科目：數(shù)學(xué)

期末復(fù)習(xí)大禮包

模塊一：圓

一．垂徑定理

1.垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分這條弦所對的弧。

注意：①條件中的“弦”可以是直徑；

②結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優(yōu)弧。

2.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于這條弦，且平分弦所對的?。?/p>

垂徑定理的實質(zhì)可以理解為：

（1）直徑；

（2）垂直于弦；

（3）平分弦；

知二得三

（4）平分弦所對的劣弧；

（5）平分弦所對的優(yōu)弧．

二．

圓周角定理

1.在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，圓周角等于該弧所對的圓心角的一半

2.直徑所對的圓周角是直角，的圓周角所對的弦是直徑；

三．圓的內(nèi)接四邊形及性質(zhì)

1.在圓內(nèi)，四邊形的四個頂點均在同一個圓上的四邊形叫做圓內(nèi)接四邊形；

2.圓內(nèi)接四邊形的對角互補；

3.圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角（就是和它相鄰的內(nèi)角的對角）

4.三角形外接圓的圓心是三條邊垂直平分線的交點，直角三角形外接圓圓心在斜邊的中點；

5.三角形的內(nèi)切圓的圓心是三條角平分線的交點

四．與圓的位置關(guān)系

1.點與圓的位置關(guān)系

若的半徑為，點到圓心的距離為，那么：

（1）點在圓內(nèi)：

（2）點在圓上：

（3）點在圓外：

判斷點與圓的位置關(guān)系通過點到圓心的距離與半徑去進(jìn)行比較

2.直線與圓的位置關(guān)系的判定

如果的半徑為，圓心到直線的距離為，那么

直線與相交

直線與相切

直線與相離

判斷直線與圓的位置關(guān)系通過圓心到直線的距離與半徑去進(jìn)行比較

3.切線的性質(zhì):

(1)

切線與圓有惟一的公共點；

(2)圓心到切線的距離等于半徑；

(3)切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.4.切線長定理

1.從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.五．與圓相關(guān)的計算

1.弧長計算公式：

2．扇形面積計算公式：

3.圓錐與側(cè)面展開扇形的關(guān)系：、扇形的半徑是圓錐側(cè)面的母線，弧長是圓錐底面圓的周長，圓錐體側(cè)面積公式：．

實戰(zhàn)演習(xí)：

1.如圖，⊙沿凸多邊形的外側(cè)（圓與邊相切）作無滑動的滾動．假設(shè)⊙的周長是凸多邊形的周長的一半，那么當(dāng)⊙回到出發(fā)點時，它自身滾動的圈數(shù)為（）

A．

B．

C．

D．

2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以點為圓心、為半徑的⊙上有一動點，連接，若點為的中點，連接，則的最小值為_________.3.如圖，點在⊙上，半徑于點，，則圖中陰影部分的面積等于

．（結(jié)果保留）

4.如圖，為半圓的直徑，交圓于，為延長線上一動點，為中點，交半徑于，連．下列結(jié)論：（1）；（2）；（3）；（4）為定值．其中正確結(jié)論是

．

5.如圖，為⊙的直徑，點在⊙上，于，現(xiàn)將沿翻折得到，交⊙于點，連接交于點．

（1）求證：與⊙相切；

（2）若，連接，求長．

6.如圖，正方形中，是邊的中點，點是正方形內(nèi)一動點，連接，將線段繞點逆時針旋轉(zhuǎn)得，連接．

（1）求證：；

（2）若三點共線，連接，求線段的長．

（3）求線段長的最小值．

模塊二：相似

1.斜A型，斜X型

1）常見的斜型有如下三種情形，如下圖，已知，則由公共角得，∽；

斜型

斜型

有公共邊的斜型

斜型同一直線上的邊滿足公式：;（共直線的線段乘積相等）

有公共邊的斜A型：△ACD∽△ABC，則；

結(jié)論：，即公共邊的平方等于公共角鄰邊之積；

2）常見的斜型如下：已知，則由對頂角得，∽，．

2.射影定理：

在有公共邊斜A型中，當(dāng)CD⊥AB時：△ACD∽△ABC∽△CBD

則：；；．

口訣：

“柱子的平方等于影子的乘積”

3.一線三等角相似模型：

∽

∽

∽

（等角為銳角）

（等角為直角）

（等角為鈍角）

一條直線上有3個相等的角，其中兩個角有公共邊且另一角的頂點落在公共邊上．

實戰(zhàn)演習(xí)：

1.如圖，中，于，于，連接，若，則的長為（）

A．

B．

C．

D．

2.如圖，在正方形中，是對角線與的交點，是邊上的動點（點不與，重合），與交于點，連接．下列五個結(jié)論：①；②；③；④；⑤若，則的最小值是，其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A．

B．

C．

D．

3.如圖，在中，正方形的四個頂點在三角形的邊上，已知，則正方形的邊長等于

．

4.如圖，在矩形中，為邊的中點，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點的對應(yīng)點為，點的對應(yīng)點為，過點作交于點，連接交于點，現(xiàn)有下列結(jié)論：

①；

②；

③；

④點為的外心．

其中正確的有____________

5.如圖，正方形的邊長為，對角線相交于點，是的中點，連接，過點作于點，交于點，則的長為

．

6.如圖，點是正方形內(nèi)的一點，若（），那么的大小是____________

7.如圖，在矩形中，動點滿足，則點到兩點距離之和的最小值為_____________

8.如圖，中，是邊上的點，在邊上，交于，則___________.9.如圖，在中，點分別在上，且．

（1）求證：∽；

（2）若，求的長．

10.【圖形定義】

用一條直線去截一個多邊形，如果截得的一個圖形與原多邊形相似，那么稱這條直線是這個多邊形的特征線．

【概念理解】

如圖1，在中，過點作一條直線交于點，若直線是的特征線，求的度數(shù)；

【問題探究】

如圖2，在矩形中，是對角線，作，垂足為，的延長線交于點，過點作直線，垂足為，則直線是矩形的特征線嗎？請說明你的理由．

11.如圖，中，為斜邊上的高，為邊上一點（不與重合），過點作交于，連接交于點．

（1）求證：∽；

（2）若，試用含的式子表示；

（3）在（2）的條件下，若為等腰三角形，請直接寫出的長．

12.已知，如圖，是⊙的直徑，是弦，是弧的中點，連接并延長與的延長線相交于點，垂足為，交與點，垂足為，．

求（1）和的長；（2）的值．

13.如圖，等腰內(nèi)接于⊙，弦平分，交于點，過點作的平行線分別交于點．

（1）求證：；

（2）若，求的值．

14.如圖，已知是⊙的直徑，是⊙上一點，的平分線交⊙于點，交⊙的切線于點，過點作，交的延長線于點．

（1）求證：是⊙的切線；

（2）若，求的值．

15.如圖，是⊙的直徑，平分，交⊙于點，過點的直線，垂足為，為半徑上一點，點分別在矩形的邊和上．

（1）求證：直線是⊙的切線；

（2）若，求的值．

16.如圖，在中，以為直徑的⊙交于點，是的中點，交于點．

（1）若，求弧的長；

（2）判斷直線與⊙的位置關(guān)系，并說明理由；

（3）求證：．

17.如圖1，以點為圓心，半徑為的圓交軸于兩點，交軸于兩點，點為弧上的一動點，延長交軸于點；連接，交于點．

（1）若點為的中點，求的長；

（2）求的值；

（3）如圖2，過點作交于點，當(dāng)點在弧上運動時，試問的值是否保持不變；若不變，試證明，求出它的值；若發(fā)生變化，請說明理由．

18.如圖，四邊形內(nèi)接于⊙，是⊙的直徑，和相交于點，且．

（1）求證：；

（2）分別延長交于點，過點作交的延長線于點，若，求的長．

模塊三：反比例函數(shù)

1．反比例函數(shù)定義：一般地，形如（k是常數(shù)，且）的函數(shù)，叫做反比例函數(shù)．

2．解析式：，變形：，；

3．圖象：，圖象在第一、第三象限；，圖象在第二、第四象限；

4．增減性：，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而減?。?，在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大；

5．對稱性：函數(shù)圖象關(guān)于原點中心對稱．

1.如圖，點在雙曲線上，點在雙曲線上，且軸，在軸上，若四邊形為平行四邊形，則它的面積為（）

A．

B．

C．

D．

2.如圖，已知點和點，點在反比例函數(shù)的圖象上，作射線，再將射線繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，交反比例函數(shù)圖象于點，則點的坐標(biāo)為

．

3.已知直線與軸、軸分別交于兩點，與反比例函數(shù)（）的圖象交于兩點，若，則的值為（）

A．

B．

C．

D．

4.如圖，等腰三角形的底邊在軸正半軸上，點在第一象限，延長交軸負(fù)半軸于點，延長到點，使，雙曲線（）的圖象過點．若的面積為，則的值為_________

5.正方形的頂點在反比例函數(shù)的圖象上，頂點分別在軸、軸的正半軸上，再在其右側(cè)作正方形，頂點在反比函數(shù)的圖象上，頂點在軸的正半軸上，則點的坐標(biāo)為_________.模塊四：銳角三角函數(shù)

1．直角三角形中：

角的關(guān)系：兩個銳角互余

邊的關(guān)系：

角與邊的關(guān)系：三角函數(shù)

2.三角函數(shù)的定義：

對邊

鄰邊

正弦(對/斜)

余弦(鄰/斜)

正切(對/鄰)

注：

①是的縮寫，是的縮寫，是的縮寫；

②一個角的三角函數(shù)是一個比值，沒有單位；

③三角函數(shù)值是一個角內(nèi)在的屬性，和角在什么地方無關(guān)；只是在直角三角形中，這個角的三角函數(shù)值得到外顯；

④，都是一個完整的符號，單獨的“”沒有意義．其中前面的“”一般省略不寫．

1.如圖，某數(shù)學(xué)活動小組為測量學(xué)校旗桿的高度，沿旗桿正前方米處的點出發(fā)，沿斜面坡度的斜坡前進(jìn)米到達(dá)點，在點處安置測角儀，測得旗桿頂部的仰角為，量得儀器的高為米．已知在同一平面內(nèi)，．求旗桿的高度．（參考數(shù)據(jù)：．計算結(jié)果保留根號）

2.臺風(fēng)是形成于熱帶海洋上的強大而深厚的熱帶氣旋，主要發(fā)生在至月，我市也是遭受臺風(fēng)自然災(zāi)害較為頻繁的地區(qū)．山坡上有一棵與水平面垂直的大樹，一場臺風(fēng)過后，大樹被刮傾斜后折斷倒在山坡上，樹的頂部恰好接觸到坡面（如圖所示）．已知山坡的坡角，量得樹干傾斜角，大樹被折斷部分和坡面所成的角，．

（1）求的度數(shù)；

（2）求這棵大樹折點到坡面的距離．（結(jié)果精確到個位，參考數(shù)據(jù)：）

模塊五：二次函數(shù)

1.對于拋物線，系數(shù)a、b、c的影響:

(1)對稱軸：左同右異。a、b同號，對稱軸在y軸左側(cè)；a、b異號，對稱軸在y軸右側(cè).(2)

拋物線與x軸交點個數(shù)：，圖象與x軸有2個交點；，圖象與x軸有1個交點；，圖象與x軸沒有交點.a、c異號，拋物線與x軸一定有兩個交點,且分別在y軸的兩側(cè)。

2．平移規(guī)律：“上+下，左+右”．

3.二次函數(shù)圖象的對稱變換

二次函數(shù)圖象對稱一般有三種情況，可以用一般式或頂點式表達(dá)

1．關(guān)于軸對稱

關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；

關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；

2．關(guān)于軸對稱

關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；

關(guān)于軸對稱后，得到的解析式是；

3．關(guān)于原點對稱

關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是；

關(guān)于原點對稱后，得到的解析式是．

4.二次函數(shù)與方程不等式的關(guān)系

1．二次函數(shù)與軸交點的橫坐標(biāo)是一元二次方程的根．

①當(dāng)時，圖象與x軸交于兩點，其中的,是一元二次方程的兩根；

②當(dāng)時，圖象與軸只有一個交點；

③當(dāng)時，圖象與軸沒有交點；

2．直線與拋物線交點的橫坐標(biāo)是方程的解；

①利用數(shù)形結(jié)合判斷方程解的個數(shù)；

②利用聯(lián)立方程求解交點坐標(biāo)；

3．直線、拋物線的交點橫坐標(biāo)是方程的解．

5.二次函數(shù)與幾何綜合1．三角形面積：

；圖中PE為鉛垂高，OB為水平寬；

2．求面積相等或成倍分關(guān)系：

相等：做雙軌平行線，注意共有兩條平行線；

倍分關(guān)系：根據(jù)截距找對應(yīng)的平行線和交點，一般為中點或三等分點；

實戰(zhàn)演習(xí)：

1.已知拋物線具有如下性質(zhì)：該拋物線上任意一點到定點的距離與到軸的距離始終相等，如圖，點的坐標(biāo)為，是拋物線上一個動點，則周長的最小值是（）

A．

B．

C．

D．

2.若拋物線與直線的兩交點橫坐標(biāo)分別為，則代數(shù)式的值為

3.平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線為常數(shù)．

（1）若拋物線經(jīng)過點，求的值；

（2）若拋物線經(jīng)過點和點，且，求的取值范圍；

（3）若將拋物線向右平移個單位長度得到新拋物線，當(dāng)時，新拋物線對應(yīng)的函數(shù)有最小值，求的值．

4.已知，拋物線與軸交于、兩點，與軸交于點，拋物線的對稱軸是直線，為拋物線的頂點，點在軸點的上方，且．

（1）求拋物線的解析式及頂點的坐標(biāo)；

（2）求證：直線是外接圓的切線；

（3）在直線上方的拋物線上找一點，使，求點的坐標(biāo)；

（4）在坐標(biāo)軸上找一點，使以點為頂點的三角形與相似，直接寫出點的坐標(biāo)．

5.如圖，二次函數(shù)的圖象與軸交于兩點，與軸交于點，．點在函數(shù)圖象上，軸，且，直線是拋物線的對稱軸，是拋物線的頂點．

（1）求的值；

（2）如圖①，連接，線段上的點關(guān)于直線的對稱點恰好在線段上，求點的坐標(biāo)；

（3）如圖②，動點在線段上，過點作軸的垂線分別與交于點，與拋物線交于點．試問：拋物線上是否存在點，使得與的面積相等，且線段的長度最??？如果存在，求出點的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由．

6.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線交軸于兩點（點在點的左側(cè)），將該拋物線位于軸上方曲線記作，將該拋物線位于軸下方部分沿軸翻折，翻折后所得曲線記作，曲線交軸于點C，連接．

（1）求曲線所在拋物線相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；

（2）求外接圓的半徑；

（3）點為曲線或曲線上的一動點，點為軸上的一個動點，若以點為頂點的四邊形是平行四邊形，求點的坐標(biāo)．

7.如圖，已知二次函數(shù)的圖象與軸交于點，點，與軸交于點．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）連接，若點在線段上運動（不與點重合），過點作，交于點，當(dāng)面積最大時，求點的坐標(biāo)；

（3）連接，在（2）的結(jié)論下，求與的數(shù)量關(guān)系．

8.如圖1，四邊形是矩形，點的坐標(biāo)為，點的坐標(biāo)為，點從點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向點出發(fā)，同時點從點出發(fā)，沿以每秒個單位長度的速度向點運動，當(dāng)點與點重合時運動停止．設(shè)運動時間為秒．

（1）當(dāng)時，線段的中點坐標(biāo)為；

（2）當(dāng)與相似時，求的值；

（3）當(dāng)時，拋物線經(jīng)過兩點，與軸交于點，拋物線的頂點為，如圖2所示，問該拋物線上是否存在點，使？若存在，求出所有滿足條件的的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．