中考沖刺：代數(shù)綜合問題(基礎(chǔ))

一、選擇題

1.如圖所示，已知函數(shù)和y＝kx(k≠0)的圖象交于點P，則根據(jù)圖象可得，關(guān)于的二元一次方程組的解是（）

A．

B．

C．

D．

2.（2016?河北模擬）如圖，點A是x軸正半軸上的任意一點，過點A作EF∥y軸，分別交反比例函數(shù)和的圖象于點E、F，且，連接OE、OF，有下列結(jié)論：①這兩個函數(shù)的圖象關(guān)于x軸對稱；②△EOF的面積為（k1﹣k2）；③；④當(dāng)∠EOF=90°時，其中正確的是（）

A．①③

B．②④

C．①④

D．②③

3．下列說法中

①若式子有意義，則x＞1.②已知∠α=27°，則∠α的補角是153°.③已知x=2

是方程x2-6x+c=0的一個實數(shù)根，則c的值為8.④在反比例函數(shù)中，若x＞0

時，y

隨x的增大而增大，則k的取值范圍是k＞2.其中正確的命題

有（）

A.1

個

B.2

個

C.3

個

D.4

個

二、填空題

4．如圖所示，是二次函數(shù)(a≠0)和一次函數(shù)(n≠0)的圖象，觀察圖象寫出y2≥y1時，x的取值范圍______________．

5．已知二次函數(shù)若此函數(shù)圖象的頂點在直線y＝-4上,則此函數(shù)解析式為______．

6.（2016?歷下區(qū)二模）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列5個結(jié)論：①abc＜0；②4a+2b+c＞0；③b2﹣4ac＜0；④b＞a+c；⑤a+2b+c＞0，其中正確的結(jié)論有______．

三、解答題

7．（北京校級期中）已知關(guān)于x的一元二次方程mx2﹣（m+1）x+1=0

（1）求證：此方程總有兩個實數(shù)根；

（2）若此方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，求m的整數(shù)值；

（3）在（2）中開口向上的拋物線y=mx2﹣（m+1）x+1與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線y=﹣x上有一個動點P．求使PA+PB取得最小值時的點P的坐標(biāo)，并求PA+PB的最小值．

8.善于不斷改進(jìn)學(xué)習(xí)方法的小迪發(fā)現(xiàn)，對解題進(jìn)行回顧反思，學(xué)習(xí)效果更好．某一天小迪有20分鐘時間可用于學(xué)習(xí)．假設(shè)小迪用于解題的時間x(單位：分鐘)與學(xué)習(xí)收益量y的關(guān)系如圖1所示，用于回顧反思的時間x(單位：分鐘)與學(xué)習(xí)收益y的關(guān)系如圖2所示(其中OA是拋物線的一部分，A為拋物線的頂點)，且用于回顧反思的時間不超過用于解題的時間．

（1）求小迪解題的學(xué)習(xí)收益量y與用于解題的時間x之間的函數(shù)關(guān)系式；

（2）求小迪回顧反思的學(xué)習(xí)收益量y與用于回顧反思的時間x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）問小迪如何分配解題和回顧反思的時間，才能使這20分鐘的學(xué)習(xí)收益總量最大?

9.已知P（）和Q（1，）是拋物線上的兩點．

（1）求的值；

（2）判斷關(guān)于的一元二次方程=0是否有實數(shù)根，若有，求出它的實數(shù)根；若沒有，請說明理由

（3）將拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位，使平移后的圖象與軸無交點，求的最小值．

10.已知：關(guān)于x的一元二次方程，其中．

（1）求此方程的兩個實數(shù)根（用含m的代數(shù)式表示）；

（2）設(shè)拋物線與x軸交于A、B兩點（A在B的左側(cè)）,若點D的坐標(biāo)為（0，-2）,且AD·BD=10，求拋物線的解析式；

（3）已知點E（a，）、F（2a，y）、G（3a，y）都在（2）中的拋物線上，是否存在含有、y、y，且與a無關(guān)的等式？如果存在，試寫出一個，并加以證明；如果不存在，說明理由．

答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1.【答案】C；

【解析】本題考查方程組的解(數(shù))與直線交點(形)坐標(biāo)之間的關(guān)系．

2.【答案】B；

【解析】①∵點E在反比例函數(shù)的圖象上，點F在反比例函數(shù)的圖象上，且，∴k1=OA?EA，k2=﹣OA?FA，∴，∴這兩個函數(shù)的圖象不關(guān)于x軸對稱，即①錯誤；

②∵點E在反比例函數(shù)y1=的圖象上，點F在反比例函數(shù)y2=的圖象上，∴S△OAE=k1，S△OAF=﹣k2，∴S△OEF=S△OAE+S△OAF=（k1﹣k2），即②正確；

③由①可知，∴③錯誤；

④設(shè)EA=5a，OA=b，則FA=3a，由勾股定理可知：OE=，OF=．

∵∠EOF=90°，∴OE2+OF2=EF2，即25a2+b2+9a2+b2=64a2，∴b2=15a2，∴=，④正確．

綜上可知：正確的結(jié)論有②④．

3.【答案】B；

【解析】

若式子有意義，則x≥1，①錯誤；

由∠α=27°得∠α的補角是=180°-27=153°，②正確.把x=2

代入方程x2-6x+c=0得4-6×2+c=0，解得c=8，③正確；反比例函數(shù)中，若x＞0

時，y

隨x的增大而增大，得：k-2＜0，∴k＜2，④錯誤.故選B.二、填空題

4.【答案】-2≤x≤1；

【解析】本題考查不等式與比較函數(shù)值的大小之間的關(guān)系．

5.【答案】，；

【解析】

∵頂點在直線y＝-4上，∴．，m＝±1．

∴此函數(shù)解析式為：，．

6.【答案】①②④⑤；

【解析】∵拋物線開口朝下，∴a＜0，∵對稱軸x=﹣=1，∴b＞0，∵拋物線與y軸的交點在x軸的上方，∴c＞0，∴abc＜0，故①正確；

根據(jù)圖象知道當(dāng)x=2時，y=4a+2b+c＞0，故②正確；

根據(jù)圖象知道拋物線與x軸有兩個交點，∴b2﹣4ac＞0，故③錯誤；

根據(jù)圖象知道當(dāng)x=﹣1時，y=a﹣b+c＜0，∴a+c＜b，故④正確；

∵對稱軸x=﹣=1，∴b=﹣2a，∴a+2b+c=﹣3a+c，∵a＜0，c＞0，∴a+2b+c=﹣3a+c＞0，故⑤正確．

故答案為：①②④⑤．

三、解答題

7.【答案與解析】

（1）證明：由題意得m≠0，∵△=（m+1）2﹣4m×1=（m﹣1）2≥0，∴此方程總有兩個實數(shù)根；

（2）解：方程的兩個實數(shù)根為x=，∴x1=1，x2=，∵方程的兩個實數(shù)根都是整數(shù)，且m為整數(shù)，∴m=±1；

（3）由（2）知，m=±1．

∵拋物線y=mx2﹣（m+1）x+1的開口向上，∴m=1，則該拋物線的解析式為：y=x2﹣2x+1=（x﹣1）2．

易求得A（1，0），B（0，1）．

如圖，點B關(guān)于直線y=﹣x的對稱點C的坐標(biāo)為（﹣1，0），連接AC，與直線y=﹣x的交點即為符合條件的點P．此時點P與原點重合，則P（0，0）．所以PA+PB=AC=2．

8.【答案與解析】

（1）設(shè)y＝kx，當(dāng)x＝1時，y＝2，解得k＝2，∴y＝2x(0≤x≤20)．

（2）當(dāng)0≤x＜4時，設(shè)y＝a(x-4)2+16．

由題意，∴a＝-1，∴y＝-(x-4)2+16，即當(dāng)0≤x＜4時，．當(dāng)4≤x≤10時，y＝16．

（3）設(shè)小迪用于回顧反思的時間為x(0≤x≤10)分鐘，學(xué)習(xí)收益總量為y，則她用于解題的時間為(20-x)分鐘．

當(dāng)0≤x＜4時，．當(dāng)x＝3時，．

當(dāng)4≤x≤10時，y＝16+2(20-x)＝56-2x．y隨x的增大而減小，因此當(dāng)x＝4時，綜上，當(dāng)x＝3時，此時20-x＝17．

答：小迪用于回顧反思的時間為3分鐘，用于解題的時間為17分鐘時，學(xué)習(xí)收益總量最大．

9.【答案與解析】

解：

（1）因為點P、Q在拋物線上且縱坐標(biāo)相同，所以P、Q關(guān)于拋物線對稱軸對稱并且到對稱軸距離相等．

所以拋物線對稱軸，所以．

（2）由（1）可知，關(guān)于的一元二次方程為=0．

因為，=16-8=80．

所以，方程有兩個不同的實數(shù)根，分別是，．

（3）由（1）可知，拋物線的圖象向上平移（是正整數(shù)）個單位后的解析式

為．

若使拋物線的圖象與軸無交點，只需無實數(shù)解即可．

由==<0，得

又是正整數(shù)，所以的最小值為2．

10.【答案與解析】

解：

（1）將原方程整理，得，△=＞0

∴?．

∴或．

（2）由（1）知，拋物線與軸的交點分別為（m，0）、（4,0），∵A在B的左側(cè)，.∴A（m，0），B（4,0）.則，．

∵AD·BD=10，∴AD2·BD2=100.∴.解得.∵，∴.∴，.∴拋物線的解析式為.（3）答：存在含有、y、y，且與a無關(guān)的等式，如：（答案不唯一）.證明：由題意可得，.∵左邊=.右邊=－－4

=.∴左邊=右邊.∴成立.