第一篇：正弦定理-教師用教案-絕對經(jīng)典

回憶一下直角三角形的邊角關(guān)系?

何為正弦定理

在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比 相等，即

一般地，把三角形的三個角A,B,C和它的對邊a,b,c叫做三角形的元素已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形已知兩角和任意一邊，可以求出其他兩邊和一角；已知兩邊和其中一邊的對角，可以求出三角形的其他的邊和角。一．求邊長和角，面積

1．在△ABC中，若A?2B，則a等于（）

A．2bsinA

B．2bcosA

C．2bsinB

D．2bcosB

2．在△ABC中，若C?900,a?6,B?300，則c?b等于（）A．1

B．?C．2D．?23

3．在△ABC中，若a?7,b?3,c?8，則其面積等于（）A．12 B．

C．28

D．63

2二．判斷三角形的形狀

1．在△ABC中，角A、B均為銳角，且cosA?sinB,則△ABC的形狀是（A．直角三角形

B．銳角三角形

C．鈍角三角形

D．等腰三角形）

第二篇：正弦定理學生用

1.1.1正弦定理學案

學習目標：

①發(fā)現(xiàn)并掌握正弦定理及其證明方法；②會用正弦定理解決三角形中的簡單問題。預習自測

1.正弦定理的數(shù)學表達式

2.一般地,把三角形的三個角A,B,C和它們的對邊叫做三角形的元素.已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做.3．利用正弦定理可以解決兩類三角形的問題(1)(2)

問題引入：

1、在任意三角形行中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.是否可以把邊、角關(guān)系準確量化？

2、在?ABC中，角A、B、C的正弦對邊分別是a,b,c，你能發(fā)現(xiàn)它們之間有什么關(guān)系嗎？ 結(jié)論★：。

二 合作探究：

1、探究一：在直角三角形中，你能發(fā)現(xiàn)三邊和三邊所對角的正弦的關(guān)系嗎？

2、探究二：能否推廣到斜三角形？（先研究銳角三角形，再探究鈍角三角形）

3、探究三：你能用其他方法證明嗎？

4、正弦定理：

5、正弦定理的應(yīng)用（能解決哪類問題）：

三例題講解

例1 已知在?ABC中，c?10,A?450,C?300,求a,b和B

例2 ?ABC中，c?6,A?450,a?2,求b和B,C

例3（1）在?ABC中，b?3,B?600,c?1,求a和A,C

（2）b?40,c?20,C?45?,解這個三角形

absinC，并運用此結(jié)論解決下面問題：

2（1）在?ABC中，已知a?2，b?3，C?150?，求S?ABC；

（2）在?ABC中，已知c?10，A?45?，C?30?，求b和S?ABC；

例

4、仿照正弦定理的證法一，證明S?ABC?

（3）在△ABC中，已知a＝2，cosC＝S△ABC＝43，則b＝________.四 課堂練習：

4根據(jù)條件解三角形：

（1）c?10,A?45?,C?30?,求邊a,b.(2)A?30?,B?120?,b?12,求邊a,c.(3)a?16,b?163,A?30?,求角B，C和邊c.(4)b?13,a?26,B?30?,解這個三角形。（5）b?40,c?20,C?45?,解這個三角形(6)c?1，b?

3，B?60?，求a,A，C。

1.1.2解三角形的進一步討論學案

【學習目標】1.掌握已知三角形的兩邊及其中一邊的對角時對解個數(shù)的討論；2.三角形各種形狀的判斷方法； 【學習重難點】1.已知三角形的兩邊及其中一邊的對角時對解個數(shù)的討論；三角形各種形狀的判斷方法。

一、情景問題：

我們在解三角形時可以會出現(xiàn)一些我們預想不到的結(jié)果，現(xiàn)在請大家思考下面問題：在?ABC中，已知a?22cm,b?25cm,A?133，解三角形。

二、探索研究：

探究一．在?ABC中，已知a,b,A，討論三角形解的情況

結(jié)論：

探究二 你能畫出圖來表示上面各種情形下的三角形的解嗎？

三、例題講解

三角形解的情況的判定：

例1.根據(jù)下列條件，判斷解三角形的情況(1)a＝20，b＝28，A＝120°.(2)a＝28，b＝20，A＝45°；(3)c＝54，b＝39，C＝115°；(4)b＝11，a＝20，B＝30°；

?

[變式練習1]

（1）在?ABC中，已知a?80，b?100，?A?450，試判斷此三角形的解的情況。（2）在?ABC中，若a?1，c?，?C?400，則符合題意的b的值有_____個。

2（3）在?ABC中，a?xcm，b?2cm，?B?450，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。

正弦定理的變形：例2.在?ABC中，A,B,C的對邊分別是a,b,c，已知3acosA?ccosB?bcosC.求cosA的值；

例3.在?ABC中,已知

[變式練習2]

1.△ABC中，sinA?sinB?sinC，則△ABC為（）

A.直角三角形B.等腰直角三角形C.等邊三角形D.等腰三角形

2.已知?ABC滿足條件acosA?bcosB，判斷?ABC的類型。

四.嘗試小結(jié)

abc

??,判斷?ABC的形狀． cosAcosBcosC

五、課后作業(yè)：

1．在△ABC中，∠A＝45°，∠B＝60°，a＝2，則b等于()

62C.3D．26 2．在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，則b等于()

32A．42B．43C．6D.3．在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，A＝60°，a＝43，b＝42，則角B為()

A．45°或135°B．135°C．45°D．以上答案都不對 4．在△ABC中，a∶b∶c＝1∶5∶6，則sinA∶sinB∶sinC等于()

A．1∶5∶6B．6∶5∶1C．6∶1∶5D．不確定 5．在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C所對的邊，若A＝105°，B＝45°，b2，則c＝()

1A．1B.C．224cos Ab

6．在△ABC中，若，則△ABC是()

cos Ba

A．等腰三角形B．等邊三角形C．直角三角形D．等腰三角形或直角三角形

7．已知△ABC中，AB3，AC＝1，∠B＝30°，則△ABC的面積為()

33333B.C.或3D.或 242

428．△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c.若c＝，b＝，B＝120°，則a等于()

6B．2C.3D.2π

9．在△ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，若a＝1，c＝3，C＝則A＝________.4310．在△ABC中，已知a＝，b＝4，A＝30°，則sinB＝________.11．在△ABC中，已知∠A＝30°，∠B＝120°，b＝12，則a＋c＝________.12．在△ABC中，a＝2bcosC，則△ABC的形狀為________．

a＋b＋c

13．在△ABC中，A＝60°，a＝63，b＝12，S△ABC＝183，則________，sinA＋sinB＋sinC

c＝________.ABC中，sin2A = sin2B +sin2C，則△ABC的形狀為

15、在?ABC中，若B?60，b?76,a?14，則A=。

16、在?ABC中，已知a?

?

3,b?2,B?45?，解三角形。

第三篇：正弦定理教案

正弦定理教案

教學目標：

1．知識目標:通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題。

2.能力目標:讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應(yīng)用的實踐操作。

3．情感目標：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。

教學重點：正弦定理的探索和證明及其基本應(yīng)用。

教學難點：已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。

教學過程：

一、復習引入

創(chuàng)設(shè)情境：

【師】：世界聞名的巴黎埃菲爾鐵塔，比其他的建筑高出很多。如果只提供測角儀和皮尺，你能測出埃菲爾鐵塔的高度嗎？

【生】：可以先在離鐵塔一段距離的地方測出觀看鐵塔的仰角，再測出與鐵塔的水平距離，就可以利用三角函數(shù)測出高度。

【創(chuàng)設(shè)情境總結(jié)】：解決上述問題的過程中我們將距離的問題轉(zhuǎn)化為角，進而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題進行計算。這個實際問題說明了三角形的邊與角有緊密的聯(lián)系，邊和角甚至可以互相轉(zhuǎn)化，這節(jié)課我們就要從正弦這個側(cè)面來研究三角形邊角的關(guān)系即正弦定理。

二、新課講解

【師】：請同學們回憶一下，在直角三角形中各個角的正弦是怎么樣表示的？

【生】：在直角三角形ABC中，sinA?ab,sinB?,sinC?1 cc

abc,c?,c?，也就是說在Rt△ABCsinAsinBsinC【師】：有沒有一個量可以把三個式子聯(lián)系起來？ 【生】：邊c可以把他們聯(lián)系起來，即c?

中abc?? sinAsinBsinC

【師】：對，很美、很對稱的一個式子，用文字來描述就是：“在一個直角三角形中，各邊與

它所對角的正弦比相等”，那么在斜三角形中，該式是否也成立呢？讓我們在幾何畫板中驗證一下，對任意的三角形ABC是不是都有“各邊與它所對角的正弦比相等”成立？

【師】：通過驗證我們得到，在任意的三角形中都有各個邊和他所對的角的正弦值相等。

在上面這個對稱的式子中涉及到了三角形三個角的正弦，因此我們把它稱為正弦定理，即我們今天的課題。

【師】：直觀的印象并不能代替嚴格的數(shù)學證明，所以，只是直觀的驗證是不夠的，那能不

能對這個定理給出一個證明呢？

【生】：可以用三角形的面積公式對正弦定理進行證明：S?1111absinC?acsinB?bcsinA，然后三個式子同時處以abc就可以得222

2到正弦定理了。

【師】：這是一種很好的證明方法，能不能用之前學過的向量來證明呢？答案是肯定的。怎

么樣利用向量只是來證明正弦定理呢？大家觀察，這個式子涉及到的是邊和角，即向量的模和夾角之間的關(guān)系。哪一種運算同時涉及到向量的夾角和模呢？

（板書：證法二，向量法）

????【生】：向量的數(shù)量積a?b?a?b?cos?

【師】：先在銳角三角形中討論一下，如果把三角形的三邊看做向量的話，則容易得到三角

????????????形的三個邊向量滿足的關(guān)系：AB?BC?AC,那么，和哪個向量做數(shù)量積呢？還

有數(shù)量積公式中提到的是夾角的余弦，而我們要得是夾角的正弦，這個又怎么轉(zhuǎn)化？（啟發(fā)學生得出通過做點A的垂線根據(jù)誘導公式來得到）

【生】：做A點的垂線

【師】：那是那條線的垂線呢？

【生】：AC的垂線

??【師】：如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式子的兩邊同時做數(shù)

?cos(90?A)?cos(90?C)??cos90，化簡000

即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在sinAsinCsinBsinC

銳角三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。

【師】：如果△ABC是鈍角三角形呢？又怎么樣得到正弦定理的證明呢？不妨假設(shè)∠A是鈍

??角，那么同樣道理如果我們做AC垂線上的一個單位向量j，把向量j和上面那個式

????????????子AB?BC?AC的兩邊同時做數(shù)量積運算就可以得到

???????????????00j?AB?cos(C?90)?j?BC?cos(90?C)?j?AC?cos900，化簡即可得到csinA?asinC，即acbc??，同理可以得到。即在鈍角三角sinAsinCsinBsinC

形ABC中也有每條邊和它所對的角的正弦值相等這個結(jié)論。

【師】：經(jīng)過上面的證明，我們用兩種方法得到了正弦定理的證明，并且得到了正弦定理對

于直角、銳角、鈍角三角形都是成立的。

【師】：大家觀察一下正弦定理的這個式子，它是一個比例式。對于一個比例式來說，如果

我們知道其中的三項，那么就可以根據(jù)比例的運算性質(zhì)得到第四項。因此正弦定理的應(yīng)用主要有哪些呢？

【生】：已知三角形的兩邊一其中一邊的對角求另外一邊的對角，或者兩角一邊求出另外一

邊。

【師】：其實大家如果聯(lián)系三角形的內(nèi)角和公式的話，其實只要有上面的任意一個條件，我們都可以解出三角形中所有的未知邊和角。下面我們來看正弦定理的一些應(yīng)用。

三、例題解析

【例1】優(yōu)化P101例

1分析：直接代入正弦定理中運算即可

ab?sinAsinB

c?sinA10?sin45?

?a????sinCsin30

bc??sinBsinC

B?180??(A?C)?180??(45??30?)?105??

c?sinB10?sin105??b???20?5sinCsin30?總結(jié)：本道例題給出了解三角形的第一類問題（已知兩角和一邊，求另外兩邊和一

角，因為兩個角都是確定的的，所以只有一種情況）

【課堂練習1】教材P144練習1（可以讓學生上臺板演）

【隨堂檢測】見幻燈片

四、課堂小結(jié)

【師】：本節(jié)課的主要內(nèi)容是正弦定理，即三角形ABC中有每條邊和它所對的角的正弦值相等。寫成數(shù)學式子就是abc??。并且一起研究了他的證明方法，利用它解決sinAsinBsinC

了一些解三角形問題。對于正弦定理的證明主，要有面積法和向量法，其實對于正弦定理的證明，還有很多別的方法，有興趣的同學下去之后可以自己去了解一下。

五、作業(yè)布置

世紀金榜P86自測自評、例

1、例

2板書設(shè)計：

六、教學反思

第四篇：正弦定理教案[定稿]

1.1 正弦定理和余弦定理 1.1.1 正弦定理從容說課本章內(nèi)容是處理三角形中的邊角關(guān)系，與初中學習的三角形的邊與角的基本關(guān)系有密切的聯(lián)系，與已知三角形的邊和角相等判定三角形全等的知識也有著密切的聯(lián)系．教科書在引入正弦定理內(nèi)容時，讓學生從已有的幾何知識出發(fā)，提出探究性問題“在任意三角形中有大邊對大角，小邊對小角的邊角關(guān)系.我們是否能得到這個邊、角的關(guān)系準確量化的表示呢?”在引入余弦定理內(nèi)容時，提出探究性問題“如果已知三角形的兩條邊及其所夾的角,根據(jù)三角形全等的判定方法，這個三角形是大小、形狀完全確定的三角形.我們?nèi)匀粡牧炕慕嵌葋硌芯窟@個問題，也就是研究如何從已知的兩邊和它們的夾角計算出三角形的另一邊和兩個角的問題”．這樣，用聯(lián)系的觀點，從新的角度看過去的問題，使學生對于過去的知識有了新的認識，同時使新知識建立在已有知識的堅實基礎(chǔ)上，形成良好的知識結(jié)構(gòu)．教學重點1.正弦定理的概念； 2.正弦定理的證明及其基本應(yīng)用．教學難點1.正弦定理的探索和證明； 2.已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)．教具準備直角三角板一個三維目標

一、知識與技能 1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法； 2.會運用正弦定理與三角形內(nèi)角和定理解斜三角形的兩類基本問題．

二、過程與方法 1.讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關(guān)系； 2.引導學生通過觀察、推導、比較，由特殊到一般歸納出正弦定理； 3.進行定理基本應(yīng)用的實踐操作．

三、情感態(tài)度與價值觀 1.培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力； 2.培養(yǎng)學生探索數(shù)學規(guī)律的思維能力，通過三角函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一．教學過程導入新課 師如右圖，固定△ABC的邊CB及∠B，使邊AC繞著頂點C轉(zhuǎn)動．師思考：∠C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？生顯然，邊AB的長度隨著其對角∠C的大小的增大而增大．師能否用一個等式把這種關(guān)系精確地表示出來？ 師在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關(guān)系．如右圖，在Rt△ABC中，設(shè)BC =A,AC =B,AB =C,根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有=sinA，=sinB，又sinC=1=,則.從而在直角三角形ABC中，.推進新課 [合作探究]師那么對于任意的三角形，以上關(guān)系式是否仍然成立？（由學生討論、分析）生可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如右圖，當△ABC是銳角三角形時，設(shè)邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=AsinB=BsinA,則，同理，可得.從而.（當△ABC是鈍角三角形時，解法類似銳角三角形的情況，由學生自己完成）正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即.師是否可以用其他方法證明這一等式？生可以作△ABC的外接圓，在△ABC中,令BC=A,AC=B,AB=C,根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等，來證明這一關(guān)系．師很好！這位同學能充分利用我們以前學過的知識來解決此問題，我們一起來看下面的證法.在△ABC中,已知BC=A,AC=B,AB=C,作△ABC的外接圓,O為圓心,連結(jié)BO并延長交圓于B′,設(shè)BB′=2R.則根據(jù)直徑所對的圓周角是直角以及同弧所對的圓周角相等可以得到 ∠BAB′=90°，∠C =∠B′，∴sinC=sinB′=. ∴.同理,可得. ∴.這就是說,對于任意的三角形,上述關(guān)系式均成立,因此,我們得到等式.點評:上述證法采用了初中所學的平面幾何知識,將任意三角形通過外接圓性質(zhì)轉(zhuǎn)化為直角三角形進而求證,此證法在鞏固平面幾何知識的同時,易于被學生理解和接受,并且消除了學生所持的“向量方法證明正弦定理是唯一途徑”這一誤解.既拓寬了學生的解題思路,又為下一步用向量方法證明正弦定理作了鋪墊. [知識拓展]師接下來,我們可以考慮用前面所學的向量知識來證明正弦定理.從定理內(nèi)容可以看出,定理反映的是三角形的邊角關(guān)系,而在向量知識中,哪一知識點體現(xiàn)邊角關(guān)系呢?生向量的數(shù)量積的定義式A·B=|A||B|Cosθ,其中θ為兩向量的夾角.師回答得很好,但是向量數(shù)量積涉及的是余弦關(guān)系而非正弦關(guān)系,這兩者之間能否轉(zhuǎn)化呢?生 可以通過三角函數(shù)的誘導公式sinθ=Cos(90°-θ)進行轉(zhuǎn)化.師這一轉(zhuǎn)化產(chǎn)生了新角90°-θ,這就為輔助向量j的添加提供了線索,為方便進一步的運算,輔助向量選取了單位向量j,而j垂直于三角形一邊,且與一邊夾角出現(xiàn)了90°-θ這一形式,這是作輔助向量j垂直于三角形一邊的原因.師在向量方法證明過程中,構(gòu)造向量是基礎(chǔ),并由向量的加法原則可得 而添加垂直于的單位向量j是關(guān)鍵,為了產(chǎn)生j與、、的數(shù)量積,而在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,也就在情理之中了.師下面,大家再結(jié)合課本進一步體會向量法證明正弦定理的過程,并

注意總結(jié)在證明過程中所用到的向量知識點.點評:(1)在給予學生適當自學時間后,應(yīng)強調(diào)學生注意兩向量的夾角是以同起點為前提,以及兩向量垂直的充要條件的運用.(2)要求學生在鞏固向量知識的同時,進一步體會向量知識的工具性作用.向量法證明過程:(1)△ABC為銳角三角形,過點A作單位向量j垂直于,則j與的夾角為90°-A,j與的夾角為90°-C.由向量的加法原則可得 ,為了與圖中有關(guān)角的三角函數(shù)建立聯(lián)系,我們在上面向量等式的兩邊同取與向量j的數(shù)量積運算,得到 由分配律可得. ∴|j|Cos90°+|j|Cos(90°-C)=|j|Cos(90°-A). ∴AsinC=CsinA. ∴.另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與的夾角為90°+B,可得.(此處應(yīng)強調(diào)學生注意兩向量夾角是以同起點為前提,防止誤解為j與的夾角為90°-C,j與的夾角為90°-B) ∴.(2)△ABC為鈍角三角形,不妨設(shè)A＞90°,過點A作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為A-90°,j與的夾角為90°-C.由,得j·+j·=j·,即A·Cos(90°-C)=C·Cos(A-90°), ∴AsinC=CsinA. ∴ 另外,過點C作與垂直的單位向量j,則j與的夾角為90°+C,j與夾角為90°+B.同理,可得. ∴（形式1）.綜上所述,正弦定理對于銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形均成立.師在證明了正弦定理之后,我們來進一步學習正弦定理的應(yīng)用. [教師精講]（1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使A=ksinA，B=ksinB，C=ksinC；（2）等價于(形式2).我們通過觀察正弦定理的形式2不難得到,利用正弦定理,可以解決以下兩類有關(guān)三角形問題.①已知三角形的任意兩角及其中一邊可以求其他邊，如.這類問題由于兩角已知,故第三角確定,三角形唯一,解唯一,相對容易,課本P4的例1就屬于此類問題. ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如．此類問題變化較多,我們在解題時要分清題目所給的條件．一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形．師接下來,我們通過例題評析來進一步體會與總結(jié).［例題剖析］【例1】在△ABC中，已知A=32.0°,B=81.8°,A=42.9 cm,解三角形.分析:此題屬于已知兩角和其中一角所對邊的問題,直接應(yīng)用正弦定理可求出邊B,若求邊C,再利用正弦定理即可.解：根據(jù)三角形內(nèi)角和定理， C=180°-(A+B)=180°-(32.0°+81.8°)=66.2°;根據(jù)正弦定理， b=≈80.1(cm); c=≈74.1(cm). [方法引導](1)此類問題結(jié)果為唯一解,學生較易掌握,如果已知兩角和兩角所夾的邊,也是先利用內(nèi)角和180°求出第三角,再利用正弦定理.(2)對于解三角形中的復雜運算可使用計算器.【例2】在△ABC中，已知A=20cm，B=28cm，A=40°，解三角形（角度精確到1°，邊長精確到1 cm）．分析:此例題屬于BsinA＜a＜b的情形,故有兩解,這樣在求解之后呢,無需作進一步的檢驗,使學生在運用正弦定理求邊、角時,感到目的很明確,同時體會分析問題的重要性.解：根據(jù)正弦定理， sinB =≈0.899 9.因為0°＜B＜180°，所以B≈64°或B≈116°.（1）當B≈64°時， C =180°-（A+B）=180°-（40°+64°）=76°， C =≈30(cm).（2）當B≈116°時， C=180°-（A+B）=180°-（40°+116°）=24°， C=≈13(cm). [方法引導]通過此例題可使學生明確,利用正弦定理求角有兩種可能,但是都不符合題意,可以通過分析獲得,這就要求學生熟悉已知兩邊和其中一邊的對角時解三角形的各種情形.當然對于不符合題意的解的取舍,也可通過三角形的有關(guān)性質(zhì)來判斷,對于這一點,我們通過下面的例題來體會.變式一：在△ABC中,已知A＝60,B＝50,A＝38°,求B(精確到1°)和C(保留兩個有效數(shù)字).分析:此題屬于A≥B這一類情形,有一解,也可根據(jù)三角形內(nèi)大角對大邊,小角對小邊這一性質(zhì)來排除B為鈍角的情形.解：已知B

(1)B=11,A=20,B=30°;(2)A=28,B=20,A=45°;(3)C =54,B=39,C=115°;(4)A=20,B=28,A=120°.解：(1)∵. ∴sinA =≈0.909 1. ∴A1≈65°，A2≈115°.當A1≈65°時，C1=180°-(B+A1)=180°-(30°+65°)=85°， ∴C1=≈22.當A2≈115°時，C2=180°-(B+A2)=180°-(30°+115°)=35°, ∴C2=≈13.(2)∵sinB=≈0.505 1, ∴B1≈30°，B2≈150°.由于A+B2=45°+150°＞180°,故B2≈150°應(yīng)舍去(或者由B＜A知B＜A,故B應(yīng)為銳角). ∴C=180°-(45°+30°)=105°. ∴C=≈38.(3)∵, ∴sinB=≈0.654 6. ∴B1≈41°,B2≈139°.由于B＜C,故B＜C,∴B2≈139°應(yīng)舍去. ∴當B=41°時，A=180°-(41°+115°)=24°, A=≈24.(4)sinB= =1.212＞1. ∴本題無解.點評:此練習目的是使學生進一步熟悉正弦定理,同時加強解三角形的能力,既要考慮到已知角的正弦值求角的兩種可能,又要結(jié)合題目的具體情況進行正確取舍.課堂小結(jié)通過本節(jié)學習,我們一起研究了正弦定理的證明方法,同時了解了向量的工具性作用,并且明確了利用正弦定理所能解決的兩類有關(guān)三角形問題:已知兩角、一邊解三角形;已知兩邊和其中一邊的對角解三角形.布置作業(yè)

（一）課本第10頁習題1.1 第1、2題.

（二）預習內(nèi)容：課本P5～P 8余弦定理 [預習提綱](1)復習余弦定理證明中所涉及的有關(guān)向量知識.(2)余弦定理如何與向量產(chǎn)生聯(lián)系.(3)利用余弦定理能解決哪些有關(guān)三角形問題.板書設(shè)計正弦定理 1.正弦定理: 2.證明方法: 3.利用正弦定理,能夠解決兩類問題:(1)平面幾何法(1)已知兩角和一邊(2)向量法(2)已知兩邊和其中一邊的對角

第五篇：《正弦定理》教案

《正弦定理》教學設(shè)計

一、教學目標分析

1、知識與技能：通過對銳角三角形中邊與角的關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)正弦定理；掌握正弦定理的內(nèi)容及其證明方法；能利用正弦定理解三角形以及利用正弦定理解決簡單的實際問題。

2、過程與方法：讓學生從實際問題出發(fā)，結(jié)合以前學習過的直角三角形中的邊角關(guān)系，引導學生不斷地觀察、比較、分析，采取從特殊到一般以及合情推理的方法發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理，使學生體會完全歸納法在定理證明中的應(yīng)用；讓學生在應(yīng)用定理解決問題的過程中更深入的理解定理及其作用。

3、情感態(tài)度與價值觀：面向全體學生，創(chuàng)造平等的教學氛圍，通過學生之間、師生之間的交流、合作和評價，發(fā)現(xiàn)并證明正弦定理。從發(fā)現(xiàn)與證明的過程中體驗數(shù)學的探索性與創(chuàng)造性，讓學生體驗成功的喜悅，激發(fā)學生的好奇心與求知欲。培養(yǎng)學生處理解三角形問題的運算能力和探索數(shù)學規(guī)律的推理能力，并培養(yǎng)學生堅忍不拔的意志、實事求是的科學態(tài)度和樂于探索、勇于創(chuàng)新的精神。

二、教學重點、難點分析

重點：通過對銳角三角形邊與角關(guān)系的探索，發(fā)現(xiàn)、證明正弦定理并運用正弦定理解決一些簡單的三角形度量問題。

難點：①正弦定理的發(fā)現(xiàn)與證明過程；②已知兩邊以及其中一邊的對角解三角形時解的個數(shù)的判斷。

三、教法與學法分析

本節(jié)課是教材第一章《解三角形》的第一節(jié)，所需主要基礎(chǔ)知識有直角三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)相關(guān)知識。在教法上，根據(jù)教材的內(nèi)容和編排的特點，為更有效的突出重點，突破難點，教學中采用探究式課堂教學模式，首先從學生熟悉的銳角三角形情形入手，設(shè)計恰當?shù)膯栴}情境，將新知識與學生已有的知識建立起密切的聯(lián)系，通過學生自己的親身體驗，使學生經(jīng)歷正弦定理的發(fā)現(xiàn)過程，激發(fā)學生的求知欲，調(diào)動學生主動參與的積極性，引導學生嘗試運用新知識解決新問題，即在教學過程中，讓學生的思維由問題開始，通過猜想的得出、猜想的探究、定理的推導等環(huán)節(jié)逐步得到深化。教學過程中鼓勵學生合作交流、動手實踐，通過對定理的推導、解讀、應(yīng)用，引導學生主動思考、總結(jié)、歸納解答過程中的內(nèi)在規(guī)律，形成一般結(jié)論。在學法上，采用個人探究、教師講解，學生討論相結(jié)合的方法，讓學生在問題情境中學習，自覺運用觀察、類比、歸納等思想方法，體驗數(shù)學知識的內(nèi)在聯(lián)系，重視學生自主探究，增強學生由特殊到一般的數(shù)學思維能力，形成實事求是的科學態(tài)度和嚴謹求真的學習習慣。

四、學情分析

對于高一的學生來說，已學的平面幾何，解直角三角形，三角函數(shù)等知識，有一定觀察分析、解決問題的能力，但對前后知識間的聯(lián)系、理解、應(yīng)用有一定難度，因此思維靈活性受到制約。同時，由于學生目前還沒有學習習近平面向量，因此，對于正弦定理的證明方法——向量法，本節(jié)課沒有涉及到。根據(jù)以上特點，教師恰當引導，提高學生學習主動性，多加以前后知識間的聯(lián)系，帶領(lǐng)學生直接參與分析問題、解決問題并品嘗勞動成果的喜悅。

五、教學工具

多媒體課件

六、教學過程 創(chuàng)設(shè)情境，導入新課

興趣是最好的老師。如果一節(jié)課有個好的開頭，那就意味著成功了一半。上課一開始，我先提出問題：

工人師傅的一個三角形模型壞了，只剩下如圖所示的部分，AB的長為1m，但他不知道AC和BC的長

是多少而無法去截料，你能告訴師傅這兩邊的長度嗎？ 教師：請大家思考，看看能否用過去所學過的知識解決

這個問題？（約2分鐘思考后學生代表發(fā)言）學生活動一:

（教師提示）把這個實際問題抽象為數(shù)學模型——那就是“已知三角形中的兩角及夾邊，求另外兩邊的長”，本題是通過三角形中已知的邊和角來求未知的邊和角的這個過程，我們把它習慣上叫解三角形，要求邊的長度，過去的做法就是把未知的邊必須要放在直角三角形中，利用勾股定理或三角函數(shù)進行求解，即本題的思路是：“把一般三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形”，也就是要“作高”。

學生：如圖，過點A作BC邊上的高,垂直記作D

然后,首先利用題目中的已知數(shù)據(jù)求出角C的大小,接著把題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)和角C的值代入上述等式,即可求出b,即AC的值,然后可利用AC、AB、角B、角C的值和三角函數(shù)知識可分別求出CD和BD的長度，把所求出的CD和BD的長度相加即可求出BC的長度。教師：這位同學的想法和思路非常好，簡直是一位天才

（同時再一次回顧該同學具體的做法）

教師：能否像求AC的方法一樣對BC進行求解呢？ 學生：可以

教師：那么具體應(yīng)該怎么做呢？

學生：過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：

接下來，只需要將相關(guān)的數(shù)據(jù)代入即可求出BC的長度 教師：總結(jié)學生的做法

通過作兩條高線后，即可把AC、BC的長度用已知的邊和角表示出來

接下來，只需要將題目中的相關(guān)數(shù)據(jù)代入，本題便迎刃而解。定理的發(fā)現(xiàn)：

oo教師：如果把本題目中的有關(guān)數(shù)據(jù)變一下，其中A＝50，B＝80大家又該怎么做

呢？

學生1：同樣的做法（仍得作高）

學生2：只需將已知數(shù)據(jù)代入上述等式即可求出兩邊的長度 教師：還需要再次作高嗎？ 學生：不用

教師：對于任意的銳角三角形中的“已知兩角及其夾邊，求其他兩邊的長”的問

題是否都可以用上述兩個等式進行解決呢？ 學生：可以

教師：既然這兩個等式適合于任意的銳角三角形，那么我們只需要記住這兩個

等式，以后若是再遇見銳角三角形中的這種問題，直接應(yīng)用這兩個等式 并進行代入求值即可。

教師：大家看看，這兩個等式的形式是否容易記憶呢？ 學生：不容易

教師：能否美化這個形式呢？

學生：美化之后可以得到：

（定理）

教師：銳角三角形中的這個結(jié)論，到底表達的是什么意思呢？ 學生：在銳角三角形中，各邊與它所對角的正弦的比相等

教師：那么銳角三角形中的這個等式能否推廣到任意三角形中呢？那么接下來就

讓我們分別來驗證一下，看看這個等式在直角三角形和鈍角三角形中是否 成立。定理的探索：

教師：大家知道，在直角三角形ABC中：若 則：

所以：

故：

即： 在直角三角形中也成立

教師：那么這個等式在鈍角三角形中是否成立，我們又該如何驗證呢？請大家思考。

學生活動二：驗證

教師（提示）：要出現(xiàn)sinA、sinB的值

必須把A、B放在直角三角形中

即就是要作高（可利用誘導公式將

在鈍角三角形中是否成立

轉(zhuǎn)化為）

學生：學生可分小組進行完成，最終可由各小組組長

匯報本小組的思路和做法。（結(jié)論成立）

教師：我們在銳角三角形中發(fā)現(xiàn)有這樣一個等式成立，接下來，用類比的方法對

它分別在直角三角形和鈍角三角形中進行驗證，結(jié)果發(fā)現(xiàn)，這個等式對于

任意的直角三角形和任意的鈍角三角形都成立，那么我們此時能否說：“這

個等式對于任意的三角形都成立”呢？ 學生：可以

教師：這就是我們這節(jié)課要學習的《正弦定理》（引出課題）定理的證明

教師：展示正弦定理的證明過程

證明：（1）當三角形是銳角三角形時，過點A作BC邊

上的高線，垂直記作D，過點B向AC作高，垂直記作E，如圖：

同理可得：

所以易得

（2）當三角形是直角三角形時；

在直角三角形ABC中：若 因為：

所以：

故：

即：

（3）當三角形是鈍角三角形時（角C為鈍角）

過點A作BC邊上的高線，垂直記作D

由三角形ABC的面積可得 即：

故：

所以，對于任意的三角形都有

教師：這就是本節(jié)課我們學習的正弦定理（給出定理的內(nèi)容）

（解釋定理的結(jié)構(gòu)特征）

思考：正弦定理可以解決哪類問題呢？ 學生：在一個等式中可以做到“知三求一” 定理的應(yīng)用

教師：接下來，讓我們來看看定理的應(yīng)用（回到剛開始的那個實際問題，用正弦

定理解決）（板書步驟）

成立。

隨堂訓練

學生：獨立完成后匯報結(jié)果或快速搶答

教師：上述幾道題目只是初步的展現(xiàn)了正弦定理的應(yīng)用，其實正弦定理的應(yīng)用相

當廣泛，那么它到底可以解決什么問題呢，這里我送大家四句話：“近測

高塔遠看山，量天度海只等閑；古有九章勾股法，今看三角正余弦.”

以這四句話把正弦定理的廣泛應(yīng)用推向高潮）

課堂小結(jié)：

1、知識方面：正弦定理：

2、其他方面：

過程與方法：發(fā)現(xiàn)

推廣

猜想

驗證

證明

（這是一種常用的科學研究問題的思路與方法，希望同學們在今

后的學習中一定要注意這樣的一個過程）

數(shù)學思想：轉(zhuǎn)化與化歸、分類討論、從特殊到一般

作業(yè)布置： ①書面作業(yè)：P52

②查找并閱讀“正弦定理”的其他證明方法（比如“面積法”、“向量法”等）

③思考、探究：若將隨堂訓練中的已知條件改為以下幾種情況，結(jié)果如何？

板書設(shè)計：

1、定理：

2、探索：

3、證明：

4、應(yīng)用：

檢測評估：