第一篇：《立體幾何VS空間向量》教學(xué)反思

我這節(jié)公開課的題目是《立體幾何VS空間向量》選題背景是必修2學(xué)過立體幾何而選修21又學(xué)到空間向量在立體幾何中的應(yīng)用。學(xué)生有先入為主的觀念，總想用舊方法卻解體忽視新方法的應(yīng)用，沒有掌握兩種方法的特征及適用體型導(dǎo)致做題不順利。針對此種情況，我特意選了這節(jié)內(nèi)容來講。整節(jié)課，我是這樣設(shè)計的。本著以學(xué)生為主，教師為輔的這一原則，把學(xué)生分成兩組。利用學(xué)生的求知欲和好勝心強的這一特點，采取競賽方式通過具體例題來歸納。分析概括兩種方法的異同及適用體型。最終讓學(xué)生在知識上有所掌握。在能力和意識上有所收獲。那么這節(jié)課我最滿意的有以下幾個地方(1)學(xué)生的參與這節(jié)課的主講不是我，是學(xué)生我要做的是設(shè)置問題和激發(fā)興趣。至于整個分析過程和解決過程都是由學(xué)生來完成的。這節(jié)課二班學(xué)生積極參與，注意力集中。課堂氣氛活躍學(xué)生興趣濃厚，求知欲強，參與面大，在課堂中能夠進(jìn)行有效的合作與平等的交流。(2)學(xué)生的創(chuàng)新這一點是我這節(jié)課的意外收獲。在求一點坐標(biāo)時，我用的是投影而該班周英杰同學(xué)卻利用的是共線，方法簡潔，給人以耳目一新的感覺。另外該班的徐漢宇同學(xué)在兩道中都提出了不同的做法。有其獨特的見解?？梢妼W(xué)生真的是思考了，我也從中獲益不少。真的是給學(xué)生以展示的舞臺。他回報你以驚喜。(3)學(xué)生的置疑林森同學(xué)能直截了當(dāng)?shù)闹赋龊诎迳系腻e誤而且是一個我沒發(fā)現(xiàn)的錯誤這一點是我沒想到的.這說明了學(xué)生的注意力高度集中.善于觀察也說明了我們的課堂比較民主,學(xué)生敢于置疑.這種大膽質(zhì)疑的精神值得表揚.我不滿意的地方有以下幾點(1)題量的安排 5道題雖然代表不同的類型.但從效果上看顯得很匆忙.每道題思考和總結(jié)的時間不是很長,我覺得要是改成4道題.時間就會充裕效果就會更好些.(2)課件的制作 立體幾何著重強調(diào)的是空間想象力,如果能從多個角度觀察圖形學(xué)生會有不同發(fā)現(xiàn).比如徐漢宇同學(xué)的不同做法.需要對圖形旋轉(zhuǎn).如果讓他上黑板做圖時間又不夠.我想不妨讓他畫好圖后用投影儀投到大屏幕上,效果會更好.(3)總結(jié)時間短 這節(jié)課的主題是兩種方法的比較和不同方法的適用題型,后來的小結(jié)時間不夠.這和我設(shè)置的容量大.有直接關(guān)系.沒有突出主題.我想不如直接刪掉一道題.空出時間讓學(xué)生自己談?wù)勑牡皿w會.自己找找解題規(guī)律應(yīng)該會更好.以上就是我對這節(jié)課的反思.其實我最想說的是我的心路歷程.每次上公開課都能發(fā)現(xiàn)新問題.正是這些問題使我變得成熟,完善,我很珍惜每一次上公開課的機會.它使我理智的看待自己的教學(xué)活動中熟悉的習(xí)慣性的行為.使自己的教育教學(xué)理念和教學(xué)能力與時俱進(jìn).

第二篇：空間向量方法解立體幾何教案

空間向量方法解立體幾何

【空間向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點，且M分

數(shù)x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實

分析;結(jié)合圖形，從向量

用、、出發(fā)，利用向量運算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都表示出來，即可求出x、y、z的值。

如圖所示，取PC的中點E，連接NE，則

點評：選定空間不共面的三個向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問題的一項基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運算法則和公式等，就近表示所需向量。再對照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現(xiàn)形式?？臻g向量基本定理恰好說明，用空間三個不共面的向量組可以表示出空間任意一個向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的。

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線；

③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：

①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；

②證明這兩個平面的法向量是共線向量．

（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；

②證明直線與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直．（6）證明面面垂直的方法：

①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直． 【用空間向量求空間角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分別是

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中點，求：

點評：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

求得，即。

（2）直線與平面所成的角主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角。

【用空間向量求距離】

例4.長方體ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。，M是A1C1的中點，P在線

本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)，利用n與平面內(nèi)的兩個向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。

（2）線面角的求法：設(shè)n是平面

向量，則直線與平面的一個法向量，AB是平面的斜線l的一個方向

所成角為?則sin??

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角面直線，則二面角的大小為。的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異

②設(shè)分別是二面角的兩個平面的法向量，則

就是二面角的平面角或其補角。

（4）異面直線間距離的求法：向量，又C、D分別是

是兩條異面直線，n是。的公垂線段AB的方向

上的任意兩點，則

（5）點面距離的求法：設(shè)n是平面平面的距離為。的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離再用（5）中方法求解。

練習(xí)：

?????1????2????

1.若等邊?ABC的邊長

為，平面內(nèi)一點M滿足CM?CB?CA，則

????????MA?MB?_________

2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點A（1，0，2），B(1，-3，1)，點M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________。3.（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求異面直線BF與DE所成的角的大??；(II)證明平面AMD?平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本題滿分15分）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點，AC?16，PA?PC?10．

（I）設(shè)G是OC的中點，證明：FG//平面BOE；

（II）證明：在?ABO內(nèi)存在一點M，使FM?平面BOE，并求點M到OA，OB的距離．

5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當(dāng)PD?且E為PB的中點時，求AE與

平面PDB所成的角的大小.

第三篇：用空間向量處理立體幾何的問題

【專題】用空間向量處理立體幾何的問題

一、用向量處理角的問題

例1在直三棱柱ABO?A1B1O1中，OO1?4，OA?4，OB?3，?AOB?90?，P是側(cè)棱

BB1上的一點，D為A1B1的中點，若OP?BD，求OP與底面AOB所成角的正切值。

B

1A1 P

B

A

?平面OAB，?OOB例2如圖，三棱柱OAB?O1A1B1，平面OBBO?60?，?AOB?90?，111

且OB?OO1?

2，OA? 求：（1）二面角O1?AB?O的余弦值；（2）異面直線A與AO1所成角的余弦值。1B

B1

A

例3如圖，已知ABCD是連長為4的正方形，E、F分別是AD、AB的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC=2，求點B到平面EFG的距離。

D

E

AB

AB?4，AD?3，AA1?2，M、N分別為DC、BB1例4在長方體ABCD?A1BC11D1，的中點，求異面直線MN與A1B的距離。

三、用向量處理平行問題 例5如圖，已知四邊形ABCD，ABEF為兩個正方形，MN分別在其對角線BF、AC上，且FM=AN。

求證：MN//平面EBC。

E

F

M

B A

D

C

例6 在正方體ABCD?A1BC11D1中，求證：平面A1BD//平面CB1D1。

EFBD的中點，例7在正方體ABCD?A求證： A1F?平面BDE。1BC11D1中，、分別是CC1、例8如圖，直三棱柱ABC?A1B1C1中，底面是以?ABC為直角的等腰三角形，AC?2，E為B1C的中點。BB1?2，D為AC11的中點，（1）求直線BE與DC所成的角；

（2）在線段AA1上是否存在點F，使CF?平面B1DF，若存在，求出AF的長；若不存在，請說明理由；

（3）若F為AA1的中點，求C到平面B1DF的距離。

C

1A1

A

C

五、高考題回顧

1.(2003年全國高考題)如圖在直三棱柱ABC?A1B1C1,底面是等腰直角三角形,?ACB?900,側(cè)棱AA1?2,D,E分別是CC1與A1B的中點,點E在平面ABD上的射影是?ABD的重心G.(?)求A1B與平面ABD所成角的余弦值;(??)求點A1到平面AED的距離.A2.(2004年高考題)如圖,直三棱柱ABC?A1B1C1中,?ACB?900,AA1?1,側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交點為D,B1C1的中點為M.(?)求證CD?平面BDM;

(??)求面B1BD與面CBD所成二面角的余弦值.B

六、方法小結(jié)

1、求點到平面的距離

?

如圖，已知點P（x0，y0，z0），A（x1，y1，z1），平面?一個法向量n。

B

A

1C1

?????????????????????n?AP???由n?AP?|n|?|AP|cos?，其中???n,AP?，可知|AP|cos??

|n|

????

而|AP|cos?的絕對值就是點P到平面?的距離。

2、求異面直線的距離、夾角

?????????a?b|EF?n|?d?；cos?a,b??

|n||a|?|b|

3、求二面角

??????????

如圖:二面角??l??,平面?的法向量為n1,平面?的法向量為n2,若?n1,n2???,則二面角??l??為?或???.4、用空間向量證明“平行”，包括線面平行和面面平行。

n?m?0

n??m

第四篇：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點。設(shè)DC=a。

（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG。依題意得。

∵底面ABCD是正方形?！郍是此正方形的中心，故點G的坐標(biāo)為，∴則而，∴PA//平面EDB。

（2）依題意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：設(shè)點F的坐標(biāo)為又，故，所以PB⊥平面EFD。，則

從而所以

由條件EF⊥PB知，即，解得

∴點F的坐標(biāo)為，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小為60°。

點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；②證明這兩個平面的法向量是共線向量．（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；②證明直線與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直．

（6）證明面面垂直的方法：①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直．【用空間向量求空間角】例.正方形ABCD—

中，E、F分別是，的中點，求：

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨設(shè)正方體棱長為2，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F(xiàn)（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值為。

（2）∵

∴

∴，過C作CM⊥AE于M，則二面角C—AE—F的大小等于，∵M(jìn)在AE上，∴設(shè)則，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小為點評：（1）兩條異面直線所成的角（2）直線與平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角?！居每臻g向量求距離】例.長方體ABCD—求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。解析：（1）方法一：

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系B—xyz，則A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

方法二：，∴

故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距離為（3）設(shè)

是平面的某一法向量，則，∵因此可取，由于

∴，那么點M到平面的距離為，故M到平面的距離為。

點評：本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法，供大家參考。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)聯(lián)立后取其一組解。，利用n與平面內(nèi)的兩個向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，（2）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線l的方向向量，則直線l與平面所成角的正弦值為。

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

②設(shè)或其補角。

分別是二面角的兩個平面的法向量，則就是二面角的平面角

（4）異面直線間距離的求法：

是兩條異面直線，n是的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是

上的任意

兩點，則。

（5）點面距離的求法：設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到平面的距離為。

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離再用（5）中方法求解。

第五篇：空間向量課后反思[模版]

課后反思:

這次上課是 2節(jié)課連起來上的，是新的一章空間向量的學(xué)習(xí)，因為平面向量有些知識可以直接類比到空間向量，所以我將原本3節(jié)課的內(nèi)容壓縮到2節(jié)課里來上，第1節(jié)主要是知識點的梳理，第2節(jié)則是通過習(xí)題來加強對知識點的掌握。

這節(jié)課的一開始我讓學(xué)生先進(jìn)行回憶，想一下在高一的時候我們學(xué)了平面向量的哪些知識。然后我讓學(xué)生板書寫，下面的學(xué)生自己寫在進(jìn)行補充和分類。則個還節(jié)的設(shè)計能夠充分調(diào)動學(xué)生的積極性并讓學(xué)生能夠加深新舊知識之間的聯(lián)系，形成知識之間的結(jié)構(gòu)體系。但是在具體實行的時候因為學(xué)生回憶的知識很雜亂，而且很多的知識沒有想起來，就導(dǎo)致了我在這個環(huán)節(jié)上耗費了太多的時間且效果沒有預(yù)期的好，這個主要是自己的知識掌握不夠?qū)挿汉徒?jīng)驗不足，不能夠很好的講放出去的話題收回來，相信在以后的不斷實踐中能夠得到提高。接下來學(xué)習(xí)共面向量定理和基本定理時也是通過類比平面向量進(jìn)行的，并且對基本定理進(jìn)行了證明以加深學(xué)生的印象。這個環(huán)節(jié)上進(jìn)行的比較流暢但是在定理證明的過程中暴露出了一個問題是我對證明過程的講解不能和學(xué)生進(jìn)行很好的互動，基本上是我一個人在自說自話，這個也是缺乏經(jīng)驗的體現(xiàn)。

這節(jié)課總的來說還可以，教學(xué)任務(wù)能夠完成，但是還有一些不足的地方需要引起我的注意，在以后授課的過程要不斷的改進(jìn)并在課后不斷的充實自己的知識面和在每節(jié)課后都要進(jìn)行反思，爭取早一天步入成功教師的行列。