第一篇：九年級數(shù)學(xué)一元二次方程教學(xué)案例

一元二次方程教學(xué)課例

主題詞：一元二次方程 生活實際 探究歸納 合作學(xué)習(xí)案例摘要

學(xué)習(xí)方法是《新課標(biāo)》的靈魂。知識是學(xué)生學(xué)習(xí)的階段性目標(biāo)，學(xué)習(xí)方法才是學(xué)生終生受益的長遠目標(biāo)。

基于以上理念，本節(jié)以雕像問題、制作方盒問題和體育比賽中的組合問題這三個問題為背景，在探究中引出一元二次方程的概念，由學(xué)生合作歸納出一元二次方程的一般形式，讓學(xué)生感受一元二次方程這一概念的內(nèi)涵，并通過提出問題，要求學(xué)生觀察方程中未知數(shù)的個數(shù)和次數(shù)，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想并類比一元一次方程，以強化一元二次方程的有關(guān)概念。案例主題

課題：一元二次方程 知識目標(biāo)：

1、掌握一元二次方程的概念。

2、掌握一元二次方程的一般形式，正確認(rèn)識二次項系數(shù)、一次項系數(shù)及常數(shù)項。

教學(xué)思考：

1、通過一元二次方程的引入，培養(yǎng)學(xué)生建模思想，歸納、分析問題及解決問題的能力。

2、通過一元二次方程概念的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生對概念理解的完整性和深刻性。

3、由知識來源于實際，樹立轉(zhuǎn)化的思想，由設(shè)未知數(shù)、列方程向?qū)W生滲透方程的思想，從而進一步提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力。

解決的問題：

在分析、揭示實際問題的數(shù)量關(guān)系并把實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型（一元二次方程）的過程中使學(xué)生感受方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的工具，增加對一元二次方程的感性認(rèn)識。

教學(xué)手段：

情境創(chuàng)設(shè)、觀察、思考、自主探究、合作交流、歸納整理。通過實際問題激發(fā)學(xué)生探究熱情，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)方法解決實際問題的能力和習(xí)慣。

情感目標(biāo)：

1、體會數(shù)學(xué)來源于實際并指導(dǎo)實際的意識。

2、體會數(shù)學(xué)概念來源于現(xiàn)實世界，是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效數(shù)學(xué)模型。

重點：一元二次方程的概念及一般形式。難點：

1、將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題。

2、識別一般式中的“項”及“系數(shù)”。

3、識別形式特別的一元二次方程。問題與情境

復(fù)習(xí)一元一次方程有關(guān)概念；通過實際問題引入新知為后面學(xué)習(xí)一元二次方程的有關(guān)內(nèi)容做好鋪墊。這也是一種“溫故而知新”吧！

活動1：要設(shè)計一座高2m的人體雕像，使它的上部(腰以上)與下部(腰以下)的高度比，等于下部與全部的高度比，求雕像的下部應(yīng)設(shè)計為高多少米？

通過多媒體演示，把文字轉(zhuǎn)化為圖形，幫助學(xué)生理解題意，從而由學(xué)生獨立思考,列出滿足條件的方程。

師問：這個方程我們以前見過嗎？是我們熟悉的一元一次方程嗎？

這個話題一出，一石激起千層浪。生1：不是，一元一次方程的未知數(shù)的次數(shù)是1，而這里是2”。

更有甚者，生2：以前的方程我都能解出來，這個咋不會呢？肯定是新東西！瞧，這個學(xué)生多么自信??！學(xué)了的我就會，不會的，是我沒學(xué)！此時課堂氣氛很是活躍！

活動2：有一塊矩形鐵皮，長100㎝，寬50㎝，在它的四角各切去一個正方形，然后將四周突出部分折起，就能制作一個無蓋方盒，如果要制作的方盒的底面積為3600平方厘米，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形？

通過問題一，學(xué)生的好奇心被激發(fā)，經(jīng)過熱烈討論，各個小組列出統(tǒng)一的方程，通過觀察，依然不是以前所學(xué)的方程，但跟問題一中的方程異曲同工。連續(xù)兩個問題列出類似的方程，他們的強烈的感受到，今天的“謎底”快要揭開了！

活動中教師特別關(guān)注著: 學(xué)生對題目的理解，可舉例，由特殊到一般，幫助學(xué)生理解題意，從而引導(dǎo)學(xué)會列出滿足條件的方程 活動3：要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，比賽組織者應(yīng)邀請多少個隊參加比賽？

通過多媒體播放引入問題，加上在解決剛才兩個問題中獲得的自信和經(jīng)驗，很快學(xué)生列出了方程，然后注意力都回到黑板上，像往常一樣，以為老師這個時候非到了給出結(jié)論的時候，靜待著呢！

進一步激發(fā)興趣，充分的師生互動。

師：現(xiàn)在我們來看這個方程有怎樣的特點？并把這個問題板書到黑板上，學(xué)生分組討論交往互動，此時教師在小組內(nèi)指導(dǎo)，宏觀上能做到對全體的指導(dǎo)，并把學(xué)生的討論結(jié)果及時的有選擇的板書到黑板上。

生1：“我們發(fā)現(xiàn)這個方程的未知數(shù)的次數(shù)最高是二次的。” 生2：“我們還發(fā)現(xiàn)就只有一個未知數(shù)?！?/p>

生3：“我們發(fā)現(xiàn)經(jīng)過整理后，都是按X的降冪排列的。” 生4：“我們發(fā)現(xiàn)前兩個問題的等式的右邊是?！?/p>

老師把學(xué)生的各種觀點進行板書，讓學(xué)生來充分體會成就感，特別是對于成績相對比較差的學(xué)生，毫不吝嗇的鼓勵，調(diào)動所有學(xué)生積極參與教學(xué)過程，教師要做的就是充分培養(yǎng)學(xué)生探究問題的習(xí)慣，合作學(xué)習(xí)的習(xí)慣。

定義給出前的關(guān)鍵準(zhǔn)備階段：通過類比一元一次方程的概念和一般形式，為引入一元二次方程的概念做好準(zhǔn)備。讓學(xué)生充分感受所列方程的特點，再通過類比的方法得到定義，從而達到真正理解定義的目的。

教師提出問題：今天我們所列出的方程你認(rèn)為該叫什么方程，如果讓同學(xué)們給這類方程下個定義，怎么下呢？引導(dǎo)學(xué)生思考。

由學(xué)生在剛才歸納整理這3個方程的特征的基礎(chǔ)上，給出名稱并類比一元一次方程的定義，得出一元二次方程的定義。

活動中教師始終關(guān)注:(1)引導(dǎo)學(xué)生觀察所列出的3個方程的特點；

(2)讓學(xué)生類比前面復(fù)習(xí)過的一元一次方程定義得到一元二次方程定義；(3)強調(diào)定義中體現(xiàn)的3個特征，缺一不可。

①整式；②一元；③2次。教師根據(jù)學(xué)生回答歸納出一元二次方程定義并板書：像這樣的等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的方程，叫做一元二次方程。

它們都能化成如下形式：也叫一元二次方程的一般形式。

活動

4、強化練習(xí)：

下列方程中，是關(guān)于（）1、3x 2－5x＋1＝0

2、＝0 5、2x 3－5xy－4y2＝0 由學(xué)生以競答的形式來完成問題，并讓學(xué)生找出錯誤理由。有一定難度的，可以進行分類討論。

目的：這組練習(xí)目的在于鞏固學(xué)生對一元二次方程定義中3個特征的理解。

此環(huán)節(jié)采取搶答的形式，提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和積極性。此活動中，教師應(yīng)注意對學(xué)生給出的答案作出點評和歸納。

引導(dǎo)學(xué)生類比一元一次方程的一般形式，總結(jié)歸納一元二次方程的一般形式及項、系數(shù)的概念，從而達到真正理解并掌握的目的。

5、梳理歸納階段?；顒?/p>

5、鞏固應(yīng)用

1、將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù)：

3X（X-1）=5（X+2）

2、方程（2a—4）x2 —2x+a=0, 在什么條件下此方程為一元二次方程？在什么條件下此方程為一元一次方程？

設(shè)計意圖：此題二設(shè)置的目的在于加深學(xué)生對一般形式的理解?？梢杂眯〗M比賽的游戲方式進行用來提高學(xué)習(xí)的興趣、參與課堂活動的積極性，還可鼓勵學(xué)生課下繼續(xù)以合作的形式進行學(xué)習(xí)。

3、本節(jié)課你學(xué)到了哪些內(nèi)容和方法？

1＋x 2＝1

3、xx2?12x的一元二次方程的是

－

x?12＝1

4、x 2－x＋1 設(shè)計意圖：（1）學(xué)生是否能抓住本節(jié)課的重點；

（2）學(xué)生是否掌握一些基本方法。課后作業(yè)：

(A)教科書28頁習(xí)題第1、2、題.(B)請根據(jù)所給方程：

（10-x）(12-2x)=100，聯(lián)系實際，編寫一道應(yīng)用題

（要求題目完整，題意清楚，不要求解方程）。教學(xué)反思：

由于尊重學(xué)生的個性，特別注重激發(fā)學(xué)生興趣的原因，大部分的學(xué)生能積極地參與到合作討論中，學(xué)生課堂上積極大膽，自由發(fā)言，課堂真正緊張而活潑。

教學(xué)知識目標(biāo)已然實現(xiàn)，重難點得以突破。特別的是：培養(yǎng)學(xué)生合作學(xué)習(xí)、探究學(xué)習(xí)的目標(biāo)沒有成為一紙空文，初見成效，這也是本節(jié)課的亮點。

我們大多人不可否認(rèn)的觀點是：天才是寂寞的！于是很多學(xué)生沉迷于“刻苦單干”的模式。而要由學(xué)習(xí)知識向?qū)W習(xí)方法過渡就是要突破“刻苦單干”的這個瓶頸，要學(xué)會在合作中探究、在探究中合作。作為班主任，我可以利用班會機會和學(xué)生探討這個從辯證的角度看其實并不矛盾的觀點。

不足在于：在做強化鞏固練習(xí)時，某些題難度較大，發(fā)言的多是基礎(chǔ)扎實的學(xué)生，基礎(chǔ)差一些的疲于應(yīng)對，以后要注意一是減少鞏固練習(xí)的題目量，二是將某些難度較大的題放到課外拓展練習(xí)中，學(xué)生在較為充裕的課外時間當(dāng)中醞釀得會更為透徹。

第二篇：九年級數(shù)學(xué)上冊教學(xué)計劃《一元二次方程》

九年級數(shù)學(xué)上冊教學(xué)計劃《一元二次方程》

初三是初中三年的一個過渡年級，打好基礎(chǔ)對于初中生來說是十分重要的，下文為大家推薦了九年級數(shù)學(xué)上冊教學(xué)計劃，希望對大家有用。

一、內(nèi)容和內(nèi)容解析

（一）內(nèi)容

一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式.（二）內(nèi)容解析

一元二次方程是方程在一元一次方程基礎(chǔ)上 “次”的推廣，同時它是解決諸多實際問題的需要，為勾股定理、相似等知識提供運算工具，是二次函數(shù)的基礎(chǔ).針對一系列實際問題，建立方程，引導(dǎo)學(xué)生觀察這些方程的共同特點，從而歸納得出一元二次方程的概念及一般形式.在這個過程中，通過歸納具體方程的共同特點，得出一元二次方程的概念，體現(xiàn)了研究代數(shù)學(xué)問題的一般方法;一般形式ax2+bx+c=0也是對具體方程從“元”(未知數(shù)的個數(shù))、“次數(shù)”和“項數(shù)”等角度進行歸納的結(jié)果;a≠0的條件是確保滿足 “二次”的要求，從另一個側(cè)面為理解一元二次方程的概念提供了契機.二、目標(biāo)和目標(biāo)解析

（一）教學(xué)目標(biāo)

1.體會一元二次方程是刻畫實際問題的重要數(shù)學(xué)模型，初步理解一元二次方程的概念;

2.了解一元二次方程的一般形式，會將一元二次方程化成一般形式.（二）目標(biāo)解析

1.通過建立一元方程解決相關(guān)的實際問題，讓學(xué)生體會到未知數(shù)相乘導(dǎo)致方程的次數(shù)升高，繼而產(chǎn)生一元二次方程.學(xué)生能舉例說明一元二次方程存在的實際背景，感受一元二次方程是重要的數(shù)學(xué)模型，體會到學(xué)習(xí)的必要性;2.將不同形式的一元二次方程統(tǒng)一為一般形式，學(xué)生從數(shù)學(xué)符號的角度，體會概括出數(shù)學(xué)模型的簡潔和必要，針對“二次”規(guī)定a≠0的條件，完善一元二次方程的概念.學(xué)生能夠?qū)⒁辉畏匠陶沓梢话阈问?，?zhǔn)確的說出方程的各項系數(shù)，并能確定簡單的字母系數(shù)方程為一元二次方程的條件.三、教學(xué)問題診斷分析

一元二次方程是學(xué)生學(xué)習(xí)的第四個方程知識，首先在初一學(xué)習(xí)了一元一次方程，接著擴展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程組的學(xué)習(xí)，初二分式的教學(xué)，使得對實際問題的刻畫從整式推廣到有理式，分式方程得以出現(xiàn)，到一元二次方程第一次實現(xiàn) “次”的提升.學(xué)生必然存在著疑問，為什么有些背景列得的方程是二次的呢?教學(xué)中要直面學(xué)生的疑問，顯化學(xué)生的疑問，啟發(fā)學(xué)生自己解釋疑問，才能避免“灌輸”，體現(xiàn)知識存在的必要性，增強學(xué)好的信念.培養(yǎng)建模思想，進一步提升數(shù)學(xué)符號語言的應(yīng)用能力，讓學(xué)生自己概括出一元二次方程的概念，得出一般形式，對初三學(xué)生是必須的，也是適可的.本課的教學(xué)重點應(yīng)該放在形成一元二次方程概念的過程上，不能草草給出方程的概念就反復(fù)辨析練習(xí)，在概念的理解上要下功夫.本課的教學(xué)難點是一元二次方程的概念.四、教學(xué)過程設(shè)計

（一）創(chuàng)設(shè)情境，引入新知

教師展示教科書本章的章前圖，請同學(xué)們閱讀章前問題，并回答：

問題1．這個方程屬于我們學(xué)過的某一類方程嗎?

師生活動:學(xué)生整理已經(jīng)學(xué)過的方程類型，復(fù)習(xí)方程的概念，元與次的概念，觀察新方程，分析此方程的元與次，嘗試為新方程命名.【設(shè)計意圖】使學(xué)生認(rèn)識到一元二次方程是刻畫某些實際問題的模型，體會學(xué)習(xí)的必要性，在學(xué)生已有的知識的體系中合理的構(gòu)建一元二次方程這一新知識.問題2．這樣的方程在其他實際問題中是否還存在呢?你能再想出一個例子嗎?

師生活動:學(xué)生思考二次項產(chǎn)生的原因，從熟悉的實際背景中，很有可能從矩形的面積出發(fā)，設(shè)計情境.【設(shè)計意圖】讓學(xué)生從“接受式”的學(xué)習(xí)方式中走出來，走向?qū)σ辉畏匠坍a(chǎn)生的根源的探求，在編制情境的過程中，他們將加深對一元二次方程概念的理解.部分學(xué)生能夠獨立解決問題，自己編制情境并列出方程，部分學(xué)生可以根據(jù)同學(xué)給出的情境去列方程，或者閱讀課本上的實際問題.（二）拓寬情境，概括概念

給出課本問題

1、問題2的兩個實際問題，設(shè)未知數(shù)，建立方程.問題1 如圖21.1-1，有一塊矩形鐵皮，長100 cm，寬50 cm.在它的四個角各切去一個同樣的正方形，然后將四周突出的部分折起，就能制作一個無蓋方盒.如果要制作的無蓋方盒的底面積是3 600 cm2，那么鐵皮各角應(yīng)切去多大的正方形?

問題2 要組織一次排球邀請賽，參賽的每兩個隊之間都要比賽一場，根據(jù)場地和時間等條件，賽程計劃安排7天，每天安排4場比賽，你說組織者應(yīng)邀請多少個隊參賽?

教師引導(dǎo)學(xué)生思考并回答以下幾個問題：

全部比賽共有______場

若設(shè)應(yīng)邀請

個隊參賽，則每個隊要與其他____個隊各賽一場，全部比賽共有___ 場.由此，我們可以列出方程______________，化簡得________________.問題3． 這些方程是幾元幾次方程?

師生活動:學(xué)生將實際問題中的語言轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)的符號語言，體會運算關(guān)系，尋找等量關(guān)系，學(xué)習(xí)建模.將列得的方程化簡整理，判斷出方程的次數(shù).【設(shè)計意圖】在建模的過程中不僅加強學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，而且對二次項產(chǎn)生的根源將更加明晰，加深對一元二次方程的理解.讓學(xué)生回答方程的元與次，一是讓他們體會統(tǒng)一成一般形式的必要性，為概念的形成做鋪墊，分解教學(xué)的難點;二是讓他們明確教學(xué)的主線，從被動學(xué)習(xí)走向主動學(xué)習(xí).問題4．這些方程是什么方程?

師生活動:觀察本課得出的一些方程，思考它們的共性，同學(xué)們嘗試給出一元二次方程的定義，并且概括出一元二次方程的一般形式.1.一元二次方程的概念：

等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2(二次)的方程叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是

.其中

是二次項，a是二次項系數(shù);

是一次項，b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項.?

【設(shè)計意圖】讓學(xué)生自己給出定義就是對過去所學(xué)一元一次方程的定義的類比和對比，概括一般形式是對一元二次方程另一個角度的理解，是對數(shù)學(xué)符號語言的應(yīng)用能力的提升.（三）辨析應(yīng)用，加深理解

問題5．請你說出一個一元二次方程，和一個不是一元二次方程的方程.師生活動:可以由學(xué)生舉手回答，也可以隨機選擇學(xué)生回答，調(diào)動學(xué)生廣泛的參與.追問學(xué)生所舉的反例為什么不是一元二次方程?是什么方程?

【設(shè)計意圖】學(xué)生自己舉例，應(yīng)用概念，從正反兩個方向強化了對概念的理解，在追問的過程中，幫助學(xué)生將已有的方程梳理成比較清晰的知識體系，如下：

開發(fā)學(xué)生認(rèn)識的資源，激發(fā)學(xué)生從不同角度、不同形式去深入理解同一概念，讓不同的學(xué)生在此過程中獲得不同的收獲，實現(xiàn)分層教學(xué)分層指導(dǎo)的效果.問題6． 下列方程哪些是一元二次方程?

例1.下列方程哪些是一元二次方程?(1)

;(2);(3)

;(4)

;(5)

;(6)

.答案(2)(5)(6).師生活動:用概念指導(dǎo)辨析，方程(3)與(4)同學(xué)們可能會產(chǎn)生爭議，(3)幫助學(xué)生明確一元二次方程是整式方程，(4)體會化為一般形式的必要性，對a≠0條件加深認(rèn)識.【設(shè)計意圖】補足學(xué)生所舉正反例的缺漏，追問：有二次項的一元方程就是一元二次方程嗎?幫助學(xué)生進一步鞏固概念，深化對一元、二次的認(rèn)識.問題7．指出下列方程的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù).例2.將下列方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項、一次項和常數(shù)項及它們的系數(shù)：

(1)

;(2)師生活動:(1)將方程

去括號得：，移項，合并同類項得：，其中二次項是，二次項系數(shù)是3;一次項是，一次項系數(shù)是，常數(shù)項是

.教師應(yīng)及時分析可能出現(xiàn)的問題(比如系數(shù)的符號問題).(2)一元二次方程的一般形式是，過程略.例3.關(guān)于x的方程，在什么條件下此方程為一元二次方程?在什么條件下此方程為一元一次方程? 答案：

時此方程為一元二次方程;，時此方程為一元一次方程.【設(shè)計意圖】在形式比較復(fù)雜的方程面前，通過辨析方程的元、次、項看清方程的本質(zhì)，深化理解，淡化對一元二次方程概念的記憶.（四）鞏固概念，學(xué)以致用

教科書第4頁： 練習(xí)

【設(shè)計意圖】鞏固性練習(xí)，同時檢驗一元二次方程概念的掌握情況.（五）歸納小結(jié)，反思提高

請學(xué)生總結(jié)今天這節(jié)課所學(xué)內(nèi)容，通過對比之前所學(xué)其它方程，談對一元二次方程概念的認(rèn)識，反思學(xué)習(xí)過程中的典型錯誤.（六）布置作業(yè)：教科書習(xí)題21.1

復(fù)習(xí)鞏固：第1，2，3題.五、目標(biāo)檢測設(shè)計

1.下列方程哪些是關(guān)于x的一元二次方程

(1)

;(2)

;(3)

;(4)

.【設(shè)計意圖】考查對一元二次方程概念的理解.2.關(guān)于 的方程

是一元二次方程，則().A.B.C.D.【設(shè)計意圖】考查

的條件.3.將關(guān)于的一元二次方程

化為一般形式，并指出二次項系數(shù).【設(shè)計意圖】考查化簡方程的能力，及對一元二次方程一般式的掌握情況.以上就是查字典數(shù)學(xué)網(wǎng)為大家推薦的九年級數(shù)學(xué)上冊教學(xué)計劃，更多參考內(nèi)容請及時關(guān)注本網(wǎng)站。

第三篇：一元二次方程教學(xué)案例封面

一元二次方程教學(xué)案例

魯喻

建海

中燕

孝感市孝南區(qū)新鋪鎮(zhèn)

新 鋪 鎮(zhèn) 中 心 中 學(xué)

聯(lián)系電話：***

第四篇：九年級中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)專練：一元二次方程

一元二次方程

一、單選題

1．下列方程中屬于一元二次方程的是（）

A．

B．

C．

D．

2．若x＝1是方程x2+ax﹣2＝0的一個根，則a的值為（）

A．0

B．1

C．2

D．3

3．關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，則滿足條件的正整數(shù)的個數(shù)是（）

A．6

B．7

C．8

D．9

4．關(guān)于的方程（為常數(shù)）無實數(shù)根，則點在（）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

5．已知直線不經(jīng)過第一象限，則關(guān)于的方程實數(shù)根的個數(shù)是（）

A．0個

B．1個

C．2個

D．1個或2個

6．a(chǎn)是方程x2+x﹣1＝0的一個根，則代數(shù)式﹣2a2﹣2a+2020的值是（）

A．2018

B．2019

C．2020

D．2021

7．一元二次方程（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7的根的情況是（）

A．無實數(shù)根

B．有一正根一負(fù)根

C．有兩個正根

D．有兩個負(fù)根

8．已知，是一元二次方程兩個根，則的值為（）

A．

B．．

C．

D．

9．如果關(guān)于的方程有正數(shù)解，且關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，則符合條件的整數(shù)的值是（）

A．-1

B．0

C．1

D．-1或1

10．定義新運算“”：對于任意實數(shù)a，b，都有，例如．若（k為實數(shù)）是關(guān)于x的方程，則它的根的情況為（）

A．有一個實數(shù)根

B．有兩個相等的實數(shù)根

C．有兩個不相等的實數(shù)根

D．沒有實數(shù)根

11．為了促使藥品及醫(yī)用耗材的價格回歸合理水平，減輕群眾就醫(yī)負(fù)擔(dān)，國家近幾年大力推進帶量采購制度改革，在改革推進的過程中，某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元，已知兩次降價的百分率都為x，那么x滿足的方程是（）

A．

B．

C．

D．

12．如圖，在長為32米、寬為12米的矩形地面上修建如圖所示的道路（圖中的陰影部分）余下部分鋪設(shè)草坪，要使得草坪的面積為300平方米，則可列方程為（）

A．

B．

C．

D．

13．兩個關(guān)于的一元二次方程和，其中，是常數(shù)，且，如果是方程的一個根，那么下列各數(shù)中，一定是方程的根的是（）

A．2020

B．

C．-2020

D．

二、填空題

14．若方程，滿足則方程必有一根為________．

15．若關(guān)于的一元二次方程的一個解是，則的值是__________．

16．如圖是一塊矩形鐵皮，將四個角各剪去一個邊長為2米的正方形后剩下的部分做成一個容積為96立方米的無蓋長方體箱子，已知長方體箱子底面的長比寬多2米，則矩形鐵皮的面積為____________平方米．

17．某學(xué)校生物興趣小組在該?？盏厣蠂艘粔K面積為200m2的矩形試驗田，用來種植蔬菜．如圖，試驗田一面靠墻，墻長35m，另外三面用49m長的籬圍成，其中一邊開有一扇1m寬的門（不包括籬笆）．設(shè)試驗田垂直于墻的一邊AB的長為xm，則所列方程為___________________________．

18．如圖1，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間是個小正方形，這個圖形是我國漢代趙爽在注解《周髀算經(jīng)》時給出的，人們稱它為“趙爽弦圖”．在此圖形中連接四條線段得到如圖2的圖案，記陰影部分的面積為S1，空白部分的面積為S2，大正方形的邊長為m，小正方形的邊長為n，若，則的值為______________．

三、解答題

19．已知關(guān)于x的一元二次方程x2+（m+3）x+m+1＝0．

（1）求證：無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）若已知方程的一個根為﹣2，求方程的另一個根以及m的值．

20．若關(guān)于x的一元二次方程（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有實數(shù)根．

（1）求m的取值范圍；

（2）如果m是符合條件的最小整數(shù)，且一元二次方程（k+1）x2+x+k﹣3＝0與方程

（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一個相同的根，求此時k的值．

21．為響應(yīng)“把中國人的飯碗牢牢端在自己手中”的號召，確保糧食安全，優(yōu)選品種，提高產(chǎn)量，某農(nóng)業(yè)科技小組對原有的玉米品種進行改良種植研究．在保持去年種植面積不變的情況下，預(yù)計玉米平均畝產(chǎn)量將在去年的基礎(chǔ)上增加．因為優(yōu)化了品種，預(yù)計每千克售價將在去年的基礎(chǔ)上上漲，全部售出后預(yù)計總收入將增加．求的值．

22．某商店準(zhǔn)備進一批季節(jié)性小家電，單價為每個40元，經(jīng)市場預(yù)測，銷售定價為每個52元時，可售出180個，定價每增加1元，銷售量凈減少10個，定價每減少1元，銷售量凈增加10個，因受庫存的影響，每批次進貨個數(shù)不超過180個，商店準(zhǔn)備獲利2000元．

（1）該商店考慮漲價還是降價？請說明理由．

（2）應(yīng)進貨多少個？定價為每個多少元？

參考答案

1．A

解：A、∵，∴，根據(jù)一元二次方程的定義A滿足條件，故A正確；

B、分母中有未知數(shù)，不是整式方程，是分式方程,不選B；

C、二次項系數(shù)為a是否為0，不確定，當(dāng)=0，b≠0時，一元一次方程，當(dāng)時是一元二次方程，不選C；

D、沒有二次項，不是一元二次方程，不選D．

2．B

解：把x＝1代入方程x2+ax﹣2＝0得1+a﹣2＝0，解得a＝1．

3．B

解：

關(guān)于的一元二次方程有實數(shù)根，且

且

又為正整數(shù)，所以滿足條件的值有個，4．A

解：∵a＝1，b＝?2，c＝a，∴△＝b2?4ac＝（?2）2?4×1×a＝4?4a＜0，解得：a＞1，∴點（a，a＋1）在第一象限，5．D

∵直線不經(jīng)過第一象限，∴a=0或a＜0，當(dāng)a＝0時，方程變形為4x+1=0，是一元一次方程，故由一個實數(shù)根；

當(dāng)a＜0時，方程是一元二次方程，且△=，∵a＜0，∴-4a＞0,∴16-4a＞16＞0,∴△＞0,故方程有兩個不相等的實數(shù)根，綜上所述，方程有一個實數(shù)根或兩個不相等的實數(shù)根，6．A

解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的一個根，∴a2+a﹣1＝0，即a2+a＝1，∴﹣2a2﹣2a+2020＝﹣2（a2+a）+2020＝﹣2×1+2020＝2018．

7．C

解：∵（x+1）2﹣2（x﹣1）2＝7，∴x2+2x+1﹣2（x2﹣2x+1）＝7，整理得：﹣x2+6x﹣8＝0，則x2﹣6x+8＝0，（x﹣4）（x﹣2）＝0，解得：x1＝4，x2＝2，故方程有兩個正根．

8．A

解：∵，是一元二次方程兩個根，∴由根與系數(shù)的關(guān)系得，，∴，9．A

解：，去分母得：

因為方程有正數(shù)解，所以

＞

＜

又

綜上：＜且

關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根，＞

且

＞且

綜上：＜＜且且

又因為為整數(shù)，10．C

∵，∴，∴變形為，∴△＝

＝＞0，∴原方程有兩個不相等的實數(shù)根，11．A

∵某藥品經(jīng)過兩次降價，每瓶零售價由100元降為81元，已知兩次降價的百分率都為x，∴，12．C

解：根據(jù)題意得：；

故答案為：．

13．C

∵，a+c=0

∴，∵ax2+bx+c=0

和cx2+bx+a=0，∴，∴，∵是方程的一個根，∴是方程的一個根，∴是方程的一個根，即是方程的一個根

14．-3

當(dāng)時，代入原方程得：，即：，∴原方程必有一根為，15．2022

解：由題意可得：

a+b+1=0，∴a+b=-1，∴2021-a-b=2021-(a+b)=2021+1=2022，16．120

解：設(shè)矩形鐵皮的長為x米，則寬為（x-2）米，由題意，得

(x-4)(x-2-4)×2=96，解得：x1=12，x2=-2（舍去），所以矩形鐵皮的寬為：12-2=10米，矩形鐵皮的面積是：12×10=120（平方米）．

答：矩形鐵皮的面積是120平方米．

17．x（49+1-2x）=200

解：設(shè)當(dāng)試驗田垂直于墻的一邊長為xm時，則另一邊的長度為（49+1﹣2x）m，依題意得：x（49+1﹣2x）＝200，18．

解：∵，大正方形面積為m2，∴S2＝m2，設(shè)圖2中AB=x，依題意則有：

4?S△ADC＝m2，即4××x2＝m2，解得：x1=m，x2＝?m（負(fù)值舍去）．

在Rt△ABC中，AB2＋CB2＝AC2，∴(m)2＋(m＋n)2＝m2，解得：n1=，n2＝?(負(fù)值舍去)，∴，19．（1）見解析；（2）方程的另一根為，m的值為

（1）證明：∵△＝（m+3）2﹣4×1×（m+1）

＝m2+6m+9﹣4m﹣4

＝m2+2m+1+4

＝（m+1）2+4＞0，∴無論m取何值，原方程總有兩個不相等的實數(shù)根；

（2）設(shè)方程的另外一根為a，根據(jù)題意，得：，解得：，所以方程的另一根為，m的值為．

20．（1）m≥且m≠1，（2）k＝3

解：（1）化為一般式：（m﹣1）x2﹣2mx+m﹣2＝0，∴，解得：m≥且m≠1

（2）由（1）可知：m是最小整數(shù)，∴m＝2，∴（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2化為x2﹣4x＝0，解得：x＝0或x＝4，∵（k+1）x2+x+k﹣3＝0與（m﹣1）x2﹣2mx+m＝2有一個相同的根，∴當(dāng)x＝0時，此時k﹣3＝0，k＝3，當(dāng)x＝4時，16（k+1）+4+k-3＝0，∴k＝﹣1，∵k+1≠0，∴k＝﹣1舍去，綜上所述，k＝3．

21．10．

解：根據(jù)題意可得：

解之得：，（不合題意，舍去）

．

22．（1）考慮漲價，見解析；（2）定價為60元，應(yīng)進貨100個

解：（1）考慮漲價，理由如下：

設(shè)每個商品的定價為元，若考慮漲價，則＞

則進貨為個．

所以，解得，;

當(dāng)時，是降價，不合題意，舍去；

當(dāng)時，個＜180個，符合題意；

若考慮降價，則＜由題意得；

解得：（是漲價，不合題意，舍去）

當(dāng)時，銷售量為：＞，不合題意，綜上：商店準(zhǔn)備獲利2000元，且每批次進貨個數(shù)不超過180個，應(yīng)該考慮漲價．

（2）由（1）得：商店若準(zhǔn)備獲利2000元，且每批次進貨個數(shù)不超過180個，則定價為60元，應(yīng)進貨100個．

答：商店若準(zhǔn)備獲利2000元，則定價為60元，應(yīng)進貨100個．

第五篇：數(shù)學(xué)人教版九年級上冊實際問題與一元二次方程教學(xué)設(shè)計

21.3 實際問題與一元二次方程 第1課時 實際問題與一元二次方程（1）

【知識與技能】

會根據(jù)具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程并求解，能根據(jù)問題中的實際意義，檢驗所得結(jié)果的合理性.【過程與方法】

經(jīng)過“問題情境——建立模型——求解——解釋與應(yīng)用”的過程中，進一步鍛煉學(xué)生的分析問題，解決問題的能力.【情感態(tài)度】

通過建立一元二次方程解決實際問題，體驗數(shù)學(xué)的應(yīng)用價值，增強學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.【教學(xué)重點】

構(gòu)建一元二次方程解決實際問題.【教學(xué)難點】

會用代數(shù)式表示問題中的數(shù)量關(guān)系，能根據(jù)問題的實際意義，檢驗所得結(jié)果的合理性.一、導(dǎo)學(xué) 1.導(dǎo)入課題：

問題1：列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？

問題2：有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？

本節(jié)課我們學(xué)習(xí)一元二次方程的應(yīng)用.(板書課題)2.學(xué)習(xí)目標(biāo)：

列一元二次方程解有關(guān)傳播問題的應(yīng)用題.3.學(xué)習(xí)重、難點：

重點：建立一元二次方程模型解決實際問題.難點：探究傳播問題中的等量關(guān)系.4.自學(xué)指導(dǎo):(1)自學(xué)內(nèi)容：教材第19頁“探究1”.(2)自學(xué)時間：10分鐘.(3)自學(xué)方法：完成探究提綱.(4)探究提綱：

①設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人.第一輪傳染后共有x+1人患了流感；

第二輪傳染中的傳染源為x+1人，第二輪后共有x+1+x(x+1)人患了流感.根據(jù)等量關(guān)系“經(jīng)過兩輪傳染后，有121人患了流感”列出方程x+1+x(x+1)=121.本題的解答過程：

設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了x人.由題意列式可得x+1+x(x+1)=121, 解方程.得x1=10,x2=-12(不符合題意，舍去).平均一個人傳染了10個人.②能有更簡單的解方程的方法嗎？怎樣求解？ 對方程左邊提取公因式.(x+1)(x+1)=121 ③如果按這樣的傳染速度，三輪傳染后有多少人患了流感？n輪后呢？ 經(jīng)過三輪傳染后共有121×10+121=1331(人)患流感 n輪后患流感的人數(shù)為(1+10)n=11n.④某種電腦病毒傳播非?？欤绻慌_電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染，請你用學(xué)過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效控制，三輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？

設(shè)每輪感染中平均一臺電腦會感染x臺電腦.依題意1+x+(1+x)x=81,(1+x)2=81,x+1=9或x+1=-9.解得x=8或x=-10(舍去).三輪感染后被感染的電腦臺數(shù)為(1+x)2+(1+x)2x=(1+x)3=(1+8)3=729>700.答：每輪感染中平均一臺電腦會感染8臺電腦；三輪感染后，被感染的電腦臺數(shù)會超過700臺.⑤某種植物的主干長出若干數(shù)目的支干,每個支干又長出同樣數(shù)目的小分支,主干、支干和小分支的總數(shù)是91,每個支干長出多少個小分支? 設(shè)每個支干長出x個小分支.根據(jù)題意，得1+x+x2=91，即(x-9)(x+10)=0.解得x1=9,x2=-10(舍去).∴每個支干長出9個小分支.二、自學(xué)學(xué)生可參考自學(xué)指導(dǎo)進行自學(xué).三、助學(xué) 1.師助生：

(1)明了學(xué)情：了解學(xué)生是否會尋找等量關(guān)系、列方程，對“兩輪傳染”是否真正理解.(2)差異指導(dǎo)：指導(dǎo)學(xué)生尋找等量關(guān)系、列方程的過程.2.生助生：小組內(nèi)互相交流、研討.四、強化

1.點一名學(xué)生口答探究提綱第③題，點兩名學(xué)生板演第④、⑤題，并點評.2.“傳播問題”的兩種模型： 問題④：傳染源參與兩輪傳染； 問題⑤：傳染源只參與第一輪傳染.3.總結(jié)列一元二次方程解決實際問題的一般步驟：審、設(shè)、找、列、解、答，最后要檢驗根是否符合實際意義.五、評價

1.學(xué)生的自我評價(圍繞三維目標(biāo))：這節(jié)課你學(xué)到了哪些知識？有何收獲或不足？ 2.教師對學(xué)生的評價：

(1)表現(xiàn)性評價：點評學(xué)生的學(xué)習(xí)態(tài)度、積極性、小組相互交流情況以及不足之處等.(2)紙筆評價：課堂評價檢測.3.教師的自我評價(教學(xué)反思)：

(1)教師引導(dǎo)熟悉列一元二次方程解決實際問題的步驟，創(chuàng)設(shè)問題推導(dǎo)出列一元二次方程解決實際問題的一般思路，有利于學(xué)生掌握列一元二次方程解決實際問題的方法.(2)傳播類問題是一元二次方程中的重點問題，經(jīng)過“問題情境——建立模型——求解——解釋與應(yīng)用”的過程，進一步鍛煉學(xué)生分析問題、解決問題的能力.1.布置作業(yè)：從教材“習(xí)題21.3”中選取.一、基礎(chǔ)鞏固(70分)1.(10分)生物興趣小組的學(xué)生，將自己收集的標(biāo)本向本組其他成員各贈送一件，全組共互贈了182件，如果全組有x名同學(xué)，那么根據(jù)題意列出的方程是(B)A.x(x+1)=182

B.x(x-1)=182

C.2x(x+1)=182

D.x(1-x)=182×2 2.(30分)有一人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有64人患了流感.(1)求每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？(2)如果不及時控制，第三輪將又有多少人被傳染？ 解：(1)設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人.依題意1+x+(1+x)x=64,即(x+1)2=64,解得x1=7，x2=-9(舍去).答：每輪傳染中平均一個人傳染了7個人.(2)第三輪被傳染的人數(shù)為(1+x)2·x=(1+7)2×7=448.答：第三輪將有448人被傳染.3.(30分)參加足球聯(lián)賽的每兩隊之間都進行了兩次比賽(雙循環(huán)比賽)，共要比賽90場，共有多少個隊參加了比賽？

解：設(shè)共有x個隊參加了比賽.依題意x(x-1)=90.解得x1=10, x2=-9(舍去).答：共有10個隊參加了比賽.二、綜合應(yīng)用(20分)4.(20分)有一人利用手機發(fā)送短信，獲得信息的人也按他的發(fā)送人數(shù)發(fā)送了該條短信息，經(jīng)過兩輪短信發(fā)送，共有90人的手機上獲得同一信息，則每輪平均一個人向多少人發(fā)送短信？

解：設(shè)每輪平均一個人向x人發(fā)送短信.由題意，得x+x2=90.解得：x1=9，x2=-10(舍去).答：每輪平均一個人向9個人發(fā)送短信.三、拓展延伸(10分)5.(10分)一個數(shù)字和為10的兩位數(shù),把個位與十位數(shù)字對調(diào)后得到一個兩位數(shù),這兩個兩位數(shù)之積是2296,則這個兩位數(shù)是多少？

解：設(shè)這個數(shù)十位上數(shù)字為x,則個位數(shù)字為(10-x),原數(shù)為10x+(10-x)=9x+10.對調(diào)后得到的數(shù)為10(10-x)+x=100-9x.依題意(9x+10)(100-9x)=2296.解得.x1=8,x2=2.當(dāng)x=8時，這個兩位數(shù)是82；當(dāng)x=2時，這個兩位數(shù)是28.答：這個兩位數(shù)是82或28.1.教師引導(dǎo)學(xué)生熟悉列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟，創(chuàng)設(shè)問題推導(dǎo)出列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟，有利于學(xué)生熟練掌握用一元二次方程解應(yīng)用題的步驟.2.傳播類和增長率問題是一元二次方程中的重點問題，本設(shè)計問題中反映出不同的“傳播”和增長率，有利于學(xué)生更好地掌握這一問題.