第一篇：高等數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)部分典型例題解析

高等數(shù)學(xué)（2）概率統(tǒng)計(jì)基礎(chǔ)部分典型例題解析

第1章 隨機(jī)事件與概率

例1 填空題

（1）設(shè)A與B是兩個事件，則P(A)?P(AB)+。

（2）若P(A)?0.4,P(AB)?0.3，則P(A?B)?。

（3）設(shè)A,B互不相容，且P(A)?0，則P(BA)?

。解：（1）因?yàn)?A?AB?AB，且AB與AB互斥 所以 P(A)?P(AB)+P(AB)應(yīng)該填寫： P(AB)（2）因?yàn)?A?AB?AB，P(AB)?P(A)?P(AB)?0.4?0.3?0.1

P(B)?P(AB)?P(AB)?0.1?0.3?0.4

所以

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.4?0.4?0.1?0.7 應(yīng)該填寫：0.7（3）因?yàn)锳,B互不相容，即P(AB)?0 所以 P(BA)?應(yīng)該填寫： 0

例2 單項(xiàng)選擇題

（1）事件A?B又可表示為（）.A.AB

B.AB

C.A?AB

D.AB?AB

（2）擲兩顆均勻的骰子，事件“點(diǎn)數(shù)之和為3”的概率是（）A.***P(AB)P(A)?0

B.C.D.（3）若等式（）成立，則事件A,B相互獨(dú)立。

A.P(A?B)?P(A)?P(B)

B.P(AB)?P(A)P(BA)

C.P(B)?P(BA)

D.P(A)?1?P(B)

（4）設(shè)A與B是相互獨(dú)立的兩個事件，且P(A)?A.1212,P(B)?13，則P(A?B)?（）

B.56

C.23

D.34

解：（1）依定義，事件A?B表示A發(fā)生但B不發(fā)生，因此A?B也可以表示為A?AB.應(yīng)該選擇：C（2）基本事件總數(shù)為36，點(diǎn)數(shù)之和為3的事件有（1，2）和（2，1），即事件數(shù)為2，故“點(diǎn)數(shù)之和為3”的概率是

236?118。

應(yīng)該選擇：B（3）因?yàn)楫?dāng)式子P(B)?P(BA)時，由乘法公式P(AB)?P(A)P(BA)，得

P(AB)?P(A)P(B)

所以事件A,B相互獨(dú)立。應(yīng)該選擇：C（4）因?yàn)锳與B是相互獨(dú)立，所以由加法公式

P(A?B)?P(A)?P(B)?12?13?56。

應(yīng)該選擇：B 例3 A,B為兩事件，已知P(A)?P(A?B)，P(AB)。

12,P(B)?13,P(BA)?12，求P(AB)，解 P(AB)?P(A)P(BA)?12?12?1412

?13?14?712P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?

1P(AB)?P(AB)3?4? 1P(B)43例4 已知兩個事件A，B相互獨(dú)立，且已知P(A)?0.6，P(B)?0.3，求P(A?B)． 解

由P(B)?0.3，得 P(B)?1?P(B)?1?0.3?0.7

所以 P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)

?P(A)?P(B)?P(A)P(B)

?0.6?0.7?0.6?0.7?0.88

例5 設(shè)P(A)?0.5，P(AB)?0.3，求P(BA)．

解

因?yàn)镻(BA)?

P(AB)P(A)

A?A(B?B)?AB?AB

P(A)?P(AB)?P(AB)

P(AB)?P(A)?P(AB)

?0.5?0.3?0.2 P(AB)0.2所以 P(BA)???0.4

P(A)0.5

例6 某籃球運(yùn)動員一次投籃投中籃框的概率為0.8，該運(yùn)動員投籃4次，⑴ 求投中籃框不少于3次的概率； ⑵ 求至少投中籃框1次的概率。

解 設(shè)Ai?{第i次投中}的事件，i?1,2,3,4，P(Ai)?0.8，P(Ai)?0.2相互獨(dú)立（1）投中籃框不少于3次的事件可表為 A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4

其概率為

P(A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4?A1A2A3A4)

=P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)?P(A1A2A3A4)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)?P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=(0.8)4?4?0.2?(0.8)3?0.8192（2）因?yàn)椋痘@4次均未投中的概率為

P(A1A2A3A4)?(0.2)4?0.0016

所以，至少投中籃框1次的概率為

1?P(A1A2A3A4)?1?0.0016?0.9984

第二篇：高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)典型例題

高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)概率統(tǒng)計(jì)典型例題

例1 下列命題：

(1)3，3，4，4，5，5，5的眾數(shù)是5；

(2)3，3，4，4，5，5，5的中位數(shù)是4.5；

(3)頻率分布直方圖中每一個小長方形的面積等于該組的頻率；

(4)頻率分布表中各小組的頻數(shù)之和等于1

以上各題中正確命題的個數(shù)是 [ ]．

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個

分析：回憶統(tǒng)計(jì)初步中眾數(shù)、中位數(shù)、頻數(shù)、頻率等概念，認(rèn)真分析每個命題的真假．

解：(1)數(shù)據(jù)3，3，4，4，5，5，5中5出現(xiàn)次數(shù)最多3次，5是眾數(shù)，是真命題．

(2)數(shù)據(jù)3，3，4，4，5，5，5有七個數(shù)據(jù)，中間數(shù)據(jù)是4不是4.5，是假命題．

(3)由頻率分布直方圖中的結(jié)構(gòu)知，是真命題．

(4)頻率分布表中各小組的頻數(shù)之和是這組數(shù)據(jù)的個數(shù)而不是1，是假命題．

所以正確命題的個數(shù)是2個，應(yīng)選B．

例2 選擇題：

(1)甲、乙兩個樣本，甲的樣本方差是0.4，乙的樣本方差是0.2，那么 [ ]

A．甲的波動比乙的波動大；

B．乙的波動比甲的波動大；

C．甲、乙的波動大小一樣；

D．甲、乙的波動大小關(guān)系不能確定．

(2)在頻率直方圖中，每個小長方形的面積等于 [ ]

A．組距 B．組數(shù)

C．每小組的頻數(shù) D．每小組的頻率

分析：用樣本方差來衡量一個樣本波動大小，樣本方差越大說明樣本的波動越大．

用心 愛心 專心

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解：(1)∵0.4＞0.2，∴甲的波動比乙的波動大，選A．

例3 為了了解中年人在科技隊(duì)伍中的比例，對某科研單位全體科技人員的年齡進(jìn)行登記，結(jié)果如下(單位：歲)

44，40，31，38，43，45，56，45，46，42，55，41，44，46，52，39，46，47，36，50，47，54，50，39，30，48，48，52，39，46，44，41，49，53，64，49，49，61，48，47，59，55，51，67，60，56，65，59，45，28．

列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．

解：按五個步驟進(jìn)行：

(1)求數(shù)據(jù)最大值和最小值：

已知數(shù)據(jù)的最大值是67，最小值是28

∴最大值與最小值之差為67-28=39

(2)求組距與組數(shù)：

組距為5(歲)，分為8組．

(3)決定分點(diǎn)

(4)列頻分布表

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(5)繪頻率分布直方圖：

例4 某校抽檢64名學(xué)生的體重如下(單位：千克)．

列出樣本的頻率分布表，繪出頻率分布直方圖．

分析：對這組數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)整理，一步步按規(guī)定步驟進(jìn)行．

解：(1)計(jì)算最大值與最小值的差：48-29=19(千克)

(2)決定組距與組數(shù)

樣本容量是64，最大值與最小值的差是19千克，如果取組距為2千克，19÷2=9.5，分10組比較合適．

(3)決定分點(diǎn)，使分點(diǎn)比數(shù)據(jù)多取一位小數(shù)，第一組起點(diǎn)數(shù)定為28.5，其它分點(diǎn)見下表．

(4)列頻率分布表．

用心 愛心 專心

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(5)畫頻率分布直方圖(見圖3-1)

說明：

長方形的高與頻數(shù)成正比，如果設(shè)頻數(shù)為1的小長方形的高為h，頻數(shù)為4時，相應(yīng)的小長方形的高就應(yīng)該是4h．

例5 有一個容量為60的樣本，(60名學(xué)生的數(shù)學(xué)考試成績)，分組情況如下表：

(1)填出表中所剩的空格；

(2)畫出頻率分布直方圖．

分析：

用心 愛心 專心

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各組頻數(shù)之和為60

各組頻率之和為1

解：

因?yàn)楦餍〗M頻率之和=1

所以第4小組頻率=1-0.05-0.1-0.2-0.3=0.35

所以第4小組頻數(shù)=0.35×60=第5小組頻數(shù)=0.3×60=18

(2)

例6 某班學(xué)生一次數(shù)學(xué)考試成績的頻率分布直方圖，其中縱軸表示學(xué)生數(shù)，觀察圖形，回答：

(1)全班有多少學(xué)生？

用心 愛心 專心

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(2)此次考試平均成績大概是多少？

(3)不及格的人數(shù)有多少？占全班多大比例？

(4)如果80分以上的成績算優(yōu)良，那么這個班的優(yōu)良率是多少？

分析：根據(jù)直方圖的表示意義認(rèn)真分析求解．

解：(1)29～39分1人，39～49分2人，49～59分3人，59～69分8人，69～79分10人，79～89分14人，89～99分6人．

共計(jì) 1+2+3+8+10+14+6=44(人)

(2)取中間值計(jì)算

(3)前三個小組中有1+2+3=6人不及格占全班比例為13.6%．

(4)優(yōu)良的人數(shù)為14+6=20，20÷44=45.5%．

即優(yōu)良率為45.5%．

說明：頻率分布表比較確切，但直方圖比較直觀，這里給出了直方圖，從圖也可以估計(jì)出一些數(shù)量的近似值，要學(xué)會認(rèn)識圖形．

例7 回答下列問題：

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總是成立嗎？

(2)一組數(shù)據(jù)據(jù)的方差一定是正數(shù)嗎？

總是成立嗎？

(4)為什么全部頻率的累積等于1？

解：(1)證明恒等式的辦法之一，是變形，從較繁的一邊變到較簡單的一邊．這

可見，總是成立．

順?biāo)浦?，我們用類似的方法證明(3)；注意

那么有

(2)對任一組數(shù)x1，x2，?，xn，方差

這是因?yàn)樽匀粩?shù)n＞0，而若干個實(shí)數(shù)的平方和為非負(fù)，那么S2是有可對等于0的

從而x1=x2=?=xn，就是說，除了由完全相同的數(shù)構(gòu)成的數(shù)組以外，任何數(shù)組的方差定為正數(shù)．

用心 愛心 專心

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(4)設(shè)一個數(shù)組或樣本的容量為n，共分為m個組，其頻數(shù)分別為a1，a2，?，am，按規(guī)定，有

a1+a2+?+am=n，而各組的頻率分別a1／n，a2／n，?，am／n，因此，有

說明：在同一個問題里，我們處理了同一組數(shù)據(jù)x1，?，xn有關(guān)的兩個數(shù)組f1，f2，?，fk和a1，a2，?，am，前者是說：在這組數(shù)中，不同的只有k個，而每個出現(xiàn)的次數(shù)分別為f1，?，fk；后者則說明這組數(shù)所占的整個范圍被分成了m個等長的區(qū)間，出現(xiàn)在各個區(qū)間中的xi的個數(shù)分別為a1，?，am，可見，a1，?，an是f1，?fk的推廣，而前面說過的眾數(shù)，不過是其fi最大的那個數(shù)．

弄清研究數(shù)組x1，?，xn的有關(guān)數(shù)和概念間的聯(lián)系與區(qū)別，是很重要的．

例8 回答下列問題：

(1)什么是總體？個體？樣本？有哪些抽樣方法？

(2)反映樣本(或數(shù)據(jù))數(shù)量水平的標(biāo)志值有哪幾個？意義是什么？怎樣求？

(3)反映樣本(或數(shù)據(jù))波動(偏差)大小的標(biāo)志值有哪幾個？怎樣求？有什么區(qū)別？

(4)反映樣本(或數(shù)據(jù))分布規(guī)律的數(shù)量指標(biāo)和幾何對象是什么？獲得的一般步驟是什么？

解：這是一組概念題，我們簡略回答：

(1)在統(tǒng)計(jì)學(xué)里，把要考查對象的全體叫做總體；其中每個考查對象叫個體；從總體中抽出的一部分個體叫做總體的一個樣本；樣本中個體的數(shù)目，叫做樣本的容量．

應(yīng)指出的是，這里的個體，是指反映某事物性質(zhì)的數(shù)量指標(biāo)，也就是數(shù)據(jù)，而不是事物本身，因此，總體的樣本，也都是數(shù)的集合．

抽樣方法通常有三種：隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種，基本原則是：力求排除主觀因素的影響，使樣本具有較強(qiáng)的代表性．

(2)反映樣本(或數(shù)據(jù))數(shù)量水平或集中趨勢的標(biāo)志值有三個，即平均數(shù)、眾數(shù)和中位數(shù)．

有時寫成代換形式；

用心 愛心 專心

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有時寫成加權(quán)平均的形式：

其中，又有總體平均數(shù)(總體中所有個體的平均數(shù))和樣本平均數(shù)(樣本中所有個體的平均數(shù))兩種，通常，我們是用樣本平均數(shù)去估計(jì)總體平均數(shù)．且一般說來，樣本容量越大，對總體的估計(jì)也就越精確．

(ii)眾數(shù)，就是在一組數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．通常采用爬山法或計(jì)票畫“正”法去尋找．(爬山法是：看第一個數(shù)出現(xiàn)次數(shù)，再看第二、三、??有出現(xiàn)次數(shù)比它多的，有，則“爬到”這個數(shù)，再往后看??)．

(iii)中位數(shù)是當(dāng)把數(shù)據(jù)按大小順序排列時，居于中間位置的一個數(shù)或兩個數(shù)的平均，它與數(shù)據(jù)的排列順序有關(guān)．

此外，還有去尾平均(去掉一個最高和一個最低的，然后平均)、總和等，也能反映總體水平．

(3)反映樣本(數(shù)據(jù))偏差或波動大小的標(biāo)志值有兩個：

(ii)標(biāo)準(zhǔn)差：一組數(shù)據(jù)方差的平方根：

標(biāo)準(zhǔn)差有兩個優(yōu)點(diǎn)，一是其度量單位與原數(shù)據(jù)一致；二是緩解S2過大或過小的現(xiàn)象．方差也可用代換式簡化計(jì)算：

(4)反映數(shù)據(jù)分布規(guī)律的是頻率分布和它的直方圖，一般步驟是：

(i)計(jì)算極差=最大數(shù)-最小數(shù)；

用心 愛心 專心

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(iii)決定分點(diǎn)(可用比數(shù)據(jù)多一位小數(shù)的辦法)；

(v)畫頻率分布直方圖．

其中，分布表比較確切，直方圖比較直觀．

說明：此例很“大”，但是必要的，因?yàn)?，?dāng)前大多數(shù)的中考題，很重視基本內(nèi)容的表述，通過“填空”和“選擇”加以考查，我們要予以扎實(shí)．而更為重要的，這些概念和方法，正是通過偶然認(rèn)識必然，通過無序把握有序，通過部分估計(jì)整體的統(tǒng)計(jì)思想在數(shù)學(xué)中的實(shí)現(xiàn)．

用心 愛心 專心

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第三篇：高等數(shù)學(xué)經(jīng)典方法與典型例題歸納

2014年山東省普通高等教育專升本考試

2014年山東專升本暑期精講班核心講義

高職高專類

高等數(shù)學(xué)

經(jīng)典方法及典型例題歸納

—經(jīng)管類專業(yè)：會計(jì)學(xué)、工商管理、國際經(jīng)濟(jì)與貿(mào)易、電子商務(wù) —理工類專業(yè)：電氣工程及其自動化、電子信息工程、機(jī)械設(shè)計(jì)制造及其自動化、交通運(yùn)輸、計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)、土木工程

2013年5月17日星期五

曲天堯

編寫

一、求極限的各種方法

1．約去零因子求極限

x4?1例1：求極限lim

x?1x?1【說明】x?1表明x與1無限接近，但x?1，所以x?1這一零因子可以約去。

(x?1)(x?1)(x2?1)?lim(x?1)(x2?1)?6=4 【解】limx?1x?1x?12．分子分母同除求極限

x3?x2例2：求極限lim

x??3x3?1【說明】?型且分子分母都以多項(xiàng)式給出的極限,可通過分子分母同除來求。?1?1x3?x21x【解】lim ?lim?x??3x3?1x??3?13x3【注】(1)一般分子分母同除x的最高次方；

??0nn?1ax?an?1x???a0????

(2)limnmm?1x??bx?b???b0?amm?1xn??bnm?nm?n m?n3．分子(母)有理化求極限

例3：求極限lim(x?3?x???2x2?1)

【說明】分子或分母有理化求極限，是通過有理化化去無理式。【解】lim(x?3?x???2x?1)?lim2(x2?3?x2?1)(x2?3?x2?1)x?3?x?122x???

?lim2x?3?x?122x????0

例4：求極限limx?01?tanx?1?sinx 3x2 【解】limx?01?tanx?1?sinxtanx?sinx ?limx?03x3x1?tanx?1?sinx1lim?limx?0tanx?sinx1tanx?sinx1?lim? 33x?0x?024xx1?tanx?1?sinx【注】本題除了使用分子有理化方法外，及時分離極限式中的非零因子是解題的關(guān)鍵 ．．．．．．．．．．．4．應(yīng)用兩個重要極限求極限

sinx11?1和lim(1?)x?lim(1?)n?lim(1?x)x?e，兩個重要極限是lim第一個x?0x??n??x?0xxn重要極限過于簡單且可通過等價(jià)無窮小來實(shí)現(xiàn)。主要考第二個重要極限。

x1?x?1?例5：求極限lim??

x???x?1??【說明】第二個重要極限主要搞清楚湊的步驟：先湊出１，再湊?1，最后湊指數(shù)部分。X2x?11??xx22?1??2?2??x?1??2?????lim1??lim1?1??e【解】lim? ?????x?1????x???x?1x???x???x?1?x?1?????2??????1???x?2a?例6：(1)lim?1?2?；(2)已知lim???8，求a。

x???x????x??x?a?xx5．用等價(jià)無窮小量代換求極限

【說明】

(1)常見等價(jià)無窮小有：

1?x)~e?1, 當(dāng)x?0 時,x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1?cosx~12bx,?1?ax??1~abx； 2x(2)等價(jià)無窮小量代換,只能代換極限式中的因式； ．．(3)此方法在各種求極限的方法中應(yīng)作為首選。．．．．．xln(1?x)?

x?01?cosxxln(1?x)x?x【解】 lim?lim?2.x?01?cosxx?012x2sinx?x例8：求極限lim

x?0tan3x例7：求極限lim

2?1sinx?xsinx?xcosx?112x【解】lim ?lim?lim??lim??322x?0tan3xx?0x?0x?06x3x3x6．用洛必達(dá)法則求極限

lncos2x?ln(1?sin2x)例9：求極限lim 2x?0x?0或型的極限,可通過羅必塔法則來求。?0?2sin2xsin2x?2lncos2x?ln(1?sin2x)cos2x1?sinx 【解】lim?lim2x?0x?0x2x【說明】?limsin2x??21??????3 2x?02x?cos2x1?sinx?【注】許多變動上顯的積分表示的極限，常用洛必達(dá)法則求解

?例10：設(shè)函數(shù)f(x)連續(xù)，且f(0)?0，求極限limx?0x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dt.【解】 由于?x0f(x?t)dt?x?t?u0?xf(u)(?du)??f(u)du,于是

0xx00xlimx?0?x0(x?t)f(t)dtx0x?f(x?t)dtx?limx?0x?f(t)dt??tf(t)dtx?f(u)du0x

?=limx?00f(t)dt?xf(x)?xf(x)?x=limx?0??x0x0f(t)dt

0f(u)du?xf(x)xf(u)du?xf(x)?=limx?00f(t)dtxx?f(x)=?x0f(u)duf(0)1?.f(0)?f(0)27．用對數(shù)恒等式求limf(x)g(x)極限

例11：極限lim[1?ln(1?x)]

x?02x2ln[1?ln(1?x)]x2x【解】 lim[1?ln(1?x)]=limex?0x?0=e4

2ln[1?ln(1?x)]x?0xlim?e2ln(1?x)x?0xlim?e2.【注】對于1型未定式limf(x)?g(x)的極限，也可用公式

limf(x)g(x)(1?)=elim(f(x)?1)g(x)

因?yàn)?/p>

limf(x)g(x)?elimg(x)ln(f(x))?elimg(x)ln(1?f(x)?1)?elim(f(x)?1)g(x)

1例12：求極限lim3x?0x??2?cosx?x?????1?.3???????2?cosx?xln??3??【解1】 原式?limx?0ex3?2?cosx?ln???13?? ?limx?0x21（??sinx）l（n2?cox）s?ln32?coxs

?lim ?lim2x?0x?0x2x11sixn1???

??lim2x?02?coxsx6e?2?cosx?xln??3??【解2】 原式?limx?0x3?2?cosx?ln???13?? ?lim2x?0xln（1?

?limx?0cosx?1）cosx?113?lim?? x?03x26x28．利用Taylor公式求極限

ax?a?x?2,(a?0).例13 求極限 lim2x?0xx22?1?xlna?lna??(x2)，2【解】 a?exxlna

a?xx22?1?xlna?lna??(x2);

2?x

a?ax?2?x2ln2a??(x2).5 ax?a?x?2x2ln2a??(x2)2?lim?lna.?

lim22x?0x?0xx例14 求極限limx?0【解】 limx?011(?cotx).xx111sinx?xcosx(?cotx)?lim x?0xxxxsinxx3x23x???(x)?x[1???(x2)]3!2!?lim 3x?0x113?)x??(x3)1?lim2!3!3?x?0x3.(9．?dāng)?shù)列極限轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限求解

例15：極限lim?nsin??n???1?? n?n2【說明】這是1形式的的數(shù)列極限，由于數(shù)列極限不能使用洛必達(dá)法則，若直接求有一定難度，若轉(zhuǎn)化成函數(shù)極限，可通過7提供的方法結(jié)合羅必塔法則求解。

1??【解】考慮輔助極限lim?xsin?x???x??x2?limex???1??x2?xsin?1?x???lime?y?0?1?1?siny?1??2?yy???e

?161??所以，lim?nsin?n??n??n2?e

?1610．n項(xiàng)和數(shù)列極限問題

n項(xiàng)和數(shù)列極限問題極限問題有兩種處理方法(1)用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分來計(jì)算;(2)利用兩邊夾法則求極限.?111????例16：極限lim?22n???n2?22n2?n2?n?1?? ??【說明】用定積分的定義把極限轉(zhuǎn)化為定積分計(jì)算,是把f(x)看成［0,1］定積分。6 1??1?lim?f???n??n???n??2?f??????n?1?n??f????f(x)dx ??0?n????1?111????【解】原式＝lim?222n??n??1??2??n?1???1????1???nn?????n?????? ?????1012?1 dx??ln222?11?x?? ??1?111????例17：極限lim?2n???n2?2n2?n?n?1【說明】(1)該題遇上一題類似，但是不能湊成lim因而用兩邊夾法則求解；

1??1??f???n??n???n??2?f??????n??n??的形式，f?????n??

(2)兩邊夾法則需要放大不等式，常用的方法是都換成最大的或最小的。【解】lim??111????2n???n2?2n2?n?n?1?? ??因?yàn)? nn?n2?n1n?12?1n?2nn?122???1n?n2?nn?12

又

limn??n?n2?limn???1

??＝１ ???111????所以 lim?2n???n2?2n2?n?n?111．單調(diào)有界數(shù)列的極限問題

例18：設(shè)數(shù)列?xn?滿足0?x1??,xn?1?sinxn(n?1,2,?)（Ⅰ）證明limxn存在，并求該極限；

n??1?xn?1?xn2（Ⅱ）計(jì)算lim??.n???xn?

【分析】 一般利用單調(diào)增加有上界或單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限的準(zhǔn)則來證明數(shù)列極限的存在.7 【詳解】

（Ⅰ）因?yàn)??x1??，則0?x2?sinx1?1??.可推得 0?xn?1?sinxn?1??,n?1,2,?，則數(shù)列?xn?有界.于是 xn?1sinxnsinx?x）（因當(dāng)x?0時，則有xn?1?xn，可見數(shù)列?xn?單??1，xnxnn??調(diào)減少，故由單調(diào)減少有下界數(shù)列必有極限知極限limxn存在.設(shè)limxn?l，在xn?1?sinxn兩邊令n??，得 l?sinl，解得l?0，即limxn?0.n??n??11?x?（Ⅱ）因 lim?n?1?n???xn?122xn?sinxn?xn2?，由（Ⅰ）知該極限為1型，?lim??n???xn?1?1??sinx?1?2xx??sinx?x2?1?xlimsinxe???lim?x?0??xx?0?1?lime?x?0x3?e

(使用了洛必達(dá)法則)

?16?x?故 lim?n?1?n???xn?2xn1??sinxn?xn2?lim??e6.?n???xn?1

二、常見不定積分的求解方法的討論

0.引言

不定積分是《高等數(shù)學(xué)》中的一個重要內(nèi)容，它是定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關(guān)積分的函數(shù)的基礎(chǔ)，要解決以上問題，不定積分的問題必須解決，而不定積分的基礎(chǔ)就是常見不定積分的解法。不定積分的解法不像微分運(yùn)算時有一定的法則，它要根據(jù)不同題型的特點(diǎn)采用不同的解法，積分運(yùn)算比起微分運(yùn)算來，不僅技巧性更強(qiáng)，而且也已證明，有許多初等函數(shù)是“積不出來”的，就是說這些函數(shù)的原函數(shù)不能用初等函數(shù)來表示，例如

?1sinx2?xdxdxedx?22?1?ksinx（其中0?k?1）x；；?；lnx等。dx這一方面體現(xiàn)了積分運(yùn)算的困難，另一方面也推動了微積分本身的發(fā)展。同時，同一道題也可能有多種解法，多種結(jié)果，所以，掌握不定積分的解法比較困難，下面將不定積分的各種求解方法分類歸納，以便于更好的掌握、運(yùn)用。

1.不定積分的概念

定義：在某區(qū)間I上的函數(shù)的全體原函數(shù)記為

稱它是函數(shù)

f(x)，若存在原函數(shù)，則稱f(x)為可積函數(shù)，并將f(x)?f(x)dx，為積分符號，ff(x)在區(qū)間I內(nèi)的不定積分，其中?(x)稱為被積函數(shù)，x稱為積分變量。

若F(x)為f(x)的原函數(shù)，則：

?f(x)dx=F(x)+C(C為積分常數(shù))。

在這里要特別注意，不定積分是某一函數(shù)的全體原函數(shù)，而不是一個單一的函數(shù)，它的幾何意義是一簇平行曲線，也就是說：

d(?f(x)dx)和 dx?f?(x)dx

是不相等的，前者的結(jié)果是一個函數(shù)，而后者是無窮多個函數(shù)，所以，在書寫計(jì)算結(jié)果時一定不能忘記積分常數(shù)。性質(zhì)：

1.微分運(yùn)算與積分運(yùn)算時互逆的。

注：積分和微分連在一起運(yùn)算時：

d?——————>完全抵消。

?d ——————>抵消后差一常數(shù)。

?[f(x)?g(x)]dx=?f(x)dx±?g(x)dx。2.兩函數(shù)代數(shù)和的不定積分，等于它們各自積分的代數(shù)和，即：3.在求不定積分時，非零數(shù)可提到積分符號外面，即：

?kf(x)dx=k?f(x)dx(k≠0)。

在這里，給出兩個重要定理：

(1)導(dǎo)數(shù)為0的函數(shù)是常函數(shù)。

(2)若兩函數(shù)的導(dǎo)數(shù)處處相等，則兩函數(shù)相差一個常數(shù)。以便于更好的解決一些簡單的不定積分問題。

上面將不定積分的概念以及性質(zhì)做了簡單的介紹，下面，我們開始討論不定積分的各種求解方法。

2.直接積分法(公式法)從解題方面來看，利用不定積分的定義來計(jì)算不定積分是非常不方便的，利用不定積分的運(yùn)算性質(zhì)和基本積分公式從而直接求出不定積分，這種方法就是直接積分法(另稱公式法)。

下面先給出基本求導(dǎo)公式：

???1()'??x(1)(kx)'?k

(2)x(3)(5)

11(lnx)'?

(4)(arctanx)'?1?x2 x11(arcsinx)'?(x)'?(6)logaxlna1?x

(7)(9)(11)(ex)'?ex

(8)(sinx)'?cosx

(cosx)'??sinx

(10)(tanx)'?sec2x

(cotx)'??csc2x。

根據(jù)以上基本求導(dǎo)公式，我們不難導(dǎo)出以下基本積分表：

10(1)?xdx?kdx?kx?C(k是常數(shù))

(2)?x???1??1?C(???1)

(3)

1dx?x?lnx?C

(4)?1?x2dx?arctanx?C

1(5)1?x2xdx?arcsinx?C

(6)

ax?adx?lna?C

x(7)xdx?e?C

(8)?cosxdx?sinx?C

?e2sinxdx??cosx?C

(10)secxdx?tanx?C

?2csc?xdx??cotx?C。(9)

?(11)下面舉例子加以說明：

2(3x?4x?1)dx 例2.1：

求?解

原式=

=

23x?dx??4xdx??dx

3?x2dx?4?xdx??dx

32xx3(?)?4(?C2)?(x?C3)C

1=

=32x?2x?x?C

注意：這里三個積分常數(shù)都是任意的，故可寫成一個積分常數(shù)。所以對一個不定積分，只要在最后所得的式子中寫上一個積分常數(shù)即可，以后遇到這種情況不再說明。

例2.2：

求?xdx 2x?12dx(x2?1)?1dx=?dx??2解

原式=? 2x?1x?1

=x?arctanx?C

注：此處有一個技巧的方法，這里先稱作“加1減1”法，相當(dāng)于是將多項(xiàng)式拆分成多個單項(xiàng)式，然后利用基本積分公式計(jì)算，下面的例題中還會遇到類似的題型，遇到時具體 11 講解。

直接積分法只能計(jì)算較簡單的不定積分，或是稍做變形就可用基本積分表解決的不定積分，對于稍微復(fù)雜一點(diǎn)的不定積分便無從下手，所以，下面我們將一一討論其他方法。

3.第一類換元法(湊微法)利用基本積分公式和積分性質(zhì)可求得一些函數(shù)的原函數(shù)，但只是這樣遠(yuǎn)不能解決問題，如

?sinxcosxdx

2就無法求出，必須將它進(jìn)行變形，然后就可以利用基本積分公式求出其積分。

如果不定積分

作變量代換u?f(x)dx用直接積分法不易求得，但被積函數(shù)可分解為

f(x)?g[?(x)]??(x)，??(x)，并注意到??(x)dx?d?(x)，則可將關(guān)于變量x的積分轉(zhuǎn)化為關(guān)于u的積分，于是有

?f(x)dx??g[?(x)]??(x)dx??g(u)du.如果?g(u)du可以求出，不定積分?f(x)dx的計(jì)算問題就解決了，這就是第一類

?(x)?u，最后一個等號表示回代換元法(湊微分法)。

注：上述公式中，第一個等號表示換元u??(x).下面具體舉例題加以討論

10dx.(2x?1)例3.1：求?110(2x?1)?dx(2x?1)解

原式=?2110d(2x?1)(2x?1)

=?2

1101u111du???C(2x?1)?C 2x?1?u ?u u?2x?1

22221111對變量代換比較熟練后，可省去書寫中間變量的換元和回代過程。

1d(x).例3.2：求?2x?8x?25解

原式??111?d(x)d(x)22?2x?43(x?4)?9()?11?3?1x?4d()23x?4()?13

1x?4?arctan?C 33 dx例3.3：求?1?x211111??(?)解

? 21?x(1?x)(1?x)21?x1?x11d(1?x)d(1?x)?[???]

??21?x21?x1?x

?1[ln1?x?ln1?x]?C 2

11?x?ln?C 21?x3

dx在這里做一個小結(jié)，當(dāng)遇到形如：?ax2?bx?c的不定積分，可分為以下中情況：

??ax2?bx?c的：

①?大于0時?？蓪⒃交癁?x?x1)(x?x2)，2a其中，x、x為x?bx?c?0的兩個解，則原不定積分為： 113 dx1d(x?x1)d(x?x2)?(x?x1)(x?x2)?(x2?x1)[?(x?x1)??(x?x2)]

1x?x1?ln?C

(x2?x1)x?x2

②?等于0時?？衫猛耆椒焦剑缓罂苫?(x?k)?2d(x?k)。然后根據(jù)?小于0時。形如例4，可先給分母進(jìn)行配方。然后可根據(jù)基本積分公式(4)便可求基本微分公式(2)便可求解。

③解。例3.4： 求?secxdx

dxcosxdxdsinx????1?sin2x 2cosxcosx解

原式??

dsinx??(1?sinx)(1?sinx)

1dsinxdsinx?[???]

2(1?sinx)(1?sinx)

11?sinx?ln?C 21?sinx2

該題也可利用三角函數(shù)之間的關(guān)系求解：

x?secxtanxsecdx

原式??secx?tanx

1??d(secx?tanx)secx?tanx

?lnsecx?tanx?C.雖然兩種解法的結(jié)果不同，但經(jīng)驗(yàn)證均為secx的原函數(shù)，這也就體現(xiàn)了不定積分的2xdx.cos例3.5：求?解法以及結(jié)果的不唯一性。

解

1?cos2x1?cosxdx??2dx?2(?dx??cos2xdx)2

?11dx?cos2xd(2x)??24xsin2x???C 24例3.6：求6sec?xdx.6解

22xdx?secsec??(secx)xdx??(1?tan2x)d(tanx)

24??(1?2tanx?tanx)d(tanx)

2315?tanx?tanx?tanx?C

35注：當(dāng)被積函數(shù)是三角函數(shù)的乘積時，拆開奇次項(xiàng)去湊微分。當(dāng)被積函數(shù)為三角函數(shù)的偶數(shù)次冪時，常用半角公式通過降低冪次的方法來計(jì)算；若為奇次，則拆一項(xiàng)去湊微，剩余的偶次用半角公式降冪后再計(jì)算。

xdx.100例3.7：求?(x?1)x?1?1dx?解

原式?(x?1)100 22x?11??[?]dx

99100

(x?1)(x?1)x?1?21??[?]dx

99100

(x?1)(x?1)121??[??]d(x?1)9898100(x?1)(x?1)(x?1)15 111?97?98??(x?1)?(x?1)?(x?1)?99?C 974999注：這里也就是類似例2所說的方法，此處是“減1加1”法。

4.第二類換元法

如果不定積分替換?f(x)dx用直接積分法或第一類換元法不易求得，但作適當(dāng)?shù)淖兞縳??(t)后，所得到的關(guān)于新積分變量t的不定積分

?f[?(t)]??(t)dt

可以求得，則可解決設(shè)函數(shù)?f(x)dx的計(jì)算問題，這就是所謂的第二類換元(積分)法。

x??(t)是單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù)，且??(t)?0，又設(shè)f[?(t)]??(t)具有原F(t)，則

?f(x)dx??f[?(t)]??(t)dt?F(t)?C?F[?(x)]?C，其中?(x)是x??(t)的反函數(shù)。

注：由此可見，第二類換元積分法的換元與回代過程與第一類換元積分法的正好相反。例4.1：求不定積分

?22a?xdx(a?0).解

令2x?asint，則dx?acostdt，t?(??2,?2)，所以

22a(1?cos2t)dt ?2?221aa?(t?sin2t)?C?(t?sintcots)?C

222為將變量t還原回原來的積分變量x，由x?asint作直角三角形，可知a?xdx??acost?acostdt?cost?22a?x，代入上式，得 a?

xxa22?arcsin????C ax?dxax2a22216

2a t 22a?x x 注：對本題，若令x?acost，同樣可計(jì)算。

例4.2：求不定積分

?1x?a22dx(a?0).2x?atantdx?att?(??2,?2)，所以 解

令，則sectd，?12dx??atdt??sectdt sec22asectx?a ?lnsect?tant?C1

22?lnx??xa?C

例4.3：求不定積分

?122x?adx(a?0).解

令x?asect，則dx?asect?tantdt，t?(0,?2)，所以

1?asect?tantdx?dt??sectdt 22atantx?a

?lnsect?tant?C1

22?lnx???C xa

注：以上幾例所使用的均為三角代換，三角代換的目的是化掉根式，其一般規(guī)律如下：若果被積函數(shù)中含有函數(shù)中含有

22a?x時，可令x?asint，t?(??2,?2)；如果被積22x?a，可令x?atant，t?(??2,?2)；如果被積函數(shù)中含有22x?a；可令x??asect，t?(0,?2).dx例4.4：求不定積分?x?xe?ex

dtdx?解

令t?e(t?0)，則x?lnt，所以，t。

dx??ex?e?x

11??tdt?dt

211?tt?t??arctatn?C

x?arcta?C.en

例4.5：求不定積分

?xdx2?3x2.解

?1dx2??222?3x2?3x2xdx(變形).222?t222??tdt ?令t?2?3x(t?0)，? x.dx33111122??2?3??dt?(?tdt)x?C 原式??32t33關(guān)于第二類換元法，就舉些例子說明，具體要多做大量的習(xí)題，這樣才能找到該怎么樣換元的感覺，才能更好的掌握這種方法。

5.分部積分法

前面所介紹的換元積分法雖然可以解決許多積分的計(jì)算問題，但有些積分，如xxe?dx、?xcosxdx等，利用換元法就無法求解.接下來要介紹另一種基本積分法——分部積分法.設(shè)函數(shù)u?u(x)和v?v(x)具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則d(uv)?vdu?udv移項(xiàng)得到udv?d(uv)?vdu，所以有

?udv?uv??vdu，或

?uv?dx?uv??u?vd.上面兩個式子稱為分部積分公式.利用分部積分公式求不定積分的關(guān)鍵在于如何將所給積分

?f(x)dx化成?udv的形式，使它更容易計(jì)算.所采用的主要方法就是湊微分法，例如，xxxxxxexdx?xxd?x?dx?x??C?(x?1)?Ceeeeee???

利用分部積分法計(jì)算不定積分，選擇好u,v非常關(guān)鍵，選擇不當(dāng)將會使積分的計(jì)算變得更加復(fù)雜。下面將通過例題介紹分部積分法的應(yīng)用。

例5.1：求不定積分解

令

?xcosxdx.u?x，cosxdx?dsinx?dv，則

?xcosxdx??xdsinx?xsinx??sinxdx?xsinx?cosx?C

有些函數(shù)的積分需要連續(xù)多次應(yīng)用分部積分法。

例5.2：求不定積分

?x2edx.xx2dv?u?解

令edx，則 x和

xx?xd?2xdxeedx.?xe2x?對后面的不定積分再用分部積分法，xxxx?xd?x??C xdxeeee??(運(yùn)算熟練后，式子中不再指出u和v了)，代入前式即得

2xdx?(?2x?2)?C.xexe?2x注：若被積函數(shù)是冪函數(shù)(指數(shù)為正整數(shù))與指數(shù)函數(shù)或正(余)弦函數(shù)的乘積，可設(shè)冪函數(shù)為u，而將其余部分湊微分進(jìn)入微分符號，使得應(yīng)用分部積分公式后，冪函數(shù)的冪次降低一次(冪指相碰冪為u)。

例5.3：求不定積分

?xarctan2xdx2.xxdx?dn，解

令u?arctax2,則

2?xarctanxdx?

xarctanx?xd(arctanx)?22211x?arctanx???(1?)dx

2221?x21x?arctaxn?(x?arctax)n?C

2注：若被積函數(shù)是冪指函數(shù)與對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)的乘積,可設(shè)對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)為u，而將冪函數(shù)湊微分進(jìn)入微分號，使得應(yīng)用分部積分公式后，對數(shù)函數(shù)或反三角函數(shù)消失(冪對角(反三角函數(shù))，對角u).xsinxdx.e例5.4：求不定積分?xsinxdx?sinxde(取三角函數(shù)為u)?e?x解

?exsinx??exd(sinx)?exsinx??excosxdx

?exsinx??cosxdex(再取三角函數(shù)為u)?exsinx?(excosx??exdcosx)?ex(sinx?cosx)??exsinxdx

x

解得

ex?esinxdx?2(sinx?cosx)?C

注：若被積函數(shù)是指數(shù)函數(shù)與正(余)弦函數(shù)的乘積時，u,dv可隨意選取，但在兩次分部積分中，必須選用同類型的u，以便經(jīng)過兩次分部積分后產(chǎn)生循環(huán)式，從而解出所求積分 20(指正余，隨意選).下面將分部積分法關(guān)于u,dv的選擇總結(jié)成一個表，以便于更好學(xué)習(xí)，如下：

分類 I

II

III 不定積分類型 u和??的選擇

?p(x)sinxdx

nu?pn(x),???sinx

u?pn(x),???cosx ?p(x)cosxdx

n

xp(x)edx n?

u?pn(x),???ex

?p(x)lnxdx

nu?lnx,???pn(x)u?arcsinx,???pn(x)?p(x)arcsinxdx

n?p(x)arccosxdx

nu?arccosx,???pn(x)

u?arctanx,???pn(x)?p(x)arctannxdx

xe?sinxdx xe?cosxdx

u?sinx,???ex或u?ex,???sinx u?cosx,???ex或u?ex,???cosx

6.結(jié)論

上面所介紹的都是常見不定積分的求解方法，根據(jù)不同的題的特點(diǎn)采取上述不同的方法，好多題要經(jīng)過適當(dāng)變形后才能應(yīng)用上述方法，有的題經(jīng)過不同的變形，應(yīng)用不同的方法，計(jì)算結(jié)果就會不同。因此，不定積分的計(jì)算靈活性很強(qiáng)，必須熟練掌握上述方法，而這就與做大量的練習(xí)是密不可分了，題做得多了，自己也就會積累更多的經(jīng)驗(yàn)，這樣解起題來才能得心應(yīng)手，才能熟練自如的應(yīng)用，而且，定積分、廣義積分、狹積分、重積分、曲線積分以及各種有關(guān)積分的函數(shù)的各種問題也能迎刃而解。

曲天堯

2013年5月17日于濟(jì)南

山東財(cái)經(jīng)大學(xué)（燕山校區(qū)）

第四篇：應(yīng)用統(tǒng)計(jì)典型例題

關(guān)于矩估計(jì)與極大似然估計(jì)的典型例題 例1，設(shè)總體X 具有分布律

23??1X~???22?(1??)(1??)2??

??其中0???1為未知參數(shù)。已經(jīng)取得了樣本值x1?1,x2?2,x3?1，試求參數(shù)?的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)。

解：（i）求矩估計(jì)量，列矩方程（只有一個未知參數(shù)）

E(X)??2?2?2?(1??)?3?(1??)2?3?2??X 43?3?X3?x53??? 得 ?矩?2226（ii）求極大似然估計(jì)，寫出似然函數(shù)，即樣本出現(xiàn)的概率

L(?)?P(X1?x1,X2?x2,X3?x3)

?P(X1?1,X2?2,X3?1)

?P(X1?1)?P(X2?2)?P(X3?1)??2?2?(1??)??2?2?5(1??)

對數(shù)似然

lnL(?)?ln2?5ln??ln(1??)

dlnL(?)51???0 d??1??得極大似然估計(jì)為

5??極? 6

例2，某種電子元件的壽命（以

h記）X服從雙參數(shù)指數(shù)分布，其概率密度為

?1?exp[?(x??)/?],x??f(x)???

?0,其他?其中?，??0均為未知參數(shù)，自一批這種零件中隨機(jī)抽取n件進(jìn)行壽命試驗(yàn)，xx,?,xn.設(shè)它們的失效時間分別為1,2（1）求（2）求?，?的最大似然估計(jì)量； ?，?的矩估計(jì)量。

n解：（1）似然函數(shù)，記樣本的聯(lián)合概率密度為

L(?，?)?f(x1,x2,?,xn;?，?)??f(xi)

i?1?n1??exp[?(xi??)/?],x1,x2,?,xn????i?1? ?0,其他?n?1?nexp(?(?xi?n?)/?),??x(1)???i?1 ?0,??x(1)?在求極大似然估計(jì)時，L(?，?)?0肯定不是最大值的似然函數(shù)值，不考

n慮這部分，只考慮另一部分。

取另一部分的對數(shù)似然函數(shù)

lnL(?,?)??nln??(?xi?n?)/?,??x(1)

i?1

n?xi?n????lnL(?,?)ni?1?????02????? ??lnL(?,?)n??0?????可知關(guān)于?，?的駐點(diǎn)不存在，但能判定單調(diào)性

?lnL(?,?)n??0知 由???lnL(?,?)??nln??(?xi?n?)/?,??x(1)，i?1n關(guān)于?是增函數(shù)，故

?極?x(1)??lnL(?,?)n???將之代入到????x?n?ii?1n?2?0中得

??極?x?x(1)

????x?則極(1)，極?x?x(1)一定能使得似然函數(shù)達(dá)到最大，故?，?的極大似然估計(jì)為

????極?x?x(1)? ???x??極(1)

（2）列矩方程組（兩個未知參數(shù)）

??1?E(X)??xexp[?(x??)/?]dx?????X?????n??2112222?E(X)?xexp[?(x??)/?]dx?(???)????Xi????ni?1?解出

n?12???(X?X)?矩?ini?1??1n??2??X?(X?X)?i?矩ni?1? 例3，設(shè)總體X~U[0,?]，其中??0為未知參數(shù)，X1,X2,?,Xn為來自總體X的一組簡單隨機(jī)樣本，12大似然估計(jì)。

解：似然函數(shù)，即樣本的聯(lián)合概率密度

nx,x,?,xn為樣本觀察值，求未知參數(shù)?的極

?1?n,0?x1,x2,?,xn??L(?)?f(x1,x2,?,xn;?)??f(xi)??? i?1??0,elseL(?)?0肯定不是最大值，考慮另一部分的最大值，取對數(shù)似然

lnL(?)??nln?,??x(n)

dlnL(?)n???0 d??知lnL(?)??nln?在??x(n)內(nèi)是單調(diào)遞減的，故?的極大似然估計(jì)值為

取x(n)能使得似然函數(shù)達(dá)到最大，則???x，極大似然估計(jì)量為???X ?(n)(n)極極

第五篇：比熱容 典型例題解析

比熱容

典型例題解析

【例1】下列說法正確的是

[

] A．質(zhì)量相同的水和煤油，吸收相同的熱量后，煤油溫度升高的比水大

B．一杯水倒出一半后其質(zhì)量減小為原來的小為原來的1212，則其比熱容也減

C．質(zhì)量相同，溫度相同，吸收熱量多的物質(zhì)比熱容大 D．比熱容大的物質(zhì)吸收的熱量一定多

解析：根據(jù)比熱容是物質(zhì)的一種性質(zhì)，與物質(zhì)的種類、物態(tài)有關(guān)，而與質(zhì)量、體積、溫度的變化及吸收或放出熱量的多少無關(guān)，所以選項(xiàng)B和C都不對．又根據(jù)比熱的物理意義可知，在質(zhì)量相同、溫度升高的度數(shù)相同時，比熱容大的物質(zhì)吸收的熱量較多，而D選項(xiàng)中缺少條件，所以D不正確．由于水的比熱大于煤油的比熱容，根據(jù)上面分析可知A正確．

【例2】冬天，暖氣系統(tǒng)中往往用熱水慢慢地流過散熱器，利用水溫度降低時放出的熱來取暖，其中選用熱水而不選用其他液體的主要原因是

[

] A．水比其他液體流動性大 B．水比其他液體價(jià)格便宜 C．水比其他液體的比熱容大

D．水比其他液體來源廣、無污染

解析：水的比熱容是比較大的，其他液體的比熱容都比水的比熱容?。绻馁|(zhì)量和其他液體質(zhì)量相同，溫度變化相同時，比熱容較大的水放出的熱量多，取暖效果好．

【例3】0℃的水全部凝固成0℃的冰，則

[

] A．冰的熱量少

B．0℃的冰比0℃的水溫度低 C．水的熱量少

D．冰的比熱容比水小

點(diǎn)撥：一般在物質(zhì)發(fā)生物態(tài)變化時，由于物質(zhì)的內(nèi)部結(jié)構(gòu)發(fā)生了改變，物質(zhì)的比熱容特性、密度特性也會相應(yīng)地變化．

參考答案：D 【例4】在夏日陽光照射下，游泳池中的水較清涼，而池邊的水泥地卻被曬得燙人，其中一個重要原因是

[

] A．水泥地比較大 B．水的比熱容較大 C．水的比熱容較小 D．水泥地的熱量多

點(diǎn)撥：水的比熱容較大，質(zhì)量初溫相同的水和水泥地面在吸收相同的熱量后，水的溫度升高較?。?/p>

參考答案：B

跟蹤反饋

1．關(guān)于比熱容，下列說法正確的是

A．物質(zhì)的比熱容跟它吸收的熱量有關(guān) B．物質(zhì)的比熱容跟濕度有關(guān)

C．物質(zhì)的比熱容跟它放出的熱量有關(guān) D．物質(zhì)的比熱容是物質(zhì)本身的一種特性

2．沙漠地區(qū)為什么會有“早穿皮襖午披紗”的奇特現(xiàn)象．參考答案

1．D 2．沙石的比熱容小

[

]