第一篇：28.空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)材料命題：王曉于杰審題：劉臻祥2007-8-2

2§5.3空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

NO.28

【基礎(chǔ)知識(shí)梳理】

1.直線的方向向量與直線的向量方程

⑴ 用向量表示直線或點(diǎn)在直線上的位置

① 給定一個(gè)定點(diǎn)A和一個(gè)向量a，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)t，以A為起點(diǎn)作向量AP=_________（Ⅰ），這時(shí)點(diǎn)P的位置被完全確定.向量方程通常稱作直線l的____________，向量a稱為該直線的____________.② 對(duì)空間任一個(gè)確定的點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在惟一的實(shí)數(shù)t，滿足等式，如果在l上取?，則（Ⅱ）式可化為 O=_________（Ⅱ）

OP?OA?tAB?OA?t(OB?OA)，即O=_________（Ⅲ）.（Ⅰ）或（Ⅱ）或（Ⅲ）都叫做空間直線的向量參數(shù)方程，它們都與平面的直線向量參數(shù)方程相同.③ 設(shè)點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)，則O=_________.⑵ 用向量方法證明直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行

① 設(shè)直線l1和l2的方向向量分別為v1和v2，則l1∥l2或l1和l2重合?__________.② 已知兩個(gè)非零向量v1，v2與平面α共面，一條直線l的一個(gè)方向向量為v，則l∥α或 l在α內(nèi)?存在兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使v=__________.⑶ 用向量運(yùn)算證明兩條直線垂直或求兩條直線所成的角

設(shè)直線l1和l2成的角為θ（銳角），方向向量分別為v1和v2，則有l(wèi)1⊥l2?__________，cosθ=__________.2.平面的法向量與平面的向量表示

⑴ 已知平面α，如果向量n的基線與平面α垂直，則向量n叫做平面α的________或說向量n與平面α________.⑵設(shè)A是空間任一點(diǎn)，n為空間任一非零向量，適合條件AM?n?0----①的點(diǎn)M的集合構(gòu)成的圖形是________.如果任取兩點(diǎn)M1、M2（M1、M2和A三點(diǎn)不共線），且AM1??0，AM2??0，則n⊥平面AM1M2.在平面AM1M2內(nèi)的任一點(diǎn)M都滿足條件①式.滿足條件①的所有

點(diǎn)M都在平面AM1M2內(nèi).①式稱為一個(gè)平面的_____________.⑶ 共面向量定理的推論：如果A、B、C三點(diǎn)_____________，則點(diǎn)M在平面ABC內(nèi)的充要條件是，存在一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使向量表達(dá)式=_________.⑷ 設(shè)n1，n2分別是平面α，β的法向量，則α∥β或α，β重合?_____，α⊥β?_____?_________

⑸ 三垂線定理：如果在平面___的一條直線與平面的一條斜線在這個(gè)平面內(nèi)的射影垂直，則它也和____________垂直.三垂線定理的逆定理：如果在平面___的一條直線與平面的一條斜線垂直，則它也和

____________垂直.【基礎(chǔ)知識(shí)檢測(cè)】

1.兩不重合直線l1和l2的方向向量分別為v1=（1，0，-1），v2=（-2，0，2），則l1與l2的位置關(guān)系是（）

A.平行B.相交C.垂直D.不確定

2.在下列四個(gè)正方體中，能得出AB⊥CD的是（）

ABCD

3.已知l∥α，且l的方向向量為（2，m，1），平面α的法向量為（1，-1m，2），則m=______.24.已知平面α和β的法向量分別為u1=（-1，x，4）和u2=（y，1，-2），若α∥β，則x+y=______.5.已知正方體ABCD－A1B1C1D1，則直線AC1與直線BC所成的角為_______.【典型例題探究】

題型1.（異面直線所成的角）在棱長(zhǎng)均為a的正四面體ABCD中，M、N分別為邊AB、CD的中點(diǎn)，求異面直線AN、CM所成的角的余弦值.D

變式訓(xùn)練：已知直三棱柱ABD-A1B1C1中，CA＝CB＝1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分別是A1B1和A1A的中點(diǎn),（1）求異面直線BA1和CB1所成的角；（2）求證：A1B⊥C1M.題型2.（利用空間向量證明平行、垂直問題）已知正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M、N

分別是對(duì)角線A1B與面對(duì)角線A1C1的中點(diǎn).求證：MN∥側(cè)面AD1.變式訓(xùn)練：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M、N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，A1M=AN=2a，則MN與平面BB1C1C的位置關(guān)系是（）

3A.相交B.平行C.垂直D.不能確定

題型3（空間中點(diǎn)共線、點(diǎn)共面問題）已知平行四邊形ABCD，從平面ABCD外一點(diǎn)O引射線OA，OB，OC，OD，在其上分別取E，F(xiàn)，G，H，并且使OEOFOGOH????k（k OAOBOCOD

為常數(shù)）.求證：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面.變式訓(xùn)練：求證：四點(diǎn)A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）共面.【限時(shí)過關(guān)檢測(cè)】班級(jí)學(xué)號(hào)姓名分?jǐn)?shù)

選擇、填空題每小題10分

1.對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若?311??，則A、B、C、P四點(diǎn)（）488

A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.無法判斷

2.設(shè)P是△ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA⊥BC,PB⊥AC,則 P在該平面內(nèi)的射影是△ABC的（）

A.內(nèi)心B.外心C.垂心D.重心

3.設(shè)l1的方向向量為=（1，2，-2），l2的方向向量為=（-2，3，m），若l1⊥l2，則m= ____.4.已知=（2，2，1），=（4，5，3），則平面ABC的單位法向量是_________.5.（20分）已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=1AB=1，2

M是PB的中點(diǎn).（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；（Ⅱ）求AC與PB所成的角.6.（20分）直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D為A1C1的中點(diǎn)，E為B1C的中點(diǎn)，⑴ 求直線BE與A1C所成的角；⑵ 在線段AA1上是否存在點(diǎn)F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出AF；若不存在，說明理由.【體驗(yàn)高考】(每小題10分)

1．（2007全國(guó)Ⅰ）正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1=2AB，則異面直線A1B與AD1所成角的余弦值為

（）

A．1234B．C．D． 5555

2.（2007四川）ABCD-A1B1C1D1為正方體，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是（）．．

A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1D1D．異面直線AD與CB1角為60°

第二篇：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

【利用空間向量證明平行、垂直問題】

例.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F。

（1）證明：PA//平面EDB；（2）證明：PB⊥平面EFD；（3）求二面角C—PB—D的大小。

如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，D為坐標(biāo)原點(diǎn)。設(shè)DC=a。

（1）證明：連接AC，AC交BD于G，連接EG。依題意得。

∵底面ABCD是正方形?！郍是此正方形的中心，故點(diǎn)G的坐標(biāo)為，∴則而，∴PA//平面EDB。

（2）依題意得B（a，a，0），∴PB⊥DE由已知EF⊥PB，且

（3）解析：設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為又，故，所以PB⊥平面EFD。，則

從而所以

由條件EF⊥PB知，即，解得

∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為，且∴

即PB⊥FD，故∠EFD是二面角C—PB—D的平面角。

∵，且

∴∴∠EFD=60°所以，二面角C—PB—D的大小為60°。

點(diǎn)評(píng)：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；②證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線；③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；②證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量．（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；②證明直線與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直．

（6）證明面面垂直的方法：①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直．【用空間向量求空間角】例.正方形ABCD—

中，E、F分別是，的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。

解析：不妨設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，分別以DA，DC，DD1所在直線為x軸，y軸，z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則 A（2，0，0），C（0，2，0），E（1，0，2），F(xiàn)（1，1，2）（1）由，得

又，∴，即所求值為。

（2）∵

∴

∴，過C作CM⊥AE于M，則二面角C—AE—F的大小等于，∵M(jìn)在AE上，∴設(shè)則，∵

∴

又∴

∴二面角C—AE—F的余弦值的大小為點(diǎn)評(píng)：（1）兩條異面直線所成的角（2）直線與平面所成的角

求得，即

求得，即。

或

可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

主要可以通過直線的方向向量與平面的法向量的夾角

（3）二面角的大小可以通過該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角?！居每臻g向量求距離】例.長(zhǎng)方體ABCD—求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。解析：（1）方法一：

如圖，建立空間直角坐標(biāo)系B—xyz，則A（4，0，0），M（2，3，4），P（0，4，0），Q（4，6，2），∴，中，AB=4，AD=6，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點(diǎn)，故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

方法二：，∴

故異面直線AM與PQ所成角的余弦值為

（2）∵，∴上的射影的模

故M到PQ的距離為（3）設(shè)

是平面的某一法向量，則，∵因此可取，由于

∴，那么點(diǎn)M到平面的距離為，故M到平面的距離為。

點(diǎn)評(píng)：本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長(zhǎng)和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問題必將成為高考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)?，F(xiàn)列出幾類問題的解決方法，供大家參考。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)聯(lián)立后取其一組解。，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，（2）線面角的求法：設(shè)n是平面的法向量，是直線l的方向向量，則直線l與平面所成角的正弦值為。

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異面直線，則二面角的大小為。

②設(shè)或其補(bǔ)角。

分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則就是二面角的平面角

（4）異面直線間距離的求法：

是兩條異面直線，n是的公垂線段AB的方向向量，又C、D分別是

上的任意

兩點(diǎn)，則。

（5）點(diǎn)面距離的求法：設(shè)n是平面的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到平面的距離為。

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。

第三篇：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用(一) 課時(shí)教案

空間向量在立體幾何中的應(yīng)用

（一）——求空間兩條直線、直線與平面所成的角

知識(shí)與技能：引導(dǎo)學(xué)生探索并掌握利用空間向量求線線角、線面角的基本方法。、過程與方法：通過對(duì)例題的研究求解，歸納總結(jié)，從中體會(huì)使用代數(shù)方法研究空間圖形帶來的方便，激發(fā)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的熱情，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)，鍛煉數(shù)學(xué)品質(zhì)，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。情感態(tài)度價(jià)值觀：課堂中進(jìn)行“師生交流”與“生生交流”，有利于提高學(xué)生的表達(dá)能力和總結(jié)概括的能力，讓學(xué)生獲得成功的體驗(yàn)，樹立學(xué)好數(shù)學(xué)的信心 教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)

重點(diǎn)：利用空間向量解決線線角、線面角問題的基本思路。難點(diǎn)：在解題中的靈活應(yīng)用。

教學(xué)方法：課前預(yù)習(xí)、獨(dú)立思考、課堂討論、當(dāng)堂訓(xùn)練、課后反思相結(jié)合。教學(xué)過程：

一、創(chuàng)設(shè)情境：

引例：（期中考試卷19題）在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，點(diǎn)E、F、G分別為BC、CD、AD的中點(diǎn)。（1）證明直線AC?直線BD；

（2）求異面直線EF與CG所成的角（結(jié)果用反三角表示）。二．探索與發(fā)現(xiàn)

1、空間兩條直線所成的角

設(shè)空間直線a與b所成的角為?(0????2)，它們的一個(gè)方向向量分別為d1??l1,m1,n1?和d2??l2,m21,n2?，d1與d2的夾角為?(0????).，根據(jù)空間兩條直線所成角的定義，可知?與?的關(guān)系是

???(0???)??2???

?????(????)?2?于是得cos??cos?

當(dāng)ab時(shí)，??0,??0或?，當(dāng)a?b時(shí)，??0,??

2、空間直線與平面所成的角

?2。當(dāng)直線l與平面?相交且不垂直時(shí)，設(shè)它們所成的角為?(0????2)，d是直線l的一個(gè)方向向量，n是平面?的一個(gè)法向量，d與n的夾角為?，那么?與?有如下關(guān)系：

?????(0???)??22 ????????(????)?22?當(dāng)l?或l??時(shí)??0,??于是有sin??cos?。三．學(xué)習(xí)應(yīng)用

例1：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AD、AB的中點(diǎn)。（1）求異面直線B1E與C1F所成角的大??；（2）求證：異面直線AC1與B1C垂直；（3）求直線BC1與面EFB1D1所成角的大小。例2：討論完成引例

例3：四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中點(diǎn)，異面直線AD和BE所成角的大小為arccos四．創(chuàng)新發(fā)展

例4：在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中點(diǎn)。

（1）在棱BB1上是否存在一點(diǎn)M，使D1M?平面B1AE，為什么？

（2）在正方體表面ABB1A1上是否存在點(diǎn)N，使D1N?平面B1AE，為什么？ 五．課堂小結(jié)：

利用空間向量處理立體幾何的問題，可以把一些復(fù)雜的邏輯推理過程轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算，有利于克服空間想象力的障礙和空間作圖的困難，既直觀又容易接受，降低了立體幾何學(xué)習(xí)的難度，有利于豐富我們的思維結(jié)構(gòu)，提高運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)分析和解決問題的能力。

六、課后作業(yè)

1、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AD、AB的中點(diǎn)。

D1A1B1C1?2;，當(dāng)l??時(shí)，???2,??0.1010，求直線DE與平面BCD所成角的大小。

（1）求異面直線B1E與C1F所成角的大??；（2）求證：異面直線AC1與B1C垂直；

D EAFBC（3）求直線BC1與面EFB1D1所成角的大小。

2、在空間四邊形ABCD中，AB=BC=CD=AD=AC=BD=6，點(diǎn)E、F、G分別為BC、CD、AD的中點(diǎn)。

（1）證明：直線AC?直線BD；（2）求異面直線EF與CG所成的角（結(jié)果

反三角表示）。

3、四面體ABCD中，AB、BC、CD兩兩互相垂直，AB=BC=2，E是AC的中點(diǎn)，異面直線AD和BE所成角的大小為arccos

CBEAD1010，求DE與平面BCD所成角的大小。

4、在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E是棱BC的中點(diǎn)。

（1）在棱BB1上是否存在一點(diǎn)M，使D1M?平面B1AE，為什么？

（2）在正方體表面ABB1A1上是否存在點(diǎn)N，使D1N?平面B1AE，為什么？

A1D1B1C1DABC

第四篇：向量方法在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

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向量方法在立體幾何教學(xué)中的應(yīng)用

作者：王龍生

摘 要： 在江蘇省對(duì)口單招數(shù)學(xué)試卷中，立體幾何這一章的知識(shí)點(diǎn)每年都作為重點(diǎn)考查的內(nèi)容.每年我?？忌诹Ⅲw幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.根據(jù)向量的數(shù)形特性，可以將幾何圖形數(shù)量化，從而通過運(yùn)算解決立體幾何中的平行、垂直等問題，能避免構(gòu)圖和推理的復(fù)雜過程，有利于降低解題難度.關(guān)鍵詞： 向量 立體幾何教學(xué) 數(shù)形結(jié)合在江蘇省對(duì)口單招數(shù)學(xué)試卷中，立體幾何這一章的知識(shí)點(diǎn)每年都是重點(diǎn)考查的內(nèi)容.每年我?？忌诹Ⅲw幾何解答題上的得分情況都不太理想.向量是基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.根據(jù)向量的數(shù)形特性，可以將幾何圖形數(shù)量化，從而通過運(yùn)算解決立體幾何中的平行、垂直等問題，避免構(gòu)圖和推理的復(fù)雜過程，有利于降低解題難度.一、將立體幾何中的平行問題轉(zhuǎn)化為向量平行來證明

二、將立體幾何中的垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直來證明

由于立體幾何中的垂直問題圖形比較復(fù)雜，加上學(xué)生的空間感比較薄弱，因此學(xué)生很難解決.把立體幾何中的垂直問題轉(zhuǎn)化為向量垂直，其優(yōu)越性非常明顯，具體體現(xiàn)在：兩個(gè)向量垂直的充要條件可以把“垂直”體現(xiàn)在一個(gè)等式中變?yōu)榧兇獾倪\(yùn)算，所涉及的向量易于用坐標(biāo)表示就足夠了.立體幾何中的線線、線面、面面垂直，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個(gè)向量的垂直問題解決.1.“線線垂直”化為“向量垂直”

華羅庚關(guān)于“數(shù)形結(jié)合”有一句名言：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形離數(shù)時(shí)難入微.”向量是基本的數(shù)學(xué)概念之一，是溝通代數(shù)與幾何的工具之一，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.因此，充分掌握、運(yùn)用好向量知識(shí)，可以提高學(xué)生的數(shù)形結(jié)合能力，培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題的能力，幫助學(xué)生理清數(shù)形結(jié)合呈現(xiàn)的內(nèi)在關(guān)系，把無形的解題思路形象化，有利于學(xué)生順利地、高效率地解決數(shù)學(xué)問題.利用向量方法研究立體幾何問題，能避免傳統(tǒng)幾何方法中繁瑣的推理及論證，有效提高學(xué)生解決立體幾何問題的能力.參考文獻(xiàn)：

[1]單招生—相約在高校，數(shù)學(xué)：基礎(chǔ)知識(shí)梳理.[2]單招零距離—數(shù)學(xué)：總復(fù)習(xí)方案.[3]呂林根，張紫霞，孫存金.立體幾何學(xué)習(xí)指導(dǎo)書.

第五篇：向量在立體幾何中的應(yīng)用導(dǎo)學(xué)案

課題：§2.4向量在立體幾何中的應(yīng)用

（一）編寫：審核：時(shí)間—、教學(xué)目標(biāo) ：、復(fù)習(xí)近平面幾何圖形的性質(zhì)。

2、理解用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”。

二、問題導(dǎo)學(xué)：

1、平面幾何圖形的性質(zhì)

2、用向量方法解決平面幾何問題的“三步曲”。

建立平面幾何與向量的聯(lián)系，用向量表示問題中涉及的幾何元素，將證明線段相

等，轉(zhuǎn)化為證明向量的相等，求線段的長(zhǎng)，轉(zhuǎn)化為求向量的； 證明線段、直線平行，轉(zhuǎn)化為證明向量；

證明線段、直線垂直，轉(zhuǎn)化為證明向量；

幾何中與角相關(guān)的問題，轉(zhuǎn)化為向量的問題；

對(duì)于有關(guān)長(zhǎng)方形、正方形、直角三角形等平面幾何問題，通常以相互垂直的兩邊所在直線分別為x軸和y軸建立，通過代數(shù)（坐標(biāo)）運(yùn)算解決問題。典型例題

例

1、如圖所示，若D是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且AB2-AC2=DB2-DC2。

求證：AD⊥BC。

例

2、已知A、B、C是坐標(biāo)平面上的三點(diǎn)，其坐標(biāo)分別為A（1，2），B（4，1），C（0，-1）

（1）求,和?ACB的大小，并判斷△ABC的形狀；

（2）若M為BC邊的中點(diǎn)，求||。

三、作業(yè)

ABCD中，錯(cuò)誤的式子是（）

A、??B、??

C、AB?BC?ACD、AD?AB?AC2、已知A（2，1）、B（3，2）、C（-1，4），則△ABC是（）

A、等邊三角形B、銳角三角形C、直角三角形D、鈍角三角形 ????

3、△ABC是等邊三角形，設(shè)?a,?b,當(dāng)|a?tb|取最小值時(shí)，t=（）

13A、B、1C、2D、224、已知四邊形ABCD的頂點(diǎn)坐標(biāo)A（1，1），B（1，3），C（3，3），D（4，1），則

四邊形ABCD為（）

A、直角梯形 B、等腰梯形C、矩形D、菱形

5、在平面上有A、B、C三點(diǎn)，設(shè)m?AB?BC,n?AB?BC,若m與n的長(zhǎng)度恰好相等，則有（）

A、A、B、C三點(diǎn)必在同一條直線上B、△ABC必為等腰三角形且∠B為頂角C、△ABC必為直角三角形且∠B=90o D、△ABC必為等腰直角三角形

????

?????????

6、設(shè)向量a?(1,?3),b?(?2,4),c?(?1,?2)若表示向量4a,4b?2c,2(a?c),d

?的有向線段首尾相接能構(gòu)成四邊形，則向量d為（）

A、（2，6）

B、（-2，6）

C、（2，-6）

D、（-2，-6）

7、已知點(diǎn)A(,1),B(0,0),C(3,0)，設(shè)∠BAC的平分線AE與BC相交于E，那么有??,其?等于（）A、2B、C、-

3D、?

38、如果直線x?y?t與圓x2?y2?4相交于A、B兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，如果與的夾角為

?，則t 的值為。

39、如圖，已知AD，BE，CF分別是△ABC的三條高，求證：AD，BE，CF相交于同一點(diǎn)。

§2.4向量在解析幾何中的應(yīng)用

（二）執(zhí)筆人：鄭才紅葛紅時(shí)間—、自主學(xué)習(xí)例4—6填空：

（1）設(shè)直線l 的傾斜角為?，斜率為k, 向量?(a1,a2)平行于l，則稱為l的，可以根據(jù)向量的知識(shí)得到向量（1，k）與向量共線，因此（1，k）也是l 的方向向量。

（2）已知直線l:Ax?By?C?0，則向量(A,B)一定和l，向量(A,B)

稱為l 的。

（3）已知直線l1:A1x?B1y?C1?0，l1:A1x?B2y?C2?0，則n1?(A1B1)與

l1垂直，n2?(A2,B2)與l2 垂直，于是l1和l2的夾角便是n1與n2的夾角（或其

補(bǔ)

角）

設(shè)

l

1與

l

2的夾

角

是

?，則

有

?????

?????n?n2

|?cos??|cos?n1,n2?|?|1|n1||n2|

二、典型例題：

已知點(diǎn)P（-3，0），點(diǎn)A在y軸上，點(diǎn)Q在x軸正半軸上，點(diǎn)M在直線AQ上，滿足

PA?AM?0,??，當(dāng)點(diǎn)A在y軸上移動(dòng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程。

三、作業(yè)：

1、已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)為A（4，6），B（-3，）,與直線AB平行的向量的坐標(biāo)可以

2是（）

①（14,3)

3②(7,)③(?

921

4,?3)④（-7，9）3

A、①②B、①③C、①②③D、①②③④

2、在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A（1，0），B（2，2），若點(diǎn)C滿

足??t(?),其中t?R，則點(diǎn)C的軌跡方程為（）

A、(x?2)2?(y?2)2?2C、2x?y?1?0

B、x?y?1?0 D、2x?y?2?03、直線3x?2y?6?0與向量n?(?2,3)的位置關(guān)系為（）A、平行

B、相交

C、垂直

D、重合?

4、若對(duì)n個(gè)向量a1,a2,......,an,存在n個(gè)不全為0的實(shí)數(shù)k1, k2,??，kn，使得

?，依此k1a1?k2a2?.....?knan?0成立，則稱向量a1,a2,...,an為“線性相關(guān)”

規(guī)定，能說明a1?(1,0)，a2?(?1,1),a3?(2,2)“線性相關(guān)”的實(shí)數(shù)k1, k2, k3依次可以取。（寫出一組數(shù)值即可，不必考慮所有情況）。

5、過點(diǎn)A（3，2）且與直線l:4x?3y?9?0平行的直線方程為，過點(diǎn)A且與l垂直的直線方程為。

?2?

6、已知向量a?(x,x?)與向量b?(2x,?3)的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍

是

????????

7、已知向量a,b的夾角為60o，|a|?3,|b|?2,若(3a?5b)?(ma?b)，則m的值為

8、直角坐標(biāo)平面xoy中，若定點(diǎn)A（1，2）與動(dòng)點(diǎn)P(x, y)滿足OP?OA?4，則點(diǎn)P的軌跡方程是。

§2.4向量在物理中的應(yīng)用

（三）執(zhí)筆人：鄭才紅葛紅時(shí)間

—、自主學(xué)習(xí)：

1、力向量包括大小、方向和作用點(diǎn)，如果大小和方向相同的兩個(gè)力，作用點(diǎn)不同，它們是

2、同一平面上，作用于同一點(diǎn)的兩個(gè)力f1,f2或三個(gè)力f1,f2,f3處于平衡狀態(tài)，可分別用等式；來表示。

3、一質(zhì)點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)中每一時(shí)刻都有一個(gè)向量。

二、典型例題：

例

1、如圖，一艘船從A點(diǎn)出發(fā)以2km/h的速度向垂直于對(duì)岸的方向行駛，同時(shí)河

水的流速為2km/h，求船的實(shí)際航行速度的大小與方向（用與流速間的夾角表示）。

例

2、某人騎車以每小時(shí)a千米的速度向東行駛，感到風(fēng)從正北方向吹來，而當(dāng)速度為

2a時(shí)，感到風(fēng)從東北方向吹來，試求實(shí)際風(fēng)速和方向。

三、作業(yè)

?

1、當(dāng)兩人提起重量為|G|的書包時(shí)，夾角為?，用力為||，則三者的關(guān)系式為（）

?

?|G|

A、|F|?

2cos???|G|C、F?

2cos

??|G|B、|F|?

2sin??

?|G|D、|F|?

2cos2、已知作用在A點(diǎn)的三個(gè)力F1?(3,4),F2?(2,?5),F3?(3,1)且A（1，1），則合力?F1?F2?F3的終點(diǎn)坐標(biāo)為（）A、（9，1）

B、（1，9）

C、（9，0）

D、（0，9）

3、兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1,F2，當(dāng)它們夾角為90o時(shí)，合力大小為20N，則當(dāng)它們的夾角為120o時(shí)，合力大小為（）A、40N

B、2N

C、2N

D、N4、一條河寬為400米，一船從A出發(fā)航行垂直到達(dá)河正對(duì)岸的 B處，船速為20km/h，水速為12km/h，則船到達(dá)B處所需的時(shí)間為（）A、1.5分鐘B、1.8分鐘C、2.2分鐘D、3分鐘

5、河水的流速為2m/s，一艘小船想以垂直于河岸方向10m/s的速度駛向?qū)Π?，則小船的靜水速度大小為（）A、10m/s

B、226m/s

C、46m/s

D、12m/s6、一船從某河一岸駛向另一岸，船速為v1，水速為v2，已知垂直到達(dá)對(duì)岸，則（）A、|v1|?|v2|C、|v1|?|v2|

?????

B、|v1|?|v2|

D、|v1|?|v2|