第一篇：平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明

平面向量的數(shù)量積及其應(yīng)用設(shè)計(jì)立意及思路

平面向量在教材中獨(dú)立成章，它既反映了現(xiàn)實(shí)世界的數(shù)量關(guān)系，又體現(xiàn)了幾何圖形的位置關(guān)系，具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”，它將數(shù)和形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一個(gè)“交匯點(diǎn)”，成為聯(lián)系眾多知識(shí)內(nèi)容的媒介。特別是在處理解析幾何的有關(guān)度量、角度、平行、垂直、共線等問(wèn)題時(shí)，運(yùn)用向量知識(shí)，可以使幾何問(wèn)題直觀化、符號(hào)化、數(shù)量化，從而把“定性”研究推向“定量”研究。

由于向量具有“雙重性”，所以，向量成為了“在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯處設(shè)計(jì)試題”的很好載體。而在知識(shí)交匯點(diǎn)處命題，既是當(dāng)今高考的熱點(diǎn)，又是重點(diǎn)。從近幾年高考試卷來(lái)看，對(duì)向量的考查除了直接考查平面向量外，還將向量與解析幾何、向量與三角等內(nèi)容相結(jié)合，以平面向量的相關(guān)知識(shí)為載體，以數(shù)形轉(zhuǎn)化思想為主線，在知識(shí)網(wǎng)絡(luò)交匯點(diǎn)處設(shè)計(jì)創(chuàng)新力度大，綜合性強(qiáng)的問(wèn)題。因此，研究向量與其它內(nèi)容的綜合運(yùn)用，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的綜合能力（尤其是培養(yǎng)學(xué)生從學(xué)科整體的高度解決問(wèn)題的綜合能力）和數(shù)學(xué)素養(yǎng)，把握高考命題趨勢(shì)，都有著重要的意義。，本節(jié)課復(fù)習(xí)目標(biāo)是在回顧和梳理基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，突出平面向量的數(shù)量與其他知識(shí)的綜合運(yùn)用，滲透用向量解決問(wèn)題的思想方法，從而提高學(xué)生分析問(wèn)題與綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，使學(xué)生站在新的高度來(lái)認(rèn)識(shí)和理解向量。在知識(shí)點(diǎn)4.平面向量數(shù)量積運(yùn)算律的回顧中安排“思考討論：????????????????????????a?b?a?c,乙:b?c,則 以及在雙基訓(xùn)練3．甲：(a?b)c與a(b?c)是否相等?”甲是乙的什么條件的判斷。目的是讓學(xué)生通過(guò)通討論和練習(xí)，深刻認(rèn)識(shí)到向量數(shù)量積運(yùn)算中“結(jié)合律”及“消去律”是不成立的。

例

1、是以平面向量的知識(shí)為平臺(tái)，與三角函數(shù)的有關(guān)運(yùn)算綜合。第（1）小題目的是讓學(xué)生理解并掌握體向量垂直問(wèn)題的多種證明方法，常用的方法有三種，一是根據(jù)數(shù)量積的定義證明，二是利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算來(lái)證明，三是利用

????向量運(yùn)算的幾何意義來(lái)證。第（2）小題目的是讓學(xué)生掌握a?b?|a|?|b|，但反之不成立，并將向量相等問(wèn)題轉(zhuǎn)化為模相等問(wèn)題，建立等量關(guān)系。

例2是函數(shù)的最值與向量綜合問(wèn)題，用兩種方法建立函數(shù)關(guān)系式，體現(xiàn)向量具有代數(shù)形式和幾何形式“雙重性”，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

第二篇：平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)[推薦]

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平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用教學(xué)設(shè)計(jì)

華羅庚中學(xué) 袁勁竹

一、教材分析

向量作為一種基本工具，在數(shù)學(xué)解題中有著極其重要的地位和作用。利用向量知識(shí)，可以解決不少?gòu)?fù)雜的的代數(shù)幾何問(wèn)題?！镀矫嫦蛄康臄?shù)量積及應(yīng)用》，計(jì)劃安排兩個(gè)課時(shí)，本節(jié)課是第2課時(shí)。也就是，在復(fù)習(xí)了平面向量數(shù)的有關(guān)概念，坐標(biāo)表示，以及平面向量數(shù)量積的基礎(chǔ)知識(shí)之后，本節(jié)課是進(jìn)一步去認(rèn)識(shí)、掌握平面向量數(shù)量積及平面向量的相關(guān)應(yīng)用。

二、課標(biāo)要求

1、平面向量的數(shù)量積

①通過(guò)物理中“功”等實(shí)例，理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義； ②體會(huì)平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系；

③掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；

④能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系。

2、向量的應(yīng)用

經(jīng)歷用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題、力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，體會(huì)向量是一種處理幾何問(wèn)題、物理問(wèn)題等的工具，發(fā)展運(yùn)算能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

三、命題走向及高考預(yù)測(cè)

通過(guò)對(duì)近幾年廣東高考試題的分析，向量的數(shù)量積及運(yùn)算律一直是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)內(nèi)容之一，對(duì)向量的數(shù)量積及運(yùn)算律的考查多為一個(gè)小題；另外作為工具在考查三角函數(shù)、立體幾何、平面解析幾何等內(nèi)容時(shí)經(jīng)常用到．整個(gè)命題過(guò)程緊扣課本，重點(diǎn)突出，有時(shí)考查單一知識(shí)點(diǎn)；有時(shí)通過(guò)知識(shí)的交匯與鏈接，全面考查向量的數(shù)量積及運(yùn)算律等內(nèi)容。

預(yù)測(cè)高考：

預(yù)測(cè)2012年廣東高考仍將以向量的數(shù)量積的運(yùn)算、向量的平行、垂直為主要考點(diǎn)，以與三角、解析幾何知識(shí)交匯命題為考向。

四、學(xué)情分析

學(xué)生已復(fù)習(xí)了向量的相關(guān)概念、線性運(yùn)算、數(shù)量積及初步應(yīng)用，已較好地理解了向量的概念，比較熟練地掌握向量的運(yùn)算和性質(zhì)，已初步體會(huì)研究向量運(yùn)算的一般方法，具有一定的觀察、探究能力，這為學(xué)生進(jìn)一步復(fù)習(xí)數(shù)量積數(shù)量積及應(yīng)用做了鋪墊。由于本班是普通班，受實(shí)數(shù)乘法運(yùn)算的影響，造成不少學(xué)生對(duì)數(shù)量積理解上的偏差，從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。

五、教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：

1、掌握平面向量的數(shù)量積公式及向量的夾角公式；

2、運(yùn)用平面向量的知識(shí)解決有關(guān)問(wèn)題。

能力目標(biāo)：

1、通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、化歸轉(zhuǎn)化的能力；

2、提高學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。

六、教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：平面向量數(shù)量積公式及平面向量的應(yīng)用。

難點(diǎn)：如何將有關(guān)問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題。

七、教法、學(xué)法分析

教法：采取啟發(fā)引導(dǎo)、反饋評(píng)價(jià)等方式；

學(xué)法：引導(dǎo)學(xué)生積極參與、自主探索，培養(yǎng)探究能力。

八、教學(xué)過(guò)程

【 基本知識(shí)點(diǎn)回顧 】

1、向量的數(shù)量積的概念

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?b的數(shù)量積。

2、數(shù)量積的性質(zhì)(e是單位向量，〈a，e〉＝θ)???????已知兩個(gè)非零向量a與b，它們的夾角為?，則a·b=︱a︱·︱b︱cos?叫做a與

(1)e·a＝a·e＝__________.(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a·b＝_____；當(dāng)a與b反向時(shí)，a·b＝__________.特別

地，有a·a＝_______或|a|＝________(3)a⊥b?__________.(4)cos〈a，b〉＝________.3、數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝______________.2(2)若a＝(x，y)，則|a|＝_______，|a|＝________.→(3)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝|BA|＝____________________.(4)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a⊥b?_____________________.4、向量的應(yīng)用

（1）平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

（2）利用平面向量數(shù)量積解決平行與垂直問(wèn)題（3）利用平面向量數(shù)量積解決夾角問(wèn)題

（4）平面向量的綜合運(yùn)用

注：本節(jié)課是第2課時(shí)，重點(diǎn)學(xué)習(xí)（3）利用平面向量數(shù)量積解決夾角問(wèn)題和（4）平面向量的綜合運(yùn)用，其中平面向量的綜合運(yùn)用主要是在三角函數(shù)中的應(yīng)用，在立體幾何、解析幾何等方面的應(yīng)用放在后面學(xué)習(xí)。

【典例剖析】

應(yīng)用3：利用平面向量數(shù)量積解決夾角問(wèn)題

???1????1例

1、(2011年廣州調(diào)研)已知a?1，a?b?，(a?b)?(a?b)?，求： 22??????（1）a與b的夾角的大小;(2)a?b與a?b夾角的余弦值

思路分析（先提問(wèn)學(xué)生，然后板演解題過(guò)程）：利用向量夾角的余弦公式求解

設(shè)計(jì)意圖：讓學(xué)生分析解題思路以培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。讓學(xué)生上臺(tái)板演可以暴露學(xué)生存在的問(wèn)題，老師及時(shí)予以糾正，并呈現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)的解答格式，促使學(xué)生自我反思，以加強(qiáng)學(xué)生答題的規(guī)范性，做到“會(huì)做的題目得滿分，不會(huì)做的題目不得零分”。

【鞏固練習(xí)】

（1）（09重慶理）已知A、6

???????a?

1、b?6且a?(b?a)?2，則向量a與b的夾角是（）

? B、C、D、4???322

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(2（）2010年高考課標(biāo)全國(guó)卷）??則a，b夾角的余弦值等于（）816168 C、D、A、B、??65656565??a，b為平面向量，已知???a?(4,3)，2a?b?(3,18)，答案：（1）C；（2）C；

設(shè)計(jì)意圖：選用的兩道題中，一道題向量是非坐標(biāo)形式的，另一道題向量是坐標(biāo)形式的，通過(guò)練習(xí)，讓學(xué)生學(xué)會(huì)選用適當(dāng)?shù)墓浇忸}，鞏固所學(xué)知識(shí)。同時(shí)，讓學(xué)生多參與、多思考、多活動(dòng)，改變教師大段講解的傾向，使師生活動(dòng)交替進(jìn)行，調(diào)節(jié)學(xué)生的注意力，促進(jìn)學(xué)生各方面的發(fā)展。

題后小結(jié)：

(1)當(dāng)a，b是非坐標(biāo)形式時(shí)，求a與b的夾角，需求得a·b及|a|，|b|或得出它們的關(guān)系．(2)若已知a與b的坐標(biāo)，則可直接利用公式 x1x2＋y1y2cosθ＝.2222 x1＋y1·x2＋y2

應(yīng)用四：平面向量的綜合運(yùn)用

???sin?)，c?(?1，例

2、(2009 湖北理)已知向量a?(cos?，b?(cos?，sin?)，0)．??（1）求向量b+c的長(zhǎng)度的最大值；

（2）設(shè)?? π4???，且a⊥(b?c)，求cos?的值．

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)典例精講，一方面使學(xué)生加深對(duì)知識(shí)的認(rèn)識(shí)，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，另一方面使學(xué)生由簡(jiǎn)單地模仿和接受，變?yōu)閷?duì)知識(shí)的主動(dòng)認(rèn)識(shí)，從而進(jìn)一步提高分析、解決問(wèn)題的能力。

【自主探究、共同提高】

?????

1、(06天津理)設(shè)向量a與b的夾角為?，a?(3,3)，2b?a?(?1,1)，則cos?_____

??????????02、已知兩單位向量a與b的夾角為120，若c?2a?b，d?b?a，試求c與d的夾角的余弦值

3、設(shè)0???2?，已知兩個(gè)向量則向量p1p2長(zhǎng)度的最大值是op1?(cos?,sin?)，op2?(2?sin?,2?cos?)，______ 答案： 1、31010；

2、?92142；

3、32

設(shè)計(jì)意圖：要求每位學(xué)生自己先做練習(xí)，然后對(duì)照答案進(jìn)行自主的學(xué)習(xí)、同座之間互相探討，然后聽(tīng)老師或?qū)W生進(jìn)行講解。本環(huán)節(jié)盡量留出時(shí)間讓學(xué)生充分地比較，互相學(xué)習(xí)，共同提高。

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【課堂小結(jié)】：

1、向量知識(shí)，向量觀點(diǎn)有著廣泛的應(yīng)用，本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了兩方面的應(yīng)用： 利用平面向量數(shù)量積解決夾角問(wèn)題和平面向量的綜合應(yīng)用（在三角函數(shù)中應(yīng)用）

2、本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了化歸轉(zhuǎn)化的思想方法

向量的數(shù)量積公式，溝通了向量與實(shí)數(shù)間的轉(zhuǎn)化關(guān)系

設(shè)計(jì)意圖：課堂小結(jié)由師生共同進(jìn)行，以此培養(yǎng)學(xué)生的口頭表達(dá)能力，歸納概括能力。同時(shí)要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)總結(jié)：做完一道題目的總結(jié)，學(xué)完一課、一章的總結(jié)，有總結(jié)才有提高，通過(guò)：練習(xí)—總結(jié)—再練習(xí)，提高學(xué)習(xí)效率。

【課堂小測(cè)】

A、300?????????

1、(05北京)a?1，b?2，c?a?b，且c?a，則向量a與b的夾角為（）??

2、已知a?1，b?

000 B、60 C、120 D、150

?????2，且a?(a?b)，則向量a與b的夾角是_______.????

3、已知向量a?(sin?,1),b?(1,cos?)，且????22????（2）.求a?b的最大值(1).若a?b,求?

答案：

1、C

2、?4

3、（1）??4，（2）2?1

設(shè)計(jì)意圖：通過(guò)課堂小測(cè)快速反饋，既可以把學(xué)生取得的進(jìn)步變成有形的事實(shí)，使之受到鼓勵(lì)，樂(lè)于接受下一個(gè)任務(wù)，又可以及時(shí)發(fā)現(xiàn)學(xué)生存在的問(wèn)題，及時(shí)矯正乃至調(diào)節(jié)教學(xué)的進(jìn)度，從而有效地提高課堂教學(xué)的效率。

思考題、設(shè)向量??m?(cos?,sin?)和n?(2?sin?,cos?),??(?,2?)??82??且m?n?,求cos(?)的值528

【課后作業(yè)，分層練習(xí)】

必做： 《課時(shí)作業(yè)本》第4章第3課時(shí)

選做：(2009·江蘇)設(shè)向量a＝(4cos α，sin α)，b＝(sin β，4cos β)，c＝(cos β，－4sin β)．

(1)若a與b－2c垂直，求tan(α＋β)的值；

(2)求|b＋c|的最大值；

(3)若tan αtan β＝16，求證：a∥b.設(shè)計(jì)意圖：出選做題的目的是注意分層教學(xué)和因材施教，為學(xué)有余力的學(xué)生提供思考空間。

【教學(xué)反思】 待寫(xiě)??

第三篇：平面向量的數(shù)量積教案

2.4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角

教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)目標(biāo):推導(dǎo)并掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)利用數(shù)量積求解向量的模、夾角及判定垂直等問(wèn)題.2、能力目標(biāo):通過(guò)自主互助探究式學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力,啟發(fā)學(xué)生用多角度去思考和解決問(wèn)題的能力,促進(jìn)學(xué)生對(duì)知識(shí)的掌握和靈活運(yùn)用.3、情感目標(biāo):通過(guò)自主學(xué)習(xí),增強(qiáng)學(xué)生的成就感,提高學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性和自信心.教學(xué)重點(diǎn):利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示解決模、夾角、垂直等問(wèn)題.教學(xué)難點(diǎn):平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式的推導(dǎo).教法:啟發(fā)式教學(xué),講練結(jié)合 學(xué)法:自主互助探究式 教學(xué)用具:多媒體 教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì):

一、復(fù)習(xí)引入

(教師提問(wèn),學(xué)生回答)

二、知識(shí)探究

1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

????b?(x,y)a?b?x1x2?y1y2 a?(x,y)已知非零向量,22,則11(找學(xué)生到黑板上推導(dǎo))結(jié)論:兩個(gè)向量數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和.思考:向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示與前面所學(xué)的向量的坐標(biāo)運(yùn)算有什么聯(lián)系和區(qū)別?

(學(xué)生討論回答,教師歸納)例

???1.已知a?(2,3),b?(?2,4),c?(?1,?2),求: ??(1)a?b;(2)???a?(b?c);(3)

????(a?b)?(a?b);(4)??2(a?b).(教師講前兩問(wèn),學(xué)生做后兩問(wèn))

2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

(1)求模問(wèn)題:

(讓學(xué)生自己推導(dǎo))?i)a?(x,y),a??x?y22.(x2?x1)?(y2?y1)22ii)A(x,y1),B(x2,y2)1,AB?(平面上兩點(diǎn)間距離公式).?a1????iii)求a的單位向量e,e????aaa??,其中e??1.??例2.(1)已知a?(3,4),e是a的單位向量,求a,e.?(2)已知A(1,2),B(3,4),求

鞏固練習(xí):P107練習(xí)1 ???已知a?(?3,4),b?(5,2),求aAB.,?b??,a?b

(2)判定向量的垂直關(guān)系:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))????a?b?a?b?0?x1x2?y1y2?0

??a//b?x1y2?x2y1?0

(對(duì)比記憶)例3.已知A(1,2),B(2,3),C(-2,5),試判斷?ABC的形狀,并給出證明.(3)求向量的夾角:(讓學(xué)生自己推導(dǎo))思考:i)?的范圍?

ii)由cos?能確定?嗎?為什么?

(找學(xué)生回答)例4.鞏固練習(xí).P107 練習(xí)3

????已知a?(3,2),b?(5,?7),求a與b????設(shè)a?(5,?7),b?(?6,?4),求a?b??a?bcos?????abx1x2?y1y2x?y2121x?y222

2?及a?與b的夾角(精確到1).0的夾角(精確到1).0

思考:不使用計(jì)算器,結(jié)合上面的例題,能求出?的值嗎?(找學(xué)生回答)

三、能力提升

??已知a?(cos?,sin?),b?(cos?,sin?),證明

????(a?b)?(a?b).四、小結(jié)

這節(jié)課咱們一起學(xué)習(xí)了: 1.平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 2.平面向量數(shù)量積的應(yīng)用(1)求模;(2)判定垂直;(3)求夾角.希望大家在掌握的基礎(chǔ)上加以靈活應(yīng)用.五、作業(yè)

P108 A組5(1),(2),(3)任選一個(gè)、9、11.六、課后探索題: ??已知a?(?2,?1),b?(x,1)

??(1)若a與b??(2)若a與b??(3)若a與b的夾角?為45,則實(shí)數(shù)x的值是_____;

0的夾角為銳角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____;的夾角為鈍角,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是_____.

第四篇：《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

《平面向量的數(shù)量積》教學(xué)設(shè)計(jì)及反思

交口第一中學(xué)

趙云鵬

平面向量的數(shù)量積是繼向量的線性運(yùn)算之后的又一重要運(yùn)算，也是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要概念，它是溝通代數(shù)、幾何與三角函數(shù)的一種重要工具，在每年高考中也是重點(diǎn)考查的內(nèi)容。向量作為一種運(yùn)算工具，其知識(shí)體系是從實(shí)際的物理問(wèn)題中抽象出來(lái)的，它在解決幾何問(wèn)題中的三點(diǎn)共線、垂直、求夾角和線段長(zhǎng)度、確定定比分點(diǎn)坐標(biāo)以及平移等問(wèn)題中顯示出了它的易理解和易操作的特點(diǎn)。

一、總體設(shè)想：

本節(jié)課的設(shè)計(jì)有兩條暗線：一是圍繞物理中物體做功，引入數(shù)量積的概念和幾何意義；二是圍繞數(shù)量積的概念通過(guò)變形和限定衍生出新知識(shí)――垂直的判斷、求夾角和線段長(zhǎng)度的公式。教學(xué)方案可從三方面加以設(shè)計(jì)：一是數(shù)量積的概念；二是幾何意義和運(yùn)算律；三是兩個(gè)向量的模與夾角的計(jì)算。

二、教學(xué)目標(biāo)：

1.了解向量的數(shù)量積的抽象根源。

2.了解平面的數(shù)量積的概念、向量的夾角

3.數(shù)量積與向量投影的關(guān)系及數(shù)量積的幾何意義

4.理解掌握向量的數(shù)量積的性質(zhì)和運(yùn)算律，并能進(jìn)行相關(guān)的判斷和計(jì)算

三、重、難點(diǎn)：

【重點(diǎn)】1.平面向量數(shù)量積的概念和性質(zhì)

2.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律的探究和應(yīng)用 【難點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的應(yīng)用

四、課時(shí)安排：

2課時(shí)

五、教學(xué)方案及其設(shè)計(jì)意圖： 1．平面向量數(shù)量積的物理背景

平面向量的數(shù)量積，其源自對(duì)受力物體在其運(yùn)動(dòng)方向上做功等物理問(wèn)題的抽象。首先說(shuō)明放置在水平面上的物體受力F的作用在水平方向上的位移是s，此問(wèn)題中出現(xiàn)了兩個(gè)矢量，即數(shù)學(xué)中所謂的向量，這時(shí)物體力F的所做的功為W?F?s?cos?，這里的?是矢量F和s的夾角，也即是兩個(gè)向量夾角的定義基礎(chǔ)，在定義兩個(gè)向量的夾角時(shí)，要使學(xué)生明確“把向量的起點(diǎn)放在同一點(diǎn)上”這一重要條件，并理解向量夾角的范圍。這給我們一個(gè)啟示：功是否是兩個(gè)向量某種運(yùn)算的結(jié)果呢？以此為基礎(chǔ)引出了兩非零向量a, b的數(shù)量積的概念。2．平面向量數(shù)量積（內(nèi)積）的定義

已知兩個(gè)非零向量ａ與ｂ，它們的夾角是θ，則數(shù)量|a||b|cos?叫ａ與ｂ的數(shù)量積，記作a?b，即有a?b = |a||b|cos?，（０≤θ≤π）.并規(guī)定0與任何向量的數(shù)量積為0.零向量的方向是任意的，它與任意向量的夾角是不確定的，按數(shù)量積的定義a?b = |a||b|cos?無(wú)法得到，因此另外進(jìn)行了規(guī)定。3.兩個(gè)非零向量夾角的概念

已知非零向量ａ與ｂ，作OA＝ａ，則∠ＡＯＢ＝θ（０≤θ≤π）OB＝ｂ，叫ａ與ｂ的夾角.a?b?a?bco?s，a?b是記法，a?bcos?是定義的實(shí)質(zhì)――它是一個(gè)實(shí)數(shù)。按照推理，當(dāng)0???2?2時(shí)，數(shù)量積為正數(shù)；當(dāng)???時(shí)，數(shù)量積為零；

2當(dāng)?????時(shí)，數(shù)量積為負(fù)。

4.“投影”的概念

定義：|b|cos?叫做向量b在a方向上的投影。

投影也是一個(gè)數(shù)量，它的符號(hào)取決于角?的大小。當(dāng)?為銳角時(shí)投影為正值；當(dāng)?為鈍角時(shí)投影為負(fù)值；當(dāng)?為直角時(shí)投影為0；當(dāng)? = 0?時(shí)投影為 |b|；當(dāng)? = 180?時(shí)投影為 ?|b|.因此投影可正、可負(fù)，還可為零。

根據(jù)數(shù)量積的定義，向量b在a方向上的投影也可以寫(xiě)成a?b a

注意向量a在b方向上的投影和向量b在a方向上的投影是不同的，應(yīng)結(jié)合圖形加以區(qū)分。5．向量的數(shù)量積的幾何意義：

數(shù)量積a?b等于a的長(zhǎng)度與b在a方向上投影|b|cos?的乘積.向量數(shù)量積的幾何意義在證明分配律方向起著關(guān)鍵性的作用。其幾何意義實(shí)質(zhì)上是將乘積拆成兩部分：a和b?cos?。此概念也以物體做功為基礎(chǔ)給出。b?cos?是向量b在a的方向上的投影。6．兩個(gè)向量的數(shù)量積的性質(zhì)： 設(shè)a、b為兩個(gè)非零向量，則

(1)a?b ? a?b = 0；

(2)當(dāng)a與b同向時(shí)，a?b = |a||b|；當(dāng)a與b反向時(shí)，a?b = ?|a||b|.特別的a?a = |a|2或|a|?a?a

(3)|a?b| ≤ |a||b|

(4)cos??a?b，其中?為非零向量a和b的夾角。a?b例1.(1)已知向量a ,b，滿足b?2,a與b的夾角為600,則b在a上的投影為_(kāi)_____

(2)若b?4,a?b?6,則a在b方向上投影為 _______ 例2.已知a?3，b?4，按下列條件求a?b

(1)a//b

(2)a?b(3)a與b的夾角為 1500 7.平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律 1．交換律：a ? b = b ? a

證：設(shè)a，b夾角為?，則a ? b = |a||b|cos?，b ? a = |b||a|cos?

∴a ? b = b ? a

2．?dāng)?shù)乘結(jié)合律：(?a)?b =?(a?b)= a?(?b)證：若?> 0，(?a)?b =?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=?|a||b|cos?，若?< 0，(?a)?b =|?a||b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?，?(a?b)=?|a||b|cos?，a?(?b)=|a||?b|cos(???)= ??|a||b|(?cos?)=?|a||b|cos?.3．分配律：(a + b)?c = a?c + b?c

在平面內(nèi)取一點(diǎn)O，作OA= a，AB= b，OC= c，∵a + b（即OB）在c方向上的投影等于a、b在c方向上的投影和，即

|a + b| cos? = |a| cos?1 + |b| cos?2

∴| c | |a + b| cos? =|c| |a| cos?1 + |c| |b| cos?2，∴c?(a + b)= c?a + c?b

即：(a + b)?c = a?c + b?c

說(shuō)明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）

（2）ａ·с＝ｂ·с，с≠0

ａ＝ｂ

（3）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２

例3 已知a、b都是非零向量，且a + 3b與7a ? 5b垂直，a ? 4b與7a ? 2b垂直，求a與b的夾角.解：由(a + 3b)(7a ? 5b)= 0 ? 7a2 + 16a?b ?15b2 = 0

①

(a ? 4b)(7a ? 2b)= 0 ? 7a2 ? 30a?b + 8b2 = 0

② 兩式相減：2a?b = b2 代入①或②得：a2 = b2

a?bb21設(shè)a、b的夾角為?，則cos? =

∴? = 60? ??|a||b|2|b|225 評(píng)述：(1)在四邊形中，AB，BC，CD，DA是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；

(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系.例4若記a?a?a2，求證：(1)(a?b)2?a2?2a?b?b2;(2)(a?b)(a?b)?a2?b2.以此作為今后求模的基礎(chǔ)。

圍繞向量的數(shù)量積的定義，可開(kāi)發(fā)出解決幾何問(wèn)題中有用的知識(shí)：垂直的判斷，夾角的計(jì)算和線段長(zhǎng)度的計(jì)算。根據(jù)教學(xué)實(shí)際，有的數(shù)學(xué)知識(shí)可提出問(wèn)題讓學(xué)生解決，并總結(jié)、概括出一般的結(jié)論或規(guī)律，但有些知識(shí)學(xué)生聽(tīng)講時(shí)，理解起來(lái)都比較困難，就需要老師的講解，此時(shí)恰當(dāng)?shù)奶幚矸绞绞牵合茸寣W(xué)生學(xué)會(huì)，再說(shuō)明道理。這里，兩個(gè)向量垂直的判斷和夾角的計(jì)算，可通過(guò)讓學(xué)生自己做題后總結(jié)出來(lái)；而計(jì)算模則需要老師講解并加以強(qiáng)化：由a2?a?a?a?a?c0o?sa2a?b?a?bcos?，當(dāng)b = a時(shí)，?a?a2.接著演示例題并練習(xí)。

〖例2〗已知a?2,b?3,且a, b夾角是60?，求a?(a?b);a?b.小結(jié)與反思：

以問(wèn)題的形式，來(lái)反饋一節(jié)課的重點(diǎn)是否突出，難點(diǎn)是否突破。

問(wèn)題一：關(guān)于向量的數(shù)量積的概念包括哪些主要內(nèi)容？如何引入的？

問(wèn)題二：說(shuō)出向量數(shù)量積的幾何意義及運(yùn)算律。

問(wèn)題三：用向量的數(shù)量積可解決幾何中的哪三大問(wèn)題？如何解決？ ? 數(shù)量積的概念包括兩個(gè)非零向量的夾角的定義和范圍、數(shù)量積的定義。? 向量數(shù)量積的幾何意義是：a ? b是向量a的模與向量b在向量a方向上的投影的乘積；運(yùn)算律有三條：??。

? 用向量的數(shù)量積可解決幾何中三大問(wèn)題：垂直的判斷、夾角的計(jì)算和求線段長(zhǎng)度。⑴a?b?a?b?0； ⑵cos??a?b2a?a ⑶。a?b；板書(shū)設(shè)計(jì)：整個(gè)板面分成三列，把重點(diǎn)知識(shí)數(shù)量積的定義放在中間顯著位置。由其衍生出來(lái)的幾何意義、運(yùn)算律放在其下面，再把后面的三大問(wèn)題放在中間一列的中間位置；左邊一列，是兩個(gè)向量夾角的相關(guān)概念；右列集中放例題。

教學(xué)記：本節(jié)課的設(shè)計(jì)注重教學(xué)目標(biāo)的明確；注重根據(jù)學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律而科學(xué)地進(jìn)行知識(shí)序列的呈現(xiàn)；注重調(diào)動(dòng)學(xué)生參與教學(xué)活動(dòng)；注重課堂效果的實(shí)效性。高中數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)知識(shí)的來(lái)龍去脈，創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景，建立數(shù)學(xué)模型，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)的形成與應(yīng)用，可以更好的理解數(shù)學(xué)概念、結(jié)論的形成過(guò)程，體會(huì)蘊(yùn)含在其中的思想方法，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的愿望和信心。對(duì)于抽象數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，要關(guān)注概念的實(shí)際背景與形成過(guò)程，幫助學(xué)生克服機(jī)械記憶概念的學(xué)習(xí)方式。教師是學(xué)生學(xué)習(xí)的引導(dǎo)者、組織者，教師在教學(xué)中的作用必須以確定學(xué)生主體地位為前提，教學(xué)過(guò)程中要發(fā)揚(yáng)民主，要鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑，提倡獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、自主探索、閱讀自學(xué)等學(xué)習(xí)方式。對(duì)于教學(xué)中問(wèn)題情境的設(shè)計(jì)、教學(xué)過(guò)程的展開(kāi)、練習(xí)的安排等，要盡可能地讓所有學(xué)生都能主動(dòng)參與，提出各自解決問(wèn)題的方案，并引導(dǎo)學(xué)生在與他人的交流中選擇合適的策略，使學(xué)生切實(shí)體會(huì)到自主探索數(shù)學(xué)的規(guī)律和問(wèn)題解決是學(xué)好數(shù)學(xué)的有效途徑。

第五篇：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示教學(xué)反思.doc范文

《平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角》教學(xué)反思

1、本節(jié)課先是通過(guò)對(duì)相關(guān)知識(shí)的回顧，然后引進(jìn)與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量，進(jìn)一步探索兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示。最后通過(guò)幾個(gè)例題加強(qiáng)學(xué)生對(duì)兩個(gè)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示的理解及其靈活應(yīng)用。課堂結(jié)構(gòu)清晰完整流暢。在教學(xué)中，知識(shí)的回顧，題目的設(shè)計(jì)都圍繞數(shù)量積坐標(biāo)表示展開(kāi)。數(shù)量積公式得出后，啟發(fā)學(xué)生自己動(dòng)手推導(dǎo)出模、夾角的坐標(biāo)表示，回顧了公式的同時(shí)又培養(yǎng)了學(xué)生的推導(dǎo)能力、自主學(xué)習(xí)能力。在與學(xué)生的課堂交流中能傾聽(tīng)學(xué)生的想法，及時(shí)糾正偏差，激發(fā)了學(xué)生自主探究的欲望，較好的提升了學(xué)生的思維能力，對(duì)于學(xué)生在探究過(guò)程中出現(xiàn)的問(wèn)題都能認(rèn)真加以點(diǎn)評(píng)，適時(shí)指出不足與優(yōu)點(diǎn)，對(duì)于學(xué)生的發(fā)現(xiàn)與總結(jié)都能給于很好的評(píng)價(jià)與贊揚(yáng)，讓學(xué)生收到激勵(lì)，保持學(xué)習(xí)的熱情。

2、教學(xué)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)嚴(yán)謹(jǐn)，過(guò)渡自然，時(shí)間分配合理。知識(shí)回顧部分把上節(jié)課的數(shù)量積、夾角、模、垂直、平行的有關(guān)知識(shí)進(jìn)行回顧，每一條知識(shí)點(diǎn)的回顧都是本堂課的新課內(nèi)容。

3、新課引入部分問(wèn)題設(shè)計(jì)合理，但提問(wèn)的字句還需斟酌，要語(yǔ)簡(jiǎn)意賅，如

22思考2中：對(duì)于上述向量i,j，則i,j,i.j分別等于什么？這樣的問(wèn)法覺(jué)的還是太繁瑣，是否可以改為計(jì)算i2,j2,i.j？這樣可能更直接一點(diǎn)。

4、公式的得出，在應(yīng)用之前或者應(yīng)用之后都應(yīng)該對(duì)公式的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行歸納總結(jié)。學(xué)生因?yàn)榻邮苄轮R(shí)，對(duì)公式肯定不是很了解，應(yīng)該要引導(dǎo)學(xué)生分析公式特征及應(yīng)用的注意點(diǎn)。

5、一節(jié)課的知識(shí)與技能是否落實(shí)，難點(diǎn)是否得到突破，是教學(xué)者最為關(guān)心的話題。課堂習(xí)題正是檢驗(yàn)教學(xué)效果的工具。在習(xí)題設(shè)置上，除了覆蓋重難點(diǎn)外，還應(yīng)做到由簡(jiǎn)入深。同時(shí)，在教學(xué)過(guò)程中，通過(guò)舊知生成新知的過(guò)程，采用問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生一步步完成自主探究得到生成，是比較有效的教學(xué)方式。

6、通過(guò)本次公開(kāi)訂，學(xué)到了很多東西，爭(zhēng)取下一次做得更好，另外還需改進(jìn)語(yǔ)言表達(dá)能力，希望課堂氣氛可愉更加活躍。