第一篇：平面向量數(shù)量積的坐標表示教學反思.doc范文

《平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角》教學反思

1、本節(jié)課先是通過對相關知識的回顧，然后引進與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量，進一步探索兩個向量數(shù)量積的坐標表示。最后通過幾個例題加強學生對兩個向量數(shù)量積的坐標表示的理解及其靈活應用。課堂結構清晰完整流暢。在教學中，知識的回顧，題目的設計都圍繞數(shù)量積坐標表示展開。數(shù)量積公式得出后，啟發(fā)學生自己動手推導出模、夾角的坐標表示，回顧了公式的同時又培養(yǎng)了學生的推導能力、自主學習能力。在與學生的課堂交流中能傾聽學生的想法，及時糾正偏差，激發(fā)了學生自主探究的欲望，較好的提升了學生的思維能力，對于學生在探究過程中出現(xiàn)的問題都能認真加以點評，適時指出不足與優(yōu)點，對于學生的發(fā)現(xiàn)與總結都能給于很好的評價與贊揚，讓學生收到激勵，保持學習的熱情。

2、教學設計結構嚴謹，過渡自然，時間分配合理。知識回顧部分把上節(jié)課的數(shù)量積、夾角、模、垂直、平行的有關知識進行回顧，每一條知識點的回顧都是本堂課的新課內容。

3、新課引入部分問題設計合理，但提問的字句還需斟酌，要語簡意賅，如

22思考2中：對于上述向量i,j，則i,j,i.j分別等于什么？這樣的問法覺的還是太繁瑣，是否可以改為計算i2,j2,i.j？這樣可能更直接一點。

4、公式的得出，在應用之前或者應用之后都應該對公式的結構特征進行歸納總結。學生因為接受新知識，對公式肯定不是很了解，應該要引導學生分析公式特征及應用的注意點。

5、一節(jié)課的知識與技能是否落實，難點是否得到突破，是教學者最為關心的話題。課堂習題正是檢驗教學效果的工具。在習題設置上，除了覆蓋重難點外，還應做到由簡入深。同時，在教學過程中，通過舊知生成新知的過程，采用問題串的形式引導學生一步步完成自主探究得到生成，是比較有效的教學方式。

6、通過本次公開訂，學到了很多東西，爭取下一次做得更好，另外還需改進語言表達能力，希望課堂氣氛可愉更加活躍。

第二篇：示范教案(2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角)

2.4.2 平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

整體設計

教學分析

平面向量的數(shù)量積,教材將其分為兩部分.在第一部分向量的數(shù)量積中,首先研究平面向量所成的角,其次,介紹了向量數(shù)量積的定義,最后研究了向量數(shù)量積的基本運算法則和基本結論;在第二部分平面向量數(shù)量積的坐標表示中,在平面向量數(shù)量積的坐標表示的基礎上,利用數(shù)量積的坐標表示研討了平面向量所成角的計算方式,得到了兩向量垂直的判定方法,本節(jié)是平面向量數(shù)量積的第二部分.前面我們學習了平面向量的數(shù)量積,以及平面向量的坐標表示.那么在有了平面向量的坐標表示以及坐標運算的經(jīng)驗和引進平面向量的數(shù)量積后,就順其自然地要考慮到平面向量的數(shù)量積是否也能用坐標表示的問題.另一方面,由于平面向量數(shù)量積涉及了向量的模、夾角,因此在實現(xiàn)向量數(shù)量積的坐標表示后,向量的模、夾角也都可以與向量的坐標聯(lián)系起來.利用平面向量的坐標表示和坐標運算,結合平面向量與平面向量數(shù)量積的關系來推導出平面向量數(shù)量積以及向量的模、夾角的坐標表示.教師應在坐標基底向量的數(shù)量積的基礎上,推導向量數(shù)量積的坐標表示.通過例題分析、課堂訓練,讓學生總結歸納出對于向量的坐標、數(shù)量積、向量所成角及模等幾個因素,知道其中一些因素,求出其他因素基本題型的求解方法.平面向量數(shù)量積的坐標表示是在學生學習了平面向量的坐標表示和平面向量數(shù)量積的基礎上進一步學習的,這都為數(shù)量積的坐標表示奠定了知識和方法基礎.三維目標

1.通過探究平面向量的數(shù)量積的坐標運算,掌握兩個向量數(shù)量積的坐標表示方法.2.掌握兩個向量垂直的坐標條件以及能運用兩個向量的數(shù)量積的坐標表示解決有關長度、角度、垂直等幾何問題.3.通過平面向量數(shù)量積的坐標表示,進一步加深學生對平面向量數(shù)量積的認識,提高學生的運算速度,培養(yǎng)學生的運算能力,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新能力,提高學生的數(shù)學素質.重點難點

教學重點:平面向量數(shù)量積的坐標表示.教學難點:向量數(shù)量積的坐標表示的應用.課時安排 1課時

教學過程

導入新課

思路1.平面向量的表示方法有幾何法和坐標法,向量的表示形式不同,對其運算的表示方式也會改變.向量的坐標表示,為我們解決有關向量的加、減、數(shù)乘運算帶來了極大的方便.上一節(jié),我們學習了平面向量的數(shù)量積,那么向量的坐標表示,對平面向量的數(shù)量積的表示方式又會帶來哪些變化呢？由此直接進入主題.思路2.在平面直角坐標系中,平面向量可以用有序實數(shù)對來表示,兩個平面向量共線的條件也可以用坐標運算的形式刻畫出來,那么學習了平面向量的數(shù)量積之后,它能否用坐標來表示？若能,如何通過坐標來實現(xiàn)呢？平面向量的數(shù)量積還會是一個有序實數(shù)對嗎？同時,平面向量的模、夾角又該如何用坐標來表示呢？通過回顧兩個向量的數(shù)量積的定義和向量的坐標表示,在此基礎上引導學生推導、探索平面向量數(shù)量積的坐標表示.推進新課 新知探究 提出問題 ①平面向量的數(shù)量積能否用坐標表示? ②已知兩個非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),怎樣用a與b的坐標表示a·b呢? ③怎樣用向量的坐標表示兩個平面向量垂直的條件？ ④你能否根據(jù)所學知識推導出向量的長度、距離和夾角公式？

活動:教師引導學生利用前面所學知識對問題進行推導和探究.前面學習了向量的坐標可以用平面直角坐標系中的有序實數(shù)對來表示,而且我們也知道了向量的加、減以及實數(shù)與向量積的線性運算都可以用坐標來表示.兩個向量共線時它們對應的坐標也具備某種關系,那么我們就自然而然地想到既然向量具有數(shù)量積的運算關系,這種運算關系能否用向量的坐標來表示呢？教師提示學生在向量坐標表示的基礎上結合向量的坐標運算進行推導數(shù)量積的坐標表示.教師可以組織學生到黑板上板書推導過程,教師給予必要的提示和補充.推導過程如下: ∵a=x1ｉ+y1j,b=x2ｉ+y2j, ∴a·b=(x1ｉ+y1j)·(x2ｉ+y2j)=x1x2ｉ2+x1y2ｉ·j+x2y1ｉ·j+y1y2j2.又∵ｉ·ｉ=1,j·j=1,ｉ·j=j·ｉ=0, ∴a·b=x1x2+y1y2.教師給出結論性的總結,由此可歸納如下: 1°平面向量數(shù)量積的坐標表示

兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和, 即a=(x1,y1),b=(x2,y2), 則a·b=x1x2+y1y2.2°向量模的坐標表示

若a=(x,y),則|a|=x+y,或|a|=x2?y2.如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2),那么 a=(x2-x1,y2-y1),|a|=(x2?x1)2?(y2?y1)2.3°兩向量垂直的坐標表示 設a=(x1,y1),b=(x2,y2),則 a⊥b?x1x2+y1y2=0.4°兩向量夾角的坐標表示

設a、b都是非零向量,a=(x1,y1),b=(x2,y2),θ是a與b的夾角,根據(jù)向量數(shù)量積的定義及坐標表示,可得 cosθ=a?b|a||b|?x1x2?y1y2x?y212122

2?x?y2222

討論結果:略.應用示例

例1 已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷△ABC的形狀,并給出證明.活動:教師引導學生利用向量數(shù)量積的坐標運算來解決平面圖形的形狀問題.判斷平面圖形的形狀,特別是三角形的形狀時主要看邊長是否相等,角是否為直角.可先作出草圖,進行直觀判定,再去證明.在證明中若平面圖形中有兩個邊所在的向量共線或者模相等,則此平面圖形與平行四邊形有關;若三角形的兩條邊所在的向量模相等或者由兩邊所在向量的數(shù)量積為零,則此三角形為等腰三角形或者為直角三角形.教師可以讓學生多總結幾種判斷平面圖形形狀的方法.解:在平面直角坐標系中標出A(1,2),B(2,3),C(-2,5)三點,我們發(fā)現(xiàn)△ABC是直角三角形.下面給出證明.∵AB=(2-1,3-2)=(1,1), AC=(-2-1,5-2)=(-3,3), ∴AB·(-3)+1×3=0.AC=1×∴AB⊥AC.∴△ABC是直角三角形.點評:本題考查的是向量數(shù)量積的應用,利用向量垂直的條件和模長公式來判斷三角形的形狀.當給出要判定的三角形的頂點坐標時,首先要作出草圖,得到直觀判定,然后對你的結論給出充分的證明.變式訓練

在△ABC中,AB=(2,3),AC=(1,k),且△ABC的一個內角為直角,求k的值.解:由于題設中未指明哪一個角為直角,故需分別討論.AC=0.若∠A=90°,則AB⊥AC,所以AB·于是2×1+3k=0.故k=?23.113同理可求,若∠B=90°時,k的值為3?2113;若∠C=90°時,k的值為

13.故所求k的值為?23或或

3?213.例2(1)已知三點A(2,-2),B(5,1),C(1,4),求∠BAC的余弦值;(2)a=(3,0),b=(-5,5),求a與b的夾角.活動:教師讓學生利用向量的坐標運算求出兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2)的數(shù)量積a·b=x1x2+y1y2和模|a|=x1?y1,|b|=即cosθ=a?b|a||b|?x1x2?y1y2x?y212122x2?y2的積,其比值就是這兩個向量夾角的余弦值,22?x?y2222.當求出兩向量夾角的余弦值后再求兩向量的夾角大小時,需注意兩向量夾角的范圍是0≤θ≤π.學生在解這方面的題目時需要把向量的坐標表示清楚,以免出現(xiàn)不必要的錯誤.解:(1)AB=(5,1)-(2,-2)=(3,3), AC=(1,4)-(2,-2)=(-1,6), AC=3×∴AB·(-1)+3×6=15.又∵|AB|=32?32=32,|AC|=(?1)2?62=37, AB?AC|AB||AC|1532?3757474∴cos∠BAC=

??.(2)a·b=3×(-5)+0×5=-15,|a|=3,|b|=52.設a與b的夾角為θ,則 cosθ=a?b|a||b|??153?52??220≤θ≤π,∴θ=.又∵

3?4.點評:本題考查的是利用向量的坐標表示來求兩向量的夾角.利用基本公式進行運算與求解主要是對基礎知識的鞏固與提高.變式訓練

設a=(5,-7),b=(-6,-4),求a·b及a、b間的夾角θ.(精確到1°) 解:a·b=5×(-6)+(-7)×(-4)=-30+28=-2.|a|=52?(?7)2?由計算器得cosθ=74,|b|=(?6)?(?4)22?52

?274?52≈-0.03.利用計算器中得θ≈92°.例3 已知|a|=3,b=(2,3),試分別解答下面兩個問題:(1)若a⊥b,求a;(2)若a∥b,求a.活動:對平面中的兩向量a=(x1,y1)與b=(x2,y2),要讓學生在應用中深刻領悟其本質屬性,向量垂直的坐標表示x1x2+y1y2=0與向量共線的坐標表示x1y2-x2y1=0很容易混淆, 應仔細比較并熟記,當難以區(qū)分時,要從意義上鑒別,兩向量垂直是a·b=0,而共線是方向相同或相反.教師可多加強反例練習,多給出這兩種類型的同式變形訓練.解:(1)設a=(x,y),由|a|=3且a⊥b, ?x2?y2?|a|2?9,得? ?2x?3x?0,99??x??13,x?13,????1313解得? 或?66?y??y??1313,??1313??∴a=(?91313,61313)或a=

91313,?61313.(2)設a=(x,y),由|a|=3且a∥b,得 ?x2?y2?|a|2?9, ?3x?2y?0.?6?x???13解得??y?9?13?13,6?x????13或??y??913?13?13)或a=(?61313, 13.913∴a=(61313,91313,?13).點評:本題主要考查學生對公式的掌握情況,學生能熟練運用兩向量的坐標運算來判斷垂直或者共線,也能熟練地進行公式的逆用,利用已知關系來求向量的坐標.變式訓練

求證:一次函數(shù)y=2x-3的圖象(直線l1)與一次函數(shù)y=?12x的圖象(直線l2)互相垂直.解:在l1:y=2x-3中,令x=1得y=-1;令x=2得y=1,即在l1上取兩點A(1,-1),B(2,1).同理,在直線l2上取兩點C(-2,1),D(-4,2),于是: AB=(2,1)-(1,-1)=(2-1,1+1)=(1,2), CD=(-4,2)-(-2,1)=(-4+2,2-1)=(-2,1).CD=1×由向量的數(shù)量積的坐標表示,可得AB·(-2)+1×2=0, ∴AB⊥CD,即l1⊥l2.知能訓練

課本本節(jié)練習.解答: 1.|a|=5,|b|=29,a·b=-7.2.a·b=8,(a+b)·(a-b)=-7,a·(a+b)=0,(a+b)2=49.3.a·b=1,|a|=13,|b|=74,θ≈88°.課堂小結

1.在知識層面上,先引導學生歸納平面向量數(shù)量積的坐標表示,向量的模,兩向量的夾角,向量垂直的條件.其次引導學生總結數(shù)量積的坐標運算規(guī)律,夾角和距離公式、兩向量垂直的坐標表示.2.在思想方法上,教師與學生一起回顧探索過程中用到的思維方法和數(shù)學思想方法,定義法,待定系數(shù)法等.作業(yè)

課本習題2.4 A組8、9、10.設計感想

由于本節(jié)課是對平面向量的進一步探究與應用,是對平面向量幾何意義的綜合研究提高,因此教案設計流程是探究、發(fā)現(xiàn)、應用、提高,這符合新課程理念,符合新課標要求.我們知道平面向量的數(shù)量積是本章最重要的內容,也是高考中的重點,既有選擇題、填空題,也有解答題(大多同立體幾何、解析幾何綜合考查),故學習時要熟練掌握基本概念和性質及其綜合運用.而且數(shù)量積的坐標表示又是向量運算的一個重要內容,用坐標表示直角坐標平面內點的位置,是解析幾何的一個基本特征,從而以坐標為橋梁可以建立向量與解析幾何的內在聯(lián)系.以三角函數(shù)表示點的坐標,又可以溝通向量與三角函數(shù)的相互關系,由此就產(chǎn)生出一類向量與解析幾何及三角函數(shù)交匯的綜合性問題.平面向量數(shù)量積的坐標表示使得向量數(shù)量積的應用更為方便,也拓寬了向量應用的途徑.通過學習本節(jié)的內容,要更加加深對向量數(shù)量積概念的理解,同時善于運用坐標形式運算解決數(shù)量問題,尤其是有關向量的夾角、長度、垂直等,往往可以使問題簡單化.靈活使用坐標形式,綜合處理向量的線性運算、數(shù)量積、平行等,綜合地解決向量綜合題,體現(xiàn)數(shù)形結合的思想.在本節(jié)的學習中可以通過對實際問題的抽象來培養(yǎng)學生分析問題、解決問題和應用知識解決問題的意識與能力.

第三篇：2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角教案

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

教學目標：

1、掌握平面向量數(shù)量積的坐標表示方法

2、掌握向量垂直的坐標表示的條件，及平面內兩點間的距離公式.3、能用平面向量數(shù)量積的坐標表示解決有關長度、角度、垂直等幾何問題.4、培養(yǎng)學生數(shù)形結合、轉化與化歸的數(shù)學思想

教學重點：平面向量數(shù)量積的坐標表示及運算規(guī)律.教學難點：平面向量數(shù)量積的坐標表示的綜合運用 教學過程：

一、復習引入：

????1．平面向量數(shù)量積（內積）的定義：a?b?abcos?,???0,??

2．兩個向量的數(shù)量積的性質：

設a、b為兩個非零向量，e是與b同向的單位向量.（1）

e?a = a?e =|a|cos?；

（2）a?b ? a?b = 0（3）a?a = |a|2或|a|?a?a

（4）cos? =

a?b ；

|a||b|3．練習：已知|i|?|j|?1，i?j，且a?3i?2j，b?i?j，則a?b? ；

二、講解新課：

??????

（一）探究：已知兩個非零向量a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，怎樣用a和b的坐標表示a?b？.1．平面兩向量數(shù)量積的坐標表示

設向量i,j分別為平面直角坐標系的x軸、y軸上的單位向量，則有

a?x1i?y1j，b?x2i?y2j

∴ a?b?(x1i?y1j)(x2i?y2j)?x1x2i?x1y2i?j?x2y1i?j?y1y2j

?x1x2?y1y2 兩個向量的數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.課堂練習

①若a?(2,3)，則a?a?，|a|? ；

②若表示向量a的起點和終點的坐標分別為(?1,2)和(2,0)，則|a|?

； ③若a?(1,1)，b?(?3,3)，則a?b?

，a與b的夾角是

；

22由上面三題，引導學生由特殊到一般，自己推導公式 2.平面內兩點間的距離公式

（1）設a?(x,y)，則|a|2?x2?y2或|a|????x2?y2.（2）如果表示向量a的有向線段的起點和終點的坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，那么|a|??(x1?x2)2?(y1?y2)2(平面內兩點間的距離公式)3． 向量垂直的判定

????設a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b ?x1x2?y1y2?0

4． 兩向量夾角的余弦（0????）

??a?b??cos? =?|a|?|b|

（二）講解范例：

x1x2?y1y2x1?y122x2?y222

?例1 已知a??1,3,b? ??????????3,?1,求a?b,a,b及a與b的夾角?.?例2已知A(1，2)，B(2，3)，C(?2，5)，試判斷△ABC的形狀，并給出證明.????例

3?1?.若a??3,1?,b??x,3?,且a?b,求實數(shù)x.?2?.已知a?(3,4),b?(2,1),(a?kb)?(a?b),求k的值.?2?.?法一?由題可知解：????2??2???2???2a?kb?a?b?a??k?1?a?b?kb?0,再分別算出a,a?b,b?????法二?a?kb??3,4??k?2,1???3?2k,4?k?,a?b??1,3??????a?kb?a?b??3?2k??1??4?k??3?15?5k?0?k??3????????

三、課堂練習：練習1、2、3題

??

四、小結： 1.a?b?x1x2?y1y2

2.平面內兩點間的距離公式 |a|?3.向量垂直的判定：

?(x1?x2)2?(y1?y2)2

????設a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b ?x1x2?y1y2?0

五、課后作業(yè)：

思考：以原點和A(5，2)為頂點作等腰直角△OAB，使?B = 90?，求點B和向量AB的坐標.

第四篇：平面向量的數(shù)量積教案

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標表示、模、夾角

教學目標：

1、知識目標:推導并掌握平面向量數(shù)量積的坐標表達式，會利用數(shù)量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問題.2、能力目標:通過自主互助探究式學習,培養(yǎng)學生的自學能力,啟發(fā)學生用多角度去思考和解決問題的能力,促進學生對知識的掌握和靈活運用.3、情感目標:通過自主學習,增強學生的成就感,提高學生學習的積極性和自信心.教學重點:利用數(shù)量積的坐標表示解決模、夾角、垂直等問題.教學難點:平面向量數(shù)量積的坐標表達式的推導.教法:啟發(fā)式教學,講練結合 學法:自主互助探究式 教學用具:多媒體 教學過程設計:

一、復習引入

(教師提問,學生回答)

二、知識探究

1.平面向量數(shù)量積的坐標表示

????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學生到黑板上推導)結論:兩個向量數(shù)量積等于它們對應坐標的乘積的和.思考:向量數(shù)量積的坐標表示與前面所學的向量的坐標運算有什么聯(lián)系和區(qū)別?

(學生討論回答,教師歸納)例

???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)

????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問,學生做后兩問)

2.平面向量數(shù)量積的應用

(1)求模問題:

(讓學生自己推導)?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求

鞏固練習:P107練習1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b

(2)判定向量的垂直關系:(讓學生自己推導)????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

??a//b?x1y2?x2y1?0

(對比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學生自己推導)思考:i)?的范圍?

ii)由cos?能確定?嗎?為什么?

(找學生回答)例4.鞏固練習.P107 練習3

????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222

2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0

思考:不使用計算器,結合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學生回答)

三、能力提升

??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明

????(a?b)?(a?b).四、小結

這節(jié)課咱們一起學習了: 1.平面向量數(shù)量積的坐標表示 2.平面向量數(shù)量積的應用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎上加以靈活應用.五、作業(yè)

P108 A組5(1),(2),(3)任選一個、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)

??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實數(shù)x的值是_____;

0的夾角為銳角,則實數(shù)x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實數(shù)x的取值范圍是_____.

第五篇：《平面向量的數(shù)量積》教學設計及反思

《平面向量的數(shù)量積》教學設計及反思

交口第一中學

趙云鵬

平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運算之后的又一重要運算，也是高中數(shù)學的一個重要概念，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，在每年高考中也是重點考查的內容。向量作為一種運算工具，其知識體系是從實際的物理問題中抽象出來的，它在解決幾何問題中的三點共線、垂直、求夾角和線段長度、確定定比分點坐標以及平移等問題中顯示出了它的易理解和易操作的特點。

一、總體設想：

本節(jié)課的設計有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數(shù)量積的概念和幾何意義；二是圍繞數(shù)量積的概念通過變形和限定衍生出新知識――垂直的判斷、求夾角和線段長度的公式。教學方案可從三方面加以設計：一是數(shù)量積的概念；二是幾何意義和運算律；三是兩個向量的模與夾角的計算。

二、教學目標：

1.了解向量的數(shù)量積的抽象根源。

2.了解平面的數(shù)量積的概念、向量的夾角

3.數(shù)量積與向量投影的關系及數(shù)量積的幾何意義

4.理解掌握向量的數(shù)量積的性質和運算律，并能進行相關的判斷和計算

三、重、難點：

【重點】1.平面向量數(shù)量積的概念和性質

2.平面向量數(shù)量積的運算律的探究和應用 【難點】平面向量數(shù)量積的應用

四、課時安排：

2課時

五、教學方案及其設計意圖： 1．平面向量數(shù)量積的物理背景

平面向量的數(shù)量積，其源自對受力物體在其運動方向上做功等物理問題的抽象。首先說明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問題中出現(xiàn)了兩個矢量，即數(shù)學中所謂的向量，這時物體力F的所做的功為W?F?s?cos?，這里的?是矢量F和s的夾角，也即是兩個向量夾角的定義基礎，在定義兩個向量的夾角時，要使學生明確“把向量的起點放在同一點上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個啟示：功是否是兩個向量某種運算的結果呢？以此為基礎引出了兩非零向量a, b的數(shù)量積的概念。2．平面向量數(shù)量積（內積）的定義

已知兩個非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數(shù)量積的定義a?b = |a||b|cos?無法得到，因此另外進行了規(guī)定。3.兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）OB＝ｂ，叫ａ與ｂ的夾角.a?b?a?bco?s，a?b是記法，a?bcos?是定義的實質――它是一個實數(shù)。按照推理，當0???2?2時，數(shù)量積為正數(shù)；當???時，數(shù)量積為零；

2當?????時，數(shù)量積為負。

4.“投影”的概念

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一個數(shù)量，它的符號取決于角?的大小。當?為銳角時投影為正值；當?為鈍角時投影為負值；當?為直角時投影為0；當? = 0?時投影為 |b|；當? = 180?時投影為 ?|b|.因此投影可正、可負，還可為零。

根據(jù)數(shù)量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫成a?b a

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應結合圖形加以區(qū)分。5．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.向量數(shù)量積的幾何意義在證明分配律方向起著關鍵性的作用。其幾何意義實質上是將乘積拆成兩部分：a和b?cos?。此概念也以物體做功為基礎給出。b?cos?是向量b在a的方向上的投影。6．兩個向量的數(shù)量積的性質： 設a、b為兩個非零向量，則

(1)a?b ? a?b = 0；

(2)當a與b同向時，a?b = |a||b|；當a與b反向時，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|2或|a|?a?a

(3)|a?b| ≤ |a||b|

(4)cos??a?b，其中?為非零向量a和b的夾角。a?b例1.(1)已知向量a ,b，滿足b?2,a與b的夾角為600,則b在a上的投影為______

(2)若b?4,a?b?6,則a在b方向上投影為 _______ 例2.已知a?3，b?4，按下列條件求a?b

(1)a//b

(2)a?b(3)a與b的夾角為 1500 7.平面向量數(shù)量積的運算律 1．交換律：a ? b = b ? a

證：設a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?

∴a ? b = b ? a

2．數(shù)乘結合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面內取一點O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b

即：(a + b)?c = a?c + b?c

說明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

ａ＝ｂ

（3）有如下常用性質：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a ? 5b垂直，a ? 4b與7a ? 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a ? 5b)= 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0

①

(a ? 4b)(7a ? 2b)= 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0

② 兩式相減：2a?b = b2 代入①或②得：a2 = b2

a?bb21設a、b的夾角為?，則cos? =

∴? = 60? ??|a||b|2|b|225 評述：(1)在四邊形中，AB，BC，CD，DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應注意這一隱含條件應用；

(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關鍵是構造數(shù)量積，因為數(shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關系.例4若記a?a?a2，求證：(1)(a?b)2?a2?2a?b?b2;(2)(a?b)(a?b)?a2?b2.以此作為今后求模的基礎。

圍繞向量的數(shù)量積的定義，可開發(fā)出解決幾何問題中有用的知識：垂直的判斷，夾角的計算和線段長度的計算。根據(jù)教學實際，有的數(shù)學知識可提出問題讓學生解決，并總結、概括出一般的結論或規(guī)律，但有些知識學生聽講時，理解起來都比較困難，就需要老師的講解，此時恰當?shù)奶幚矸绞绞牵合茸寣W生學會，再說明道理。這里，兩個向量垂直的判斷和夾角的計算，可通過讓學生自己做題后總結出來；而計算模則需要老師講解并加以強化：由a2?a?a?a?a?c0o?sa2a?b?a?bcos?，當b = a時，?a?a2.接著演示例題并練習。

〖例2〗已知a?2,b?3,且a, b夾角是60?，求a?(a?b);a?b.小結與反思：

以問題的形式，來反饋一節(jié)課的重點是否突出，難點是否突破。

問題一：關于向量的數(shù)量積的概念包括哪些主要內容？如何引入的？

問題二：說出向量數(shù)量積的幾何意義及運算律。

問題三：用向量的數(shù)量積可解決幾何中的哪三大問題？如何解決？ ? 數(shù)量積的概念包括兩個非零向量的夾角的定義和范圍、數(shù)量積的定義。? 向量數(shù)量積的幾何意義是：a ? b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運算律有三條：??。

? 用向量的數(shù)量積可解決幾何中三大問題：垂直的判斷、夾角的計算和求線段長度。⑴a?b?a?b?0； ⑵cos??a?b2a?a ⑶。a?b；板書設計：整個板面分成三列，把重點知識數(shù)量積的定義放在中間顯著位置。由其衍生出來的幾何意義、運算律放在其下面，再把后面的三大問題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個向量夾角的相關概念；右列集中放例題。

教學記：本節(jié)課的設計注重教學目標的明確；注重根據(jù)學生的認知規(guī)律而科學地進行知識序列的呈現(xiàn)；注重調動學生參與教學活動；注重課堂效果的實效性。高中數(shù)學教學應體現(xiàn)知識的來龍去脈，創(chuàng)設問題情景，建立數(shù)學模型，讓學生經(jīng)歷數(shù)學知識的形成與應用，可以更好的理解數(shù)學概念、結論的形成過程，體會蘊含在其中的思想方法，增強學好數(shù)學的愿望和信心。對于抽象數(shù)學概念的教學，要關注概念的實際背景與形成過程，幫助學生克服機械記憶概念的學習方式。教師是學生學習的引導者、組織者，教師在教學中的作用必須以確定學生主體地位為前提，教學過程中要發(fā)揚民主，要鼓勵學生質疑，提倡獨立思考、動手實踐、自主探索、閱讀自學等學習方式。對于教學中問題情境的設計、教學過程的展開、練習的安排等，要盡可能地讓所有學生都能主動參與，提出各自解決問題的方案，并引導學生在與他人的交流中選擇合適的策略，使學生切實體會到自主探索數(shù)學的規(guī)律和問題解決是學好數(shù)學的有效途徑。