第一篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇 40 平面向量的數(shù)量積

平面向量的數(shù)量積

教材分析

兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便，特別是能有效解決線(xiàn)段的垂直等問(wèn)題．這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來(lái)處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件．

2.通過(guò)對(duì)數(shù)量積的引入和應(yīng)用，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和運(yùn)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣．

任務(wù)分析

兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來(lái)了一些困難．在學(xué)習(xí)時(shí)，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量．兩個(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積，其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定．

兩向量的數(shù)量積“a·b”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”．

通過(guò)實(shí)例理解a·b＝b·c與a＝c的關(guān)系，a·b＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

如圖40-1所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算．

W＝｜s｜｜f｜c(diǎn)osθ．

其中｜f｜c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．

問(wèn)題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？

二、建立模型

1.引導(dǎo)學(xué)生從“功”的模型中得到如下概念：

已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜c(diǎn)osθ（｜b｜c(diǎn)osθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．

規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．

由上述定義可知，兩個(gè)向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．

說(shuō)明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時(shí)，稱(chēng)a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見(jiàn)，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2.引導(dǎo)學(xué)生思考討論

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出

（1）設(shè)e是單位向量，a·e＝｜a｜c(diǎn)os〈a，e〉．（2）設(shè)a·b是非零向量，則a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝

a·b＝0．

.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實(shí)數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．

三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例 題］

已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［練習(xí)］

1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ．

（2）a在b上的投影．

2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求

四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律

·．

1.出示問(wèn)題：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿(mǎn)足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義．回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你能類(lèi)比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎？它們成立嗎？為什么？

2.運(yùn)算律及其推導(dǎo)

已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）a·b＝b·a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝右．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與b的夾角為θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜c(diǎn)osθ＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（a·b）； 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜c(diǎn)os（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（a·b）；

當(dāng)λ＝0時(shí)，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 總之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對(duì)加法的分配律）．

證明：如圖40-2，任取一點(diǎn)O，作＝a，＝ｂ，＝c．

∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即

｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2，∴｜c(diǎn)｜｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜c(diǎn)｜（｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2）＝ ｜c(diǎn)｜｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜c(diǎn)｜｜b｜c(diǎn)osθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

思考：（1）向量的數(shù)量積滿(mǎn)足結(jié)合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿(mǎn)足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c嗎？

五、應(yīng)用與深化 ［例 題］

1.對(duì)實(shí)數(shù)a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類(lèi)似地，對(duì)任意向量a，b，也有類(lèi)似結(jié)論嗎？為什么？

解：類(lèi)比完全平方和公式與平方差公式，有

（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，2

2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有類(lèi)似結(jié)論．

2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝

｜a｜－｜a｜｜b｜c(diǎn)os60°－6｜b｜＝－72．

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線(xiàn)．當(dāng)k為何值時(shí)，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2

2因此，當(dāng)k＝±時(shí)，有（a＋kb）⊥（a－kb）．

4.已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．

解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．

解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×

［練習(xí)］

1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．

×

＋2×1×

×

＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2

．

2.在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，求

六、拓展延伸

·＋·＋·．

1.當(dāng)向量a，b的夾角為銳角時(shí)，你能說(shuō)明a·b的幾何意義嗎？ 如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長(zhǎng)和ａ的長(zhǎng)為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．

2.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝－

＝＋，．試說(shuō)明平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系．

3.三個(gè)單位向量a，b，c有相同終點(diǎn)且a＋b＋c＝0，問(wèn)：它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形？

解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜c(diǎn)os∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．

解法2：如圖40-6，．

＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋

∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．

又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．

同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…

4.在△ABC中，·＝·＝·，問(wèn)：O點(diǎn)在△ABC的什么位置？

解：由同理⊥·，＝⊥

·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．

點(diǎn) 評(píng)

這篇案例的一個(gè)突出特點(diǎn)是使用類(lèi)比方法，即在研究向量的數(shù)量積的性質(zhì)及運(yùn)算律時(shí)，經(jīng)常以實(shí)數(shù)為對(duì)象進(jìn)行類(lèi)比．以物理學(xué)中的力對(duì)物體做功的實(shí)例，引入數(shù)量積的過(guò)程比較自然，學(xué)生容易接受．在“拓展延伸”中，較多地展示了向量的綜合應(yīng)用．這都充分體現(xiàn)了向量是數(shù)形結(jié)合的重要載體．運(yùn)用向量方法解決與向量有關(guān)的綜合問(wèn)題，越來(lái)越成為考查學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的一個(gè)重要方面．認(rèn)識(shí)向量并會(huì)使用向量是這一部分的基礎(chǔ)，也是重點(diǎn)．總之，這篇案例較好地實(shí)現(xiàn)了教學(xué)目標(biāo)，同時(shí)，關(guān)注類(lèi)比方法的運(yùn)用，以及學(xué)生數(shù)學(xué)思維水平的提高．美中不足的是，對(duì)學(xué)生的自主探究的引導(dǎo)似乎有所欠缺．

第二篇：高中數(shù)學(xué)新課程創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計(jì)案例50篇__40-43平面向量

平面向量的數(shù)量積

教材分析

兩個(gè)向量的數(shù)量積是中學(xué)代數(shù)以往內(nèi)容中從未遇到過(guò)的一種新的乘法，它區(qū)別于數(shù)的乘法．這篇案例從學(xué)生熟知的功的概念出發(fā)，引出平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)及其幾何意義，介紹向量數(shù)量積的運(yùn)算律及坐標(biāo)表示．向量的數(shù)量積把向量的長(zhǎng)度和三角函數(shù)聯(lián)系在一起，這為解決三角形的有關(guān)問(wèn)題提供了方便，特別是能有效解決線(xiàn)段的垂直等問(wèn)題．這節(jié)內(nèi)容是整個(gè)向量部分的重要內(nèi)容之一，對(duì)它的理解與掌握將直接影響向量其他內(nèi)容的學(xué)習(xí)．這節(jié)內(nèi)容的教學(xué)難點(diǎn)是對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和對(duì)平面向量數(shù)量積的應(yīng)用．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解并掌握平面向量的數(shù)量積、幾何意義和數(shù)量積的坐標(biāo)表示，會(huì)初步使用平面向量的數(shù)量積來(lái)處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題，掌握向量垂直的條件．

2.通過(guò)對(duì)數(shù)量積的引入和應(yīng)用，初步體會(huì)知識(shí)發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和運(yùn)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)思維習(xí)慣．

任務(wù)分析

兩個(gè)向量的數(shù)量積從形式和實(shí)質(zhì)上都與數(shù)的乘法有區(qū)別，這就給理解和掌握這個(gè)概念帶來(lái)了一些困難．在學(xué)習(xí)時(shí)，要充分讓學(xué)生理解、明白兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)數(shù)量，而不是向量．兩個(gè)向量的數(shù)量積的值是這兩個(gè)向量的模與兩個(gè)向量夾角余弦的乘積，其符號(hào)由夾角余弦值的正負(fù)而確定．

兩向量的數(shù)量積“a·b”不同于兩實(shí)數(shù)之積“ab”．

通過(guò)實(shí)例理解a·b＝b·c與a＝c的關(guān)系，a·b＝0與a＝0或b＝0的關(guān)系，以及（a·b）c＝a（b·c）與（ab）c＝a（bc）的不同．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

如圖40-1所示，一個(gè)力f作用于一個(gè)物體，使該物體發(fā)生了位移s，如何計(jì)算這個(gè)力所做的功．由于圖示的力f的方向與前進(jìn)方向有一個(gè)夾角θ，真正使物體前進(jìn)的力是f在物體前進(jìn)方向上的分力，這個(gè)分力與物體位移的乘積才是力f做的功．即力f使物體位移x所做的功W可用下式計(jì)算．

W＝｜s｜｜f｜c(diǎn)osθ．

其中｜f｜c(diǎn)osθ就是f在物體前進(jìn)方向上的分量，也就是力f在物體前進(jìn)方向上正射影的數(shù)量．

問(wèn)題：像功這樣的數(shù)量值，它由力和位移兩個(gè)向量來(lái)確定．我們能否從中得到啟發(fā)，把“功”看成這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？

二、建立模型

1.引導(dǎo)學(xué)生從“功”的模型中得到如下概念：

已知兩個(gè)非零向量a與b，把數(shù)量｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ叫a與b的數(shù)量積（內(nèi)積），記作a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ．其中θ是a與b夾角，｜a｜c(diǎn)osθ（｜b｜c(diǎn)osθ）叫a在b方向上（b在a方向上）的投影．

規(guī)定0與任一向量的數(shù)量積為０．

由上述定義可知，兩個(gè)向量ａ與ｂ的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)．

說(shuō)明：向量a與b的夾角θ是指把a(bǔ)，b起點(diǎn)平移到一起所成的夾角，其中0≤θ≤π．當(dāng)θ＝時(shí)，稱(chēng)a和b垂直，記作a⊥b．為方便起見(jiàn)，a與b的夾角記作〈a，b〉． 2.引導(dǎo)學(xué)生思考討論

根據(jù)向量數(shù)量積的定義，可以得出

（1）設(shè)e是單位向量，a·e＝｜a｜c(diǎn)os〈a，e〉．（2）設(shè)a·b是非零向量，則a⊥b（3）a·a＝｜a｜2，于是｜a｜＝

a·b＝0．

.（4）cos〈a，b〉＝.（5）｜a·b｜≤｜a｜｜b｜（這與實(shí)數(shù)｜ab｜＝｜a｜｜b｜不同）．

三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例 題］

已知｜a｜＝5，｜b｜＝4，〈a，b〉＝120°，求a·b． 解：a·b＝｜a｜｜b｜c(diǎn)os〈a，b〉＝5×4×cos120°＝－10． ［練習(xí)］

1.已知｜a｜＝3，ｂ在ａ上的投影為－2，求：（1）a·ｂ．

（2）a在b上的投影．

2.已知：在△ABC中，a＝5，b＝8，c＝60°，求

四、建立向量數(shù)量積的運(yùn)算律

·．

1.出示問(wèn)題：從數(shù)學(xué)的角度考慮，我們希望向量的數(shù)量積運(yùn)算，也能像數(shù)量乘法那樣滿(mǎn)足某些運(yùn)算律，這樣數(shù)量積運(yùn)算才更富有意義．回憶實(shí)數(shù)的運(yùn)算律，你能類(lèi)比和歸納出向量數(shù)量積的一些運(yùn)算律嗎？它們成立嗎？為什么？

2.運(yùn)算律及其推導(dǎo)

已知：向量a，b，c和λ∈R，則（1）a·b＝b·a（交換律）． 證明：左＝｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝右．

（2）（λa）·b＝λ（a·b）＝a·（λb）（數(shù)乘結(jié)合律）． 證明：設(shè)a，b夾角為θ，當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與b的夾角為θ，∴（λa）·b＝（λa）·｜b｜c(diǎn)osθ＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（a·b）； 當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與b的夾角為（π－θ），∴（λa）·b＝｜λa｜｜b｜c(diǎn)os（π－θ）＝－λ｜a｜｜b｜（－cosθ）＝λ｜a｜｜b｜c(diǎn)osθ＝λ（a·b）；

當(dāng)λ＝0時(shí)，（λa）·b＝0·b＝0＝λ（a·b）． 總之，（λa）·b＝λ（a·b）； 同理a·（λb）＝λ（a·b）．（3）（a＋b）·c＝a·c＋b·c（乘法對(duì)加法的分配律）．

證明：如圖40-2，任取一點(diǎn)O，作＝a，＝ｂ，＝c．

∵a＋b（即）在c方向上的投影等于a，b在c方向上的投影的和，即

｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2，∴｜c(diǎn)｜｜a＋b｜c(diǎn)osθ＝｜c(diǎn)｜（｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜b｜c(diǎn)osθ2）＝ ｜c(diǎn)｜｜a｜c(diǎn)osθ1＋｜c(diǎn)｜｜b｜c(diǎn)osθ2＝c·a＋c·b，∴（a＋b）·c＝a·c＋b·c．

思考：（1）向量的數(shù)量積滿(mǎn)足結(jié)合律，即（a·b）c＝a（b·c）嗎？（2）向量的數(shù)量積滿(mǎn)足消去律，即如果a·b＝c·b，那么a＝c嗎？

五、應(yīng)用與深化 ［例 題］

1.對(duì)實(shí)數(shù)a，b，有（a＋b）＝a＋2ab＋b，（a＋b）（a－b）＝a－b．類(lèi)似地，對(duì)任意向量a，b，也有類(lèi)似結(jié)論嗎？為什么？

解：類(lèi)比完全平方和公式與平方差公式，有

（a＋b）2＝a2＋2a·b＋b2，（a＋b）·（a－b）＝a2－b2． 其證明是：（a＋b）＝（a＋b）·（a＋b）＝ a·a＋a·b＋b·a＋b·b＝ a2＋2a·b＋b2，2

2（a＋b）·（a－b）＝a·a－a·b＋b·a－b·b＝ a2－b2． ∴有類(lèi)似結(jié)論．

2.已知｜a｜＝6，｜b｜＝4，〈a，b〉＝60°，求（a＋2b）·（a－3b）． 解：（a＋2b）·（a－3b）＝ a2－3a·b＋2b·a－6b2＝

｜a｜－｜a｜｜b｜c(diǎn)os60°－6｜b｜＝－72．

3.已知｜a｜＝3，｜b｜＝4，且a與b不共線(xiàn)．當(dāng)k為何值時(shí)，（a＋kb）⊥（a－kb）？ 解：（a＋kb）⊥（a－kb），即（a＋kb）·（a－kb）＝0，即a2－k2b2＝0，即9－k2×16＝0，k＝±． 2

2因此，當(dāng)k＝±時(shí)，有（a＋kb）⊥（a－kb）．

4.已知：正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，并且＝a，＝b，＝c，求｜a＋b＋c｜．

解法1：∵a＋b＋c＝＋＋＝2，∴｜a＋b＋c｜＝2＝2．

解法2：｜a＋b＋c｜2＝（a＋b＋c）2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝1＋1＋2＋2×1×1×cos90°＋2×1×

［練習(xí)］

1.｜a｜＝4，｜b｜＝3，（2a－3b）·（2a＋b）＝61，求a與b的夾角θ．

×

＋2×1×

×

＝8，∴｜a＋b＋c｜＝2

．

2.在邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC中，求

六、拓展延伸

·＋·＋·．

1.當(dāng)向量a，b的夾角為銳角時(shí)，你能說(shuō)明a·b的幾何意義嗎？ 如圖40-3，a·b，即以b在a上射影的長(zhǎng)和ａ的長(zhǎng)為兩鄰邊的矩形面積（OA＝OA1）．

2.平行四邊形是表示向量加法與減法的幾何模型，如圖40-4，＝－

＝＋，．試說(shuō)明平行四邊形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度與兩條鄰邊長(zhǎng)度之間的關(guān)系．

3.三個(gè)單位向量a，b，c有相同終點(diǎn)且a＋b＋c＝0，問(wèn)：它們的起點(diǎn)連成怎樣的三角形？

解法1：如圖40-5，∵｜a｜＝｜b｜＝｜c(diǎn)｜＝1，a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴（a＋b）＝（－c）2，2∴a2＋b2＋2a·b＝c2，∴2｜a｜·｜b｜c(diǎn)os∠AOC＝－1，cos∠AOC＝，∠AOC＝120°． 同理∠BOC＝∠AOC＝120°，故△AOB，△BOC，△BOC全等，∴AB＝AC＝BC，即該△ABC為等邊三角形．

解法2：如圖40-6，．

＝c，＝－a，＝－b，由a＋b＋c＝0，即＝＋

∵｜a｜＝｜b｜＝1，∴OADB為菱形．

又｜｜＝1，∴∠AOB＝120°．

同理∠AOC＝∠BOC＝120°，…

4.在△ABC中，·＝·＝·，問(wèn)：O點(diǎn)在△ABC的什么位置？

解：由同理⊥·，＝⊥

·，即·（－）＝0，即·＝0，∴⊥，．故O是△ABC的垂心．

兩角和與差的余弦

教材分析

這節(jié)內(nèi)容是在掌握了任意角的三角函數(shù)的概念、向量的坐標(biāo)表示以及向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究用單角的三角函數(shù)表示的兩角和與差的三角函數(shù)．這些內(nèi)容在高等數(shù)學(xué)、電功學(xué)、力學(xué)、機(jī)械設(shè)計(jì)與制造等方面有著廣泛的應(yīng)用，因此要求學(xué)生切實(shí)學(xué)好，并能熟練的應(yīng)用，以便為今后的學(xué)習(xí)打下良好的基礎(chǔ)． “兩角差的余弦公式”在教科書(shū)中采用了一種易于教學(xué)的推導(dǎo)方法，即先借助于單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)，推出α，β，α－β均為銳角時(shí)成立．對(duì)于α，β為任意角的情況，教材運(yùn)用向量的知識(shí)進(jìn)行了探究．同時(shí)，補(bǔ)充了用向量的方法推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處，這樣，兩角差的余弦公式便具有了一般性．

這節(jié)課的重點(diǎn)是兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，難點(diǎn)是把公式中的α，β角推廣到任意角．

教學(xué)目標(biāo)

1.通過(guò)對(duì)兩角差的余弦公式的探究過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)交流，探索，發(fā)現(xiàn)和獲得新知識(shí)的能力．

2.通過(guò)兩角差的余弦公式的推導(dǎo)，體會(huì)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展的過(guò)程和初步的應(yīng)用過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法和勇于探索的科學(xué)精神．

3.能正確運(yùn)用兩角差的余弦公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和恒等式證明．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容以問(wèn)題情景中的問(wèn)題作為教學(xué)的出發(fā)點(diǎn)，利用單位圓中的三角函數(shù)線(xiàn)和平面向量的數(shù)量積的概念推導(dǎo)出結(jié)論，并不斷補(bǔ)充推導(dǎo)過(guò)程中的不嚴(yán)謹(jǐn)之處．推導(dǎo)過(guò)程采用了從特殊到一般逐層遞進(jìn)的思維方法，學(xué)生易于接受．整個(gè)過(guò)程始終結(jié)合單位圓，以強(qiáng)調(diào)其直觀性．對(duì)于公式中的α和β角要強(qiáng)調(diào)其任意性．?dāng)?shù)學(xué)中要注意運(yùn)用啟發(fā)式，切忌把結(jié)果直接告訴學(xué)生，盡量讓學(xué)生通過(guò)觀察、思考和探索，自己發(fā)現(xiàn)公式，使學(xué)生充分體會(huì)到成功的喜悅，進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，調(diào)動(dòng)他們學(xué)習(xí)的積極性，從而使其自覺(jué)主動(dòng)地學(xué)習(xí)．

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題情景

我們已經(jīng)學(xué)過(guò)誘導(dǎo)公式，如

可以這樣來(lái)認(rèn)識(shí)以上公式：把角α轉(zhuǎn)動(dòng)，則所得角α＋的正弦、余弦分別等于cosα和－sinα．把角α轉(zhuǎn)動(dòng)π，則所得角α＋π的正弦、余弦分別等于－sinα和－cosα． 由此，使我們想到一個(gè)一般性的問(wèn)題：如果把角α的終邊轉(zhuǎn)動(dòng)β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦來(lái)表示呢？ 出示一個(gè)實(shí)際問(wèn)題：

右圖41-1是架在小河邊的一座吊橋的示意圖．吊橋長(zhǎng)AB＝ａ（m），A是支點(diǎn)，在河的左岸．點(diǎn)C在河的右岸，地勢(shì)比A點(diǎn)高．AD表示水平線(xiàn)，∠DAC＝α，α為定值．∠CAB＝β，β隨吊橋的起降而變化．在吊橋起降的過(guò)程中，如何確定點(diǎn)B離開(kāi)水平線(xiàn)AD的高度BE？

由圖可知BE＝asin（α＋β）．

我們的問(wèn)題是：如何用α和β的三角函數(shù)來(lái)表示sin（α＋β）．如果α＋β為銳角，你能由α，β的正弦、余弦求出sin（α＋β）嗎？

引導(dǎo)學(xué)生分析：事實(shí)上，我們?cè)谘芯咳呛瘮?shù)的變形或計(jì)算時(shí)，經(jīng)常提出這樣的問(wèn)題：能否用α，β的三角函數(shù)去表示α±β的三角函數(shù)？為了解決這類(lèi)問(wèn)題，本節(jié)首先來(lái)探索α－β的余弦與α，β的函數(shù)關(guān)系式．

更一般地說(shuō)，對(duì)于任意角α，β，能不能用α，β的三角函數(shù)值把α＋β或α－β的三角函數(shù)值表示出來(lái)呢？

二、建立模型 1.探 究

（1）猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．（2）引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)特例否定這一猜想．

例如，α＝60°，β＝30°，可以發(fā)現(xiàn)，左邊＝cos（60°－30°）＝cos30°＝－cos30°＝－，右邊＝cos60°．顯然，對(duì)任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．

（3）再引導(dǎo)學(xué)生從道理上否定這一猜想．

不妨設(shè)α，β，α－β均為銳角，則α－β＜α，則cos（α－β）＞cosα．又cosβ＞０，所以cos（α－β）＞cosα－cosβ． 2.分析討論

（1）如何把α，β，α－β角的三角函數(shù)值之間建立起關(guān)系？要獲得相應(yīng)的表達(dá)式需要哪些已學(xué)過(guò)的知識(shí)？

（2）由三角函數(shù)線(xiàn)的定義可知，這些角的三角函數(shù)值都與單位圓中的某些有向線(xiàn)段有關(guān)系，那么，這些有向線(xiàn)段之間是否有關(guān)系呢？

3.教師明晰

通過(guò)學(xué)生的討論，教師引導(dǎo)學(xué)生作出以下推理：

設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．

過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，那么，OM即為α－β角的余弦線(xiàn)，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線(xiàn)段來(lái)表示OM．

過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OP1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是

OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝ cosβcosα＋sinβsinα． 4.提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論

（1）當(dāng)α，β，α－β為任意角時(shí)，上述推導(dǎo)過(guò)程還能成立嗎？

若要說(shuō)明此結(jié)果是否對(duì)任意角α，β都成立，還要做不少推廣工作，可引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考．

事實(shí)上，根據(jù)誘導(dǎo)公式，總可以把α，β的三角函數(shù)化為（0，）內(nèi)的三角函數(shù)，再根據(jù)cos（－β）＝cosβ，把α－β的余弦，化為銳角的余弦．因此，三、解釋?xiě)?yīng)用

［例 題］

1.求cos15°及cos105°的值．

分析：本題關(guān)鍵是將15°角分成45°與30°的差或者分解成60°與45°的差，再利用兩角差的余弦公式即可求解．對(duì)于cos105°，可進(jìn)行類(lèi)似地處理，cos105°＝cos（60°＋45°）．

2.已知sinα＝的值．，α∈（，π），cosβ＝－，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）分析：觀察公式Cα＋β與本題已知條件應(yīng)先計(jì)算出cosα，cosβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，并注意α，β的取值范圍來(lái)求解．

［練習(xí)］

1.（1）求sin75°的值．

（2）求cos75°cos105°＋sin75°sin105°的值．（3）化簡(jiǎn)cos（A＋B）cosB＋sin（A＋B）sinB．（4）求cos215°－sin215°的值．

分析：對(duì)于（1），可先用誘導(dǎo)公式化sin75°為cos15°，再用例題1中的結(jié)果即可．對(duì)于（2），逆向使用公式Cα-β，即可將原式化為cos30°．對(duì)于（3），可以把A＋B角看成一個(gè)整體，去替換Cα-β中的α角，用B角替換β角．

2.（1）求證：cos（－α）＝sinα．

（2）已知sinθ＝，且θ為第二象限角，求cos（θ－）的值．

（3）已知sin（30°＋α）＝，60°＜α＜150°，求cosα．

分析：（1）和（差）公式可看成誘導(dǎo)公式的推廣，誘導(dǎo)公式是和（差）公式的特例．（2）在三角函數(shù)求值問(wèn)題中，變角是一種常用的技巧，α＝（30°＋α）－30°，這樣可充分利用題中已知的三角函數(shù)值．

3.化簡(jiǎn)cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．

分析：這里可以把角36°＋α與α－54°均看成單角，進(jìn)而直接運(yùn)用公式Cα-β，不必將各式展開(kāi)后再計(jì)算．

分析：本題是一道綜合題，由于cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，欲求cos（α－β）的值，只須將已知兩式平方相加求出cosαcosβ＋sinαsinβ即可．

四、拓展延伸

1.由任意角三角函數(shù)定義，可知角α，β的終邊與單位圓交點(diǎn)的坐標(biāo)均可用α，β的三角函數(shù)表示，即α－β角與導(dǎo)公式Cα-β呢？

教師引導(dǎo)學(xué)生分析：在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，B，則由向量數(shù)量積的概念，有

＝（cosα，sinα），＝（cosβ，sinβ）．，兩向量的夾角有關(guān)，那么能否用向量的有關(guān)知識(shí)來(lái)推·＝｜｜｜｜c(diǎn)os（α－β）＝cos（α－β）．

由向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示，有

·＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

于是，有

cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

依據(jù)向量數(shù)量積的概念，角α－β必須符合０≤α－β≤π，即在此條件下，以上推導(dǎo)才是正確的．

由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，須研究α－β為任意角時(shí)，以上推導(dǎo)是否正確．

當(dāng)α－β為任意角時(shí)，由誘導(dǎo)公式總可以找到一個(gè)角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．

若θ∈［0，π］，則·＝cosθ＝cos（α－β）；

若θ∈［π，2π］，則2π－θ∈［0，π］，且 ·＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．

于是，對(duì)于任意角α，β都有

2.教師提出進(jìn)一步拓展性問(wèn)題：本節(jié)問(wèn)題情景中，涉及如何用sinα，sinβ，cosα，cosβ來(lái)表示sin（α＋β）的問(wèn)題，試探索與研究sin（α＋β）的表達(dá)式．

兩角和與差的正弦

教材分析

在這節(jié)內(nèi)容中，公式較多，一旦處理不當(dāng)，將成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一種負(fù)擔(dān)．針對(duì)這個(gè)特點(diǎn)，應(yīng)充分揭示公式的內(nèi)在聯(lián)系，使學(xué)生理解公式的形成過(guò)程及其使用條件，在公式體系中掌握相關(guān)的公式．同時(shí)，通過(guò)練習(xí)使學(xué)生能夠熟練地運(yùn)用這些公式．當(dāng)然，這些公式的基礎(chǔ)是兩角和差的余弦公式．通過(guò)誘導(dǎo)公式sin（－α）＝sinα，sinπ（－α）＝cosα（α為任意

－（α＋β）］角），可以實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)間的轉(zhuǎn)換，也可推廣為sin（α＋β）＝ｃｏｓ［＝cos［（－α）－β］，sin（α－β）＝［

－（α－β）］＝cos［（－α）＋β］.借助于Cα+β和Cα-β即可推導(dǎo)出公式Sα+β和Sα-β．Cα+β，Cα-β，Sα+β和Sα-β四個(gè)公式的左邊均為兩角和與差的正、余弦，右邊均為單角α，β的正、余弦形式．不同點(diǎn)為公式Sα+β，Sα-β兩邊的運(yùn)算符號(hào)相同，Cα+β與Cα-β兩邊的運(yùn)算符號(hào)相反．Sα+β與Sα-β中右邊是兩單角異名三角函數(shù)的乘積，而Cα-β與Cα+β的右邊是兩單角同名三角函數(shù)的乘積．

任務(wù)分析

這節(jié)課計(jì)劃采用啟發(fā)引導(dǎo)和講練結(jié)合的教學(xué)方式，對(duì)三角函數(shù)中的每一個(gè)公式要求學(xué)生會(huì)推導(dǎo)，會(huì)使用，要求不但掌握公式的原形，還應(yīng)掌握它們的變形公式，會(huì)把“asinｘ＋bcosｘ”類(lèi)型的三角函數(shù)化成一個(gè)角的三角函數(shù)．在課堂教學(xué)中，將采用循序漸進(jìn)的原則，設(shè)計(jì)有一定梯度的題目，以利于培養(yǎng)學(xué)生通過(guò)觀察、類(lèi)比的方法去分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，培養(yǎng)學(xué)生良好的思維習(xí)慣．在教學(xué)中，及時(shí)提醒學(xué)生分析、探索、化歸、換元、類(lèi)比等常用的基本方法在三角變換中的作用．這節(jié)課的重點(diǎn)是準(zhǔn)確、熟練、靈活地運(yùn)用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值、化簡(jiǎn)和證明，難點(diǎn)是公式的變形使用和逆向使用．

教學(xué)目標(biāo) 1.能用兩角差的余弦公式導(dǎo)出兩角和的余弦公式，兩角和差的正弦公式，并了解各個(gè)公式之間的內(nèi)在聯(lián)系．

2.能運(yùn)用兩角和差的正、余弦公式進(jìn)行三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值和證明．

3.通過(guò)公式的推導(dǎo)過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力，同時(shí)滲透數(shù)學(xué)中常用的換元、整體代換等思想方法．

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題情景

如圖42-1，為了保持在道路拐彎處的電線(xiàn)桿OB的穩(wěn)固性，要加一根固定鋼絲繩，要求鋼絲繩與地面成75°角．已知電線(xiàn)桿的高度為5m，問(wèn)：至少要準(zhǔn)備多長(zhǎng)的鋼絲繩？

設(shè)電線(xiàn)桿與地面接觸點(diǎn)為B，頂端為O，鋼絲繩與地面接觸點(diǎn)為A． 在Rt△AOB中，如果能求出sin75°的值，那么即可求出鋼絲繩的長(zhǎng)度．75°角可表示成兩個(gè)特殊角45°與30°的和，那么sin75°的值能否用這兩特殊角的三角函數(shù)值來(lái)表示呢？

二、建立模型 1.探 究

已知cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ，則sin（α＋β），sin（α－β）中的角及函數(shù)名與cos（α＋β）和cos（α－β）有何關(guān)系？ 通過(guò)誘導(dǎo)公式可實(shí)現(xiàn)正、余弦函數(shù)的轉(zhuǎn)換，即sin（α＋β）＝推導(dǎo)以上公式的方法并不是唯一的，其他推導(dǎo)方法由學(xué)生課后自己探索． 3.分析公式的結(jié)構(gòu)特征

Sα+β與Sα-β中兩邊的加減運(yùn)算符號(hào)相同，右邊為α與β角的異名三角函數(shù)的乘積．應(yīng)特別注意公式兩邊符號(hào)的差異．

三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例題一］

已知sinα＝－，且α為第四象限角，求sin（－α）cos（＋α）的值．

分析：本題主要訓(xùn)練公式Sα-β與Sα+β的使用．

由sinα＝－及α為第四象限角，可求出cosα＝，再代入公式求值．

［練習(xí)一］

分析：1.（1）強(qiáng)調(diào)公式的直接運(yùn)用，尋找所求角與已知角之間的關(guān)系，α＝（30°＋α）－30°，再利用已知條件求出cos（30°＋α）．

2.應(yīng)注意三角形的內(nèi)角之間的關(guān)系，C＝π－（A＋B），再由誘導(dǎo)公式cos（π－α）＝－cosα，要求cosＣ即轉(zhuǎn)化為求－cos（A＋B）．

3.應(yīng)注意分析角之間的關(guān)系，2β＝（α＋β）－（α－β），因此，求cos2β還應(yīng)求出sin（α－β）和cos（α＋β）．解此題時(shí)，先把α＋β與α－β看成單角，然后把2β用這兩個(gè)單角來(lái)表示．

4.該題是在已有知識(shí)的基礎(chǔ)上進(jìn)一步深化，引導(dǎo)學(xué)生分三步進(jìn)行：（1）求出α＋β角的某個(gè)三角函數(shù)值．（2）確定角的范圍．（3）確定角的值．其中，求α＋β的某個(gè)三角函數(shù)值時(shí)，應(yīng)分清是求cos（α－β）還是求sin（α－β）．

已知向量的坐標(biāo)． ＝（3，4），若將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)45°到′→的位置，求點(diǎn)P′（x′，y′）解：設(shè)∠ｘOP＝α，∵｜OP｜＝5，∴cosα＝，sinα＝．

∵x′＝5cos（α＋45°）＝5（cosαcos45°－sinαsin45°）＝－，y′＝5sin（α＋45°）＝5（sinαcos45°＋cosαsin45°）＝，∴P′ －，．

已知向量＝（4，3），若將其繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60°，－135°到

1，2的位置，求點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)．

［例題三］

求下列函數(shù)的最大值和最小值．

（1）y＝cosｘ－sinx．

（2）y＝3sinx＋4cosx．

（3）y＝asinx＋bcosx，（ａｂ≠０）． 注：（1），（2）為一般性問(wèn)題，是為（3）作鋪墊，推導(dǎo)時(shí)，要關(guān)注解題過(guò)程，以便讓學(xué)生充分理解輔助角φ滿(mǎn)足的條件．

（3）解：考查以（ａ，ｂ）為坐標(biāo)的點(diǎn)P（ａ，ｂ），設(shè)以O(shè)P為終邊的一個(gè)角為φ，則

［練習(xí)三］

求下列函數(shù)的最大值和最小值．（1）y＝cosx－sinx．

（2）y＝sinx－sin（x＋）

（3）已知兩個(gè)電流瞬時(shí)值函數(shù)式分別是I1＝12sin（ωt－45°），I2＝10sin（ωt＋30°），求合成的正弦波I＝I1＋I(xiàn)2的函數(shù)式．

四、拓展延伸

出示兩道延伸性問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，然后師生共同解決．

1.已知三個(gè)電流瞬時(shí)值的函數(shù)式分別為I1＝5sinωt，I2＝6sin（ωt－60°），I3＝10sin（ωt＋60°），求它們合成后的電流瞬時(shí)值的函數(shù)式I＝I1＋I(xiàn)2＋I(xiàn)3，并指出這個(gè)函數(shù)的振幅、初相和周期．

2.已知點(diǎn)P（x，y），與原點(diǎn)的距離保持不變繞原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)θ角到點(diǎn)P′（x′，y′）（如圖42-2），求證：

三角形邊和角關(guān)系的探索

教材分析

初中已研究過(guò)解直角三角形，這節(jié)所研究的正、余弦定理是解直角三角形知識(shí)的延伸與推廣，它們都反映了三角形邊、角之間的等量關(guān)系，并且應(yīng)用正、余弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解斜三角形．正弦定理的推證運(yùn)用了從特殊到一般的方法，把直角三角形中得到的邊角關(guān)系式推廣到銳角三角形，再推廣到鈍角三角形，進(jìn)而得出一般性的結(jié)論．余弦定理的推證采用向量的數(shù)量積做工具，將向量的長(zhǎng)度與三角形的邊長(zhǎng)、向量的夾角與三角形的內(nèi)角聯(lián)系起來(lái)．對(duì)于正、余弦定理的推論，除了這節(jié)課的證法之外，還有其他的一些推證方法．教材中還要求，在證明了正、余弦定理之后，讓學(xué)生嘗試用文字語(yǔ)言敘述兩個(gè)定理，以便理解其實(shí)質(zhì)．當(dāng)然，就知識(shí)而言，正弦定理有三個(gè)等式，可視為三個(gè)方程；余弦定理的三個(gè)式子也可看成三個(gè)方程，每個(gè)方程中均有四個(gè)量，知道其中任意三個(gè)量便可求第四個(gè)量．

這節(jié)課的重點(diǎn)是正、余弦定理的證明，以及用正、余弦定理解斜三角形，難點(diǎn)是發(fā)現(xiàn)定理、推證定理以及用定理解決實(shí)際問(wèn)題．

任務(wù)分析

這節(jié)內(nèi)容是在初中對(duì)三角形有了初步認(rèn)識(shí)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究三角形的邊、角之間的等量關(guān)系．對(duì)正弦定理的推導(dǎo)，教材中采用了從特殊到一般的方法，逐層遞進(jìn)，學(xué)生易于接受，而余弦定理的證明采用了向量的方法．應(yīng)用兩個(gè)定理解三角形時(shí)，要分清它們的使用條件．將正、余弦定理結(jié)合起來(lái)應(yīng)用，經(jīng)常能很好地解決三角形中的有關(guān)問(wèn)題．

教學(xué)目標(biāo)

1.理解正、余弦定理的推證方法，并掌握兩個(gè)定理． 2.能運(yùn)用正、余弦定理解斜三角形．

3.理解并初步運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的思想，結(jié)合解三角形的知識(shí)，解決生產(chǎn)、生活中的簡(jiǎn)單問(wèn)題．

教學(xué)設(shè)計(jì)

一、問(wèn)題情景

1.A，B兩地相距2558m，從A，B兩處發(fā)出的兩束探照燈光照射在上方一架飛機(jī)的機(jī)身上（如圖43-1），問(wèn)：飛機(jī)離兩探照燈的距離分別是多少？

2.如圖43-2，自動(dòng)卸貨汽車(chē)的車(chē)廂采用液壓機(jī)構(gòu)，設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)計(jì)算油泵頂桿BC的長(zhǎng)度．已知車(chē)廂的最大仰角為60°，油泵頂點(diǎn)B與車(chē)廂支點(diǎn)A之間的距離為1.95m，AB與水平的夾角為6°20′，AC長(zhǎng)為1.40m，計(jì)算BC的長(zhǎng)．（精確到0.01m）

問(wèn)題：（1）圖中涉及怎樣的三角形？（2）在三角形中已知什么？求什么？

二、建立模型

1.教師引導(dǎo)學(xué)生分析討論

在問(wèn)題情景（1）中，已知在△ABC中，∠A＝72.3°，∠B＝76.5°，AB＝2558m．求AC，BC的長(zhǎng)．

組織學(xué)生討論如何利用已知條件求出AC，BC的長(zhǎng)度．（讓學(xué)生思考，允許有不同的解法）

結(jié)論：如圖40-3，作AD⊥BC，垂足為D．由三角函數(shù)的定義，知AD＝AC·sinC，AD＝AB·sinB．

由此可得AC·sinC＝AB·sinB．

又由∠A，∠B的度數(shù)可求∠C的度數(shù)，代入上式即可求出AC的長(zhǎng)度，同理可求BC的長(zhǎng)度．

教師明晰：

（1）當(dāng)△ABC為直角三角形時(shí)，由正弦函數(shù)的定義，得

（2）當(dāng)△ABC為銳角三角形時(shí)，設(shè)AB邊上的高為CD，根據(jù)三角函數(shù)的定義，得CD＝asinB＝bsinA，所以，同理

.（3）當(dāng)△ABC為鈍角三角形時(shí)，結(jié)論是否仍然成立？引導(dǎo)學(xué)生自己推出．（詳細(xì)給出解答過(guò)程）

事實(shí)上，當(dāng)∠A為鈍角時(shí)，由（2）易知設(shè)BC邊上的高為CD，則由三角函數(shù)的定義，得 CD＝asinB＝bsin（180°－A）．

根據(jù)誘導(dǎo)公式，知sin（180°－A）＝sinA，.∴asinB＝bsinA，即.正弦定理 在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即

.正弦定理指出了任意三角形中三條邊與它對(duì)應(yīng)角的正弦之間的一個(gè)關(guān)系式，描述了任意三角形中邊、角之間的一種數(shù)量關(guān)系．

思考：正弦定理可以解決有關(guān)三角形的哪些問(wèn)題？ 2.組織學(xué)生討論問(wèn)題情景（2）

這一實(shí)際問(wèn)題可化歸為：已知△ABC的邊AB＝1.95，AC＝1.4，夾角為6°20′，求BC的長(zhǎng)． 組織學(xué)生討論：能用什么方法求出BC？（學(xué)生有可能有多種不同的解法）

教師明晰：如果已知三角形的兩邊和夾角，這個(gè)三角形為確定的三角形，那么怎樣去計(jì)算它的第三邊呢？由于涉及邊長(zhǎng)及夾角的問(wèn)題，故可以考慮用平面向量的數(shù)量積．（也可用兩點(diǎn)間的距離公式）

如圖，設(shè)＝a，＝b，＝c，則c＝a－b．

∵｜c(diǎn)｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b）＝ａ2＋ｂ2－2abcosC，∴c＝ａ＋b－2abcosC．

同理a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB． 于是得到以下定理：

余弦定理 三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即

a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝c2＋a2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC．

思考：余弦定理可以解決一些怎樣的解三角形問(wèn)題？ 3.進(jìn)一步的問(wèn)題

勾股定理指出了直角三角形中三邊之間的等量關(guān)系，余弦定理則指出了一般三角形三邊之間的等量關(guān)系，那么這兩個(gè)定理之間存在怎樣的關(guān)系？如何利用余弦定理來(lái)判斷三角形是銳角三角形還是鈍角三角形？

三、解釋?xiě)?yīng)用 ［例 題］ 2221.（1）已知：在△ABC中，A＝32.0°，B＝81.8°，ａ＝42.9cm，解三角形．

（2）已知：在△ABC中，ａ＝20cm，ｂ＝28cm，A＝40°，解三角形．（角精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm）

分析：（1）本題為給出三角形的兩角和一邊解三角形問(wèn)題，可由三角形內(nèi)角和定理先求出第三個(gè)角，再兩次利用正弦定理分別求出另兩邊．

（2）本題給出了三角形的兩邊及其中一邊的對(duì)角，于是可用正弦定理求出b邊的對(duì)角B的正弦，sinB≈0.8999，但0＜B＜π，故Ｂ角有兩個(gè)值（如圖43-8），從而C角與c邊的取值也有兩種可能．學(xué)生在解題時(shí)容易丟掉一組解，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生從圖形上尋找漏掉的解．

2.（1）已知：在△ABC中，已知b＝60cm，c＝34cm，A＝41°，解三角形．（角精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm）

（2）已知：在△ABC中，ａ＝134.6cm，ｂ＝87.8cm，ｃ＝161.7cm，解三角形．（角精確到1′）．

分析：本例中的（1）題，給出了兩邊及其夾角，可先用余弦定理求出第三邊，求其他兩角時(shí)既可用余弦定理也可用正弦定理．（2）題給出了三邊長(zhǎng)，可先用余弦定理求出其中一角，然后同樣既可用正弦定理，也可用余弦定理求出其他兩角．

3.AB是底部B不可到達(dá)的建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)．設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物高度AB的方法． 分析：由于建筑物的底部B是不可到達(dá)的，所以不能直接測(cè)量出建筑物的高．由解直角三角形的知識(shí)，只要能知道一點(diǎn)C到建筑物頂部A的距離CA，并能測(cè)出由點(diǎn)C觀察A的仰角，就可以計(jì)算出建筑物的高．為了求出CA的長(zhǎng)，可選擇一條水平基線(xiàn)HG（如圖43-9），使H，G，B三點(diǎn)在同一條直線(xiàn)上．在G，H兩點(diǎn)用測(cè)角儀器測(cè)得A的仰角分別為α，β，設(shè)CD＝ａ，測(cè)角儀器的高為ｈ，則在△ACD中，由正弦定理，得－β），從而可求得AB＝AE＋h＝ACsinα＋h＝［練習(xí)］

1.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到1°，邊長(zhǎng)精確到1cm）（1）A＝45°，C＝30°，ｃ＝10cm．（2）A＝60°，B＝45°，ｃ＝20cm．（3）ａ＝20cm，ｂ＝11cm，B＝30°．（4）ｃ＝54cm，ｂ＝39cm，ｃ＝115°．

2.在△ABC中，已知下列條件，解三角形．（角精確到0.1°，邊長(zhǎng)精確到0.1cm）（1）ａ＝2.7cm，ｂ＝3.696cm，C＝82.2°．（2）ｂ＝12.9cm，ｃ＝15.4cm，A＝42.3°．（3）ａ＝7cm，ｂ＝10cm，ｃ＝6cm．

四、拓展延伸

1.在△ABC中，有正弦定理

＋h．，sin（α

這涉及比值的連等式．請(qǐng)?zhí)剿鞑⒀芯渴且粋€(gè)什么樣的量，并加以證明．

2.在△ABC中，已知三邊的長(zhǎng)為ａ，ｂ，ｃ，如何判定△ABC的形狀？ 3.已知：在△ABC中，ａ＝60，ｂ＝50，Ａ＝38°，求B．（精確到1°）

分析：.∵0°＜B＜180°，∴B≈31°或B≈149°，但當(dāng)B≈149°時(shí)，A＋B＝187°，這與A，B為三角形內(nèi)角矛盾，故B角只能取31°． 由此題與例1中的（2）題的分析可以發(fā)現(xiàn)，在已知三角形兩邊及其一邊對(duì)角解三角形時(shí)，在某些條件下會(huì)出現(xiàn)一解或兩解的情形，那么會(huì)不會(huì)出現(xiàn)無(wú)解的情形呢？

（1）當(dāng)A為鈍角或直角，必須滿(mǎn)足ａ＞ｂ才有解（ａ≤ｂ無(wú)解），并且由sinB＝計(jì)算B時(shí)，只能取銳角，因此，只有一解，如圖43-10．

（2）當(dāng)A為銳角時(shí)，①若ａ＞ｂ或ａ＝ｂ，則由sinB＝解，如圖40-11．

計(jì)算B時(shí)，只能取銳角的值，因此，只有一②若ａ＜ｂsinA，則由sinB＝，得sinB＞1，因此，無(wú)解．如圖43-12．

③若ａ＝bsinA，則由sinB＝，得sinB＝1，即Ｂ為直角，故只有一解，如圖43-13．

④若ｂ＞ａ＞bsinA，則sinB＜1，故B可取一個(gè)銳角和一個(gè)鈍角的值，如圖43-14．

思考：若已知三角形的兩角和一邊、三邊、兩邊及其夾角來(lái)解三角形時(shí)，它們的解會(huì)是怎樣的？

第三篇：平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)[推薦]

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平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

華羅庚中學(xué) 袁勁竹

一、教材分析

向量作為一種基本工具，在數(shù)學(xué)解題中有著極其重要的地位和作用。利用向量知識(shí)，可以解決不少?gòu)?fù)雜的的代數(shù)幾何問(wèn)題?！镀矫嫦蛄康臄?shù)量積及應(yīng)用》，計(jì)劃安排兩個(gè)課時(shí)，本節(jié)課是第2課時(shí)。也就是，在復(fù)習(xí)了平面向量數(shù)的有關(guān)概念，坐標(biāo)表示，以及平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)知識(shí)之后，本節(jié)課是進(jìn)一步去認(rèn)識(shí)、掌握平面向量數(shù)量積及平面向量的相關(guān)應(yīng)用。

二、課標(biāo)要求

1、平面向量的數(shù)量積

①通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； ②體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；

④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

2、向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

三、命題走向及高考預(yù)測(cè)

通過(guò)對(duì)近幾年廣東高考試題的分析，向量的數(shù)量積及運(yùn)算律一直是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，對(duì)向量的數(shù)量積及運(yùn)算律的考查多為一個(gè)小題；另外作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時(shí)經(jīng)常用到．整個(gè)命題過(guò)程緊扣課本，重點(diǎn)突出，有時(shí)考查單一知識(shí)點(diǎn)；有時(shí)通過(guò)知識(shí)的交匯與鏈接，全面考查向量的數(shù)量積及運(yùn)算律等內(nèi)容。

預(yù)測(cè)高考：

預(yù)測(cè)2012年廣東高考仍將以向量的數(shù)量積的運(yùn)算、向量的平行、垂直為主要考點(diǎn)，以與三角、解析幾何知識(shí)交匯命題為考向。

四、學(xué)情分析

學(xué)生已復(fù)習(xí)了向量的相關(guān)概念、線(xiàn)性運(yùn)算、數(shù)量積及初步應(yīng)用，已較好地理解了向量的概念，比較熟練地掌握向量的運(yùn)算和性質(zhì)，已初步體會(huì)研究向量運(yùn)算的一般方法，具有一定的觀察、探究能力，這為學(xué)生進(jìn)一步復(fù)習(xí)數(shù)量積數(shù)量積及應(yīng)用做了鋪墊。由于本班是普通班，受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，造成不少學(xué)生對(duì)數(shù)量積理解上的偏差，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

五、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：

1、掌握平面向量的數(shù)量積公式及向量的夾角公式；

2、運(yùn)用平面向量的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題。

能力目標(biāo)：

1、通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、化歸轉(zhuǎn)化的能力；

2、提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

六、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積公式及平面向量的應(yīng)用。

難點(diǎn)：如何將有關(guān)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題。

七、教法、學(xué)法分析

教法：采取啟發(fā)引導(dǎo)、反饋評(píng)價(jià)等方式；

學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生積極參與、自主探索，培養(yǎng)探究能力。

八、教學(xué)過(guò)程

【 基本知識(shí)點(diǎn)回顧 】

1、向量的數(shù)量積的概念

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?b的數(shù)量積。

2、數(shù)量積的性質(zhì)(e是單位向量，〈a，e〉＝θ)???????已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為?，則a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a與

(1)e·a＝a·e＝__________.(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝_____；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝__________.特別

地，有a·a＝_______或|a|＝________(3)a⊥b?__________.(4)cos〈a，b〉＝________.3、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝______________.2(2)若a＝(x，y)，則|a|＝_______，|a|＝________.→(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|BA|＝____________________.(4)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?_____________________.4、向量的應(yīng)用

（1）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

（2）利用平面向量數(shù)量積解決平行與垂直問(wèn)題（3）利用平面向量數(shù)量積解決夾角問(wèn)題

（4）平面向量的綜合運(yùn)用

注：本節(jié)課是第2課時(shí)，重點(diǎn)學(xué)習(xí)（3）利用平面向量數(shù)量積解決夾角問(wèn)題和（4）平面向量的綜合運(yùn)用，其中平面向量的綜合運(yùn)用主要是在三角函數(shù)中的應(yīng)用，在立體幾何、解析幾何等方面的應(yīng)用放在后面學(xué)習(xí)。

【典例剖析】

應(yīng)用3：利用平面向量數(shù)量積解決夾角問(wèn)題

???1????1例

1、(2011年廣州調(diào)研)已知a?1，a?b?，(a?b)?(a?b)?，求： 22??????（1）a與b的夾角的大小;(2)a?b與a?b夾角的余弦值

思路分析（先提問(wèn)學(xué)生，然后板演解題過(guò)程）：利用向量夾角的余弦公式求解

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生分析解題思路以培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。讓學(xué)生上臺(tái)板演可以暴露學(xué)生存在的問(wèn)題，老師及時(shí)予以糾正，并呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的解答格式，促使學(xué)生自我反思，以加強(qiáng)學(xué)生答題的規(guī)范性，做到“會(huì)做的題目得滿(mǎn)分，不會(huì)做的題目不得零分”。

【鞏固練習(xí)】

（1）（09重慶理）已知A、6

???????a?

1、b?6且a?(b?a)?2，則向量a與b的夾角是（）

? B、C、D、4???322

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(2（）2010年高考課標(biāo)全國(guó)卷）??則a，b夾角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、??65656565??a，b為平面向量，已知???a?(4,3)，2a?b?(3,18)，答案：（1）C；（2）C；

設(shè)計(jì)意圖：選用的兩道題中，一道題向量是非坐標(biāo)形式的，另一道題向量是坐標(biāo)形式的，通過(guò)練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)選用適當(dāng)?shù)墓浇忸}，鞏固所學(xué)知識(shí)。同時(shí)，讓學(xué)生多參與、多思考、多活動(dòng)，改變教師大段講解的傾向，使師生活動(dòng)交替進(jìn)行，調(diào)節(jié)學(xué)生的注意力，促進(jìn)學(xué)生各方面的發(fā)展。

題后小結(jié)：

(1)當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系．(2)若已知a與b的坐標(biāo)，則可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1·x2＋y2

應(yīng)用四：平面向量的綜合運(yùn)用

???sin?)，c?(?1，例

2、(2009 湖北理)已知向量a?(cos?，b?(cos?，sin?)，0)．??（1）求向量b+c的長(zhǎng)度的最大值；

（2）設(shè)?? π4???，且a⊥(b?c)，求cos?的值．

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典例精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、解決問(wèn)題的能力。

【自主探究、共同提高】

?????

1、(06天津理)設(shè)向量a與b的夾角為?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，則cos?_____

??????????02、已知兩單位向量a與b的夾角為120，若c?2a?b，d?b?a，試求c與d的夾角的余弦值

3、設(shè)0???2?，已知兩個(gè)向量則向量p1p2長(zhǎng)度的最大值是op1?(cos?,sin?)，op2?(2?sin?,2?cos?)，______ 答案： 1、31010；

2、?92142；

3、32

設(shè)計(jì)意圖：要求每位學(xué)生自己先做練習(xí)，然后對(duì)照答案進(jìn)行自主的學(xué)習(xí)、同座之間互相探討，然后聽(tīng)老師或?qū)W生進(jìn)行講解。本環(huán)節(jié)盡量留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，互相學(xué)習(xí)，共同提高。

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【課堂小結(jié)】：

1、向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)有著廣泛的應(yīng)用，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了兩方面的應(yīng)用： 利用平面向量數(shù)量積解決夾角問(wèn)題和平面向量的綜合應(yīng)用（在三角函數(shù)中應(yīng)用）

2、本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了化歸轉(zhuǎn)化的思想方法

向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)由師生共同進(jìn)行，以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)：做完一道題目的總結(jié)，學(xué)完一課、一章的總結(jié)，有總結(jié)才有提高，通過(guò)：練習(xí)—總結(jié)—再練習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率。

【課堂小測(cè)】

A、300?????????

1、(05北京)a?1，b?2，c?a?b，且c?a，則向量a與b的夾角為（）??

2、已知a?1，b?

000 B、60 C、120 D、150

?????2，且a?(a?b)，則向量a與b的夾角是_______.????

3、已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?)，且????22????（2）.求a?b的最大值(1).若a?b,求?

答案：

1、C

2、?4

3、（1）??4，（2）2?1

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂小測(cè)快速反饋，既可以把學(xué)生取得的進(jìn)步變成有形的事實(shí)，使之受到鼓勵(lì)，樂(lè)于接受下一個(gè)任務(wù)，又可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題，及時(shí)矯正乃至調(diào)節(jié)教學(xué)的進(jìn)度，從而有效地提高課堂教學(xué)的效率。

思考題、設(shè)向量??m?(cos?,sin?)和n?(2?sin?,cos?),??(?,2?)??82??且m?n?,求cos(?)的值528

【課后作業(yè)，分層練習(xí)】

必做： 《課時(shí)作業(yè)本》第4章第3課時(shí)

選做：(2009·江蘇)設(shè)向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b.設(shè)計(jì)意圖：出選做題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，為學(xué)有余力的學(xué)生提供思考空間。

【教學(xué)反思】 待寫(xiě)??

第四篇：《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

交口第一中學(xué)

趙云鵬

平面向量的數(shù)量積是繼向量的線(xiàn)性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，在每年高考中也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容。向量作為一種運(yùn)算工具，其知識(shí)體系是從實(shí)際的物理問(wèn)題中抽象出來(lái)的，它在解決幾何問(wèn)題中的三點(diǎn)共線(xiàn)、垂直、求夾角和線(xiàn)段長(zhǎng)度、確定定比分點(diǎn)坐標(biāo)以及平移等問(wèn)題中顯示出了它的易理解和易操作的特點(diǎn)。

一、總體設(shè)想：

本節(jié)課的設(shè)計(jì)有兩條暗線(xiàn)：一是圍繞物理中物體做功，引入數(shù)量積的概念和幾何意義；二是圍繞數(shù)量積的概念通過(guò)變形和限定衍生出新知識(shí)――垂直的判斷、求夾角和線(xiàn)段長(zhǎng)度的公式。教學(xué)方案可從三方面加以設(shè)計(jì)：一是數(shù)量積的概念；二是幾何意義和運(yùn)算律；三是兩個(gè)向量的模與夾角的計(jì)算。

二、教學(xué)目標(biāo)：

1.了解向量的數(shù)量積的抽象根源。

2.了解平面的數(shù)量積的概念、向量的夾角

3.數(shù)量積與向量投影的關(guān)系及數(shù)量積的幾何意義

4.理解掌握向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能進(jìn)行相關(guān)的判斷和計(jì)算

三、重、難點(diǎn)：

【重點(diǎn)】1.平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)

2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律的探究和應(yīng)用 【難點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

四、課時(shí)安排：

2課時(shí)

五、教學(xué)方案及其設(shè)計(jì)意圖： 1．平面向量數(shù)量積的物理背景

平面向量的數(shù)量積，其源自對(duì)受力物體在其運(yùn)動(dòng)方向上做功等物理問(wèn)題的抽象。首先說(shuō)明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問(wèn)題中出現(xiàn)了兩個(gè)矢量，即數(shù)學(xué)中所謂的向量，這時(shí)物體力F的所做的功為W?F?s?cos?，這里的?是矢量F和s的夾角，也即是兩個(gè)向量夾角的定義基礎(chǔ)，在定義兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使學(xué)生明確“把向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個(gè)啟示：功是否是兩個(gè)向量某種運(yùn)算的結(jié)果呢？以此為基礎(chǔ)引出了兩非零向量a, b的數(shù)量積的概念。2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義

已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數(shù)量積的定義a?b = |a||b|cos?無(wú)法得到，因此另外進(jìn)行了規(guī)定。3.兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）OB＝ｂ，叫ａ與ｂ的夾角.a?b?a?bco?s，a?b是記法，a?bcos?是定義的實(shí)質(zhì)――它是一個(gè)實(shí)數(shù)。按照推理，當(dāng)0???2?2時(shí)，數(shù)量積為正數(shù)；當(dāng)???時(shí)，數(shù)量積為零；

2當(dāng)?????時(shí)，數(shù)量積為負(fù)。

4.“投影”的概念

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一個(gè)數(shù)量，它的符號(hào)取決于角?的大小。當(dāng)?為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)?為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)?為直角時(shí)投影為0；當(dāng)? = 0?時(shí)投影為 |b|；當(dāng)? = 180?時(shí)投影為 ?|b|.因此投影可正、可負(fù)，還可為零。

根據(jù)數(shù)量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫(xiě)成a?b a

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分。5．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.向量數(shù)量積的幾何意義在證明分配律方向起著關(guān)鍵性的作用。其幾何意義實(shí)質(zhì)上是將乘積拆成兩部分：a和b?cos?。此概念也以物體做功為基礎(chǔ)給出。b?cos?是向量b在a的方向上的投影。6．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，則

(1)a?b ? a?b = 0；

(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b = |a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|2或|a|?a?a

(3)|a?b| ≤ |a||b|

(4)cos??a?b，其中?為非零向量a和b的夾角。a?b例1.(1)已知向量a ,b，滿(mǎn)足b?2,a與b的夾角為600,則b在a上的投影為_(kāi)_____

(2)若b?4,a?b?6,則a在b方向上投影為 _______ 例2.已知a?3，b?4，按下列條件求a?b

(1)a//b

(2)a?b(3)a與b的夾角為 1500 7.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1．交換律：a ? b = b ? a

證：設(shè)a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?

∴a ? b = b ? a

2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b

即：(a + b)?c = a?c + b?c

說(shuō)明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

ａ＝ｂ

（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a ? 5b垂直，a ? 4b與7a ? 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a ? 5b)= 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0

①

(a ? 4b)(7a ? 2b)= 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0

② 兩式相減：2a?b = b2 代入①或②得：a2 = b2

a?bb21設(shè)a、b的夾角為?，則cos? =

∴? = 60? ??|a||b|2|b|225 評(píng)述：(1)在四邊形中，AB，BC，CD，DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；

(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.例4若記a?a?a2，求證：(1)(a?b)2?a2?2a?b?b2;(2)(a?b)(a?b)?a2?b2.以此作為今后求模的基礎(chǔ)。

圍繞向量的數(shù)量積的定義，可開(kāi)發(fā)出解決幾何問(wèn)題中有用的知識(shí)：垂直的判斷，夾角的計(jì)算和線(xiàn)段長(zhǎng)度的計(jì)算。根據(jù)教學(xué)實(shí)際，有的數(shù)學(xué)知識(shí)可提出問(wèn)題讓學(xué)生解決，并總結(jié)、概括出一般的結(jié)論或規(guī)律，但有些知識(shí)學(xué)生聽(tīng)講時(shí)，理解起來(lái)都比較困難，就需要老師的講解，此時(shí)恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞绞牵合茸寣W(xué)生學(xué)會(huì)，再說(shuō)明道理。這里，兩個(gè)向量垂直的判斷和夾角的計(jì)算，可通過(guò)讓學(xué)生自己做題后總結(jié)出來(lái)；而計(jì)算模則需要老師講解并加以強(qiáng)化：由a2?a?a?a?a?c0o?sa2a?b?a?bcos?，當(dāng)b = a時(shí)，?a?a2.接著演示例題并練習(xí)。

〖例2〗已知a?2,b?3,且a, b夾角是60?，求a?(a?b);a?b.小結(jié)與反思：

以問(wèn)題的形式，來(lái)反饋一節(jié)課的重點(diǎn)是否突出，難點(diǎn)是否突破。

問(wèn)題一：關(guān)于向量的數(shù)量積的概念包括哪些主要內(nèi)容？如何引入的？

問(wèn)題二：說(shuō)出向量數(shù)量積的幾何意義及運(yùn)算律。

問(wèn)題三：用向量的數(shù)量積可解決幾何中的哪三大問(wèn)題？如何解決？ ? 數(shù)量積的概念包括兩個(gè)非零向量的夾角的定義和范圍、數(shù)量積的定義。? 向量數(shù)量積的幾何意義是：a ? b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運(yùn)算律有三條：??。

? 用向量的數(shù)量積可解決幾何中三大問(wèn)題：垂直的判斷、夾角的計(jì)算和求線(xiàn)段長(zhǎng)度。⑴a?b?a?b?0； ⑵cos??a?b2a?a ⑶。a?b；板書(shū)設(shè)計(jì)：整個(gè)板面分成三列，把重點(diǎn)知識(shí)數(shù)量積的定義放在中間顯著位置。由其衍生出來(lái)的幾何意義、運(yùn)算律放在其下面，再把后面的三大問(wèn)題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個(gè)向量夾角的相關(guān)概念；右列集中放例題。

教學(xué)記：本節(jié)課的設(shè)計(jì)注重教學(xué)目標(biāo)的明確；注重根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律而科學(xué)地進(jìn)行知識(shí)序列的呈現(xiàn)；注重調(diào)動(dòng)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)；注重課堂效果的實(shí)效性。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)知識(shí)的來(lái)龍去脈，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用，可以更好的理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。對(duì)于抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者，教師在教學(xué)中的作用必須以確定學(xué)生主體地位為前提，教學(xué)過(guò)程中要發(fā)揚(yáng)民主，要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，提倡獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。對(duì)于教學(xué)中問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)、練習(xí)的安排等，要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，提出各自解決問(wèn)題的方案，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中選擇合適的策略，使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到自主探索數(shù)學(xué)的規(guī)律和問(wèn)題解決是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效途徑。

第五篇：平面向量的數(shù)量積教案

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)目標(biāo):推導(dǎo)并掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)利用數(shù)量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問(wèn)題.2、能力目標(biāo):通過(guò)自主互助探究式學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力,啟發(fā)學(xué)生用多角度去思考和解決問(wèn)題的能力,促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和靈活運(yùn)用.3、情感目標(biāo):通過(guò)自主學(xué)習(xí),增強(qiáng)學(xué)生的成就感,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心.教學(xué)重點(diǎn):利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決模、夾角、垂直等問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的推導(dǎo).教法:啟發(fā)式教學(xué),講練結(jié)合 學(xué)法:自主互助探究式 教學(xué)用具:多媒體 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì):

一、復(fù)習(xí)引入

(教師提問(wèn),學(xué)生回答)

二、知識(shí)探究

1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學(xué)生到黑板上推導(dǎo))結(jié)論:兩個(gè)向量數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.思考:向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與前面所學(xué)的向量的坐標(biāo)運(yùn)算有什么聯(lián)系和區(qū)別?

(學(xué)生討論回答,教師歸納)例

???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)

????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問(wèn),學(xué)生做后兩問(wèn))

2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

(1)求模問(wèn)題:

(讓學(xué)生自己推導(dǎo))?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點(diǎn)間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求

鞏固練習(xí):P107練習(xí)1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b

(2)判定向量的垂直關(guān)系:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

??a//b?x1y2?x2y1?0

(對(duì)比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))思考:i)?的范圍?

ii)由cos?能確定?嗎?為什么?

(找學(xué)生回答)例4.鞏固練習(xí).P107 練習(xí)3

????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設(shè)a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222

2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0

思考:不使用計(jì)算器,結(jié)合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學(xué)生回答)

三、能力提升

??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明

????(a?b)?(a?b).四、小結(jié)

這節(jié)課咱們一起學(xué)習(xí)了: 1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎(chǔ)上加以靈活應(yīng)用.五、作業(yè)

P108 A組5(1),(2),(3)任選一個(gè)、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)

??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實(shí)數(shù)x的值是_____;

0的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.