第一篇：奇偶性與單調(diào)性及典型例題
奇偶性與單調(diào)性及典型例題
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，考查內(nèi)容靈活多樣.本節(jié)主要幫助考生深刻理解奇偶性、單調(diào)性的定義，掌握判定方法，正確認(rèn)識單調(diào)函數(shù)與奇偶函數(shù)的圖象.難點(diǎn)磁場
(★★★★)設(shè)a>0,f(x)=是R上的偶函數(shù)，(1)求a的值；(2)證明： f(x)在(0，+∞)上是增函數(shù).案例探究
［例1］已知函數(shù)f(x)在(－1，1)上有定義，f()=－1,當(dāng)且僅當(dāng)0 (1)f(x)為奇函數(shù)；(2)f(x)在(－1，1)上單調(diào)遞減.命題意圖：本題主要考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性的判定以及運(yùn)算能力和邏輯推理能力.屬★★★★題目.知識依托：奇偶性及單調(diào)性定義及判定、賦值法及轉(zhuǎn)化思想.錯(cuò)解分析：本題對思維能力要求較高，如果“賦值”不夠準(zhǔn)確，運(yùn)算技能不過關(guān)，結(jié)果很難獲得.技巧與方法：對于(1)，獲得f(0)的值進(jìn)而取x=－y是解題關(guān)鍵；對于(2)，判定的范圍是焦點(diǎn).證明：(1)由f(x)+f(y)=f(),令x=y=0,得f(0)=0,令y=－x,得f(x)+f(－x)=f()=f(0)=0.∴f(x)=－f(－x).∴f(x)為奇函數(shù).(2)先證f(x)在(0，1)上單調(diào)遞減.令0 ∵0 ∴x2－x1<1－x2x1，∴0<<1,由題意知f()<0， 即f(x2) 結(jié)合0 本難點(diǎn)所涉及的問題及解決方法主要有： (1)判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性 若為具體函數(shù)，嚴(yán)格按照定義判斷，注意變換中的等價(jià)性.若為抽象函數(shù)，在依托定義的基礎(chǔ)上，用好賦值法，注意賦值的科學(xué)性、合理性.同時(shí)，注意判斷與證明、討論三者的區(qū)別，針對所列的“磁場”及“訓(xùn)練”認(rèn)真體會，用好數(shù)與形的統(tǒng)一.復(fù)合函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性.問題的解決關(guān)鍵在于：既把握復(fù)合過程，又掌握基本函數(shù).(2)加強(qiáng)逆向思維、數(shù)形統(tǒng)一.正反結(jié)合解決基本應(yīng)用題目，下一節(jié)我們將展開研究奇偶性、單調(diào)性的應(yīng)用.殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)下列函數(shù)中的奇函數(shù)是（） A.f(x)=(x－1) B.f(x)= C.f(x)= D.f(x)= 2.(★★★★★)函數(shù)f(x)=的圖象（） A.關(guān)于x軸對稱 B.關(guān)于y軸對稱 C.關(guān)于原點(diǎn)對稱 D.關(guān)于直線x=1對稱 二、填空題 3.(★★★★)函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù)，則y=f(|x+1|)的一個(gè)單調(diào)遞減區(qū)間是_________.4.(★★★★★)若函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d滿足f(0)=f(x1)=f(x2)=0(0 5.(★★★★)已知函數(shù)f(x)=ax+(a>1).(1)證明：函數(shù)f(x)在(－1，+∞)上為增函數(shù).(2)用反證法證明方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.6.(★★★★★)求證函數(shù)f(x)=在區(qū)間(1，+∞)上是減函數(shù).7.(★★★★)設(shè)函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱且滿足：(i)f(x1－x2)=；(ii)存在正常數(shù)a使f(a)=1.求證： (1)f(x)是奇函數(shù).(2)f(x)是周期函數(shù)，且有一個(gè)周期是4a.8.(★★★★★)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，且對m、n∈R,恒有f(m+n)=f(m)+f(n)－1,且 f(－)=0,當(dāng)x>－時(shí)，f(x)>0.(1)求證：f(x)是單調(diào)遞增函數(shù)； (2)試舉出具有這種性質(zhì)的一個(gè)函數(shù)，并加以驗(yàn)證.參考答案 難點(diǎn)磁場 (1)解：依題意，對一切x∈R,有f(x)=f(－x),即+aex.整理，得(a－)(ex－)=0.因此，有a－=0,即a2=1,又a>0,∴a=1 (2)證法一：設(shè)0＜x1＜x2,則f(x1)－f(x2)= 由x1>0,x2>0,x2>x1,∴>0,1－e＜0，∴f(x1)－f(x2)＜0,即f(x1)＜f(x2) ∴f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù) 證法二：由f(x)=ex+e－x，得f′(x)=ex－e－x=e－x·(e2x－1).當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí)，e－x>0,e2x－1>0.此時(shí)f′(x)>0,所以f(x)在［0，+∞)上是增函數(shù).殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：f(－x)= =－f(x)，故f(x)為奇函數(shù).答案：C 2.解析：f(－x)=－f(x),f(x)是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱.答案：C 二、3.解析：令t=|x+1|,則t在(－∞,－1上遞減，又y=f(x)在R上單調(diào)遞增，∴y=f(|x+1|)在(－∞,－1上遞減.答案：(－∞,－1 4.解析：∵f(0)=f(x1)=f(x2)=0,∴f(0)=d=0.f(x)=ax(x－x1)(x－x2)=ax3－a(x1+x2)x2+ax1x2x，∴b=－a(x1+x2),又f(x)在［x2,+∞單調(diào)遞增，故a>0.又知0＜x1＜x,得x1+x2>0，∴b=－a(x1+x2)＜0.答案：(－∞,0） 三、5.證明：(1）設(shè)－1＜x1＜x2＜+∞,則x2－x1>0, >1且>0，∴>0,又x1+1>0,x2+1>0 ∴>0，于是f(x2)－f(x1)=+ >0 ∴f(x)在(－1，+∞）上為遞增函數(shù).(2）證法一：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)滿足f(x0)=0,則且由0＜＜1得0＜－＜1,即＜x0＜2與x0＜0矛盾，故f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.證法二：設(shè)存在x0＜0(x0≠－1)使f(x0)=0,若－1＜x0＜0,則＜－2,＜1,∴f(x0)＜－1與f(x0)=0矛盾，若x0＜－1,則>0, >0，∴f(x0)>0與f(x0)=0矛盾，故方程f(x)=0沒有負(fù)數(shù)根.6.證明：∵x≠0,∴f(x)=，設(shè)1＜x1＜x2＜+∞,則.∴f(x1)>f(x2),故函數(shù)f(x)在(1，+∞）上是減函數(shù).(本題也可用求導(dǎo)方法解決） 7.證明：(1）不妨令x=x1－x2,則f(－x)=f(x2－x1)= =－f(x1－x2)=－f(x).∴f(x)是奇函數(shù).(2）要證f(x+4a)=f(x),可先計(jì)算f(x+a),f(x+2a).∵f(x+a)=f［x－(－a)］=.∴f(x+4a)=f［(x+2a)+2a］==f(x),故f(x)是以4a為周期的周期函數(shù).8.(1）證明：設(shè)x1＜x2,則x2－x1－>－,由題意f(x2－x1－)>0，∵f(x2)－f(x1)=f［(x2－x1)+x1］－f(x1)=f(x2－x1)+f(x1)－1－f(x1)=f(x2－x1)－1=f(x2－x1)+f(－)－1=f［(x2－x1)－］>0，∴f(x)是單調(diào)遞增函數(shù).(2)解：f(x)=2x+1.驗(yàn)證過程略.難點(diǎn)8 奇偶性與單調(diào)性(二) 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識.●難點(diǎn)磁場 (★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式［flog2(x2+5x+4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤},求函數(shù)g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運(yùn)用知識分析和解決問題的能力，屬★★★★級題目.知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.錯(cuò)解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí)，學(xué)生容易漏掉定義域.技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉(zhuǎn)化為xcos不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值.解：由且x≠0,故0 當(dāng)0≤≤1時(shí)，即0≤m≤2時(shí)，g(m)=－+2m－2>0 4－2 綜上，符合題目要求的m的值存在，其取值范圍是m>4－2.●錦囊妙計(jì) 本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有： (1)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.(2)應(yīng)用問題.在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x,則f(7.5)等于（） A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 2.(★★★★)已知定義域?yàn)?－1，1)的奇函數(shù)y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)<0,?jiǎng)ta的取值范圍是（） A.(2，3) B.(3，) C.(2，4) D.(－2，3) 二、填空題 3.(★★★★)若f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為_________.4.(★★★★)如果函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，且f(x+2)=－f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關(guān)系_________.三、解答題 5.(★★★★★)已知f(x)是偶函數(shù)而且在(0，+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(－∞,0)上的增減性并加以證明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是R上的奇函數(shù)，(1)求a的值； (2)求f(x)的反函數(shù)f－1(x); (3)對任意給定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定義在(－∞,4］上的減函數(shù)f(x)滿足f(m－sinx)≤f(－+cos2x)對任意x∈R都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.8.(★★★★★)已知函數(shù)y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)試求函數(shù)f(x)的解析式； (2)問函數(shù)f(x)圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.參考答案 難點(diǎn)磁場 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，∴f(x)在(－∞,0）上為減函數(shù)且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化為log2(x2+5x+4)≥2 ① 或log2(x2+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤得≤x＜－4或－1＜x≤ ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤－5或≤x≤－4或－1＜x≤或x≥0} 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B 2.解析：∵f(x)是定義在(－1，1）上的奇函數(shù)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴ ∴a∈(2,3).答案：A 二、3.解析：由題意可知：xf(x)＜0 ∴x∈(－3,0)∪(0,3) 答案：(－3，0）∪(0，3） 4.解析：∵f(x)為R上的奇函數(shù) ∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函數(shù)且－> －>－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1) 三、5.解：函數(shù)f(x)在(－∞,0）上是增函數(shù)，設(shè)x1＜x2＜0,因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以 f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假設(shè)可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函數(shù)f(x)在(－∞,0)上是增函數(shù).6.解：(1）a=1.(2)f(x)=(x∈R)f－-1(x)=log2(－1＜x＜1.(3)由log2>log2log2(1－x)＜log2k,∴當(dāng)0＜k＜2時(shí)，不等式解集為{x|1－k＜x＜1;當(dāng)k≥2時(shí)，不等式解集為{x|－1＜x＜1.7.解：，對x∈R恒成立，∴m∈［,3］∪{}.8.解：(1)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)=－f(x),即 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)=≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x=時(shí)等號成立，于是2=2,∴a=b2,由f(1)＜得＜即＜,∴2b2－5b+2＜0,解得＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)設(shè)存在一點(diǎn)(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，并且關(guān)于(1，0）的對稱點(diǎn)(2－x0,－y0)也在y=f(x)圖象上，則 消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)圖象上存在兩點(diǎn)(1+,2),(1－,－2)關(guān)于(1，0)對稱.函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)內(nèi)容之一，特別是兩性質(zhì)的應(yīng)用更加突出.本節(jié)主要幫助考生學(xué)會怎樣利用兩性質(zhì)解題，掌握基本方法，形成應(yīng)用意識.●難點(diǎn)磁場 (★★★★★)已知偶函數(shù)f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，且f(2)=0,解不等式f［log2(x2+5x+4)］≥0. ●案例探究 ［例1］已知奇函數(shù)f(x)是定義在(－3，3)上的減函數(shù)，且滿足不等式f(x－3)+f(x2－3)<0,設(shè)不等式解集為A，B=A∪{x|1≤x≤ },求函數(shù)g(x)=－3x2+3x－4(x∈B)的最大值.命題意圖：本題屬于函數(shù)性質(zhì)的綜合性題目，考生必須具有綜合運(yùn)用知識分析和解決問題的能力，屬★★★★級題目.知識依托：主要依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)去解決問題.錯(cuò)解分析：題目不等式中的“f”號如何去掉是難點(diǎn)，在求二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題時(shí)，學(xué)生容易漏掉定義域.技巧與方法：借助奇偶性脫去“f”號，轉(zhuǎn)化為xcos不等式，利用數(shù)形結(jié)合進(jìn)行集合運(yùn)算和求最值.解：由 且x≠0,故0 本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有： (1)運(yùn)用奇偶性和單調(diào)性去解決有關(guān)函數(shù)的綜合性題目.此類題目要求考生必須具有駕馭知識的能力，并具有綜合分析問題和解決問題的能力.(2)應(yīng)用問題.在利用函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性解決實(shí)際問題的過程中，往往還要用到等價(jià)轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的思想方法，把問題中較復(fù)雜、抽象的式子轉(zhuǎn)化為基本的簡單的式子去解決.特別是：往往利用函數(shù)的單調(diào)性求實(shí)際應(yīng)用題中的最值問題.●殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、選擇題 1.(★★★★)設(shè)f(x)是(－∞,+∞)上的奇函數(shù)，f(x+2)=－f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)=x,則f(7.5)等于（）A.0.5 B.－0.5 C.1.5 D.－1.5 2.(★★★★)已知定義域?yàn)?－1，1)的奇函數(shù)y=f(x)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)<0,?jiǎng)ta的取值范圍是（）A.(2，3) B.(3，)C.(2，4) D.(－2，3) 二、填空題 3.(★★★★)若f(x)為奇函數(shù)，且在(0，+∞)內(nèi)是增函數(shù)，又f(－3)=0,則xf(x)<0的解集為_________.4.(★★★★)如果函數(shù)f(x)在R上為奇函數(shù)，在(－1，0)上是增函數(shù)，且f(x+2)=－f(x),試比較f(),f(),f(1)的大小關(guān)系_________.三、解答題 5.(★★★★★)已知f(x)是偶函數(shù)而且在(0，+∞)上是減函數(shù)，判斷f(x)在(－∞,0)上的增減性并加以證明.6.(★★★★)已知f(x)=(a∈R)是R上的奇函數(shù)，(1)求a的值； (2)求f(x)的反函數(shù)f－1(x);(3)對任意給定的k∈R+,解不等式f－1(x)>lg.7.(★★★★)定義在(－∞,4］上的減函數(shù)f(x)滿足f(m－sinx)≤f(－ +cos2x)對任意x∈R都成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.8.(★★★★★)已知函數(shù)y=f(x)=(a,b,c∈R,a>0,b>0)是奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)有最小值2，其中b∈N且f(1)<.(1)試求函數(shù)f(x)的解析式； (2)問函數(shù)f(x)圖象上是否存在關(guān)于點(diǎn)(1，0)對稱的兩點(diǎn)，若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.參考答案 難點(diǎn)磁場 解：∵f(2)=0,∴原不等式可化為f［log2(x2+5x+4)］≥f(2).又∵f(x)為偶函數(shù)，且f(x)在(0，+∞)上為增函數(shù)，∴f(x)在(－∞,0）上為減函數(shù)且f(－2)=f(2)=0 ∴不等式可化為log2(x2+5x+4)≥2 ① 或log2(x2+5x+4)≤－2 ② 由①得x2+5x+4≥4 ∴x≤－5或x≥0 ③ 由②得0＜x2+5x+4≤ 得 ≤x＜－4或－1＜x≤ ④ 由③④得原不等式的解集為 {x|x≤－5或 ≤x≤－4或－1＜x≤ 或x≥0} 殲滅難點(diǎn)訓(xùn)練 一、1.解析：f(7.5)=f(5.5+2)=－f(5.5)=－f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=－f(1.5)=－f(－0.5+2)= f(－0.5)=－f(0.5)=－0.5.答案：B 2.解析：∵f(x)是定義在(－1，1）上的奇函數(shù)又是減函數(shù)，且f(a－3)+f(9－a2)＜0.∴f(a－3)＜f(a2－9).∴ ∴a∈(2 ,3).答案：A 二、3.解析：由題意可知：xf(x)＜0 ∴x∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f(x)為R上的奇函數(shù) ∴f()=－f(－),f()=－f(－),f(1)=－f(－1),又f(x)在(－1，0)上是增函數(shù)且－ > － >－1.∴f(－)>f(－)>f(－1),∴f()＜f()＜f(1).答案：f()＜f()＜f(1) 三、5.解：函數(shù)f(x)在(－∞,0）上是增函數(shù)，設(shè)x1＜x2＜0,因?yàn)閒(x)是偶函數(shù)，所以 f(－x1)=f(x1),f(－x2)=f(x2),由假設(shè)可知－x1>－x2>0,又已知f(x)在(0，+∞)上是減函數(shù)，于是有f(－x1)＜f(－x2),即f(x1)＜f(x2),由此可知，函數(shù)f(x)在(－∞,0)上是增函數(shù).6.解：(1）a=1.(2)f(x)=(x∈R)f－-1(x)=log2(－1＜x＜1.(3)由log2 >log2 log2(1－x)＜log2k,∴當(dāng)0＜k＜2時(shí)，不等式解集為{x|1－k＜x＜1;當(dāng)k≥2時(shí)，不等式解集為{x|－1＜x＜1.7.解：，對x∈R恒成立，∴m∈［ ,3］∪{ }.8.解：(1)∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(－x)=－f(x),即 ∴c=0,∵a>0,b>0,x>0,∴f(x)= ≥2，當(dāng)且僅當(dāng)x= 時(shí)等號成立，于是2 =2,∴a=b2,由f(1)＜ 得 ＜ 即 ＜ ,∴2b2－5b+2＜0,解得 ＜b＜2，又b∈N,∴b=1,∴a=1,∴f(x)=x+.(2)設(shè)存在一點(diǎn)(x0,y0)在y=f(x)的圖象上，并且關(guān)于(1，0）的對稱點(diǎn)(2－x0,－y0)也在y=f(x)圖象上，則 消去y0得x02－2x0－1=0,x0=1±.∴y=f(x)圖象上存在兩點(diǎn)(1+ ,2),(1－ ,－2)關(guān)于(1，0)對稱. 函數(shù)性質(zhì) 一、單調(diào)性 1.定義：一般地，設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镮:如果對于定義域I內(nèi)某個(gè)區(qū)間D上的任意兩個(gè)自變量的值x1,x2，當(dāng)x1?x2時(shí)，若都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數(shù)在．．區(qū)間D上單調(diào)遞增，若都有f(x1)?f(x2)，那么就說函數(shù)在區(qū)間D上單調(diào)遞減。例1.證明f?x??x?1在?1,???上單調(diào)遞增 x 總結(jié)： 1）用定義證明單調(diào)性的步驟：取值----作差----變形-----定號-----判斷 2）增+增=增 減+減=減 -增=減 1/增=減 3）一次函數(shù)y?kx?b的單調(diào)性 例1.判斷函數(shù)y??2.復(fù)合函數(shù)分析法 設(shè)y?f(u)，u?g(x)x?[a,b]，u?[m,n]都是單調(diào)函數(shù)，則y?f[g(x)]在[a,b]上也是單調(diào)函數(shù)，其單調(diào)性由“同增異減”來確定，即“里外”函數(shù)增減 1的增減性 x?1性相同，復(fù)合函數(shù)為增函數(shù)，“里外”函數(shù)的增減性相反，復(fù)合函數(shù)為減函數(shù)。如下表： u?g(x) y?f(u) y?f[g(x)] 增 增 減 減 增 減 增 減 增 減 減 增 例1.判斷函數(shù)y?log2(x?1)在定義域內(nèi)的單調(diào)性 一、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用 1.比較大小 例1.若f(x)在R上單調(diào)遞增，且f?2a?1??f(a?3)，求a的取值范圍 3例2.已知函數(shù)f(x)在?0,???上是減函數(shù)，試比較f()與f(a2?a?1)的大小 42.利用單調(diào)性求最值 1例1.求函數(shù)y?x?1?的最小值 x x2?2x?a1例2.已知函數(shù)f(x)?,x??1,???.當(dāng)a?時(shí)，求函數(shù)f(x)的最小值 x2 1?1?例3.若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,3?，求函數(shù)g(x)?f(x)?的值域 2f(x)?? 練習(xí)：1）求函數(shù)y?x2?1?x在?0,???的最大值 1?1?2）若函數(shù)f(x)的值域?yàn)?,3?，求函數(shù)g(x)?f(x)?的值域 2f(x)?? 3.求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 1)求定義域 2)判斷增減區(qū)間 3)求交集 12例1.求函數(shù)y??x?2x?3的單調(diào)區(qū)間 2練習(xí)：求函數(shù)y??x2?2x?8的單調(diào)增區(qū)間 4.求參數(shù)取值范圍 例1.函數(shù)f(x)?x2?2ax?3在區(qū)間?1,2?上單調(diào)，求a的取值范圍 二、奇偶性 1.判斷奇偶性的前提條件：定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱 例1.奇函數(shù)f(x)定義域是(t,2t?3)，則t? .2.奇函數(shù)的定義：對于函數(shù)f(x)，其定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果?x?D,恒有f(?x)??f(x)，那么函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。 3.奇函數(shù)的性質(zhì)： 1）圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱 2）在圓點(diǎn)左右單調(diào)性相同 3）若0在定義域內(nèi)，則必有f(0)?0 1奇函數(shù)的例子：y?x,y?x3,y?x?,y?sinx x4.偶函數(shù)的定義：對于函數(shù)f(x)，其定義域D關(guān)于原點(diǎn)對稱，如果?x?D,恒有f(?x)?f(x)，那么函數(shù)f(x)為偶函數(shù)。 5.偶函數(shù)的性質(zhì)： 1）圖像關(guān)于y軸對稱 2）在圓點(diǎn)左右單調(diào)性相反 偶函數(shù)的例子：y?x2,y?x,y?cosx 6.結(jié)論：奇+奇=奇，偶+偶=偶，奇?奇=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 四、常見題型： 1.函數(shù)奇偶性的判定 4?x2例1.判斷函數(shù)f(x)?的奇偶性 x?2?2 例2.判斷f(x)?(x?2) 2?x的奇偶性 2?x2.奇偶性的應(yīng)用 例1.已知f(x)?x5?ax3?bx?8,f(?2)?10,則f(2)?_______ 例2.已知f(x)是奇函數(shù)，且當(dāng)x?0時(shí)，f(x)?x(x?2),求x?0時(shí)，f(x)的解析式 例3.設(shè)f(x)是偶函數(shù)，g(x)是奇函數(shù)，且f(x)?g(x)? 3.函數(shù)單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用 例1.設(shè)偶函數(shù)f(x)在[0,??)為減函數(shù)，則不等式f(x)?f(2x?1)的解集是。 例2.已知函數(shù)f(x)是定義在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)，若f(x)在區(qū)間??5,5?上是奇函數(shù)，在區(qū)間?0,5?上是單調(diào)函數(shù)，切f(3)?f(1)，則（） A.f(?1)?f(?3)B.f(0)?f(?1)C.f(?1)?f(1)D.f(?3)?f(?5)，例3.函數(shù)f(x)?ax?b12???1,1是定義在上的奇函數(shù)，且 f()?2251?x1，求f(x),g(x)x?11）求f(x)的解析式 2）判斷函數(shù)f(x)在??1,1?上的單調(diào)性 3）解不等式f(t?1)?f(t)?0 對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的運(yùn)用 張軍麗 一、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用 利用函數(shù)的單調(diào)性可以：①比較大??；②解不等式；③判斷單調(diào)性；④求單調(diào)區(qū)間；⑤求值域和最值.要求同學(xué)們：一是牢固掌握對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性；二是理解和掌握復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性規(guī)律；三是樹立定義域優(yōu)先的觀念.1.比較下列各組數(shù)中的兩個(gè)值大?。?/p> (1)log23.4，log28.5 (2)log0.31.8，log0.32.7 (3)loga5.1，loga5.9(a>0且a≠1) 思路點(diǎn)撥：由數(shù)形結(jié)合的方法或利用函數(shù)的單調(diào)性來完成.(1)解法1：畫出對數(shù)函數(shù)y=log2x的圖象，橫坐標(biāo)為3.4的點(diǎn)在橫坐標(biāo)為8.5的點(diǎn)的下方，所以，log23.4 解法2：由函數(shù)y=log2x在R+上是單調(diào)增函數(shù)，且3.4<8.5，所以log23.4 解法3：直接用計(jì)算器計(jì)算得：log23.4≈1.8，log28.5≈3.1，所以log23.4 (2)與第(1)小題類似，log0.3x在R+上是單調(diào)減函數(shù)，且1.8<2.7，所以log0.31.8>log0.32.7； (3)注：底數(shù)是常數(shù)，但要分類討論a的范圍，再由函數(shù)單調(diào)性判斷大小.解法1：當(dāng)a>1時(shí)，y=logax在(0，+∞)上是增函數(shù)，且5.1<5.9，所以，loga5.1 當(dāng)0 解法2：轉(zhuǎn)化為指數(shù)函數(shù)，再由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判斷大小，令b1=loga5.1，則 所以，b1 所以，b1>b2，即舉一反三： 【變式1】（2011 天津理 7）已知 A． 解析：另 B．，C．，則（） D．，令b2=loga5.9，則 .當(dāng)a>1時(shí)，y=ax在R上是增函數(shù)，且5.1<5.9 當(dāng)0 又∵為單調(diào)遞增函數(shù)，∴ 2.證明函數(shù) 故選C.上是增函數(shù).思路點(diǎn)撥：此題目的在于讓學(xué)生熟悉函數(shù)單調(diào)性證明通法，同時(shí)熟悉利用對函數(shù)單調(diào)性比較同底數(shù)對數(shù)大小的方法.證明：設(shè) 舉一反三： 【變式1】已知f(logax)=的單調(diào)性.解：設(shè)t=logax(x∈R+，t∈R).當(dāng)a>1時(shí)，t=logax為增函數(shù)，若t1 則 又∵y=log2x在即f(x1) 上是增函數(shù).上是增函數(shù) ∴函數(shù)f(x)=log2(x2+1)在∵ 0 解：設(shè)t=-x2+2x+3，則t=-(x-1)2+4.∵ y=≤4，∴ y≥ =-2，即函數(shù)的值域?yàn)閇-2，+∞.(-x2+2x+3)的定義域?yàn)?x2+2x+3>0，即 再由：函數(shù)y=-1 二、函數(shù)的奇偶性 4.判斷下列函數(shù)的奇偶性.(1) (2) .t(-x2+2x+3)的減區(qū)間為(-1，1)，增區(qū)間為[1，3.(1)思路點(diǎn)撥：首先要注意定義域的考查，然后嚴(yán)格按照證明奇偶性基本步驟進(jìn)行.解：由 所以函數(shù)的定義域?yàn)椋?-1，1)關(guān)于原點(diǎn)對稱 又 所以函數(shù) 是奇函數(shù)； 總結(jié)升華：此題確定定義域即解簡單分式不等式，函數(shù)解析式恒等變形需利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì).說明判斷對數(shù)形式的復(fù)合函數(shù)的奇偶性，不能輕易直接下結(jié)論，而應(yīng)注意對數(shù)式的恒等變形.(2)解：由 以函數(shù)的定義域?yàn)镽關(guān)于原點(diǎn)對稱 即f(-x)=-f(x)；所以函數(shù) 所 又 .總結(jié)升華：此題定義域的確定可能稍有困難，函數(shù)解析式的變形用到了分子有理化的技巧，要求掌握.三、對數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用 5．已知函數(shù)f(x)=lg(ax2+2x+1).(1)若函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若函數(shù)f(x)的值域?yàn)镽，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.思路點(diǎn)撥：與求函數(shù)定義域、值域的常規(guī)問題相比，本題屬非常規(guī)問題，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化成常規(guī)問題.f(x)的定義域?yàn)镽，即關(guān)于x的不等式ax2+2x+1>0的解集為R，這是不等式中的常規(guī)問題.f(x)的值域?yàn)镽與ax2+2x+1恒為正值是不等價(jià)的，因?yàn)檫@里要求f(x)取遍一切實(shí)數(shù)，即要求u=ax2+2x+1取遍一切正數(shù)，考察此函數(shù)的圖象的各種情況，如圖，我們會發(fā)現(xiàn)： 使u能取遍一切正數(shù)的條件是 .的解集為R，解：(1)f(x)的定義域?yàn)镽，即：關(guān)于x的不等式ax2+2x+1>0 當(dāng)a=0時(shí)，此不等式變?yōu)?x+1>0，其解集不是R； 當(dāng)a≠0時(shí)，有∴ a的取值范圍為a>1.(2)f(x)的值域?yàn)镽，即u=ax2+2x+1能取遍一切正數(shù) a>1.a=0或 0≤a≤1，∴ a的取值范圍為0≤a≤1.6．已知函數(shù)h(x)=2x(x∈R)，它的反函數(shù)記作g(x)，A、B、C三點(diǎn)在函數(shù)g(x)的圖象上，它們的橫坐標(biāo)分別為a，a+4，a+8(a>1)，記ΔABC的面積為S.(1)求S=f(a)的表達(dá)式；(2)求函數(shù)f(a)的值域； (3)判斷函數(shù)S=f(a)的單調(diào)性，并予以證明；(4)若S>2，求a的取值范圍.解：(1)依題意有g(shù)(x)=log2x(x>0).并且 A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a，log2a)，B(a+4，log2(a+4))，C(a+8，log2(a+8))(a>1)，∴A，C中點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為〔log2a+log2(a+8)〕 ∴ S=|BD|·4·2=4|BD|=4log2(a+4)-2log2a-2log2(a+8).(2)把S=f(a)變形得：S=f(a)=2〔2log2(a+4)-log2a-log2(a+8)〕=2log2=2log2(1+).，又函數(shù)y=log2x 由于a>1時(shí)，a2+8a>9，∴1<1+在(0，+∞)上是增函數(shù)，∴ 0<2log2(1+)<2log2，即0 (1+)-(1+)=16(+8a2>0，)=16·+8a1>0，a1-a2<0，由a1>1，a2>1，且a2>a1，∴ a1+a2+8>0，∴ 1<1+ <1+，再由函數(shù)y=log2x在(0，+∞)上是增函數(shù)，于是可得f(a1)>f(a2) ∴ S=f(a)在(1，+∞)上是減函數(shù).(4)由S>2，即得，1 一道函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性定義證明題 ax?1f(x)?x(a?1).a?1 a?x?11?ax ?x??f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)。（1）f(?x)??xa?1a?1 ax?1(ax?1)?22??1?（2）f(x)?x，a?1ax?1ax?1 因?yàn)閍?0，所以a?1?1，所以0? 所以f(x)的值域?yàn)??1,1).（3）任取x1,x2?R，且x1?x2，則 xx2?2，ax?1 ax1?1ax2?122f(x1)?f(x2)?x1?x2?x2?x1 a?1a?1a?1a?1 2(ax1?1)?2(ax2?1)2(ax1?ax2)? ?x1(ax1?1)(ax2?1)(a?1)(ax2?1) xx因?yàn)閍?1，x1?x2，所以a1?a2，所以f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2) 所以f(x)為R上的增函數(shù)。 函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的奇偶性，反函數(shù) [本周教學(xué)重點(diǎn)] 掌握函數(shù)單調(diào)性的定義，會用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性及其步驟。 (1)設(shè)x1，x2是定義域上的任意兩個(gè)值，且x1 (2)作差f(x1)-f(x2)并將其變形為可判斷符號的形式； (3)判斷f(x1)-f(x2)的正、負(fù)； (4)結(jié)論 理解函數(shù)奇偶性的定義及奇、偶函數(shù)定理，能判斷、證明一些簡單函數(shù)的奇偶性，會利用函數(shù)奇偶性求解有關(guān)函數(shù)問題。 (1)函數(shù)的定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對稱，是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。 (2)f(-x)=-f(x)f(-x)+f(x)=0f(x)是奇函數(shù)。 f(x)=f(-x)f(-x)-f(x)=0f(x)是偶函數(shù)。 由f(-x)=-f(x)或f(-x)=f(x)是側(cè)重于函數(shù)解析式的變形去證明f(x)的奇偶性；而f(-x)+f(x)=0或f(-x)-f(x)=0是通過運(yùn)算去證明f(x)的奇偶性，兩種定義形式各具不同優(yōu)勢。 (3)若f(x)是奇函數(shù)且允許x=0，則f(0)=0，即f(x)的圖象過原點(diǎn)。 (4)若f(x)既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)，則f(x)=0。 (5)同為奇函數(shù)，同為偶函數(shù)的兩個(gè)函數(shù)之積是偶函數(shù)；一奇一偶兩個(gè)函數(shù)之積是奇函數(shù)。 (6)定義在R上的任意一個(gè)函數(shù)f(x)都可表示為一個(gè)奇函數(shù)g(x)與一個(gè)偶函數(shù)h(x)的和。 即f(x)=g(x)+h(x)，其中g(shù)(x)=[f(x)-f(-x)]，h(x)= [f(x)+f(-x)]。 理解反函數(shù)的概念，掌握求反函數(shù)的方法步驟。 (1)由原函數(shù)y=f(x)求出它的值域； (2)由原函數(shù)y=f(x)反解出x=f- 1(y)； (3)交換x，y改寫成y=f-1(x)； (4)用f(x)的值域確定f-1(x)的定義域。 [例題分析] 例1．證明函數(shù)f(x)= 在定義域上的單調(diào)性。 [分析與解答] 函數(shù)的單調(diào)性必須在定義域內(nèi)進(jìn)行考查。由x2+x≥0得f(x)定義域?yàn)?-∞，-1][0，+∞)。 函數(shù)定義域不是一個(gè)連續(xù)的區(qū)間，應(yīng)分別考查在每一個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性，用定義法證明時(shí)，只需任取x1 任取x1 == 當(dāng)-∞ ∴ f(x1)-f(x2)>0，∴ f(x)是(-∞，-1]上的單調(diào)遞減函數(shù)。 當(dāng)0≤x1 >0。 ∴ f(x1)-f(x2)<0，∴ f(x)是[0，+∞)上的單調(diào)遞增函數(shù)。 例2．函數(shù)f(x)是[0，+∞)上的單調(diào)遞減函數(shù)，f(x)≠0且f(2)=1，證明函數(shù)F(x)=f(x)+在[0，2]上的單調(diào)性。 [分析與解答]函數(shù)f(x)沒有給出解析式，因此對F(x)的函數(shù)值作差后，需由f(x)的單調(diào)性，確定作差后的符號。任取0≤x1 由F(x1)-F(x2)=f(x1)+-f(x2)-=f(x1)-f(x2)+ =[f(x1)-f(x2)]·[1-] ∵ 0≤x1 ∴ f(x1)-f(x2)>0，f(x1)·f(x2)>1，<1，1->0，∴ F(x1)-F(x2)>0，F(xiàn)(x)是[0，2]上的單調(diào)遞減函數(shù)。 例3．證明函數(shù)f(x)=的奇偶性。 [分析與解答] 函數(shù)的奇偶性必須在其定義域內(nèi)考查。 由 函數(shù)f(x)定義域?yàn)閇-1，0)(0，1]。 ∴ |x+3|-3=x+3-3=x。即f(x)=，由f(-x)= =-f(x)，∴ f(x)是奇函數(shù)。 例4．設(shè)f(x)是定義在R上的函數(shù)，對任意x1，x2∈R，恒有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)，且f(x)不恒為0，證明 f(x)的奇偶性。 [分析與解答] 函數(shù)f(x)沒有給出解析式，這就必須從定義域，法則，及f(x)不恒為0去分析，完成奇偶性的證明。由f(x)定義域?yàn)镽，顯然允許x=0，所以f(0)=0是f(x)的奇函數(shù)的必要條件。 令x1=x2=0，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)得f(0+0)=f(0)+f(0)，整理得f(0)=0，對任意x∈R，由f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)知f(-x)+f(x)=f(-x+x)=f(0)=0，∴ f(-x)=-f(x)，∵ f(x)不恒為0，∴f(x)不可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，所以f(x)是R上的奇函數(shù)。 例5．已知函數(shù)f(x)=(a，b，c∈Z)是奇函數(shù)，且f(1)=2，f(2)<3。 (1)求a，b，c的值；(2)用定義法證明f(x)在(0，1)上的單調(diào)性。 [分析與解答](1)∵ f(x)是奇函數(shù)，∴f(-x)=-f(x)，即 =-，解出c=0，∴ f(x)=，∵ f(1)=2，∴ =2，∴ 2b=a+1。 ∵ f(2)＜3，∴<3。將2b=a+1代入，∴ <3，解出-1 (2)f(x)==x+。任取0 f(x1)-f(x2)=x1+-x2-=(x1-x2)+=(x1-x2)(1-) ∵ 0 例6．證明函數(shù)f(x)= (x≠)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。 [分析與解答] 由反函數(shù)定理可知，當(dāng)兩個(gè)函數(shù)互為反函數(shù)時(shí)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對稱，所以要證明 f(x)=(x≠)的圖象關(guān)于直線y=x對稱，只需證明f(x)的反函數(shù)是其自身即可。 ∴ f(x)的值域?yàn)閧y|y≠，y∈R}。 由y=，∴ ayx-y=x-1，(ay-1)x=y-1。 ∵ y≠，∴ ay-1≠0，x=，即f-1(x)= (x≠)，顯然f(x)與f-1(x)是同一函數(shù)，所求f(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱。 [參考練習(xí)] 1．設(shè)f(x)是定義在R上的任意一個(gè)增函數(shù)，F(xiàn)(x)=f(x)-f(-x)必是（）。 A、增函數(shù)且是奇函數(shù) B、增函數(shù)且是偶函數(shù) C、減函數(shù)且是奇函數(shù) D、減函數(shù)且是偶函數(shù) 2．已知y=f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2-2x，則f(x)在R上的表達(dá)式是（）。 A、y=x(x-2)B、y=x(|x|-1)C、y=|x|·(x-2)D、y=x(|x|-2) 3．若點(diǎn)(1，2)在函數(shù)y=的圖象上，又在它的反函數(shù)的圖象上，則（）。 A、a=3，b=-7 B、a=3，b=7 C、a=-3，b=-7 D、a=-3，b=7 4．函數(shù)f(x)是定義在[-6，6]上的偶函數(shù)，且在[-6，0]上是減函數(shù)，則（）。 A、f(3)+f(4)>0 B、f(-3)-f(2)<0 C、f(-2)+f(-5)<0 D、f(4)-f(-1)>0 5．設(shè)f(x)是定義在(-1，1)上的奇函數(shù)且是單調(diào)減函數(shù)，求解關(guān)于x的不等式f(1-x)+f(1-x2)<0的解集。 [參考答案]： 1.A 2.D 3.D 4.D 5.由f(1-x)+f(1-x2)<0，∴ f(1-x)<-f(1-x2)，∵ f(x)是(-1，1)上的奇函數(shù)，∴ f(1-x) {x|0第二篇：單調(diào)性奇偶性教案
第三篇：對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性的運(yùn)用
第四篇：一道函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性定義證明題
第五篇：7函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的奇偶性反函數(shù) 教案
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