沖刺：幾何綜合問題(基礎(chǔ))

一、選擇題

1.（2016?天水）如圖，邊長為2的等邊△ABC和邊長為1的等邊△A′B′C′，它們的邊B′C′，BC位于同一條直線l上，開始時(shí)，點(diǎn)C′與B重合，△ABC固定不動(dòng)，然后把△A′B′C′自左向右沿直線l平移，移出△ABC外（點(diǎn)B′與C重合）停止，設(shè)△A′B′C′平移的距離為x，兩個(gè)三角形重合部分的面積為y，則y關(guān)于x的函數(shù)圖象是（）

A．

B．

C．

D．

2.如圖，將直角三角形ABC沿著斜邊AC的方向平移到△DEF的位置（A、D、C、F四點(diǎn)在同一條直線上）．直角邊DE交BC于點(diǎn)G．如果BG=4，EF=12，△BEG的面積等于4，那么梯形ABGD的面積是（）

A.16

B.20

C.24

D.28

二、填空題

3.（2016?海淀區(qū)二模）據(jù)傳說，古希臘數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家泰勒斯曾利用相似三角形的原理，在金字塔影子的頂部立一根木桿，借助太陽光線構(gòu)成兩個(gè)相似三角形，來測(cè)量金字塔的高度．如圖所示，木桿EF的長為2m，它的影長FD為3m，測(cè)得OA為201m，則金字塔的高度BO為______

m．

4.如圖，線段AB=8cm，點(diǎn)C是AB上任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A、B重合），分別以AC、BC為斜邊在AB的同側(cè)作等腰直角三角形（△AMC和△CNB），則當(dāng)BC=_____________cm時(shí)，兩個(gè)等腰直角三角形的面積和最?。?/p>

三、解答題

5.有一根直尺的短邊長2cm，長邊長10cm，還有一塊銳角為45°的直角三角形紙板，它的斜邊長12cm．如圖①，將直尺的短邊DE與直角三角形紙板的斜邊AB重合，且點(diǎn)D與點(diǎn)A重合；　將直尺沿AB方向平移（如圖②），設(shè)平移的長度為xcm（0≤x≤10），直尺和三角形紙板的重疊部分（圖中陰影部分）的面積為Scm2．

（1）當(dāng)x=0時(shí)（如圖①），S=________；

（2）當(dāng)0＜x≤4時(shí)（如圖②），求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（3）當(dāng)4＜x＜6時(shí)，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；

（4）直接寫出S的最大值．

6.問題情境：如圖①，在△ABD與△CAE中，BD=AE,∠DBA=∠EAC,AB=AC,易證：△ABD≌△CAE.（不需要證明）

特例探究：如圖②,在等邊△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊BC、AB上，且BD=AE,AD與CE交于點(diǎn)F.求證：△ABD≌△CAE．

歸納證明：如圖③，在等邊△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊CB、BA的延長線上，且BD=AE．△ABD與△CAE是否全等？如果全等，請(qǐng)證明；如果不全等，請(qǐng)說明理由．

拓展應(yīng)用：如圖④，在等腰三角形中，AB=AC，點(diǎn)O是AB邊的垂直平分線與AC的交點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別在OB、BA的延長線上．若BD=AE，∠BAC=50°，∠AEC=32°，求∠BAD的度數(shù)．

7.如圖正三角形ABC的邊長為6cm,⊙O的半徑為rcm，當(dāng)圓心O從點(diǎn)A出發(fā)，沿著線路AB－BC－CA運(yùn)動(dòng)，回到點(diǎn)A時(shí)，⊙O隨著點(diǎn)O的運(yùn)動(dòng)而移動(dòng).⑴若r=cm,求⊙O首次與BC邊相切時(shí)，AO的長；

⑵在⊙O移動(dòng)過程中，從切點(diǎn)的個(gè)數(shù)來考慮，相切有幾種不同的情況？寫出不同情況下r的取值范圍及相應(yīng)的切點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

⑶設(shè)⊙O在整個(gè)移動(dòng)過程中，在△ABC內(nèi)部，⊙O未經(jīng)過的部分面積為S，在S＞0時(shí)，求關(guān)于r的函數(shù)解析式，并寫出自變量r的取值范圍.8.（2015?德州）（1）問題：如圖1，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，∠DPC=∠A=∠B=90°，求證：AD?BC=AP?BP．

（2）探究：如圖2，在四邊形ABCD中，點(diǎn)P為AB上一點(diǎn)，當(dāng)∠DPC=∠A=∠B=θ時(shí)，上述結(jié)論是否依然成立？說明理由．

（3）應(yīng)用：請(qǐng)利用（1）（2）獲得的經(jīng)驗(yàn)解決問題：

如圖3，在△ABD中，AB=6，AD=BD=5，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長度的速度，由點(diǎn)A出了，沿邊AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，且滿足∠DPC=∠A，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（秒），當(dāng)以D為圓心，以DC為半徑的圓與AB相切時(shí)，求t的值．

9.如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=12

cm，BC=9

cm，DC=13

cm，點(diǎn)P是線段AB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).設(shè)BP為x

cm，△PCD的面積為y

cm2．

（1）求AD的長；

（2）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值？最大值是多少？

（3）在線段AB上是否存在點(diǎn)P，使得△PCD是直角三角形？若存在，求出x的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.10.如圖，平行四邊形ABCD中，AB=10，AD=6，∠A=60°，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿邊線AB—BC以每秒1個(gè)單位長的速度向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P與C重合時(shí)停下運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)P作AB的垂線PQ交AD或DC于Q.設(shè)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，直線PQ掃過平行四邊形ABCD的面積為S.求S關(guān)于t的函數(shù)解析式.答案與解析

【答案與解析】　　一、選擇題

1.【答案】B.【解析】如圖1所示：當(dāng)0＜x≤1時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥BC′．

∵△ABC和△A′B′C′均為等邊三角形，∴△DBC′為等邊三角形．

∴DE=BC′=x．

∴y=BC′?DE=x2．

當(dāng)x=1時(shí)，y=，且拋物線的開口向上．

如圖2所示：1＜x≤2時(shí)，過點(diǎn)A′作A′E⊥B′C′，垂足為E．

∵y=B′C′?A′E=×1×=．

∴函數(shù)圖象是一條平行與x軸的線段．

如圖3所示：2＜x≤3時(shí)，過點(diǎn)D作DE⊥B′C，垂足為E．

y=B′C?DE=（x﹣3）2，函數(shù)圖象為拋物線的一部分，且拋物線開口向上．

故選：B．

2.【答案】B.二、填空題

3.【答案】134.4.【答案】4.三、解答題

5.【答案與解析】

（1）由題意可知：

當(dāng)x=0時(shí)，∵△ABC是等腰直角三角形，∴AE=EF=2，則陰影部分的面積為：S=×2×2=2；

故答案為：2；

（2）在Rt△ADG中，∠A=45°，∴DG=AD=x，同理EF=AE=x+2，∴S梯形DEFG=（x+x+2）×2=2x+2．

∴S=2x+2；

（3）①當(dāng)4＜x＜6時(shí)（圖1），GD=AD=x，EF=EB=12-（x+2）=10-x，則S△ADG=AD.DG=x2，S△BEF=（10-x）2，而S△ABC=×12×6=36，S△BEF=（10-x）2，∴S=36-x2-（10-x）2=-x2+10x-14，S=-x2+10x-14=-（x-5）2+11，∴當(dāng)x=5，（4＜x＜6）時(shí)，S最大值=11．

（4）S最大值=11．

6.【答案與解析】

特例探究：

證明：∵△ABC是等邊三角形，∴AB=AC，∠DBA=∠EAC=60°，在△ABD與△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS）；

歸納證明：△ABD與△CAE全等．理由如下：

∵在等邊△ABC中，AB=AC，∠ABC=∠BAC=60°，∴∠DBA=∠EAC=120°．

在△ABD與△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS）；

拓展應(yīng)用：∵點(diǎn)O在AB的垂直平分線上，∴OA=OB，∴∠OBA=∠BAC=50°，∴∠EAC=∠DBC．

在△ABD與△CAE中，∴△ABD≌△CAE（SAS），∴∠BDA=∠AEC=32°，∴∠BAD=∠OBA-∠BDA=18°．

7.【答案與解析】

（1）設(shè)⊙O首次與BC相切于點(diǎn)D，則有OD⊥BC．

且OD=r=．

在直角三角形BDO中，∵∠OBD=60°，∴OB==2．

∴AO=AB-OB=6-2=4（厘米）；

（2）由正三角形的邊長為6厘米．可得出它的一邊上的高為3厘米．

①當(dāng)⊙O的半徑r=3厘米時(shí)，⊙O在移動(dòng)中與△ABC的邊共相切三次，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為3；

②當(dāng)0＜r＜3時(shí)，⊙O在移動(dòng)中與△ABC的邊相切六次，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為6；

③當(dāng)r＞3時(shí)，⊙O與△ABC不能相切，即切點(diǎn)個(gè)數(shù)為0．

（3）如圖，易知在S＞0時(shí)，⊙O在移動(dòng)中，在△ABC內(nèi)部為經(jīng)過的部分為正三角形．

記作△A′B′C′，這個(gè)正三角形的三邊分別于原正三角形三邊平行，且平行線間的距離等于r．

連接AA′，并延長AA′，分別交B′C′，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)．

則AF⊥BC，A′E⊥B′C′，且EF=r．

又過點(diǎn)A′作A′G⊥AB于G，則A′G=r．

∵∠GAA′=30°，∴AA′=2x．

∴△A′B′C′的高A′E=AF-3r=9-3r，B′C′=

A′E=2（3-r）．

∴△A′B′C′的面積S=B′C′.A′E=3（3-r）2．

∴所求的解析式為S=3（3-r）2（0＜r＜3）．

8.【答案與解析】

解：（1）如圖1，∵∠DPC=∠A=∠B=90°，∴∠ADP+∠APD=90°，∠BPC+∠APD=90°，∴∠ADP=∠BPC，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD?BC=AP?BP；

（2）結(jié)論AD?BC=AP?BP仍然成立．

理由：如圖2，∵∠BPD=∠DPC+∠BPC，∠BPD=∠A+∠ADP，∴∠DPC+∠BPC=∠A+∠ADP．

∵∠DPC=∠A=∠B=θ，∴∠BPC=∠ADP，∴△ADP∽△BPC，∴=，∴AD?BC=AP?BP；

（3）如圖3，過點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E．

∵AD=BD=5，AB=6，∴AE=BE=3．

由勾股定理可得DE=4．

∵以點(diǎn)D為圓心，DC為半徑的圓與AB相切，∴DC=DE=4，∴BC=5﹣4=1．

又∵AD=BD，∴∠A=∠B，∴∠DPC=∠A=∠B．

由（1）、（2）的經(jīng)驗(yàn)可知AD?BC=AP?BP，∴5×1=t（6﹣t），解得：t1=1，t2=5，∴t的值為1秒或5秒．

9.【答案與解析】

⊥BC于點(diǎn)E．

據(jù)題意知，四邊形ABED是矩形，AB=DE，AD=BE.在Rt△DEC中，∠DEC=90°，DE=12，CD=13，∴

EC=5．

∴AD=BE=BC-EC=4．

（2）若BP為x，則AP=12-x.S△BPC=BP·BC=x.S△APD=AP·AD=24-2x.∴S△PCD=S梯形ABCD-S△BPC-S△APD=78-x-24+2x=-x+54.即

y=-x+54，0≤x≤12.當(dāng)x=0時(shí)，y取得最大值為54

cm2.（3）若△PCD是直角三角形，∵∠BCP＜90°，∴∠PCD≠90°

∴分兩種情況討論，如圖2.①當(dāng)∠DPC=90°時(shí)

∵∠APD+∠BPC=90°，∠BPC+∠PCB=90°，∴∠APD=∠PCB.∴

△APD∽△BCP.∴.即.解得x=6.∠APD=∠BPC=45°的情況不存在，不考慮.②當(dāng)∠P1DC=90°時(shí)，在Rt△P1BC中，P1C2=BP12+BC2=x2+92，在Rt△P1AD中，P1D2=P1A2+AD2=(12-x)2+42，∵∠P1DC=90°，CD2+P1D2=P1C2.即132+(12-x)2+42=x2+92.解得.綜上，當(dāng)x=6或，△PCD是直角三角形.10.【答案與解析】

當(dāng)Q點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，AQ=AD=6，此時(shí)AP=AQ=3=t

當(dāng)P與B點(diǎn)重合時(shí)，t=10，當(dāng)

P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，t=16，∴分三類情況討論

（1）當(dāng)0≤t≤3時(shí)，如圖：

AP=t，PQ=t，∴S=AP·PQ=t2

（2）當(dāng)3＜t≤10時(shí)，示意圖：

過D作DH⊥AB于H，AD=t，則

DH=ADsinA=6·=3，AH=ADcosA=3

∴DQ=PH=AP-AH=t-3

∴S=(AP+DQ)·DH

=(t+t-3)·3=3t-

（3）當(dāng)10＜t≤16時(shí)，如圖：

AB+BP=t

CP=AB+BC-(AB+BP)=16-t

∴CQ=CP=8-

QP=·CQ=8-t

∴S=S□ABCD-S△CPQ

=AB·h-·CQ·PQ

=10·3-·(8-)·(8-)

=30-(64-8t+)

=

綜上，.