分析．

4、排列數(shù)公式：一般地，排列數(shù)Pnm可以按從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素依次填入m個(gè)空位來考慮． Pnm?n?n?1??n?2??????n??m?1? ?????????????共m項(xiàng)

例

2、用排列數(shù)表示?n?m??n?m?1???n?m?15?，其中m,n?N，m?n．

5、全排列

①n個(gè)不同元素全部取出的一個(gè)排列，叫做n個(gè)元素的一個(gè)全排列． 這時(shí)，排列數(shù)公式中的m?n，即有 ?

Pnn?n??n?1???n?2????3?2?1 這就是說，n個(gè)不同元素全部取出的排列數(shù)，等于正整數(shù)1到n的連乘積． ②正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘，用n!表示． 規(guī)定，0!?1． ③Pnn?n!為了保證全排列m?n時(shí)也能成立，我們規(guī)定0!?1．

例3、1!?2!?3!?4!?5!???100!的個(gè)位數(shù)字是多少？

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例

4、解方程：（1）?n?3?!1m?1 ?

（2）P23n?10Pn

3（3）5P9m?3mP10?n?2?!3

nn?1n例

5、求證：Pm?nPm?Pm?1．

例

6、從0，1，2，3，4中選取3個(gè)數(shù)字，組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中比200大的三位數(shù)有幾個(gè)？

例7、15支球隊(duì)進(jìn)行雙循環(huán)賽，即每隊(duì)都要與其余各隊(duì)在主客場分別比賽1場，共進(jìn)行多少場比賽？（如改為單循環(huán)賽呢？）

例8、10個(gè)人排隊(duì)，按以下要求有多少種不同排法？（1）任意排成一排；

（2）排成兩排，每排5人；（3）甲不在隊(duì)首；

（4）甲乙丙必須在奇數(shù)位上；

（5）甲在奇數(shù)位上，乙丙在偶數(shù)位上；（6）甲乙丙三人必須在一起；

（7）甲乙丙三人必須在一起，丙又在甲乙中間；（8）甲乙丙三人中任意兩人不排在一起；（9）甲始終坐在乙的右側(cè)．

例9、5男5女共10個(gè)同學(xué)排成一行，（1）女生都排在一起，有幾種排法？（2）女生與男生相間，有幾種排法？

（3）任何兩個(gè)男生都不相鄰，有幾種排法？（4）5名男生不排在一起，有幾種排法？

（5）男生甲與男生乙中間必須排而且只能排2位女生，女生又不能排在隊(duì)伍的兩端，有幾種排法？（6）5名男生坐在一起，男生甲在乙的右側(cè)，有幾種排法？

例

10、用1，2，3，4，5，6，7組成無重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)中，若2，4，6次序一定，有多少種不同的七位數(shù)？如改為1，3，5，7次序一定呢？2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

§16.3 計(jì)數(shù)原理2—加法原理（分類計(jì)數(shù)原理）

一、教學(xué)過程

1、加法原理

如果完成一件事有n類的辦法，在第1類辦法中有m1種不同的方法，在第2類辦法中有m2種不同的方法，??，在第n類辦法中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N?m1?m2?m3???mn種不同的方法．

2、注意

①各類方法間相互獨(dú)立，通過每一類方法都能完成整件事； ②分類時(shí)，確定一個(gè)分類的標(biāo)準(zhǔn)，不重復(fù)不遺漏； ③分類時(shí)要注意“類”與“類”之間的獨(dú)立性和并列性；分步時(shí)要注意“步”與“步”之間的連續(xù)性． 例

1、給定數(shù)字0，1，2，3，4，5，每個(gè)數(shù)字最多用一次，（1）可以組成多少個(gè)自然數(shù)？（2）可以組成多少個(gè)奇數(shù)？（3）可以組成多少個(gè)四位偶數(shù)？

（4）可以組成多少個(gè)比2300大的四位數(shù)？（5）可以組成多少個(gè)比240135大的數(shù)？（6）可以組成多少個(gè)能被5整除的四位數(shù)？（7）可以組成多少個(gè)能被25整除的四位數(shù)？

例

2、在3000和8000之間，有多少個(gè)無重復(fù)數(shù)字的奇數(shù)？

例

3、某天課程表排入數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)、語文、英語、體育各一節(jié)，（1）體育不排第一節(jié)，也不排第三節(jié)，幾種不同排法？（2）第一節(jié)不排體育，第三節(jié)不排數(shù)學(xué)，有多少種不同的排法？

二、課后練習(xí)

1、將a、b、c、d、e、f六個(gè)不同元素排成一列，其中a不排在首位，b不排在末位，有幾種排法？

2、從9本不同的書中取出6本排在書架上，滿足下列條件之一，分別有幾種方法？（1）某一本書必須排在左端或右端；（2）某一本書不能排在兩端；

（3）某兩本書，A不能排在左端，B不能排在右端．2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

§16.4 組合

一、教學(xué)過程

1、組合：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m（m?n）個(gè)元素組成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合． 從排列和組合的定義可以知道，排列與元素的次序有關(guān)，而組合與元素的次序無關(guān)．

2、如何判斷兩個(gè)組合是否相同？ 元素相同（不管元素的次序是否相同）

3、組合數(shù) 從n個(gè)不同元素中取出m（m?n）個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用符號Cnm表示． 1注：關(guān)于排列數(shù)的計(jì)算，Cn表示n個(gè)元素里選取1個(gè)元素的情況，即n個(gè)元素選1個(gè)元素的選法，所100n?Pn1?n；Cn?1；Cn以Cn表示n個(gè)元素里一個(gè)都不選的選法數(shù)，顯然Cn表示n個(gè)元素里選取n個(gè)元素的選法數(shù)，顯然，Cnn?1，至于其他情況，有如下分析． Pnmn?n?1??n?2???n!?n??m?1????

4、組合數(shù)公式：C?m?，其中m?n． m!m!?n?m?!Pmmn例

1、解方程：C?C?C．

m?1m?1m例

2、證明：Cn?Cn?1．

n?

15、組合的應(yīng)用題

例

3、現(xiàn)從5位男同學(xué)、4位女同學(xué)中選出5名代表，（1）男甲、女A都必須當(dāng)選，有幾種選法？

（2）男甲必須當(dāng)選，女A不能當(dāng)選，有幾種選法？（3）至少有一個(gè)女同學(xué)當(dāng)選，有幾種選法？（4）最多有三個(gè)女同學(xué)當(dāng)選，有幾種選法？

例

4、要從12人中選出5人去參加一項(xiàng)活動(dòng)，按下列要求，有多少種不同選法？（1）A、B、C三人必須入選；（2）A、B、C三人不能入選；（3）A、B、C三人只有一人入選；（4）A、B、C三人至少一人入選；（5）A、B、C三人至多二人入選．2n2n?12n?2 2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

例

5、某醫(yī)院有內(nèi)科醫(yī)生12名，外科醫(yī)生8名，現(xiàn)選派5名參加賑災(zāi)醫(yī)療隊(duì)，（1）某內(nèi)科醫(yī)生甲與某外科醫(yī)生乙必須參加，共有多少種不同選法？（2）甲、乙均不能參加，有多少種選法？

（3）甲、乙二人至少有一人參加，有多少種選法？（4）隊(duì)中至少有一名內(nèi)科醫(yī)生和一名外科醫(yī)生，有幾種選法？

例

6、（1）某出版社的11名工人中，有5人只會排版，4人只會印刷，還有2人既會排版又會印刷．現(xiàn)從這11人中選出4人排版、4人印刷，有幾種不同的選法？

（2）由13個(gè)人組成的課外活動(dòng)小組，其中5個(gè)人只會跳舞，5個(gè)人只會唱歌，3個(gè)人既會唱歌，也會跳舞，若從中選出4個(gè)會跳舞和4個(gè)會唱歌的人去演節(jié)目，共有多少種不同的選法？

6、組合數(shù)的性質(zhì) ①性質(zhì)

1、Cnm?Cnn?m mm?1m?1?Cn?Cn②性質(zhì)

2、Cn?1 例

7、計(jì)算：C?C

例

8、解方程：

x?12x?283?C17?Cn（1）C17

（2）Cn

?n3n12n?3?C21例

9、求值：（1）C338（2）C2nn??n?n；3?Cn?1

例

10、計(jì)算：

***6?C4?C5?C6?C7?C8?C9?C6?C7?C8?C9?C7?C8?C9（1）C4；（2）C5；（3）C52?C6

13m?12?C32?C4???Cm?Cm例

11、證明：C2?1?1 1315810 2013屆高三第一輪復(fù)習(xí)講義——復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)高三數(shù)學(xué)備課組

§16.5 二項(xiàng)式定理

一、教學(xué)過程

1、二項(xiàng)式定理： ①一般地，對于任意正整數(shù)n有 ?a?b?n0n01n?112n?22n?rrn?rn?11n?1n0n?Cnab?Cnab?Cnab???Cnab???Cnab?Cnab ②右邊的多項(xiàng)式叫做?a?b?的二項(xiàng)展開式，它一共有n?1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)Cnr（r?0，1，2，?）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，式中的Cnran?rbr叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，它是二項(xiàng)展開式中的第r?1項(xiàng)，用Tr?1表示，即 rn?rrTr?1?Cnab． n例

1、求?1??的二項(xiàng)展開式．

x???1?4

1??例

2、求?2x??的二項(xiàng)展開式．

x??6

12例

3、（1）求?x?a?的二項(xiàng)展開式的中間項(xiàng)；

1??（2）求?x??的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)；

x??91??（3）求?2x??的展開式中x3的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)；

x??91??2（4）求?x??的二項(xiàng)展開式中x的系數(shù)．

x??8

?x3?例

4、（1）求???的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)；

x??31??（2）求?3x??的二項(xiàng)展開式中的常數(shù)項(xiàng)；

x??2??（3）求?x?4?的二項(xiàng)展開式中的有理項(xiàng)；

x??1?5?（4）若?x2??的二項(xiàng)展開式中x3的系數(shù)為，求a的值．

ax?2?691516

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1??例

5、已知?x?4?的二項(xiàng)展開式中，前三項(xiàng)系數(shù)成等差數(shù)列，求二項(xiàng)展開式中的所有有理項(xiàng)．

2x??n

1??例

6、（1）設(shè)?x2??的展開式中含有非零常數(shù)項(xiàng)，求正整數(shù)n的最小值；

2x??n（2）若?x?2??xn?xn?1???ax3?bx2?cx?2n（n?N，n?3）且a:b?3:2，求n．

例

7、計(jì)算：

1n?12n?2rn?rn（1）2n?Cn； 2?Cn2?????1?Cn2?????1?Cn01n?1n?Cn???Cn?Cn（2）Cn；

12n?1n?4Cn???2n?1Cn?2nCn（3）1?2Cn；

例

8、求5051被7除所得的余數(shù)．

二、二項(xiàng)式系數(shù)性質(zhì)： nrn1、觀察二項(xiàng)式系數(shù)表，探究規(guī)律 ①每一行中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等； ②每一行兩端都是1，其余位置的每一個(gè)數(shù)都等于它“肩上”兩個(gè)數(shù)的和； ③每一行中，二項(xiàng)式系數(shù)先是逐漸增大至最大，然后逐漸減小，越靠近中間越大，左右對稱．

2、一般地，二項(xiàng)式系數(shù)有如下兩個(gè)性質(zhì)： ①性質(zhì)

1、?a?b?的二項(xiàng)展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等； 這一性質(zhì)可直接由公式Cnm?Cnn?m得到． ②性質(zhì)

2、?a?b?的二項(xiàng)展開式中，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和等于2n． 1n?1n將a?b?1分別代入?a?b?和它的二項(xiàng)展開式中，即有2n?Cn0?Cn???Cn?Cn． nnn

例

8、求證：在?a?b?的二項(xiàng)展開式中，奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和．

n 9

第二篇：高中數(shù)學(xué) 排列組合與二項(xiàng)式定理

排列組合與二項(xiàng)式定理

1．（西城區(qū)）在(2x2?

A．－5 1x)的展開式常數(shù)項(xiàng)是 6 D．60（）B．15 C．－60

2．（東城區(qū)）8名運(yùn)動(dòng)員參加男子100米的決賽.已知運(yùn)動(dòng)場有從內(nèi)到外編號依次為1，2，3，4，5，6，7，8的八條跑道，若指定的3名運(yùn)動(dòng)員所在的跑道編號必須是三個(gè)連續(xù)

數(shù)字（如：4，5，6），則參加比賽的這8名運(yùn)動(dòng)員安排跑道的方式共有（）A．360種 B．4320種 C．720種 D．2160種

3．（海淀區(qū)）從3名男生和3名女生中，選出2名女生1名男生分別擔(dān)任語文、數(shù)學(xué)、英語的課代表，則選派方案共有（）

A．18種B．36種C．54種D．72種

4．(崇文區(qū))某運(yùn)動(dòng)隊(duì)從5名男運(yùn)動(dòng)員和6名女運(yùn)動(dòng)員中選出兩名男運(yùn)動(dòng)員和兩名女運(yùn)動(dòng)員舉行乒乓球混合雙打比賽，對陣雙方各有一名男運(yùn)動(dòng)員和一名女運(yùn)動(dòng)員，則不同的選法共有

A．50種B．150種C．300種 D．600種（）

5．（豐臺區(qū)）把編號為1、2、3、4的4位運(yùn)動(dòng)員排在編號為1、2、3、4的4條跑道中，要求有且只有兩位運(yùn)動(dòng)員的編號與其所在跑道的編號相同，共有不同的排法種數(shù)是()

A． 3B．6C．12D．2

46．（朝陽區(qū)）從4位男教師和3位女教師中選出3位教師，派往郊區(qū)3所學(xué)校支教，每校1人.要求這3位教師中男、女教師都要有，則不同的選派方案共有（）

A．210種

x

6B．186種 7C．180種 D．90種 7．（東城區(qū)）已知(x?)展開式的第4項(xiàng)的值等于5，則x= 48．（海淀區(qū)）在(ax?1)的展開式中x的系數(shù)是240，則正實(shí)數(shù)a9．（宣武區(qū)）設(shè)二項(xiàng)式(33x?1

x)的展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為P，所有二項(xiàng)式系數(shù)的和為S，n

若P+S=272，則n=,其展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.210．(崇文區(qū))若(x?1

x2)展開式中只有第四項(xiàng)的系數(shù)最大，則，展開式中的第五n

項(xiàng)為

11．（豐臺區(qū)）.在(x?1

a)的展開式中，含x與x項(xiàng)的系數(shù)相等，則a的值是 754

12．（朝陽區(qū)）若(1－ax)6的展開式中x4的系數(shù)是240，則實(shí)數(shù)a的值是

13．（宣武區(qū)）現(xiàn)有A、B、C、D、E、F、共6位同學(xué)站成一排照像，要求同學(xué)A、B相鄰，C、D不相鄰，這樣的排隊(duì)照像方式有

DBCCBC7.?1715x411.53;12.±213.144

第三篇：高中數(shù)學(xué)排列組合與二項(xiàng)式定理知識點(diǎn)總結(jié)

排列組合與二項(xiàng)式定理知識點(diǎn)

１．計(jì)數(shù)原理知識點(diǎn)

①乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM(分步)②加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM(分類)２． 排列（有序）與組合（無序）

Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)=n!/(n-m)!Ann =n!

Cnm = n!/(n-m)!m!

Cnm= Cnn－mCnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k!

３．排列組合混合題的解題原則：先選后排，先分再排

排列組合題的主要解題方法：優(yōu)先法：以元素為主，應(yīng)先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素.以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置.捆綁法（集團(tuán)元素法，把某些必須在一起的元素視為一個(gè)整體考慮）

插空法（解決相間問題）間接法和去雜法等等

在求解排列與組合應(yīng)用問題時(shí)，應(yīng)注意：

(1)把具體問題轉(zhuǎn)化或歸結(jié)為排列或組合問題；

(2)通過分析確定運(yùn)用分類計(jì)數(shù)原理還是分步計(jì)數(shù)原理；

(3)分析題目條件，避免“選取”時(shí)重復(fù)和遺漏；

(4)列出式子計(jì)算和作答.經(jīng)常運(yùn)用的數(shù)學(xué)思想是：

①分類討論思想；②轉(zhuǎn)化思想；③對稱思想.４．二項(xiàng)式定理知識點(diǎn)：

①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+-…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn

特別地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn

②主要性質(zhì)和主要結(jié)論：對稱性Cnm=Cnn－m

最大二項(xiàng)式系數(shù)在中間。（要注意n為奇數(shù)還是偶數(shù)，答案是中間一項(xiàng)還是中間兩項(xiàng)）所有二項(xiàng)式系數(shù)的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇數(shù)項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和＝偶數(shù)項(xiàng)而是系數(shù)的和

Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n-1 ③通項(xiàng)為第r+1項(xiàng)： Tr+1= Cnran－rbr 作用：處理與指定項(xiàng)、特定項(xiàng)、常數(shù)項(xiàng)、有理項(xiàng)等有關(guān)問題。

5.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用：解決有關(guān)近似計(jì)算、整除問題，運(yùn)用二項(xiàng)展開式定理并且結(jié)合放縮法證明與指數(shù)有關(guān)的不等式。

6.注意二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)（字母項(xiàng)的系數(shù)，指定項(xiàng)的系數(shù)等，指運(yùn)算結(jié)果的系數(shù)）的區(qū)別，在求某幾項(xiàng)的系數(shù)的和時(shí)注意賦值法的應(yīng)用。

第四篇：高中數(shù)學(xué)：排列組合與二項(xiàng)式定理測驗(yàn)試題(A)

《數(shù)學(xué)》第十章—排列組合與二項(xiàng)式定理測驗(yàn)試題(A卷)

班別：學(xué)號：姓名：成績：

一、填空題：(每空2分，共30分)

1.加法原理和乘法原理的主要區(qū)別在于：加法原理針對的是問題；乘法原理針

對的是問題。

2.一般地，從n個(gè)不同元素中，任取m(m?n)個(gè)元素，按照排成一列，叫

做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。

3.排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān)，與順序的屬于組合問題。4.從n個(gè)不同元素中取出m(m?n)個(gè)元素的所有組合的，叫做從n個(gè)不同元素

中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。

5.乘積(a1?a2?a3)(b1?b2)(c1?c2?c3?c4)展開后共有

6.從3個(gè)不同元素a、b、c中任取2個(gè)元素的所有組合是。7.A

1?A2?A3?A4?。C1?C2?C3?C4

444

?

8.已知9!=362880，則A7

9?9.已知A32320?6840，則C19?C19?

10.(n?m?1)!?(n?m)!

11.(x?3x)1

2的展開式共有13項(xiàng)，其中，中間的項(xiàng)是第項(xiàng)。

12.(x

3?2x)7的展開式的第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是6項(xiàng)的系數(shù)是

二、選擇題：(每題3分，共15分)

1.下列各式中，不等于n!的是()。

A．An

nB．

1n?

1An?1nn?1

n?1C．An?1D．nAn?12.已知Cn?1

n?1?21，那么n等于()。

A．5B．6C．7D．8

3.5名同學(xué)聽同時(shí)進(jìn)行的4個(gè)外語講座，每名同學(xué)可自由選擇聽其中1個(gè)講座，不同選

法的種數(shù)是()。

A．4

5B．5

4C．C44

5D．A5

4.在(1+x)11

展開式中，C0210131111?C11???C11()C11?C11???C11

。A．>B．=C．>D．無法確定5.凸8邊形的對角線的條數(shù)是()。A．8?72B．8?7C．8?5

2D．8?5

三、計(jì)算題：(每題8分，共40分)

1.(1)用1，2，3，4，5這5個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中有多

少個(gè)是偶數(shù)？

(2)壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一張，一共可以組成多少種不同的幣值？

2.從1、3、5、7、9中任取三個(gè)數(shù)，從2、4、6、8中任取兩個(gè)數(shù)，組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，一共可組成多少個(gè)？

3.幼師某實(shí)習(xí)小組7名同學(xué)站成一排照相，(1)如果甲、乙兩人必須站在兩端，有多少種

照相方法？(2)如果7名同學(xué)站兩排，其中3個(gè)女同學(xué)站在前排，4個(gè)男同學(xué)站在后排，四、證明題：(15分)m?1m?1mm?11．求證：Cn?Cn?2Cn?Cn?2(7分)有多少種照相方法？

4.區(qū)教育廳幼兒園某興趣班有10名小朋友,其中正副班長各1名，現(xiàn)選4名小朋友參加

某項(xiàng)活動(dòng)：(1)如果正副班長必須在內(nèi)，有多少種選法？

(2)如果正副班長至少有一人參加，有多少種選法？

5.在(1?1

2x)10展開式中，求含x-5的項(xiàng)的系數(shù)。

2.用二項(xiàng)式定理證明9910-1能被100整除。(8分)

第五篇：2011屆高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之排列組合及二項(xiàng)式定理

2011屆高三數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)之排列組合及二項(xiàng)式定理

1.熟悉排列數(shù)、組合數(shù)的計(jì)算公式；了解排列數(shù)、組合數(shù)的一些性質(zhì)：①(n?1)!?(n?1)n!，由此可得：nn!?(n?1)!?n!，n11，為相應(yīng)的數(shù)列求和創(chuàng)造了條件； ??(n?1)!n!(n?1)!

mn?mrrrrr?1mm?1m②Cn；③Cn?Cn?Cn?1?Cn?1，由此得：Cr?Cr?1?Cr?2???Cn?Cn?1；

34?35?4?320?19???3?????=___________ 11?21?2?31?2?3??18

2?13?24?35?420?19n(n?1)??????解析：原式=；記an?，數(shù)列{an}的前1?21?21?21?21?22[舉例] 1?19項(xiàng)和即為所求。記數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn；該數(shù)列的求和辦法有很多種，但都比較煩瑣，這里介紹用組合數(shù)性質(zhì)求解：注意到an?n(n?1)2=Cn?1，2[來源學(xué)*科*網(wǎng)Z*X*X*K]

22223223222=C3=C4= S19=C2?C3?C4???C20?C4???C20?C3?C4???C20

3?=C21=1330；

[鞏固1]設(shè)x?N且x?10，則(20?x)(21?x)?(29?x)等于（）

1020?x910（A）A20?x（B）A29?x（C）A29?x（D）A29?x*

[鞏固2] 已知(1?

則n=____ x)n的展開式中第9項(xiàng)、第10項(xiàng)、第11項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)成等差數(shù)列，2．解排列組合應(yīng)用題首先要明確需要完成的事件是什么；其次要辨析完成該事件的過程：分類相加（每一類方法都能獨(dú)立地完成這件事），分步相乘（每一步都不能完成事件，只有各個(gè)步驟都完成了，才能完成事件）；較為復(fù)雜的事件往往既要分類，又要分步（每一類辦法又都需分步實(shí)施）；分類討論是研究排列組合問題的重要思想方法之一，分類時(shí)要選定討論對象、確保不重不漏。

[舉例] 設(shè)集合I={1,2,3,4,5}，選擇I的兩個(gè)非空子集A和B，要使B中最小的數(shù)大于A中的最大數(shù)，則不同的選擇方法共有：（）種

A．50種B．49種C．48種D．47種

解析：本題要完成的事件是：構(gòu)造集合I的兩個(gè)非空子集；要求：B中最小的數(shù)大于A中的最大數(shù)；顯然B中的最小數(shù)不可能是1，以下分類：① B中的最小數(shù)是2，B中可以有{2，3，4，5}中的1個(gè)元素、2個(gè)元素、3個(gè)元素或4個(gè)元素，所有可能的情況有：0123=8種，此時(shí)A只有{1}這1種；集合A、B都確定了，才算完成事件，C3?C3?C3?C

3∴完成事件有8×1=8中方法；② B中的最小數(shù)是3，B中可以有{3，4，5}中的1個(gè)元素、0122個(gè)元素或3個(gè)元素，所有可能的情況有：C2=4種，此時(shí)A中可以有{1，2}中?C2?C

212的有1個(gè)元素或2個(gè)元素，有C2=3種，∴完成事件有4×3=12種方法；③ B中的最?C2

小數(shù)是4，B中可以有{4，5}中的1個(gè)元素或2個(gè)元素，所有可能的情況有2種，此時(shí)A中

123可以有{1，2，3}中的有1個(gè)元素、2個(gè)元素或3個(gè)元素，有C3=7種，∴完成事?C3?C

3件有2×7=14種方法；④ B中的最小數(shù)是5，只有{5}這1種，此時(shí)A中可以有{1，2，3，12344}中的有1個(gè)元素、2個(gè)元素、3個(gè)元素或4個(gè)元素，有C4=15種，∴完?C4?C4?C

4成事件有1×15=15種方法；故完成事件的方法總數(shù)為：8+12+14+15=49，選B。

[鞏固]從集合{O，P，Q，R，S}與{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}中各任選2個(gè)元素排成一排(字母和數(shù)字均不能重復(fù))．每排中字母O，Q和數(shù)字0至多只能出現(xiàn)一個(gè)的不同排法種數(shù)是_________．(用數(shù)字作答)．

3．對“按某種要求將n個(gè)元素排到m個(gè)位置”的問題，首先要確定研究的“抓手”：抓住元素還是抓住位置研究；再按特殊元素（特殊位置）優(yōu)先的原則進(jìn)行。

[舉例] 從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期四到星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，其中甲不能安排在星期六，乙不能安排在星期天，則不同的選派方法共有種。

解析：本題要完成的事件是：從5個(gè)不同的元素中選出4個(gè)元素，并按要求排在四個(gè)不同的位置。本題不宜抓住元素研究，因?yàn)槊恳粋€(gè)元素都不一定被選到，而每一個(gè)位置上都一定要有一個(gè)元素，故應(yīng)該抓住位置研究。先看星期六（特殊位置，優(yōu)先）：不能安排甲，可以安排乙（特殊元素，優(yōu)先）或除甲乙之外的一個(gè)同學(xué)，①安排乙：其它位置可任意安排，有

[來源學(xué)&科&網(wǎng)Z&X&X&K]

3種，②不安排乙：可以安排其他三位同學(xué)，星期日可以安排甲或另外兩個(gè)同學(xué)，星期

四、A

4112112五可任意安排，有C3C3A3 種，故不同的選派方法共有：A4+C3C3A3=78種。

3[鞏固]四個(gè)不同的小球全部放入編號為1、2、3、4的四個(gè)盒中。（1）恰有兩個(gè)空盒的放法有種；（2）甲球只能放入2號或3好盒，而乙球不能放入4號盒的不同放法有種。

4．解決排列組合問題還要遵循“先選后排”、“正難則反”（即去雜法）等原則；[來源:學(xué)?？?。網(wǎng)Z。X。X。K]

[舉例]某通訊公司推出一組手機(jī)卡號碼，卡號的前七位數(shù)字固定，從“???????0000”到“???????9999”共10000個(gè)號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數(shù)字“4”或“7”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為（）（福建文科第12題）Ａ．2000Ｂ．4096Ｃ．5904Ｄ．8320

解析：直接考慮帶有數(shù)字“4”或“7”的情況太多，逐一討論非常麻煩；考慮事件的反面：后四位不帶有數(shù)字“4”或“7”的，有84個(gè)，故“優(yōu)惠卡”的個(gè)數(shù)為104-84=5904。

[鞏固]四位同學(xué)乘坐一列有6節(jié)車廂的動(dòng)車組，則他們至少有兩人在同一節(jié)車廂的的情況共有種？(用數(shù)字作答)．

5．熟悉幾個(gè)排列組合問題的基本模型：①部分元素“相鄰”（捆綁法），②部分元素“不相鄰”（用要求“不相鄰”的元素插空），③部分元素有順序（n個(gè)元素全排，其中m個(gè)元素

m要求按給定順序排列的方法數(shù)為Cn(n?m)!=

nnCnkC(nk?1)nC(nk?2)n?Cnn!），④平均分組（kn個(gè)元素平均分成k組m!的方法數(shù)為k!），⑤相同元素分組（用“擋板法”）等。

[舉例1]某校安排6個(gè)班到3個(gè)工廠進(jìn)行社會實(shí)踐，每個(gè)班去一個(gè)工廠，每個(gè)工廠至少安排一個(gè)班，不同的安排方法共有種。

解析：先將6個(gè)班分成3組，在將3個(gè)組分到3個(gè)工廠。6個(gè)班分成3組，從每組的人數(shù)看

22C62C4C2有3類：①4，1，1，有C種；②3，2，1，有CC種，③2，2，2，有種； 3!

46362

322C62C4C23故不同的安排方法共有：（C+CC+）×A3=540種。3!4

63623

[舉例2]某文藝小分隊(duì)到一個(gè)敬老院演出，原定6個(gè)節(jié)目，后應(yīng)老人們的要求決定增加3個(gè)節(jié)目，但原來六個(gè)節(jié)目的順序不變，且新增的3個(gè)既不在開頭也不在結(jié)尾，則這臺演出共有 種不同的演出順序。

解析：思路一：著眼于“位置”。從9個(gè)“位置”中選出6個(gè)，安排原來的6個(gè)節(jié)目，且第41和第9兩個(gè)位置必須選，而他們的順序是既定的，無需排列，所以有C7種方法，剩下的3433個(gè)位置安排新增的3個(gè)節(jié)目，有A3種方法；故所有不同的演出順序有：C7=210種。A3

思路二：在原有6個(gè)節(jié)目的基礎(chǔ)上“插空”。原來6個(gè)節(jié)目形成7個(gè)“空”，但前后兩“空”

3不能安排，共有3類情況：①新增的3個(gè)節(jié)目互不相鄰，有A5種方法；②新增的3個(gè)節(jié)目

223恰有兩個(gè)相鄰，有A3種方法，故所有不同的A5種方法；③新增的3個(gè)節(jié)目相鄰，有5A3

3223演出順序有：A5+A3=210種。A5+5A3

[鞏固1]記者要為5名志愿都和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（）（07高考北京理科第5題）

Ａ．1440種Ｂ．960種Ｃ．720種Ｄ．480種

[鞏固2]學(xué)號為1，2，3，4的四名學(xué)生的考試成績xi∈{89，90，91，92，93}（i=1，2，3，4）且滿足x1?x2?x3?x4，則這四為同學(xué)考試成績所有可能的情況有

[鞏固3]現(xiàn)有10個(gè)市級“三好生”名額分配給高三八個(gè)班級，每班至少1個(gè)，則有種不同的分配方案。

6．“抽象化歸”是解決排列組合問題的“太極拳”，“逐一列舉”是解決排列組合問題的“撒手锏”；有時(shí)，畫“樹狀圖”能使“逐一列舉”變得更加簡明、直觀。

[舉例1]已知兩個(gè)實(shí)數(shù)集合A={a1,a2,?,a100},B={b1,b2, ?,b50},若從A到B的映射f使得B中每個(gè)元素都有原象，且f(a1)≤f(a2)≤?≤f(a100),這樣的映射共有(用符號作答)。解析：本題直接考慮集合A中每一個(gè)元素在B中的象的情況非常困難。注意到集合B中每個(gè)元素都有原象，即A中有50“組”元素分別與B中的50個(gè)元素對應(yīng)；現(xiàn)將集合A中的100個(gè)元素按原有的順序分成50組，每組至少一個(gè)元素；將集合B中的元素按從小到大的順序

///排列為B={b1,b2, ?,b50}；∵f(a1)≤f(a2)≤?≤f(a100)，∴A中的“第1組”元素的象為

///b1，“第2組”元素的象為b2，?，“第50組”元素的象為b50，此處沒有排列的問題，即只要A中元素的分組確定了，映射也就隨之確定了；而A中元素的分組可視為在由這100

4949個(gè)元素所形成的99個(gè)“空”中插上49塊“擋板”，所以有C99種分法，即映射共有C99個(gè)。

[舉例2]一個(gè)同心圓形花壇分為兩個(gè)部分，如右圖，中間小圓部分

種植草坪，周圍的圓環(huán)分成5等份為a1,a2,a3,a4,a5,種植紅、黃、藍(lán)三色不同的花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，則不同的種植的方法為種。

解析：本題解法甚多，這里介紹畫“樹狀圖”列舉法。a1 a2 在右圖中，區(qū)域a1種紅花，a2種黃花時(shí)共有5種不同的種植方法；而區(qū)域a2種藍(lán)花與種黃花情況相同，區(qū)

域a1種藍(lán)花、黃花與種紅花情況相同；故所有不同的種植的方法為：3×2×5=30種 黃[鞏固1]顯示屏有一排7個(gè)小孔，每個(gè)小孔可顯示0或

1，若每次顯示其中3個(gè)孔，但相鄰的兩孔不能同時(shí)顯 紅示，則該顯示屏能顯示信號的種數(shù)共有（）種

A．10B．48C．60D．80 藍(lán) a3 紅4 黃 藍(lán)黃 5 藍(lán) 黃 藍(lán) 黃 藍(lán)

[鞏固2] 函數(shù)f:{1,2,3}?{1,2,3}滿足f(f(x))= f(x)，則這樣的函數(shù)個(gè)數(shù)共有（）

(A)1個(gè)(B)4個(gè)(C)8個(gè)(D)10個(gè) [來源學(xué)+科+網(wǎng)]

7．二項(xiàng)式定理的核心是展開式的通項(xiàng)，Tr+1=Cnab(通項(xiàng)是展開式的第r+1項(xiàng)), r=0,1,2…n，二項(xiàng)展開式共有n+1項(xiàng)。展開式的通項(xiàng)中根式宜用分?jǐn)?shù)指數(shù)表示。審題是要注意所求的是“項(xiàng)”還是“第幾項(xiàng)”還是“項(xiàng)的系數(shù)”。rn-rr

1??[舉例](1?2x)?x??的展開式中常數(shù)項(xiàng)為．（07高考全國Ⅱ卷理科第13題）x??28

181r)的展開式中常數(shù)項(xiàng)以及含x-2的項(xiàng)；Tr?1?C8rx8?r(?)r=C8(?1)rx8?2r xx

18-4由8-2r=0得r=4, 由8-2r=-2得r=5；即(x?)的展開式中常數(shù)項(xiàng)為C8，含x 2的項(xiàng)為 x解析：先求(x?

1??C(?1)x；∴(1?2x)?x??的展開式中常數(shù)項(xiàng)為C84-2C85=?

42x??

n?3[鞏固] 若?3x的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),則最小的正整數(shù)n等于。?585?228

(07高考安徽理科第12題)

[遷移]f(x)=(x+1)n，且f ′(x)展成關(guān)于x的多項(xiàng)式后x2的系數(shù)為60，則n=（）

A．7B．6C．5D．4

n8．注意辨析“系數(shù)”與“二項(xiàng)式系數(shù)”的區(qū)別；二項(xiàng)式系數(shù)和=2，其中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系

n-1數(shù)和=偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和=2，二項(xiàng)式系數(shù)先增后減，并關(guān)于中間項(xiàng)“對稱”，二項(xiàng)展開

式中，中間項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大；求二項(xiàng)展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)，用“夾逼法”。

[舉例]若(2?x)n展開式中奇數(shù)二項(xiàng)式系數(shù)和為8192，則展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為。解析：2n?1r14?r=8192得n=14，則Tr?C142(?x)r，由于(2?x)14展開式中各項(xiàng)系數(shù)正負(fù)相間，故先求其展開式中系數(shù)絕對值最大的項(xiàng)，記為第r+1項(xiàng)，于是有：

r14?rr?115?rr14?rr?113?rC142?C142①，C142?C142②；由①②解得：4≤r≤5；

4104又r=5時(shí)系數(shù)為負(fù)，∴r=4，即展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為C142x。[來源:學(xué)§科§網(wǎng)Z§X§X§K] [來源:Z_xx_k.Com]

[鞏固]若(x?1n)展開式的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，則展開式的常數(shù)項(xiàng)為（）x

（07高考重慶理科第4題）

A．10B．20C．30D．120

23n9.研究多項(xiàng)式的“系數(shù)和”一般用“賦值法”。若多項(xiàng)式f(x)=a0+a1x+a2x+a3x+……anx，則展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和=f(1)，其中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和=

=f(1)?f(?1)，偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和2

[舉例]設(shè)(1+2x)2(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a7x7,則a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=.解析：令x=1得a0+a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=0①

令x=-1得a0-a1+a2-a3+a4-a5+a6-a7=32②由①②解得：a0 +a2 +a4 +a6=16，a1+ a3+ a5+a7=-16，在令x=0得a0=1，∴a2 +a4 +a6=15，∴a1-a2+a3-a4+a5-a6+a7=-31。

[舉例2]已知(1＋x)+(1＋x)2+(1＋x)3+??+（1＋x）n＝a0+a1x+a2x2+a3x3+??+anxn，若a1+a2+??＋an-1＝29-n,則正整數(shù)n＝____________

解析：只有（1＋x）n 的展開式中才有含xn 的項(xiàng)，它的系數(shù)為1，令x=0得a0=n，23nn+1n+1令x=1得a0+a1+a2+……＋an-1+an=2+2+2+??+2=2-2,∴a1+a2+……＋an-1=2-2-1-n

∴2n+1-3-n=29-n得n=4.[來源:Zxxk.Com][來源學(xué)科網(wǎng)ZXXK]f(1)?f(?1)；展開式中的常數(shù)項(xiàng)=f(0)。2

[鞏固1]設(shè)(x2?1)(2x?1)9?a0?a1(x?2)?a2(x?2)2?

則a0?a1?a2?Ａ．?2?a11(x?2)11，（07高考江西文科第5題）?a11的值為（）Ｂ．?1Ｃ．1Ｄ．2[來源學(xué)科網(wǎng)ZXXK]

[鞏固2]已知(1?x)2?a0?a1x?a2x2?a3x3?a4x4?a5x5，則

(a0?a2?a4)(a1?a3?a5)的值等于安徽文科第12題)

[遷移]設(shè)(1?3x)?a0?a1x?a2x?a3x?a4x?a5x?a6x，則集合 623456

?a1,a2,a3,a4,a5,a6?含2 個(gè)元素的所有子集的元素總和為()

A640B630C320D31

5[來源:學(xué)_科_網(wǎng)Z_X_X_K]

[來源:學(xué)科網(wǎng)]

[來源:學(xué)科網(wǎng)]

答案

1、[鞏固1]D；[鞏固2] 14或23；

2、[鞏固]8424 ；

3、[鞏固]84，96；

4、[鞏固]936，5、[鞏固1] B，[鞏固2] 15，[鞏固3]問題相當(dāng)于：將10個(gè)相同的球放入8個(gè)盒子中，每盒至少一

2球，用“擋板法”，有C9=36種；

6、[鞏固1]D，[鞏固2]D；

7、[鞏固]7；[遷移]B；

8、[鞏

固] B；

9、[鞏固1] A；[鞏固2] ?256；[遷移]D。