第一篇：向量方法在立體幾何教學中的應用

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向量方法在立體幾何教學中的應用

作者：王龍生

摘 要： 在江蘇省對口單招數(shù)學試卷中，立體幾何這一章的知識點每年都作為重點考查的內(nèi)容.每年我校考生在立體幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數(shù)學概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.根據(jù)向量的數(shù)形特性，可以將幾何圖形數(shù)量化，從而通過運算解決立體幾何中的平行、垂直等問題，能避免構(gòu)圖和推理的復雜過程，有利于降低解題難度.關鍵詞： 向量 立體幾何教學 數(shù)形結(jié)合在江蘇省對口單招數(shù)學試卷中，立體幾何這一章的知識點每年都是重點考查的內(nèi)容.每年我?？忌诹Ⅲw幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數(shù)學概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.根據(jù)向量的數(shù)形特性，可以將幾何圖形數(shù)量化，從而通過運算解決立體幾何中的平行、垂直等問題，避免構(gòu)圖和推理的復雜過程，有利于降低解題難度.一、將立體幾何中的平行問題轉(zhuǎn)化為向量平行來證明

二、將立體幾何中的垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直來證明

由于立體幾何中的垂直問題圖形比較復雜，加上學生的空間感比較薄弱，因此學生很難解決.把立體幾何中的垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直，其優(yōu)越性非常明顯，具體體現(xiàn)在：兩個向量垂直的充要條件可以把“垂直”體現(xiàn)在一個等式中變?yōu)榧兇獾倪\算，所涉及的向量易于用坐標表示就足夠了.立體幾何中的線線、線面、面面垂直，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個向量的垂直問題解決.1.“線線垂直”化為“向量垂直”

華羅庚關于“數(shù)形結(jié)合”有一句名言：“數(shù)缺形時少直觀，形離數(shù)時難入微.”向量是基本的數(shù)學概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.因此，充分掌握、運用好向量知識，可以提高學生的數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題的能力，幫助學生理清數(shù)形結(jié)合呈現(xiàn)的內(nèi)在關系，把無形的解題思路形象化，有利于學生順利地、高效率地解決數(shù)學問題.利用向量方法研究立體幾何問題，能避免傳統(tǒng)幾何方法中繁瑣的推理及論證，有效提高學生解決立體幾何問題的能力.參考文獻：

[1]單招生—相約在高校，數(shù)學：基礎知識梳理.[2]單招零距離—數(shù)學：總復習方案.[3]呂林根，張紫霞，孫存金.立體幾何學習指導書.

第二篇：空間向量在立體幾何中的應用

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點，作EF⊥PB于點F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如圖所示建立空間直角坐標系，D為坐標原點。設DC=a。

（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG。依題意得。

∵底面ABCD是正方形。∴G是此正方形的中心，故點G的坐標為，∴則而，∴PA//平面EDB。

（2）依題意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：設點F的坐標為又，故，所以PB⊥平面EFD。，則

從而所以

由條件EF⊥PB知，即，解得

∴點F的坐標為，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小為60°。

點評：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明能夠在平面內(nèi)找到一個向量與已知直線的方向向量共線；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；②證明這兩個平面的法向量是共線向量．（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；②證明直線與平面內(nèi)的兩個不共線的向量互相垂直．

（6）證明面面垂直的方法：①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個平面的法向量互相垂直．【用空間向量求空間角】例.正方形ABCD—

中，E、F分別是，的中點，求：

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨設正方體棱長為2，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標系，則 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F(xiàn)（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值為。

（2）∵

∴

∴，過C作CM⊥AE于M，則二面角C—AE—F的大小等于，∵M在AE上，∴設則，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小為點評：（1）兩條異面直線所成的角（2）直線與平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補角?！居每臻g向量求距離】例.長方體ABCD—求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。解析：（1）方法一：

如圖，建立空間直角坐標系B—xyz，則A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中點，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點，故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

方法二：，∴

故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距離為（3）設

是平面的某一法向量，則，∵因此可取，由于

∴，那么點M到平面的距離為，故M到平面的距離為。

點評：本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標系，運用向量坐標法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個新的熱點。現(xiàn)列出幾類問題的解決方法，供大家參考。

（1）平面的法向量的求法：設聯(lián)立后取其一組解。，利用n與平面內(nèi)的兩個向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個三元一次方程，（2）線面角的求法：設n是平面的法向量，是直線l的方向向量，則直線l與平面所成角的正弦值為。

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

②設或其補角。

分別是二面角的兩個平面的法向量，則就是二面角的平面角

（4）異面直線間距離的求法：

是兩條異面直線，n是的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是

上的任意

兩點，則。

（5）點面距離的求法：設n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點B到平面的距離為。

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點面距離再用（5）中方法求解。

第三篇：向量在立體幾何中的應用導學案

課題：§2.4向量在立體幾何中的應用

（一）編寫：審核：時間—、教學目標 ：、復習近平面幾何圖形的性質(zhì)。

2、理解用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”。

二、問題導學：

1、平面幾何圖形的性質(zhì)

2、用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”。

建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將證明線段相

等，轉(zhuǎn)化為證明向量的相等，求線段的長，轉(zhuǎn)化為求向量的； 證明線段、直線平行，轉(zhuǎn)化為證明向量；

證明線段、直線垂直，轉(zhuǎn)化為證明向量；

幾何中與角相關的問題，轉(zhuǎn)化為向量的問題；

對于有關長方形、正方形、直角三角形等平面幾何問題，通常以相互垂直的兩邊所在直線分別為x軸和y軸建立，通過代數(shù)（坐標）運算解決問題。典型例題

例

1、如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點，且AB2-AC2=DB2-DC2。

求證：AD⊥BC。

例

2、已知A、B、C是坐標平面上的三點，其坐標分別為A（1，2），B（4，1），C（0，-1）

（1）求,和?ACB的大小，并判斷△ABC的形狀；

（2）若M為BC邊的中點，求||。

三、作業(yè)

ABCD中，錯誤的式子是（）

A、??B、??

C、AB?BC?ACD、AD?AB?AC2、已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），則△ABC是（）

A、等邊三角形B、銳角三角形C、直角三角形D、鈍角三角形 ????

3、△ABC是等邊三角形，設?a,?b,當|a?tb|取最小值時，t=（）

13A、B、1C、2D、224、已知四邊形ABCD的頂點坐標A（1，1），B（1，3），C（3，3），D（4，1），則

四邊形ABCD為（）

A、直角梯形 B、等腰梯形C、矩形D、菱形

5、在平面上有A、B、C三點，設m?AB?BC,n?AB?BC,若m與n的長度恰好相等，則有（）

A、A、B、C三點必在同一條直線上B、△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角C、△ABC必為直角三角形且∠B=90o D、△ABC必為等腰直角三角形

????

?????????

6、設向量a?(1,?3),b?(?2,4),c?(?1,?2)若表示向量4a,4b?2c,2(a?c),d

?的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為（）

A、（2，6）

B、（-2，6）

C、（2，-6）

D、（-2，-6）

7、已知點A(,1),B(0,0),C(3,0)，設∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有??,其?等于（）A、2B、C、-

3D、?

38、如果直線x?y?t與圓x2?y2?4相交于A、B兩點，O為原點，如果與的夾角為

?，則t 的值為。

39、如圖，已知AD，BE，CF分別是△ABC的三條高，求證：AD，BE，CF相交于同一點。

§2.4向量在解析幾何中的應用

（二）執(zhí)筆人：鄭才紅葛紅時間—、自主學習例4—6填空：

（1）設直線l 的傾斜角為?，斜率為k, 向量?(a1,a2)平行于l，則稱為l的，可以根據(jù)向量的知識得到向量（1，k）與向量共線，因此（1，k）也是l 的方向向量。

（2）已知直線l:Ax?By?C?0，則向量(A,B)一定和l，向量(A,B)

稱為l 的。

（3）已知直線l1:A1x?B1y?C1?0，l1:A1x?B2y?C2?0，則n1?(A1B1)與

l1垂直，n2?(A2,B2)與l2 垂直，于是l1和l2的夾角便是n1與n2的夾角（或其

補

角）

設

l

1與

l

2的夾

角

是

?，則

有

?????

?????n?n2

|?cos??|cos?n1,n2?|?|1|n1||n2|

二、典型例題：

已知點P（-3，0），點A在y軸上，點Q在x軸正半軸上，點M在直線AQ上，滿足

PA?AM?0,??，當點A在y軸上移動時，求動點M的軌跡方程。

三、作業(yè)：

1、已知點A，B的坐標為A（4，6），B（-3，）,與直線AB平行的向量的坐標可以

2是（）

①（14,3)

3②(7,)③(?

921

4,?3)④（-7，9）3

A、①②B、①③C、①②③D、①②③④

2、在平面直角坐標系中，O為坐標原點，已知兩點A（1，0），B（2，2），若點C滿

足??t(?),其中t?R，則點C的軌跡方程為（）

A、(x?2)2?(y?2)2?2C、2x?y?1?0

B、x?y?1?0 D、2x?y?2?03、直線3x?2y?6?0與向量n?(?2,3)的位置關系為（）A、平行

B、相交

C、垂直

D、重合?

4、若對n個向量a1,a2,......,an,存在n個不全為0的實數(shù)k1, k2,??，kn，使得

?，依此k1a1?k2a2?.....?knan?0成立，則稱向量a1,a2,...,an為“線性相關”

規(guī)定，能說明a1?(1,0)，a2?(?1,1),a3?(2,2)“線性相關”的實數(shù)k1, k2, k3依次可以取。（寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況）。

5、過點A（3，2）且與直線l:4x?3y?9?0平行的直線方程為，過點A且與l垂直的直線方程為。

?2?

6、已知向量a?(x,x?)與向量b?(2x,?3)的夾角為鈍角，則實數(shù)x的取值范圍

是

????????

7、已知向量a,b的夾角為60o，|a|?3,|b|?2,若(3a?5b)?(ma?b)，則m的值為

8、直角坐標平面xoy中，若定點A（1，2）與動點P(x, y)滿足OP?OA?4，則點P的軌跡方程是。

§2.4向量在物理中的應用

（三）執(zhí)筆人：鄭才紅葛紅時間

—、自主學習：

1、力向量包括大小、方向和作用點，如果大小和方向相同的兩個力，作用點不同，它們是

2、同一平面上，作用于同一點的兩個力f1,f2或三個力f1,f2,f3處于平衡狀態(tài)，可分別用等式；來表示。

3、一質(zhì)點在運動中每一時刻都有一個向量。

二、典型例題：

例

1、如圖，一艘船從A點出發(fā)以2km/h的速度向垂直于對岸的方向行駛，同時河

水的流速為2km/h，求船的實際航行速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）。

例

2、某人騎車以每小時a千米的速度向東行駛，感到風從正北方向吹來，而當速度為

2a時，感到風從東北方向吹來，試求實際風速和方向。

三、作業(yè)

?

1、當兩人提起重量為|G|的書包時，夾角為?，用力為||，則三者的關系式為（）

?

?|G|

A、|F|?

2cos???|G|C、F?

2cos

??|G|B、|F|?

2sin??

?|G|D、|F|?

2cos2、已知作用在A點的三個力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)且A（1，1），則合力?F1?F2?F3的終點坐標為（）A、（9，1）

B、（1，9）

C、（9，0）

D、（0，9）

3、兩個大小相等的共點力F1,F2，當它們夾角為90o時，合力大小為20N，則當它們的夾角為120o時，合力大小為（）A、40N

B、2N

C、2N

D、N4、一條河寬為400米，一船從A出發(fā)航行垂直到達河正對岸的 B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達B處所需的時間為（）A、1.5分鐘B、1.8分鐘C、2.2分鐘D、3分鐘

5、河水的流速為2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為（）A、10m/s

B、226m/s

C、46m/s

D、12m/s6、一船從某河一岸駛向另一岸，船速為v1，水速為v2，已知垂直到達對岸，則（）A、|v1|?|v2|C、|v1|?|v2|

?????

B、|v1|?|v2|

D、|v1|?|v2|

第四篇：28.空間向量在立體幾何中的應用

高三數(shù)學一輪復習材料命題：王曉于杰審題：劉臻祥2007-8-2

2§5.3空間向量在立體幾何中的應用

NO.28

【基礎知識梳理】

1.直線的方向向量與直線的向量方程

⑴ 用向量表示直線或點在直線上的位置

① 給定一個定點A和一個向量a，再任給一個實數(shù)t，以A為起點作向量AP=_________（Ⅰ），這時點P的位置被完全確定.向量方程通常稱作直線l的____________，向量a稱為該直線的____________.② 對空間任一個確定的點O，點P在直線l上的充要條件是存在惟一的實數(shù)t，滿足等式，如果在l上取?，則（Ⅱ）式可化為 O=_________（Ⅱ）

OP?OA?tAB?OA?t(OB?OA)，即O=_________（Ⅲ）.（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）都叫做空間直線的向量參數(shù)方程，它們都與平面的直線向量參數(shù)方程相同.③ 設點M是線段AB的中點，則O=_________.⑵ 用向量方法證明直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行

① 設直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2或l1和l2重合?__________.② 已知兩個非零向量v1，v2與平面α共面，一條直線l的一個方向向量為v，則l∥α或 l在α內(nèi)?存在兩個實數(shù)x，y，使v=__________.⑶ 用向量運算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角

設直線l1和l2成的角為θ（銳角），方向向量分別為v1和v2，則有l(wèi)1⊥l2?__________，cosθ=__________.2.平面的法向量與平面的向量表示

⑴ 已知平面α，如果向量n的基線與平面α垂直，則向量n叫做平面α的________或說向量n與平面α________.⑵設A是空間任一點，n為空間任一非零向量，適合條件AM?n?0----①的點M的集合構(gòu)成的圖形是________.如果任取兩點M1、M2（M1、M2和A三點不共線），且AM1??0，AM2??0，則n⊥平面AM1M2.在平面AM1M2內(nèi)的任一點M都滿足條件①式.滿足條件①的所有

點M都在平面AM1M2內(nèi).①式稱為一個平面的_____________.⑶ 共面向量定理的推論：如果A、B、C三點_____________，則點M在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在一對實數(shù)x，y，使向量表達式=_________.⑷ 設n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β或α，β重合?_____，α⊥β?_____?_________

⑸ 三垂線定理：如果在平面___的一條直線與平面的一條斜線在這個平面內(nèi)的射影垂直，則它也和____________垂直.三垂線定理的逆定理：如果在平面___的一條直線與平面的一條斜線垂直，則它也和

____________垂直.【基礎知識檢測】

1.兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=（1，0，-1），v2=（-2，0，2），則l1與l2的位置關系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.不確定

2.在下列四個正方體中，能得出AB⊥CD的是（）

ABCD

3.已知l∥α，且l的方向向量為（2，m，1），平面α的法向量為（1，-1m，2），則m=______.24.已知平面α和β的法向量分別為u1=（-1，x，4）和u2=（y，1，-2），若α∥β，則x+y=______.5.已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則直線AC1與直線BC所成的角為_______.【典型例題探究】

題型1.（異面直線所成的角）在棱長均為a的正四面體ABCD中，M、N分別為邊AB、CD的中點，求異面直線AN、CM所成的角的余弦值.D

變式訓練：已知直三棱柱ABD-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1和A1A的中點,（1）求異面直線BA1和CB1所成的角；（2）求證：A1B⊥C1M.題型2.（利用空間向量證明平行、垂直問題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點M、N

分別是對角線A1B與面對角線A1C1的中點.求證：MN∥側(cè)面AD1.變式訓練：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為a，M、N分別為A1B和AC上的點，A1M=AN=2a，則MN與平面BB1C1C的位置關系是（）

3A.相交B.平行C.垂直D.不能確定

題型3（空間中點共線、點共面問題）已知平行四邊形ABCD，從平面ABCD外一點O引射線OA，OB，OC，OD，在其上分別取E，F(xiàn)，G，H，并且使OEOFOGOH????k（k OAOBOCOD

為常數(shù)）.求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面.變式訓練：求證：四點A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）共面.【限時過關檢測】班級學號姓名分數(shù)

選擇、填空題每小題10分

1.對空間任意一點O，若?311??，則A、B、C、P四點（）488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷

2.設P是△ABC所在平面外一點，且PA⊥BC,PB⊥AC,則 P在該平面內(nèi)的射影是△ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

3.設l1的方向向量為=（1，2，-2），l2的方向向量為=（-2，3，m），若l1⊥l2，則m= ____.4.已知=（2，2，1），=（4，5，3），則平面ABC的單位法向量是_________.5.（20分）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，2

M是PB的中點.（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角.6.（20分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D為A1C1的中點，E為B1C的中點，⑴ 求直線BE與A1C所成的角；⑵ 在線段AA1上是否存在點F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，說明理由.【體驗高考】(每小題10分)

1．（2007全國Ⅰ）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為

（）

A．1234B．C．D． 5555

2.（2007四川）ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯誤的是（）．．

A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1角為60°

第五篇：立體幾何中的向量方法的教學設計

《立體幾何中的向量方法》的教學設計

一、教材分析

本節(jié)課是坐標法與向量有效結(jié)合的典型范例，有利于培養(yǎng)學生利用向量解決立體幾何問題的能力。

二、教學目標

通過類比平面內(nèi)的點、線的位置可以由向量來確定，引導學生理解空間內(nèi)的點、線、面的位置也可以由向量來表示，并進一步探究用空間向量的運算來表示空間線、面的位置關系。從應用其證明空間線面的平行與垂直問題中體會直線的方向向量與平面的法向量在解決立體幾何中線面平行與垂直問題時的作用。從而樹立學好用好向量法解決立體幾何問題的興趣和信心。

三、教學重點、難點

由于建系求點坐標是向量方法中最大的障礙，所以把坐標法與向量法結(jié)合作為重點，而適當?shù)亟⒖臻g直角坐標系及添加輔助線作為難點。

四、教學手段

用幾何畫板直觀展示圖形給學生立體感，通過問題鏈讓學生有效地進行數(shù)學思維。

五、教學流程

1、新課導入：

同學們，在前面的學習中，我們已經(jīng)接觸過一些用空間向量的運算方法，所以這節(jié)課我們將使用一些用空間向量知識證明點、線、面的位置關系。

為了運用向量來解決立體幾何問題，首先要明確空間的點、線、面的位置是否可以用向量來確定？想一想平面內(nèi)點、線的位置可以由向量來唯一確定嗎？你能利用類比的方法，相應地得出空間點、線、面的位置也可以由向量來唯一確定的結(jié)論嗎？

2、經(jīng)典例題講解：

<例一> 已知平行六面體ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，?C1CB??C1CD??BCD??,求證：CC1?BD.分析：題目是讓我們求證CC1?BD，我們可以利用向量垂直的方法來試著證明CC1.BD =0 <例二> 棱長都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D,E分別是AC,CC1的中點，求證：A1E⊥平面DBC1。

分析：該題主要是考察學生是否可以根據(jù)已知題目給出的信息將建立空間直角坐標系，本題以D為坐標原點，DC所在的直線為x軸，連接BD以BD為y軸，Z軸則平行與CC1建立了D-XYZ的空間直角坐標系。接著根據(jù)平面法向量的性質(zhì)來求證出結(jié)果。

六、練習

用向量的方法證明“平面與平面垂直的判定定理”。

七、總結(jié)

將空間向量的方法引入到立體幾何中，通常的方法不必添加繁雜的輔助線，只要建立適當?shù)目臻g直角坐標系，寫出相關點的坐標，利用向量運算解決立體幾何問題，這樣使問題坐標化、符號化、數(shù)量化，從而降低推理問題的思維難度。