第一篇：建筑力學(xué)：幾何組成分析

第一篇 結(jié)構(gòu)的力學(xué)計(jì)算模型

幾何組成分析

【內(nèi)容提要】

本章簡(jiǎn)要介紹剛片、自由度與約束等基本概念，重點(diǎn)介紹幾何不變體系的基本組成規(guī)則。體系的幾何組成分析是判定體系能否作為建筑結(jié)構(gòu)使用的依據(jù)，又是結(jié)構(gòu)計(jì)算的前提條件。通過幾何組成分析可以確定靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算途徑，也可以確定超靜定結(jié)構(gòu)的多余約束數(shù)目等?！緦W(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.理解幾何不變體系和幾何可變體系的概念，了解幾何組成分析的目的。2.了解剛片、自由度與約束的概念。

3.掌握幾何不變體系的基本組成規(guī)則，并能熟練運(yùn)用二剛片規(guī)則、三剛片規(guī)則以及二元體規(guī)則對(duì)結(jié)構(gòu)幾何組成進(jìn)行分析。

4.理解體系的幾何組成與靜定性的關(guān)系，能正確區(qū)分靜定結(jié)構(gòu)與超靜定結(jié)構(gòu)。5.掌握梁、剛架、桁架、組合結(jié)構(gòu)和拱等平面桿件結(jié)構(gòu)的受力特點(diǎn)。

§1 概述

1－1 分析幾何組成的目的

（a）

（b）

圖1-60 建筑結(jié)構(gòu)是由桿件通過一定的連接方式組成的體系，在荷載作用下，只要不發(fā)生破壞，它的形狀和位置是不能改變的。那么桿系怎樣的連接方式才能成為結(jié)構(gòu)？桿系通過不同的連接方式可以組成的體系可分為兩類。一類是幾何不變體系，即體系受到任意荷載作用后，能維持其幾何形狀和位置不變的，則這樣的體系稱為幾何不變體系。如圖1-60（a）所示的體系就是一個(gè)幾何不變體系，因?yàn)樵谒竞奢d作用下，只要不發(fā)生破壞，它的形狀和位置是不會(huì)改變的；另一類是由于缺少必要的桿件或桿件布置的不合理，在任意荷載作用下，它的形狀和位置是可以改變的，這樣的體系則稱為幾何可變體系，如圖1-60（b）所示。因?yàn)樵谒竞奢d作用下，不管P值多么小，它都不能維持平衡，而發(fā)生了形狀改變。結(jié)構(gòu)是用來承受荷載的體系，如果它承受荷載很小時(shí)結(jié)構(gòu)就倒塌了或發(fā)生了很大變形，就會(huì)造成工程事故。故結(jié)構(gòu)必須是幾何不變體系，而不能是幾何可變體系。

我們?cè)趯?duì)結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算時(shí)，必須首先對(duì)結(jié)構(gòu)體系的幾何組成進(jìn)行分析研究，考察體系的幾何不變性，這種分析稱為幾何組成分析或幾何構(gòu)造分析。

對(duì)體系進(jìn)行幾何組成分析的目的：

（1）檢查給定體系是否是幾何不變體系，以決定其是否可以作為結(jié)構(gòu)，或設(shè)法保證結(jié)構(gòu)是幾何不變的體系。

（2）在結(jié)構(gòu)計(jì)算時(shí)，還可根據(jù)體系的幾何組成規(guī)律，確定結(jié)構(gòu)是靜定的還是超靜定的結(jié)構(gòu)，以便選擇相應(yīng)的計(jì)算方法。

1－2平面體系的自由度及約束

判斷一個(gè)體系是否幾何不變，需要先了解體系運(yùn)動(dòng)的自由度，了解剛片和約束的概念。

一、剛片

所謂剛片，是指可以看作剛體的物體，即物體的幾何形狀和尺寸是不變的。因此，在平面體系中，當(dāng)不考慮材料變形時(shí)，就可以把一根梁，一根鏈桿或者在體系中已經(jīng)肯定為幾何不變的某個(gè)部分都看作是一個(gè)剛片。同樣，支承結(jié)構(gòu)的地基也可看作一個(gè)剛片，如圖1-61所示。

圖1-61

二、自由度

在進(jìn)行幾何組成分析時(shí)，涉及到平面體系運(yùn)動(dòng)的自由度。所謂平面體系的自由度，是指該體系運(yùn)動(dòng)時(shí)可以獨(dú)立變化的幾何參數(shù)的數(shù)目，即確定體系的位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)的數(shù)目。

圖1-62

（1）一個(gè)動(dòng)點(diǎn)在平面內(nèi)的位置，可用在選定的坐標(biāo)系中的兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)x和y來確定。所以其自由度是2。如圖1-62（a）中A點(diǎn)在參考坐標(biāo)系中的位置需要x和y兩個(gè)坐標(biāo)確定。

（2）一個(gè)不受約束的剛片，要確定其在平面上的位置，只要確定剛片上任意一點(diǎn)A的位置以及剛片上過A點(diǎn)的任一直線AB的位置，確定A點(diǎn)的位置需要兩個(gè)坐標(biāo)x、y，確定線段AB的方位還需要一個(gè)坐標(biāo)口。因此，總共需要三個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)，即剛片的自由度是3，如圖1-62（b）。

一般說來，一個(gè)體系如果有幾個(gè)獨(dú)立的運(yùn)動(dòng)方式，就說這個(gè)體系有幾個(gè)自由度。工程結(jié)構(gòu)必須都是幾何不變體系，故其自由度應(yīng)該等于零或小于零。凡是自由度大于零的體系都是幾何可變體系。

三、約束

使非自由體在某一方向不能自由運(yùn)動(dòng)的限制裝置稱為約束。實(shí)際結(jié)構(gòu)體系中各構(gòu)件之間及體系與基礎(chǔ)之間是通過一些裝置互相連接在一起。這些對(duì)剛片運(yùn)動(dòng)起限制作用的連接裝置也統(tǒng)稱為約束。約束的作用是使體系的自由度減小。不同的連接裝置對(duì)體系自由度的影響不同。常用的約束有鏈桿、鉸和剛結(jié)點(diǎn)這三類約束。

對(duì)一個(gè)具有自由度的剛片，當(dāng)加入某些約束裝置時(shí)，它的自由度將減少。凡能減少一個(gè)自由度的裝置稱為一個(gè)約束。

1、鏈桿約束

如圖1-63所示，用一鏈桿將一剛片與基礎(chǔ)相連，剛片將不能沿鏈桿方向移動(dòng)，因而減少了一個(gè)自由度，所以一根鏈桿相當(dāng)于一個(gè)約束。

2、鉸

（1）單鉸：聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛片的圓柱鉸稱為單鉸。如圖1-64所示，用一單鉸將剛片I、Ⅱ在A點(diǎn)聯(lián)結(jié)起來，對(duì)于剛片I，其位置可由三個(gè)坐標(biāo)來確定，對(duì)于剛片Ⅱ，因?yàn)樗c剛片I聯(lián)結(jié)，所以除了能保存獨(dú)立的轉(zhuǎn)角外，只能隨著剛片I移動(dòng)，也就是說，已經(jīng)喪失了自由移動(dòng)的可能，因而減少了兩個(gè)自由度。所以一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩個(gè)約束。也可這樣分析，兩個(gè)獨(dú)立的剛片在平面內(nèi)共有6個(gè)自由度，連接以后，自由度減為4個(gè)。因此我們可先用三個(gè)坐標(biāo)確定剛片I的位置，然后再用一個(gè)轉(zhuǎn)角就可確定剛片Ⅱ的位置。由此可見，一個(gè)單鉸可以使自由度減少兩個(gè)，即一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩個(gè)約束。

（2）復(fù)鉸：聯(lián)結(jié)三個(gè)或三個(gè)以上剛片的圓柱鉸稱為復(fù)鉸。圖1-65所示的復(fù)鉸聯(lián)結(jié)三個(gè)剛片，它的聯(lián)結(jié)過程可想象為：先有剛片I，然后用單鉸將剛片Ⅱ與剛片I聯(lián)結(jié)，再以單鉸將剛片Ⅲ與剛片I聯(lián)結(jié)。這樣，聯(lián)結(jié)三個(gè)剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于兩個(gè)單鉸。．同理，聯(lián)結(jié)n個(gè)剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于n-1個(gè)單鉸，也相當(dāng)于2（n-1）個(gè)約束。圖1-63

圖1-64

圖1-65

（3）虛鉸：一如果兩個(gè)剛片用兩根鏈桿聯(lián)結(jié)，如圖1-65a所示，則這兩根鏈桿的作用就和一個(gè)位于兩桿交點(diǎn)的鉸的作用完全相同。我們常稱聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛片的兩根鏈桿的交點(diǎn)為虛鉸。如果聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛片的兩根鏈桿并沒有相交，則虛鉸在這兩根鏈桿延長(zhǎng)線的交點(diǎn)上，如圖1-66b所示。若這兩根鏈桿是平行的，則認(rèn)為虛鉸的位置在沿鏈桿方向的無窮遠(yuǎn)處，如圖1-66 c所示。

3、剛性聯(lián)結(jié)

如圖1-67a所示，剛片I、Ⅱ在A處剛性聯(lián)結(jié)成一個(gè)整體，原來兩個(gè)剛片在平面內(nèi)具有6個(gè)自由度，現(xiàn)剛性聯(lián)結(jié)成整體后減少了3個(gè)自由度，所以，一個(gè)剛性聯(lián)結(jié)相當(dāng)于三個(gè)約束。同理，一個(gè)固定端的支座相當(dāng)剛性聯(lián)結(jié)，或者說固定端支座相當(dāng)三個(gè)約束，如圖1-67b。

三種類型約束之間的關(guān)系：一個(gè)單鉸的約束相當(dāng)于兩根鏈桿；一個(gè)單剛結(jié)的約束作用相當(dāng)于三根鏈桿。

圖1-66

a）

b）

圖1-67

為保持體系幾何不變必須有的約束叫必要約束；為保持體系幾何不變并不需要的約束叫多余約束。一個(gè)平面體系，通常都是由若干個(gè)構(gòu)件加入一定約束組成的。加入約束的目的是為了減少體系的自由度。如果在體系中增加一個(gè)約束，而體系的自由度并不因此而減少，則該約束被稱為多余約束。多余約束只說明為保持體系幾何不變是多余的，在幾何體系中增設(shè)多余約束，可改善結(jié)構(gòu)的受力狀況，并非真是多余。

例如，平面內(nèi)一個(gè)自由點(diǎn)A原來有兩個(gè)自由度，如果用兩根不共線的鏈桿1和2把A點(diǎn)與基礎(chǔ)相連，如圖1-68a所示，則A點(diǎn)即被固定，因此減少了兩個(gè)自由度。

如果用三根不共線的鏈桿把A點(diǎn)與基礎(chǔ)相連，如圖1-68b所示，實(shí)際上仍只是減少了兩個(gè)自由度，有一根是多余約束（可把三根鏈桿中的任何一根視為多余約束）。

（a）

（b）

圖1-68

又如圖12—7a表示動(dòng)點(diǎn)A加一根水平的支座鏈桿1，還有一個(gè)豎向運(yùn)動(dòng)的自由度。由于約束數(shù)目不夠，是幾何可變體系。

圖12—7b是用兩根不在一直線上的支座鏈桿1和2，把A點(diǎn)聯(lián)結(jié)在基礎(chǔ)上，點(diǎn)A上下、左右的移動(dòng)自由度全被限制住了，不能發(fā)生移動(dòng)。故圖12—7b是約束數(shù)目恰好夠的幾何不變體系，叫無多余約束的幾何不變體系。

圖12—7c是在圖12—7b上又增加一根水平的支座鏈桿3，這第三根鏈桿，就保持幾何不變而言，是多余的。故圖12—7c是有一個(gè)多余約束的幾何不變體系。

圖12—7

§2 幾何不變體系的基本組成規(guī)則

2－1 二元體規(guī)則

所謂二元體是指由兩根不在同一直線上的鏈桿聯(lián)結(jié)一個(gè)新結(jié)點(diǎn)的裝置，如圖12—9b中的BAC部分。由于在平面內(nèi)新增加一個(gè)點(diǎn)就會(huì)增加兩個(gè)自由度，而新增加的兩根不共線的鏈桿,恰能減去新結(jié)點(diǎn)A的兩個(gè)自由度，故對(duì)原體系來說，自由度的數(shù)目沒有變化。因此，在一個(gè)已知體系上增加一個(gè)二元體不會(huì)影響原體系的幾何不變性或可變性。同理，若在已知體系中拆除一個(gè)二元體，也不會(huì)影響體系的幾何不變性或可變性。

利用二元體規(guī)則，可以得到更為一般的幾何不變體系。圖12—9a所示為一個(gè)三角形鉸結(jié)體系，假如鏈桿I固定不動(dòng)，那么通過前面的講解，我們已知它是一個(gè)幾何不變體系。

將圖12—9a中的鏈桿I看作一個(gè)剛片，成為圖12—9b所示的體系。從而得出：

規(guī)則1（二元體規(guī)則）：一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)剛片用兩根不共線的鏈桿相連，則組成無多余約束的幾何不變體系。

推論1：在一個(gè)平面桿件體系上增加或減少若干個(gè)二元體，都不會(huì)改變?cè)w系的幾何組成性質(zhì)。

圖1-68

如圖12—9c所示的桁架，就是在鉸接三角形ABC的基礎(chǔ)上，依次增加二元體而形成的一個(gè)無多余約束的幾何不變體系。同樣，我們也可以對(duì)該桁架從H點(diǎn)起依次拆除二元體而成為鉸接三角形ABC。

2－2 兩剛片規(guī)則

將圖12—9a中的鏈桿I和鏈桿Ⅱ都看作是剛片，成為圖12—10a所示的體系。從而得出：

規(guī)則2（兩剛片規(guī)則）：兩剛片用不在一條直線上的一鉸（B鉸）、一鏈桿（AC鏈桿）連接，則組成無多余約束的幾何不變體系。

如果將圖12—10a中連接兩剛片的鉸B用虛鉸代替，即用兩根不共線、不平行的鏈桿a、b來代替，成為圖12—10b所示體系，則有：

推論2：兩剛片用不完全平行也不交于一點(diǎn)的三根鏈桿連接，則組成無多余約束的幾何不變體系。

圖1-69

2－3 三剛片規(guī)則

將圖12—9a中的鏈桿I、鏈桿Ⅱ和鏈桿Ⅲ都看作是剛片，成為圖12-11a所示的體系。從而得出：

規(guī)則3（三剛片規(guī)則）：三剛片用不在一條直線上的三個(gè)鉸兩兩連接，則組成無多余約束的幾何不變體系。

如果將圖中連接三剛片之間的鉸A、B、C全部用虛鉸代替，即都用兩根不共線、不平行的鏈桿來代替，成為圖12—11b所示體系，則有：

推論3：三剛片分別用不完全平行也不共線的二根鏈桿兩兩連接，且所形成的三個(gè)虛鉸不在同一條直線上，則組成無多余約束的幾何不變體系。

圖1-68

從以上敘述可知，這三個(gè)規(guī)則及其推論，實(shí)際上都是三角形規(guī)律的不同表達(dá)方式，即三個(gè)不共線的鉸，可以組成無多余約束的三角形鉸結(jié)體系。規(guī)則1(及推論1)給出了固定一個(gè)節(jié)點(diǎn)的裝配格式，如圖12—9b所示的體系中，A點(diǎn)通過不共線的鏈桿Ⅱ和鏈桿Ⅲ固定在基本剛片I上；規(guī)則2(及推論2)給出了固定一個(gè)剛片的裝配格式，如圖12—10a、b所示的體系中，用不在一條直線上的B鉸、鏈桿Ⅲ，或者用不交于一點(diǎn)的三根鏈桿將剛片Ⅱ固定在剛片I上；規(guī)則3(及推論3)給出了固定兩個(gè)剛片的裝配格式，如圖12—11a、b所示的體系中，通過不共線的三個(gè)鉸A、B、C將剛片Ⅱ、剛片Ⅲ固定在剛片Ⅰ上。

在上述組成規(guī)則中，對(duì)剛片間的聯(lián)結(jié)方式都提出了一些限制條件，如聯(lián)結(jié)三剛片的三個(gè)鉸不能在同一直線上；聯(lián)結(jié)兩剛片的三根鏈桿不能全交于一點(diǎn)也不能全平行等。如果不滿足這些條件，將會(huì)出現(xiàn)下面所述的情況。

如圖1-72所示的三個(gè)剛片，它們之間用位于同一直線上的三個(gè)鉸兩兩相連。此時(shí)，點(diǎn)A位于以BA和CA為半徑的兩個(gè)圓弧的公切線上，故點(diǎn)A可沿此公切線作微小運(yùn)動(dòng)，體系是幾何可變的。但在發(fā)生一微小移動(dòng)后，三個(gè)鉸就不再位于同一直線上，因而體系又成為幾何不變的。這種本來是幾何可變的，經(jīng)微小位移后又成為幾何不變的體系稱為瞬變體系。

圖1-72

又如圖1-73a所示的兩個(gè)剛片用全交于一點(diǎn)O的三根鏈桿相連，此時(shí)，兩個(gè)剛片可以繞點(diǎn)O作相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。但在發(fā)生一微小轉(zhuǎn)動(dòng)后，三根鏈桿就不再全交于一點(diǎn)，體系成為幾何不變的，所以，這種體系也是瞬變體系。再如圖1-73b所示的兩個(gè)剛片用三根互相平行但不等長(zhǎng)的鏈桿相聯(lián)，此時(shí)，兩個(gè)剛片可以沿與鏈桿垂直的方向發(fā)生相對(duì)移動(dòng)。但在發(fā)生一微小移動(dòng)后，由于三桿不等長(zhǎng)，所以三根鏈桿不再互相平行，故這種體系也是瞬變體系。瞬變體系是由于約束布置不合理而能發(fā)生瞬時(shí)運(yùn)動(dòng)的體系。因?yàn)樗强勺凅w系的一種特殊情況，瞬變體系可以在很小荷載作用下，產(chǎn)生無窮大的內(nèi)力，會(huì)使結(jié)構(gòu)破壞。所以瞬變體系不能作為結(jié)構(gòu)使用。

圖1-73

§3 幾何組成分析舉例

幾何不變體系的組成規(guī)則是進(jìn)行幾何組成分析的依據(jù)。對(duì)體系靈活使用這些規(guī)則，就可以判定體系是否是幾何不變體及有無多余約束等問題。分析時(shí)，步驟大致如下：

（1）選擇剛片：在體系中任選一桿件或某個(gè)幾何不變的部分（例如基礎(chǔ)、鉸結(jié)三角形）作 為剛片。在選擇剛片時(shí)，要考慮哪些是連接這些剛片的約束。

（2）先從能直接觀察的幾何不變的部分開始，應(yīng)用幾何組成規(guī)則，逐步擴(kuò)大幾何不變部分直至整體。

（3）對(duì)于復(fù)雜體系可以采用以下方法簡(jiǎn)化體系：

1）當(dāng)體系上有二元體時(shí)，應(yīng)依次拆除二元體。

2）如果體系只用三根不全交于一點(diǎn)也不全平行的支座鏈桿與基礎(chǔ)相連，則可以拆除支座鏈桿與基礎(chǔ)。

3）利用約束的等效替換。如只有兩個(gè)鉸與其他部分相連的剛片用直鏈桿代替；聯(lián)結(jié)兩個(gè)剛片的兩根鏈桿可用其交點(diǎn)處的虛鉸代替。

例1 試對(duì)圖1-74所示的體系進(jìn)行幾何組成分析。

圖1-74

解

在此體系中，將基礎(chǔ)視為剛片，AB桿視為剛片，兩個(gè)剛片用三根不全交于一點(diǎn)也不全平行鏈桿l、2、3相聯(lián)，根據(jù)兩剛片規(guī)則，此部分組成幾何不變體系，且沒有多余約束。然后將其視為一個(gè)大剛片，它與BC桿再用鉸B和不通過該鉸的鏈桿4相連，又組成幾何不變體系，且沒有多余約束。所以，整個(gè)體系為幾何不變體系，且沒有多余約束。

【例1-12改成1的形式】試對(duì)圖1-75所示的體系進(jìn)行幾何組成分析。

圖1-75 【解】體系中ADC部分是由基本鉸接三角形AFG逐次加上二元體所組成，是一個(gè)幾何不變部分，可視為剛片I。同樣，BEC部分也是幾何不變，可作為剛片Ⅱ。再將地基作為剛片Ⅲ，固定鉸支座A、B相當(dāng)于兩個(gè)鉸，則三個(gè)剛片由三個(gè)不共線的鉸A、B、C兩兩相聯(lián)，該體系幾何不變，且無多余約束。

【例1-13】試對(duì)圖1-76所示的體系進(jìn)行幾何組成分析。

圖1-76

【解】在此體系中，ABCD部分是由一個(gè)鉸結(jié)三角形增加一個(gè)二元體組成的幾何不變部分，同理，CEFG部分也是幾何不變部分，故可當(dāng)作剛片，分別用I、Ⅱ表示。再將基礎(chǔ)看作剛片，并以Ⅲ表示。此時(shí)，剛片I和Ⅱ用鉸C聯(lián)結(jié)；剛片I和Ⅲ用鏈桿1、2構(gòu)成的虛鉸O1聯(lián)結(jié)；剛片Ⅱ和Ⅲ則用鏈桿3、4構(gòu)成的虛鉸O2聯(lián)結(jié)，由于鉸C和虛鉸O1、O2不在同一直線上，所以，此體系為幾何不變體系，且沒有多余約束。

【例1-14】試對(duì)圖1-76所示的體系進(jìn)行幾何組成分析。

【解】在此體系中，剛片AC只有兩個(gè)鉸與其他部分相連，其作用相當(dāng)于一根用虛線表示的鏈桿1。同理，剛片BD也相當(dāng)于一根鏈桿2。于是，剛片CDE與基礎(chǔ)之間用三根鏈桿1、2、3聯(lián)結(jié)這三根鏈桿的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)O。所以，此體系為瞬變體系。

圖1-76 【例1-15】試對(duì)圖1-77所示的體系進(jìn)行幾何組成分析。

【解】因?yàn)樵擉w系只用三根不全交于一點(diǎn)也不全平行的支座鏈桿與基礎(chǔ)相連，故可直接取內(nèi)部體系，如圖1-77b所示，進(jìn)行幾何組成分析。將AB視為剛片，再在其上增加二元體ACE和BDF，組成幾何不變體系，鏈桿CD是添加在幾何不變體系上的約束，故此體系為具有一個(gè)多余約束的幾何不變體系。

圖 1-77 【例1-16】試對(duì)圖1-78所示的體系進(jìn)行幾何組成分析。

圖1-78 【解】桿AB在支座A和大地之間是剛性連接，是幾何不變體系，在B支座又有一鏈桿與大地連接，有一個(gè)多余約束。

結(jié)論：體系是幾何不變的，且有一個(gè)多余約束，此結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)?！纠?-17】試對(duì)圖1-79所示體系進(jìn)行幾何組成分析。

圖1-79

【解】將桿AB和基礎(chǔ)分別當(dāng)作剛片I和剛片Ⅱ。剛片I和剛片Ⅱ用固定鉸支座A和鏈桿①相連，已經(jīng)組成一個(gè)幾何不變體系。現(xiàn)又在此體系添加了三個(gè)鏈桿，故此體系為幾何不變體系具有三個(gè)多余聯(lián)系，此結(jié)構(gòu)為三次超靜定結(jié)構(gòu)。

結(jié)論：體系是幾何不變體系，且有三個(gè)多余約束，此結(jié)構(gòu)為三次超靜定結(jié)構(gòu)。

§4 體系的幾何組成與靜定性的關(guān)系

前面已經(jīng)提到，用來作為結(jié)構(gòu)的桿件體系，必須是幾何不變的，而幾何不變體系又可分為無多余約束的和有多余約束的，后者的約束數(shù)目除滿足幾何不變性要求外尚有多余。因此，結(jié)構(gòu)可分為無多余約束的和有多余約束的兩類。例如圖12—25a所示連續(xù)梁，如果將C、D兩支座鏈桿去掉(圖12—25b)仍能保持其幾何不變性，且此時(shí)無多余約束，所以該連續(xù)梁有兩個(gè)多余約束。又如圖12—26a所示加勁梁（組合梁），若將鏈桿ab去掉(圖12—26b)，則結(jié)構(gòu)成為沒有多余約束的幾何不變體系，故該加勁梁具有一個(gè)多余約束。

圖12—25

圖12—26

對(duì)于無多余約束的結(jié)構(gòu)(例如圖12—27所示簡(jiǎn)支梁)，由靜力學(xué)可知，它的全部反力和內(nèi)力都可由靜力平衡條件(∑X＝0、∑Y＝0、∑M＝0)求得，這類結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu)。

但是，對(duì)于具有多余約束的結(jié)構(gòu)，卻不能由靜力平衡條件求得其全部反力和內(nèi)力。例如圖12—28所示的連續(xù)梁，其支座反力共有五個(gè)，而靜力平衡條件只有三個(gè)，因而僅利用三個(gè)靜力平衡條件無法求得其全部反力，因此也不能求出其全部?jī)?nèi)力，這類結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)?？傊o定結(jié)構(gòu)是沒有多余約束的幾何不變體系，超靜定結(jié)構(gòu)是有多余約束的幾何不變體系。結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)就等于幾何不變體系的多余約束個(gè)數(shù)。

圖12—27

圖12—28 超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)相比，超靜定結(jié)構(gòu)具有以下特性：

（1）在幾何組成方面，超靜定結(jié)構(gòu)與靜定結(jié)構(gòu)一樣，必須是幾何不變的，但是超靜定結(jié)構(gòu)是具有多余聯(lián)系的幾何不變體系，與多余聯(lián)系相應(yīng)的支承反力和內(nèi)力稱為多余反力或多余內(nèi)力。

靜定結(jié)構(gòu)無多余聯(lián)系，即在任一聯(lián)系遭到破壞后，結(jié)構(gòu)就變成幾何可變體系，不能承受荷載。超靜定結(jié)構(gòu)有多余聯(lián)系，在其多余聯(lián)系破壞后，仍能保持其幾何的不變性，并具有一定的承載力?？梢?，超靜定結(jié)構(gòu)是具有一定的抵御突然破壞的防護(hù)能力。

（2）超靜定結(jié)構(gòu)即使不受外荷作用，如發(fā)生溫度變化、支座移動(dòng)、材料收縮或構(gòu)件制造誤差等情況，也會(huì)引起支承反力和構(gòu)件內(nèi)力。

（3）在超靜定結(jié)構(gòu)中各部分的內(nèi)力和支承反力與結(jié)構(gòu)各部分的材料，截面尺寸和形狀都有關(guān)系，而靜定結(jié)構(gòu)的反力或內(nèi)力與材料及截面形狀無關(guān)。

（4）從結(jié)構(gòu)內(nèi)力的分布情況來看，超靜定結(jié)構(gòu)比靜定結(jié)構(gòu)受力均勻，內(nèi)力峰值也相應(yīng)偏小。

工程中應(yīng)根據(jù)具體條件，如施工條件、經(jīng)濟(jì)條件、工程性質(zhì)、工程大小等采用相應(yīng)的結(jié)構(gòu)形式。

§5 平面桿件結(jié)構(gòu)的分類

常用的結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖有以下幾種類別。

（1）梁：梁是一種受彎構(gòu)件，其軸線通常是直線，如圖1-48。

（2）拱：拱的軸線是曲線，其力學(xué)特征是在豎向荷載作用下不僅支座處有豎向反力產(chǎn)生，而且有水平反力產(chǎn)生。拱以受軸向壓力為主，如圖1-49。

圖1-48

圖1-49

（3）剛架：剛架是由梁和柱組成的，其結(jié)點(diǎn)為剛性結(jié)點(diǎn)。剛性結(jié)點(diǎn)的特征在于當(dāng)結(jié)構(gòu)發(fā)生變形時(shí)，相交于該結(jié)點(diǎn)的各桿端之間夾角始終保持不變，如圖1-50。

圖1-50

（4）桁架：桁架是由若干桿件在兩端用理想鉸聯(lián)結(jié)而成的結(jié)構(gòu)，各桿的軸線一般都是 直線，只有受到結(jié)點(diǎn)荷載時(shí)，各桿將只產(chǎn)生軸力，如圖1-51。

圖1-51（5）組合結(jié)構(gòu)：組合結(jié)構(gòu)是部分由桁架中鏈桿，部分由梁或剛架組合而成的，其中含 有混合結(jié)點(diǎn)。因此，有些桿件只承受軸力，而另一些桿件同時(shí)承受彎矩和剪力，如圖1-52。

圖1-52

第二篇：建筑力學(xué)教案

建筑力學(xué)重點(diǎn)內(nèi)容教案

（四）靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)

建筑物中支承荷載、傳遞荷載并起骨架作用的部分叫做結(jié)構(gòu)，例如在房屋建筑中由梁、板、柱、基礎(chǔ)等構(gòu)件組成的體系。前面，我們介紹了單個(gè)桿件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性問題。本章將要介紹結(jié)構(gòu)的幾何組成規(guī)則、結(jié)構(gòu)受力分析的基本知識(shí)、不同結(jié)構(gòu)形式受力特點(diǎn)等問題。

第一節(jié)結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖

實(shí)際結(jié)構(gòu)很復(fù)雜，完全根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算很困難，有時(shí)甚至不可能。工程中常將實(shí)際結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)化，略去不重要的細(xì)節(jié)，抓住基本特點(diǎn)，用一個(gè)簡(jiǎn)化的圖形來代替實(shí)際結(jié)構(gòu)。這種圖形叫做結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖。也就是說，結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖是在結(jié)構(gòu)計(jì)算中用來代替實(shí)際結(jié)構(gòu)的力學(xué)模型。結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖應(yīng)當(dāng)滿足以下的基本要求：

1．基本上反映結(jié)構(gòu)的實(shí)際工作性能； 2．計(jì)算簡(jiǎn)便。

從實(shí)際結(jié)構(gòu)到結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)化，主要包括支座的簡(jiǎn)化、節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)化、構(gòu)件的簡(jiǎn)化和荷載的簡(jiǎn)化。

一、支座的簡(jiǎn)化

一根兩端支承在墻上的鋼筋混凝土梁，受到均布荷載g的作用(圖10—1。)，對(duì)這樣一個(gè)最簡(jiǎn)單的結(jié)構(gòu)，如果要嚴(yán)格按實(shí)際情況去計(jì)算，是很困難的。因?yàn)榱簝啥怂艿降姆戳ρ貕挼姆植记闆r十分復(fù)雜，反力無法確定，內(nèi)力更無法計(jì)算。為了選擇一個(gè)比較符合實(shí)際的計(jì)算簡(jiǎn)圖，先要分析梁的變形情況：因?yàn)榱褐С性诖u墻上，其兩端均不可能產(chǎn)生垂直向下的移動(dòng)，但在梁彎曲變形時(shí)，兩端能夠產(chǎn)生轉(zhuǎn)動(dòng)；整個(gè)梁不可能在水平方向移動(dòng)，但在溫度變化時(shí)，梁端能夠產(chǎn)生熱脹冷縮?？紤]到以上的變形特點(diǎn)，可將梁的支座作如下處理：通常在一端墻寬的中點(diǎn)設(shè)置固定鉸支座，在另一端墻寬的中點(diǎn)設(shè)置可動(dòng)鉸支座，用梁的軸線代替梁，就得到了圖10—16的計(jì)算簡(jiǎn)圖。這個(gè)計(jì)算簡(jiǎn)圖反映了：梁的兩端不可能產(chǎn)生垂直向下移動(dòng)但可轉(zhuǎn)動(dòng)的特點(diǎn)；左端的固定鉸支座限制了梁在水平方向的整體移動(dòng)；右端的可動(dòng)鉸支座允許梁在水平方向的溫度變形。這樣的簡(jiǎn)化既反映了梁的實(shí)際工作性能及變形特點(diǎn)，又便于計(jì)算。這就是所謂的簡(jiǎn)支梁。

假設(shè)某住宅樓的外廊，采用由一端嵌固在墻身內(nèi)的鋼筋混凝土梁支承空心板的結(jié)構(gòu)方案(圖10—20)。由于梁端伸入墻身，并有足夠的錨固長(zhǎng)度，所以梁的左端不可能發(fā)生任何方向的移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)。于是把這種支座簡(jiǎn)化為固定支座，其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖10—26所示，計(jì)算跨度可取梁的懸挑長(zhǎng)加縱墻寬度的一半。

預(yù)制鋼筋混凝土柱插入杯形基礎(chǔ)的做法通常有以下兩種：當(dāng)杯口四周用細(xì)石混凝土填實(shí)、地基較好且基礎(chǔ)較大時(shí)，可簡(jiǎn)化為固定支座(圖10—3a)；在杯口四周填入瀝青麻絲，柱端可發(fā)生微小轉(zhuǎn)動(dòng)，則可簡(jiǎn)化為鉸支座(圖10一36)。當(dāng)?shù)鼗^軟、基礎(chǔ)較小時(shí)，圖口的做法也可簡(jiǎn)化為鉸支座。

支座通?？珊?jiǎn)化為可動(dòng)鉸支座、固定鉸支座、固定支座三種形式。

二、節(jié)點(diǎn)的簡(jiǎn)化 結(jié)構(gòu)中兩個(gè)或兩個(gè)以上的構(gòu)件的連接處叫做節(jié)點(diǎn)。實(shí)際結(jié)構(gòu)中構(gòu)件的連接方式很多，在計(jì)算簡(jiǎn)圖中一般可簡(jiǎn)化為鉸節(jié)點(diǎn)和剛節(jié)點(diǎn)兩種方式。

1．鉸節(jié)點(diǎn)鉸節(jié)點(diǎn)連接的各桿可繞鉸節(jié)點(diǎn)做相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。這種理想的鉸在建筑結(jié)構(gòu)中很難遇到。但象圖10—40中木屋架的端節(jié)點(diǎn)，在外力作用下，兩桿間可發(fā)生微小的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，工程 中將它簡(jiǎn)化為鉸節(jié)點(diǎn)(圖10—46)。

2·剛節(jié)點(diǎn)剛節(jié)點(diǎn)連接的各桿不能繞節(jié)點(diǎn)自由轉(zhuǎn)動(dòng)，在鋼筋混凝土結(jié)構(gòu)中剛節(jié)點(diǎn)容易實(shí)現(xiàn)。圖10—5a是某鋼筋混凝土框架頂層的構(gòu)造，圖中的梁和柱的混凝土為整體澆注，梁和柱的鋼筋為互相搭接。梁和柱在節(jié)點(diǎn)處不可能發(fā)生相對(duì)移動(dòng)和轉(zhuǎn)動(dòng)，因此，可把它簡(jiǎn)化為剛節(jié)點(diǎn)(圖10—56)。

三、構(gòu)件的簡(jiǎn)化

構(gòu)件的截面尺寸通常比長(zhǎng)度小得多。在計(jì)算簡(jiǎn)圖中構(gòu)件用其軸線表示，構(gòu)件之間的連接用節(jié)點(diǎn)表示，構(gòu)件長(zhǎng)度用節(jié)點(diǎn)間的距離表示。

四、荷載的簡(jiǎn)化

在工程實(shí)際中，荷載的作用方式是多種多樣的。在計(jì)算簡(jiǎn)圖上通?？蓪⒑奢d作用在桿軸上，并簡(jiǎn)化為集中荷載和分布荷載兩種作用方式。關(guān)于荷載的分類及簡(jiǎn)化已在第一章中述及。這里不再重復(fù)。

在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，選定了結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖后，在按簡(jiǎn)圖計(jì)算的同時(shí)，還必須采取相應(yīng)韻措施，以保證實(shí)際結(jié)構(gòu)的受力和變形特點(diǎn)與計(jì)算簡(jiǎn)圖相符。因此，在按圖施工時(shí)，必須嚴(yán)格實(shí)現(xiàn)圖紙中規(guī)定的各項(xiàng)要求。施工中如疏忽或隨意修改圖紙；就會(huì)使實(shí)際結(jié)構(gòu)與計(jì)算簡(jiǎn)圖不符，這將導(dǎo)致結(jié)構(gòu)的實(shí)際受力情況與計(jì)算不符，就可能會(huì)出現(xiàn)大的事故。檢查與回顧 1.結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖應(yīng)滿足哪些基本要求？

2.結(jié)構(gòu)計(jì)算簡(jiǎn)圖的簡(jiǎn)化主要包括哪些內(nèi)容？

新授課 第二節(jié)平面結(jié)構(gòu)的幾何組成分析

一、幾何組成分析的概念

建筑結(jié)構(gòu)通常是由若干桿件組成的，但并不是用一些桿件就可隨意地組成建筑結(jié)構(gòu)。例如圖10—6a中的鉸接四邊形，可不費(fèi)多少力就把它變成平行四邊形(圖。一6b)，但這種鉸接四邊形不能承受任何荷載的作用，當(dāng)然不能作為建筑結(jié)構(gòu)使用。如果在鉸接四邊形中加上一根斜桿(圖10—7)，那么在外力作用下其幾何形狀就不會(huì)改變了。

圖10—6 圖110—7

從幾何組成的觀點(diǎn)看，由桿件組成的體系可分為兩類：

1·幾何不變體系 在荷載作用下，不考慮材料的應(yīng)變時(shí)，體系的形狀和位置是不能改變的

2·幾何可變體系在荷載作用下，不考慮材料的應(yīng)變時(shí)，體系的形狀和位置是可以改變的(圖10—6a)。

對(duì)結(jié)構(gòu)的幾何組成進(jìn)行分析，以判定體系是幾何不變體系還是幾何可變體系，叫做幾何組成分析。

顯然，建筑結(jié)構(gòu)必須是幾何不變體系。

在體系的幾何分析中，把幾何不變的部分叫做剛片。一根柱可視為一個(gè)剛片；任一肯定的幾何不變體系可視為一個(gè)剛片；整個(gè)地球也可視為一個(gè)剛片。

二、幾何不變體系的組成規(guī)則(一)鉸接三角形規(guī)則

實(shí)踐證明，鉸接三角形是幾何不變體系。如果將圖10—8口鉸接三角形A船中的鉸A拆開：AB桿則可繞曰點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，AB桿上4點(diǎn)的軌跡是弧線①；4C桿則可繞C點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，AC桿上的A點(diǎn)的軌跡是弧線②。這兩個(gè)弧線只有一個(gè)交點(diǎn)，所以A點(diǎn)的位置是唯一的，三角形ABC的位置是不可改變的。這個(gè)幾何不變體系的基本規(guī)則叫做鉸接三角形規(guī)則。

如果在鉸接三角形中再增加一根鏈桿仰(圖10—86)，體系A(chǔ)BCD仍然是幾何不變的，從維持體系幾何不變的角度看，AD桿是多余的，因而把它叫做多余約束。所以ABCD體系是有多余約束的幾何不變體系，而鉸接三角形ABC是沒有多余約束的幾何不變體系。

②

鉸接三角形規(guī)則的幾種表達(dá)方式

1·二元體規(guī)則在鉸接三角形中，將一根桿視為剛片，則鉸接三角形就變成一個(gè)剛片上用兩根不共線的鏈桿在一端鉸接成一個(gè)節(jié)點(diǎn)，這種結(jié)構(gòu)叫做二元體結(jié)構(gòu)(圖10—9)。于是鉸接三角形規(guī)則可表達(dá)為二元體規(guī)則：一個(gè)點(diǎn)與一個(gè)剛片用兩根不共線的鏈桿相連，可組成幾何不變體系。且無多余約束。

2·兩剛片規(guī)則若將鉸接三角形中的桿AB和桿日C均視為剛片，桿AC視為兩剛片間的約束(圖10—10)，于是鉸接三角形規(guī)則可表達(dá)為兩剛片規(guī)則：兩剛片間用一個(gè)鉸和一根不通過此鉸的鏈桿相連，可組成幾何不變體系，且無多余約束。圖10一ll a表示兩剛片用兩根不平行的鏈桿相連，兩鏈桿的延長(zhǎng)線相交于A點(diǎn)，兩剛片可繞

圖 10一10 圖 10—11 A點(diǎn)做微小的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)。這種連接方式相當(dāng)于在A點(diǎn)有一個(gè)鉸把兩剛片相連。當(dāng)然，實(shí)際上在A點(diǎn)沒有鉸，所以把A點(diǎn)叫做“虛鉸”。為了阻止兩剛片間的相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)，只需增加一根鏈桿(圖10—11 b)。因此，兩剛片規(guī)則還可以這樣表達(dá)：兩剛片間用三根不全平行也不全相交于一點(diǎn)的三根鏈桿相連，可組成幾何不變體系，且無多余約束。

3．三剛片規(guī)則若將鉸接三角形中的三根桿均視為剛片(圖10—12)，則有三剛片規(guī)則：三剛片用不在同一直線上的三個(gè)鉸兩兩相連，可組成幾何不變體系。且無多余約束。

總結(jié)

作業(yè)：P238 10-

1、10-2 檢查與回顧 鉸結(jié)三角形的表達(dá)形式 新授課

三、超靜定結(jié)構(gòu)的概念

簡(jiǎn)支梁通過鉸A和鏈桿B與地球相連(圖10—13a)，是幾何不變體系，且無多余約束。這種沒有多余約束的幾何不變體系叫做靜定結(jié)構(gòu)。靜定結(jié)構(gòu)的反力和內(nèi)力可通過靜力平衡方程求得。如果在簡(jiǎn)支梁中增加一個(gè)鏈桿(圖10—13b)，它仍然是幾何不變體系，但有一個(gè)多余約束。有多余約束的幾何不變體系叫做超靜定結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)的支座反力和內(nèi)力不能由靜力平衡方程式全部求得。例如圖10—13b中的梁，在荷載和支座反力的作用下，構(gòu)成一個(gè)平面一般力系，可列出三個(gè)獨(dú)立的平衡方程，而未知的支座反力有四個(gè)，三個(gè)方程只能解算三個(gè)未知量，所以不能求出全部的反力，因而內(nèi)力也無法確定。超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算，除了運(yùn)用靜力平衡條件外，還要利用變形條件，這里不予介紹。．

四、幾何組成分析的實(shí)例

幾何不變體系的組成規(guī)則，是進(jìn)行幾何組成分析的依據(jù)。對(duì)體系重復(fù)使用這些規(guī)則，就可判定體系是否是幾何不變體系及有無多余約束等問題。運(yùn)用規(guī)則對(duì)體系分析時(shí)，可先在體系中找到一個(gè)簡(jiǎn)單的幾何不變部分，如剛片或鉸接三角形，然后按規(guī)則逐步組裝擴(kuò)大，最后遍及全體系；也可在復(fù)雜的體系中，逐步排除那些不影響幾何不變的部分，例如逐步排除二元體，使分析對(duì)象得到簡(jiǎn)化，以便于判別其幾何組成。

例10—1試對(duì)圖10—14中的體系做幾何組成分析。

解鉸接三角形是幾何不變體系(圖中的陰影部分)，在此基礎(chǔ)上不斷增加二元體，最后可遍及整個(gè)桁架。將整個(gè)桁架視為一個(gè)剛片，地球視為另一個(gè)剛片，依據(jù)兩剛片規(guī)則，它們之間用鉸A與不通過鉸A的支座鏈桿B相連，組成了沒有多余約束的幾何不變體系。

結(jié)論體系是幾何不變的，且無多余約束?！?/p>

C

例10一2試分析圖10一15中體系的幾何組成。

解整個(gè)體系可分為左右兩個(gè)部分：左邊的AC可視為剛片，在剛片上增加二元體ADF；右邊的CB可視為剛片，在剛片上增加二元體GEB。左、右兩部分均可視為剛片，它們之間用鉸C和鏈桿DE相連(兩剛片規(guī)則)，形成一個(gè)大剛片。這個(gè)大剛片與地球用鉸A和鏈桿B相連，構(gòu)成一個(gè)沒有多余約束的幾何不變體系。

現(xiàn)在從另一角度進(jìn)行分析：左邊的AD、AC、DF可視為三剛片，它們通過不在同一直線上的三個(gè)鉸A、D、F相連，組成了一個(gè)幾何不變體系；右邊的CB、BE、GE可視為三剛片，它們通過不在同一直線上的三個(gè)鉸G、E、B、相連，也組成了一個(gè)幾何不變體系。左、右兩部分用鉸C和鏈桿冊(cè)相連，組成了一個(gè)沒有多余約束的幾何不變體系，然后再與地球相連。

結(jié)論體系是幾何不變的，且無多余約束。

例10—3試分析圖10—16中體系的幾何組成。

解圖10—16中的桿AB可視為剛片工，桿BC可視為剛片II，地球?yàn)閯偲琁II。三剛片通過鉸A、B、C兩兩相連，但這三個(gè)鉸在同一直線上，不符合三剛片規(guī)則。現(xiàn)在分析在這種情況下會(huì)出現(xiàn)的問題。

B點(diǎn)是桿AB及BC的公共點(diǎn)。對(duì)AB桿而言，B點(diǎn)可沿以AB為半徑的圓弧線①運(yùn)動(dòng)；對(duì)嬲桿而言，B點(diǎn)可沿以BC為半徑的圓弧線②運(yùn)動(dòng)。由于A、曰、C三點(diǎn)共線，兩個(gè)圓弧在B點(diǎn)有公切線。所以，在圖示的瞬時(shí)，B點(diǎn)可沿公切線做微小的運(yùn)動(dòng)，即體系在這一瞬時(shí)是幾何可變的。但是，B點(diǎn)經(jīng)過微小的位移后，A、B、C三點(diǎn)就不再共線，B點(diǎn)的位移不能再繼續(xù)增大。這種本來是幾何可變的體系，經(jīng)過微小的位移后又成為幾何不變的體系，叫做瞬變體系。瞬變體系不能作為結(jié)構(gòu)使用，任何接近于瞬變體系的構(gòu)造，在實(shí)際建筑結(jié)構(gòu)中也不允許出現(xiàn)。圖10—17中，A、B、C三鉸雖不共線，但在e角很小時(shí)，鏈桿的軸力將很大；當(dāng)日角趨近于零時(shí)，體系趨近瞬變狀態(tài)，鏈桿的軸力將趨于無窮大。

結(jié)論體系是瞬變體系，不能作為結(jié)構(gòu)使用。

例10-4試對(duì)圖中的體系作幾何組成分析。

解 曲桿AC、CB和直桿通過不在同一直線上的三個(gè)鉸A、B、C兩兩相連，組成了幾何不變體系且沒有多余約束。體系的兩端通過鉸A、B與基礎(chǔ)相連，顯然多了一個(gè)約束。

分析：曲桿AC、CB和地基可視為三剛片，它們通過不在同一直線上的鉸A、C相連，組成了幾何不變體系，因此，鏈桿衄可視為多余約束。結(jié)論體系是幾何不變的，且有一個(gè)多余約束。

建筑結(jié)構(gòu)可分為平面結(jié)構(gòu)和空間結(jié)構(gòu)。如果組成結(jié)構(gòu)的所有桿件的軸線菇在同一個(gè)平而Ⅱ?yàn)槠矫娼Y(jié)構(gòu)，否則，便是空間結(jié)構(gòu)。嚴(yán)格說來，實(shí)際建筑結(jié)構(gòu) ‘多場(chǎng)合下，根據(jù)結(jié)構(gòu)的組成特點(diǎn)及荷載的傳遞途徑，在實(shí)際許可的進(jìn)五磊主 內(nèi)，把它們分解為若干個(gè)獨(dú)立的平面結(jié)構(gòu)，可簡(jiǎn)化計(jì)算。

從結(jié)構(gòu)的幾何組成角度看，結(jié)構(gòu)又可分為靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)。

第三篇：建筑力學(xué)教案

第十章 靜定結(jié)構(gòu)和超靜定結(jié)構(gòu)

第二節(jié)平面結(jié)構(gòu)的幾何組成分析

教學(xué)要求：1.理解幾何組成分析中的名詞含義；

2.掌握平面幾何不變體系的組成規(guī)則；

3.會(huì)對(duì)常見平面體系進(jìn)行幾何組成分析。重 點(diǎn)：掌握平面幾何不變體系的組成規(guī)則。難 點(diǎn)：對(duì)平面體系進(jìn)行幾何組成分析。授課方式：課堂講解和練習(xí)教學(xué)內(nèi)容：平面結(jié)構(gòu)的幾何組成分析

一、概念

體系：若干個(gè)桿件相互聯(lián)結(jié)而組成的構(gòu)造。

1、幾何不變體系：在任何荷載作用下，若不計(jì)桿件的變形，其幾何形狀與位置均保持不變的體系。

2.幾何可變體系：即使不考慮材料的變形，在很小的荷載作用下，會(huì)引起很大的形狀或位置的改變的體系。

3、剛片：幾何形狀不能變化的平面物體。

二、幾何不變體系的組成規(guī)則

1.鉸接三角形規(guī)則:三個(gè)剛片用不共線的三個(gè)單較兩兩相聯(lián),組成的體系為幾何不變。

此體系由三個(gè)剛片用不共線的三個(gè)單鉸A、B、C兩兩鉸聯(lián)組

成的，為幾何不變。（1）二元體規(guī)則: 二元體:兩根不共線的鏈桿聯(lián)結(jié)一個(gè)新結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造。在一個(gè)剛片上增加或減少一個(gè)二元體,仍為幾何不變體系。

為沒有多余約束的幾何不變體系 結(jié)論：在一個(gè)體系上增加或拆除二元體，不會(huì)改變?cè)w系的幾何構(gòu)造性質(zhì)。（2）兩剛片規(guī)則: 兩個(gè)剛片用一個(gè)鉸和一根不通過此鉸的鏈桿相聯(lián),為幾何不變體系。

虛鉸：

O為相對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)中心。起的作用相當(dāng)一個(gè)單鉸，稱為虛鉸。

或者

兩個(gè)剛片用三根不完全平行也不交于同一點(diǎn)的鏈桿相聯(lián)，為幾何不變體系。

例如：

基礎(chǔ)為剛片Ⅰ，桿BCE為剛片Ⅱ，用鏈桿AB、EF、CD 相聯(lián)，為幾何不變體系。

三、課后練習(xí)：

建筑力學(xué)公開課教案

系

部：綜合二祖

內(nèi)

容：平面結(jié)構(gòu)的幾何組成分析

班

級(jí)：高一建筑一班

教

師：陳

燕

第四篇：建筑力學(xué)教案

第一章

緒論

§1—1 建筑力學(xué)的任務(wù)和內(nèi)容

一．結(jié)構(gòu)

由建筑材料按合理方式組成并能承受一定載荷作用的物體或物體系?；蜓越ㄖ镏谐惺芎奢d而起骨架作用的部分。Ex 梁、柱、基礎(chǔ)，以及由這些構(gòu)件單元組成的結(jié)構(gòu)體系都稱為結(jié)構(gòu)。圖示：?jiǎn)螌訌S房結(jié)構(gòu)。構(gòu)件：組成結(jié)構(gòu)的各獨(dú)立單元。二．結(jié)構(gòu)的分類（按幾何特征）

⑴ 桿系結(jié)構(gòu)：組成桿系結(jié)構(gòu)的構(gòu)件是桿件。桿件的幾何特征：長(zhǎng)度運(yùn)大于橫截面寬度和高度。Ex 直桿、曲桿、折桿。此外 桿件又可分為等截面桿和變截面桿。⑵ 板殼結(jié)構(gòu)（薄壁結(jié)構(gòu)）：組成薄壁結(jié)構(gòu)的構(gòu)件是薄板或薄殼。薄板或薄殼的幾何特征：其厚度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于寬度和高度。

⑶ 實(shí)體結(jié)構(gòu) ：其三個(gè)方向的尺寸相當(dāng)。

三、建筑力學(xué)的基本任務(wù)

建筑力學(xué)的基本任務(wù)是研究結(jié)構(gòu)的幾何組成規(guī)律，以及在荷載作用下結(jié)構(gòu)和構(gòu)件的強(qiáng)度、剛度和穩(wěn)定性的計(jì)算方法和計(jì)算原理。其目的是保證所設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)和構(gòu)件能正常工作，并充分發(fā)揮材料的力學(xué)性能，使設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)既安全可靠又經(jīng)濟(jì)合理。

說明：⑴ 幾何組成： 是指結(jié)構(gòu)必須按一定規(guī)律由構(gòu)件連接組成，以確保結(jié)構(gòu)在荷載作用下能夠維持其幾何形狀和相對(duì)位置不變。保證結(jié)構(gòu)能夠承受荷載并維持平衡。

⑵ 強(qiáng)度：指結(jié)構(gòu)和構(gòu)件抵抗破壞的能力。即保證結(jié)構(gòu)和構(gòu)件正常工作不發(fā)生斷裂。

⑶ 剛度：指結(jié)構(gòu)和構(gòu)件抵抗變形的能力。即保證結(jié)構(gòu)和構(gòu)件在使用過程中不致產(chǎn)生實(shí)用上不允許的過大變形。

⑷ 穩(wěn)定性：指承壓結(jié)構(gòu)和構(gòu)件抵抗失穩(wěn)的能力。即保證結(jié)構(gòu)和構(gòu)件在使用過程中始終保持其原來的直線平衡形式，不發(fā)生因彎曲變形而喪失承載能力導(dǎo)致破壞的現(xiàn)象。

四、建筑力學(xué)的內(nèi)容

1． 靜力學(xué)基礎(chǔ)及靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算 包括：⑴ 物體的受力分析。

⑵ 力系的簡(jiǎn)化及平衡方程。⑶ 結(jié)構(gòu)的幾何組成規(guī)律。⑷ 靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算。

由于這些問題均與變形無關(guān)，故此部分內(nèi)容中的結(jié)構(gòu)和構(gòu)件均可視為剛體。即以剛體為研究對(duì)象。2． 強(qiáng)度問題

研究結(jié)構(gòu)和構(gòu)件在各種基本變形形式下內(nèi)力的計(jì)算原理和方法，以保證結(jié)構(gòu)和構(gòu)件滿足強(qiáng)度要求。3． 剛度問題

研究靜定結(jié)構(gòu)和構(gòu)件在荷載作用下變形和位移的計(jì)算原理和計(jì)算方法。以保證結(jié)構(gòu)和構(gòu)件滿足剛度要求。同時(shí)也為超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算奠定基礎(chǔ)。4． 超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力計(jì)算

介紹力法、位移法求解超靜定問題以及力矩分配法求解連續(xù)梁及無側(cè)移剛架的內(nèi)力。以確保超靜定結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度和剛度滿足要求。5． 穩(wěn)定性問題

僅討論不同支撐條件下中心受壓直桿的穩(wěn)定性問題。

在2—5的各部分內(nèi)容中，變形因素在所研究的問題中起主要作用，所以，研究這些問題時(shí)，結(jié)構(gòu)和構(gòu)件均視為理想變形固體，即以理想變形固體為研究對(duì)象。

§1—2 剛體、變形固體及其基本假設(shè)

建筑力學(xué)中通常將物體抽象為兩種力學(xué)模型：剛體模型和理想變形固體模型。

⑴剛體：在力的作用下不變形的物體。是研究物體在特定問題狀態(tài)下一種理想化的力學(xué)模型。⑵ 理想變形固體：

（a）變形：在荷載作用下物體的形狀和尺寸的改變稱作變形。變形包括：彈性變形和塑性變形。彈性變形：撤去荷載可消失的變形。

塑性變形：撤去荷載后殘留下來而無法消失的變形。

（b）變形固體：荷載作用下產(chǎn)生變形的物體稱變形固體。

（c）理想變形固體：為研究問題的方便，將滿足下面三個(gè)假設(shè)條件的變形固體稱理想變形固體。是一種理想化的力學(xué)模型。

① 連續(xù)性假設(shè)：組成物體的材料是密實(shí)的，其內(nèi)部物質(zhì)連續(xù)分布無任何空隙。

② 均勻性假設(shè)：組成物體的材料的力學(xué)性質(zhì)是均勻的，其任何一部分材料的力學(xué)性質(zhì)均相同。③ 各向同性假設(shè)：組成物體的材料各個(gè)方向的力學(xué)性質(zhì)均相同。若各個(gè)方向力學(xué)性質(zhì)不相同則為各向異性材料。Ex 木材、竹子等。

§1—3 桿件變形的基本形式

桿件據(jù)其所受荷載方式的不同，其變形有所不同，盡管變形形式復(fù)雜多樣但總括起來可歸結(jié)為四種基本變形形式之一，或是基本變形形式的組合。⑴ 軸向拉伸與壓縮

桿件在軸線方向的荷載作用下產(chǎn)生的伸長(zhǎng)或縮短的變形即為拉壓變形。這種變形形式稱軸向拉伸與壓縮。⑵ 剪切

桿件承受一對(duì)相距很近，作用線垂直于桿件軸線且方向相反的平行荷載的作用，桿件的變形為橫截面沿荷載作用方向發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，此種變形形式稱剪切變形。⑶ 扭轉(zhuǎn)

桿件在一對(duì)作用于桿件橫截面且方向相反的力偶作用下，產(chǎn)生的相鄰橫截面繞軸線轉(zhuǎn)動(dòng)的變形稱扭轉(zhuǎn)變形。⑷ 彎曲

桿件在一對(duì)方向相反的作用于桿件縱向平面內(nèi)的力偶作用下產(chǎn)生的軸線由直線變?yōu)榍€的變形成為彎曲變形。

§1—4 荷載的分類

一．荷載的概念

作用在結(jié)構(gòu)上的外力稱荷載。Ex 結(jié)構(gòu)自重、水壓力、土壓力、風(fēng)壓力、雪壓力以及設(shè)備重量等。此外還有一些其它因素如：溫度變化、基礎(chǔ)沉陷、制造誤差等，廣義上說這些因素都可以稱作荷載。

確定結(jié)構(gòu)所受荷載，需根據(jù)實(shí)際結(jié)構(gòu)受力狀況，既不能將荷載估計(jì)過大造成浪費(fèi)，也不能將荷載估計(jì)過小造成設(shè)計(jì)的結(jié)構(gòu)不夠安全。二．荷載的分類

⑴ 根據(jù)荷載的分布情況分

分布荷載：作用于體積、面積和線段上的體荷載、面荷載和線荷載統(tǒng)稱為分布荷載。

重力屬于體荷載，風(fēng)、雪屬于面荷載。由于本教材僅研究平面桿系結(jié)構(gòu)，故通常將體荷載、面荷載簡(jiǎn)化成沿桿件軸線分布的線荷載。

集中荷載：作用于結(jié)構(gòu)上一點(diǎn)的荷載。Ex 吊車輪壓。⑵ 按荷載作用時(shí)間久暫分

恒荷載：長(zhǎng)期作用于結(jié)構(gòu)上不變的荷載。Ex 結(jié)構(gòu)的自重、固定設(shè)備等?；詈奢d：暫時(shí)作用于結(jié)構(gòu)的短期荷載。Ex 風(fēng)、雪等荷載。⑶ 按荷載作用性質(zhì)分

靜力荷載：荷載的大小、方向、作用位置不隨時(shí)間變化，或雖有變化，變化極緩不致引起結(jié)構(gòu)產(chǎn)生加速度而具有慣性力的作用。

動(dòng)力荷載：荷載的大小、方向、作用位置隨時(shí)間變化，由此引起結(jié)構(gòu)的質(zhì)量產(chǎn)生加速度而具有慣性力的作用。Ex 結(jié)構(gòu)上轉(zhuǎn)動(dòng)的偏心電機(jī)、地震荷載等。由此引起的結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和位移都隨時(shí)間變化，稱之為動(dòng)內(nèi)力和動(dòng)位移，統(tǒng)稱為動(dòng)力反應(yīng)。

第五篇：第2章平面體系的幾何組成分析小結(jié)

第二章平面體系的幾何組成分析

一、名詞解釋 1．幾何不變體系

在不考慮材料應(yīng)變的條件下，在任意荷載作用下，幾何形狀和位置保持不變的體系稱為幾何不變體系。

體系的幾何不變性應(yīng)當(dāng)滿足：具有足夠的、布置合理的約束(聯(lián)系)。2．幾何可變體系

在不考慮材料應(yīng)變的條件下，在任意荷載作用下，不能保持原有幾何形狀和位置的體系稱為幾何可變體系。

幾何可變體系包括幾何常變體系和幾何瞬變體系。幾何常變體系是指缺少約束或約束布置不合理，體系沒有確定的幾何形狀和空間位置，可發(fā)生持續(xù)的剛體位移。幾何瞬變體系是指具有足夠數(shù)量的約束，但是約束布置不合理，在發(fā)生微小位移后，即成為幾何不變體系。瞬變體系在很小荷載作用下，也會(huì)產(chǎn)生很大的內(nèi)力。3．剛片

在平面體系中，不考慮材料應(yīng)變的幾何不變部分稱為剛片。如一根梁、一根鏈桿、一個(gè)鉸結(jié)三角形等。4．自由度

自由度是指物體或體系運(yùn)動(dòng)時(shí)可以獨(dú)立變化的幾何參數(shù)的數(shù)目。即確定物體或體系位置所需的獨(dú)立坐標(biāo)數(shù)。平面上的一個(gè)點(diǎn)有兩個(gè)自由度，平面上的一個(gè)剛片有三個(gè)自由度。5．約束(聯(lián)系)用于限制體系運(yùn)動(dòng)的裝置稱為約束(或聯(lián)系)。(1)等效鏈桿的概念

鏈桿為兩端為鉸的剛性直桿或曲桿。只用兩個(gè)鉸與外界相連的剛片稱為等效鏈桿。等效鏈桿的作用與鏈桿相同。

(2)單約束和復(fù)約束 連接兩個(gè)剛片的鉸稱為單鉸，一個(gè)單鉸相當(dāng)于兩個(gè)約束。連接兩個(gè)以上剛片的鉸稱為復(fù)鉸，連接n個(gè)剛片的復(fù)鉸相當(dāng)于n—1個(gè)單鉸；連接兩個(gè)剛片的剛結(jié)點(diǎn)稱為單剛結(jié)點(diǎn)，一個(gè)單剛節(jié)點(diǎn)相當(dāng)于三個(gè)約束。連接兩個(gè)以上剛片的剛結(jié)點(diǎn)稱為復(fù)剛結(jié)點(diǎn)，連接n個(gè)剛片的復(fù)剛結(jié)點(diǎn)相當(dāng)于n—1個(gè)單剛結(jié)點(diǎn)。

(3)虛鉸(瞬鉸)虛鉸也稱為瞬鉸，它是連接兩個(gè)剛片的兩鏈桿延長(zhǎng)線的交點(diǎn)，與單鉸具有相同的約束作用。

(4)必要約束和多余約束

能夠起到影響體系實(shí)際自由度數(shù)目的約束為必要約束。必要約束具有布置合理的特點(diǎn)，用以組成幾何不變體系的最少約束都是必要約束。

不改變體系實(shí)際自由度的約束稱為多余約束。6．體系的計(jì)算自由度

用計(jì)算自由度公式方法求得的體系自由度，稱為計(jì)算自由度W。計(jì)算自由度W不一定能夠反映體系的實(shí)際自由度。只有當(dāng)體系上無多余 約束時(shí)，計(jì)算自由度與實(shí)際自由度才一致。計(jì)算自由度W可按以下兩種方法進(jìn)行計(jì)算：(1)剛片法

剛片法是以剛片作為體系的組成單元，形成平面剛片體系。其計(jì)算公式為：

W?3g?(3m?2h?b)

式中 m—?jiǎng)偲瑪?shù)； g—單剛點(diǎn)數(shù)； h—單鉸數(shù)； b—支桿數(shù)。(2)鉸結(jié)點(diǎn)法

鉸結(jié)點(diǎn)法是以鉸結(jié)點(diǎn)作為體系的組成單元，用于平面鉸結(jié)鏈桿體系。其計(jì)算公式為：

W?2j?b

式中 j—結(jié)點(diǎn)數(shù)；b—鏈桿和支桿總數(shù)。

計(jì)算自由度w、體系的機(jī)動(dòng)性和實(shí)際自由度S三者之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：

①當(dāng)W=0：若具有足夠的必要約束，無多余約束，則為幾何不變(靜定結(jié)構(gòu))，S=0；若缺少足夠的必要約束，有多余約束，則為幾何可變，S>O。

②當(dāng)W<0：若具有足夠的必要約束，有多余約束，為幾何不變(超靜定結(jié)構(gòu))，S=0 ；若缺少足夠的必要約束，有多余約束，為幾何可變，S>O。

③當(dāng)W>0：體系缺少足夠的必要約束，為幾何可變，S>O。

二、幾何不變體系的組成規(guī)則 1．二元體規(guī)則

一個(gè)剛片與一個(gè)點(diǎn)用兩根不在同一直線上的鏈桿相連，組成無多余約束的幾何不變體系。

二元體規(guī)則還可簡(jiǎn)述為：在一個(gè)剛片上增加一個(gè)二元體，仍為幾何不變體系。二元體是指用兩根不在一條直線上的鏈桿連接一個(gè)新結(jié)點(diǎn)的構(gòu)造。2．兩剛片規(guī)則

兩個(gè)剛片之間用不交于一點(diǎn)也不相互平行的三根鏈桿相連或用一個(gè)鉸和不通過該鉸的鏈桿相連，組成無多余約束的幾何不變體系。3．三剛片規(guī)則

三個(gè)剛片之間用不在同一直線上的三個(gè)鉸(實(shí)鉸或虛鉸)兩兩相連，組成無多余約束的幾何不變體系。

在幾何不變體系的三條組成規(guī)則中，提出了三個(gè)限制條件：(1)連接三個(gè)剛片的三個(gè)鉸不在一條直線上；(2)連接兩個(gè)剛片的三根鏈桿不交于一點(diǎn)也不相互平行；(3)組成兩元體的兩鏈桿不在一條直線上。否則，為幾何可變體系(瞬變體系)。

三、平面體系的幾何組成與靜力特征之間的關(guān)系

1．平面體系的分類

2．相互關(guān)系(1)靜定結(jié)構(gòu)

無多余約束的幾何不變體系為靜定結(jié)構(gòu)，用靜力平衡條件可求得全部反力和內(nèi)力的確定值。(2)超靜定結(jié)構(gòu)

有多余約束的幾何不變體系為超靜定結(jié)構(gòu)，即是除了必要約束之外，還有多余約束，用靜力平衡條件不能求得全部反力和內(nèi)力的確定值。(3)幾何可變體系

包括幾何常變體系和瞬變體系。幾何常變體系缺少約束或約束布置不合理，一般無靜力 學(xué)解答，在特殊情況下，在力作用下，能保持平衡；瞬變體系的反力和內(nèi)力為無限大或?yàn)椴欢ㄖ怠?/p>

幾何可變體系不能用做結(jié)構(gòu)。

四、解題方法 1．一般方法(1)直接按幾何組成分析的三條規(guī)則分析體系，得出結(jié)論。

(2)先求出計(jì)算自由度W，若W>0，則體系為幾何可變；若W≤0，應(yīng)進(jìn)一步對(duì)體系進(jìn)行

幾何組成分析，此時(shí)W≤0是幾何不變體系的必要條件。2．靈活地選擇基本剛片

剛片可大可小，可以是一根桿、大地或一個(gè)三角形，也可以是體系中具有幾何不變的部分。小剛片通過幾何不變體系的組成規(guī)則，形成新的大剛片?；緞偲倪x取應(yīng)考慮到剛片之間的連接方式和幾何不變體系的形成規(guī)則，當(dāng)一種分析途徑不能得到結(jié)果時(shí)，需重新選擇剛片。幾何組成分析的關(guān)鍵問題在于是否恰當(dāng)?shù)剡x擇了基本剛片。3．從幾何不變單元開始

對(duì)體系進(jìn)行幾何組成分析時(shí)，首先找出一個(gè)或幾個(gè)幾何不變的單元，再逐步組裝擴(kuò)大成整體：

(1)從地基開始。先從地基開始組成一個(gè)(或幾個(gè))幾何不變單元，再按組成規(guī)則組成整 體。當(dāng)體系與地基之間的約束多于三個(gè)，多從地基出發(fā)進(jìn)行組裝。

(2)從內(nèi)部開始。先從體系內(nèi)部的一個(gè)(或幾個(gè))幾何不變單元開始，將它們看作基本剛 片，再利用組成規(guī)則組成整體。4．進(jìn)行簡(jiǎn)化

(1)利用二元體進(jìn)行簡(jiǎn)化。由于增加或拆除二元體對(duì)體系的機(jī)動(dòng)性沒有影響，因此，對(duì)易于觀察出的幾何不變部分可通過增加二元體擴(kuò)大為組合剛片，或拆除二元體，簡(jiǎn)化體系的組成。(2)先不考慮上部體系與大地之間的連接。當(dāng)體系與基礎(chǔ)之間以三根支桿相連，且三根支 桿不交于一點(diǎn)也不相互平行，可先拆去這些支桿，只需分析上部體系的機(jī)動(dòng)性即可。5．等效變換

對(duì)于不能直接利用規(guī)則進(jìn)行分析的體系，可先作等效變換，即把體系中某個(gè)內(nèi)部無多余約束的幾何不變部分用另一個(gè)無多余約束的幾何不變部分替換，并按原狀況保持與其余部分的聯(lián)系，然后再作分析。復(fù)雜形狀(曲線或折線形)的兩端為鉸的剛片可等效成直鏈桿；連接兩剛片的兩根鏈桿可用其交點(diǎn)處的瞬鉸來代替。6．兩點(diǎn)說明

(1)不是所有體系都可以用幾何不變體系的組成規(guī)則來分析和判斷，幾何不變體系的組成 規(guī)則一般用于分析常見的體系。當(dāng)體系不能用基本組成規(guī)則分析時(shí)，可采用其他分析方法如 零載法等。

(2)作幾何組成分析時(shí)，體系中的每一部分或每一約束都不可遺漏或重復(fù)使用。