2019-2020屆市第一中學(xué)高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)（理）試題

一、單選題

1．已知集合，集合，求（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】解出集合、，再利用集合交集運(yùn)算律可求出集合。

【詳解】

解不等式，即，解得，.解不等式，解得，因此，故選：B。

【點(diǎn)睛】

本題考查集合的交集運(yùn)算，解出不等式得出兩個(gè)集合是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題。

2．若，且，則下列不等式一定成立的是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】試題分析：A、B、C三個(gè)選項(xiàng)的關(guān)系無(wú)法判斷或錯(cuò)誤，而所以,故選D。

【考點(diǎn)】比大?。ɑ蛘卟坏仁阶C明）。

3．下列命題的說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）

A．對(duì)于命題p：?x∈R，x2+x+1＞0，則?p：?x0∈R，x02+x0+1≤0．

B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要條件．

C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分條件．

D．命題“若x2﹣3x+2=0，則x=1”的逆否命題為：“若x≠1，則x2﹣3x+2≠0”．

【答案】C

【解析】對(duì)于命題p:?x∈R,x2+x+1>0,則?p:

?x0∈R，x02+x0+1≤0，是真命題；

“x=1”是“x2?3x+2=0“的充分不必要條件，是真命題；

若c=0時(shí)，不成立，是假命題；

命題“若x2?3x+2=0,則x=1”的逆否命題為：“若x≠1,則x2?3x+2≠0”，是真命題；

故選：C.4．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，則

A．140

B．70

C．154

D．77

【答案】D

【解析】利用等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，及等差數(shù)列的性質(zhì)，即可求出結(jié)果.【詳解】

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，.故選D.【點(diǎn)睛】

本題考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法和等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.5．已知雙曲線（a>0，b>0）的離心率為，則橢圓的離心率為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】由雙曲線（a>0，b>0）的離心率為，得：，即

∴橢圓的離心率為

故選：C

點(diǎn)睛：解決橢圓和雙曲線的離心率的求值及范圍問(wèn)題其關(guān)鍵就是確立一個(gè)關(guān)于a，b，c的方程或不等式，再根據(jù)a，b，c的關(guān)系消掉b得到a，c的關(guān)系式，建立關(guān)于a，b，c的方程或不等式，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)的坐標(biāo)的范圍等.6．函數(shù)，的大致圖象是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【解析】判斷函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)A，C，然后取特殊值，計(jì)算判斷即可得結(jié)果.【詳解】，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，∵，所以為偶函數(shù)，即圖象關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，則排除A，C，當(dāng)時(shí)，故排除D，故選B．

【點(diǎn)睛】

本題考查函數(shù)的圖象的判斷與應(yīng)用，考查函數(shù)的零點(diǎn)以及特殊值的計(jì)算，是中檔題；已知函數(shù)解析式，選擇其正確圖象是高考中的高頻考點(diǎn)，主要采用的是排除法，最常見(jiàn)的排出方式有根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)，同時(shí)還有在特殊點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值或其符號(hào)，其中包括等.7．將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則平移后新函數(shù)圖象對(duì)稱(chēng)軸方程為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】利用圖像左右平移的規(guī)律,得到平移后的函數(shù)圖像對(duì)應(yīng)的解析式,之后結(jié)合余弦函數(shù)圖形的對(duì)稱(chēng)性,應(yīng)用整體角思維得到結(jié)果.【詳解】

將函數(shù)圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得,即,令,解得,則平移后圖像的對(duì)稱(chēng)軸方程為,故選A.【點(diǎn)睛】

該題考查的是有關(guān)函數(shù)圖像的平移變換，以及的圖像和性質(zhì)，結(jié)合余弦曲線的對(duì)稱(chēng)軸，求得結(jié)果.8．在中，邊上的中線的長(zhǎng)為，則（）

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【解析】由題意得【點(diǎn)睛】

本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。

9．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】試題分析：由三視圖分析可知此幾何體為底面是直角三角形，其中一條側(cè)棱垂直與底面的三棱錐。底面三角形兩直角邊分別為3、4，棱錐高為6.則棱錐體積為。故A正確。

【考點(diǎn)】1三視圖；2棱錐體積公式。

10．已知,點(diǎn)是圓上任意一點(diǎn)，則面積的最大值為

（）

A．8

B．

C．12

D．

【答案】C

【解析】由三角形面積公式可得，只需求出到直線的距離最大值即可得結(jié)果.【詳解】

由兩點(diǎn)間距離公式可得,由兩點(diǎn)式可得直線方程為,圓心到直線的距離,圓的半徑,所以點(diǎn)到直線距離的最大值為，面積的最大值為，故選C.【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓的方程與性質(zhì)、點(diǎn)到直線距離公式的應(yīng)用以及解析幾何求最值，屬于中檔題.解決解析幾何中的最值問(wèn)題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來(lái)解決，非常巧妙；二是將解析幾何中最值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法.11．函數(shù)，函數(shù)，（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)取值范圍為（）

A．

B．

C．

D．

【答案】C

【解析】先分離變量，轉(zhuǎn)化為求對(duì)應(yīng)函數(shù)單調(diào)性及其值域，即可確定結(jié)果.【詳解】

由得，令，則,所以當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，,因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，選C.【點(diǎn)睛】

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)，考查綜合分析求解能力，屬中檔題.12．已知雙曲線，過(guò)原點(diǎn)作一條傾斜角為直線分別交雙曲線左、右兩支P，Q兩點(diǎn)，以線段PQ為直徑的圓過(guò)右焦點(diǎn)F，則雙曲線離心率為

A．

B．

C．2

D．

【答案】B

【解析】求得直線的方程，聯(lián)立直線的方程和雙曲線的方程，求得兩點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，根據(jù)列方程，化簡(jiǎn)后求得離心率.【詳解】

設(shè)，依題意直線的方程為，代入雙曲線方程并化簡(jiǎn)得，故，設(shè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由于以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)，故，即，即，即，兩邊除以得，解得.故，故選B.【點(diǎn)睛】

本小題主要考查直線和雙曲線的交點(diǎn)，考查圓的直徑有關(guān)的幾何性質(zhì)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.二、填空題

13．已知，滿足約束條件，則的最小值是_____．

【答案】

【解析】作出不等式組對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，利用的幾何意義，即可得到結(jié)論．

【詳解】

解：作出，滿足約束條件的對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域如圖：

由得，平移直線，由圖象可知當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，直線的縱截距最小，此時(shí)最小，由解得，此時(shí)，故答案為：．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查線性規(guī)劃的基本應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義是解決此類(lèi)問(wèn)題的基本方法．

14．動(dòng)點(diǎn)橢圓上，過(guò)作軸的垂線，垂足為，點(diǎn)滿足.則點(diǎn)的軌跡方程______.【答案】

【解析】設(shè)，，根據(jù)題意列出等式，然后根據(jù)在橢圓上，代入即得。

【詳解】

解：令，則，即代入可得即

故答案為：

【點(diǎn)睛】

本題考查相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程，屬于基礎(chǔ)題。

15．已知在直角梯形中，，將直角梯形沿折疊，使平面平面，則三棱錐外接球的體積為_(kāi)_________．

【答案】

【解析】結(jié)合題意畫(huà)出折疊后得到的三棱錐如圖所示，由條件可得在底面中。取AB的中點(diǎn)O，AC的中點(diǎn)E，連OC,OE。則.∵,∴.∵平面平面,∴平面,∴.又.∴.∴.∴點(diǎn)O為三棱錐外接球的球心，球半徑為2.∴。答案：。

點(diǎn)睛：

（1）本題是一道關(guān)于求三棱錐外接球體積的題目，得到外接球的球心所在位置是解題的關(guān)鍵，結(jié)合題意取AB的中點(diǎn)O，易得OA=OB=OC=OD=2，進(jìn)而可確定三棱錐外接球的半徑，然后利用球的體積公式進(jìn)行計(jì)算即可。

（2）對(duì)于折疊性問(wèn)題，要注意折疊前后的兩個(gè)圖形中哪些量（位置關(guān)系、數(shù)量關(guān)系）發(fā)生了變化、哪些沒(méi)發(fā)生變化。

16．已知函數(shù)，，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為_(kāi)_________．

【答案】

【解析】先證明函數(shù)為奇函數(shù)，故的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，故，由此將的表達(dá)式兩兩組合求它們的和，然后求得的表達(dá)式.【詳解】

由于，所以函數(shù)為奇函數(shù)，故的圖像關(guān)于對(duì)稱(chēng)，由此得到，所以.【點(diǎn)睛】

本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和對(duì)稱(chēng)性，考查特殊數(shù)列求和的方法——分組求和法.屬于中檔題.三、解答題

17．已知函數(shù)，．

（1）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間；

（2）求方程在(0，]內(nèi)的所有解．

【答案】（1）,；（2）或

【解析】先將進(jìn)行恒等變換化為正弦型函數(shù)，（1）直接利用正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間得到,，解得x的范圍即可.（2）令，解得x的值，對(duì)k進(jìn)行賦值，使得x落在內(nèi)，即得結(jié)果.【詳解】

（1）由,，解得：,.∴函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,（2）由得，解得：，即,∵，∴或．

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)求值的運(yùn)算問(wèn)題，考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，是基礎(chǔ)題．

18．已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，且，．

（1）求．

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．

【答案】(1)

(2)

【解析】(1)由數(shù)列是等差數(shù)列，所以，解得，又由，解得，即可求得數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)由（1）得，利用乘公比錯(cuò)位相減，即可求解數(shù)列的前n項(xiàng)和．

【詳解】

(1)由題意，數(shù)列是等差數(shù)列，所以，又，由，得，所以，解得，所以數(shù)列的通項(xiàng)公式為．

(2)由（1）得，，兩式相減得，即．

【點(diǎn)睛】

本題主要考查等差的通項(xiàng)公式、以及“錯(cuò)位相減法”求和的應(yīng)用，此類(lèi)題目是數(shù)列問(wèn)題中的常見(jiàn)題型，解答中確定通項(xiàng)公式是基礎(chǔ)，準(zhǔn)確計(jì)算求和是關(guān)鍵，易錯(cuò)點(diǎn)是在“錯(cuò)位”之后求和時(shí)，弄錯(cuò)等比數(shù)列的項(xiàng)數(shù)，能較好的考查考生的數(shù)形結(jié)合思想、邏輯思維能力及基本計(jì)算能力等.19．在中，角，所對(duì)的邊分別是，，已知.（Ⅰ）求角的大??；

（Ⅱ）若，求的面積.【答案】（1）（2）

【解析】（Ⅰ）由正弦定理得到，再由三角形的內(nèi)角間的關(guān)系得到，解得，進(jìn)而得到結(jié)果；（Ⅱ）結(jié)合余弦定理得到，代入?yún)?shù)值得到，根據(jù)三角形面積公式得到結(jié)果即可.【詳解】

（Ⅰ）根據(jù)正弦定理，整理得，即，而，所以，解得，又，故；

（Ⅱ）根據(jù)余弦定理，又，，故，解得，所以.【點(diǎn)睛】

本題主要考查正弦定理邊角互化及余弦定理的應(yīng)用與特殊角的三角函數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.對(duì)余弦定理一定要熟記兩種形式：（1）；（2），同時(shí)還要熟練掌握運(yùn)用兩種形式的條件.另外，在解與三角形、三角函數(shù)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，還需要記住等特殊角的三角函數(shù)值，以便在解題中直接應(yīng)用.20．如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn).（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值.【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)

【解析】（1）求出和的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)勾股定理可證，又是正三角形，所以，根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，可證平面；

（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量所成的余弦值，從而可以求出平面與平面所成二面角的正弦值.【詳解】

（1）證明：連結(jié)，因?yàn)榈酌鏋榱庑危?，又為的中點(diǎn)，故.在中，為的中點(diǎn)，所以.設(shè)，則，因?yàn)?，所?（也可通過(guò)來(lái)證明），又因?yàn)?，平面，平面，所以平面?/p>

（2）因?yàn)?，，所以平面，又平面，所?由（1）得平面，又平面，故有，又由，所以，所在的直線兩兩互相垂直.故以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線為軸，軸，軸如圖建系.設(shè)，則，，.所以，，由（1）知平面，故可以取與平行的向量作為平面的法向量.設(shè)平面的法向量為，則，令，所以.設(shè)平面與平面所成二面角為，而

則，所以平面與平面所成二面角的正弦值為.【點(diǎn)睛】

本題主要考查線面垂直的判定，空間向量法求二面角，屬于綜合題。

21．已知橢圓的離心率為，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離為2，（1）試求橢圓的方程；

（2）若斜率為的直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓上一點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為，試問(wèn)：是否為定值？請(qǐng)證明你的結(jié)論

【答案】（1）（2）見(jiàn)解析

【解析】分析：（1）由條件得a,c，解得b,即得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，（2）設(shè)C,D坐標(biāo)，根據(jù)斜率公式得，設(shè)直線方程并與橢圓方程聯(lián)立方程組，利用韋達(dá)定理代入化簡(jiǎn)可得為定值.詳解：（1）．，橢圓的方程為

（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立直線的方程與橢圓方程得：

（1）代入（2）得：

化簡(jiǎn)得：………（3）

當(dāng)時(shí)，即，即時(shí)，直線與橢圓有兩交點(diǎn)，由韋達(dá)定理得：，所以，則。

點(diǎn)睛：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達(dá)定理或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化.22．已知函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求實(shí)數(shù)的值；

（2）若存在，滿足，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)

實(shí)數(shù)的值為.(2).【解析】分析：（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求得曲線在點(diǎn)處的切線方程，與對(duì)照后可得．（2）問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為在上有解，令，結(jié)合導(dǎo)數(shù)可得，故得實(shí)數(shù)的取值范圍為．

詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，∵，?∴，又,∴所求切線方程為，即.又函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，∴.所以實(shí)數(shù)的值為.（2）由題意得，所以問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在上有解.令，則

.令，則當(dāng)時(shí)，有.所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以.所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減.所以.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.點(diǎn)睛：對(duì)于恒成立和能成立的問(wèn)題，常用的解法是分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值的問(wèn)題處理．解題時(shí)注意常用的結(jié)論：若有解，則；若有解，則．當(dāng)函數(shù)的最值不存在時(shí)，可利用函數(shù)值域的端點(diǎn)值來(lái)代替，解題時(shí)特別要注意不等式中的等號(hào)能否成立．