第一篇：2018高考一輪復(fù)習(xí) 立體幾何 空間向量

2017高考一輪復(fù)習(xí)

空間向量

一．解答題（共12小題）1．（2016?浙江）如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

2．（2016?天津）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2．（1）求證：EG∥平面ADF；

（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；

（3）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值．

3．（2016?沈陽(yáng)校級(jí)模擬）如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M為棱PD中點(diǎn)，求證：EM∥平面ABCD；

（Ⅱ）線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

第1頁(yè)（共23頁(yè)）

4．（2016?天津一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PD上．

（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC；

（Ⅱ）若M為PD的中點(diǎn)，求證：ME∥平面PAB；

（Ⅲ）如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，求值． 的 5．（2016?貴陽(yáng)一模）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（1）求證：平面PBC⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AB=2，BC=，在直線AC上是否存在一點(diǎn)D，使得直線BD與平面PBC所成角為30°？若存在，求出CD的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

6．（2015?浙江）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1C1的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：A1D⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．

7．（2015?江蘇）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．

（1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí)，求線段BQ的長(zhǎng)．

第2頁(yè)（共23頁(yè)）

8．（2014?天津）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：BE⊥DC；

（Ⅱ）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

9．（2014?新課標(biāo)I）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）證明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．

10．（2014?新課標(biāo)II）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)AP=1，AD=，三棱錐P﹣ABD的體積V=，求A到平面PBC的距離．

第3頁(yè)（共23頁(yè)）

11．（2013?北京）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；

（Ⅲ）證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值．

12．（2013?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB．

（Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．

第4頁(yè)（共23頁(yè)）

2017高考一輪復(fù)習(xí)

空間向量

參考答案與試題解析

一．解答題（共12小題）1．（2016?浙江）如圖，在三棱臺(tái)ABC﹣DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，（Ⅰ）求證：BF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B﹣AD﹣F的余弦值．

【分析】（I）先證明BF⊥AC，再證明BF⊥CK，進(jìn)而得到BF⊥平面ACFD．

（II）方法一：先找二面角B﹣AD﹣F的平面角，再在Rt△BQF中計(jì)算，即可得出； 方法二：通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面ACK與平面ABK的法向量，進(jìn)而可得二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值． 【解答】（I）證明：延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于點(diǎn)K，如圖所示，∵平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，∴AC⊥平面BCK，∴BF⊥AC．

又EF∥BC，BE=EF=FC=1，BC=2，∴△BCK為等邊三角形，且F為CK的中點(diǎn)，則BF⊥CK，∴BF⊥平面ACFD．

（II）方法一：過(guò)點(diǎn)F作FQ⊥AK，連接BQ，∵BF⊥平面ACFD．∴BF⊥AK，則AK⊥平面BQF，∴BQ⊥AK．∴∠BQF是二面角B﹣AD﹣F的平面角． 在Rt△ACK中，AC=3，CK=2，可得FQ=在Rt△BQF中，BF=，F(xiàn)Q=

．

．

．可得：cos∠BQF=

． ∴二面角B﹣AD﹣F的平面角的余弦值為方法二：如圖，延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于點(diǎn)K，則△BCK為等邊三角形，取BC的中點(diǎn)，則KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，∴KO⊥平面BAC，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OK的方向?yàn)閤，z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系O﹣xyz． 可得：B（1，0，0），C（﹣1，0，0），K（0，0，．

=（0，3，0），=，（2，3，0）．），A（﹣1，﹣3，0），第5頁(yè)（共23頁(yè)）

設(shè)平面ACK的法向量為=（x1，y1，z1），平面ABK的法向量為=（x2，y2，z2），由，可得，取=由，可得．，取=

．

∴==．

∴二面角B﹣AD﹣F的余弦值為．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間位置關(guān)系、法向量的應(yīng)用、空間角，考查了空間想象能力、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題． 2．（2016?天津）如圖，正方形ABCD的中心為O，四邊形OBEF為矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，點(diǎn)G為AB的中點(diǎn)，AB=BE=2．（1）求證：EG∥平面ADF；

（2）求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；

（3）設(shè)H為線段AF上的點(diǎn)，且AH=HF，求直線BH和平面CEF所成角的正弦值．

第6頁(yè)（共23頁(yè)）

【分析】（1）取AD的中點(diǎn)I，連接FI，證明四邊形EFIG是平行四邊形，可得EG∥FI，利用線面平行的判定定理證明：EG∥平面ADF；

（2）建立如圖所示的坐標(biāo)系O﹣xyz，求出平面OEF的法向量，平面OEF的法向量，利用向量的夾角公式，即可求二面角O﹣EF﹣C的正弦值；（3）求出=（﹣，），利用向量的夾角公式求出直線BH和平面CEF所成角的正弦值．

【解答】（1）證明：取AD的中點(diǎn)I，連接FI，∵矩形OBEF，∴EF∥OB，EF=OB，∵G，I是中點(diǎn)，∴GI∥BD，GI=BD． ∵O是正方形ABCD的中心，∴OB=BD．

∴EF∥GI，EF=GI，∴四邊形EFIG是平行四邊形，∴EG∥FI，∵EG?平面ADF，F(xiàn)I?平面ADF，∴EG∥平面ADF；

（2）解：建立如圖所示的坐標(biāo)系O﹣xyz，則B（0，﹣﹣，2），F(xiàn)（0，0，2），設(shè)平面CEF的法向量為=（x，y，z），則∵OC⊥平面OEF，∴平面OEF的法向量為=（1，0，0），∵|cos＜，＞|=

=

；，0），C（，0，0），E（0，取=（，0，1）

∴二面角O﹣EF﹣C的正弦值為

第7頁(yè)（共23頁(yè)）

（3）解：AH=HF，∴設(shè)H（a，b，c），則∴a=﹣∴=（﹣

==（，0，）．，0，）． =（a+，b，c）=（，b=0，c=，，），∴直線BH和平面CEF所成角的正弦值=|cos＜，＞|==．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查證明線面平行的判定定理，考查二面角O﹣EF﹣C的正弦值，直線BH和平面CEF所成角的正弦值，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．

3．（2016?沈陽(yáng)校級(jí)模擬）如圖，已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面于直線AB，且AB=BP=2，AD=AE=1，AE⊥AB，且AE∥BP．（Ⅰ）設(shè)點(diǎn)M為棱PD中點(diǎn)，求證：EM∥平面ABCD；

（Ⅱ）線段PD上是否存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于？若存在，試確定點(diǎn)N的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【分析】（I）證明BP⊥平面ABCD，以B為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，則量，求出，的坐標(biāo)，通過(guò)計(jì)算

=0得出

為平面ABCD的法向，從而有EM∥平面ABCD；

第8頁(yè)（共23頁(yè)）

（II）假設(shè)存在點(diǎn)N符合條件，設(shè)＜，求出和平面PCD的法向量的坐標(biāo)，令|cos＞|=解出λ，根據(jù)λ的值得出結(jié)論．

【解答】證明：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABEP，平面ABCD∩平面ABEP=AB，BP⊥AB，∴BP⊥平面ABCD，又AB⊥BC，∴直線BA，BP，BC兩兩垂直，以B為原點(diǎn)，分別以BA，BP，BC為x軸，y軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系． 則P（0，2，0），B（0，0，0），D（2，0，1），E（2，1，0），C（0，0，1），∴M（1，1，），∴=（﹣1，0，），=（0，2，0）．

為平面ABCD的一個(gè)法向量，=0，∵BP⊥平面ABCD，∴∵∴⊥=﹣1×0+0×2+．又EM?平面ABCD，∴EM∥平面ABCD．

（Ⅱ）解：當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)D重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值為． 理由如下： ∵=（2，﹣2，1），=（2，0，0），． 設(shè)平面PCD的法向量為=（x，y，z），則∴．令y=1，得=（0，1，2）．

假設(shè)線段PD上存在一點(diǎn)N，使得直線BN與平面PCD所成角α的正弦值等于． 設(shè)=λ=（2λ，﹣2λ，λ）（0≤λ≤1），∴＞=

=

=

=（2λ，2﹣2λ，λ）． =． ∴cos＜2∴9λ﹣8λ﹣1=0，解得λ=1或（舍去）．

∴當(dāng)N點(diǎn)與D點(diǎn)重合時(shí)，直線BN與平面PCD所成角的正弦值等于．

第9頁(yè)（共23頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了線面平行的判斷，空間向量的應(yīng)用與線面角的計(jì)算，屬于中檔題． 4．（2016?天津一模）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，∠BCD=135°，側(cè)面PAB⊥底面ABCD，∠BAP=90°，AB=AC=PA=2，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，點(diǎn)M在線段PD上．

（Ⅰ）求證：EF⊥平面PAC；

（Ⅱ）若M為PD的中點(diǎn)，求證：ME∥平面PAB；

（Ⅲ）如果直線ME與平面PBC所成的角和直線ME與平面ABCD所成的角相等，求值． 的 【分析】（Ⅰ）證明AB⊥AC．EF⊥AC．推出PA⊥底面ABCD，即可說(shuō)明PA⊥EF，然后證明EF⊥平面PAC．

（Ⅱ）證明MF∥PA，然后證明MF∥平面PAB，EF∥平面PAB．即可阿門(mén)平面MEF∥平面PAB，從而證明ME∥平面PAB．

（Ⅲ）以AB，AC，AP分別為x軸、y軸和z軸，如上圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，平面ABCD的法向量，平面PBC的法向量，利用直線ME與平面PBC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，列出方程求解即可 【解答】（本小題滿分14分）

（Ⅰ）證明：在平行四邊形ABCD中，因?yàn)锳B=AC，∠BCD=135°，∠ABC=45°． 所以AB⊥AC．

由E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，得EF∥AB，所以EF⊥AC．…（1分）

因?yàn)閭?cè)面PAB⊥底面ABCD，且∠BAP=90°，所以PA⊥底面ABCD．…（2分）又因?yàn)镋F?底面ABCD，所以PA⊥EF．…（3分）

又因?yàn)镻A∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，所以EF⊥平面PAC．…（4分）

第10頁(yè)（共23頁(yè)）

（Ⅱ）證明：因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，F(xiàn)分別為AD的中點(diǎn)，所以MF∥PA，又因?yàn)镸F?平面PAB，PA?平面PAB，所以MF∥平面PAB．…（5分）同理，得EF∥平面PAB．

又因?yàn)镸F∩EF=F，MF?平面MEF，EF?平面MEF，所以平面MEF∥平面PAB．…（7分）又因?yàn)镸E?平面MEF，所以ME∥平面PAB．…（9分）

（Ⅲ）解：因?yàn)镻A⊥底面ABCD，AB⊥AC，所以AP，AB，AC兩兩垂直，故以AB，AC，AP 分別為x軸、y軸和z軸，如上圖建立空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），P（0，0，2），D（﹣2，2，0），E（1，1，0），所以設(shè)，則，，…（10分）

所以M（﹣2λ，2λ，2﹣2λ），易得平面ABCD的法向量=（0，0，1）．…（11分）設(shè)平面PBC的法向量為=（x，y，z），由，得

令x=1，得=（1，1，1）．…（12分）

因?yàn)橹本€ME與平面PBC所成的角和此直線與平面ABCD所成的角相等，所以，即，…（13分）

所以解得，或，（舍）．…（14分）

第11頁(yè)（共23頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面所成角的求法，直線與平面平行的判定定理以及性質(zhì)定理的應(yīng)用，平面與平面平行的判定定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及空間想象能力邏輯推理能力的應(yīng)用． 5．（2016?貴陽(yáng)一模）如圖，在三棱錐P﹣ABC中，∠PAB=∠PAC=∠ACB=90°．（1）求證：平面PBC⊥平面PAC；

（2）若PA=1，AB=2，BC=，在直線AC上是否存在一點(diǎn)D，使得直線BD與平面PBC所成角為30°？若存在，求出CD的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

【分析】（1）推導(dǎo)出PA⊥平面ABC，從而B(niǎo)C⊥PA，又BC⊥CA，從而B(niǎo)C⊥平面PAC，由此能證明平面PBC⊥平面PAC．

（2）以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過(guò)C垂直于平面ABC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，利用向量法能求出在直線AC上存在點(diǎn)，使得直線BD與平面PBC所成角為30°． 【解答】證明：（1）∵∠PAB=∠PAC=90°，∴PA⊥AB，PA⊥AC． ∵AB∩AC=A，∴PA⊥平面ABC．…（1分）∵BC?平面ABC，∴BC⊥PA．…（3分）

∵∠ACB=90°，∴BC⊥CA．∵PA∩CA=A，∴BC⊥平面PAC．…（5分）∵BC?平面PBC，∴平面PBC⊥平面PAC．…6分 解：（2）由已知及（1）所證可知，PA⊥平面ABC，BC⊥CA，∵PA=1，AB=2，BC=．

∴以C為原點(diǎn)，CA為x軸，CB為y軸，過(guò)C垂直于平面ABC的直線為z軸，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系C﹣xyz，則C（0，0，0），B（0，0），P（，設(shè)=（x，y，z）是平面PBC的法向量，則，則取x=1，得=（1，0，﹣

第12頁(yè)（共23頁(yè)）），），…（9分）

設(shè)直線AC上的點(diǎn)D滿足∴，則，∵直線BD與平面PBC所成角為30°，∴解得，…（11分）∴在直線AC上存在點(diǎn)，使得直線BD與平面PBC所成角為30°．…（12分），【點(diǎn)評(píng)】本題考查面面垂直的證明，考查滿足條件的點(diǎn)是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．

6．（2015?浙江）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4，A1在底面ABC的射影為BC的中點(diǎn)，D是B1C1的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：A1D⊥平面A1BC；

（Ⅱ）求直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．

【分析】（I）連接AO，A1D，根據(jù)幾何體的性質(zhì)得出A1O⊥A1D，A1D⊥BC，利用直線平面的垂直定理判斷．

（II）利用空間向量的垂直得出平面BB1C1C的法向量=（，0，1），|根據(jù)與

數(shù)量積求解余弦值，即可得出直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．

【解答】證明：（I）∵AB=AC=2，D是B1C1的中點(diǎn)． ∴A1D⊥B1C1，∵BC∥B1C1，∴A1D⊥BC，∵A1O⊥面ABC，A1D∥AO，∴A1O⊥AO，A1O⊥BC ∵BC∩AO=O，A1O⊥A1D，A1D⊥BC ∴A1D⊥平面A1BC

第13頁(yè)（共23頁(yè)）

解：（II）

建立坐標(biāo)系如圖

∵在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，A1A=4 ∴O（0，0，0），B（0，0），B1（﹣，），A1（0，0即=（0，﹣），=（0，0），=（，0，）），設(shè)平面BB1C1C的法向量為=（x，y，z），即得出

得出=（∵=，0，1），|，＞=

|=4，||=

∴cos＜，=，可得出直線A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值為

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了空間幾何體的性質(zhì)，直線平面的垂直問(wèn)題，空間向量的運(yùn)用，空間想象能力，計(jì)算能力，屬于中檔題．

7．（2015?江蘇）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，且四邊形ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=，PA=AD=2，AB=BC=1．

（1）求平面PAB與平面PCD所成二面角的余弦值；

（2）點(diǎn)Q是線段BP上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線CQ與DP所成的角最小時(shí)，求線段BQ的長(zhǎng)．

第14頁(yè)（共23頁(yè)）

【分析】以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建系A(chǔ)﹣xyz．（1）所求值即為平面PAB的一個(gè)法向量與平面PCD的法向量的夾角的余弦值的絕對(duì)值，計(jì)算即可；

（2）利用換元法可得cos＜

2，＞≤，結(jié)合函數(shù)y=cosx在（0，）上的單調(diào)性，計(jì)算即得結(jié)論．

【解答】解：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以AB、AD、AP所在直線分別為x、y、z軸建系A(chǔ)﹣xyz如圖，由題可知B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），P（0，0，2）．（1）∵AD⊥平面PAB，∴∵=（1，1，﹣2），=（0，2，0），是平面PAB的一個(gè)法向量，=（0，2，﹣2），設(shè)平面PCD的法向量為=（x，y，z），由，得，取y=1，得=（1，1，1），∴cos＜，＞=

=，∴平面PAB與平面PCD所成兩面角的余弦值為（2）∵又又=（﹣1，0，2），設(shè)

=

+=λ

；

=（﹣λ，0，2λ）（0≤λ≤1），=（﹣λ，﹣1，2λ），＞=

=，=（0，﹣1，0），則=（0，﹣2，2），從而cos＜設(shè)1+2λ=t，t∈[1，3]，則cos＜2，＞==≤，第15頁(yè)（共23頁(yè)）

當(dāng)且僅當(dāng)t=，即λ=時(shí)，|cos＜因?yàn)閥=cosx在（0，又∵BP==，＞|的最大值為，）上是減函數(shù)，此時(shí)直線CQ與DP所成角取得最小值．，∴BQ=BP=

．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查求二面角的三角函數(shù)值，考查用空間向量解決問(wèn)題的能力，注意解題方法的積累，屬于中檔題．

8．（2014?天津）如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，AB∥DC，AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)．（Ⅰ）證明：BE⊥DC；

（Ⅱ）求直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足BF⊥AC，求二面角F﹣AB﹣P的余弦值．

【分析】（I）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出BE，DC的方向向量，根據(jù)?=0，可得BE⊥DC；

（II）求出平面PBD的一個(gè)法向量，代入向量夾角公式，可得直線BE與平面PBD所成角的正弦值；

（Ⅲ）根據(jù)BF⊥AC，求出向量的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面FAB和平面ABP的法向量，代入向量夾角公式，可得二面角F﹣AB﹣P的余弦值． 【解答】證明：（I）∵PA⊥底面ABCD，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，第16頁(yè)（共23頁(yè)）

∵AD=DC=AP=2，AB=1，點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn)． ∴B（1，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），P（0，0，2），E（1，1，1）∴∵=（0，1，1），?=0，=（2，0，0）

∴BE⊥DC；（Ⅱ）∵=（﹣1，2，0），=（1，0，﹣2），設(shè)平面PBD的法向量=（x，y，z），由，得，令y=1，則=（2，1，1），則直線BE與平面PBD所成角θ滿足： sinθ==

=，故直線BE與平面PBD所成角的正弦值為（Ⅲ）∵=（1，2，0），=λ

．

=（2，2，0），=（﹣2，﹣2，2），由F點(diǎn)在棱PC上，設(shè)故=+

=（﹣2λ，﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），=（1﹣2λ，2﹣2λ，2λ）（0≤λ≤1），?=2（1﹣2λ）+2（2﹣2λ）=0，由BF⊥AC，得解得λ=，即=（﹣，），設(shè)平面FBA的法向量為=（a，b，c），第17頁(yè)（共23頁(yè)）

由，得

令c=1，則=（0，﹣3，1），取平面ABP的法向量=（0，1，0），則二面角F﹣AB﹣P的平面角α滿足： cosα===，故二面角F﹣AB﹣P的余弦值為：

【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是空間二面角的平面角，建立空間坐標(biāo)系，將二面角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量夾角問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵．

9．（2014?新課標(biāo)I）如圖，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，AB⊥B1C．（Ⅰ）證明：AC=AB1；

（Ⅱ）若AC⊥AB1，∠CBB1=60°，AB=BC，求二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值．

【分析】（1）連結(jié)BC1，交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)AO，可證B1C⊥平面ABO，可得B1C⊥AO，B10=CO，進(jìn)而可得AC=AB1；（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的正方向，的方向?yàn)閤軸的正方向，|

|為單位長(zhǎng)度，的方向?yàn)閥軸的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，分別可得兩平面的法向量，可得所求余弦值． 【解答】解：（1）連結(jié)BC1，交B1C于點(diǎn)O，連結(jié)AO，∵側(cè)面BB1C1C為菱形，∴BC1⊥B1C，且O為BC1和B1C的中點(diǎn)，又∵AB⊥B1C，∴B1C⊥平面ABO，∵AO?平面ABO，∴B1C⊥AO，又B10=CO，∴AC=AB1，（2）∵AC⊥AB1，且O為B1C的中點(diǎn)，∴AO=CO，又∵AB=BC，∴△BOA≌△BOC，∴OA⊥OB，∴OA，OB，OB1兩兩垂直，以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)閤軸的正方向，|

|為單位長(zhǎng)度，第18頁(yè)（共23頁(yè)）的方向?yàn)閥軸的正方向，的方向?yàn)閦軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，∵∠CBB1=60°，∴△CBB1為正三角形，又AB=BC，∴A（0，0，∴=（0，），B（1，0，0，），B1（0，），=，0），C（0，），=，0）=（﹣1，0），=（1，0，設(shè)向量=（x，y，z）是平面AA1B1的法向量，則，可取=（1，），同理可得平面A1B1C1的一個(gè)法向量=（1，﹣∴cos＜，＞=

=，），∴二面角A﹣A1B1﹣C1的余弦值為

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量法解決立體幾何問(wèn)題，建立坐標(biāo)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵，屬中檔題．

10．（2014?新課標(biāo)II）如圖，四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：PB∥平面AEC；（Ⅱ）設(shè)AP=1，AD=，三棱錐P﹣ABD的體積V=，求A到平面PBC的距離．

【分析】（Ⅰ）設(shè)BD與AC 的交點(diǎn)為O，連結(jié)EO，通過(guò)直線與平面平行的判定定理證明PB∥平面AEC；（Ⅱ）通過(guò)AP=1，AD=，三棱錐P﹣ABD的體積V=，求出AB，作AH⊥PB角PB于H，說(shuō)明AH就是A到平面PBC的距離．通過(guò)解三角形求解即可． 【解答】解：（Ⅰ）證明：設(shè)BD與AC 的交點(diǎn)為O，連結(jié)EO，∵ABCD是矩形，∴O為BD的中點(diǎn)

第19頁(yè)（共23頁(yè)）

∵E為PD的中點(diǎn)，∴EO∥PB．

EO?平面AEC，PB?平面AEC ∴PB∥平面AEC；（Ⅱ）∵AP=1，AD=∴V=，三棱錐P﹣ABD的體積V==，∴AB=，PB==．

作AH⊥PB交PB于H，由題意可知BC⊥平面PAB，∴BC⊥AH，故AH⊥平面PBC．

又在三角形PAB中，由射影定理可得：A到平面PBC的距離

．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面垂直，點(diǎn)到平面的距離的求法，考查空間想象能力以及計(jì)算能力．

11．（2013?北京）如圖，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1C1C是邊長(zhǎng)為4的正方形．平面ABC⊥平面AA1C1C，AB=3，BC=5．（Ⅰ）求證：AA1⊥平面ABC；

（Ⅱ）求證二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值；

（Ⅲ）證明：在線段BC1上存在點(diǎn)D，使得AD⊥A1B，并求的值．

第20頁(yè)（共23頁(yè)）

【分析】（I）利用AA1C1C是正方形，可得AA1⊥AC，再利用面面垂直的性質(zhì)即可證明；（II）利用勾股定理的逆定理可得AB⊥AC．通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得到二面角；（III）設(shè)點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，利用向量垂直于數(shù)量積得關(guān)系即可得出．

【解答】（I）證明：∵AA1C1C是正方形，∴AA1⊥AC．

又∵平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C=AC，∴AA1⊥平面ABC．

（II）解：由AC=4，BC=5，AB=3．

222∴AC+AB=BC，∴AB⊥AC．

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A1（0，0，4），B（0，3，0），B1（0，3，4），C1（4，0，4），∴，．

=（x2，y2，z2）． 設(shè)平面A1BC1的法向量為，平面B1BC1的法向量為則，令y1=4，解得x1=0，z1=3，∴

．，令x2=3，解得y2=4，z2=0，∴

．

===．

∴二面角A1﹣BC1﹣B1的余弦值為

．

（III）設(shè)點(diǎn)D的豎坐標(biāo)為t，（0＜t＜4），在平面BCC1B1中作DE⊥BC于E，可得D，∴∵∴∴． =，∴，，解得t=

．

=（0，3，﹣4），第21頁(yè)（共23頁(yè)）

【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了線面垂直的判定與性質(zhì)定理、面面垂直的性質(zhì)定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量求二面角的方法、向量垂直與數(shù)量積得關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，考查了空間想象能力、推理能力和計(jì)算能力．

12．（2013?新課標(biāo)Ⅱ）如圖，直棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分別是AB，BB1的中點(diǎn)，AA1=AC=CB=AB．

（Ⅰ）證明：BC1∥平面A1CD（Ⅱ）求二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．

【分析】（Ⅰ）通過(guò)證明BC1平行平面A1CD內(nèi)的直線DF，利用直線與平面平行的判定定理證明BC1∥平面A1CD（Ⅱ）證明DE⊥平面A1DC，作出二面角D﹣A1C﹣E的平面角，然后求解二面角平面角的正弦值即可． 【解答】解：（Ⅰ）證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)F，則F為AC1的中點(diǎn)，又D是AB中點(diǎn)，連結(jié)DF，則BC1∥DF，因?yàn)镈F?平面A1CD，BC1?平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD．

（Ⅱ）因?yàn)橹崩庵鵄BC﹣A1B1C1，所以AA1⊥CD，由已知AC=CB，D為AB的中點(diǎn)，所以CD⊥AB，又AA1∩AB=A，于是，CD⊥平面ABB1A1，設(shè)AB=2，則AA1=AC=CB=2，得∠ACB=90°，第22頁(yè)（共23頁(yè)）

CD=，A1D=，DE=，A1E=3 222故A1D+DE=A1E，即DE⊥A1D，所以DE⊥平面A1DC，又A1C=2，過(guò)D作DF⊥A1C于F，∠DFE為二面角D﹣A1C﹣E的平面角，在△A1DC中，DF=

=，EF=

=，所以二面角D﹣A1C﹣E的正弦值．sin∠DFE=

．

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面平行的判定定理的應(yīng)用，二面角的平面角的求法，考查空間想象能力與計(jì)算能力．

第23頁(yè)（共23頁(yè)）

第二篇：空間向量復(fù)習(xí)

高中數(shù)學(xué)選修2—1空間向量 期末復(fù)習(xí)

（基本知識(shí)點(diǎn)與典型題舉例）

為右手直角坐標(biāo)系（立體幾何中建立的均為右手系）。

2、空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)運(yùn)算：

一、空間向量的線性運(yùn)算：

1、空間向量的概念：

空間向量的概念包括空間向量、相等向量、零向量、向量的長(zhǎng)度（模）、共線向量等．

2、空間向量的加法、減法和數(shù)乘運(yùn)算：

平面向量中的三角形法則和平行四邊形法則同樣適用于空間向量的加（減）法運(yùn)算． 三個(gè)不共面的向量的和等于以這三個(gè)向量為鄰邊的平行六面體的對(duì)角線所表示的向量．

3、加法和數(shù)乘運(yùn)算滿足運(yùn)算律：

①交換律，即a+b=b+a；②結(jié)合律，即(a(a+b)?c?a?(b+c)；

③分配律，即(???)a=?a+?a及?(a+b)??a??b（其中?，?均為實(shí)數(shù)）．

4、空間向量的基本定理：

（1）共線向量定理：對(duì)空間向量a，b(b?0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)?，使a=?b．（2）共面向量定理：如果空間向量a，b不共線，則向量c與向量a,b共面的充要條件是，存在惟一的一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使c=xa+yb。

推論：①空間一點(diǎn)?位于平面??C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使???????x???????y????C?；

②空間一點(diǎn)?位于平面??C內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y或?qū)臻g任一定點(diǎn)?，有??????????????x???????y????C?；

③若四點(diǎn)?，?，?，C共面，則???????x???????y???????z????C?

? x?y?z?1?。

（3）空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a，b，c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在有序?qū)崝?shù)組

x，y，z，使p=xa+yb+zc．其中{a，b，c}是空間的一個(gè)基底，a，b，c都叫做基向量，該定理可簡(jiǎn)述為：空間任一向量p都可以用一個(gè)基底{a，b，c}惟一線性表示（線性組合）。

5、兩個(gè)向量的數(shù)量積：

（1）兩個(gè)向量的數(shù)量積是a?

b=abcos?a，b?，數(shù)量積有如下性質(zhì)：①a?e=acos?a，e?（e為單位向量）；②a⊥b?a?b=0；③a?a=a

2；④a?b≤ab。

（2）數(shù)量積運(yùn)算滿足運(yùn)算律：①交換律，即a?b=b?a；②與數(shù)乘的結(jié)合律，即(?a)?

b=?(a?b)；③分配律，即(a+b)?c=a?c+b?c．

二、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算：

1、空間直角坐標(biāo)系：

若一個(gè)基底的三個(gè)基向量是互相垂直的單位向量，叫單位正交基底，用{i，jk}表示；在空間

選定一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i，jk}，可建立一個(gè)空間直角坐標(biāo)系O?xyz，作空間直角 坐標(biāo)系O?xyz時(shí)，一般使∠x(chóng)Oy=135°（或45°），∠yOz=90°；在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，稱這個(gè)坐標(biāo)系

（1）定義：給定空間直角坐標(biāo)系O－xyz和向量a，存在惟一的有序?qū)崝?shù)組使a=a1i+a2j+a3k，則(a1，a2，a3)叫作向量a在空間的坐標(biāo)，記作a=(a1，a2，a對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在惟一的???3)。

OA?

?xi+yj+zk，點(diǎn)Ａ的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，x，y，z 分別叫Ａ的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)、豎坐標(biāo)。

（2）若A(x????

1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則AB?(x2?x1，y2?y1，z2?z1)；

（3）空間兩點(diǎn)的距離公式：

d???????

???

3、空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：已知a=(a1，a2，a3)，b=(b1，b2，b3)，則：a+b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)，a?b?(a1?b1，a2?b2，a3?b3)；

?a?(?a1，?a2，?a3)，a?b=(a1b1，a2b?

2，?a3b3)；

a∥b?a1??b1，a

2??bcos???a?b

ab2，a3a?,b???b3|a|?|b|?1?212a2b2?a3b3222?0；

空間兩個(gè)向量的夾角公式：

a1?a2?a3?b12?b2?b

3。

4、直線的方向向量與向量方程：

（1）位置向量：已知向量a，在空間固定一個(gè)基點(diǎn)O，作向量???OA?

?a，則點(diǎn)A在空間的位置被a

所

惟一確定，a稱為位置向量。

（2）方向向量與向量方程：給定一個(gè)定點(diǎn)???Ａ和一個(gè)向量a，再任給一個(gè)實(shí)數(shù)t，以A為起點(diǎn)作向量

AP?

?ta，則此方程為直線l上點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的向量方程，向量a稱為直線l的方向向量。

5、平面的法向量：

（1）如果表示向量a的有向線段所在直線垂直于平面?，則稱這個(gè)向量垂直于平面?

（記作a⊥?），向量a叫做平面?的法向量。法向量有兩個(gè)相反的方向。

三、空間向量在立體幾何中的應(yīng)用：

1、空間向量在位置關(guān)系證明中的具體應(yīng)用：

1）空間的線線、線面、面面垂直關(guān)系，都可以轉(zhuǎn)化為空間兩個(gè)向量的垂直問(wèn)題來(lái)解決：①設(shè)a、b分別為直線a，b的一個(gè)方向向量，那么a⊥b?a⊥b?a?b=0；②設(shè)a、b分別為平面?，?的一個(gè)法向量，那么?⊥??a⊥b?a?b=0；③設(shè)直線l的方向向量為a，平面的法向量為b，那么l⊥??a∥b。

2）空間直線與直線平行，直線與平面平行，平面與平面平行，都可以用向量方法來(lái)研究：①設(shè)a、b是兩條不重合的直線，它們的方向向量分別為a、b，那么a∥b?a∥b；②直線與平面平行可轉(zhuǎn)化為直線的方向向量與平面的法向量垂直，也可用共面向量定理來(lái)

證明線面平行問(wèn)題；

③平面與平面平行可轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量平行。

2、空間向量在立體幾何的計(jì)算問(wèn)題中的應(yīng)用：

1）空間角的計(jì)算：

①線線角：異面直線所成角轉(zhuǎn)化為兩條直線所在向量的夾角；

②線面角：直線AB與平面?所成角為，其中n是平面?的法向量；

③面面角：二面角的大小為，其中m，n是兩個(gè)半平面的法向量。2）距離的計(jì)算：

①點(diǎn)面距：設(shè)n是平面?的法向量，A??，則B到?的距離為；

②線線距：設(shè)n是兩條異面直線l1，l2的公垂線的向量，若A，B分別是在l1，l2上的任意一點(diǎn)，則l1，l2的距離為；

③線面距、面面距，與前面求法相同。

四、例題分析：

例

1、如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD

為正方形，PD=DC，E、F分別是AB，PB的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CD；（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小。

例

2、如圖所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截面而得到的，其中

AB?4,BC?2,CC1?3,BE?1，（1）求BF的長(zhǎng)；（2）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離。

例

3、已知四棱錐P?ABCD的底面為直角梯形，AB//DC，?DAB?90?,PA?底面ABCD，且PA?AD?D

1，AB?1，M是PB的中點(diǎn)。

（1）證明：面PAD?面PCD；（2）求AC與PB所成的角；

（3）求面AMC與面BMC所成二面角的大小。

例

4、如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD為矩形，PD?底面ABCD，E是AB上

一點(diǎn)，PF?EC.已知PD?

2,CD?2,AE?

2, 求（Ⅰ）異面直線PD與EC的距離；（Ⅱ）二面角E?PC?D的大小。

例

2、如圖4，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，問(wèn)AE等于何值時(shí)，二面角D1?EC?D的大小為

π

4．19．（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD 為正方形，PD=DC，E、F分別 是AB，PB的中點(diǎn).（1）求證：EF⊥CD；

（2）在平面PAD內(nèi)求一點(diǎn)G，使GF⊥平面PCB，并證明你的結(jié)論.（3）求DB與平面DEF所成角的大小.19．以DA，DC，DP所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，設(shè)AD=a，則

D(0?,?0?,?0)?,?A(a?,?0?,?0)，B(a?,a?,?0)?,C?

(0?,?a?,?0)?,E?

(a?,a

?,?0)?,F?(a2

2?,a2?,a2)?,P?(0?,?0?,a)

（1）??????a

a?2?,?0?,2??

?,?(0?,?a?,?0)?0?,?

∴EF

?DC?.（2）設(shè)G(x?,?0?,?z)，則G∈平面PAD.FG??

?aaa??

x?2?,??2?,?z?2??，????a?x?2,???a2?,?z?a?2???(a?,?0?,?0)?a??a?a?

x?2???0，則x?2； ???

?a?

x?2?,??a2?,?z?a?2???(0?,??a?,?a)?a2a2?a(z?2)?0，則z=0.∴G是坐標(biāo)為（a，0，0），即G為AD的中點(diǎn).（3）（只理科做）設(shè)平面DEF的法向量為n?(x?,y?,z)?.??由??n??0?,?(x,?y,?z)???a,?a?,a?

??0?,?得??DE?0???222??n.???(x?,y,?z)?(a,?a,??0)?0?.?a

(x?y?z)?即??0?,?2取x=1，則y=-2，z=1, ???ax?a2

y?0?.∴ n=(1，-2，1).cos〈BD?,?n〉a3

?

2a?6

?

?, ∴DB與平面DEF所成角大小為

?2?arccos3

（即arcsin3

6）.19．如圖4，在長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1中，AD?AA1?1，AB?2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)，問(wèn)AE等于何值時(shí)，二面角D1?EC?D的大小為

π4

． 解：設(shè)AE?x，以D為原點(diǎn)，直線DA，DC，DD1所在直線

分別為

x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則A1(1，01)，D1(0，01)，E(1，x，0)A(1，0，0)C(0，2，0)． ∴???CE??(1，x?2，0)????D?1)，????DD?1C?(0，2，?1?(0，0，1)．

設(shè)平面D1EC的法向量為n?(a，b，c)，??????·D1C?0，?2b?c?0，?n

??由???? ?

a?b(x?2)?0，·CE?0???n

?????

又CC1?(0，0，3)，設(shè)CC1與n1的夾角為?，?????

CC1·n則cos??． 1?

CC1n

令b?1，∴c?2，a?2?x．

∴n?(2?x，1，2)．

?????n·DD1π依題意cos?．

??

4nDD1．

∴

x?2x?2∴AE?2．

????? ∴C到平面AEC1F的距離d?CC1cos??

20．如圖5所示的多面體是由底面為ABCD的長(zhǎng)方體被截面AEC1F所截而得到的，其中AB?4，BC?2，CC1?3，BE?1．

????

（1）求BF；

（2）求點(diǎn)C到平面AEC1F的距離．

解：（1）以D為原點(diǎn)，DAF，DC，DF所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系D?xyz，D(0，0，0)B(2，4，0)A(2，0，0)C(0，4，0)E(2，41)，C1(0，4，3)，設(shè)F(0，0，z)． ?????????

由AF?EC1，得(?2，0，z)?(?2，0，2)，∴z?2．

????∴F(0，0，2)BF?(?2，?4，2)．

????

∴BF?

?????·AE?0，?n1

（2）設(shè)n1為平面AEC1F的法向量，n1?(x，y，1)，由?????

·AF?0，??n1，?x?1

?4y?1?0，?得?∴?1

?2x?2?0．y??．???4

第三篇：2015年高考空間向量和立體幾何空間幾何體知識(shí)匯總

1.空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量。

2.空間向量的運(yùn)算：OB?OA?AB?a?b;BA?OA?OB?a?b;OP??a(??R)

??????????運(yùn)算律：⑴加法交換律：a?b?b?a⑵加法結(jié)合律：(a?b)?c?a?(b?c)

????⑶數(shù)乘分配律：?(a?b)??a??b

3.共線向量

（1）如果表示空間向量的有向線段所在的直線平行或重合，那么這些向量也叫做共線向量

????或平行向量，a平行于b，記作a//b。

????????（2）共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量a、b（b≠0），a//b存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb。

4.共面向量（1）定義：一般地，能平移到同一平面內(nèi)的向量叫做共面向量。

（2）①共面向量定理：如果兩個(gè)向量,不共線，則向量與向量,共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x、y使.P?xa?yb

②空間任一點(diǎn)、B、C，則OP?xOA?yOB?zOC(x?y?z?1)是．．．O．和不共線三點(diǎn)．．．．．．A．．．．．

PABC四點(diǎn)共面的充要條件.注：①②是證明四點(diǎn)共面的常用方法.5.空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)空間任一向量p，存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x,y,z，使p?xa?yb?zc。

若三向量a,b,c不共面，我們把{a,b,c}叫做空間的一個(gè)基底，a,b,c叫做基向量，空間任意三個(gè)不共面的向量都可以構(gòu)成空間的一個(gè)基底。

推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P，都存在唯一的三個(gè)有序?qū)崝?shù)x,y,z，使OP?xOA?yOB?zOC。

6.空間向量的直角坐標(biāo)系：

（1）空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中，對(duì)空間任一點(diǎn)A，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)，使???，有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)叫作向量A在空間直角坐標(biāo)系O?xyz中的坐標(biāo)，記作A(x,y,z)。

（2）若空間的一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長(zhǎng)為1，這個(gè)基底叫單位正交基底，用{,i,jk}表示。

（3）空間向量的直角坐標(biāo)運(yùn)算律：

①若a?(a1,a2,a3)，b?(b1,b2,b3)，則a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，a?b?(a1?b1,a2?b2,a3?b3)，?a?(?a1,?a2,?a3)(??R)，a?b?a1b1?a2b2?a3b3，a//b?a1??b1,a2??b2,a3??b3(??R)?a?b?a1b1?a2b2?a3b3?0。

a1a2a

3??，b1b2b3

②若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則AB?(x2?x1,y2?y1,z2?z1)。③定比分點(diǎn)公式：若

A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，AP??PB，則點(diǎn)P坐標(biāo)為

（x1??x2y1??y2z1??z

2，)1??1??1??。

推導(dǎo)：設(shè)P（x,y,z）則

(x?x1,y?y1,z?z1)??(x2?x,y2?y,z2?z),顯然，當(dāng)P為AB

P（中點(diǎn)時(shí)，④

x1?x2y1?y2z1?z2，)222。

?ABC中，A（x,y1,z1）,B(x2,y2,z2),C(x3,y3,z3)，三角形重心P坐標(biāo)為

P（x1?x2?x3y1?y2?y3z1?z2?z3，）

333

⑤ΔABC的五心：

??內(nèi)心P

：內(nèi)切圓的圓心，角平分線的交點(diǎn)。外心P

（單位向量）

??垂心P：高的交點(diǎn)：?????（移項(xiàng)，內(nèi)積為0，則垂直）

1AP?(?)

3重心P：中線的交點(diǎn)，三等分點(diǎn)（中位線比）

中心：正三角形的所有心的合一。（4）模長(zhǎng)公式：若a?

(a1,a2,a3)，則|a|?（5）夾角公式：cosa?b?

?，a?b

?

|a|?|b|（6）兩點(diǎn)間的距離公式：若A(x1,y1,z1)，B(x2,y2,z2)，則|AB|?或dA,B?

?，(7)法向量：若向量a所在直線垂直于平面?，則稱這個(gè)向量垂直于平面?，記作a??，如果a??那么向量a叫做平面?的法向量.(8)向量的常用方法：

①利用法向量求點(diǎn)到面的距離定理：如圖，設(shè)n是平面?的法向量，AB是平面?的一

條射線，其中A??，則點(diǎn)B到平面?②.異面直線間的距離 d?

(l1,l2是兩異面直線，其公垂向量為n，C、D分

別是l1,l2上任一點(diǎn)，d為l1,l2間的距離).③.直線AB與平面所成角??arcsin

AB?m

(m為平面?的法向量).|AB||m|

④.利用法向量求二面角的平面角定理：設(shè)1,n2分別是二面角??l??中平面?,?的法向量，則n1,n2所成的角就是所求二面角的平面角或其補(bǔ)角大?。╪1,n2方向相同，則為補(bǔ)角，n1,n2反方，則為其夾角）.二面角??l??的平面角??arccos

m?n

或

|m||n|

??arccos

m?n

（m，n為平面?，?的法向量）.|m||n|

⑤.證直線和平面平行定理：已知直線a?平面?，A,B?a,C,D??，且C、D、E三點(diǎn)不共線，則a∥?的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)?,?使AB?

?CD??CE..7.空間向量的數(shù)量積:若OA?a,OB?b，則?AOB叫做向量a與b的夾角，記作

?a,b?；且規(guī)定0??a,b???，|a|?|b|?cos?a,b?叫做a,b的數(shù)量積，記作a?b.1．平面的基本性質(zhì)

(1)公理1：如果一條直線上的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線上所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)．(2)公理

2(3)公理3：如果兩個(gè)平面(不重合的兩個(gè)平面)所有這些公共點(diǎn)的集合是一條過(guò)這個(gè)公共點(diǎn)的直線．

推論1：經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面． 推論2：經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面． 推論3：經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．

三個(gè)作用：(1)公理1的作用：①檢驗(yàn)平面；②判斷直線在平面內(nèi)；③由直線在平面內(nèi)判斷直線上的點(diǎn)在平面內(nèi)．

(2)公理2的作用：公理2及其推論給出了確定一個(gè)平面或判斷“直線共面”的方法．(3)公理3的作用：①判定兩平面相交；②作兩平面相交的交線；③證明多點(diǎn)共線．

?平行

?共面直線??

?相交2．直線與直線的位置關(guān)系(1)位置關(guān)系的分類 ??

?異面直線：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)

(2)異面直線所成的角 ①定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角或直角叫做異面直線a，b所成的角(或夾角)．

??π??[0?,180?])0，.（直線與直線所成角??[0,90]）②范圍：?（向量與向量所成角?23.a,b是夾在兩平行平面間的線段，若a?b，則a,b的位置關(guān)系為相交或平行或異面.4．直線與平面的位置關(guān)系 5．平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況． 6．平行公理：

7．等角定理：

8、異面直線的判定方法：

(1)判定定理：平面外一點(diǎn)A與平面內(nèi)一點(diǎn)B的連線和平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)該點(diǎn)的直線是異面直線．(2)反證法：證明兩線不可能平行、相交或證明兩線不可能共面，從而可得兩線異面． 9.兩異面直線的距離：公垂線段的長(zhǎng)度.10.空間兩條直線垂直的情況：相交（共面）垂直和異面垂直.[注]：l1,l2是異面直線，則過(guò)l1,l2外一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P且與l1,l2都平行平面有一個(gè)或沒(méi)有，但與l1,l2距離相等的點(diǎn)在同一平面內(nèi).（L1或L2在這個(gè)做出的平面內(nèi)不能叫L1與L2平行的平面）11.直線與平面平行、直線與平面垂直.（1）直線與平面平行判定定理：如果平面外一條直線和這個(gè)平面內(nèi)一條直線平行，那么這

條直線和這個(gè)平面平行.（“線線平行?線面平行”）

（2）直線和平面平行性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過(guò)這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線和交線平行.（“線面平行?線線平行”）

（3）直線與平面垂直是指直線與平面任何一條直線垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線和一個(gè)

P

平面垂直，過(guò)一點(diǎn)有且只有一個(gè)平面和一條直線垂直.? 若PA⊥?，a⊥AO，得a⊥PO（三垂線定理）? 三垂線定理的逆定理亦成立.直線與平面垂直的判定定理一：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這兩條直線垂直于這個(gè)平面.（“線線垂直?線面垂直”）

直線與平面垂直的判定定理二：如果平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條也垂直于這個(gè)平面.性質(zhì)：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行.12.平面平行與平面垂直.（1）平面平行判定定理：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行.（“線面平行?面面平行”）

推論：垂直于同一條直線的兩個(gè)平面互相平行；平行于同一平面的兩個(gè)平面平行.（2）兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面平行同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們交線平行.（“面面平行?線線平行”）

（3）兩個(gè)平面垂直判定一：兩個(gè)平面所成的二面角是直二面角，則兩個(gè)平面垂直.兩個(gè)平面垂直判定二：如果一條直線與一個(gè)平面垂直，那么經(jīng)過(guò)這條直線的平面垂直于這個(gè)平面.（“線面垂直?面面垂直”）

（4）兩個(gè)平面垂直性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平面垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線也垂直于另一個(gè)平面.推論：如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三平面，則它們交線垂直于第三平面.（5）兩異面直線任意兩點(diǎn)間的距離公式：l?

?

?

O

A

m2?n2?d2?2mncos?（?為銳角取減，????為鈍角取加，綜上，都取減則必有???0,?）

13.棱柱.棱錐.球

（1）棱柱：有兩個(gè)面相互平行，其余各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形

①{四棱柱}?{平行六面體}?{直平行六面體}?{長(zhǎng)方體}?{正四棱柱}?{正方體}.{直四棱柱}?{平行六面體}={直平行六面體}.②.棱柱具有的性質(zhì)：棱柱所有的側(cè)棱都相等為平行四邊形；直棱柱的各個(gè)側(cè)面都是矩形．．．．．．．．（直棱柱定義）棱柱有一條側(cè)棱和底面垂直.；正棱柱的各個(gè)側(cè)面都是全等的矩形.．．．．．③.平行六面體：定理一：平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分.．．．．．．．．．．．．．定理二：長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線長(zhǎng)的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和.推論一：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成的角為?,?,?，則co2s??co2s??co2s??1.推論二：長(zhǎng)方體一條對(duì)角線與同一個(gè)頂點(diǎn)的三各側(cè)面所成的角為?,?,?，則

co2s??co2s??co2s??2.（2）棱錐：棱錐是一個(gè)面為多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形.a.①正棱錐定義：底面是正多邊形；頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心.②正棱錐的側(cè)面積：S?

1Ch'（底面周長(zhǎng)為C，斜高為h'）體積：V?2

3S底?h

③棱錐的側(cè)面積與底面積的射影公式：S側(cè)?

S底cos?

（側(cè)面與底面成的二面角為?）

b.棱錐具有的性質(zhì)：正棱錐各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高相等（它叫做正棱錐的斜高）.②正棱錐的高、斜高和斜高在底面內(nèi)的射影組成一個(gè)直角三角形，正棱錐的高、側(cè)棱、側(cè)棱在底面內(nèi)的射影也組成一個(gè)直角三角形.（3）球：a.①球的表面積公式：S?4?R.②球的體積公式：V?

?R.3

b.①圓柱體積：V??rh②圓錐體積：V??r2h（r為半徑，h為高）

③錐體體積：V?

Sh（S為底面積，h為高）3

2326

a，a，S側(cè)?a，S底?

443

c.①內(nèi)切球：當(dāng)四面體為正四面體時(shí)，設(shè)邊長(zhǎng)為a，h?

得

26321322426

a?a?a?R??a?R?R?a/3?a?3?a.434344344

R

O

第四篇：《立體幾何VS空間向量》教學(xué)反思

我這節(jié)公開(kāi)課的題目是《立體幾何VS空間向量》選題背景是必修2學(xué)過(guò)立體幾何而選修21又學(xué)到空間向量在立體幾何中的應(yīng)用。學(xué)生有先入為主的觀念，總想用舊方法卻解體忽視新方法的應(yīng)用，沒(méi)有掌握兩種方法的特征及適用體型導(dǎo)致做題不順利。針對(duì)此種情況，我特意選了這節(jié)內(nèi)容來(lái)講。整節(jié)課，我是這樣設(shè)計(jì)的。本著以學(xué)生為主，教師為輔的這一原則，把學(xué)生分成兩組。利用學(xué)生的求知欲和好勝心強(qiáng)的這一特點(diǎn)，采取競(jìng)賽方式通過(guò)具體例題來(lái)歸納。分析概括兩種方法的異同及適用體型。最終讓學(xué)生在知識(shí)上有所掌握。在能力和意識(shí)上有所收獲。那么這節(jié)課我最滿意的有以下幾個(gè)地方(1)學(xué)生的參與這節(jié)課的主講不是我，是學(xué)生我要做的是設(shè)置問(wèn)題和激發(fā)興趣。至于整個(gè)分析過(guò)程和解決過(guò)程都是由學(xué)生來(lái)完成的。這節(jié)課二班學(xué)生積極參與，注意力集中。課堂氣氛活躍學(xué)生興趣濃厚，求知欲強(qiáng)，參與面大，在課堂中能夠進(jìn)行有效的合作與平等的交流。(2)學(xué)生的創(chuàng)新這一點(diǎn)是我這節(jié)課的意外收獲。在求一點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)，我用的是投影而該班周英杰同學(xué)卻利用的是共線，方法簡(jiǎn)潔，給人以耳目一新的感覺(jué)。另外該班的徐漢宇同學(xué)在兩道中都提出了不同的做法。有其獨(dú)特的見(jiàn)解?？梢?jiàn)學(xué)生真的是思考了，我也從中獲益不少。真的是給學(xué)生以展示的舞臺(tái)。他回報(bào)你以驚喜。(3)學(xué)生的置疑林森同學(xué)能直截了當(dāng)?shù)闹赋龊诎迳系腻e(cuò)誤而且是一個(gè)我沒(méi)發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)誤這一點(diǎn)是我沒(méi)想到的.這說(shuō)明了學(xué)生的注意力高度集中.善于觀察也說(shuō)明了我們的課堂比較民主,學(xué)生敢于置疑.這種大膽質(zhì)疑的精神值得表?yè)P(yáng).我不滿意的地方有以下幾點(diǎn)(1)題量的安排 5道題雖然代表不同的類型.但從效果上看顯得很匆忙.每道題思考和總結(jié)的時(shí)間不是很長(zhǎng),我覺(jué)得要是改成4道題.時(shí)間就會(huì)充裕效果就會(huì)更好些.(2)課件的制作 立體幾何著重強(qiáng)調(diào)的是空間想象力,如果能從多個(gè)角度觀察圖形學(xué)生會(huì)有不同發(fā)現(xiàn).比如徐漢宇同學(xué)的不同做法.需要對(duì)圖形旋轉(zhuǎn).如果讓他上黑板做圖時(shí)間又不夠.我想不妨讓他畫(huà)好圖后用投影儀投到大屏幕上,效果會(huì)更好.(3)總結(jié)時(shí)間短 這節(jié)課的主題是兩種方法的比較和不同方法的適用題型,后來(lái)的小結(jié)時(shí)間不夠.這和我設(shè)置的容量大.有直接關(guān)系.沒(méi)有突出主題.我想不如直接刪掉一道題.空出時(shí)間讓學(xué)生自己談?wù)勑牡皿w會(huì).自己找找解題規(guī)律應(yīng)該會(huì)更好.以上就是我對(duì)這節(jié)課的反思.其實(shí)我最想說(shuō)的是我的心路歷程.每次上公開(kāi)課都能發(fā)現(xiàn)新問(wèn)題.正是這些問(wèn)題使我變得成熟,完善,我很珍惜每一次上公開(kāi)課的機(jī)會(huì).它使我理智的看待自己的教學(xué)活動(dòng)中熟悉的習(xí)慣性的行為.使自己的教育教學(xué)理念和教學(xué)能力與時(shí)俱進(jìn).

第五篇：空間向量方法解立體幾何教案

空間向量方法解立體幾何

【空間向量基本定理】

例1.已知矩形ABCD，P為平面ABCD外一點(diǎn)，且PA⊥平面ABCD，M、N分別為PC、PD上的點(diǎn)，且M分

數(shù)x、y、z的值。成定比2，N分PD成定比1，求滿足的實(shí)

分析;結(jié)合圖形，從向量

用、、出發(fā)，利用向量運(yùn)算法則不斷進(jìn)行分解，直到全部向量都表示出來(lái)，即可求出x、y、z的值。

如圖所示，取PC的中點(diǎn)E，連接NE，則

點(diǎn)評(píng)：選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向量，是用向量解決立體幾何問(wèn)題的一項(xiàng)基本功，要結(jié)合已知和所求，觀察圖形，聯(lián)想相關(guān)的運(yùn)算法則和公式等，就近表示所需向量。再對(duì)照目標(biāo)，將不符合目標(biāo)要求的向量當(dāng)作新的所需向量，如此繼續(xù)下去，直到所有向量都符合目標(biāo)要求為止，這就是向量的分解。有分解才有組合，組合是分解的表現(xiàn)形式?？臻g向量基本定理恰好說(shuō)明，用空間三個(gè)不共面的向量組可以表示出空間任意一個(gè)向量，而且a,b,c的系數(shù)是惟一的。

【利用空間向量證明平行、垂直問(wèn)題】

例2.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是正方形，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中點(diǎn)，作EF⊥PB于點(diǎn)F。

（1）證明：PA//平面EDB；

（2）證明：PB⊥平面EFD；

（3）求二面角C—PB—D的大小。

點(diǎn)評(píng)：（1）證明兩條直線平行，只需證明這兩條直線的方向向量是共線向量．

（2）證明線面平行的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量垂直；

②證明能夠在平面內(nèi)找到一個(gè)向量與已知直線的方向向量共線；

③利用共面向量定理，即證明直線的方向向量與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量是共面向量．

（3）證明面面平行的方法：

①轉(zhuǎn)化為線線平行、線面平行處理；

②證明這兩個(gè)平面的法向量是共線向量．

（4）證明線線垂直的方法是證明這兩條直線的方向向量互相垂直．

（5）證明線面垂直的方法：

①證明直線的方向向量與平面的法向量是共線向量；

②證明直線與平面內(nèi)的兩個(gè)不共線的向量互相垂直．（6）證明面面垂直的方法：

①轉(zhuǎn)化為線線垂直、線面垂直處理；②證明兩個(gè)平面的法向量互相垂直． 【用空間向量求空間角】

例3.正方形ABCD—中，E、F分別是

（1）異面直線AE與CF所成角的余弦值；（2）二面角C—AE—F的余弦值的大小。，的中點(diǎn)，求：

點(diǎn)評(píng)：（1）兩條異面直線所成的角可以借助這兩條直線的方向向量的夾角

求得，即。

（2）直線與平面所成的角主要可以通過(guò)直線的方向向量與平面的法向量的夾角求得，即或

（3）二面角的大小可以通過(guò)該二面角的兩個(gè)面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角。

【用空間向量求距離】

例4.長(zhǎng)方體ABCD—中，AB=4，AD=6，段BC上，且|CP|=2，Q是DD1的中點(diǎn)，求：

（1）異面直線AM與PQ所成角的余弦值；（2）M到直線PQ的距離；（3）M到平面AB1P的距離。，M是A1C1的中點(diǎn)，P在線

本題用純幾何方法求解有一定難度，因此考慮建立空間直角坐標(biāo)系，運(yùn)用向量坐標(biāo)法來(lái)解決。利用向量的模和夾角求空間的線段長(zhǎng)和兩直線的夾角，在新高考試題中已多次出現(xiàn)，但是利用向量的數(shù)量積來(lái)求空間的線與線之間的夾角和距離，線與面、面與面之間所成的角和距離還涉及不深，隨著新教材的推廣使用，這一系列問(wèn)題必將成為高考命題的一個(gè)新的熱點(diǎn)?，F(xiàn)列出幾類問(wèn)題的解決方法。

（1）平面的法向量的求法：設(shè)，利用n與平面內(nèi)的兩個(gè)向量a，b垂直，其數(shù)量積為零，列出兩個(gè)三元一次方程，聯(lián)立后取其一組解。

（2）線面角的求法：設(shè)n是平面

向量，則直線與平面的一個(gè)法向量，AB是平面的斜線l的一個(gè)方向

所成角為?則sin??

（3）二面角的求法：①AB，CD分別是二面角面直線，則二面角的大小為。的兩個(gè)面內(nèi)與棱l垂直的異

②設(shè)分別是二面角的兩個(gè)平面的法向量，則

就是二面角的平面角或其補(bǔ)角。

（4）異面直線間距離的求法：向量，又C、D分別是

是兩條異面直線，n是。的公垂線段AB的方向

上的任意兩點(diǎn)，則

（5）點(diǎn)面距離的求法：設(shè)n是平面平面的距離為。的法向量，AB是平面的一條斜線，則點(diǎn)B到

（6）線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離再用（5）中方法求解。

練習(xí)：

?????1????2????

1.若等邊?ABC的邊長(zhǎng)

為，平面內(nèi)一點(diǎn)M滿足CM?CB?CA，則

????????MA?MB?_________

2．在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（1，0，2），B(1，-3，1)，點(diǎn)M在y軸上，且M到A與到B的距離相等，則M的坐標(biāo)是________。3.（本小題滿分12分）

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A ?平面ABCD, AD//BC//FE，AB?AD，M為EC的中點(diǎn)，AF=AB=BC=FE=

AD 2

(I)求異面直線BF與DE所成的角的大?。?II)證明平面AMD?平面CDE；（III）求二面角A-CD-E的余弦值。

4．（本題滿分15分）如圖，平面PAC?平面ABC，?ABC

是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E,F,O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC?16，PA?PC?10．

（I）設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG//平面BOE；

（II）證明：在?ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM?平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離．

5.如圖，四棱錐P?ABCD的底面是正方形，PD?底面ABCD，點(diǎn)E在棱PB上.（Ⅰ）求證：平面AEC?平面PDB；

（Ⅱ）當(dāng)PD?且E為PB的中點(diǎn)時(shí)，求AE與

平面PDB所成的角的大小.