第十二章

富里埃級(jí)數(shù)

§1

富里埃級(jí)數(shù)

一

富里埃（Fourier）級(jí)數(shù)的引進(jìn)

定義：設(shè)是上以為周期的函數(shù)，且在上絕對(duì)可積，稱形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為的Fourier級(jí)數(shù)(的Fourier展開式)，其中，稱為的Fourier系數(shù)，記為

說明

1）在未討論收斂性，證明一致收斂到之前，不能將“~”改為“=”；此處“~”也不包含“等價(jià)”之意，而僅僅表示是的Fourier級(jí)數(shù)，或者說的Fourier級(jí)數(shù)是。

2)

要求上的Fourier級(jí)數(shù)，只須求出Fourier系數(shù)。

二

富里埃級(jí)數(shù)收斂性的判別

1.Riemann（黎曼）引理

設(shè)在（有界或無界）區(qū)間上絕對(duì)可積，則，.推論

在上絕對(duì)可積函數(shù)的Fourier系數(shù)；

2.Fourier級(jí)數(shù)收斂的充要條件

定理1

和,使得當(dāng)時(shí)成立

其中.3.Fourier級(jí)數(shù)收斂的Dini判別法

推論:

設(shè)在上除去有限點(diǎn)外存在有界導(dǎo)數(shù),則的Fourier級(jí)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)收斂,且

特別地,是的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，即

例:

設(shè)是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為,判定的Fourier級(jí)數(shù)的收斂性.例：設(shè)是以為周期的函數(shù),其在上等于,判定的Fourier級(jí)數(shù)的收斂性

例：

4.Jordan判別法

設(shè)在上單調(diào)(或有界變差)，則。

例：設(shè)是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為,求的Fourier展開式。

計(jì)算的Fourier系數(shù)的積分也可以沿別的長(zhǎng)度為的區(qū)間來積.如，例：

設(shè)是以為周期的函數(shù),其在上等于,求的Fourier級(jí)數(shù).如果僅定義在長(zhǎng)為的區(qū)間上,例如定義在上,此時(shí)不是周期函數(shù),從而不能按上述方法展開為Fourier級(jí)數(shù).但可對(duì)在外補(bǔ)充定義,使其以為周期,如定義,它有下述性質(zhì):

a)

時(shí),；

b)

以為周期.例

:

三

正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)

定義

形如的三角級(jí)數(shù)(函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))稱為正弦級(jí)數(shù);形如的三角級(jí)數(shù)（函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)）稱為余弦級(jí)數(shù).2

如果是以為周期的函數(shù),在上絕對(duì)可積,若是奇函數(shù),則有；若是偶函數(shù),則有.3設(shè)僅在上有定義,如果按奇函數(shù)的要求,補(bǔ)充定義,然后再作周期延拓,必得奇函數(shù),所得Fourier級(jí)數(shù)必為正弦級(jí)數(shù).對(duì)應(yīng)地,補(bǔ)充定義后,再作周期延拓,必得偶函數(shù),所得Fourier級(jí)數(shù)必為余弦級(jí)數(shù)。

例:),將展開成余弦函數(shù)。

例：將在上展開為余弦級(jí)數(shù)。

四

一般周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)

設(shè)是周期為的函數(shù),且在上絕對(duì)可積,則有,其中，例:

求的Fourier展開式.五

Fourier級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)表示形式

設(shè),則其復(fù)數(shù)表示形式為,其中,復(fù)的Fourier系數(shù).§2

富里埃變換

一

富里埃變換的概念

設(shè)在內(nèi)絕對(duì)可積。

定義1

稱是的富里埃變換，并把它記為或。即。

富里埃變換的性質(zhì)

（i）是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)；

（ii）。

定義2

稱是的富里埃逆變換。又稱

是的富里埃變換積分公式。

例：

求衰減函數(shù)的富里埃變換。

例：

求函數(shù)的富里埃變換和富里埃變換積分公式。

二

富里埃變換的一些性質(zhì)

富里埃變換有一些簡(jiǎn)單的性質(zhì)，這些性質(zhì)在偏微分方程和概率論等課程中有著很重要的應(yīng)用。

性質(zhì)1（線性），其中是兩個(gè)任意給定的常數(shù)。

性質(zhì)2（平移）對(duì)任何，設(shè)，那么。

性質(zhì)3（導(dǎo)數(shù)）設(shè)，則。

性質(zhì)4。

第十三章

多元函數(shù)的極限和連續(xù)性

§1、平面點(diǎn)集

一

鄰域、點(diǎn)列的極限

定義1

在平面上固定一點(diǎn)，凡是與的距離小于的那些點(diǎn)組成的平面點(diǎn)集，叫做的鄰域，記為。

定義2

設(shè)。如果對(duì)的任何一個(gè)鄰域，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有。就稱點(diǎn)列收斂，并且收斂于，記為或。

性質(zhì)：（1）。

（2）若收斂，則它只有一個(gè)極限，即極限是唯一的。

二

開集、閉集、區(qū)域

設(shè)是一個(gè)平面點(diǎn)集。

1．內(nèi)點(diǎn)：設(shè)，如果存在的一個(gè)鄰域，使得，就稱是的內(nèi)點(diǎn)。

2．外點(diǎn)：設(shè)，若存在的一個(gè)鄰域，使，就稱是的外點(diǎn)。

3．邊界點(diǎn)：設(shè)是平面上一點(diǎn)，它可以屬于，也可以不屬于，如果對(duì)的任何鄰域，其中既有的點(diǎn)，又有非中的點(diǎn)，就稱是的邊界點(diǎn)。的邊界點(diǎn)全體叫做的邊界。

4．開集：如果的點(diǎn)都是的內(nèi)點(diǎn)，就稱是開集。

5．聚點(diǎn)：設(shè)是平面上的一點(diǎn)，它可以屬于，也可以不屬于，如果對(duì)的任何鄰域，至少含有中一個(gè)（不等于的）點(diǎn)，就稱是的聚點(diǎn)。

性質(zhì)：設(shè)是的聚點(diǎn)，則在中存在一個(gè)點(diǎn)列以為極限。

6．閉集：設(shè)的所有聚點(diǎn)都在內(nèi)，就稱是閉集。

7．區(qū)域：設(shè)是一個(gè)開集，并且中任何兩點(diǎn)和之間都可以用有限條直線段所組成的折線連接起

來，而這條折線全部含在中，就稱是區(qū)域。一個(gè)區(qū)域加上它的邊界就是一個(gè)閉區(qū)域。

三

平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本定理

1．矩形套定理：設(shè)是矩形序列，其中每一個(gè)矩形都含在前一個(gè)矩形中，并且，那么存在唯一的點(diǎn)屬于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列有界，那么從其中必能選取收斂的子列。

3.有限覆蓋定理：若一開矩形集合覆蓋一有界閉區(qū)域。那么從

里，必可選出有限個(gè)開矩形，他們也能覆蓋這個(gè)區(qū)域。

4．收斂原理：平面點(diǎn)列有極限的充分必要條件是：對(duì)任何給定的，總存在正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，有。

§2

多元函數(shù)的極限和連續(xù)

一

多元函數(shù)的概念

不論在數(shù)學(xué)的理論問題中還是在實(shí)際問題中，許多量的變化，不只由一個(gè)因素決定，而是由多個(gè)因素決定。例如平行四邊行的面積由它的相鄰兩邊的長(zhǎng)和寬以及夾角所確定,即;圓柱體體積由底半徑和高所決定,即。這些都是多元函數(shù)的例子。

一般地，有下面定義：

定義1

設(shè)是的一個(gè)子集，是實(shí)數(shù)集，是一個(gè)規(guī)律，如果對(duì)中的每一點(diǎn)，通過規(guī)律，在中有唯一的一個(gè)與此對(duì)應(yīng)，則稱是定義在上的一個(gè)二元函數(shù)，它在點(diǎn)的函數(shù)值是，并記此值為，即。

有時(shí)，二元函數(shù)可以用空間的一塊曲面表示出來，這為研究問題提供了直觀想象。例如，二元函數(shù)就是一個(gè)上半球面，球心在原點(diǎn)，半徑為，此函數(shù)定義域?yàn)闈M足關(guān)系式的，全體，即。又如，是馬鞍面。

二

多元函數(shù)的極限

定義2

設(shè)是的一個(gè)開集，是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)在點(diǎn)附近有定義．如果，當(dāng)時(shí)，有，就稱是二元函數(shù)在點(diǎn)的極限。記為或。

定義的等價(jià)敘述1

設(shè)是的一個(gè)開集，是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)在點(diǎn)

附近有定義．如果，當(dāng)時(shí)，有，就稱是二元函數(shù)在點(diǎn)的極限。記為或。

定義的等價(jià)敘述2

設(shè)是的一個(gè)開集，是一個(gè)常數(shù)，二元函數(shù)在點(diǎn)

附近有定義．如果，當(dāng)且時(shí)，有，就稱是二元函數(shù)在點(diǎn)的極限。記為或。

注：（1）和一元函數(shù)的情形一樣，如果，則當(dāng)以任何點(diǎn)列及任何方式趨于時(shí)，的極限是；反之，以任何方式及任何點(diǎn)列趨于時(shí)，的極限是。但若在某一點(diǎn)列或沿某一曲線時(shí)，的極限為，還不能肯定在的極限是。所以說，這里的“或”要比一元函數(shù)的情形復(fù)雜得多，下面舉例說明。

例：設(shè)二元函數(shù)，討論在點(diǎn)的的二重極限。

例：設(shè)二元函數(shù)，討論在點(diǎn)的二重極限是否存在。

例：，討論該函數(shù)的二重極限是否存在。

二元函數(shù)的極限較一元函數(shù)的極限而言，要復(fù)雜得多，特別是自變量的變化趨勢(shì)，較之一元函數(shù)要復(fù)雜。

例：。

例：①?、凇、?/p>

例：求在（０，０）點(diǎn)的極限，若用極坐標(biāo)替換則為

（注意：在時(shí)為０，此時(shí)無界）。

例：（極坐標(biāo)法再舉例）：設(shè)二元函數(shù)，討論在點(diǎn)的二重極限．

證明二元極限不存在的方法．

基本思想：根據(jù)重極限定義，若重極限存在，則它沿任何路徑的極限都應(yīng)存在且相等，故若１）某個(gè)特殊路徑的極限不存在；２）或某兩個(gè)特殊路徑的極限不等；３）或用極坐標(biāo)法說明極限與輻角有關(guān)．

例：在的二重極限不存在．

三

二元函數(shù)的連續(xù)性

定義3

設(shè)在點(diǎn)有定義，如果，則稱在點(diǎn)連續(xù)．

“語(yǔ)言”描述：，有。

如果在開集內(nèi)每一點(diǎn)連續(xù)，則稱在內(nèi)連續(xù)，或稱是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)。

例：求函數(shù)的不連續(xù)點(diǎn)。

四

有界閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)

有界性定理

若再有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上有界。

一致連續(xù)性定理

若再有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上一致連續(xù)。

最大值最小值定理

若再有界閉區(qū)域上連續(xù)，則它在上必有最大值和最小值。

零點(diǎn)存在定理

設(shè)是中的一個(gè)區(qū)域，和是內(nèi)任意兩點(diǎn)，是內(nèi)的連續(xù)函數(shù)，如果，則在內(nèi)任何一條連結(jié)的折線上，至少存在一點(diǎn)，使。

五

二重極限和二次極限

在極限中，兩個(gè)自變量同時(shí)以任何方式趨于，這種極限也叫做重極限（二重極限）．此外，我們還要討論當(dāng)先后相繼地趨于與時(shí)的極限．這種極限稱為累次極限（二次極限），其定義如下：

若對(duì)任一固定的，當(dāng)時(shí)，的極限存在：,而在時(shí)的極限也存在并等于，亦即，那么稱為先對(duì)，再對(duì)的二次極限，記為

．

同樣可定義先后的二次極限：．

上述兩類極限統(tǒng)稱為累次極限。

注意：二次極限（累次極限）與二重極限（重極限）沒有什么必然的聯(lián)系。

例：（二重極限存在，但兩個(gè)二次極限不存在）．設(shè)

由　得（兩邊夾）;不存在知的累次極限不存在。

例：（兩個(gè)二次極限存在且相等，但二重極限不存在）。設(shè)，由知兩個(gè)二次極限存在且相等。但由前面知

不存在。

例：（兩個(gè)二次極限存在，但不相等）。設(shè)，則，;

（不可交換）

上面諸例說明：二次極限存在與否和二重極限存在與否，二者之間沒有一定的關(guān)系。但在某些條件下，它們之間會(huì)有一些聯(lián)系。

定理1　設(shè)（1）二重極限；（2）。則。

（定理1說明：在重極限與一個(gè)累次極限都存在時(shí)，它們必相等。但并不意味著另一累次極限存在）。

推論1

設(shè)（1）

；（2），存在；（3），存在；則，都存在，并且等于二重極限。

推論2

若累次極限與存在但不相等，則重極限必不存在（可用于否定重極限的存在性）。

例：求函數(shù)在的二次極限和二重極限。

第十四章

多元函數(shù)微分學(xué)

§1

偏導(dǎo)數(shù)和全微分的概念

一

偏導(dǎo)數(shù)的定義

1．偏導(dǎo)數(shù)定義

定義1

設(shè)是一個(gè)二元函數(shù)，定義在內(nèi)某一個(gè)開集內(nèi)，點(diǎn)（，）

D，在中固定,那么是一個(gè)變?cè)暮瘮?shù)，如果在點(diǎn)可導(dǎo)，即如果

(1)

存在，則稱此極限值為二元函數(shù)在點(diǎn)（,）關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)。

記為。

類似地可定義。

2．偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算

例:

設(shè)，求偏導(dǎo)數(shù)。

例：，求和。

例：U=++yz

求。

3.偏導(dǎo)數(shù)和連續(xù)

若在點(diǎn)關(guān)于（或）可導(dǎo)，則在關(guān)于（或）連續(xù)。但不能推出關(guān)于兩個(gè)變量是連續(xù)的。見下面的例子。

例：

。

4.偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義

就是曲線在的切向量。

就是曲線在的切向量。

二

全微分的定義

二元函數(shù)微分的定義

定義2

若函數(shù)的全改變量可表示為

=(+,+)=++()

且其中與，無關(guān)而僅與有關(guān)，則稱函數(shù)在點(diǎn)可微，并稱為在點(diǎn)的全微分，記為，即。

性質(zhì)1

如果在點(diǎn)（,）可微，則。

注：若在點(diǎn)可微，則。

性質(zhì)2

若在點(diǎn)（，）可微，則f在點(diǎn)（，）連續(xù)。

例：設(shè)

證明在點(diǎn)不可微。

定理1

設(shè)函數(shù)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)，在點(diǎn)（，）存在而且都連續(xù)，則在點(diǎn)（，）可微。

例：設(shè)，求。

三

高階偏導(dǎo)數(shù)與高階全微分

類似于一元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)，可以定義高階偏導(dǎo)數(shù)。

例：設(shè)，求，；，。

注：一般情況下，未必有。

例：

設(shè)，可求得。

定理2

設(shè)二元函數(shù)的兩個(gè)混合偏導(dǎo)數(shù)，在(，)連續(xù)，則有(,)=(,)。

§2

求復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t

一

復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t

定理1（鏈?zhǔn)椒▌t）設(shè)，此時(shí)在點(diǎn)可微，又和都在點(diǎn)

關(guān)于的偏導(dǎo)數(shù)存在，則

說明：(1)

幾種特殊情形：定理1顯然講的是2個(gè)中間變量，2個(gè)自變量的情形，但其思想方法完全適用與其它情形：

1）

則。

2）設(shè)則

例：又設(shè)。求

（2）

計(jì)算復(fù)合函數(shù)的兩階及兩階以上偏導(dǎo)數(shù)，只要重復(fù)運(yùn)用鏈?zhǔn)椒▌t即可。

(3)有時(shí)記。

例：。

例：

（4）鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t中的條件是充分的，并非必要的。在使用鏈?zhǔn)椒▌t時(shí)，要注意的可微性條件，如果不滿足這一條件，鏈?zhǔn)椒▌t不一定成立。

二

一階微分形式不變性

一階微分有個(gè)很重要性質(zhì)——形式不變性。在二元函數(shù)中也有類似的性質(zhì)。

設(shè)是二元可微函數(shù)，如果是自變量，則：

（各自獨(dú)立變量）（1）

如果不是自變量而是中間變量，又設(shè)都可微，并且可以構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，那么：

（2）

由（1），（2）的可知一階微分形式的不變性。

注意（1）兩階微分沒有這一性質(zhì)，如下例。

例：設(shè)

則

如果二階微分只有形式不變性，則有：

但

（2）利用一階微分形式不變性求偏導(dǎo)數(shù)

例：設(shè)利用微分形式不變性求

并求出

（3）高階微分不具有形式不變性。

§3

由方程（組）所確定的函數(shù)的求導(dǎo)法

在此之前，我們所接觸的函數(shù)，其表達(dá)式大多是自變量的某個(gè)算式，如

這種形式的函數(shù)稱為顯函數(shù)。但在不少場(chǎng)合常會(huì)遇到另一種形式的函數(shù)，其自變量與因變量之間的對(duì)應(yīng)法則是由一個(gè)方程式所決定的。這種形式的函數(shù)稱為隱函數(shù)。

本節(jié)將介紹由一個(gè)方程所確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法以及由方程組所確定的隱函數(shù)求導(dǎo)法。

一．

一個(gè)方程的情形

對(duì)

說明：（1）

求需要假定，這一假設(shè)是很重要的；（2）

這里只用到了“鏈?zhǔn)椒▌t”；（3）

對(duì)求導(dǎo)，只在假定的函數(shù)的情況下，求導(dǎo)數(shù)，如何確定。

例：

設(shè)。

例：

設(shè)二階可微，求。

二

方程組的情形

設(shè)由方程組

確定了：并且它們具有對(duì)各個(gè)變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，如何求偏導(dǎo)數(shù)？

解決方案：

求完全相同。

例：設(shè)。

例：設(shè)。

例：設(shè)，，變換方程。

§4

空間曲線的切線與法平面

本節(jié)主要討論由參數(shù)方程表示的空間曲線和由方程組表示的空間曲線的切線和法平面的計(jì)算問題。

參數(shù)方程的情形

設(shè)空間曲線的參數(shù)方程為

其中的參數(shù)。又設(shè)都在連續(xù)，并且對(duì)每一不全為0，這樣的曲線稱為光滑曲線。通過曲線上任一點(diǎn)的切線定義為割線的極限位置，由此就可寫出曲線在任一點(diǎn)的切線方程為：。

法平面：過點(diǎn)可以作無窮多條切線與切線垂直，所有這些直線都在同一平面上，稱這個(gè)平面為曲線在點(diǎn)處的法平面，其方程為：。

例：求螺旋線：，（其中為常數(shù)）在點(diǎn)（，0，0）的切線方程和法平面方程。

如果曲線方程由下式表示：。則過點(diǎn)的切線方程為，過點(diǎn)的法平面方程為。

空間曲線是用兩個(gè)曲面的交線表示：。

又設(shè)，關(guān)于有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，；

例：求兩柱面的交線在點(diǎn)的切線方程和法平面方程。

§5

曲面的切平面與法線

1、設(shè)光滑曲面的方程，為曲面上一點(diǎn)，過點(diǎn)的切平面方程為：。

過點(diǎn)并與切線平面垂直的直線，稱為曲線在點(diǎn)的法線，方程為：。

2、若曲面方程為，則曲面過的切平面方稱為

法線方程：。

3、曲面方程由方程組給出：，給出，其中是參數(shù)。則曲面過的切平面方稱為。

法線方程為：

例：求曲面在點(diǎn)（2，1，4）的法向量的方向余弦，并求其法線方程和切平面方程。

例：證明對(duì)任何常數(shù)，球面和錐面正交。

§6

方向?qū)?shù)和梯度

一

方向?qū)?shù)

在許多實(shí)際問題中，常常需要知道函數(shù)在一點(diǎn)沿任何方向或某個(gè)方向的變化率。

定義1

設(shè)是中的一個(gè)區(qū)域，是D內(nèi)一個(gè)函數(shù)，是一個(gè)方向向量，令，如果

存在，則稱此極限是在點(diǎn)沿方向的方向?qū)?shù)，記為。它表示在點(diǎn)沿方向的變化率。

定理1

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)可微，則在點(diǎn)沿任何方向的方向?qū)?shù)存在，并且有

其中是方向的方向余弦。

例：設(shè)，求在點(diǎn)（1，0，2）沿方向（2，1，-1）的方向?qū)?shù)。

設(shè)是中的一個(gè)區(qū)域，是內(nèi)的一個(gè)二元可微函數(shù)，那么在內(nèi)每一點(diǎn)，沿單位向量的方向?qū)?shù)是，其中是軸正向（即軸上單位向量）和向量之間的夾角。

二

梯度

1、引言

在一個(gè)數(shù)量場(chǎng)中，在給定點(diǎn)沿不同的方向，其方向?qū)?shù)一般是不相同的，現(xiàn)在我們所關(guān)心的是：沿哪一個(gè)方向其方向?qū)?shù)最大？其最大值是多少？為此引進(jìn)一個(gè)很重要的概念——梯度。

2、梯度的定義

定義2

設(shè)定義于某個(gè)三維區(qū)域內(nèi)，又設(shè)函數(shù)具有關(guān)于各個(gè)多元的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，稱向量

是在點(diǎn)的梯度，記為，即

。它的長(zhǎng)度為。

注：它是一個(gè)向量，是由數(shù)量場(chǎng)產(chǎn)生的向量。

3、的性質(zhì)：

設(shè)可微，則

（1）；（是常數(shù)）。

（2）；

（3）

（）

（4）

（在可微）

例：設(shè)在空間原點(diǎn)處有一個(gè)點(diǎn)電荷，在真空中產(chǎn)生一個(gè)靜電場(chǎng)，在空間任一點(diǎn)處的電位是：，則。

4、的意義：的方向表示數(shù)量場(chǎng)沿此方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大；的根長(zhǎng)就是這個(gè)最大的方向?qū)?shù)。

例：求數(shù)量函數(shù)在的梯度及其大小。

§7

泰勒公式

定理1

設(shè)函數(shù)在點(diǎn)內(nèi)對(duì)及具有直到階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。對(duì)D內(nèi)任意一點(diǎn)，設(shè)，則，這里。

二元函數(shù)的中值公式，其中。

例：寫出在點(diǎn)附近函數(shù)的泰勒公式。

例：按及的乘冪展開函數(shù)到三項(xiàng)為止。

第十五章

極值和條件極值

§1.極值和最小二乘法

一

極值

定義1　設(shè)在的鄰域內(nèi)成立不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)取到極大值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極大點(diǎn)，若在的鄰域內(nèi)成立不等式，則稱函數(shù)在點(diǎn)取到極小值，點(diǎn)稱為函數(shù)的極小點(diǎn)。極大值和極小值統(tǒng)稱為極值，極大點(diǎn)和極小點(diǎn)統(tǒng)稱為極值點(diǎn)。

定義2

設(shè)是內(nèi)的一個(gè)區(qū)域，是的一個(gè)內(nèi)點(diǎn)，如果，則稱是的一個(gè)駐點(diǎn)。

根據(jù)費(fèi)瑪定理，可知

定理1

二元函數(shù)的極值點(diǎn)必為的點(diǎn)或至少有一個(gè)偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)。

注：定理1的條件是必要條件，而不是充分條件。

例：在點(diǎn)。

例：在點(diǎn)。

怎樣進(jìn)一步判斷是否有極值？

定理2

設(shè)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有各個(gè)二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且點(diǎn)是的一個(gè)駐點(diǎn)，，，則：（1）若，則在點(diǎn)有極小值；（2）若，則在點(diǎn)有極大值；（3）若，則在點(diǎn)沒有極值；（4）若，則須進(jìn)一步判斷。

例：求的極值。

例：求的極值。

多元函數(shù)的最大（小）值問題

設(shè)函數(shù)在某一有界閉區(qū)域中連續(xù)且可導(dǎo)，必在上達(dá)到最大（小）值。若這樣的點(diǎn)位于區(qū)域內(nèi)部，則在這點(diǎn)顯然函數(shù)有極大（小）值。因此，在這種情形函數(shù)取到最大（?。┲档狞c(diǎn)必是極值點(diǎn)之一。然而函數(shù)的最大（?。┲底羁赡茉趨^(qū)域的邊界上達(dá)到。因此，為找出函數(shù)在區(qū)域上的最大（小）值，必須找出一切有極值的內(nèi)點(diǎn)，算出這些點(diǎn)的函數(shù)值，再與區(qū)域邊界上的函數(shù)值相比較，這些數(shù)值中最大數(shù)（或最小數(shù)）就是函數(shù)在閉區(qū)域上的最大（小）值。通常可根據(jù)問題的實(shí)際意義來判斷。

例：有一塊寬24cm的矩形薄鐵皮，把兩邊折起來，做成一個(gè)梯形水槽，問和各自為何值時(shí)，水槽的流量是最大？

例：試在軸，軸與直線圍成的三角形區(qū)域上求函數(shù)的最大值。

二

.最小二乘法

例：已知，…服從線性關(guān)系：

問：如何根據(jù)這組數(shù)據(jù)來合理地確定系數(shù)和？

解：總偏差為，確定系數(shù)，使總偏差最小。這種確定系數(shù)的方法叫做最小二乘法。令，即可解得。

幾個(gè)疑問：1）如果怎么辦？2）這樣求出的就是達(dá)到極小值的點(diǎn)？

3）在選取

時(shí)，為什么不取各個(gè)偏差的代數(shù)和作為總偏差？

例：已知，現(xiàn)測(cè)得一組數(shù)據(jù)，利用最小二乘法，求系數(shù)所滿足的三元一次方程組。

§2

條件極值

一

何謂條件極值

在討論極值問題時(shí)，往往會(huì)遇到這樣一種情形，就是函數(shù)的自變量要受到某些條件的限制。決定一給定點(diǎn)到一曲面的最短距離問題，就是這種情形。我們知道點(diǎn)到點(diǎn)的距離為?，F(xiàn)在的問題是要求出曲面上的點(diǎn)使F為最小。即，問題歸化為求函數(shù)在條件下的最小值問題。

又如在總和為C的幾個(gè)正數(shù)的數(shù)組中，求一數(shù)組，使函數(shù)值為最小，這是在條件的限制下，求函數(shù)的極小值問題。這類問題叫做條件極值問題。

二

條件極值的必要條件

為了方便起見，同時(shí)又不不失一般性，我們僅討論以下情形。

前提：設(shè)函數(shù)具有對(duì)各個(gè)變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，而這些變?cè)g又受到以下條件的限制：

其中和都具有對(duì)各個(gè)變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且它們的行列式。

目標(biāo)：我們要求函數(shù)在限制條件下的極值的必要條件。

定理1（限制極值的必要條件）在限制條件下于點(diǎn)取得極值，那么必存在常數(shù)，使得在該點(diǎn)有：

稱，是乘數(shù)（待定乘數(shù)）。

這一結(jié)果可推廣到元函數(shù)。

三

條件極值的求法

在具體解題時(shí)，例如在限制條件下求的極值，可如下進(jìn)行：

1．引入函數(shù)（函數(shù)）：。

2．求的極值（視為獨(dú)立變量）：由，，。

解得可能的極值點(diǎn)。

3.求的二階全微分。若，則取得極小值；若，則取得極大值。

例：求空間內(nèi)一點(diǎn)到平面的距離。

例：要制造一容積為16的無蓋長(zhǎng)方形水箱，問水箱長(zhǎng)、寬、高為多少時(shí)，所用材料最?。?/p>

第十六章

隱函數(shù)存在定理、函數(shù)相關(guān)

§1

隱函數(shù)存在定理

一

一個(gè)方程的情形

在前面，我們是在假定從方程中可以確定的前提下，給出求導(dǎo)數(shù)的方法。然而需要指出的是：并不是任一方程都能確定出隱函數(shù)。因此，我們必須知道方程在什么情況下才能確定隱函數(shù)？

例：設(shè)有方程，問在點(diǎn)，，的附近是否確定為的函數(shù)？

定理1

（隱函數(shù)存在定理）

設(shè)二元函數(shù)滿足下列條件：

注：

(1)定理的幾何意義：條件(1)表明曲面是光滑的；條件（2）表明曲面和坐標(biāo)平面有一個(gè)交點(diǎn)，條件（3）（不妨設(shè)）表明在的附近，對(duì)固定的，設(shè)為正向，曲面是單調(diào)增加的。定理的結(jié)論是：在點(diǎn)的附近曲面和有一條唯一的光滑交線.（2）定理的結(jié)論是局部性的，即在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)由方程可以唯一確定一個(gè)可微的隱函數(shù)。例如：

在點(diǎn)(0,1)的某個(gè)鄰域內(nèi)由方程可以確定唯一的。在點(diǎn)(0,-1)的某個(gè)鄰域內(nèi)由方程可確定唯一的（3）

定理的條件是充分的，非必要的。如上例中的函數(shù)：在（-1，0）和（1，0）兩點(diǎn)，破壞了定理中的條件（3），從而定理失效。從圖中可以看出，對(duì)于一在右鄰域或左鄰域內(nèi)的任何一個(gè)值，將獲得兩個(gè)值：，唯一性條件破壞。

定理1中的方程是含有兩個(gè)變量和的，對(duì)于3個(gè)變量，甚至于多個(gè)變量，也有類似的結(jié)果。

二

多變量及方程組的情形

定理2

滿足：的一個(gè)鄰域內(nèi)對(duì)各個(gè)變?cè)羞B續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)；

（2）

（3）

F，G關(guān)于的Jacobi矩陣

則：（1）存在點(diǎn)的一個(gè)鄰域，在此鄰域內(nèi)由方程組

可以確定唯一的函數(shù)：滿足：

（2）在內(nèi)連續(xù)；

（3）在內(nèi)有關(guān)于和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。

例：。問：（1）由方程確定的是關(guān)于和的可微函數(shù)？

（2）由方程確定的都是關(guān)于和的可微函數(shù)？

例：函數(shù)在那些點(diǎn)近旁可唯一地確定膽汁連續(xù)，且又連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)？

§2

函數(shù)行列式的性質(zhì)、函數(shù)相關(guān)

一

函數(shù)行列式的性質(zhì)

函數(shù)行列式不僅在隱含數(shù)存在定理中起著重要作用，而且在其它分析問題和應(yīng)用中，也是經(jīng)常出現(xiàn)的，它有以下主要性質(zhì)：

性質(zhì)1

設(shè)函數(shù)

定義于某一維區(qū)域中，且有關(guān)于一切變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。又設(shè)

定義于某一維區(qū)域中，且有關(guān)于一切變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。設(shè)的值域包含在中。則有。

注：這個(gè)性質(zhì)可看成復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)公式的拓廣。

性質(zhì)2

設(shè)函數(shù)

定義于某一維區(qū)域中，且有關(guān)于一切變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且它們的反函數(shù)

存在，且有關(guān)于一切變?cè)倪B續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。則有。

第十七章

含參變量的積分

設(shè)函數(shù)在矩形上連續(xù)。定義含參積分

和.含參積分提供了表達(dá)函數(shù)的又一手段。我們稱由含參積分表達(dá)的函數(shù)為含參積分。這種形式的函數(shù)在理論上和應(yīng)用上都有重要作用，有很多很有用的特殊函數(shù)就是這種形式的函數(shù)。

下面討論這種由積分所確定的函數(shù)的連續(xù)性，可微性與可積性。

定理1

若函數(shù)在矩形上連續(xù),則函數(shù)在上連續(xù).注：在定理的條件下，有，即極限運(yùn)算可以通過積分號(hào)。

例：求。

定理2

若函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)都在矩形上連續(xù),則，也就是微分運(yùn)算可以通過積分號(hào)。

例：當(dāng)時(shí)，能否利用定理2計(jì)算的導(dǎo)數(shù)？

定理3

若函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在矩形域上連續(xù),函數(shù)和在上連續(xù)，并且，則函數(shù)在上連續(xù)。

例：求。

定理4

設(shè)函數(shù)函數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù)在矩形域上連續(xù)，函數(shù)和在上存在，并且，則。

例：設(shè)，求。

定理5若函數(shù)在矩形上連續(xù)，則

.注：在定理的條件下，累次積分可交換求積分的次序。

例：求。

例：

研究函數(shù)的連續(xù)性，其中是上連續(xù)且為正的函數(shù)。

解：

令，則在連續(xù)，其中。從而在連續(xù)。

當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，記，則

若存在，則

故在不連續(xù)。

或用定積分中值定理，當(dāng)時(shí)，使

若存在，則,故在不連續(xù)。

問題1

上面最后一個(gè)式子能否寫為。

事實(shí)上，是依賴于的，極限的存在性還難以確定。

例：設(shè)在連續(xù)，求證

:

（其中）

滿足微分方程。

證：令，則，它們都在上連續(xù)，則

例：設(shè)為連續(xù)函數(shù)，,求。

解：令，則

第一項(xiàng)中令，第二項(xiàng)中令，則。

第十八章

含參變量的廣義積分一、一致收斂的定義

定義1

設(shè)函數(shù)定義在上，稱含參變量的無窮積分。

定義2設(shè)函數(shù)定義在上，若,當(dāng)時(shí),對(duì)一切，成立

或。

就稱含參無窮積分關(guān)于一致收斂。

定義3設(shè)對(duì)于上的每一值，以為奇點(diǎn)的積分存在。若,當(dāng)時(shí)，對(duì)一切，成立

或，就稱含參無窮積分關(guān)于一致收斂。

二、一致收斂積分的判別法

以下假定積分收斂。

定理1（魏爾斯特拉斯判別法）設(shè)有函數(shù)，使得

如果積分收斂，那么關(guān)于一致收斂。

例：證明含參無窮積分在內(nèi)一致收斂。

三、一致收斂積分的性質(zhì)

1.連續(xù)性定理

定理2

設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，關(guān)于一致收斂，那么是上的連續(xù)函數(shù)。

注：在定理的條件下，有，即極限運(yùn)算可以通過積分號(hào)。

2.積分順序交換定理.定理3設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，關(guān)于一致收斂，那么。

注：在定理的條件下，累次積分可交換求積分的次序。

例：計(jì)算積分。

3.積分號(hào)下求導(dǎo)定理.定理4

設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，存在，關(guān)于一致收斂。那么，也就是微分運(yùn)算可以通過積分號(hào)。

例：計(jì)算積分。

例：證明含參量非正常積分在上一致收斂，其中。但在區(qū)間內(nèi)非一致收斂。

4.含參無窮積分與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的關(guān)系

定理5

積分在上一致收斂對(duì)任一數(shù)列,↗,函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在上一致收斂。

四、歐拉（Euler）積分

介紹用含參廣義積分表達(dá)的兩個(gè)特殊函數(shù),即和.它們統(tǒng)稱為Euler積分.在積分計(jì)算等方面,它們是很有用的兩個(gè)特殊函數(shù)

1.Beta函數(shù)

（1）

Beta函數(shù)及其連續(xù)性：

稱(含有兩個(gè)參數(shù)的)含參積分為Beta函數(shù)。當(dāng)和中至少有一個(gè)小于1

時(shí),該積分為瑕積分。下證對(duì),該積分收斂。由于時(shí)點(diǎn)和均為瑕點(diǎn)，故把積分分成和考慮。

:

時(shí)為正常積分;

當(dāng)時(shí),點(diǎn)為瑕點(diǎn)。由被積函數(shù)非負(fù),和,（由Cauchy判法)

積分收斂.（易見時(shí)積分發(fā)散).:

時(shí)為正常積分;

當(dāng)時(shí),點(diǎn)為瑕點(diǎn).由被積函數(shù)非負(fù),和,（由Cauchy判法)

積分收斂.（易見時(shí)積分發(fā)散).綜上,當(dāng)時(shí)積分收斂.設(shè)D,于是,積分定義了D內(nèi)的一個(gè)二元函數(shù).稱該函數(shù)為Beta函數(shù),記為,即

=

不難驗(yàn)證,函數(shù)在D內(nèi)閉一致收斂.又被積函數(shù)在D內(nèi)連續(xù),因此,函數(shù)是D內(nèi)的二元連續(xù)函數(shù).（2）函數(shù)的對(duì)稱性:

.由于函數(shù)的兩個(gè)變?cè)菍?duì)稱的,因此,其中一個(gè)變?cè)哂械男再|(zhì)另一個(gè)變?cè)匀灰簿哂?2．Gamma函數(shù)

（1）Gamma函數(shù)

考慮無窮限含參積分,當(dāng)時(shí),點(diǎn)還是該積分的瑕點(diǎn).因此我們把該積分分為

來討論其斂散性

.:

時(shí)為正常積分.時(shí),.利用非負(fù)函數(shù)積的Cauchy判別法,注意到當(dāng)時(shí)積分收斂.(易見當(dāng)時(shí),仍用Cauchy判別法判得積分發(fā)散).因此,時(shí)積分收斂.:

對(duì)R成立,.因此積分對(duì)R收斂.綜上,時(shí)積分收斂.稱該積分為Euler第二型積分.Euler第二型積分定義了內(nèi)的一個(gè)函數(shù),稱該函數(shù)為Gamma函數(shù),記為,即

=,.函數(shù)是一個(gè)很有用的特殊函數(shù).（2）函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性:

在區(qū)間內(nèi)非一致收斂.這是因?yàn)闀r(shí)積分發(fā)散.這里利用了下面的結(jié)果:

若含參廣義積分在內(nèi)收斂,但在點(diǎn)發(fā)散,則積分在內(nèi)非一致收斂.但在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.即在任何上,一致收斂.因?yàn)闀r(shí),對(duì)積分,有,而積分收斂.對(duì)積分，而積分收斂.由M—判法,它們都一致收斂,積分在區(qū)間上一致收斂.作類似地討論,可得積分也在區(qū)間內(nèi)閉一致收斂.于是可得如下結(jié)論:的連續(xù)性:

在區(qū)間內(nèi)連續(xù).的可導(dǎo)性:

在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且

.同理可得:

在區(qū)間內(nèi)任意階可導(dǎo),且

.（3）的遞推公式，函數(shù)表的遞推公式

:

.證

..于是,利用遞推公式得:，,…………，一般地有

.可見,在上,正是正整數(shù)階乘的表達(dá)式.倘定義,易見對(duì),該定義是有意義的.因此,可視為內(nèi)實(shí)數(shù)的階乘.這樣一來,我們很自然地把正整數(shù)的階乘延拓到了內(nèi)的所有實(shí)數(shù)上,于是,自然就有,可見在初等數(shù)學(xué)中規(guī)定

是很合理的.例：計(jì)算積分。

第十九章

積分（二重、三重積分，第一類曲線、曲面積分）的定義和性質(zhì)

§1

二重積分、三重積分、第一類曲線積分、第一類曲面積分的概念

1.二重積分、三重積分，第一類曲線積分、第一類曲面積分都可看成已知物體的密度，求物體的質(zhì)量。

但要看物體的幾何形狀。

2.幾何體上的黎曼積分的定義。

定義1

設(shè)為一塊幾何形體，這個(gè)幾何形體是可以度量的，在這個(gè)幾何形體上定義了一個(gè)函數(shù)。將這幾何形體分為若干可以度量的小塊，…。既然每一小塊都可度量，故它們皆有度量大小可言，把他們的度量大小仍記為。并令，在每一塊中任取一點(diǎn)，做下列和式：

如果這個(gè)和式不論對(duì)于的怎樣分劃以及在上如何取法，只要當(dāng)時(shí)恒有同一極限，則稱此極限為在幾何形體上的黎曼積分，記為：

.也就是，這個(gè)極限是與分法和取法無關(guān)的。

敘述：如果對(duì)任意及一定數(shù)，總存在一個(gè)數(shù)，對(duì)于任意的分法，只要時(shí)，不管點(diǎn)在上如何選取，恒有，則稱為在上的黎曼積分，記為：，這時(shí)，也稱在上可積。

根據(jù)幾何形體的不同形態(tài)，進(jìn)一步給出上積分的具體表示式及名稱。

（1）如果幾何體是一塊可求面積的平面圖形，那么上的積分就稱為二重積分，在直角坐標(biāo)下記為。

（2）如果幾何體是一塊可求體積的空間幾何體，那么上的積分就稱為三重積分，在直角坐標(biāo)下記為。

（3）如果幾何體是一塊可求長(zhǎng)的空間曲線段，那么上的積分稱為第一類曲線積分，在直角坐標(biāo)下記為。

（4）如果幾何體是一塊可求面積的曲面片，那么上的積分稱為第一類曲面積分，在直角坐標(biāo)下記為。

3．性質(zhì)

（1）。

（2）若在上可積，則在上有界。

§2

積分的性質(zhì)

性質(zhì)1

若函數(shù)在上可積，為常數(shù)，則在上也可積，且。

即常數(shù)因子可從積分號(hào)里提出（注意與不定積分的不同）。

性質(zhì)2

若函數(shù)、都在上可積，則在上也可積，且有。

性質(zhì)3

若函數(shù)在上可積，且，則在和上都可積，且。

反之，若在和上都可積，則在上可積，且上述等式成立。

性質(zhì)4

若函數(shù)和都在上可積，且在上成立，則。

性質(zhì)5

若函數(shù)在上可積，則在上可積，且。

注：若在上可積，不能推出在上可積。

例：

在上不可積，但可積。

性質(zhì)6（積分第一中值定理）若函數(shù)在上可積，則存在常數(shù)，使得。

推論

若函數(shù)在上連續(xù)，則在上至少存在一點(diǎn)，使。

例：若函數(shù)在上連續(xù)，但不恒等于0，則。

第二十章

重積分

§1二重積分的計(jì)算

一

化二重積分為二次計(jì)分

1.關(guān)于體積的計(jì)算

2.矩形上的二重積分可以化為二次積分進(jìn)行計(jì)算

簡(jiǎn)單地說，形如的積分稱為一個(gè)先后的二次積分。確切地說，設(shè)函數(shù)在上有定義，如果任意確定，則是自變量為的一元函數(shù)，設(shè)，有意義，其值是的函數(shù)，記為，又得體積為

同樣，可以先后的二次積分：=

在此例中，先后的二次積分等于先后的二次積分，即兩個(gè)二次積分相等，這個(gè)現(xiàn)象包含在下面的定理中。

3．一般性化二重積分為二次積分

在平面區(qū)域中，有兩類特殊的區(qū)域是最具代表性的。所示區(qū)域用集合可表示為：

型區(qū)域

其特點(diǎn)是，則直線至多與區(qū)域的邊界交于兩點(diǎn)；所示區(qū)域用集合可表示為：

型區(qū)域

其特點(diǎn)是，則直線至多與區(qū)域的邊界交于兩點(diǎn)。

為什么說這兩類區(qū)域常用到（最具代表性），因?yàn)樵S多常見的區(qū)域都可分割為有限個(gè)無分類點(diǎn)的型區(qū)域和型區(qū)域。因而，解決了型區(qū)域和型區(qū)域上二重積分的計(jì)算方法后，一般區(qū)域上的二重積分的計(jì)算問題也就得到解決。

如何計(jì)算型區(qū)域和型區(qū)域上的二重積分呢？

最基本的想法還是化二重積分為二次積分（累次積分）。問題是化為什么樣的二次積分呢？有下面的結(jié)果：

定理1

設(shè)，則

=。

例：化二重積分為二次積分，其中是由直線，拋物線所圍的平面區(qū)域。

例：求由和，，所圍空間區(qū)域的體積V。

例：求二次積分

注意：最外層積分的積分限一定是常數(shù)。

二

用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分

也有一種情形，函數(shù)f在上可積，但無論采用哪種積分次序都“算不出來”。

例：，=

在定積分中，換元積分法對(duì)簡(jiǎn)化定積分計(jì)算起著重要的作用。對(duì)于二重積分也有相應(yīng)的換元公式，用于簡(jiǎn)化積分區(qū)域或被積函數(shù)。

作極坐標(biāo)變換：。

在變換下，函數(shù)，區(qū)域。二重積分化為。

說明：①注意，雖經(jīng)極坐標(biāo)交換，但又變成極坐標(biāo)系下二重積分，這是如何計(jì)算極坐標(biāo)系下二重積分，在極坐標(biāo)下，二重積分一樣可以化為二次積分來計(jì)算，下面分情況討論之：

情形1

若=，為[，]上的連續(xù)函數(shù)，則稱之為型區(qū)域。這時(shí)，可將之化為下面形式：

=

情形2

若=，其中，C[，]（型區(qū)域），此時(shí)有

=

情形3

若極點(diǎn)O是積分區(qū)域的內(nèi)點(diǎn)，則交換后的區(qū)域?yàn)椋?

此處=是的邊界曲線，=

情形4

若積分區(qū)域的邊界曲線=通過極點(diǎn)O時(shí)，應(yīng)先求出極徑，繼使=0的兩個(gè)角度，此時(shí)有：=。

②何時(shí)使用極坐標(biāo)變換？當(dāng)積分區(qū)域是圓域或是圓域的部分或被積函數(shù)的形式為時(shí)，采用極坐標(biāo)交換來計(jì)算往往簡(jiǎn)便得多。

例：，=。

例：求。

三

二重積分的一般變量替換

計(jì)算二重積分，除了引用上面講的極坐標(biāo)這一特殊交換外,有時(shí)還要取一般的變量替換。

定理2

設(shè)是平面的閉區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，又設(shè)，（*）。

在上有關(guān)于和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，通過（*）把變?yōu)椋⑶易儞Q（*）是一對(duì)一的，又設(shè)，則

=。

注：（1）在定理中，假設(shè)，但有時(shí)會(huì)遇到這種情形。變換行列式在區(qū)域內(nèi)個(gè)別點(diǎn)上等于0。

或只在一小區(qū)域上等于0而在其他點(diǎn)上非0，此時(shí)上述結(jié)論能成立。

（2）特例：，此時(shí)=，根據(jù)①，有

=。

（3）在具體問題中，選擇變換公式的依據(jù)有兩條：（i）使交換的函數(shù)容易積分；（ii）使得積分限容易安排。

例：求橢球體的體積。

例:

求出由拋物線，以及雙曲線，所圍區(qū)域的面積。

§2

三重積分的計(jì)算

一

化三重積分為三次積分

設(shè)是中的（閉）長(zhǎng)方體，是定義在上的有界函數(shù)。那么在上的三重積分可以化為先對(duì)，后對(duì)的積分：

=，或的積分

=

。等等（共6種），并且此時(shí)（連續(xù)時(shí)），各個(gè)三次積分的值與積分次序無關(guān)，他們都相等。

1.計(jì)算（化為逐次積分）

●設(shè)，則有=，如果，則=。

●設(shè)，==。

2.三重積分的直接計(jì)算方法（舉例）

例：，：有平面所圍成區(qū)域。

例：，：錐面，平面所圍（）成區(qū)域。

例：，：的內(nèi)部區(qū)域。

二

三重積分的變量替換

設(shè)作變量替換：,且滿足下列條件：

（1）

建立了之間的一一對(duì)應(yīng)；

（2）在內(nèi)有關(guān)于的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，并且其變換：在內(nèi)有關(guān)于的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)；

（3）

Jacohi行列式

在內(nèi)無零點(diǎn)，則

=

注：和二重積分類似，當(dāng)J點(diǎn)在內(nèi)個(gè)別點(diǎn)上為零時(shí)，上述公式仍成立。

最常用的坐標(biāo)變換

1.柱坐標(biāo)代換

令，則三重積分的柱坐標(biāo)換元公式為

=。

注：柱坐標(biāo)變換適用于型被積函數(shù)或積分區(qū)域。

注：用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分，通常是找出在平面上的投影區(qū)域，那當(dāng)時(shí)，=

先對(duì)積分，再計(jì)算上的三重積分，其中二重積分能用極坐標(biāo)來計(jì)算（極坐標(biāo)系下的二重積分）。

例：，D由上半球面和拋物面所圍的區(qū)域。

2．球面坐標(biāo)變換

球面坐標(biāo)：設(shè)空間一點(diǎn)在平面上的投影為，是有向線段與軸的正向之間的交角（），是兩平面與的交角（），則叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo)。

在球面坐標(biāo)中，有三族坐標(biāo)平面：=常數(shù)，以原點(diǎn)為中心的球面；=常數(shù)，以原點(diǎn)為頂點(diǎn)，軸為軸的圓錐面；=常數(shù)，過軸的柱面（兩兩正交是正交坐標(biāo)系）。有時(shí)，取作為，這時(shí)點(diǎn)的直角坐標(biāo)與它的球面坐標(biāo)的點(diǎn)系為：，而。

令，則

=。

例：求球面和錐面所圍區(qū)域的體積，其中錐面是以軸為軸，頂角為的錐面。

§3

積分在物理上的應(yīng)用

一

質(zhì)心

設(shè)為一塊可以度量的幾何體，它的密度函數(shù)是。又假設(shè)為上的連續(xù)函數(shù)。則幾何體的質(zhì)心的坐標(biāo)為：。

具體地說，如果幾何體是一塊空間體積，那么這塊體積的質(zhì)心坐標(biāo)應(yīng)為：。

例：求密度均勻的上半橢球體的質(zhì)心.二

矩

設(shè)為一塊可度量的幾何形體，它的密度函數(shù)為，并設(shè)在上連續(xù)。分別稱，為物體關(guān)于坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面的階矩。當(dāng)時(shí)稱為零階矩，表示物體的質(zhì)量。當(dāng)時(shí)稱為靜矩。當(dāng)時(shí)稱為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

例：計(jì)算由平面，，所圍成的均勻物體（設(shè)）對(duì)于坐標(biāo)平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

例：求密度均勻的圓環(huán)對(duì)于圓環(huán)面中心軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例：求密度均勻的圓盤對(duì)于其直徑的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.例：設(shè)某球體的密度與球心的距離成正比,求它對(duì)于切平面的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.三

引力

設(shè)為一塊可以度量的幾何體，它的密度函數(shù)是，為上的連續(xù)函數(shù)。為外一點(diǎn)，質(zhì)點(diǎn)具有單位質(zhì)量。則幾何體對(duì)質(zhì)點(diǎn)的引力在三個(gè)坐標(biāo)軸上的分量，分別為:，其中為引力常數(shù)。

例：設(shè)球體具有均勻的密度,求對(duì)球外一點(diǎn)(質(zhì)量為1)的引力。

§4

廣義重積分

對(duì)于重積分，也可以作兩方面的拓廣：無界區(qū)域上的積分和無界函數(shù)的積分。

定義1

設(shè)是平面上一無界區(qū)域，函數(shù)在上各點(diǎn)有定義，用任意光滑曲線在中劃出有限區(qū)域.設(shè)二重積分存在，當(dāng)曲線連續(xù)變動(dòng)時(shí)，使所劃出的區(qū)域無限擴(kuò)展而趨于區(qū)域時(shí)，如果不論的形狀如何，也不論擴(kuò)展的過程怎樣，而

常有同一極限值，就稱是函數(shù)在無界區(qū)域上的二重積分，記為,這時(shí)也稱函數(shù)在上的積分收斂。否則，稱積分是發(fā)散的。

柯西判別法

設(shè)在無界區(qū)域上的任意有界區(qū)域上二重積分存在，如果在內(nèi)相當(dāng)遠(yuǎn)處滿足

。其中為正的常數(shù)，是到原點(diǎn)的距離，且，那么積分收斂。

例：計(jì)算廣義重積分。

例：討論廣義重積分的收斂性。

定義2

設(shè)在有界區(qū)域上有奇點(diǎn)或奇線（函數(shù)在這些點(diǎn)或線的附近無界）。以中的光滑曲線來隔開奇點(diǎn)或奇線，所圍成的區(qū)域記為.如果在區(qū)域收縮到奇點(diǎn)或奇線時(shí)，這些積分的極限值存在且與的取法和收縮的方式無關(guān)，則稱這極限值是上的無界函數(shù)的廣義二重積分，記為。并稱函數(shù)在上的積分收斂。否則，稱積分是發(fā)散的。

柯西判別法

設(shè)在內(nèi)有奇點(diǎn)，如果對(duì)于和充分鄰近的點(diǎn)，有。

其中為正的常數(shù)，是與點(diǎn)的距離，且，那么積分收斂。

例：計(jì)算廣義重積分。

例：討論廣義重積分的收斂性。

第21章

曲線積分和曲面積分的計(jì)算

§1

第一類曲線積分的計(jì)算

設(shè)函數(shù)在光滑曲線上有定義且連續(xù)，的方程為

則。

特別地，如果曲線為一條光滑的平面曲線，它的方程為，那么有。

例：設(shè)是半圓周,。求。

例：設(shè)是曲線上從點(diǎn)到點(diǎn)的一段，計(jì)算第一類曲線積分。

例：計(jì)算積分，其中是球面被平面截得的圓周。

例：求，此處為連接三點(diǎn)，的直線段。

§2

第一類曲面積分的計(jì)算

一

曲面的面積

（1）設(shè)有一曲面塊，它的方程為

。具有對(duì)和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則該曲面塊的面積為。

（2）若曲面的方程為,令，，則該曲面塊的面積為。

例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。

例：求球面含在柱面內(nèi)部的面積。

二

化第一類曲面積分為二重積分

（1）設(shè)函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。曲面的方程為。具有對(duì)和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即此曲面是光滑的，且其在平面上的投影為可求面積的。則。

（2）設(shè)函數(shù)為定義在曲面上的連續(xù)函數(shù)。若曲面的方程為

令，，則。

例：計(jì)算，是球面。

例：計(jì)算，其中為螺旋面的一部分：。

注：第一類曲面積分通過一個(gè)二重積分來定義，這就是為什么在第一類曲面積分中用“二重積分符“的原因。

例：I=，是球面，球心在原點(diǎn)，半徑為。

§3

第二類曲線積分

一

變力做功和第二類曲線積分的定義

1.力場(chǎng)沿平面曲線從點(diǎn)A到點(diǎn)B所作的功。先用微元法，再用定義積分的方法討論這一問題，得。

2.第二型曲線積分的定義

定義1

設(shè)是一條光滑或逐段光滑曲線，且設(shè)是定義在上的有界函數(shù)，將沿確定方向從起點(diǎn)開始用分點(diǎn)分成個(gè)有向弧段，直至終點(diǎn)。且設(shè)。在每一弧段

上任取一點(diǎn)，作和式：。

其中為起點(diǎn)，為終點(diǎn)。設(shè)，這里表示有向線段的長(zhǎng)度。若當(dāng)時(shí)，和有極限，且它與的分法無關(guān)，也與點(diǎn)的選擇無關(guān)，則稱為沿曲線按所述方向的第二類曲線積分，記作

或。

注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為。

注：第二類曲線積分是與沿曲線的方向有關(guān)的。這是第二類曲線積分的一個(gè)很重要性質(zhì)，也是它區(qū)別于第一類曲線積分的一個(gè)特征。

注：在平面情況下，若一人立在平面上沿閉路循一方向作環(huán)行時(shí)，如閉路所圍成的區(qū)域靠近這人的部分總在他的左方，則這個(gè)方向就算作正向，否則就算作負(fù)向。這時(shí)只要方向不變，曲線積分的值是與起點(diǎn)的位置無關(guān)的。

二

第二類曲線積分的計(jì)算

設(shè)曲線自身不相交，其參數(shù)方程為：

。且設(shè)是光滑的。設(shè)當(dāng)參數(shù)從調(diào)地增加到時(shí)，曲線從點(diǎn)按一定方向連續(xù)地變到點(diǎn)。設(shè)函數(shù)定義在曲線上，且設(shè)它在上連續(xù)。則。

（*）

注：（*）積分下限必須對(duì)應(yīng)積分所沿曲線的起點(diǎn)，上限必須對(duì)應(yīng)終點(diǎn)。

注：如果向量，則向量沿曲線按一定方向的第二類曲線積分為

例：計(jì)算積分,L的兩個(gè)端點(diǎn)為A（1,1),B（2,3).積分從點(diǎn)A到點(diǎn)B或閉合,路徑為

（1）直線段AB；

（2）拋物線；

（3）折線閉合路徑A（1,1)D（2,1)

B（2,3)

A（1,1)。.例：計(jì)算積分,這里L(fēng)

:

（1）沿拋物線從點(diǎn)O（0,0)到點(diǎn)B（1,2)；

（2）沿直線從點(diǎn)O（0,0)到點(diǎn)B（1,2)；

（3）沿折線封閉路徑O(0,0)

A(1,0)

B(1,2)

O(0,0).例：計(jì)算第二型曲線積分I

=,其中L是螺旋線，從到的一段。

三

兩類曲線積分的聯(lián)系

第一類曲線積分與第二類曲線積分的定義是不同的，由于都是沿曲線的積分，兩者之間又有密切聯(lián)系。兩者之間的聯(lián)系式為

例：證明：對(duì)于曲線積分的估計(jì)式為

。利用這個(gè)不等式估計(jì)：,并證明。

例：設(shè)平面區(qū)域由一連續(xù)閉曲線所圍成，區(qū)域面積設(shè)為，推導(dǎo)用曲線積分計(jì)算面積的公式為：。

§4

第二類曲面積分

一

曲面的側(cè)的概念

1．單側(cè)曲面與雙側(cè)曲面

在實(shí)際生活中碰到的都是雙側(cè)曲面，至于單側(cè)曲面也是存在的，牟彼烏斯帶就是這類曲面的一個(gè)典型例子。

2．曲面的上側(cè)和下側(cè)，外側(cè)和內(nèi)側(cè)

雙側(cè)曲面的定向:

曲面的上、下側(cè)，左、右側(cè)，前、后側(cè).設(shè)法向量為,則上側(cè)法線方向?qū)?yīng)第三個(gè)分量,即選“+”號(hào)時(shí)，應(yīng)有，亦即法線方向與軸正向成銳角.類似確定其余各側(cè)的法線方向.封閉曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè).二

第二類曲面積分的定義

先討論由顯式方程

表示的無重點(diǎn)的光滑曲面,并設(shè)在平面上的投影為邊界由逐段光滑曲線所圍成的區(qū)域。設(shè)選定了曲面的一側(cè)，從而也確定了它的定向。

現(xiàn)在將有向曲面以任何方法分割為小塊。設(shè)為在平面上的投影，從而也得到區(qū)域的一個(gè)相應(yīng)分割。如果取的是上側(cè)，這時(shí)所有算作正的。如取下側(cè)，這時(shí)所有算作負(fù)的。設(shè)有界函數(shù)定義在上，在每一小塊任取一點(diǎn)，作和式

其中表示的面積。由上述所見，是帶有符號(hào)的，它們的符號(hào)是由所選的側(cè)來決定的。設(shè)為的致敬，記。若當(dāng)時(shí)，有確定的極限，且與曲面分割的方法無關(guān)，也點(diǎn)的選擇無關(guān)，則稱為沿曲面的所選定的一側(cè)上的第二類曲面積分，記為。

注：有時(shí)也會(huì)碰到幾個(gè)積分連在一起的情形，例如：。

注：如果沿曲面的另一側(cè)積分，則所得的值應(yīng)當(dāng)變號(hào)。

三

兩類曲面積分的聯(lián)系及第二類曲面積分的計(jì)算

第二型曲面積分與第一型曲面積分的關(guān)系

設(shè)為曲面的指定法向,則

.定理1

設(shè)是定義在光滑曲面D上的連續(xù)函數(shù),以的上側(cè)為正側(cè)(即),則有

.類似地,對(duì)光滑曲面D,在其前側(cè)上的積分

.對(duì)光滑曲面

D,在其右側(cè)上的積分

.計(jì)算積分時(shí),通常分開來計(jì)算三個(gè)積分，.為此,分別把曲面投影到Y(jié)Z平面,ZX平面和XY平面上化為二重積分進(jìn)行計(jì)算.投影域的側(cè)由曲面的定向決定.推論

設(shè)，是定義在光滑曲面D上的連續(xù)函數(shù),則

=

曲面的方向?yàn)樯蟼?cè),則等式前取“＋”號(hào);

曲面的方向?yàn)橄聜?cè),則等式前取“－”號(hào).例：計(jì)算積分,其中是球面

在部分取外側(cè)。

例：計(jì)算積分，為球面取外側(cè).解：

對(duì)積分,分別用和記前半球面和后半球面的外側(cè),則有

:

;

:

.因此,=+

.對(duì)積分,分別用和記右半球面和左半球面的外側(cè),則有

:

;

:

.因此,+

.對(duì)積分,分別用和記上半球面和下半球面的外側(cè),則有

:

;

:

.因此,=+

.綜上,=.第二十二章

各種積分間的聯(lián)系和場(chǎng)論初步

§1

各種積分間的聯(lián)系

一

Green公式

定義1

一個(gè)平面區(qū)域，如果全落在此區(qū)域內(nèi)的任一條封閉曲線都可以不經(jīng)過以外的點(diǎn)而連續(xù)地收縮為一點(diǎn)，則稱此區(qū)域?yàn)閱芜B通的，否則稱為復(fù)連通的。

定理1

設(shè)是以光滑曲線為邊界的平面單連通區(qū)域，設(shè)函數(shù)，在及上連續(xù)并具有關(guān)于自變量和的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：

這里右端積分路徑的方向是和區(qū)域正相聯(lián)系的，既當(dāng)一人沿著曲線行走時(shí)區(qū)域恒在他的左邊。

注：Green公式同時(shí)揭示了平面上某區(qū)域內(nèi)的二維積分與該邊界上的一個(gè)特定的第二類曲線積分之間的關(guān)系；

注：常用于第二類曲線積分，有時(shí)用來計(jì)算二重積分在Green公式中。

例：求第二類曲線積分I=,是上半圓周：

方向從。

例：設(shè)函數(shù)，有其二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，記，證明

(i)；

(ii)

；(3)。

例：（用Green公式求曲面的面積）求曲線所圍圖形的面積。

注：在使用Green公式時(shí)，應(yīng)注意“助線法”的使用。

二

Gauss公式

定理2

設(shè)空間二維單連通有界閉區(qū)域的邊界曲面是光滑的，又設(shè)函數(shù)，在及上具有關(guān)于的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：,為曲面的外法線方向，第二個(gè)積分沿曲面的外側(cè)。

注：①Gauss公式揭示了中的某區(qū)域內(nèi)的三重積分和這一區(qū)域的邊界上的特定曲面積分之間的關(guān)系；

②與

Green公式一樣，由Gauss公式可計(jì)算某些空間立體積分：。

例：求積分

I=，:

沿外側(cè)。

例：求積分

其中是錐面。

注：在使用Gauss公式時(shí)，應(yīng)注意“助面法”的使用。

三

Stokes公式

定理3（Stokes）設(shè)光滑曲面的邊界為光滑曲線，設(shè)函數(shù)，在曲面

及曲線上具有關(guān)于的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有：,曲線積分的方向和曲面的側(cè)按右手法則聯(lián)系。

注：右端積分是一個(gè)第二類曲面積分，左端的積分是一個(gè)第二類曲線積分。所以Stokes公式是第二類曲面積分和第二類曲線積分的一個(gè)紐帶。

例：求曲線積分，其中是柱面x和平面的交線,其方向從軸正向望去，已知方向是逆時(shí)針。

§2

曲線積分和路徑的無關(guān)性

引言

第二類曲線積分不僅與曲線的起點(diǎn)和終點(diǎn)有關(guān)，而且也與所沿的積分路徑有關(guān)。對(duì)同一個(gè)起點(diǎn)和同一個(gè)重點(diǎn)，沿不同的路徑所得到的第二類曲線積分一般是不相同的。在什么樣的條件下第二類曲線積分與積分路徑無關(guān)而僅與曲線的起點(diǎn)和重點(diǎn)有關(guān)呢？下面我們?cè)谄矫嬷星樾蝸碛懻撨@個(gè)問題。

定理1

若函數(shù)，在區(qū)域上有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，是單連通區(qū)域，則下列命題等價(jià)：

⑴

對(duì)D內(nèi)任意一條閉曲線，有。

⑵

對(duì)

內(nèi)任意一條閉曲線，曲線積分,與路徑無關(guān)（只依賴曲線的端點(diǎn)）。

⑶存在可微函數(shù)，使得內(nèi)成立；

⑷在D內(nèi)處處成立。

定義1

當(dāng)曲線積分和路徑無關(guān)時(shí)，即滿足上面的諸條件時(shí)，如令點(diǎn)固定而點(diǎn)為區(qū)域內(nèi)任意一點(diǎn)，那么在內(nèi)連續(xù)并且單值。這個(gè)函數(shù)稱為的原函數(shù)。

原函數(shù)的求法：

（1）；或

（2）。

例：求原函數(shù):

（1）;

（2）。

定義2

只繞奇點(diǎn)一周的閉路上的積分值叫做區(qū)域的循環(huán)常數(shù)，記為。于是，對(duì)內(nèi)任一閉路，這里為沿逆時(shí)針方向繞的圈數(shù)。

例：證明關(guān)于奇點(diǎn)的循環(huán)常數(shù)是，從而積分與路徑無關(guān)。

§3

場(chǎng)論初步

一

場(chǎng)的概念

物理量在空間或一部分空間上的分布就稱為場(chǎng)。場(chǎng)分為不定常場(chǎng)和定常場(chǎng)。

二

向量場(chǎng)的散度和旋度

設(shè)有一向量場(chǎng)，為一閉曲面所包圍的空間區(qū)域，為曲面上向外法線，由高斯公式得。

定義1

量稱為向量的散度，它形成一個(gè)數(shù)量場(chǎng)，記為。

利用散度的定義，高斯公式可寫為，這是高斯公式向量形式。它說明：向量通過閉曲面的流量等于這個(gè)向量的散度在所包圍的區(qū)域上的三重積分。

定義2

稱向量為向量的旋度，記為：。

利用的定義，Stokes公式可改寫為向量形式如下：。

它說明：向量沿閉曲線的環(huán)流量等于它的旋度通過以為邊界所張的任意曲面的流量。

散度和旋度的定義。

例：求在點(diǎn)的散度和旋度。

例：證明。