第二十三章

旋

轉(zhuǎn)

測試1

圖形的旋轉(zhuǎn)

學習要求

1．通過實例認識圖形的旋轉(zhuǎn)變換，理解旋轉(zhuǎn)的含義；通過探索它的根本特征，理解旋轉(zhuǎn)變換的根本性質(zhì)．

2．能按要求作出簡單平面圖形旋轉(zhuǎn)后的圖形．

課堂學習檢測

一、填空題

1．在平面內(nèi)，把一個圖形繞著某______沿著某個方向轉(zhuǎn)動______的圖形變換叫做旋轉(zhuǎn)．這個點O叫做______，轉(zhuǎn)動的角叫做______．因此，圖形的旋轉(zhuǎn)是由______和______決定的．

2．如果圖形上的點P經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄cP′，那么這兩點叫做這個旋轉(zhuǎn)的______．

3．如圖，△AOB旋轉(zhuǎn)到△A′OB′的位置．假設(shè)∠AOA′=90°，那么旋轉(zhuǎn)中心是點______．旋轉(zhuǎn)角是______．點A的對應(yīng)點是______．線段AB的對應(yīng)線段是______．∠B的對應(yīng)角是______．∠BOB′=______．

3題圖

4．如圖，△ABC繞著點O旋轉(zhuǎn)到△DEF的位置，那么旋轉(zhuǎn)中心是______．旋轉(zhuǎn)角是______．AO=______，AB=______，∠ACB=∠______．

4題圖

5．如圖，正三角形ABC繞其中心O至少旋轉(zhuǎn)______度，可與其自身重合．

5題圖

6．一個平行四邊形ABCD，如果繞其對角線的交點O旋轉(zhuǎn)，至少要旋轉(zhuǎn)______度，才可與其自身重合．

7．鐘表的運動可以看作是一種旋轉(zhuǎn)現(xiàn)象，那么分針勻速旋轉(zhuǎn)時，它的旋轉(zhuǎn)中心是鐘表的旋轉(zhuǎn)軸的軸心，經(jīng)過45分鐘旋轉(zhuǎn)了______度．

8．旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的______相等；對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于______；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形之間的關(guān)系是______．

二、選擇題

9．以下圖中，不是旋轉(zhuǎn)對稱圖形的是（）．

10．有以下四個說法，其中正確說法的個數(shù)是（）．

①圖形旋轉(zhuǎn)時，位置保持不變的點只有旋轉(zhuǎn)中心；

②圖形旋轉(zhuǎn)時，圖形上的每一個點都繞著旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了相同的角度；

③圖形旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)點與旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；

④圖形旋轉(zhuǎn)時，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，圖形的形狀和大小都沒有發(fā)生變化

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

11．如圖，把菱形ABOC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到菱形DFOE，那么以下角中不是旋轉(zhuǎn)角的為（）．

A．∠BOF

B．∠AOD

C．∠COE

D．∠COF

12．如圖，假設(shè)正方形DCEF旋轉(zhuǎn)后能與正方形ABCD重合，那么圖形所在平面內(nèi)可作為旋轉(zhuǎn)中心的點共有（）個．

A．1

B．2

C．3

D．4

13．下面各圖中，哪些繞一點旋轉(zhuǎn)180°后能與原來的圖形重合?（）．

A．①、④、⑤

B．①、③、⑤

C．②、③、⑤

D．②、④、⑤

綜合、運用、診斷

14．如圖，六角星可看作是由什么“根本圖形〞通過怎樣的旋轉(zhuǎn)而得到的?

15．如圖，五角星可看作是由什么“根本圖形〞通過怎樣的旋轉(zhuǎn)而得到的?

16．：如圖，四邊形ABCD及一點P．

求作：四邊形A′B′C′D′，使得它是由四邊形ABCD繞P點順時針旋轉(zhuǎn)150°得到的．

17．如圖，有兩個同心圓，半徑OA、OB成30°角，OB與小圓交于C點，假設(shè)把△ABC每次繞O點逆時針旋轉(zhuǎn)30°，試畫出所得的圖形．

拓廣、探究、思考

18．：如圖，當半徑為30cm的轉(zhuǎn)動輪按順時針方向轉(zhuǎn)過120°角時，傳送帶上的物體A向哪個方向移動?移動的距離是多少?

19．：如圖，F(xiàn)是正方形ABCD中BC邊上一點，延長AB到E，使得BE=BF，試用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)說明：AF=CE且AF⊥CE．

20．：如圖，假設(shè)線段CD是由線段AB經(jīng)過旋轉(zhuǎn)變換得到的．

求作：旋轉(zhuǎn)中心O點．

21．：如圖，P為等邊△ABC內(nèi)一點，∠APB=113°，∠APC=123°，試說明：以AP、BP、CP為邊長可以構(gòu)成一個三角形，并確定所構(gòu)成三角形的各內(nèi)角的度數(shù)．

測試2

中心對稱

學習要求

1．理解兩個圖形關(guān)于某一點中心對稱的概念及其性質(zhì)，能作一個圖形關(guān)于某一個點的中心對稱圖形．

2．理解中心對稱圖形．

3．能熟練掌握關(guān)于原點對稱的點的坐標．

4．能綜合運用平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)等變換解決圖形變換問題．

課堂學習檢測

一、填空題

1．把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)______，如果它能夠與另一個圖形______，那么稱這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做______，這兩個圖形中的對應(yīng)點叫做關(guān)于中心的______．

2．關(guān)于中心對稱的兩個圖形的性質(zhì)是：

(1)關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連______都經(jīng)過______，而且被對稱中心所______．

(2)關(guān)于中心對稱的兩個圖形是______．

3．把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)______，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形______，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就是它的______．

4．線段不僅是軸對稱圖形，而且是______圖形，它的對稱中心是______．

5．平行四邊形是______圖形，它的對稱中心是____________．

6．圓不僅是軸對稱圖形，而且是______圖形，它的對稱中心是______．

7．假設(shè)線段AB、CD關(guān)于點P成中心對稱，那么線段AB、CD的關(guān)系是______．

8．如圖，假設(shè)四邊形ABCD與四邊形CEFG成中心對稱，那么它們的對稱中心是______，點A的對稱點是______，E的對稱點是______．BD∥______且BD=______．連結(jié)A，F(xiàn)的線段經(jīng)過______，且被C點______，△ABD≌______．

8題圖

9．假設(shè)O點是□ABCD對角線AC、BD的交點，過O點作直線l交AD于E，交BC于F．那么線段OF與OE的關(guān)系是______，梯形ABFE與梯形CDEF是______圖形．

二、選擇題

10．以下圖形中，不是中心對稱圖形的是（）．

A．圓

B．菱形

C．矩形

D．等邊三角形

11．以下四個圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的有（）．

A．4個

B．3個

C．2個

D．1個

12．以下圖形中，是中心對稱圖形的有（）．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

13．以下圖形中，是軸對稱圖形而不是中心對稱圖形的是（）．

綜合、運用、診斷

14．如圖，四邊形ABCD及點O．

求作：四邊形A′B′C′D′，使得四邊形A′B′C′D′與四邊形ABCD關(guān)于O點中心對稱．

15．：如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH成中心對稱，試畫出它們的對稱中心，并簡要說明理由．

16．如以下圖，圖(1)和圖(2)是中心對稱圖形，仿照(1)和(2)，完成(3)，(4)，(5)，(6)的中心對稱圖形．

17．如圖，有一塊長方形鋼板，工人師傅想把它分成面積相等的兩局部，請你在圖中畫出作圖痕跡．

18．：三點A(－1，1)，B(－3，2)，C(－4，－1)．

(1)作出與△ABC關(guān)于原點對稱的△A1B1C1，并寫出各頂點的坐標；

(2)作出與△ABC關(guān)于P(1，－2)點對稱的△A2B2C2，并寫出各頂點的坐標．

拓廣、探究、思考

19．(1)到目前為止，已研究的圖形變換有哪幾種?這些變換的共同性質(zhì)有哪些?

(2)如圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，圖中可由△OBC旋轉(zhuǎn)得到的三角形有a個，可由△OBC平移得到的三角形有b個，可由△OBC軸對稱得到的三角形有c個，試求(a＋b＋c)a＋b－c的值．

20．：直線l的解析式為y=2x＋3，假設(shè)先作直線l關(guān)于原點的對稱直線l1，再作直線l1關(guān)于y軸的對稱直線l2，最后將直線l2沿y軸向上平移4個單位長度得到直線l3，試求l3的解析式．

21．如圖，將給出的4張撲克牌擺成第一行的樣子，然后將其中的1張牌旋轉(zhuǎn)180°成第二行的樣子，你能判斷出被旋轉(zhuǎn)過的1張牌是哪一張嗎?為什么?

科學家名言

對稱性原理在探索自然奧秘中所起的作用，無論怎么強調(diào)也不會過分的。因為物理學家發(fā)現(xiàn)，一個對稱規(guī)律打破后，會出現(xiàn)更高一級的對稱。

——楊振寧

測試3

旋轉(zhuǎn)的綜合訓練

一、填空題

1．如圖，用等腰直角三角板畫∠AOB=45°，并將三角板沿OB方向平移到如下圖的虛線處后繞點M按逆時針方向旋轉(zhuǎn)22°，那么三角板的斜邊與射線OA的夾角a為______°．

1題圖

2．如圖，把邊長為1的正方形ABCD繞頂點A逆時針旋轉(zhuǎn)30°到正方形A′B′C′D′，那么它們的公共局部的面積等于______．

2題圖

3．在平面直角坐標系中，點P0的坐標為(1，0)，將點P0繞著原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到P1，延長OP1到點P2，使OP2=2OP1，再將點P2繞著原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得點P3，那么P3的坐標是______．

4．如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=3，BC=5，AB=1，把線段CD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)90°到DE位置，連結(jié)AE，那么AE的長為______．

4題圖

5．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊AB為邊作等邊△ABD，連結(jié)DC，以DC為邊作等邊△DCE，B，E在C，D的同側(cè)．假設(shè)那么BE=______．

5題圖

6．如圖，D，E分別是正三角形的邊BC和CA上的點，且AE=CD，AD與BE交于P，那么∠BPD______°．

6題圖

二、選擇題

7．以下圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）．

A．等邊三角形

B．菱形

C．等腰梯形

D．平行四邊形

8．數(shù)學課上，老師讓同學們觀察如下圖的圖形，問：它繞著圓心O旋轉(zhuǎn)多少度后和它自身重合?甲同學說：45°；乙同學說：60°；丙同學說：90°；丁同學說：135°．以上四位同學的答復中，錯誤的選項是（）．

w

w

w

.8題圖

A．甲

B．乙

C．丙

D．丁

9．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC和△DEF為等邊三角形，AB=DE，點B，C，D在x軸上，點A，E，F(xiàn)在y軸上，下面判斷正確的選項是（）．

A．△DEF是△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的B．△DEF是△ABC繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到的C．△DEF是△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)60°得到的D．△DEF是△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)120°得到的10．以以下圖的邊緣所在直線為軸將該圖案向右翻折后，再繞中心旋轉(zhuǎn)180°，所得到的圖形是（）．

三、解答題

11．：如圖，四邊形ABCD中，∠D=60°，∠B=30°，AD=CD．

求證：BD2=AB2＋BC2．

12．：如圖，E是正方形ABCD的邊CD上任意一點，F(xiàn)是邊AD上的點，且FB平分∠ABE．

求證：BE=AF＋CE．

13．：如圖，在四邊形ABCD中，∠B＋∠D=180°，AB=AD，E，F(xiàn)分別是線段BC，CD上的點，且BE＋FD=EF．

求證：

14．：如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D為AB中點，DE、DF分別交AC于E，交BC于F，且DE⊥DF．

(1)如果CA=CB，求證：AE2＋BF2=EF2；

(2)如果CA＜CB，(1)中的結(jié)論還成立嗎?假設(shè)成立，請證明；假設(shè)不成立，請說明理由．

答案與提示

第二十三章

旋

轉(zhuǎn)

測試1

1．一點O，一個角度，旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角，旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)角．

2．對應(yīng)點．

3．O，90°，點，∠，∠AO＝90°．

4．O點，∠DOA或∠FOC或∠EOB，DO，DE，∠DFE．

5．120．

6．180．

7．270．

8．距離，旋轉(zhuǎn)角，全等．

9．B．

10．D．

11．D．

12．C．

13．A．

14．答案不唯一，如可看成正△ACE繞其中心旋轉(zhuǎn)60°得到的．

15．可看成四邊形AFOJ繞O點每次旋轉(zhuǎn)72°，共旋轉(zhuǎn)了四次得到的．

16．略．

17．略．

18．物體A向右平移，移動的距離是20pcm．

19．△CBE可看成由△ABF按順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的，所以△CBE≌△ABF，并且CE＝AF，AF⊥CE．

20．分兩類：(1)A與C是對應(yīng)點．(2)B與C是對應(yīng)點，對(1)的作法：

(1)連結(jié)AC，作線段AC的垂直平分線l1；

(2)連結(jié)BD，作線段BD的垂直平分線l2，與l1交于O點，那么O點為所求．

同理可作出(2)的O′選點．

21．提示：如圖1，以C為旋轉(zhuǎn)中心，將△APC繞C點逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到△BDC，易證△PCD為等邊三角形，△PBD是以BP，AP(＝BD)，CP(＝PD)為三邊的三角形．∠PBD＝53°，∠BPD＝64°，∠PDB＝63°．

圖1

測試2

1．180°，重合，對稱中心，對稱點．

2．(1)線段，對稱中心，平分；(2)全等圖形．

3．180°，重合，對稱中心．

4．中心對稱，它的中點．

5．中心對稱，它的兩條對角線的交點．

6．中心對稱，它的圓心．

7．AB＝CD且AB∥CD或AB與CD共線．

8．C點，點F，D點，EG，EG，C點，平分，△FGE．

9．OF＝OE，全等．

10．D．

11．B．

12．C．

13．C．

14．略．

15．作法：分別連結(jié)CG、BF，那么它們的交點O為兩四邊形的對稱中心．其理由是關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對稱點所連線段都經(jīng)過對稱中心，而CG、BF兩線段不共線，所以它們的交點即為對稱中心．

16．略．

17．18．(1)A1(1，－1)、B1(3，－2)、C1(4，1)．

(2)A2(3，－5)、B2(5，－6)、C2(6，－3)．

19．(1)平移變換、軸對稱變換、旋轉(zhuǎn)變換．一個圖形經(jīng)過平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)變換，它的形狀和大小都不會改變．即所得的圖形與原圖形全等．

(2)a＝5，b＝2，c＝5，(a＋b＋c)a＋b－c＝122＝144．

20．l1∶y＝2x－3，l2∶y＝－2x－3，l3∶y＝－2x＋1．

21．第2張，是中心對稱圖形．

測試3

1．22．

2．3．

4．5．1

6．60．

7．B．

8．B．

9．A．

10．A．

11．提示：如圖，以BC為邊向形外作等邊△BCE，連結(jié)AC，AE．可證△BCD≌△ECA，AE＝BD，∠ABE＝90°，在Rt△ABE中，有AB2＋BE2＝AE2，即AB2＋BC2＝BD2．

11題圖

12．提示：如圖，延長EC到M，使CM＝AF，連結(jié)BM．易證△AFB≌△CMB，∠4＝∠M．又AD∥BC，∴4＝∠2＋∠5＝∠1＋∠5＝∠3＋∠5．

∴∠M＝∠EBM．

∴BE＝EM＝AF＋CE．

12題圖

13．提示：延長FD到H，使DH＝BE，易證△ABE≌△ADH．再證△AEF≌△AHF．

14．提示：如圖，(1)連結(jié)CD，證△CDE≌△BDF．CE＝BF．

∵CA＝CB，∴

AE＝CF．

在Rt△CEF中，CE2＋CF2＝EF2，∴AE2＋BF2＝EF2．

(2)延長FD到M，使DM＝DF，連結(jié)AM、EM，先證△BFD≌△AMD．∴AM＝BF，∠DAM＝∠B，再證EM＝EF．

14題圖