第一篇：平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律的教案說(shuō)明

《平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律》的教案說(shuō)明

新疆石河子第一中學(xué)曹麗梅

一、教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)：

本教案是人教版高中數(shù)學(xué)第一冊(cè)（下）第五章平面向量的第六節(jié)內(nèi)容，整個(gè)課題按照課程標(biāo)準(zhǔn)分兩個(gè)課時(shí)，這是第一課時(shí)的教案。

平面向量數(shù)量積第一課時(shí)的教學(xué)，通常要求形成數(shù)量積的概念，得出數(shù)量積運(yùn)算的公式，并把培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和應(yīng)用意識(shí)的目標(biāo)，有機(jī)地融入知識(shí)學(xué)習(xí)和技能形成的過(guò)程之中。平面向量數(shù)量積是平面向量的重點(diǎn)內(nèi)容之一，也是難點(diǎn)之一，這一節(jié)主要介紹兩個(gè)向量的數(shù)量積是兩個(gè)向量之間的一種乘法，是中學(xué)代數(shù)中從未遇到過(guò)的一種新的乘法，與數(shù)的乘法有區(qū)別，同時(shí)這一節(jié)與下一節(jié)平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示有著緊密聯(lián)系。由于向量既能體現(xiàn)“形”的直觀位置特征，又具有“數(shù)”的良好運(yùn)算性質(zhì)，是數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)換的橋梁。而這一切之所以能夠?qū)崿F(xiàn)，平面向量的數(shù)量積功不可沒(méi)。通過(guò)對(duì)這一節(jié)的學(xué)習(xí)，既可以讓學(xué)生掌握平面向量的數(shù)量積，幾何意義，重要性質(zhì)及運(yùn)算律，又可使學(xué)生了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度，角度，和垂直問(wèn)題，而且為平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示的學(xué)習(xí)做了充分準(zhǔn)備，對(duì)后面正，余弦定理的證明起到至關(guān)重要的作用，因此本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容起著承前啟后的作用。

根據(jù)“平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律”在高中數(shù)學(xué)中的地位與作用，并且考慮到學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)心理特征，我認(rèn)為本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)以人為本注重對(duì)學(xué)生自主能力的培養(yǎng)，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，觀察問(wèn)題，進(jìn)而得以解決問(wèn)題，在這一過(guò)程中希望能充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的積極性，不斷激發(fā)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)的興趣。

二、教學(xué)內(nèi)容的應(yīng)用及滲透

平面向量作為一種工具，重在應(yīng)用，而且今后用向量方法特別便于研究空間里涉及直線(xiàn)和平面的各種問(wèn)題；而平面向量的數(shù)量積作為一種特殊的運(yùn)算也有它不可替代的作用，如：求向量的模長(zhǎng)，夾角，推導(dǎo)正、余弦定理等。

由于向量來(lái)源于物理，并且兼具“數(shù)”和“形”的特點(diǎn)，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應(yīng)用，眾所周知，物理與數(shù)學(xué)是密不可分的，而向量在物理中的應(yīng)用比比皆是，舉不勝舉，反過(guò)來(lái)物理又可為某些數(shù)學(xué)知識(shí)作有效的解釋。比如：本課時(shí)的引入就是以物體在力的作用下所做的功為模型，事實(shí)上這也就是平面向量數(shù)量積的物理意義，這樣可以更貼近生活，使學(xué)生更容易理解平面向量數(shù)量積的概念，符合學(xué)生的認(rèn)知習(xí)慣。同時(shí)解析幾何也往往將向量作為有力的解題工具。

三、教學(xué)分析

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)課程要實(shí)現(xiàn)：人人學(xué)有價(jià)值的數(shù)學(xué)；人人都獲得必需的數(shù)學(xué)；不同的人在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展。”同時(shí)，她倡導(dǎo)的“關(guān)注過(guò)程”“強(qiáng)調(diào)本質(zhì)”“體現(xiàn)數(shù)學(xué)的文化價(jià)值”“發(fā)展數(shù)學(xué)的應(yīng)用意識(shí)”等都向我們昭示出高中數(shù)學(xué)課程的價(jià)值取向。

為使《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》得以順利實(shí)施，教師理應(yīng)不斷更新教學(xué)觀念，努力成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)的組織者、引導(dǎo)者、合作者。通過(guò)精心設(shè)計(jì)、實(shí)踐與反思，不斷改進(jìn)教學(xué)方法和教學(xué)手段??以?xún)?yōu)化課堂教學(xué)，提高課堂教學(xué)的效率。課程設(shè)計(jì)必須從學(xué)生的角度出發(fā)，要與學(xué)生的經(jīng)歷和經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系，關(guān)注學(xué)生的體驗(yàn)、感悟和實(shí)踐過(guò)程。

基于以上認(rèn)識(shí)，對(duì)于“平面向量數(shù)量積及運(yùn)算律”引入，我進(jìn)行了這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)： 首先演示一個(gè)外力作功的實(shí)驗(yàn)：W=|F| |S|cosθ，并揭示這個(gè)物理模型的實(shí)質(zhì)，即：力與位移的數(shù)量積。

其次，具體分析平面向量的夾角，向量的數(shù)量積、重要性質(zhì)等概念，并鞏固練習(xí)。再者，基本概念均簡(jiǎn)明有效的給出，為之后學(xué)生深入學(xué)習(xí)、探究提供了時(shí)間上的保證，從定義出發(fā)推導(dǎo)運(yùn)算律也變得簡(jiǎn)單易行。隨后，從特殊到一般，得出數(shù)量積的幾何表示。在教師為主導(dǎo)、學(xué)生為主體的教學(xué)模式中，學(xué)習(xí)活動(dòng)進(jìn)展順利，學(xué)生們都顯得游刃有余。在教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解有些難度，總的感覺(jué)是：在核心問(wèn)題上的處理不太容易把握，學(xué)生需要較多的時(shí)間去探究和體驗(yàn)。

結(jié)合多年教學(xué)發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)數(shù)量積的結(jié)果是數(shù)量重視不夠，解題中往往忽略，?學(xué)生容易忽略；書(shū)寫(xiě)中符號(hào)“?”學(xué)生容易省略不寫(xiě)，教學(xué)和作業(yè)中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題教師應(yīng)時(shí)常提醒學(xué)生及時(shí)糾正，避免重復(fù)錯(cuò)誤；運(yùn)算律中消去律和結(jié)合律不能亂用，要給學(xué)生講清楚一定不能與實(shí)數(shù)的運(yùn)算律混淆，這些地方應(yīng)反復(fù)給學(xué)生強(qiáng)調(diào)。

最后，在有效落實(shí)教學(xué)目標(biāo)的同時(shí)，如何讓學(xué)生的“學(xué)”更輕松些，讓教師的“教”更順暢些，使“數(shù)量積”的概念形成更具一般性，更能揭示“數(shù)量積”的本質(zhì)內(nèi)含就顯得尤為重要。

四、教法及教學(xué)反思

教學(xué)過(guò)程中采用啟發(fā)引導(dǎo)式與講練相結(jié)合，并借助多媒體教學(xué)手段，使學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的性質(zhì)，通過(guò)例題和練習(xí)加深學(xué)生對(duì)平面向量數(shù)量積定義的認(rèn)識(shí)，初步掌握平面向量數(shù)量積定義的運(yùn)用。這一切主要是通過(guò)課堂教學(xué)來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此，要精于課堂教學(xué)設(shè)計(jì)，并在實(shí)踐中進(jìn)行反思和再設(shè)計(jì)，形成一系列適合學(xué)生認(rèn)知、發(fā)展的教學(xué)方案。同時(shí)，在教學(xué)中要注意引導(dǎo)學(xué)生不斷增強(qiáng)自主性、探索性、合作性和思辨性，促使他們成為學(xué)習(xí)的主人。而貫徹?cái)?shù)形結(jié)合思想是克服難點(diǎn)的有效舉措．通過(guò)例題、練習(xí)的分析講評(píng)和學(xué)生積極主動(dòng)的解題實(shí)踐，運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力將得到提高。由于課堂教學(xué)準(zhǔn)備的較充分，基本能達(dá)到預(yù)定目標(biāo)。

教學(xué)反思，是教師對(duì)自身教學(xué)工作的檢查與評(píng)定，是整理教學(xué)中的反饋信息，適時(shí)總結(jié)經(jīng)驗(yàn)教訓(xùn)、找出教學(xué)的成功與不足的重要過(guò)程。因此教學(xué)后適時(shí)的反思有利于促進(jìn)教學(xué)，以上就是我對(duì)本節(jié)課的理解和反思。

第二篇：12022-向量數(shù)量積的運(yùn)算律

向量數(shù)量積的運(yùn)算律

制作人：張明娟審核人：葉付國(guó)使用時(shí)間：2012-5-8編號(hào)：12022 學(xué)習(xí)目標(biāo)：

1、掌握平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律及其運(yùn)算；

2、通過(guò)向量數(shù)量積分配律的學(xué)習(xí)，體會(huì)類(lèi)比、猜想、證明的探索性學(xué)習(xí)方法；

3、通過(guò)解題實(shí)踐，體會(huì)向量數(shù)量積的運(yùn)算方法.學(xué)習(xí)重點(diǎn)：向量數(shù)量積的運(yùn)算律及其應(yīng)用.學(xué)習(xí)難點(diǎn)：向量數(shù)量積分配律的證明.重點(diǎn)知識(shí)回顧：

1、兩個(gè)向量的夾角的范圍是：；

2、向量在軸上的正射影

正射影的數(shù)量為；

??

3、向量的數(shù)量積（內(nèi)積）：a·b=；

4、兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

??（1）a?b?；

（2）a?aa

（3）cos?=；

向量數(shù)量積的運(yùn)算律

1（）a?b?b?a;

(2)(?

(3)(a???a)?b?a?(?b)??(a?b)??a?b;?b)?c?a?c?b?c平面向量數(shù)量積的常用公式

(1)(a

2(2)(a?b)(a

證明：（1）

（2）

?b)?a?2a?b?b?b)?a?b22

典例剖析：

例????

1、已知a=6，b=4，a與b的夾角為600，??求：（1）b在a方向上的投影；

??（2）a在b方向上的投影；

（3）a ?2b?a?3b??

例????02、已知a與b的夾角為120，a=2，b=3，求：（）a?b；（2）a?

b；（3）（2a

1（4?

5? ?b）（?a?3b）

??1,a與b夾角為120，問(wèn)t取何值0

?t

例

????????a3、已知=3，b=4，（且a與b不共線(xiàn)），當(dāng)且僅當(dāng)k為何值時(shí)，向量a?kb與a?kb 互相垂直？

???????變式：已知a=1, b=2, a與a?b垂直.求a與b的夾角.練習(xí)題:求證菱形的對(duì)角線(xiàn)互相垂直.例

???????04、已知a=2，b=4，a,b?120，求a與a?b的夾角.課堂小結(jié)：

跟蹤練習(xí)：

1、下列運(yùn)算不正確的是（）

A.??a??b??c??a????b?c??B.???a?b??c??a??c???b?c?

C.m???a???b?ma??mbD.?a???b??c??a????b?c??

2、設(shè)e?、e?，則?2e????

12是兩個(gè)單位向量，它們的夾角為6001?e2????3e1?2e2??（A.?99

2B.2C.?8D.83、已知?a??7, ?b?7，a???b?7，則a?與b的夾角為（）；

4、已知：向量a?與?b的夾角為1200，且a??4，?b?2，求：

（1）a???b；（2）3a???4b；（3）?a???b???a???2b）

第三篇：平面向量的數(shù)量積教案

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)目標(biāo):推導(dǎo)并掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)利用數(shù)量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問(wèn)題.2、能力目標(biāo):通過(guò)自主互助探究式學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力,啟發(fā)學(xué)生用多角度去思考和解決問(wèn)題的能力,促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和靈活運(yùn)用.3、情感目標(biāo):通過(guò)自主學(xué)習(xí),增強(qiáng)學(xué)生的成就感,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心.教學(xué)重點(diǎn):利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決模、夾角、垂直等問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的推導(dǎo).教法:啟發(fā)式教學(xué),講練結(jié)合 學(xué)法:自主互助探究式 教學(xué)用具:多媒體 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì):

一、復(fù)習(xí)引入

(教師提問(wèn),學(xué)生回答)

二、知識(shí)探究

1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學(xué)生到黑板上推導(dǎo))結(jié)論:兩個(gè)向量數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.思考:向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與前面所學(xué)的向量的坐標(biāo)運(yùn)算有什么聯(lián)系和區(qū)別?

(學(xué)生討論回答,教師歸納)例

???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)

????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問(wèn),學(xué)生做后兩問(wèn))

2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

(1)求模問(wèn)題:

(讓學(xué)生自己推導(dǎo))?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點(diǎn)間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求

鞏固練習(xí):P107練習(xí)1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b

(2)判定向量的垂直關(guān)系:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

??a//b?x1y2?x2y1?0

(對(duì)比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))思考:i)?的范圍?

ii)由cos?能確定?嗎?為什么?

(找學(xué)生回答)例4.鞏固練習(xí).P107 練習(xí)3

????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設(shè)a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222

2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0

思考:不使用計(jì)算器,結(jié)合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學(xué)生回答)

三、能力提升

??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明

????(a?b)?(a?b).四、小結(jié)

這節(jié)課咱們一起學(xué)習(xí)了: 1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎(chǔ)上加以靈活應(yīng)用.五、作業(yè)

P108 A組5(1),(2),(3)任選一個(gè)、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)

??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實(shí)數(shù)x的值是_____;

0的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.

第四篇：高中數(shù)學(xué)重點(diǎn)中學(xué) 第9課時(shí)平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律教案 湘教版必修2

平面向量的數(shù)量積及運(yùn)算律（1）

教學(xué)目的：

1掌握平面向量的數(shù)量積及其幾何意義； 2掌握平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)及運(yùn)算律；

3了解用平面向量的數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問(wèn)題； 4掌握向量垂直的條件

教學(xué)重點(diǎn)：平面向量的數(shù)量積定義

教學(xué)難點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及運(yùn)算律的理解和平面向量數(shù)量積的應(yīng)用 授課類(lèi)型：新授課 課時(shí)安排：1課時(shí)

教 具：多媒體、實(shí)物投影儀 內(nèi)容分析：

本節(jié)學(xué)習(xí)的關(guān)鍵是啟發(fā)學(xué)生理解平面向量數(shù)量積的定義，理解定義之后便可引導(dǎo)學(xué)生推導(dǎo)數(shù)量積的運(yùn)算律，然后通過(guò)概念辨析題加深學(xué)生對(duì)于平面向量數(shù)量積的認(rèn)識(shí)主要知識(shí)點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的定義及幾何意義；平面向量數(shù)量積的5個(gè)重要性質(zhì)；平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

教學(xué)過(guò)程：

一、復(fù)習(xí)引入：

???a1． 向量共線(xiàn)定理 向量b與非零向量共線(xiàn)的充要條件是：有且只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)λ，使b=?λa

2．平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線(xiàn)向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2使a=λ1e1+λ2e2

3．平面向量的坐標(biāo)表示

分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i、j作為基底任作一個(gè)向量a，由平面向量基本定理知，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x、y，使得a?xi?yj 把(x,y)叫做向量a的（直角）坐標(biāo)，記作a?(x,y)4．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 若a?(x1,y1)，b?(x2,y2)，則a?b?(x1?x2,y1?y2)，a?b?(x1?x2,y1?y2)，?a?(?x,?y)若A(x1,y1)，B(x2,y2)，則AB??x2?x1,y2?y1? ?????5．a(chǎn)∥b(b0)的充要條件是x1y2-x2y1=0

6．線(xiàn)段的定比分點(diǎn)及λ

P1, P2是直線(xiàn)l上的兩點(diǎn)，P是l上不同于P1, P2的任一點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)λ，使 P1P=λ叫做點(diǎn)P分PPP2，λ1P2所成的比，有三種情況：

λ>0(內(nèi)分)(外分)λ<0(λ<-1)(外分)λ<0(-1<λ<0)

7定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式：

若點(diǎn)P１(x1,y1)，Ｐ２(x2,y2)，λ為實(shí)數(shù)，且P1P＝λPP2，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x1??x2y1??y2,），我們稱(chēng)λ為點(diǎn)P分P1P2所成的比

1??1??8點(diǎn)P的位置與λ的范圍的關(guān)系：

①當(dāng)λ＞０時(shí)，P1P與PP2同向共線(xiàn)，這時(shí)稱(chēng)點(diǎn)P為P1P2的內(nèi)分點(diǎn)

②當(dāng)λ＜０(???1)時(shí)，P1P與PP2反向共線(xiàn)，這時(shí)稱(chēng)點(diǎn)P為P1P2的外分點(diǎn) 9線(xiàn)段定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式的向量形式：

在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，設(shè)OP1＝ａ，OP2＝ｂ，可得OP=a??b1??a?b

1??1??1??10．力做的功：W = |F|?|s|cos，是F與s的夾角

二、講解新課：

1．兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，OB＝ｂ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）叫ａ與ｂ的夾角 說(shuō)明：（1）當(dāng)θ＝０時(shí)，ａ與ｂ同向；

（2）當(dāng)θ＝π時(shí)，ａ與ｂ反向；

（3）當(dāng)θ＝?時(shí)，ａ與ｂ垂直，記ａ⊥ｂ； 2≤≤180

（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點(diǎn)的范圍0

2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義：已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos，（０≤θ≤π）并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0 ?探究：兩個(gè)向量的數(shù)量積與向量同實(shí)數(shù)積有很大區(qū)別

C（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，不是向量，符號(hào)由cos的符號(hào)所決定

（2）兩個(gè)向量的數(shù)量積稱(chēng)為內(nèi)積，寫(xiě)成a?b；今后要學(xué)到兩個(gè)向量的外積a×b，而a?b是兩個(gè)向量的數(shù)量的積，書(shū)寫(xiě)時(shí)要嚴(yán)格區(qū)分符號(hào)“· ”在向量運(yùn)算中不是乘號(hào)，既不能省略，也不能用“×”代替

（3）在實(shí)數(shù)中，若a0，且a?b=0，則b=0；但是在數(shù)量積中，若a0，且a?b=0，不能推出b=0因?yàn)槠渲衏os有可能為0（4）已知實(shí)數(shù)a、b、c(b0)，則ab=bc ? a=c但是a?b = b?c a = c

如右圖：a?b = |a||b|cos = |b||OA|，b?c = |b||c|cos = |b||OA| ? a?b = b?c 但a

c

(5)在實(shí)數(shù)中，有(a?b)c = a(b?c)，但是(a?b)c

a(b?c)顯然，這是因?yàn)樽蠖耸桥cc共線(xiàn)的向量，而右端是與a共線(xiàn)的向量，而一般a與c不共線(xiàn) 3．“投影”的概念：作圖

定義：|b|cos叫做向量b在a方向上的投影

投影也是一個(gè)數(shù)量，不是向量；當(dāng)為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)為直角時(shí)投影為0；當(dāng) = 0時(shí)投影為 |b|；當(dāng) = 180時(shí)投影為 |b| 4．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos的乘積 5．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)：

設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，e是與b同向的單位向量 1e?a = a?e =|a|cos 2ab

a?b = 0 3當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b = |a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b = |a||b| 特別的a?a = |a|或|a|?a?a 45cos =2a?b

|a||b||a?b| ≤ |a||b|

三、講解范例：

例1 判斷正誤，并簡(jiǎn)要說(shuō)明理由

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，則對(duì)任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，則ａ與ｂ中至少有一個(gè)為0；⑦對(duì)任意向

２２量ａ，ｂ，с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ與ｂ是兩個(gè)單位向量，則ａ＝ｂ 解：上述8個(gè)命題中只有③⑧正確；

對(duì)于①：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有0·ａ＝０； 對(duì)于②：應(yīng)有０·ａ＝0；

對(duì)于④：由數(shù)量積定義有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜·｜c(diǎn)osθ｜≤｜ａ｜｜ｂ｜，這里θ是ａ與ｂ的夾角，只有θ＝０或θ＝π時(shí)，才有｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜·｜ｂ｜；

對(duì)于⑤：若非零向量ａ、ｂ垂直，有ａ·ｂ＝０； 對(duì)于⑥：由ａ·ｂ＝０可知ａ⊥ｂ可以都非零； 對(duì)于⑦：若ａ與с共線(xiàn)，記ａ＝λс 則ａ·ｂ＝（λс）·ｂ＝λ（с·ｂ）＝λ（ｂ·с），∴（ａ·ｂ）·с＝λ（ｂ·с）с＝（ｂ·с）λс＝（ｂ·с）ａ 若ａ與с不共線(xiàn)，則(ａ·ｂ)с≠（ｂ·с）ａ

評(píng)述：這一類(lèi)型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn)算律

例2 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，當(dāng)①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ與ｂ的夾角是60°時(shí)，分別求ａ·ｂ

解：①當(dāng)ａ∥ｂ時(shí)，若ａ與ｂ同向，則它們的夾角θ＝０°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜·｜ｂ｜c(diǎn)os0°＝3×6×1＝18； 若ａ與ｂ反向，則它們的夾角θ＝180°，∴ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os180°＝3×6×（-1）＝－18； ②當(dāng)ａ⊥ｂ時(shí)，它們的夾角θ＝90°，∴ａ·ｂ＝０；

③當(dāng)ａ與ｂ的夾角是60°時(shí)，有

ａ·ｂ＝｜ａ｜｜ｂ｜c(diǎn)os60°＝3×6×

1＝9 2評(píng)述：兩個(gè)向量的數(shù)量積與它們的夾角有關(guān)，其范圍是［0°，180°］，因此，當(dāng)ａ∥ｂ時(shí)，有0°或180°兩種可能

四、課堂練習(xí)：

五、小結(jié) 通過(guò)本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握平面向量的數(shù)量積的定義、重要性質(zhì)、運(yùn)算律，并能運(yùn)用它們解決相關(guān)的問(wèn)題

六、課后作業(yè)：

七、板書(shū)設(shè)計(jì)（略）

八、課后記及備用資料：

1概念辨析：正確理解向量夾角定義

對(duì)于兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點(diǎn)出發(fā)的兩個(gè)所構(gòu)成的較小的非負(fù)角，因?qū)ο蛄繆A角定義理解不清而造成解題錯(cuò)一些易見(jiàn)的錯(cuò)誤，如：

1已知△ABC中，ａ＝５，ｂ＝８，Ｃ＝６０°，求BC·CA

對(duì)此題，有同學(xué)求解如下：

解：如圖，∵｜BC｜＝ａ＝５，｜CA｜＝ｂ＝８，Ｃ＝６０°，∴BC·CA＝｜BC｜·｜CA｜c(diǎn)osＣ＝5×8cos60°＝20 分析：上述解答，乍看正確，但事實(shí)上確實(shí)有錯(cuò)誤，原因就在于沒(méi)能正確理解向量夾角的定義，即上例中BC與CA兩向量的起點(diǎn)并不同，因此，Ｃ并不是它們的夾角，而正確的夾角應(yīng)當(dāng)是C的補(bǔ)角120°

2向量的數(shù)量積不滿(mǎn)足結(jié)合律 分析：若有（ａ·ｂ）с＝ａ·（ｂ·с），設(shè)ａ、ｂ夾角為α，ｂ、с夾角為β，則(ａ·ｂ)

向量

誤是с＝｜ａ｜·｜ｂ｜c(diǎn)osα·с，ａ·(ｂ·с)＝ａ·｜ｂ｜｜с｜c(diǎn)osβ

∴若ａ＝с，α＝β，則｜ａ｜＝｜с｜，進(jìn)而有：（ａ·ｂ）с＝ａ·(ｂ·с)這是一種特殊情形，一般情況則不成立舉反例如下：

已知｜ａ｜＝１，｜ｂ｜＝１，｜с｜＝2，ａ與ｂ夾角是60°，ｂ與с夾角是45°，則：

(ａ·ｂ)·с＝（｜ａ｜·｜ｂ｜c(diǎn)os60°）с＝

1с，2ａ·(ｂ·с)＝（｜ｂ｜·｜с｜c(diǎn)os45°）ａ＝ａ

而1с≠ａ，故（ａ·ｂ）·с≠ａ·（ｂ·с）2

第五篇：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用設(shè)計(jì)立意及思路

平面向量在教材中獨(dú)立成章，它既反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)了幾何圖形的位置關(guān)系，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，它將數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)“交匯點(diǎn)”，成為聯(lián)系眾多知識(shí)內(nèi)容的媒介。特別是在處理解析幾何的有關(guān)度量、角度、平行、垂直、共線(xiàn)等問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用向量知識(shí)，可以使幾何問(wèn)題直觀化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而把“定性”研究推向“定量”研究。

由于向量具有“雙重性”，所以，向量成為了“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的很好載體。而在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，既是當(dāng)今高考的熱點(diǎn)，又是重點(diǎn)。從近幾年高考試卷來(lái)看，對(duì)向量的考查除了直接考查平面向量外，還將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合，以平面向量的相關(guān)知識(shí)為載體，以數(shù)形轉(zhuǎn)化思想為主線(xiàn)，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)創(chuàng)新力度大，綜合性強(qiáng)的問(wèn)題。因此，研究向量與其它內(nèi)容的綜合運(yùn)用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力（尤其是培養(yǎng)學(xué)生從學(xué)科整體的高度解決問(wèn)題的綜合能力）和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，把握高考命題趨勢(shì)，都有著重要的意義。，本節(jié)課復(fù)習(xí)目標(biāo)是在回顧和梳理基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，突出平面向量的數(shù)量與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，滲透用向量解決問(wèn)題的思想方法，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題與綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生站在新的高度來(lái)認(rèn)識(shí)和理解向量。在知識(shí)點(diǎn)4.平面向量數(shù)量積運(yùn)算律的回顧中安排“思考討論：????????????????????????a?b?a?c,乙:b?c,則 以及在雙基訓(xùn)練3．甲：(a?b)c與a(b?c)是否相等?”甲是乙的什么條件的判斷。目的是讓學(xué)生通過(guò)通討論和練習(xí)，深刻認(rèn)識(shí)到向量數(shù)量積運(yùn)算中“結(jié)合律”及“消去律”是不成立的。

例

1、是以平面向量的知識(shí)為平臺(tái)，與三角函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算綜合。第（1）小題目的是讓學(xué)生理解并掌握體向量垂直問(wèn)題的多種證明方法，常用的方法有三種，一是根據(jù)數(shù)量積的定義證明，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明，三是利用

????向量運(yùn)算的幾何意義來(lái)證。第（2）小題目的是讓學(xué)生掌握a?b?|a|?|b|，但反之不成立，并將向量相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模相等問(wèn)題，建立等量關(guān)系。

例2是函數(shù)的最值與向量綜合問(wèn)題，用兩種方法建立函數(shù)關(guān)系式，體現(xiàn)向量具有代數(shù)形式和幾何形式“雙重性”，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。