第一篇：函數(shù)奇偶性的歸納總結(jié)

函數(shù)的奇偶性的歸納總結(jié)

考綱要求：了解函數(shù)的奇偶性的概念，掌握判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性的方法。教學(xué)目標(biāo)：

1、理解函數(shù)奇偶性的概念；

2、掌握判斷函數(shù)的奇偶性的類型和方法；

3、掌握函數(shù)的奇偶性應(yīng)用的類型和方法；

4、培養(yǎng)學(xué)生觀察和歸納的能力，培養(yǎng)學(xué)生勇于探索創(chuàng)新的精神。

教學(xué)重點(diǎn)：

1、理解奇偶函數(shù)的定義；

2、掌握判斷函數(shù)的奇偶性的類型和方法，并探索其中簡(jiǎn)單的規(guī)律。

教學(xué)難點(diǎn)：

1、對(duì)奇偶性定義的理解；

2、較復(fù)雜函數(shù)奇偶性的判斷及函數(shù)奇偶性的某些應(yīng)用。

教學(xué)過(guò)程：

一、知識(shí)要點(diǎn)：

1、函數(shù)奇偶性的概念

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(?x)?f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)，如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f(?x)??f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

理解：

(1)奇偶性是針對(duì)整個(gè)定義域而言的，單調(diào)性是針對(duì)定義域內(nèi)的某個(gè)區(qū)間而言的。這兩個(gè)概念的區(qū)別之一就是，奇偶性是一個(gè)“整體”性質(zhì)，單調(diào)性是一個(gè)“局部”性質(zhì)；

(2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。

2、按奇偶性分類，函數(shù)可分為四類：

奇函數(shù)非偶函數(shù)、偶函數(shù)非奇函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、亦奇亦偶函數(shù).3、奇偶函數(shù)的圖象： 奇函數(shù)?圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的函數(shù)，偶函數(shù)?圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)。

4、函數(shù)奇偶性的性質(zhì)：

①具有奇偶性的函數(shù)，其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱（也就是說(shuō)，函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件是其定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）。

②常用的結(jié)論：若f(x)是奇函數(shù)，且x在0處有定義，則f(0)＝0。

③奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性完全相同，最值相反。奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](0≤a

偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上若有單調(diào)性，則其單調(diào)性恰恰相反，最值相同。偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]（0≤a

④任意定義在R上的函數(shù)f(x)都可以唯一地表示成一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和。⑤若函數(shù)g(x)，f(x)，f[g(x)]的定義域都是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的，則u=g(x)，y=f(u)都是奇函數(shù)時(shí)，y=f[g(x)]是奇函數(shù)；u=g(x)，y=f(u)都是偶函數(shù)，或者一奇一偶時(shí)，y= f[g(x)]是偶函數(shù)。

復(fù)合函數(shù)的奇偶性特點(diǎn)是：“內(nèi)偶則偶，內(nèi)奇同外”.5、判斷函數(shù)奇偶性的方法：

⑴、定義法：對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f??x??f?x?〔或或f??x??f?x??0〕?函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；

對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f??x???f?x?〔或

f??x??1f?x?f??x??f?x??0 ?函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；

判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

①、判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ②、比較f(?x)與f(x)的關(guān)系。③、扣定義，下結(jié)論。

f??x???1或f?x?⑵、圖象法：圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱的函數(shù)是奇函數(shù)；圖象關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)是偶函數(shù)。，⑶、運(yùn)算法：幾個(gè)與函數(shù)奇偶性相關(guān)的結(jié)論：

①奇函數(shù)+奇函數(shù)=奇函數(shù)；偶函數(shù)+偶函數(shù)=偶函數(shù)； ②奇函數(shù)×奇函數(shù)=偶函數(shù)；奇函數(shù)×偶函數(shù)=奇函數(shù)。③若f(x)為偶函數(shù)，則f(?x)?f(x)?f(|x|)。

二、典例分析

1、給出函數(shù)解析式判斷其奇偶性：

分析：判斷函數(shù)的奇偶性，先要求定義域，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的是非奇非偶函數(shù)，若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f(－x)與f(x)的關(guān)系.【例1】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1).f(x)?x?2x?1;(2).f(x)?

解：f(x)函數(shù)的定義域是(??，??)，∵ f(x)?x2?2x?1，∴ 2x2?2?x?3?,x??x?0?;x?x?3?f(?x)?(?x)2?2?x?1?x2?2x?1?f(x)，∴ f(x)?x2?2x?1為偶函數(shù)。

（法2—圖象法）：畫(huà)出函數(shù)f(x)?x2?2x?1的圖象如下： 由函數(shù)f(x)?x2?2x?1的圖象可知，f(x)?x2?2x?1為偶函數(shù)。

說(shuō)明：解答題要用定義法判斷函數(shù)的奇偶性，選擇題、填空題可用圖象法判斷函數(shù)的奇偶性。(2).解：由 x?3?0，得x∈(－∞，－3］∪(3，+∞).x?3∵定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故是非奇非偶函數(shù).【例2】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：

1?x04?x23?;(2).f(x)?3sin((1).f(x)?。?2x);(3).f(x)?2x?3?3x?122???2?x?2?4?x?0解：(1).由?，解得 ?

x?3?3?0x?0且x??6???4?x24?x2∴定義域?yàn)椋?≤x＜0或0＜x≤2，則f(x)??;.x?3?3x4?(?x)24?x2∴f(?x)????f(x);.?xx4?x2∴f(x)?為奇函數(shù).x?3?3說(shuō)明：對(duì)于給出函數(shù)解析式較復(fù)雜時(shí)，要在函數(shù)的定義域不變情況下，先將函數(shù)解析式變形化簡(jiǎn)，然后再進(jìn)行判斷。(2).函數(shù)f(x)?3sin(∵f(x)?3sin(3??2x)定義域?yàn)镽，23??2x)??3cos2x，2∴f(?x)??3cos2(?x)??3cos2x?f(x)，3?∴ 函數(shù)f(x)?3sin(?2x)為偶函數(shù)。

2?x?0?x?0(3).由?2，解得 ?，∴ 函數(shù)定義域?yàn)?x?Rx?0,x??1?，x??1x?1?0??1?x01?1?2?0，∴f(?x)?0，又∵f(x)?2x?1x?1∴f(?x)?f(x)且f(?x)??f(x)，1?x01?1?2?0 既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。所以f(x)?2x?1x?1【例3】 判斷下列函數(shù)的奇偶性：

?x(1?x),(x?0)?(1).f(x)?log0.5(x?x2?1)；(2).f(x)??0,(x?0)

?x(1?x),(x?0)?解：(1).定義域?yàn)镽，∵f(?x)?f(x)?log0.5(?x?(?x)2?1)?log0.5(x?x2?1)?log0.5((x2?1)?x)?log0.51?0，∴ f(－x)=－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)。

說(shuō)明：給出函數(shù)解析式判斷其奇偶性，一般是直接找f(?x)與f(x)關(guān)系，但當(dāng)直接找f(?x)與f(x)關(guān)系困難時(shí)，可用定義的變形式：f??x??f?x??0?函數(shù)f（x）是偶函數(shù)；f??x??f?x??0 ?函數(shù)f（x）是奇函數(shù)。

(2).函數(shù)的定義域?yàn)镽，當(dāng)x?0時(shí)，?x?0,f(?x)?(?x)(1?x)??x(1?x)??f(x);當(dāng)x?0時(shí)，?x?0,f(?x)?0??f(x);

當(dāng)x?0時(shí)，?x?0,f(?x)?(?x)?1?(?x)???x(1?x)??f(x).綜上可知，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)x，都有f(?x)??f(x)，所以函數(shù)f(x)為奇函數(shù)。

說(shuō)明：分段函數(shù)判斷奇偶性，必分段來(lái)判斷，只有各段為同一結(jié)果時(shí)函數(shù)才有奇偶性。分段函數(shù)判斷奇偶性，也可用圖象法。

2、抽象函數(shù)判斷其奇偶性：

【例4】 已知函數(shù)f(x)(x?R且x?0),對(duì)任意的非零實(shí)數(shù)x1,x2,恒有f(x1?x2)?f(x1)?f(x2),判斷函數(shù)f(x)(x?R且x?0)的奇偶性。

解：函數(shù)的定義域?yàn)???,0)?(0,??)，令x1?x2?1，得f(1)?0，令x1?x2??1，則2f(?1)?f(1),?f(?1)?0, 取x1??1,x2?x，得f(?x)?f(?1)?f(x),?f(?x)?f(x)，故函數(shù)f(x)(x?R且x?0)為偶函數(shù)。

3、函數(shù)奇偶性的應(yīng)用：

(1).求字母的值：

ax2?1【例5】已知函數(shù)f(x)?(a,b,c?Z)是奇函數(shù)，又f(1)?2，f(2)?3，bx?c求a,b,c的值.解：由f(?x)??f(x)得?bx?c??(bx?c)，∴c?0。

4a?1又f(1)?2得a?1?2b，而f(2)?3得?3，2b4a?1∴?3，解得?1?a?2。

a?1又a?Z，∴a?0或a?1.1若a?0，則b??Z，應(yīng)舍去；若a?1，則b?1?Zb=1∈Z.2∴a?1,b?1,c?0。

說(shuō)明：本題從函數(shù)的奇偶性入手，利用函數(shù)的思想(建立方程或不等式，組成混合組)，使問(wèn)題得解.有時(shí)也可用特殊值，如 f(－1)=－f(1)，得c =0。(2).解不等式：

【例6】若f(x)是偶函數(shù)，當(dāng)x∈［0，+∞)時(shí)，f(x)=x－1，求f(x－1)＜0的解集。分析：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，可先作出f(x)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法.解：畫(huà)圖可知f(x)＜0的解集為 ｛x｜－1＜x＜1｝，∴f(x－1)＜0的解集為｛x｜0＜x＜2｝.答案：｛x｜0＜x＜2｝

說(shuō)明：本題利用數(shù)形結(jié)合的方法解題較快、簡(jiǎn)捷.本題也可先求f(x)的表達(dá)式，再求f(x－1)的表達(dá)式，最后求不等式的解也可得到結(jié)果.(3).求函數(shù)解析式：

【例7】已知f(x)是R上的奇函數(shù)，且x∈(－∞，0)時(shí)，f(x)=－xlg(2－x)，求f(x).分析：先設(shè)x＞0，求f(x)的表達(dá)式，再合并.解：∵f(x)為奇函數(shù)，∴f(0)=0.當(dāng)x＞0時(shí)，－x＜0，f(－x)=xlg(2+x)，即－f(x)=xlg(2+x)，∴f(x)=－xlg(2+x)(x＞0).∴f(x)????xlg(2?x)(x?0)。

?xlg(2?x)(x?0)?說(shuō)明：注意自變量在區(qū)間上的轉(zhuǎn)化，分段函數(shù)的處理和分類討論的思想緊密相連。

三、鞏固訓(xùn)練：

一、選擇題

1.若y=f(x)在x∈［0，+∞)上的表達(dá)式為y=x(1－x)，且f(x)為奇函數(shù)，則x∈(－∞，0］時(shí)f(x)等于

A.－x(1－x)B.x(1+x)

C.－x(1+x)D.x(x－1)

ex?11?x2.已知四個(gè)函數(shù)：①y?log2，②y?x，③ y=3x+3-x，④ y=lg(3x+3-x).1?xe?1其中為奇函數(shù)的是

A.②④ B.①③ C.①④ D.①②

3.已知y=f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)=x2－2x，則在R上f(x)的表達(dá)式為 A.－x(x－2)

B.x（｜x｜－2）

C.｜x｜(x－2)

D.｜x｜（｜x｜－2）

二、填空題

4.已知f(x)=ax2+bx+3a+b是偶函數(shù)，且定義域?yàn)椋踑－1，2a］，則a=_____________，b=____________.15.若f(x)?x?a(x∈R且x≠0)為奇函數(shù)，則2?1a=_______________.6.已知f(x)=ax7－bx+2且f(－5)=17，則f(5)=_______________.7.已知f(x)是定義在(?3,3)上的奇函數(shù)，當(dāng)0?x?3時(shí)，f(x)的圖像如右圖所示，那么不等式f(x)?cosx?0的解集是_____________

三、解答題 8.已知G(x)?1?1?且x=lnf(x)，判定G(x)的奇偶性。f(x)???2?f(x)?3，求f(x)和x?39.已知函數(shù)f(x)滿足f(x+y)+ f(x－y)=2f(x)·f(y)(x、y∈R)，且f(0)≠0，試證f(x)是偶函數(shù).10.設(shè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，且f(x)?g(x)?g(x)的解析表達(dá)式。

11.已知f(x)＝x5+ax3-bx-8，f(-2)＝10，求f(2)。12.已知f(x)、g(x)都是定義在R上的奇函數(shù)，若F(x)?af(x)?bg(x)?2在區(qū)間(0,??)上的最大值為5，求F(x)在區(qū)間(??,0)上的最小值。

13.已知f(x)是奇函數(shù)，在區(qū)間(?2,2)上單調(diào)遞增，且有f(2?a)?f(1?2a)?0，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。

四、鞏固訓(xùn)練參考答案：

一、選擇題

1.解析：x∈(－∞，0］，－x≥0，∴ f(－x)=(－x)(1+x)，－f(x)=－x(1+x).∴f(x)=x(1+x).答案：B 2.提示：可運(yùn)用定義，逐個(gè)驗(yàn)算.答案：D 3.解析：設(shè)x＜0，則－x＞0，∵f(x)是奇函數(shù)，∴f(x)=－f(－x)=－［(－x)2－2(－x)］=－x2－2x.?x2?2x(x?0)∴f(x)??2，即f(x)= x（|x|－2），故答案：B。

??x?2x(x?0)

二、填空題

4.解析：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故a－1=－2a，a?又對(duì)于f(x)有f(－x)=f(x)恒成立，∴b=0.答案：

1，31，0。31115.解析：特值法：∵f(－1)=－f(1)，?1?a??(1?a)，a?。

2?12?121答案：。

26.解析：整體思想：f(－5)=a(－5)7－ b(－5)+2=17(a·57－5b)=－15，∴ f(5)=a·57－b·5+2=－15+2=－13.答案：－13。

7.解析：∵ f(x)是定義在(?3,3)上的奇函數(shù)，∴ 補(bǔ)充其圖像如圖，又∵不等式

???f(x)?0?f(x)?0或?，解得?x?3，或??x??1或f(x)?cosx?0同解于?22?cosx?0?cosx?0??????0?x?1，∴不等式f(x)?cosx?0的解集是??,?1???0,1???,3?，答案：

?2??2????????,?1?0,1?,3???2??2?。????

三、解答題

8.解：由x=lnf(x)得f(x)=ex.1?1?1?x1?1x?x?e??(e?e)。f(x)???x??e?22?f(x)?2?11又G(?x)?(e?x?ex)??(ex?e?x)??G(?x)，∴G(x)為奇函數(shù)。

22∴G(x)?9.證明：令x=y=0，有f(0)+f(0)=2f2(0).∵ f(0)≠0，∴f(0)=1.令x=0，f(y)+f(－y)=2f(0)·f(y)=2f(y).∴ f(－y)=f(y).∴ f(x)是偶函數(shù).歸納：賦值法(代入特殊值)在處理一般函數(shù)問(wèn)題時(shí)經(jīng)常用到.10.解：∵f(x)?g(x)?33?(1)，∴f(?x)?g(?x)?，x?3?x?3又∵函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，函數(shù)g(x)是奇函數(shù)，∴f(?x)?f(x)，g(?x)??g(x)，∴上式化為f(x)?g(x)?f(x)?99?x23?(2)，解(1),(2)組成的方程組得

?x?33x(x?R,x??3)，g(x)?2(x?R,x??3)。

x?911.分析：?jiǎn)栴}的結(jié)構(gòu)特征啟發(fā)我們?cè)O(shè)法利用奇偶性來(lái)解

解：令g(x)=x5+ax3-bx，則g(x)是奇函數(shù)，所以g(-2)＝g(2)，于是f(-2)＝g(-2)-8,∴ g(-2)=18.所以f(2)=g(2)-8=-g(-2)-8=-26.12.解：設(shè)h(x)?af(x)?bg(x)，則h(x)?af(x)?bg(x)為奇函數(shù)，因?yàn)楫?dāng)x?(0,??)時(shí)，F(xiàn)(x)?5,所以h(x)?af(x)?bg(x)?F(x)?2?3, 所以當(dāng)x?(??,0)時(shí)，F(xiàn)(x)?2?h(x)?af(x)?bg(x)??3,即F(x)??1, 故F(x)在區(qū)間(??,0)上的最小值為-1。

13.解：因?yàn)楹瘮?shù)f(x)是奇函數(shù)，所以f(?x)??f(x).由f(2?a)?f(1?2a)?0得f(2?a)??f(1?2a)，即f(2?a)?f(2a?1).??2?2?a?21?又f(x)在區(qū)間(?2,2)上單調(diào)遞增，故得??2?2a?1?2，解得??a?0.2?2?a?2a?1?所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?1,0).2注意：利用函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性求變量的范圍，是函數(shù)奇偶性及單調(diào)性的逆用，培養(yǎng)逆向思維能力，判斷出2?a,2a?1?(?2,2)是解決本題的關(guān)鍵。

第二篇：函數(shù)奇偶性課件

函數(shù)的奇偶性是指在關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)的函數(shù)值相等。函數(shù)奇偶性課件內(nèi)容，一起來(lái)看看！

課標(biāo)分析

函數(shù)的奇偶性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是對(duì)函數(shù)概念的深化．它把自變量取相反數(shù)時(shí)函數(shù)值間的關(guān)系定量地聯(lián)系在一起，反映在圖像上為：偶函數(shù)的圖像關(guān)于ｙ軸對(duì)稱，奇函數(shù)的圖像關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)成中心對(duì)稱．這樣，就從數(shù)、形兩個(gè)角度對(duì)函數(shù)的奇偶性進(jìn)行了定量和定性的分析．

教材分析

教材首先通過(guò)對(duì)具體函數(shù)的圖像及函數(shù)值對(duì)應(yīng)表歸納和抽象，概括出了函數(shù)奇偶性的準(zhǔn)確定義．然后，為深化對(duì)概念的理解，舉出了奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)的函數(shù)和非奇非偶函數(shù)的實(shí)例．最后，為加強(qiáng)前后聯(lián)系，從各個(gè)角度研究函數(shù)的性質(zhì)，講清了奇偶性和單調(diào)性的聯(lián)系．這節(jié)課的重點(diǎn)是函數(shù)奇偶性的定義，難點(diǎn)是根據(jù)定義判斷函數(shù)的奇偶性．

教學(xué)目標(biāo)通過(guò)具體函數(shù)，讓學(xué)生經(jīng)歷奇函數(shù)、偶函數(shù)定義的討論，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的建立過(guò)程，培養(yǎng)其抽象的概括能力．

教學(xué)重難點(diǎn)

1理解、掌握函數(shù)奇偶性的定義，奇函數(shù)和偶函數(shù)圖像的特征，并能初步應(yīng)用定義判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性．在經(jīng)歷概念形成的過(guò)程中，培養(yǎng)學(xué)生歸納、抽象概括能力，體驗(yàn)數(shù)學(xué)既是抽象的又是具體的．

學(xué)生分析

這節(jié)內(nèi)容學(xué)生在初中雖沒(méi)學(xué)過(guò)，但已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)具有奇偶性的具體的函數(shù)：正比例函數(shù)y＝kx，反比例函數(shù)，（k≠0），二次函數(shù)y＝ax2，（a≠0），故可在此基礎(chǔ)上，引入奇、偶函數(shù)的概念，以便于學(xué)生理解．在引入概念時(shí)始終結(jié)合具體函數(shù)的圖像，以增加直觀性，這樣更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，同時(shí)為闡述奇、偶函數(shù)的幾何特征埋下了伏筆．對(duì)于概念可從代數(shù)特征與幾何特征兩個(gè)角度去分析，讓學(xué)生理解：奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集；對(duì)于在有定義的奇函數(shù)y＝f（x），一定有f（0）＝0；既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)有f（x）＝0，x∈R．在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生了解：奇函數(shù)、偶函數(shù)的矛盾概念———非奇非偶函數(shù)．關(guān)于單調(diào)性與奇偶性關(guān)系，引導(dǎo)學(xué)生拓展延伸，可以取得理想效果．

教學(xué)過(guò)程

一、探究導(dǎo)入觀察如下兩圖，思考并討論以下問(wèn)題：

（1）這兩個(gè)函數(shù)圖像有什么共同特征？

（2）相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表是如何體現(xiàn)這些特征的？

可以看到兩個(gè)函數(shù)的圖像都關(guān)于y軸對(duì)稱．從函數(shù)值對(duì)應(yīng)表可以看到，當(dāng)自變量x取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)值相同．

對(duì)于函數(shù)f（x）＝x2，有f（－3）＝9＝f（3），f（－2）＝4＝f（2），f（－1）＝1＝f（1）．事實(shí)上，對(duì)于R內(nèi)任意的一個(gè)x，都有f（－x）＝（－x）2＝x2＝f（x）．此時(shí)，稱函數(shù)y＝x2為偶函數(shù)．

2觀察函數(shù)f（x）＝x和f（x）＝ 的圖像，并完成下面的兩個(gè)函數(shù)值對(duì)應(yīng)表，然后說(shuō)出這兩個(gè)函數(shù)有什么共同特征．

可以看到兩個(gè)函數(shù)的圖像都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．函數(shù)圖像的這個(gè)特征，反映在解析式上就是：當(dāng)自變量ｘ取一對(duì)相反數(shù)時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)值f（x）也是一對(duì)相反數(shù)，即對(duì)任一x∈R都有f（－x）＝－f（x）．此時(shí)，稱函數(shù)y＝f（x）為奇函數(shù)．

二、師生互動(dòng)

由上面的分析討論引導(dǎo)學(xué)生建立奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義奇、偶函數(shù)的定義

如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（－x）＝－f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作奇函數(shù)．

如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（－x）＝f（x），那么函數(shù)f（x）就叫作偶函數(shù)．提出問(wèn)題，組織學(xué)生討論

（1）如果定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（－2）＝f（2），那么f（x）是偶函數(shù)嗎？

（f（x）不一定是偶函數(shù)）

（2）奇、偶函數(shù)的圖像有什么特征？

（奇、偶函數(shù)的圖像分別關(guān)于原點(diǎn)、y軸對(duì)稱）

（3）奇、偶函數(shù)的定義域有什么特征？

（奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）

三、難點(diǎn)突破

例題講解判斷下列函數(shù)的奇偶性．

注：①規(guī)范解題格式；②對(duì)于（5）要注意定義域x∈（－1，1〕．已知：定義在R上的函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＝x（1＋x），求f（x）的表達(dá)式．

解：（1）任取x＜0，則－x＞0，∴f（－x）＝－x（1－x），而f（x）是奇函數(shù)，∴f（－x）＝－f（x）．∴f（x）＝x（1－x）．

（2）當(dāng)x＝0時(shí)，f（－0）＝－f（0），∴f（0）＝－f（0），故f（0）＝0．已知：函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在（－∞，0）上是減函數(shù)，判斷f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，還是減函數(shù)，并證明你的結(jié)論．

解：先結(jié)合圖像特征：偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，猜想f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)，證明如下：

任取x1＞x2＞0，則－x1＜－x2＜0．

∵f（x）在（－∞，0）上是減函數(shù)，∴f（－x1）＞f（－x2）．

又f（x）是偶函數(shù)，∴f（x1）＞f（x2）．

∴f（x）在（0，＋∞）上是增函數(shù)．

思考：奇函數(shù)或偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性有何關(guān)系？

鞏固創(chuàng)新已知：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，在〔a，b〕上是增函數(shù)（b＞a＞0），問(wèn)f（x）在〔－b，－a〕上的單調(diào)性如何．f（x）＝－x｜x｜的大致圖像可能是（）函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c，（a，b，c∈R），當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)，（1）函數(shù)f（x）是偶函數(shù)．（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)．設(shè)f（x），g（x）分別是R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，并且f（x）＋g（x）＝x（x＋1），求f（x），g（x）的解析式．

四、課后拓展有既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)嗎？若有，有多少個(gè)？設(shè)f（x），g（x）分別是R上的奇函數(shù)，偶函數(shù)，試研究：

（1）F（x）＝f（x）·g（x）的奇偶性．

（2）G（x）＝｜f（x）｜＋g（x）的奇偶性．

3已知a∈R，f（x）＝a－，試確定a的值，使f（x）是奇函數(shù)．一個(gè)定義在Ｒ上的函數(shù)，是否都可以表示為一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的和的形式？

教學(xué)后記

這篇案例設(shè)計(jì)由淺入深，由具體的函數(shù)圖像及對(duì)應(yīng)值表，抽象概括出了奇、偶函數(shù)的定義，符合職高學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，有利于學(xué)生理解和掌握．應(yīng)用深化的設(shè)計(jì)層層遞進(jìn)，深化了學(xué)生對(duì)奇、偶函數(shù)概念的理解和應(yīng)用．拓展延伸為學(xué)生思維能力、創(chuàng)新能力的培養(yǎng)提供了平臺(tái)。

第三篇：函數(shù)奇偶性教案

函數(shù)的奇偶性

授課教師——李振明

授課班級(jí)——高一（8）

教學(xué)目的：

1、使學(xué)生理解函數(shù)的奇偶性的概念，并能判斷一些簡(jiǎn)單函數(shù)的奇偶性；

2、進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)： 函數(shù)奇偶性的判斷

一、引入新課： 題1：已知函數(shù)f(x)=3x 畫(huà)出圖形，并求： f(2),f(-2),f(-x)。

題2：已知函數(shù)g(x)= 2x2畫(huà)出圖形，并求： g(1),g(-1),g(-x)。

考察：f(x)與f(-x)，g(x)與g(-x)之間的關(guān)系是什么？

二、定義：對(duì)于函數(shù)f(x),在它的定義域內(nèi)，任

意一個(gè)x.①如果都有f(-x)=f(x)，則函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)。②如果都有f(-x)=f(x)，則函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)。

三、例：判斷下列函數(shù)的奇偶性

① f(x)=x5+x ② f(x)=x4-x2 ③ f(x)=3x+1 定理:

1、性質(zhì)：奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。

２、如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)。

如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù)。

四、鞏固練習(xí)

（1）如果對(duì)于函數(shù)f(x)的(任意一個(gè)X)，都有(f(-x)=f(x))，那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)。

如果對(duì)于函數(shù)f(x)的（任意一個(gè)X），都有（f(-x)=f(x)），那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)。

（2）奇函數(shù)的圖象關(guān)于（關(guān)于原點(diǎn)）對(duì)稱，偶函數(shù)的圖象關(guān)于（y軸對(duì)稱）對(duì)稱。

（3）已知函數(shù)y = f(x)是奇函數(shù)，如果f(a)=1那么f(－a)=（-1）（4）.在下列各函數(shù)中，偶函數(shù)是（B）

（5）函數(shù)f(x)＝|x＋2|－|x－2|的奇偶性是（A）

A．奇函數(shù)

B．偶函數(shù)

C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)

四、小結(jié)

1、定義：對(duì)于函數(shù)f(x),在它的定義域內(nèi)，把任 意一個(gè)x換成－x，（x,－x都在定義域）。

①如果都有f(－x)=f(x)，則函數(shù)f(x)叫做奇函數(shù)。②如果都有f(－x)=f(x)，則函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)。

2、性質(zhì):奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱。

偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱。如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，那么這個(gè)函 數(shù)是奇函數(shù)。

如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函 數(shù)是偶函數(shù)。

五、課后思考題

已知函數(shù)f(x)=(m2-1)x2 +(m-1)x+n+2，則當(dāng)m、n為何值時(shí)，為奇函數(shù)

f(x)

第四篇：函數(shù)奇偶性教案

函數(shù)的奇偶性

廖登玲

一、教學(xué)目標(biāo)：

1、知識(shí)與技能 ：

理解奇函數(shù)、偶函數(shù)的概念，掌握判斷函數(shù)奇偶性的方法；

2、過(guò)程與方法：

通過(guò)觀察、歸納、抽象、概括，自主建構(gòu)奇函數(shù)、偶函數(shù)等概念；能運(yùn)用函數(shù)奇偶

性概念解決簡(jiǎn)單的問(wèn)題，領(lǐng)會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法；培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力．

二、教學(xué)重難點(diǎn)：

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)奇偶性概念及其判斷方法。

教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)函數(shù)奇偶性的概念的理解及如何判定函數(shù)奇偶性。

三、教學(xué)方法：

通過(guò)學(xué)生熟悉的實(shí)際生活問(wèn)題引入課題，為概念學(xué)習(xí)創(chuàng)設(shè)情境，拉近數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的距離，激發(fā)學(xué)生求知欲，調(diào)動(dòng)學(xué)生主體參與的積極性．在形成概念的過(guò)程中，緊扣概念中的關(guān)鍵語(yǔ)句，通過(guò)學(xué)生的主體參與，正確地形成概念．在鼓勵(lì)學(xué)生主體參與的同時(shí)，教會(huì)學(xué)生清晰的思維、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)耐评恚㈨樌赝瓿蓵?shū)面過(guò)程

四、教學(xué)過(guò)程：

1、創(chuàng)設(shè)情境，引入課題：

讓學(xué)生自己列舉出生活中對(duì)稱的實(shí)例，師：我們知道，“對(duì)稱”是大自然的一種美，在我們的生活中，有許多的對(duì)稱美：如美麗的蝴蝶、古建筑等等。這種對(duì)稱美在數(shù)學(xué)中也有大量的反應(yīng)，這節(jié)課我們就來(lái)一起發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)中的對(duì)稱美。

2、觀察歸納，形成概念：

（1）請(qǐng)同學(xué)們利用描點(diǎn)法做出函數(shù)f(x)=x/3 與函數(shù)g(x)=x^3 的圖像，觀察這兩個(gè)函數(shù)圖像具有怎樣的對(duì)稱性并思考和討論以下的問(wèn)題？

①這兩個(gè)函數(shù)的圖像有什么共同的特征？②從圖像看函數(shù)的定義域有什么特點(diǎn)？ 生：函數(shù)y=x/3的圖像是定義域?yàn)镽的直線，函數(shù)y=x^3的圖像是定義域?yàn)镽的曲線，它們都關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且當(dāng)x屬于函數(shù)定義域時(shí)，它的相反數(shù)-x也在定義域內(nèi)。

（2）讓學(xué)生注意到x=-

3、-

2、-1、0、1、2、3 時(shí)兩個(gè)函數(shù)的函數(shù)值，可以發(fā)現(xiàn)兩個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性反應(yīng)到函數(shù)上具有的特性:關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，進(jìn)而提出在定義域內(nèi)是否對(duì)所有的x，都有類似的情況？借助課件演示，讓學(xué)生通過(guò)運(yùn)算發(fā)現(xiàn)函數(shù)的對(duì)稱性實(shí)質(zhì)：當(dāng)自變量互為相反數(shù)時(shí)，函數(shù)值互為相反數(shù)。然后通過(guò)解析式給出簡(jiǎn)單證明：f(-x)=(-x)/3=-(x/3)=-f(x);g(-x)=(-x)^3=-(x^3)=-g(x)，進(jìn)一步說(shuō)明這個(gè)特性對(duì)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x都成立。

(3)師：具有此種特征的函數(shù)還有很多，我們能不能用數(shù)學(xué)語(yǔ)言對(duì)這類函數(shù)的特征進(jìn)行描述？

（板書(shū)）：如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(x)=-f(-x)，那么函數(shù)叫做奇函數(shù)。

3、設(shè)疑答問(wèn)，深化概念

教師設(shè)計(jì)下列問(wèn)題并組織學(xué)生討論思考回答：

問(wèn)題1：奇函數(shù)定義中有“任意”二字，說(shuō)明函數(shù)的奇偶性是怎樣的一個(gè)性質(zhì)？與單調(diào)性有何區(qū)別？

答：在奇函數(shù)的定義中“如果對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)任意一個(gè)x”這句話它表示函數(shù)奇偶性針對(duì)的是函數(shù)的整個(gè)定義域，它表示函數(shù)的奇偶性是函數(shù)在定義域上的一個(gè)整體性

質(zhì)，它不同于單調(diào)性，單調(diào)性它針對(duì)的是定義域中的某個(gè)區(qū)間，是一個(gè)局部性質(zhì)。問(wèn)題2：-x與x在幾何上有何關(guān)系？具有奇偶性的函數(shù)的定義域有何特征？

答：二者在幾何上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是一個(gè)函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的首要條件。

問(wèn)題3：（1）對(duì)于任意一個(gè)奇函數(shù)f(x)，圖像上的點(diǎn)f(x)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)f(-x)的坐標(biāo)是什么？點(diǎn)(-x,-f(x))是否也在函數(shù)f(x)的圖像上？由此可得到怎樣的結(jié)論？（2）如果一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)，定義域中的x可以等于0.那么f(0)的值等于多少？

引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)回答問(wèn)題3把奇函數(shù)圖像的性質(zhì)總結(jié)出來(lái)，即：①函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則其圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，②對(duì)于奇函數(shù)f(x)，若f(0)有定義，則f(0)=0.然后教師利用多媒體演示兩幅關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)圖像，讓學(xué)生仿照奇函數(shù)，觀察圖像，給出偶函數(shù)的定義：如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)的任意一個(gè)x,都有f(x)=f(-x)，那么函數(shù)叫做偶函數(shù)。并讓學(xué)生自己研究一下偶函數(shù)圖像的性質(zhì)，即函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，則其圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。

4、知識(shí)應(yīng)用，鞏固提高 例

1、判斷下列函數(shù)的奇偶性:

（1）f(x)=1/x（奇函數(shù)）

(2)f(x)=-(x^2)+1(偶函數(shù))

（3）f(x)=x+1（非奇非偶）

(4)f(x)=0（既奇又偶）

選例1的第（1）小題板書(shū)來(lái)示范解題的步驟:對(duì)于函數(shù)f(x)=1/x，其定義域?yàn)?-∞，+∞）.因?yàn)閷?duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，有-x∈(-∞，+∞），且f(-x)=-1/x=-f(x),(f(x)+f(-x)=0), 所以，函數(shù)為奇函數(shù)。

其他例題讓幾個(gè)學(xué)生板演，其余學(xué)生在下面自己完成，針對(duì)板演的同學(xué)所出現(xiàn)的步驟上的問(wèn)題進(jìn)行及時(shí)糾正，教師要適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生做好總結(jié)歸納。（1）通過(guò)例1總結(jié)判斷函數(shù)奇偶性的步驟：

①求出函數(shù)的定義域I,并判斷若x∈I,是否有-x∈I

②驗(yàn)證f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)（f(x)-f(-x)=0 或f(x)+f(-x)=0）③得出結(jié)論

（2）通過(guò)講解板演同學(xué)的解題，得出函數(shù)奇偶性的相關(guān)性質(zhì)：

① 對(duì)于一個(gè)函數(shù)來(lái)說(shuō)，它的奇偶性有四種可能：是奇函數(shù)但不是偶函數(shù)，是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)。

②存在既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù)的函數(shù)：f(x)=0

五、總結(jié)反思：

從知識(shí)、方法兩個(gè)方面來(lái)對(duì)本節(jié)課的內(nèi)容進(jìn)行歸納總結(jié)，讓學(xué)生談本節(jié)課的收獲，并進(jìn)行反思。從而關(guān)注學(xué)生的自主體驗(yàn)，反思和發(fā)表本堂課的體驗(yàn)和收獲。

六、任務(wù)后延，興趣研究：

1、思考：如果改變奇函數(shù)的定義域，它還是奇函數(shù)嗎？如：y = x3(x≠0)，y = x3(x≠1)，y = x3(x≥0)，y=x3(－1≤x≤1)，試判斷它們是奇函數(shù)嗎？

2、課后作業(yè)（略）

第五篇：函數(shù)奇偶性教案

§1.3.2函數(shù)的奇偶性

教學(xué)目標(biāo)

1．知識(shí)與技能：

理解函數(shù)的奇偶性及其幾何意義；學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)圖象理解和研究函數(shù)的性質(zhì)；學(xué)會(huì)判斷函數(shù)的奇偶性；

2．過(guò)程與方法：

通過(guò)函數(shù)奇偶性概念的形成過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、抽象的能力，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想．

3．情態(tài)與價(jià)值：

通過(guò)函數(shù)的奇偶性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生從特殊到一般的概括歸納問(wèn)題的能力．

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

教學(xué)重點(diǎn)：函數(shù)的奇偶性及其幾何意義 教學(xué)難點(diǎn)：判斷函數(shù)的奇偶性的方法

教學(xué)過(guò)程：

一：引入課題

觀察并思考函數(shù)

以及y=|x|的圖像有哪些共同特征？這些特征在函數(shù)值對(duì)應(yīng)表是如何體現(xiàn)的？（學(xué)生自主討論）根據(jù)學(xué)生討論的結(jié)果推出偶函數(shù)的定義。

偶函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，都有f(?x)?f(x)，那么f(x)就叫做偶函數(shù)．

（學(xué)生活動(dòng)）

依照偶函數(shù)的定義給出奇函數(shù)的定義．

奇函數(shù)

一般地，對(duì)于函數(shù)f(x)的定義域的任意一個(gè)x，都有f(?x)??f(x)，那么f(x)就叫做奇函數(shù)．

注意：

1．具有奇偶性的函數(shù)的圖像的特征：

偶函數(shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱；奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

2．由函數(shù)的奇偶性定義可知，函數(shù)具有奇偶性的一個(gè)必要條件是，對(duì)于定義域內(nèi)的任意一個(gè)x，則?x也一定是定義域內(nèi)的一個(gè)自變量（即定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱）． 二：例題講解

例1．判斷下列函數(shù)是不是具有奇偶性．（1）f(x)?2x3x?[?1,2]

2（2）f(x)?x?xx?1

例2．判斷下列函數(shù)的奇偶性

（1）f(x)?x4

（2）f(x)?x5

（3）f(x)?x?總結(jié)：利用定義判斷函數(shù)奇偶性的格式步驟： 首先確定函數(shù)的定義域，并判斷其定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱； ○2 確定f(－x)與f(x)的關(guān)系； ○3 作出相應(yīng)結(jié)論： ○若f(－x)= f(x)或 f(－x)－f(x)= 0，則f(x)是偶函數(shù)；

若f(－x)=－f(x)或 f(－x)＋f(x)= 0，則f(x)是奇函數(shù)．

三：課堂練習(xí)

課本P36習(xí)題1

利用函數(shù)的奇偶性補(bǔ)全函數(shù)的圖象（教材P41思考題）

規(guī)律：偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；

奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．

1x

（4）f(x)?1x2

四：歸納小結(jié)，強(qiáng)化思想

本節(jié)主要學(xué)習(xí)了函數(shù)的奇偶性，判斷函數(shù)的奇偶性通常有兩種方法，即定義法和圖象法，用定義法判斷函數(shù)的奇偶性時(shí)，必須注意首先判斷函數(shù)的定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用是本節(jié)的一個(gè)難點(diǎn)，需要學(xué)生結(jié)合函數(shù)的圖象充分理解好單調(diào)性和奇偶性這兩個(gè)性質(zhì)．

五：作業(yè)布置

1．作業(yè)：判斷下列函數(shù)的奇偶性： f(x)?○2x?2xx?122f(x)??；

○

?x(1?x)x?0,?x(1?x)x?0.f(x)?x3?2x ；

○4 f(x)?a

（x?R）○

思考題：若函數(shù)f(x)＝(x+1)(x-a)為偶函數(shù)，求a的值.