近五年（2017-2021）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

四、不等式

一、單選題

1．（2021·全國(guó)（文））下列函數(shù)中最小值為4的是（）

A．

B．

C．

D．

2．（2021·全國(guó)（文））若滿足約束條件則的最小值為（）

A．18

B．10

C．6

D．4

3．（2021·浙江）若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

4．（2021·浙江）已知是互不相同的銳角，則在三個(gè)值中，大于的個(gè)數(shù)的最大值是（）

A．0

B．1

C．2

D．3

5．（2020·浙江）已知a，bR且ab≠0，對(duì)于任意x≥0

均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（）

A．a(chǎn)<0

B．a(chǎn)>0

C．b<0

D．b>0

6．（2020·浙江）若實(shí)數(shù)x，y滿足約束條件，則z=x+2y的取值范圍是（）

A．

B．

C．

D．

7．（2020·全國(guó)（文））已知集合則（）

A．

B．

C．

D．

8．（2019·全國(guó)（文））記不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)?，命題；命題.給出了四個(gè)命題：①；②；③；④，這四個(gè)命題中，所有真命題的編號(hào)是

A．①③

B．①②

C．②③

D．③④

9．（2019·浙江）設(shè)，數(shù)列中，,則

A．當(dāng)

B．當(dāng)

C．當(dāng)

D．當(dāng)

10．（2019·北京（理））若x，y滿足，且y≥?1，則3x+y的最大值為

A．?7

B．1

C．5

D．7

11．（2018·北京（理））設(shè)集合則

A．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，B．對(duì)任意實(shí)數(shù)a，（2,1）

C．當(dāng)且僅當(dāng)a<0時(shí),（2,1）

D．當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí),（2,1）

12．（2018·全國(guó)（理））設(shè)，則

A．

B．

C．

D．

13．（2017·全國(guó)（理））設(shè)x，y滿足約束條件，則z＝2x＋y的最小值是（）

A．－15

B．－9

C．1

D．9

14．（2017·天津（理））已知函數(shù)設(shè)，若關(guān)于x的不等式在R上恒成立，則a的取值范圍是

A．

B．

C．

D．

15．（2017·天津（理））設(shè)變量x，y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大值為

()

A．

B．1

C．

D．3

16．（2017·山東（理））若a>b>0，且ab=1，則下列不等式成立的是

A．

B．

C．

D．

17．（2017·浙江）

若x,y滿足約束條件的取值范圍是

A．[0,6]

B．[0,4]

C．[6,D．[4,二、多選題

18．（2020·海南）已知a>0，b>0，且a+b=1，則（）

A．

B．

C．

D．

三、填空題

19．（2020·天津）已知，且，則的最小值為_(kāi)________．

20．（2020·江蘇）已知，則的最小值是_______．

21．（2020·全國(guó)（文））若x，y滿足約束條件，則z=3x+2y的最大值為_(kāi)________．

22．（2020·全國(guó)（理））若x，y滿足約束條件則z=x+7y的最大值為_(kāi)_____________.23．（2019·天津（文））

設(shè)，，則的最小值為_(kāi)_________.24．（2019·天津（文））

設(shè)，使不等式成立的的取值范圍為_(kāi)_________.25．（2019·天津（理））設(shè)，則的最小值為_(kāi)_____.26．（2018·江蘇）在中，角所對(duì)的邊分別為，的平分線交于點(diǎn)D，且，則的最小值為_(kāi)_______．

27．（2018·北京（理））若x，y滿足x+1≤y≤2x，則2y?x的最小值是__________．

28．（2018·天津（理））已知，且，則的最小值為_(kāi)____________.29．（2018·天津（文））已知，函數(shù)若對(duì)任意x∈［–3，+），f(x)≤恒成立，則a的取值范圍是__________．

30．（2017·山東（文））若直線過(guò)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______．

31．（2017·天津（文））若，則的最小值為_(kāi)__________.32．（2017·北京（文））能夠說(shuō)明“設(shè)是任意實(shí)數(shù),若,則”是假命題的一組整數(shù)的值依次為_(kāi)_________.33．（2017·江蘇）某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物噸，每次購(gòu)買(mǎi)噸，運(yùn)費(fèi)為萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為萬(wàn)元．要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，則的值是__________．

34．（2017·山東（文））若直線過(guò)點(diǎn)（1,2）,則2a+b的最小值為_(kāi)_____.四、雙空題

35．（2019·北京（文））若x，y滿足

則的最小值為_(kāi)_________，最大值為_(kāi)_________.36．（2018·浙江）若滿足約束條件則的最小值是___________，最大值是___________．

近五年（2017-2021）高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

四、不等式（答案解析）

1．C

【解析】對(duì)于A，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，A不符合題意；

對(duì)于B，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，等號(hào)取不到，所以其最小值不為，B不符合題意；

對(duì)于C，因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，而，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以其最小值為，C符合題意；

對(duì)于D，函數(shù)定義域?yàn)?，而且，如?dāng)，D不符合題意．故選：C．

2．C

【解析】

由題意，作出可行域，如圖陰影部分所示，由可得點(diǎn),轉(zhuǎn)換目標(biāo)函數(shù)為，上下平移直線，數(shù)形結(jié)合可得當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí),取最小值，此時(shí).故選：C.3．B

【解析】畫(huà)出滿足約束條件的可行域，如下圖所示：

目標(biāo)函數(shù)化為，由，解得，設(shè)，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，取得最小值為.故選：B.4．C

【解析】

法1：由基本不等式有，同理，故，故不可能均大于.取，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.法2：不妨設(shè)，則，由排列不等式可得：，而，故不可能均大于.取，，則，故三式中大于的個(gè)數(shù)的最大值為2，故選：C.5．C

【解析】因?yàn)椋郧?，設(shè)，則的零點(diǎn)為

當(dāng)時(shí)，則，要使，必有，且，即，且，所以；

當(dāng)時(shí)，則，要使，必有.綜上一定有.故選：C

6．B

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，z取得最小值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最小，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最小值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最小值為：

且目標(biāo)函數(shù)沒(méi)有最大值.故目標(biāo)函數(shù)的取值范圍是.故選：B.【小結(jié)】

求線性目標(biāo)函數(shù)z＝ax＋by(ab≠0)的最值，當(dāng)b＞0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最大，在y軸截距最小時(shí)，z值最?。划?dāng)b＜0時(shí)，直線過(guò)可行域且在y軸上截距最大時(shí)，z值最小，在y軸上截距最小時(shí)，z值最大.7．D

【分析】

首先解一元二次不等式求得集合A，之后利用交集中元素的特征求得，得到結(jié)果.【解析】

由解得，所以，又因?yàn)?，所以，故選：D.【小結(jié)】

本題考查的是有關(guān)集合的問(wèn)題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有利用一元二次不等式的解法求集合，集合的交運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題目.8．A

【分析】

根據(jù)題意可畫(huà)出平面區(qū)域再結(jié)合命題可判斷出真命題.【解析】

如圖，平面區(qū)域D為陰影部分，由得

即A（2，4），直線與直線均過(guò)區(qū)域D，則p真q假，有假真，所以①③真②④假．故選A．

【小結(jié)】

本題將線性規(guī)劃和不等式，命題判斷綜合到一起，解題關(guān)鍵在于充分利用取值驗(yàn)證的方法進(jìn)行判斷．

9．A

【分析】

若數(shù)列為常數(shù)列，則只需使，選項(xiàng)的結(jié)論就會(huì)不成立.將每個(gè)選項(xiàng)的的取值代入方程，看其是否有小于等于10的解.選項(xiàng)B、C、D均有小于10的解，故選項(xiàng)B、C、D錯(cuò)誤.而選項(xiàng)A對(duì)應(yīng)的方程沒(méi)有解，又根據(jù)不等式性質(zhì)，以及基本不等式，可證得A選項(xiàng)正確.【解析】

若數(shù)列為常數(shù)列，則，由，可設(shè)方程

選項(xiàng)A：時(shí)，，故此時(shí)不為常數(shù)列，且，則，故選項(xiàng)A正確；

選項(xiàng)B：時(shí)，，則該方程的解為，即當(dāng)時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，則，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；

選項(xiàng)C：時(shí)，該方程的解為或，即當(dāng)或時(shí)，數(shù)列為常數(shù)列，或，同樣不滿足，則選項(xiàng)C也錯(cuò)誤；

選項(xiàng)D：時(shí)，該方程的解為，同理可知，此時(shí)的常數(shù)列也不能使，則選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：A.【小結(jié)】

遇到此類問(wèn)題，不少考生會(huì)一籌莫展.利用函數(shù)方程思想，通過(guò)研究函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn)，進(jìn)一步討論的可能取值，利用“排除法”求解.10．C

【分析】

首先畫(huà)出可行域，然后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義確定其最值即可.【解析】

由題意作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取最大值5.故選C.【小結(jié)】

本題是簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問(wèn)題的基本題型,根據(jù)“畫(huà)?移?解”等步驟可得解.題目難度不大題,注重了基礎(chǔ)知識(shí)?基本技能的考查.11．D

【解析】若，則且，即若，則，此命題的逆否命題為：若，則有，故選D.小結(jié)：此題主要結(jié)合充分與必要條件考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，集合法是判斷充分條件與必要條件的一種非常有效的方法，根據(jù)成立時(shí)對(duì)應(yīng)的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.設(shè)，若，則；若，則，當(dāng)一個(gè)問(wèn)題從正面思考很難入手時(shí)，可以考慮其逆否命題形式.12．B

【解析】.,即

又

即

故選B.13．A

【解析】作出不等式組表示的可行域，如圖所示，目標(biāo)函數(shù)，z表示直線的縱截距，數(shù)形結(jié)合知函數(shù)在點(diǎn)B(－6，－3)處縱截距取得最小值，所以z的最小值為－12－3＝－15.故選：A

14．A

【解析】不等式為(*)，當(dāng)時(shí)，(*)式即為，又（時(shí)取等號(hào)），（時(shí)取等號(hào)），所以，當(dāng)時(shí)，(*)式為，又（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），（當(dāng)時(shí)取等號(hào)），所以，綜上．故選A．

15．D

【解析】

目標(biāo)函數(shù)為四邊形ABCD及其內(nèi)部，其中，所以直線過(guò)點(diǎn)B時(shí)取最大值3，選D.16．B

【解析】

因?yàn)?，且，所以，所以選B.17．D

【解析】解：x、y滿足約束條件，表示的可行域如圖：

目標(biāo)函數(shù)z=x+2y經(jīng)過(guò)C點(diǎn)時(shí)，函數(shù)取得最小值，由解得C（2，1），目標(biāo)函數(shù)的最小值為：4，目標(biāo)函數(shù)的范圍是[4，+∞）．故選D．

18．ABD

【解析】對(duì)于A，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故A正確；

對(duì)于B，所以，故B正確；

對(duì)于C，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故C不正確；

對(duì)于D，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故D正確；故選：ABD

19．4

【解析】，,，當(dāng)且僅當(dāng)=4時(shí)取等號(hào)，結(jié)合,解得，或時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：

20．【解析】∵

∴且

∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).∴的最小值為.故答案為：.21．7

【解析】不等式組所表示的可行域如圖

因?yàn)?，所以，易知截距越大，則越大，平移直線，當(dāng)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)時(shí)截距最大，此時(shí)z最大，由，得，所以.故答案為：7.22．1

【解析】繪制不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，目標(biāo)函數(shù)即：，其中z取得最大值時(shí)，其幾何意義表示直線系在y軸上的截距最大，據(jù)此結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的幾何意義可知目標(biāo)函數(shù)在點(diǎn)A處取得最大值，聯(lián)立直線方程：，可得點(diǎn)A的坐標(biāo)為：，據(jù)此可知目標(biāo)函數(shù)的最大值為：.故答案為：1．

23．.【解析】由，得，得，等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立．故所求的最小值為．

24．【解析】，即，即，故的取值范圍是．

25．【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，故所求的最小值為．

26．9

【解析】由題意可知，,由角平分線性質(zhì)和三角形面積公式得，化簡(jiǎn)得，因此

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，則的最小值為.27．3

【解析】作可行域，根據(jù)目標(biāo)函數(shù)與可行域關(guān)系，確定最小值取法.解析：作可行域，如圖，平移直線，由圖可知直線過(guò)點(diǎn)A(1,2)時(shí)，取最小值3.28．

【解析】由可知，且，因?yàn)閷?duì)于任意，恒成立，結(jié)合均值不等式的結(jié)論可得：.當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.綜上可得的最小值為.29．

【解析】①當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：

當(dāng)時(shí)，則；

②當(dāng)時(shí)，即：，整理可得：，由恒成立的條件可知：，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可知：

當(dāng)或時(shí)，則；

綜合①②可得的取值范圍是，故答案為.30．8

【解析】因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8

31．4

【解析】，（前一個(gè)等號(hào)成立條件是，后一個(gè)等號(hào)成立的條件是，兩個(gè)等號(hào)可以同時(shí)取得，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）.32．

【解析】，矛盾，所以?1，?2，?3可驗(yàn)證該命題是假命題.33．

【解析】總費(fèi)用為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．故答案為30.34．

【解析】，當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)取等號(hào).35．.1.【解析】作出可行域如圖陰影部分所示.設(shè),則.當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取最小值，經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí),取最大值.36．

【解析】作可行域，如圖中陰影部分所示，則直線過(guò)點(diǎn)時(shí)取最大值，過(guò)點(diǎn)時(shí)取最小值.