第一篇：小學(xué)數(shù)學(xué)解題的19種方法總結(jié)

小學(xué)數(shù)學(xué)解題的19種方法總結(jié)

一、形象思維方法

形象思維方法是指人們用形象思維來認識、解決問題的方法。它的思維基礎(chǔ)是具體形象，并從具體形象展開來的思維過程。形象思維的主要手段是實物、圖形、表格和典型等形象材料。它的認識特點是以個別表現(xiàn)一般，始終保留著對事物的直觀性。它的思維過程表現(xiàn)為表象、類比、聯(lián)想、想象。它的思維品質(zhì)表現(xiàn)為對直觀材料進行積極想象，對表象進行加工、提煉進而提示出本質(zhì)、規(guī)律，或求出對象。它的思維目標是解決實際問題，并且在解決問題當(dāng)中提高自身的思維能力。

1、實物演示法

利用身邊的實物來演示數(shù)學(xué)題目的條件和問題，及條件與條件，條件與問題之間的關(guān)系，在此基礎(chǔ)上進行分析思考、尋求解決問題的方法。這種方法可以使數(shù)學(xué)內(nèi)容形象化，數(shù)量關(guān)系具體化。比如：數(shù)學(xué)中的相遇問題。通過實物演示不僅能夠解決“同時、相向而行、相遇”等術(shù)語，而且為學(xué)生指明了思維方向。再如，在一個圓形（方形）水塘周圍栽樹問題，如果能進行一個實際操作，效果要好得多。

二年級數(shù)學(xué)教材中，“三個小朋友見面握手，每兩人握一次，共要握幾次手”與“用三張不同的數(shù)字卡片擺成兩位數(shù)，共可以擺成多少個兩位數(shù)”。像這樣的有關(guān)排列、組合的知識，在小學(xué)教學(xué)中，如果實物演示的方法，是很難達到預(yù)期的教學(xué)目標的。

特別是一些數(shù)學(xué)概念，如果沒有實物演示，小學(xué)生就不能真正掌握。長方形的面積、長方體的認識、圓柱的體積等的學(xué)習(xí)，都依賴于實物演示作思維的基礎(chǔ)。

所以，小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)盡可能多地制作一些數(shù)學(xué)教（學(xué)）具，而且這些教（學(xué)）具用過后要好好保存，可以重復(fù)使用。這樣可以有效地提高課堂教學(xué)效率，提升學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。

2、圖示法

借助直觀圖形來確定思考方向，尋找思路，求得解決問題的方法。圖示法直觀可靠，便于分析數(shù)形關(guān)系，不受邏輯推導(dǎo)限制，思路靈活開闊，但圖示依賴于人們對表象加工整理的可靠性上，一旦圖示與實際情況不相符，易使在此基礎(chǔ)上的聯(lián)想、想象出現(xiàn)謬誤或走入誤區(qū)，最后導(dǎo)致錯誤的結(jié)果。比如有的數(shù)學(xué)教師愛徒手畫數(shù)學(xué)圖形，難免造成不準確，使學(xué)生產(chǎn)生誤解。

在課堂教學(xué)當(dāng)中，要多用圖示的方法來解決問題。有的題目，圖畫出來了，結(jié)果也就出來的；有的題，圖畫好了，題意學(xué)生也就明白了；有的題，畫圖則可以幫助分析題意、啟迪思路，作為其他解法的輔助手段。

例1把一根木頭鋸成3段需要24分鐘，鋸成6段需要多少分鐘？（圖略）

思維方法是：圖示法。

思維方向是：鋸幾次，每次用幾分鐘。

思路是：鋸3段鋸了幾次，每次用幾分鐘，鋸6段鋸了幾次，需要多少分鐘。

例2判斷等腰三角形中，點D是底邊BC的中點，圖甲的面積比圖乙的面積大，圖甲的周長比圖乙的周長長。（圖略）

思維方法：圖示法。

思維方向：先比較面積，再比較周長。

思路：作條輔助線。圖甲占的面積大，圖乙所占面積小，所以“圖甲的面積比圖乙的面積大”是正確的。線段AD比曲線AD短，所以“圖甲的周長比圖乙的周長長”是錯誤的。

3、列表法

運用列出表格來分析思考、尋找思路、求解問題的方法叫做列表法。列表法清晰明了，便于分析比較、提示規(guī)律，也有利于記憶。它的局限性在于求解范圍小，適用題型狹窄，大多跟尋找規(guī)律或顯示規(guī)律有關(guān)。比如，正、反比例的內(nèi)容，整理數(shù)據(jù)，乘法口訣，數(shù)位順序等內(nèi)容的教學(xué)大都采用“列表法”。

用列表法解決傳統(tǒng)數(shù)學(xué)問題：雞兔同籠問題。制作三個表格：第一張表格是逐一舉例法，根據(jù)雞與兔共20只的條件，假設(shè)雞只有1只，那么兔就有19只，腿共有78條……這樣逐一列舉，直至尋找到所求的答案；第二張表格是列舉了幾個以后發(fā)現(xiàn)了只數(shù)與腿數(shù)的規(guī)律，從而減少了列舉的次數(shù)；第三張表格是從中間開始列舉，由于雞與兔共20只，所以各取10只，接著根據(jù)實際的數(shù)據(jù)情況確定列舉的方向。

4、探索法

按照一定方向，通過嘗試來摸索規(guī)律、探求解決問題思路的方法叫做探究法。我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚說過，在數(shù)學(xué)里，“難處不在于有了公式去證明，而在于沒有公式之前，怎樣去找出公式來?！碧K霍姆林斯基說過：在人的心靈深處，都有一種根深蒂固的需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，而在兒童的精神世界中，這種需要特別強烈?！皩W(xué)習(xí)要以探究為核心”，是新課程的基本理念之一。人們在難以把問題轉(zhuǎn)化為簡單的、基本的、熟悉的、典型的問題時，常常采取的一種好方法就是探究、嘗試。

第一、探究方向要準確，興趣要高漲，切忌胡亂嘗試或形式主義的探究。例如，教學(xué)“比例尺”時，教師創(chuàng)設(shè)“學(xué)生出題考老師”的教學(xué)情境，師：“現(xiàn)在我們考試好不好？”學(xué)生一聽：很奇怪，正當(dāng)學(xué)生疑惑之時，教師說：“今天改變過去的考試方法，由你們出題考老師，愿意嗎？”學(xué)生聽后很感興趣。教師說：“這里有一幅地圖，你們用直尺任意量出兩地的距離，我都能很快地告訴你們這兩地之間的實際距離，相信嗎？”于是學(xué)生紛紛上臺度量、報數(shù)，教師都一個接一個地回答對應(yīng)的實際距離。學(xué)生這時更感到奇怪，異口同聲地說：“老師您快告訴我們吧，您是怎樣算的？”教師說：“其實呀，有一位好朋友在暗中幫助老師，你們知道它是誰嗎？想認識它嗎？”于是引出所要學(xué)習(xí)的內(nèi)容“比例尺”。

第二、定向猜測，反復(fù)實踐，在不斷分析、調(diào)整中尋找規(guī)律。

例3找規(guī)律填數(shù)。

（1）1、4、、10、13、、19；

（2）2、8、18、32、、72、。

第三，獨立探究與合作探究結(jié)合。獨立，有自由的思維時空；合作，可以知識上互補，方法上互相借鑒，不時還能碰撞出智慧的火花。

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)活動中，教師應(yīng)盡量創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生去探究的情景，創(chuàng)造讓學(xué)生去探究的機會，鼓勵有探究精神和習(xí)慣的學(xué)生。

5、觀察法

通過大量具體事例，歸納發(fā)現(xiàn)事物的一般規(guī)律的方法叫做觀察法。巴浦洛夫說：“應(yīng)當(dāng)先學(xué)會觀察，不學(xué)會觀察永遠當(dāng)不了科學(xué)家?！?/p>

小學(xué)數(shù)學(xué)“觀察”的內(nèi)容一般有：①數(shù)字的變化規(guī)律及位置特點；②條件與結(jié)論之間的關(guān)系；③題目的結(jié)構(gòu)特點；④圖形的特點及大小、位置關(guān)系。

如：觀察一組算式：25×4＝4×25，62×11＝11×62，100×6＝6×100……歸納出乘法交換率：在乘法算式里，交換兩個因數(shù)的位置，積不變。

“觀察”的要求：

第一、觀察要細致、準確。

例4找出下列各題錯在哪里，并改正。

（1）25×16=25×（4×4）=（25×4）×（25×4）；

（2）18×36+18×64=（18+18）×（36+64）

例5直接寫出下列各題的得數(shù)：

（1）3.6+6.4(2)3.6+6.04

(3)125×57×0.04(4)(351－37－13)÷5

第二、科學(xué)觀察。科學(xué)觀察滲透了更多的理性因素，它是有目的，有計劃地察看研究對象。比如，在教學(xué)長方體的認識時，要做到“有序”觀察：（1）面--形狀、個數(shù)、面與面之間的關(guān)系；（2）棱--棱的形成、條數(shù)、棱與棱之間的關(guān)系（相對的棱相等；相對的棱有四條；長方體的棱可以分為三組）；（3）頂點--頂點的形成、個數(shù)，認識頂點的一個重要作用是引出長方體長、寬、高的概念。

第三，觀察必定與思考結(jié)合。這是一年級下學(xué)期的一道思考題，如果只觀察不思考，這道題目讓干什么就不知道。

6、典型法

針對題目去聯(lián)想已經(jīng)解過的典型問題的解題規(guī)律，從而找出解題思路的方法叫做典型法。典型是相對于普遍而言的。解決數(shù)學(xué)問題，有些需要用一般方法，有些則需要用特殊（典型）方法。比如，歸

一、倍比和歸總算法、行程、工程、消同求異、平均數(shù)等。

運用典型法必須注意：

（1）要掌握典型材料的關(guān)鍵及規(guī)律。

例7已知爸爸比兒子大30歲，爸爸今年的年齡正好是兒子的7倍。爸爸、兒子今年分別是多少歲？關(guān)鍵點在：爸爸比兒子大30歲，爸爸的年齡比兒子多幾倍。典型題都有典型解法，要想真正學(xué)好數(shù)學(xué)，即要理解和掌握一般思路和解法，還要學(xué)會典型解法。

（2）熟悉典型材料，并能敏捷地聯(lián)想到所適用的典型，從而確定所需要的解題方法。

例8見到“某城市有一條公共汽車線路，長16500米，平均每隔500米設(shè)一個車站。這條線路需要設(shè)多少個車站？”這樣題目，就應(yīng)該聯(lián)想到上面所講到的“鋸木頭用多少分鐘”的典型問題。

（3）典型和技巧相聯(lián)系。

例9甲乙兩個工程隊共有82人，如果從乙隊調(diào)8人到甲隊，兩隊人數(shù)正好相等。甲乙兩隊原來各有多少人？這題目的技巧：調(diào)前、調(diào)后兩隊總?cè)藬?shù)沒變。先算調(diào)后各隊人數(shù)，再算原來各隊人數(shù)。

7、放縮法

通過對被研究對象的放縮估計來解決問題的方法叫做放縮法。放縮法靈活、巧妙，但有賴于知識的拓展能力及其想象能力。

例16求12和9的最小公倍數(shù)。求兩個數(shù)的最小公倍數(shù)一般的方法是“短除式”方法，它是根據(jù)這兩個數(shù)的質(zhì)因數(shù)情況來求出它們的最小公倍數(shù)的。但也有兩個典型方法：一是“如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)就是它們的乘積”；二是“如果大數(shù)是小數(shù)的倍數(shù)，那么這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)就是大數(shù)”?，F(xiàn)在我們根據(jù)典型方法二，進行擴展運用，放大“大數(shù)”來求12和9的最小公倍數(shù)。

12不是9的倍數(shù)，就把它放大2倍，得24，仍然不是9的倍數(shù)，放大3倍，得36，36是9的倍數(shù)，那么，12和9的最小公倍數(shù)就是36。這種方法的關(guān)鍵點在于，如果大數(shù)不是小數(shù)的倍數(shù)，就把大數(shù)翻倍，但一定從2倍開始，如果一下子擴大6倍，得數(shù)是它們的公倍數(shù)，而不是最小的了。

例17期末考試，小剛的語文成績和英語成績的和是197分；語文和數(shù)學(xué)成績加起來是199分；數(shù)學(xué)和英語成績加起來是196分。想一想，小剛的哪科成績最高？你能算出小剛的各科成績嗎？

思路一：“放大”。通過觀察發(fā)現(xiàn)，語、數(shù)、外三科成績在題目中各出現(xiàn)兩次，我們求197+199+196的和，這個和是“語數(shù)外成績的2倍”，除以2得三科成績之和，再減去任意兩科的成績，就得到第三科的成績。

思路二：“縮小”。我們用語數(shù)成績的和減去語外的成績，199－197=2（分），這是數(shù)學(xué)減英語成績的差。數(shù)學(xué)和英語的和是196分，再求數(shù)學(xué)的分數(shù)就不難了。放縮法有時運用在估算和驗算上。

例18檢驗下列計算結(jié)果是否正確？

（1）18.7×6.9=137.3；(2)17485÷6.6=3609.對于（1）用總體估計，放大至19×7=133，估計得數(shù)要小于133，所以本題結(jié)果錯誤。對于（2）用最高位估計，把17看作18，把6。6看作6，18÷6=3，顯然答數(shù)的最高位不會是3，故本題結(jié)果也不正確。

例19把雞和兔放在一起，共有48個頭，114只足，問雞、兔各有幾只。

這是一道雞兔同籠的典型問題，我們也用放縮法，不妨把雞和兔的足數(shù)縮小2倍，那么，雞的足數(shù)和它的頭數(shù)一樣，而兔的足數(shù)是它的只數(shù)的2倍。所以，總的足數(shù)縮小2倍后，雞和兔的總足數(shù)與它們的總只數(shù)相差數(shù)就是兔的只數(shù)。

8、驗證法

你的結(jié)果正確嗎？不能只等教師的評判，重要的是自己心里要清楚，對自己的學(xué)習(xí)有一個清楚的評價，這是優(yōu)秀學(xué)生必備的學(xué)習(xí)品質(zhì)。

驗證法應(yīng)用范圍比較廣泛，是需要熟練掌握的一項基本功。應(yīng)當(dāng)通過實踐訓(xùn)練及其長期體驗積累，不斷提高自己的驗證能力和逐步養(yǎng)成嚴謹細致的好習(xí)慣。

（1）用不同的方法驗證。教科書上一再提出：減法用加法檢驗，加法用減法檢驗，除法用乘法驗算，乘法用除法驗算。

（2）代入檢驗。解方程的結(jié)果正確嗎？用代入法，看等號兩邊是否相等。還可以把結(jié)果當(dāng)條件進行逆向推算。

（3）是否符合實際?！扒Ы倘f教教人求真，千學(xué)萬學(xué)學(xué)做真人”陶行知先生的話要落實在教學(xué)中。比如，做一套衣服需要4米布，現(xiàn)有布31米，可以做多少套衣服？有學(xué)生這樣做：31÷4≈8（套）

按照“四舍五入法”保留近似數(shù)無疑是正確的，但和實際不符合，做衣服的剩余布料只能舍去。教學(xué)中，常識性的東西予以重視。做衣服套數(shù)的近似計算要用“去尾法”。

（4）驗證的動力在猜想和質(zhì)疑。牛頓曾說過：“沒有大膽的猜想，就做不出偉大的發(fā)現(xiàn)?！薄安隆币彩墙鉀Q問題的一種重要策略。可以開拓學(xué)生的思維、激發(fā)“我要學(xué)”的愿望。為了避免瞎猜，一定學(xué)會驗證。驗證猜測結(jié)果是否正確，是否符合要求。如不符合要求，及時調(diào)整猜想，直到解決問題。

二、抽象思維方法

運用概念、判斷、推理來反映現(xiàn)實的思維過程，叫抽象思維，也叫邏輯思維。

抽象思維又分為：形式思維和辯證思維?？陀^現(xiàn)實有其相對穩(wěn)定的一面，我們就可以采用形式思維的方式；客觀存在也有其不斷發(fā)展變化的一面，我們可以采用辯證思維的方式。形式思維是辯證思維的基礎(chǔ)。

形式思維能力：分析、綜合、比較、抽象、概括、判斷、推理。

辯證思維能力：聯(lián)系、發(fā)展變化、對立統(tǒng)一律、質(zhì)量互變律、否定之否定律。

小學(xué)數(shù)學(xué)要培養(yǎng)學(xué)生初步的抽象思維能力，重點突出在：（1）思維品質(zhì)上，應(yīng)該具備思維的敏捷性、靈活性、聯(lián)系性和創(chuàng)造性。（2）思維方法上，應(yīng)該學(xué)會有條有理，有根有據(jù)地思考。（3）思維要求上，思路清晰，因果分明，言必有據(jù)，推理嚴密。（4）思維訓(xùn)練上，應(yīng)該要求：正確地運用概念，恰當(dāng)?shù)叵屡袛?，合乎邏輯地推理?/p>

9、對照法

如何正確地理解和運用數(shù)學(xué)概念？小學(xué)數(shù)學(xué)常用的方法就是對照法。根據(jù)數(shù)學(xué)題意，對照概念、性質(zhì)、定律、法則、公式、名詞、術(shù)語的含義和實質(zhì)，依靠對數(shù)學(xué)知識的理解、記憶、辨識、再現(xiàn)、遷移來解題的方法叫做對照法。

這個方法的思維意義就在于，訓(xùn)練學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的正確理解、牢固記憶、準確辨識。

例20、三個連續(xù)自然數(shù)的和是18，則這三個自然數(shù)從小到大分別是多少？

對照自然數(shù)的概念和連續(xù)自然數(shù)的性質(zhì)可以知道：三個連續(xù)自然數(shù)和的平均數(shù)就是這三個連續(xù)自然數(shù)的中間那個數(shù)。

例

21、判斷：能被2除盡的數(shù)一定是偶數(shù)。

這里要對照“除盡”和“偶數(shù)”這兩個數(shù)學(xué)概念。只有這兩個概念全理解了，才能做出正確判斷。

10、公式法

運用定律、公式、規(guī)則、法則來解決問題的方法。它體現(xiàn)的是由一般到特殊的演繹思維。公式法簡便、有效，也是小學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須學(xué)會和掌握的一種方法。但一定要讓學(xué)生對公式、定律、規(guī)則、法則有一個正確而深刻的理解，并能準確運用。

例

22、計算59×37+12×59+59

59×37+12×59+59

＝59×（37+12+1）…………運用乘法分配律

＝59×50…………運用加法計算法則

＝(60-1)×50…………運用數(shù)的組成規(guī)則

＝60×50－1×50…………運用乘法分配律

＝3000-50…………運用乘法計算法則

＝2950…………運用減法計算法則

11、比較法

通過對比數(shù)學(xué)條件及問題的異同點，研究產(chǎn)生異同點的原因，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，叫比較法。

比較法要注意：

(1)找相同點必找相異點，找相異點必找相同點，不可或缺，也就是說，比較要完整。

(2)找聯(lián)系與區(qū)別，這是比較的實質(zhì)。

(3)必須在同一種關(guān)系下（同一種標準）進行比較，這是“比較”的基本條件。

(4)要抓住主要內(nèi)容進行比較，盡量少用“窮舉法”進行比較，那樣會使重點不突出。

(5)因為數(shù)學(xué)的嚴密性，決定了比較必須要精細，往往一個字，一個符號就決定了比較結(jié)論的對或錯。

例

23、填空：0．75的最高位是（），這個數(shù)小數(shù)部分的最高位是（）；十分位的數(shù)4與十位上的數(shù)4相比，它們的（）

相同，（）不同，前者比后者小了（）。

這道題的意圖就是要對“一個數(shù)的最高位和小數(shù)部分的最高位的區(qū)別”，還有“數(shù)位和數(shù)值”的區(qū)別等。

例

23、六年級同學(xué)種一批樹，如果每人種5棵，則剩下75棵樹沒有種；如果每人種7棵，則缺少15棵樹苗。六年級有多少學(xué)生？

這是兩種方案的比較。相同點是：六年級人數(shù)不變；相異點是：兩種方案中的條件不一樣。

找聯(lián)系：每人種樹棵數(shù)變化了，種樹的總棵數(shù)也發(fā)生了變化。

找解決思路（方法）：每人多種7-5=2（棵），那么，全班就多種了75+15=90（棵），全班人數(shù)為90÷2=45（人）。

12、分類法

俗語：物以類聚，人以群分。

根據(jù)事物的共同點和差異點將事物區(qū)分為不同種類的方法，叫做分類法。分類是以比較為基礎(chǔ)的。依據(jù)事物之間的共同點將它們合為較大的類，又依據(jù)差異點將較大的類再分為較小的類。

分類即要注意大類與小類之間的不同層次，又要做到大類之中的各小類不重復(fù)、不遺漏、不交叉。

例

24、自然數(shù)按約數(shù)的個數(shù)來分，可分成幾類？

答：可分為三類。（1）只有一個約數(shù)的數(shù)，它是一個單位數(shù)，只有一個數(shù)1；（2）有兩個約數(shù)的，也叫質(zhì)數(shù)，有無數(shù)個；（3）有三個約數(shù)的，也叫合數(shù)，也有無數(shù)個。

13、分析法

把整體分解為部分，把復(fù)雜的事物分解為各個部分或要素，并對這些部分或要素進行研究、推導(dǎo)的一種思維方法叫做分析法。

依據(jù)：總體都是由部分構(gòu)成的。

思路：為了更好地研究和解決總體，先把整體的各部分或要素割裂開來，再分別對照要求，從而理順解決問題的思路。

也就是從求解的問題出發(fā)，正確選擇所需要的兩個條件，依次推導(dǎo)，一直到問題得到解決為止，這種解題模式是“由果溯因”。分析法也叫逆推法。常用“枝形圖”進行圖解思路。

例

25、玩具廠計劃每天生產(chǎn)200件玩具，已經(jīng)生產(chǎn)了6天，共生產(chǎn)1260件。問平均每天超過計劃多少件？

思路：要求平均每天超過計劃多少件，必須知道：計劃每天生產(chǎn)多少件和實際每天生產(chǎn)多少件。計劃每天生產(chǎn)多少件已知，實際每天生產(chǎn)多少件，題中沒有告訴，還得求出來。要求實際每天生產(chǎn)多少件玩具，必須知道：實際生產(chǎn)多少天，和實際生產(chǎn)多少件，這兩個條件題中都已知。

枝形圖：（略）

14、綜合法

把對象的各個部分或各個方面或各個要素聯(lián)結(jié)起來，并組合成一個有機的整體來研究、推導(dǎo)和一種思維方法叫做綜合法。

用綜合法解數(shù)學(xué)題時，通常把各個題知看作是部分（或要素），經(jīng)過對各部分（或要素）相互之間內(nèi)在聯(lián)系一層層分析，逐步推導(dǎo)到題目要求，所以，綜合法的解題模式是執(zhí)因?qū)Ч?，也叫順推法。這種方法適用于已知條件較少，數(shù)量關(guān)系比較簡單的數(shù)學(xué)題。

例

26、兩個質(zhì)數(shù)，它們的差是小于30的合數(shù)，它們的和即是11的倍數(shù)又是小于50的偶數(shù)。寫出適合上面條件的各組數(shù)。

思路：11的倍數(shù)同時小于50的偶數(shù)有22和44。

兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)，而和是偶數(shù)，顯然這兩個質(zhì)數(shù)中沒有2。

和是22的兩個質(zhì)數(shù)有：3和19，5和17.它們的差都是小于30的合數(shù)嗎？

和是44的兩個質(zhì)數(shù)有：3和41，7和37，13和31.它們的差是小于30的合數(shù)嗎？

這就是綜合法的思路。

15、方程法

用字母表示未知數(shù)，并根據(jù)等量關(guān)系列出含有字母的表達式（等式）。列方程是一個抽象概括的過程，解方程是一個演繹推導(dǎo)的過程。方程法最大的特點是把未知數(shù)等同于已知數(shù)看待，參與列式、運算，克服了算術(shù)法必須避開求知數(shù)來列式的不足。有利于由已知向未知的轉(zhuǎn)化，從而提高了解題的效率和正確率。

例

27、一個數(shù)擴大3倍后再增加100，然后縮小2倍后再減去36，得50.求這個數(shù)。

例

28、一桶油，第一次用去40%，第二次比第一次多用10千克，還剩余6千克。這桶油重多少千克？

這兩題用方程解就比較容易。

16、參數(shù)法

用只參與列式、運算而不需要解出的字母或數(shù)表示有關(guān)數(shù)量，并根據(jù)題意列出算式的一種方法叫做參數(shù)法。參數(shù)又叫輔助未知數(shù)，也稱中間變量。參數(shù)法是方程法延伸、拓展的產(chǎn)物。

例

29、汽車爬山，上山時平均每小時行15千米，下山時平均每小時行駛10千米，問汽車的平均速度是每小時多少千米？

上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2.而應(yīng)該用上下山的路程÷2.例30、一項工作，甲單獨做要4天完成，乙單獨做要5天完成。兩人合做要多少天完成？

其實，把總工作量看作“1”，這個“1”就是參數(shù)，如果把總工作量看作“2、3、4……”都可以，只不過看作“1”運算最方便。

17、排除法

排除對立的結(jié)果叫做排除法。

排除法的邏輯原理是：任何事物都有其對立面，在有正確與錯誤的多種結(jié)果中，一切錯誤的結(jié)果都排除了，剩余的只能是正確的結(jié)果。這種方法也叫淘汰法、篩選法或反證法。這是一種不可缺少的形式思維方法。

例

31、為什么說除2外，所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)？

這就要用反證法：比2大的所有自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假設(shè)：比2大的質(zhì)數(shù)有偶數(shù)，那么，這個偶數(shù)一定能被2整除，也就是說它一定有約數(shù)2。一個數(shù)的約數(shù)除了1和它本身外，還有別的約數(shù)（約數(shù)2），這個數(shù)一定是合數(shù)而不是質(zhì)數(shù)。這和原來假定是質(zhì)數(shù)對立（矛盾）。所以，原來假設(shè)錯誤。

例

32、判斷：（1）同一平面上兩條直線不平行，就一定相交。（錯）

（2）分數(shù)的分子和分母同乘以或同除以一個相同的數(shù)，分數(shù)大小不變。（錯）

18、特例法

對于涉及一般性結(jié)論的題目，通過取特殊值或畫特殊圖或定特殊位置等特例來解題的方法叫做特例法。特例法的邏輯原理是：事物的一般性存在于特殊性之中。

例

33、大圓半徑是小圓半徑的2倍，大圓周長是小圓周長的（）倍，大圓面積是小圓面積的（）倍。

可以取小圓半徑為1，那么大圓半徑就是2。計算一下，就能得出正確結(jié)果。

例

33、正方形的面積和邊長成正比例嗎？

如果正方形的邊長為a，面積為s.那么，s：a=a（比值不定）

所以，正方形的面積和邊長不成正比例。

19、化歸法

通過某種轉(zhuǎn)化過程，把問題歸結(jié)到一類典型問題來解題的方法叫做化歸法?；瘹w是知識遷移的重要途徑，也是擴展、深化認知的首要步驟?；瘹w法的邏輯原理是，事物之間是普遍聯(lián)系的?；瘹w法是一種常用的辯證思維方法。

例

34、某制藥廠生產(chǎn)一批防“非典”藥，原計劃25人14天完成，由于急需，要提前4天完成，需要增加多少人？

這就需要在考慮問題時，把“總工作日”化歸為“總工作量”。

例

35、超市運來馬鈴薯、西紅柿、豇豆三種蔬菜，馬鈴薯占25%，西紅柿和豇豆的重量比是4：5，已知豇豆比馬鈴薯多36千克，超市運來西紅柿多少千克？

需要把“西紅柿和豇豆的重量比4：5”化歸為“各占總重量的百分之幾”，也就是把比例應(yīng)用題化歸為分數(shù)應(yīng)用題。

第二篇：小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法總結(jié)

小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法總結(jié)

想要學(xué)好數(shù)學(xué)就要掌握好解題方法，下面是小編整理的小學(xué)數(shù)學(xué)解題方法，希望對大家有幫助！

如何正確地理解和運用數(shù)學(xué)概念？小學(xué)數(shù)學(xué)常用的方法就是對照法。根據(jù)數(shù)學(xué)題意，對照概念、性質(zhì)、定律、法則、公式、名詞、術(shù)語的含義和實質(zhì)，依靠對數(shù)學(xué)知識的理解、記憶、辨識、再現(xiàn)、遷移來解題的方法叫做對照法。

這個方法的思維意義就在于，訓(xùn)練孩子對數(shù)學(xué)知識的正確理解、牢固記憶、準確辨識。

例1：三個連續(xù)自然數(shù)的和是18，則這三個自然數(shù)從小到大分別是多少？

對照自然數(shù)的概念和連續(xù)自然數(shù)的性質(zhì)可以知道：三個連續(xù)自然數(shù)和的平均數(shù)就是這三個連續(xù)自然數(shù)的中間那個數(shù)。

例2：判斷題：能被2除盡的數(shù)一定是偶數(shù)。

這里要對照“除盡”和“偶數(shù)”這兩個數(shù)學(xué)概念。只有這兩個概念全理解了，才能做出正確判斷。

通過對比數(shù)學(xué)條件及問題的異同點，研究產(chǎn)生異同點的原因，從而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法，叫比較法。

比較法要注意：

找相同點必找相異點，找相異點必找相同點，不可或缺，也就是說，比較要完整。

找聯(lián)系與區(qū)別，這是比較的實質(zhì)。

必須在同一種關(guān)系下進行比較，這是“比較”的基本條件。

要抓住主要內(nèi)容進行比較，盡量少用“窮舉法”進行比較，那樣會使重點不突出。

因為數(shù)學(xué)的嚴密性，決定了比較必須要精細，往往一個字，一個符號就決定了比較結(jié)論的對或錯。

例3：填空：的最高位是，這個數(shù)小數(shù)部分的最高位是；十分位的數(shù)4與十位上的數(shù)4相比，它們的相同，不同，前者比后者小了。

這道題的意圖就是要對“一個數(shù)的最高位和小數(shù)部分的最高位的區(qū)別”，還有“數(shù)位和數(shù)值”的區(qū)別等。

例4：六年級同學(xué)種一批樹，如果每人種5棵，則剩下75棵樹沒有種；如果每人種7棵，則缺少15棵樹苗。六年級有多少學(xué)生？

這是兩種方案的比較。相同點是：六年級人數(shù)不變；相異點是：兩種方案中的條件不一樣。

找聯(lián)系：每人種樹棵數(shù)變化了，種樹的總棵數(shù)也發(fā)生了變化。

找解決思路：每人多種7-5=2，那么，全班就多種了75+15=90，全班人數(shù)為90÷2=45。

運用定律、公式、規(guī)則、法則來解決問題的方法。它體現(xiàn)的是由一般到特殊的演繹思維。公式法簡便、有效，也是孩子學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)必須學(xué)會和掌握的一種方法。但一定要讓孩子對公式、定律、規(guī)則、法則有一個正確而深刻的理解，并能準確運用。

例5：計算59×37+12×59+59

59×37+12×59+59

＝59×……運用乘法分配律

＝59×50……運用加法計算法則

＝×50……運用數(shù)的組成規(guī)則

＝60×50－1×50……運用乘法分配律

＝3000-50……運用乘法計算法則

＝2950……運用減法計算法則

把整體分解為部分，把復(fù)雜的事物分解為各個部分或要素，并對這些部分或要素進行研究、推導(dǎo)的一種思維方法叫做分析法。

依據(jù)：總體都是由部分構(gòu)成的。

思路：為了更好地研究和解決總體，先把整體的各部分或要素割裂開來，再分別對照要求，從而理順解決問題的思路。

也就是從求解的問題出發(fā)，正確選擇所需要的兩個條件，依次推導(dǎo)，一直到問題得到解決為止，這種解題模式是“由果溯因”。分析法也叫逆推法。常用“枝形圖”進行圖解思路。

例6：玩具廠計劃每天生產(chǎn)200件玩具，已經(jīng)生產(chǎn)了6天，共生產(chǎn)1260件。問平均每天超過計劃多少件？

思路：要求平均每天超過計劃多少件，必須知道：計劃每天生產(chǎn)多少件和實際每天生產(chǎn)多少件。計劃每天生產(chǎn)多少件已知，實際每天生產(chǎn)多少件，題中沒有告訴，還得求出來。要求實際每天生產(chǎn)多少件玩具，必須知道：實際生產(chǎn)多少天，和實際生產(chǎn)多少件，這兩個條件題中都已知。

根據(jù)事物的共同點和差異點將事物區(qū)分為不同種類的方法，叫做分類法。分類是以比較為基礎(chǔ)的。依據(jù)事物之間的共同點將它們合為較大的類，又依據(jù)差異點將較大的類再分為較小的類。

分類即要注意大類與小類之間的不同層次，又要做到大類之中的各小類不重復(fù)、不遺漏、不交叉。

例7：自然數(shù)按約數(shù)的個數(shù)來分，可分成幾類？

答：可分為三類。只有一個約數(shù)的數(shù)，它是一個單位數(shù)，只有一個數(shù)1；有兩個約數(shù)的，也叫質(zhì)數(shù)，有無數(shù)個；有三個約數(shù)的，也叫合數(shù)，也有無數(shù)個。

把對象的各個部分或各個方面或各個要素聯(lián)結(jié)起來，并組合成一個有機的整體來研究、推導(dǎo)和一種思維方法叫做綜合法。

用綜合法解數(shù)學(xué)題時，通常把各個題知看作是部分，經(jīng)過對各部分相互之間內(nèi)在聯(lián)系一層層分析，逐步推導(dǎo)到題目要求，所以，綜合法的解題模式是執(zhí)因?qū)Ч?，也叫順推法。這種方法適用于已知條件較少，數(shù)量關(guān)系比較簡單的數(shù)學(xué)題。

例8：兩個質(zhì)數(shù)，它們的差是小于30的合數(shù)，它們的和即是11的倍數(shù)又是小于50的偶數(shù)。寫出適合上面條件的各組數(shù)。

思路：11的倍數(shù)同時小于50的偶數(shù)有22和44。

兩個數(shù)都是質(zhì)數(shù)，而和是偶數(shù)，顯然這兩個質(zhì)數(shù)中沒有2。

和是22的兩個質(zhì)數(shù)有：3和19，5和17。它們的差都是小于30的合數(shù)嗎？

和是44的兩個質(zhì)數(shù)有：3和41，7和37，13和31。它們的差是小于30的合數(shù)嗎？

這就是綜合法的思路。

用字母表示未知數(shù)，并根據(jù)等量關(guān)系列出含有字母的表達式。列方程是一個抽象概括的過程，解方程是一個演繹推導(dǎo)的過程。方程法最大的特點是把未知數(shù)等同于已知數(shù)看待，參與列式、運算，克服了算術(shù)法必須避開求知數(shù)來列式的不足。有利于由已知向未知的轉(zhuǎn)化，從而提高了解題的效率和正確率。

例9：一個數(shù)擴大3倍后再增加100，然后縮小2倍后再減去36，得50。求這個數(shù)。

例10：一桶油，第一次用去40%，第二次比第一次多用10千克，還剩余6千克。這桶油重多少千克？

這兩題用方程解就比較容易。

用只參與列式、運算而不需要解出的字母或數(shù)表示有關(guān)數(shù)量，并根據(jù)題意列出算式的一種方法叫做參數(shù)法。參數(shù)又叫輔助未知數(shù)，也稱中間變量。參數(shù)法是方程法延伸、拓展的產(chǎn)物。

例11：汽車爬山，上山時平均每小時行15千米，下山時平均每小時行駛10千米，問汽車的平均速度是每小時多少千米？

上下山的平均速度不能用上下山的速度和除以2。而應(yīng)該用上下山的路程÷2。

例12：一項工作，甲單獨做要4天完成，乙單獨做要5天完成。兩人合做要多少天完成？

其實，把總工作量看作“1”，這個“1”就是參數(shù)，如果把總工作量看作“2、3、4……”都可以，只不過看作“1”運算最方便。

排除對立的結(jié)果叫做排除法。

排除法的邏輯原理是：任何事物都有其對立面，在有正確與錯誤的多種結(jié)果中，一切錯誤的結(jié)果都排除了，剩余的只能是正確的結(jié)果。這種方法也叫淘汰法、篩選法或反證法。這是一種不可缺少的形式思維方法。

例13：為什么說除2外，所有質(zhì)數(shù)都是奇數(shù)？

這就要用反證法：比2大的所有自然數(shù)不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。假設(shè)：比2大的質(zhì)數(shù)有偶數(shù)，那么，這個偶數(shù)一定能被2整除，也就是說它一定有約數(shù)2。一個數(shù)的約數(shù)除了1和它本身外，還有別的約數(shù)，這個數(shù)一定是合數(shù)而不是質(zhì)數(shù)。這和原來假定是質(zhì)數(shù)對立。所以，原來假設(shè)錯誤。

例14：判斷題：同一平面上兩條直線不平行，就一定相交。

分數(shù)的分子和分母同乘以或同除以一個相同的數(shù)，分數(shù)大小不變。

對于涉及一般性結(jié)論的題目，通過取特殊值或畫特殊圖或定特殊位置等特例來解題的方法叫做特例法。特例法的邏輯原理是：事物的一般性存在于特殊性之中。

例15：大圓半徑是小圓半徑的2倍，大圓周長是小圓周長的倍，大圓面積是小圓面積的倍。

可以取小圓半徑為1，那么大圓半徑就是2。計算一下，就能得出正確結(jié)果。

例16：正方形的面積和邊長成正比例嗎？

如果正方形的邊長為a，面積為s。那么，s：a=a

所以，正方形的面積和邊長不成正比例。

通過某種轉(zhuǎn)化過程，把問題歸結(jié)到一類典型問題來解題的方法叫做化歸法。化歸是知識遷移的重要途徑，也是擴展、深化認知的首要步驟?；瘹w法的邏輯原理是，事物之間是普遍聯(lián)系的。化歸法是一種常用的辯證思維方法。

例17：某制藥廠生產(chǎn)一批防“非典”藥，原計劃25人14天完成，由于急需，要提前4天完成，需要增加多少人？

這就需要在考慮問題時，把“總工作日”化歸為“總工作量”。

例18：超市運來馬鈴薯、西紅柿、豇豆三種蔬菜，馬鈴薯占25%，西紅柿和豇豆的重量比是4：5，已知豇豆比馬鈴薯多36千克，超市運來西紅柿多少千克？

需要把“西紅柿和豇豆的重量比4：5”化歸為“各占總重量的百分之幾”，也就是把比例應(yīng)用題化歸為分數(shù)應(yīng)用題。

第三篇：小學(xué)數(shù)學(xué)解題心得

小學(xué)數(shù)學(xué)解題心得：

上小學(xué)三年級的侄女在做數(shù)學(xué)作業(yè)時，有一題是這樣的：

一個數(shù)被另一個數(shù)除，商是3時，余數(shù)是10。除數(shù)、被除數(shù)、商三個數(shù)的和為163。問除數(shù)、被除數(shù)各是多少？

一看這題目，感覺有點難，如果用方程來解應(yīng)沒問題，但關(guān)鍵的是侄女才上到小學(xué)三年級，不可能領(lǐng)會方程的含義。只能另想辦法。首先要在和數(shù)163中把商和余數(shù)減掉：163-3-10=150。150為除數(shù)和被除數(shù)的和，它們的關(guān)系應(yīng)是3的相除后余10，所以應(yīng)再以150-10=140為求倍數(shù)關(guān)系。這里很關(guān)鍵的一點就要引入一種我自己認為解小學(xué)數(shù)學(xué)題很重要的方法和技巧“份”。我們可以把商是幾就當(dāng)幾“份”來處理。“份”數(shù)再加1得到的數(shù)去除倍數(shù)關(guān)系的數(shù)。這是“份”是3，3+1=4。140÷4=35。這里35為其中的一個數(shù)，另一個數(shù)為150-35=115。驗算：35+115+10+3=163。證明解題正確。

解到這里，突然感覺現(xiàn)在小孩子學(xué)習(xí)任務(wù)真的很重了，想想我們這些60代的人在知識上也許已不能再去在小孩子面前充什么老師了，呵呵。當(dāng)然，希望真正的小數(shù)數(shù)學(xué)老師能給出更好的解題方法來。

第四篇：小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類解題(整理)

小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題分類解題大全

求平均數(shù)應(yīng)用題是在“把一個數(shù)平均分成幾份，求一份是多少”的簡單應(yīng)用題的基礎(chǔ)上發(fā)展而成的。它的特征是已知幾個不相等的數(shù)，在總數(shù)不變的條件下，通過移多補少，使它們完全相等。最后所求的相等數(shù)，就叫做這幾個數(shù)的平均數(shù)。

解答這類問題的關(guān)鍵，在于確定“總數(shù)量”和與總數(shù)量相對應(yīng)的“總份數(shù)”。計算方法：總數(shù)量÷總份數(shù)＝平均數(shù)平均數(shù)×總份數(shù)＝總數(shù)量

總數(shù)量÷平均數(shù)＝總份數(shù)

例1：東方小學(xué)六年級同學(xué)分兩個組修補圖書。第一組28人，平均每人修補圖書15本；第二組22人，一共修補圖書280本。全班平均每人修補圖書多少本？

要求全班平均每人修補圖書多少本，需要知道全班修補圖書的總本數(shù)和全班的總?cè)藬?shù)。(15×28+280)÷(28+22)=14本

例2：有水果糖5千克，每千克2.4元；奶糖4千克，每千克3.2元；軟糖11千克，每千克4.2元。將這些糖混合成什錦糖。這種糖每千克多少元？

要求什錦糖每千克多少元，要先出這幾種糖的總價和總重量最后求得平均數(shù)，即每千克什錦糖的價錢。

(2.4×5+3.2×4+4.2×11)÷(5+4+11)=3.55元

例

3、要挖一條長1455米的水渠，已經(jīng)挖了3天，平均每天挖285米，余下的每天挖300米。這條水渠平均每天挖多少米？

已知水渠的總長度，平均每天挖多少米，就要先求出一共挖了多少天。1455÷(3+(1455-285×3)÷300)=291米

例

4、小華的期中考試成績在外語成績宣布前，他四門功課的平均分是90分。外語成績宣布后，他的平均分數(shù)下降了2分。小華外語成績是多少分？

解法一：先求出四門功課的總分，再求出一門功課的的總分，然后求得外語成績。(90–2)×5–90×4=80分

例

5、甲乙丙三人在銀行存款，丙的存款是甲乙兩人存款的平均數(shù)的1.5倍，甲乙兩人存款的和是2400元。甲乙丙三人平均每人存款多少元？

要求甲乙丙三人平均每人存款多少元，先要求得三人存款的總數(shù)。(2400÷2×1.5+2400)÷3=1400元

例

6、甲種酒每千克30元，乙種酒每千克24元?，F(xiàn)在把甲種酒13千克與乙種酒8千克混合賣出，當(dāng)剩余1千克時正好獲得成本，每千克混合酒售價多少元？

要求每千克混合酒售價多少元，要先求得兩種酒的總價錢和兩種酒的總千克數(shù)。因為當(dāng)剩余1千克時正好獲得成本，所以在總千克數(shù)中要減去1千克。

(30×13+24×8)÷(13+8–1)=29.1元

例

7、甲乙丙三人各拿出相等的錢去買同樣的圖書。分配時，甲要22本，乙要23本，丙要30本。因此，丙還給甲13.5元，丙還要還給乙多少元？

先求買來圖書如果平均分，每人應(yīng)得多少本，甲少得了多少本，從而求得每本圖書多少元。1．平均分，每人應(yīng)得多少本？(22+23+30)÷3=25本

2．甲少得了多少本?25–22=3本 3．乙少得了多少本?25–23=2本 4．每本圖書多少元?13.5÷3=4.5元 5． 丙應(yīng)還給乙多少元? 4.5×2=9元

13.5÷［(22+23+30)÷3–22］×［(22+23+30)÷3–23］=9元

例

8、小榮家住山南，小方家住山北。山南的山路長269米，山北的路長370米。小榮從家里出發(fā)去小方家，上坡時每分鐘走16米，下坡時每分鐘走24米。求小榮往返一次的平均速度。在同樣的路程中，由于是下坡的不同，去時的上坡，返回時變成了下坡；去時的下坡，回來時成了上坡，因此，所用的時間也不同。要求往返一次的平均速度，需要先求得往返的總路程和總時間。

1、往返的總路程(260+370)×2=1260米

2、往返的總時間(260+370)÷16+(260+370)÷24=65.625分

3、往返平均速度 1260÷65.625=19.2米

(260+370)×2÷［(260+370)÷16+(260+370)÷24］=19.2米

例

9、草帽廠有兩個草帽生產(chǎn)車間，上個月兩個車間平均每人生產(chǎn)草帽185頂。已知第一車間有25人，平均每人生產(chǎn)203頂；第二車間平均每人生產(chǎn)草帽170頂，第二車間有多少人？

解法一：可以用“移多補少獲得平均數(shù)”的思路來思考。

第一車間平均每人生產(chǎn)數(shù)比兩個車間平均每人平均數(shù)多幾頂？203–185=18頂；第一車間有25人，共比按兩車間平均生產(chǎn)數(shù)計算多多少頂？18×25=450。將這450頂補給第二車間，使得第二車間平均每人生產(chǎn)數(shù)達到兩個車間的總平均數(shù)。

6． 第一車間平均每人生產(chǎn)數(shù)比兩個車間平均頂數(shù)多幾頂？ 203–185=18頂 7．第一車間共比按兩車間平均數(shù)逆運算，多生產(chǎn)多少頂？18×25=450頂 8． 第二車間平均每人生產(chǎn)數(shù)比兩個車間平均頂數(shù)少幾頂？185–170=15頂 9． 第二車間有多少人：450÷15=30人(203–185)×25÷(185–170)=30人 例

10、一輛汽車從甲地開往乙地，去時每小時行45千米，返回時每小時行60千米。往返一次共用了3.5小時。求往返的平均速度。(得數(shù)保留一位小數(shù))解法一：要求往返的平均速度，要先求得往返的距離和往返的時間。

去時每小時行45千米，1千米要 小時；返回時每小時行60千米，1千米要 小時。往返1千米要(+)小時，進而求得甲乙兩地的距離。

1、甲乙兩地的距離 3.5÷(+)=90千米

2、往返平均速度 90×2÷3.5≈52.4千米 3.5÷(+)×2÷3.5≈52.4千米

解法二：把甲乙兩地的距離看作“1”。往返距離為2個“1”，即1×2=2。去時每千米需 小時，返回時需 小時，最后求得往返的平均速度。

1÷(+)≈51.4千米

在解答某一類應(yīng)用題時，先求出一份是多少（歸一），然后再用這個單一量和題中的有關(guān)條件求出問題，這類應(yīng)用題叫做歸一應(yīng)用題。

歸一，指的是解題思路。

歸一應(yīng)用題的特點是先求出一份是多少。歸一應(yīng)用題有正歸一應(yīng)用題和反歸一應(yīng)用題。在求出一份是多少的基礎(chǔ)上，再求出幾份是多產(chǎn)，這類應(yīng)用題叫做正歸一應(yīng)用題；在求出一份是多少的基礎(chǔ)上，再求出有這樣的幾份，這類應(yīng)用題叫做反歸一應(yīng)用題。

根據(jù)“求一份是多少”的步驟的多少，歸一應(yīng)用題也可分為一次歸一應(yīng)用題，用一步就能求出“一份是多少”的歸一應(yīng)用題；兩次歸一應(yīng)用題，用兩步到處才能求出“一份是多少”的歸一應(yīng)用題。

解答這類應(yīng)用題的關(guān)鍵是求出一份的數(shù)量，它的計算方法： 總數(shù)÷份數(shù)＝一份的數(shù)

例1、24輛卡車一次能運貨物192噸，現(xiàn)在增加同樣的卡車6輛，一次能運貨物多少噸？ 先求1輛卡車一次能運貨物多少噸，再求增加6輛后，能運貨物多少噸。這是一道正歸一應(yīng)用題。192÷24×(24+6)=240噸

例

2、張師傅計劃加工552個零件。前5天加工零件345個，照這樣計算，這批零件還要幾天加工完？

這是一道反歸一應(yīng)用題。

例3、3臺磨粉機4小時可以加工小麥2184千克。照這樣計算，5臺磨粉機6小時可加工小麥多少千克？

這是一道兩次正歸一應(yīng)用題。

例

4、一個機械廠和4臺機床4.5小時可以生產(chǎn)零件720個。照這樣計算，再增加4臺同樣的機床生產(chǎn)1600個零件，需要多少小時？

這是兩次反歸一應(yīng)用題。要先求一臺機床一小時可以生產(chǎn)零件多少個，再求需要多少小時。1600÷［720÷4÷4.5×(4+4)］=5小時

例

5、一個修路隊計劃修路126米，原計劃安排7個工人6天修完。后來又增加了54米的任務(wù)，并要求在6天完工。如果每個工人每天工作量一定，需要增加多少工人才如期完工？ 先求每人每天的工作量，再求現(xiàn)在要修路多少米，然后求要5天完工需要工人多少人，最后求要增加多少人。

(126+54)÷(126÷7÷6×5)–7=5人

例

6、用兩臺水泵抽水。先用小水泵抽6小時，后用大水泵抽8小時，共抽水624立方米。已知小水泵5小時的抽水量等于大水泵2小時的抽水量。求大小水泵每小時各抽水多少立方米？

解法一：根據(jù)“小水泵5小時的抽水量等于大水泵2小時的抽水量”，可以求出大水泵1小時的抽水量相當(dāng)于小水泵幾小時的抽水量。把不同的工作效率轉(zhuǎn)化成某一種水泵的工作效率。

1、大水泵1小時的抽水量相當(dāng)于小水泵幾小時的抽水量？5÷2=2.5小時

2、大水泵8小時的抽水量相當(dāng)于小水泵幾小時的抽水量2.5×8=20小時

3、小水泵1小時能抽水多少立方米？642÷(6+20)=24立方米

4、大水泵1小時能抽水多少立方米？24×2.5=60立方米 解法二：

1、小水泵1小時的抽水量相當(dāng)于大水泵幾小時的抽水量2÷5=0.4小時

2、小水泵6小時的抽水量相當(dāng)于大水泵幾小時的抽水量0．4×6=2.4小時

3、大水泵1小時能抽水多少立方米？624÷(8+2.4)=60立方米

4、小水泵1小時能抽水多少立方米？60×0.4=24立方米

例

7、東方小學(xué)買了一批粉筆，原計劃29個班可用40天，實際用了10天后，有10個班外出，剩下的粉筆，夠有校的班級用多少天？

先求這批粉筆夠一個班用多少天，剩下的粉筆夠一個班用多少天，然后求夠在校班用多少天。

1、這批粉筆夠一個班用多少天 40×20=800天

2、剩下的粉筆夠一個班用多少天 800–10×20=600天

3、剩下幾個班 20–10=10個

4、剩下的粉筆夠10個班用多少天 600÷10=60天(40×20–10×20)÷(20–10)=60天

例

8、甲乙兩個工人加工一批零件，甲4.5小時可加工18個，乙1.6小時可加工8個，兩個人同時工作了27小時，只完成任務(wù)的一半，這批零件有多少個？

先分別求甲乙各加工一個零件所需的時間，再求出工作了27小時，甲乙兩工人各加工了零件多少個，然后求出一半任務(wù)的零件個數(shù)，最后求出這批零件的個數(shù)。

［27÷(4.5÷18)+27÷(1.6÷8)］×2=486個

在解答某一類應(yīng)用題時，先求出總數(shù)是多少（歸總），然后再用這個總數(shù)和題中的有關(guān)條件求出問題。這類應(yīng)用題叫做歸總應(yīng)用題。

歸總，指的是解題思路。

歸總應(yīng)用題的特點是先總數(shù)，再根據(jù)應(yīng)用題的要求，求出每份是多少，或有這樣的幾份。例

1、一個工程隊修一條公路，原計劃每天修450米。80天完成。現(xiàn)在要求提前20天完成，平均每天應(yīng)修多少米？

450×80÷(80–20)=600米

例

2、家具廠生產(chǎn)一批小農(nóng)具，原計劃每天生產(chǎn)120件，28天完成任務(wù)；實際每天多生產(chǎn)了20件，可以幾天完成任務(wù)？

要求可以提前幾天，先要求出實際生產(chǎn)了多少天。要求實際生產(chǎn)了多少天，要先求這批小農(nóng)具一共有多少件。

28–120×28÷(120+20)=4天

例

3、裝運一批糧食，原計劃用每輛裝24袋的汽車9輛，15次可以運完；現(xiàn)在改用每輛可裝30袋的汽車6輛來運，幾次可以運完？

24×9×15÷30÷6=18次

例

4、修整一條水渠，原計劃由8人修，每天工作7.5小時，6天完成任務(wù)，由于急需灌水，增加了2人，要求4天完成，每天要工作幾小時？

一個工人一小時的工作量，叫做一個“工時”。要求每天要工作幾小時，先要求修整條水渠的工時總量。

1、修整條水渠的總工時是多少？7.5×8×6=360工時

2、參加修整條水渠的有多少人 8+2=10人

3、要求 4天完成，每天要工作幾小時 4、360÷4÷10=9小時 7.5×8×6÷4÷(8+2)=9小時

例

5、一項工程，預(yù)計30人15天可以完成任務(wù)。后來工作的天后，又增加3人。每人工作效率相同，這樣可以提前幾天完成任務(wù)？

一個工人工作一天，叫做一個“工作日”。

要求可以提前幾天完成，先要求得這項工程的總工作量，即總工作日。

1、這項工程的總工作量是多少？15×30=450工作日 2、4天完成了多少個工作日？4×30=120工作日

3、剩下多少個工作日？450–120=330工作日

4、剩下的要工作多少天？330÷(30+3)=10天

5、可以提前幾天完成？15–(4+10)=1天 15–［(15×30–4×30)÷(30+3)+4］=1天

例

6、一個農(nóng)場計劃28天完成收割任務(wù)，由于每天多收割7公頃，結(jié)果18天就完成 了任務(wù)。實際每天收割多少公頃？

要求實際每天收割多少公頃，要先求原計劃每天收割多少公頃。要求原計劃每天收割多少公頃，要先求18天多收割了多少公頃。18天多收割的就是原計劃(28–18)天的收割任務(wù)。

1、18天多收割了多少公頃? 7×18=126公頃

2、原計劃每天收割多少公頃? 126÷(28–18)=12.6公頃

3、實際每天收割多少公頃? 12．6+7=19.6公頃 7×18÷(28–18)+7=19.6公頃 例

7、休養(yǎng)準備了120人30天的糧食。5天后又新來30人。余下的糧食還夠用多少天？

先要求出準備的糧食1人能吃多少天，再求5天后還余下多少糧食，最后求還夠用多少天。

1、準備的糧食1人能吃多少天?300×120=3600天 2、5天后還余下的糧食夠1人吃多少天?3600–5×120=3000天

3、現(xiàn)在有多少人?120+30=150人

4、還夠用多少天? 3000÷150=20天(300×120–5×120)÷(120+30)=20天

例

8、一項工程原計劃8個人，每天工作6小時，10天可以完成。現(xiàn)在為了加快工程進度，增加22人，每天工作時間增加2小時，這樣，可以提前幾天完成這項工程？

要求可以幾天完成，要先求現(xiàn)在完成這項工程多少天。要求現(xiàn)在完成這項工程多少天，要先求這項工程的總工時數(shù)是多少。

10–6×10×8÷(8+22)÷(6+2)=8天

已知兩個數(shù)以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，要求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍應(yīng)用題。解答方法是：和÷（倍數(shù)+1）＝1份的數(shù) 1份的數(shù)×倍數(shù)＝幾倍的數(shù)

例

1、有甲乙兩個倉庫，共存放大米360噸，甲倉庫的大米數(shù)是乙倉庫的3倍。甲乙兩個倉庫各存放大米多少噸？

例

2、一個畜牧場有綿羊和山羊共148只，綿羊的只數(shù)比山羊只數(shù)的2倍多4只。兩種羊各有多少只？

山羊的只數(shù)：(148-4)÷(2+1)=48只 綿羊的只數(shù)：48×2+4=100只

例

3、一個飼養(yǎng)場養(yǎng)雞和鴨共3559只，如果雞減少60只，鴨增加100只，那么，雞的只數(shù)比鴨的只數(shù)的2倍少1只。原來雞和鴨各有多少只？

雞減少60只，鴨增加00只后，雞和鴨的總數(shù)是3559-60+100=3599只，從而可求出現(xiàn)在鴨的只數(shù)，原來鴨的只數(shù)。

1、現(xiàn)在雞和鴨的總只數(shù)：3559-60+100=3599只

2、現(xiàn)在鴨的只數(shù)：(3599-1)÷(2+1)=1200只

3、原來鴨的只數(shù)：1200-100=1100只

4、原來雞的只數(shù)：3599-1100=2459只

例

4、甲乙丙三人共同生產(chǎn)零件1156個，甲生產(chǎn)的零件個數(shù)比乙生產(chǎn)的2倍還多15個；乙生產(chǎn)的零件個數(shù)比丙生產(chǎn)的2倍還多21個。甲乙丙三人各生產(chǎn)零件多少個？

以丙生產(chǎn)的零件個數(shù)為標準(1份的數(shù))，乙生產(chǎn)的零件個數(shù)=丙生產(chǎn)的2倍-21個；甲生產(chǎn)的零件個數(shù)=丙的(2×2)倍+(21×2+15)個。

丙生產(chǎn)零件多少個？(1156-21-21×2-15)÷(1+2+2×2)=154個 乙：154×2+21=329個 甲：329×2+15=673個

例

5、甲瓶有酒精470毫升，乙瓶有酒精100毫升。甲瓶酒精倒入乙瓶多少毫升，才能使甲瓶酒精是乙瓶的2倍？

要使甲瓶酒精是乙瓶的2倍，乙瓶 是1份，甲瓶是2份，要先求出一份是多少，再求還要倒入多少毫升。

1、一份是多少？(470+100)÷(2+1)=190毫升

2、還要倒入多少毫升？190-100=90毫升

例

6、甲乙兩個數(shù)的和是7106，甲數(shù)的百位和十位上的數(shù)字都是8，乙數(shù)百位和十位上的數(shù)字都是2。用0代替這兩個數(shù)里的這些8和2，那么，所得的甲數(shù)是乙數(shù)的5倍。原來甲乙兩個數(shù)各是多少？

把甲數(shù)中的兩個數(shù)位上的8都用0代替，那么這個數(shù)就減少了880；把乙數(shù)中的兩個數(shù)位上的2都用0代替，那么這個數(shù)就減少了220。這樣，原來兩個數(shù)的和就一共減少了(880+220)［7106-(880+220)］÷(5+1)+220=1221??乙數(shù) 7106-1221=5885??甲數(shù) 已知兩個數(shù)的差以及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，要求這兩個數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做差倍應(yīng)用題。

解答方法是：差÷（倍數(shù)-1）＝1份的數(shù) 1份的數(shù)×倍數(shù)＝幾倍的數(shù)

例

1、甲倉庫的糧食比乙倉多144噸，甲倉庫的糧食噸數(shù)是乙倉庫的4倍，甲乙兩倉各存有糧食多少噸？

以乙倉的糧食存放量為標準(即1份數(shù))，那么，144噸就是乙倉的(4-1)份，從而求得一份是多少。

114÷(4-1)=48噸??乙倉

例

2、參加科技小組的人數(shù)，今年比去年多41人，今年的人數(shù)比去年的3倍少35人。兩年各有多少人參加？

由“今年的人數(shù)比去年的3倍少35人”，可以把去年的參加人數(shù)作為標準，即一份的數(shù)。今年參加人數(shù)如果再多35人，今年的人數(shù)就是去年的3倍。(41+35)就是去年的(3-1)份

去年：(41+35)÷(3-1)=38人

例

3、師傅生產(chǎn)的零件的個數(shù)是徒弟的6倍，如果兩人各再生產(chǎn)20個，那么師傅生產(chǎn)的零件個數(shù)是徒弟的4倍。兩人原來各生產(chǎn)零件多少個？

如果徒弟再生產(chǎn)20個，師傅再生產(chǎn)20×6=120個，那么，現(xiàn)在師傅生產(chǎn)的個數(shù)仍是徒弟的6倍?？梢?0×6-20=100個就是徒弟現(xiàn)有個數(shù)的6-2=4倍。

(20×6-20)÷(6-4)-20=30個??徒弟原來生產(chǎn)的個數(shù) 30×6=180個師傅原來生產(chǎn)個數(shù)

例

4、第一車隊比第二車隊的客車多128輛，再起從第一車隊調(diào)出11輛客車到第二車隊服務(wù)，這時，第一車隊的客車比第二車隊的3倍還多22輛。原來兩車隊各有客車多少輛？ 要求“原來兩車隊各有客車多少輛”，需要求“現(xiàn)在兩車隊各有客車多少輛”；要求“現(xiàn)在兩車隊各有客車多少輛”，要先求現(xiàn)在第一車隊比第二車隊的客車多多少輛。

1、現(xiàn)在第一車隊比第二車隊的客車多多少輛? 128-11×2=106輛

2、現(xiàn)在第二車隊有客車多少輛？(106-22)÷(3-1)=42輛

3、第二車隊原有客車多少輛？42-11=31輛

4、第一車隊原有客車多少輛？31+128=159輛

例

5、小華今年12歲，他父親46歲，幾年以后，父親的年齡是兒子年齡的3倍？ 父親的年齡與小華年齡的差不變。

要先求當(dāng)父親的年齡是兒子年齡的3倍時小華多少歲，再求還要多少年。(46-12)÷(3-1)-12=5年

例

6、甲倉存水泥64噸，乙倉存水泥114噸。甲倉每天存入8噸，乙倉每天存入18噸。幾天后乙倉存放水泥噸數(shù)是甲倉的2倍？

現(xiàn)在甲倉的2倍比乙倉多(64×2-114)噸，要使乙倉水泥噸數(shù)是甲倉的2倍，每天乙倉實際只多存入了(18-2×8)噸。

(64×2-114)÷(18-2×8)=7天

例

7、甲乙兩根電線，甲電線長63米，乙電線長29米。兩根電線剪去同樣的長度，結(jié)果甲電線所剩下長度是乙電線的3倍。各剪去多少米？

要求“各剪去多少米”，要先求得甲乙兩根電線所剩長度各是多少米。兩根電線的差不變，甲電線的長度是乙電線的3倍。從而可求得甲乙兩根電線所剩下的長度。

1、乙電線所剩的長度?(63-29)÷(3-1)=17米

2、剪去長度?29-17=12米

例

8、有甲乙兩箱橘子。從甲箱取10只放入乙箱，兩箱的只數(shù)相等；如果從乙箱取15只放入甲箱，甲箱橘子的只數(shù)是乙箱的3倍。甲乙兩箱原來各有橘子多少只？

要求“甲乙兩箱原來各有橘子多少只”，先求甲乙兩箱現(xiàn)在各有橘子多少只。

已知現(xiàn)在“甲箱橘子的只數(shù)是乙箱的3倍”，要先求現(xiàn)在甲箱橘子比乙箱多多少只。原來甲箱比乙箱多10×2=20只，“從乙箱取15只放入甲箱”，又多了15×2=30只?，F(xiàn)在兩箱橘子相差(10×2+15×2)只。

(10×2+15×2)÷(3-1)+15=40只??乙箱 40+10×2=60只??甲箱 已知兩個數(shù)的和與它們的差，要求這，叫做和差應(yīng)用題。解答方法是：（和+差）÷2＝大數(shù)（和-差）÷2＝小數(shù)

例

1、果園里有蘋果樹和梨樹共308棵，蘋果樹比梨樹多48棵。蘋果樹和梨樹各有多少棵？

例

2、甲乙兩倉共存貨物1630噸。如果從甲倉調(diào)出6噸放入乙倉，甲倉的貨物比乙倉的貨物還多10噸。甲乙兩倉原來各有貨物多少噸？

從甲倉調(diào)出6噸放入乙倉，甲倉的貨物比乙倉的貨物還多10噸，可知原來兩倉貨物相差6×2+10=22噸，由此，可根據(jù)兩倉貨物的和與差，求得兩倉原有貨物的噸數(shù)。

例

3、某公司甲班和乙班共有工作人員94人，因工作需要臨時從乙班調(diào)46人到甲班工作，這時，乙班比甲班少12人，原來甲班和乙班各有工作人員多少人？

總?cè)藬?shù)不變。即原來和現(xiàn)在兩班工作人員的和都是94人。現(xiàn)在兩班人數(shù)相差12人。要求原來甲班和乙班各有工作人員多少人，先要求現(xiàn)在甲班和乙班各有工作人員多少人？

1、現(xiàn)在甲班有工作人員多少人?(94+12)÷2=53人

2、現(xiàn)在乙班有工作人員多少人?(94-12)÷2=41人

3、原來甲班有工作人員多少人?53-46=7人

4、原來乙班有工作人員多少人?41+46=87人

例

4、甲乙丙三人共裝訂同一種書刊508本。甲比乙多裝訂42本，乙比丙多裝訂26本。他們?nèi)烁餮b訂多少本？

先確定一個人的裝訂本數(shù)為標準。如果我們選定乙的裝訂本數(shù)為標準，從總數(shù)508中減去甲比乙多裝訂4的2本，加上丙比乙少裝訂的26本，得到的就是乙裝訂本數(shù)的3倍。由此，可求得乙裝訂的本數(shù)。

乙：(508-42+26)÷3=164本 甲丙略

例

5、三輛汽車共運磚9800塊，第一輛汽車比其余兩車運的總數(shù)少1400塊，第二輛比第三輛汽車多運200塊。三輛汽車各運磚多少塊？

根據(jù)“三輛汽車共運磚9800塊”和“第一輛汽車比其余兩車運的總數(shù)少1400塊”，可求得第一輛汽車和其余兩車各運磚多少塊。

根據(jù)“其余兩車共運磚塊數(shù)”和“第二輛比第三輛汽車多運200塊”可求得第二輛和第三輛各運磚多少塊。

1、第一輛：(9800-1400)÷2=4200塊

2、第二輛和第三輛共運磚塊數(shù)：9800-4200=5600塊

3、第二輛：(5600+200)÷2=2900塊

4、第三輛：5600-2900=2700塊

例

6、甲乙丙三人合做零件230個。已知甲乙兩人做的總數(shù)比丙多38個；甲丙兩人做的總數(shù)比乙多74個。三人各做零件多少個？

先把跽兩人做的零件總數(shù)看成一個數(shù)，從而求出丙做零件的個數(shù)，再把甲丙兩人做的零件總數(shù)看作一個數(shù)，從而求出乙做零件的個數(shù)。丙：(230-38)÷2=96個 乙：(230-38)÷2=78個 甲略

例

7、一列客車長280米，一列貨車長200米，在平行的軌道上相向而行，兩車從兩車頭相遇到兩車尾相離共經(jīng)過15秒；兩列車在平行軌道上同向而行，貨車在前，客車在后，從兩車相遇(貨車車尾和客車車頭)到兩車相離(貨車車頭和客車車尾)經(jīng)過2分鐘。兩列車的速度各是多少？

由相向而行從相遇到相離經(jīng)過15秒，可求得兩列車的速度和(280+200)÷15；由同向而行從相遇到相離經(jīng)過2分鐘，可求得兩列車的速度差(280-200)÷(60×2)。從而求得兩列車的速度。

例

8、五年級三個班共有學(xué)生148人。如果把1班的3名學(xué)生調(diào)到2班，兩班人數(shù)相等；如果把2班的1名學(xué)生調(diào)到3班，3班還比2班少3人。三個班原來各有學(xué)生多少人？ 由“如果把1班的3名學(xué)生調(diào)到2班，兩班人數(shù)相等”，可知，1班學(xué)生人數(shù)比2班多3×2=6人；由“如果把2班的1名學(xué)生調(diào)到3班，3班還比2班少3人”可知，2班學(xué)生人數(shù)比3班多1×2+3=5人。如果確定以2班學(xué)生人數(shù)為標準，由“三個班共有學(xué)生148人”和“1班學(xué)生人數(shù)比2班多3×2=6人，2班學(xué)生人數(shù)比3班多1×2+3=5人”可先求得2班的學(xué)生人數(shù)。

(148-3×2+1×2+3)÷3=49人??2班 甲丙班略

已知兩人的年齡，求他們之間的某種數(shù)量關(guān)系；或已知兩人年齡之間的數(shù)量關(guān)系，求他們的年齡等，這類問題叫做年齡應(yīng)用題問題。

年齡問題的主要特點是：大小年齡差是個不變量。差是定值的兩個量，隨時間的變化，倍數(shù)關(guān)系也會發(fā)生變化。

這類應(yīng)用題往往是和差應(yīng)用題、和倍應(yīng)用題、差倍應(yīng)用題的綜合應(yīng)用。

例

1、小方今年11歲，他爸爸今年43歲，幾年以后，爸爸的年齡是小方年齡的3倍？ 因為小方與爸爸的年齡差43-11=32不變。以幾年后小方的年齡為1份數(shù)，爸爸的年齡就是3份的數(shù)。根據(jù)差倍應(yīng)用題的解法，可求出小方幾年后的年齡。

(43-11)÷(3-1)=16歲 16-11=5年

例

2、媽媽今年比兒子大24歲，4年后媽媽年齡是兒子的5倍。今年兒子幾歲？ “媽媽今年比兒子大24歲“，4年后也同樣大24歲，根據(jù)差倍應(yīng)用題的解法，可求得4年后兒子的年齡，進而求得今年兒子的年齡。

24÷(5-1)-4=2歲

例

3、今年甲乙兩人年齡和為50歲，再過5年，甲的年齡是乙的4倍。今年甲乙兩人各幾歲？

今年甲乙兩人年齡和為50歲，再過5年，兩人的年齡和是50+5×2=60歲。根據(jù)和倍應(yīng)用題的解法?？汕蟮?年后乙的年齡，從而求得今年乙的年齡和甲的年齡。

例

4、小高5年前的年齡等于小王7年后的年齡。小高4年后與小王3年前的年齡和是35歲。今年兩人各是多少歲？

由“小高5年前的年齡等于小王7年后的年齡“可知，小高比小王大5+7歲；他們倆今年年齡的和為：35+3-4=30歲，根據(jù)和差應(yīng)用題的解法，可求得今年兩人各是多少歲。由第一個條件可知，小高比小王在5+7＝12歲。由第二個條件可知，他們的年齡和為35+3-4＝34歲。

“根據(jù)兩個差求未知數(shù)”是指分析問題的思考方法?！皟蓚€差”是指題目中有這樣的數(shù)量關(guān)系。例如：總量之差與單位量之差；時間之差與速度之差或距離之差等等。解題時可以找出題目中的兩個差，再根據(jù)兩個這間的相應(yīng)關(guān)系使總量得到解決。

例

1、百貨商場上午賣出洗衣機8臺，下午賣出同樣的洗衣機12臺，下午比上午多收售貨款6600元，每臺洗衣機售價多少元？6600÷(12-8)=1650元

例

2、一輛汽車上午行駛120千米，下午行駛210千米。下午比上午多行駛1.5小時。平均每小時行駛多少千米？(210-120)÷1.5=60千米

例

3、新建一個圖書室和一個辦公室。室內(nèi)地面共有234平方米。已知辦公室比圖書室小54平方米。用同樣的磚鋪地，圖書室比辦公室多用864塊。圖書室和辦公室地面各用磚多少塊？

由“辦公室比圖書室小54平方米”和“圖書室比辦公室多用864塊”可求得“平均每平方米需用磚多少塊”；由“室內(nèi)地面共有234平方米”和“辦公室比圖書室小54平方米”，可求得“”。從而求得各用磚多少塊。

例

4、甲乙兩人同時從東村出發(fā)去西村，甲每分鐘行76米，乙每分鐘行68米。到達西村時，乙比甲多用了4分鐘。東西兩村間的路程是多少米？

甲乙兩人同時從東村出發(fā)，當(dāng)甲到達西村時，乙距西村還有4分鐘的路程。乙每分鐘行68米，4分鐘能行68×4=272米。也就是說，在相同的時間內(nèi)，甲比乙多行272米。這是路程這差。每分鐘甲比慚多行76-68=8米，這是速度這差。根據(jù)這兩個差，可以求出甲走完全程所用的時間，從而求得兩村之間的路程。

76×［68×4÷(76-68)］=2584米

例

5、冰箱廠原計劃每天生產(chǎn)電冰箱40臺，改進工藝后，實際每天比原計劃多生產(chǎn)5臺這樣，提前2天完成了這批生產(chǎn)任務(wù)外，還比原計劃多生產(chǎn)了35臺。實際生產(chǎn)電冰箱多少臺？

要求“實際生產(chǎn)電冰箱多少臺”，需要知道“實際每天生產(chǎn)多少臺”和“實際生產(chǎn)了多少天”。

如果實際上再生產(chǎn) 2 天后話，還能生產(chǎn)(40+5)×2=90臺，雙知比原計劃還多生產(chǎn)35臺，實際上比原計劃多生產(chǎn)了90+35=125臺，這是一個總量之差。又知實際每天比原計劃多生產(chǎn)5臺，這是生產(chǎn)效率之差。根據(jù)這兩個差可以求出原計劃生產(chǎn)的天數(shù)。從而求得實際生產(chǎn)電冰箱的臺數(shù)：40×{［(40+5)×2+35］÷5}+35=1035臺

例

6、食品廠運來一批煤，原計劃每天生產(chǎn)480千克，燒了預(yù)定的時間后，還剩下1680千克；改進燒煤方法后，實際每天燒400千克，燒了同樣的時間后，還剩下4080千克。這批煤共有多少千克？

要求這批煤共有多少千克，先要求出預(yù)定燒的天數(shù)。計劃燒后還剩1680千克，實際燒后還剩4080千克可求得實際比墳?zāi)苟嗍６嗌偾Э?，這是剩下總量之差，實際每天燒400千克，計劃每天燒480千克，可求得每天燒煤量之差。根據(jù)這兩個差，可求得燒了多少天。進而可求得燒了多少千克，這批煤共有多少千克。

400×［(4080-1680)÷(480-400)］+4080=16080千克

有關(guān)栽樹以及與栽樹相似的一類應(yīng)用題，叫做植樹問題。植樹問題通常有兩種形式。一種是在不封閉的線路上植樹，另一種是在封閉的線路上植樹。

1、不封閉線路上植樹

如果在一條不封閉的線路上可不可能，而且兩端都植樹，那么，植樹的棵數(shù)比段數(shù)多。其數(shù)量關(guān)系如下：

棵數(shù)＝總長÷株距+1 總長＝株距×（棵數(shù)-1）株距＝總長÷（棵數(shù)-1）

2、在封閉的線路上植樹，那么植樹的棵數(shù)與段數(shù)相等。其數(shù)量關(guān)系如下： 棵數(shù)＝總長÷株距 總長＝株距×棵數(shù) 株距＝總長÷棵數(shù)

例

1、有一條公路全長500米，從頭至尾每隔5米種一棵松樹?？煞N松樹多少棵？ 500÷5 +1=101棵

例

2、從校門口到街口，一共插有30面紅旗，相鄰兩面紅旗相隔6米。從校門口到街口長多少米？ 6×(30-1)=174米

例

3、在一條長150米的大路兩旁各栽一行樹，起點和終點都栽，一共栽了102棵。每相鄰兩棵樹之間的距離相等。相鄰兩棵樹之間的距離有多少米？ 150÷(102÷2-1)=3米 例

4、在一個周長為600米的池塘周圍植樹，每隔10米栽一棵楊樹，在相鄰兩棵楊樹之間每隔2米栽1棵柳樹。楊樹和柳樹各栽了多少棵？

根據(jù)“棵數(shù)=總長÷株距”，可以求出楊樹的棵數(shù)

在每兩棵楊樹之間可分為10÷2=5段，栽柳樹4-1=4棵。由此，可以求得柳樹的棵數(shù)。楊樹：600÷10=60棵 柳樹：(10÷2-1)×60=240棵

例

5、一條馬路一側(cè)，原有木電線桿97根，每相鄰的兩根相距40米?，F(xiàn)在計劃全部換用大型水泥電線桿，每相鄰兩根相距60米。需要大型水泥電線桿多少根？

1、這條路全長多少米?40×(97-1)=3840米

2、需要大型水泥電線桿多少根?3840÷60+1=65根

例

6、一座大橋長200米，計劃在大橋兩側(cè)的欄桿上共安裝32塊圖案，每塊圖案長2米，靠近橋兩端的圖案離橋端10.5米。相鄰兩圖案之間的距離是多少米？

在橋兩側(cè)共裝32塊圖案，即每側(cè)裝16塊，圖案之間的間隔有16-1=15個。用總長減去16塊圖案的距離就可以知道15個間隔的長度。

相向運動問題

同向運動問題（追及問題）背向運動問題（相離問題）

在行車、行船、行走時，按照速度、時間和距離之間的相依關(guān)系，已知其中的兩個量，要求第三個量，這類應(yīng)用題，叫做行程應(yīng)用題。也叫行程問題。

行程應(yīng)用題的解題關(guān)鍵是掌握速度、時間、距離之間的數(shù)量關(guān)系： 距離＝速度×?xí)r間 速度＝距離÷時間 時間＝距離÷速度 按運動方向，行程問題可以分成三類：

1、相向運動問題（相遇問題）

2、同向運動問題（追及問題）

3、背向運動問題（相離問題）

十、行程應(yīng)用題

相向運動問題（相遇問題），是指地點不同、方向相對所形成的一種行程問題。兩個運動物體由于相向運動而相遇。

解答相遇問題的關(guān)鍵，是求出兩個運動物體的速度之和。

基本公式有：兩地距離＝速度和×相遇時間 相遇時間＝兩地距離÷速度和 速度和＝兩地距離÷相遇時間

例

1、兩列火車同時從相距540千米的甲乙兩地相向而行，經(jīng)過3.6小時相遇。已知客車每小時行80千米，貨車每小時行多少千米？

例

2、兩城市相距138千米，甲乙兩人騎自行車分別從兩城出發(fā)，相向而行。甲每小時行13千米，乙每小時行12千米，乙在行進中因修車候車耽誤1小時，然后繼續(xù)行進，與甲相遇。求從出發(fā)到相遇經(jīng)過幾小時？

因為乙在行進中耽誤1小時。而甲沒有停止，繼續(xù)行進。也可以說，甲比乙多行1小時。如果從總路程中把甲單獨行進的路程減去，余下的路程就是跽兩人共同行進的。

(138-13)÷(13+12)+1=6小時

例

3、計劃開鑿一條長158米的隧道。甲乙兩個工程隊從山的兩邊同時動工，甲隊每天挖2.5米，乙隊每天挖進1.5米。35天后，甲隊調(diào)往其他工地，剩下的由乙隊單獨開鑿，還要多少天才能打通隧道？

要求剩下的乙隊開鑿的天數(shù)，需要知道剩下的工作量和乙隊每天的挖進速度。要求剩下的工作量，要先求兩隊的挖進速度的和，35天挖進的總米數(shù)，然后求得剩下的工作量。［158-(2.5+1.5)×35］÷1.5=12天

例

4、一列客車每小時行95千米，一列貨車每小時的速度比客車慢14千米。兩車分別從甲乙兩城開出，1.5小時后兩車相距46.5千米。甲乙兩城之間的鐵路長多少千米？ 已知1.5小時后兩車還相距46.5千米，要求甲乙兩城之間的鐵路長，需要知道1.5小時兩車行了多少千米？要求1.5小時兩車共行了多少千米。需要知道兩車的速度。

(95-14+95)×1.5+46.5=310.5千米

例

5、客車從甲地到乙地需8小時，貨車從乙地到甲地需10小時，兩車分別從甲乙兩地同時相向開出。客車中途因故停開2小時后繼續(xù)行駛，貨車從出發(fā)到相遇共用多少小時？ 假設(shè)客車一出發(fā)即發(fā)生故障，且停開2小時后才出發(fā)，這時貨車已行了全程的 ×2=，剩下全程的1-=，由兩車共同行駛。(1-×2)÷()-10分鐘

例

5、甲乙兩人騎自行車同時從學(xué)校出發(fā)，同方向前進，甲每小時行15千米，乙每小時行10千米。出發(fā)半小時后，甲因事又返回學(xué)校，到學(xué)校后又耽擱1小時，然后動身追乙。幾小時后可追上乙？

先要求得甲先后共耽擱了多少小時，甲開始追時，兩人相距多少千米 10×(0.5×2+1)÷(15-10)=4小時

例

6、甲乙丙三人都從甲地到乙地。早上六點甲乙兩人一起從甲地出發(fā)，甲每小時行5千米，乙每小時行4千米。丙上午八點才從甲地出發(fā)，傍晚六點，甲、丙同時到達乙地。問丙什么時候追上乙？

要求“兩追上乙的時間”，需要知道“丙與乙的距離差”和“速度差”。要先求丙每小時行多少千米，再求丙追上乙要多少時間

1、丙行了多少小時18-8=10小時

2、丙每小時比甲多行多少千米5×2÷10=1千米

3、丙每小時行多少千米5+1=6千米

4、丙追上乙要用多少小時4×2÷(6-4)=4小時

例

7、快中慢三輛車同時從同一地點出發(fā)，沿著同一條公路追趕前面的一個騎車人。這三輛車分別用6分鐘、10分鐘、12分鐘追上騎車人。現(xiàn)在知道快車每小時行24千米，中車每小時行20千米，那么慢車每小時行多少千米？

快中慢三輛車出發(fā)時與騎車人的距離相同，根據(jù)快車和中車追上騎車人的路程差和時間差可求得騎車人的速度，進而求慢車每小時行多少千米。

單位換算略。6分鐘= 小時 10分鐘= 小時 12分鐘= 小時

1、快車 小時行多少千米24× =2.4千米

2、中車 小時行多少千米20× = 千米

3、騎車人每小時行多少千米(-2.4)÷（）＝20天 解法二：

假定甲與乙一樣工作3天，完成的工作量為 ×3＝，這時工作量必定超過20％，超過部分 +20％，就是甲隊一天的工作量。

甲隊單獨完成這項工作所需時間1÷（×3-20％）＝20天 乙隊單獨完成這項工作所需時間1÷（）＝60天

5、乙隊單獨運完這批貨物所需天數(shù) 1÷［-（）＝

例

3、一項工程，原定100人，工作90天完成；工程進行15天后，由于采用先進工具和技術(shù)，平均每人工效提高了50％。完成這項工程可提前幾天？

要求完成這項工程，可以提前幾天，先要求出實際所用的天數(shù)；要求實際所用的天數(shù)，先要求出完成余下的工程所用的天數(shù)。全工程原定100人90天完成，那么，平均每人每天要完成全工程的 ；100人工作15天完成了全工程量的 ×100×15。余下全工程的（1-×100×15）。采用先進技術(shù)后，每人工作效率是：［ ×（1+50％）］，進而求得余下的工程所用的天數(shù)。1、100人工作15天后，還余下全工程的幾分之幾？1-×100×15＝

2、改進技術(shù)后，100人1天可以完成這項工程的幾分之幾？×（1+50％）×100＝

3、余下的工程要用多少天？÷ ＝50天

4、可提前多少天？90-15-50＝25天

綜合算式：90-15-（1-×100×15）÷［ ×（1+50％）×100］＝25天

例

4、有一水池，裝有甲乙兩個注水管，下面裝有丙管排水?？粘貢r，單開甲管5分鐘可注滿；單開乙管10分鐘可注滿。水池注滿水后，單開丙管15分鐘可將水放完。如果在空池時，將甲乙丙三管齊開，2分鐘后關(guān)閉乙管，還要幾分鐘可以注滿水池？

分析與解：先求出甲乙丙三管齊開2分鐘后，注滿了水池的幾分之幾，還余下幾分之幾。再求余下的要幾分鐘。

1、三管齊開2分鐘，注滿了水池的幾分之幾？（+）＝4分鐘

例

5、一隊割麥工人要把兩塊麥地的麥割去。大的一塊麥地比小的一塊大一倍。全隊成員先用半天時間割大的一塊麥地，到下午，他們對半分開，一半仍留在大麥地上，到傍晚時正 33 好把大麥地的麥割完；另一半到小麥地去割，到傍晚時還剩下一小塊，這一小塊第二天由1人去割，正好1天割完。這個割麥隊共有多少人？

分析與解：把大的一塊麥地算作單位“1”，小的一塊麥地為。根據(jù)題意，一半成員半天割了，一天割了，全隊成員一天可割 ×2＝。

1、全隊成員一天可割幾分之幾？ ×2＝

2、所剩的一小塊面積是幾分之幾？-（-1）＝

3、全隊有多少人？（1+×3＝

4、一個女工獨做需要多少天 1÷ ＝18天

例

8、一項工程，甲獨做10天完成，乙獨做12天可以完成，丙獨做15天完成?，F(xiàn)在三人合作甲中途因病休息了幾天，結(jié)果6天完成任務(wù)。甲休息了幾天？

如果甲沒有休息，那么甲乙丙都工作了6天，完成了工程量的幾分之幾，超過了幾分之幾，然后求得甲休息了幾天。

1、三人合做6天，完成了工程量的幾分之幾？（+ +）×6＝

2、超額完成了工程的幾分之幾？-1＝

3、甲休息了幾天？ ÷ ＝5天

牛頓問題也叫牛吃草問題。由于這個問題是由偉大的科學(xué)家牛頓提出來的，所以以后就把這類問題叫做牛頓問題。牛頓問題的特點是隨著時間的增長所研究的量也等量地增加，解答時，要抓住這個關(guān)鍵問題，也就是要求出原來的量和增加的量各是多少。

牧場上長滿牧草，每天勻速生長。這片牧場可供10頭牛吃20天，可供15頭牛吃10天。供25頭牛吃幾天？

牧草的總量不定，它是隨時間的增加而增加。但是不管它怎樣增長，草的總量總是由牧場原有草量和每天長出的草量相加得來的。

10頭牛20天吃的總草量比15頭牛10天吃的草量多，多出部分相當(dāng)于10天新長出的草量。

設(shè)法求出一天新長出的草量和原有草量。1、10頭牛20天吃的草可供多少牛吃一天？10×20=200頭、2、15頭牛10天吃的草可供多少 頭牛吃一天15×10=150頭

3、(20–10)天新長出的 草可供多少頭牛吃一天？50÷10=5頭

4、每天新長出的草可供多少頭牛吃一天？50÷10=5頭 5、20天(或10天)新長出的草可供多少頭牛吃一天？5×20=100頭

或5×10=50頭

6、原有的草可供多少頭牛吃一天？200–100=100頭

或150–50=100頭

7、每天25頭牛中，如果有5頭牛去吃新長出的草，其余的牛吃原有的草，可吃幾天？

100÷(25–5)=5天

例

2、有一水井，連續(xù)不斷涌出泉水，每分鐘涌出的水量相等。如果用3 臺抽水機抽水，36分鐘可以抽完；如果用5臺抽水機抽水，20分鐘可以抽完?，F(xiàn)在12分鐘要抽完井水，需要抽水機多少臺？

隨著時間的增長涌出的泉水也不斷增多，但原來水量和每分鐘涌出的水量不變。

1、3臺抽水機的抽水量。3×36=108臺分 2、5臺抽水機的抽水量。5×20=100臺分

3、使用3 臺抽水機比用5臺抽水機多用多少分鐘？36–20=16分

4、使用3臺抽水機比用5臺抽水機少抽的水量。108–100=8臺分

5、泉水每分鐘涌出的水量，算出需要抽水機多少臺？8÷16= 臺

6、水井分鐘涌出的水量?！?6=18臺分

7、水井原有的水量。108–18=90臺分

8、水井原有水量加上12分鐘涌出的水量?！?2=6臺分

9、水井原有水量加上12分鐘涌出的水量。90+6、12臺分

10、需要抽水機多少臺？96÷12=8臺

例

3、一片青草，每天生長速度相等。這片青草可共10頭牛吃20天，或共60只羊吃10天。如果1頭牛吃的草量等于4 只羊吃的草量，那么10頭牛與60只羊一起吃，可以吃多少天？

先把題目進行轉(zhuǎn)化。因為1頭牛吃的草量等于4 只羊吃的草量。由此，題目可以轉(zhuǎn)換成：這片青草可供(4×10)只羊吃20天，或供60只羊吃10天，問(4×10+60)只羊吃多少天？

1、(4×10)只羊20天吃的草可供多少只羊一天？4×10×20=800只天 2、60只羊10天吃的草可供多少只羊吃一天？60×10=600只天

3、(20–10)天新長出的草可供多少只羊吃一天？800–600=200只

4、每天的新長出的草可供多少只羊吃一天？200÷10=20只 5、20天新長出的草可供多少只羊吃一天？20×20=400只

6、原有草可供多少只羊吃一天？800–400=400只

7、可吃多少天？400÷(4×10+60–20)=5天

漢朝大將韓信善于用兵。據(jù)說韓信每當(dāng)部隊集合，他只要求部下士兵作1~3、1~5、1~7報數(shù)后，報告一下特各次的余數(shù)，便可知道出操公倍數(shù)和缺額。

這個問題及其解法，大世界數(shù)學(xué)史上頗負盛名，中外數(shù)學(xué)家都稱之為“孫子定理”或“中國剩余定理”。

這類問題的解題依據(jù)是：

1、如果被除數(shù)增加(或減少)除數(shù)的若干倍，除數(shù)不變，那么余數(shù)不變。例如： 20÷3=6??2(20-3×5)÷3=21??2(20+3×15)÷3=1??2

2、如果被除數(shù)擴大(縮小)若干倍，除數(shù)不變，那么余數(shù)也擴大(縮小)同樣的倍數(shù)。例如： 20÷9=2??2(20×3)÷9=6??6(20÷2)÷9=1??1

例

1、一個數(shù)除以3余2，除以5余3，除以7余2。求適合這些條件的最小的數(shù)。

1、求出能被5和7整除，而被3除余1的數(shù)，并把這個數(shù)乘以2。70×2=140

2、求出能被3和7整除，而被5除余1的數(shù)，并把這個數(shù)乘以3。21×3=63

3、求出能被5和3整除，而被7除余1的數(shù)，并把這個數(shù)乘以2。15×2=30

4、求得上面三個數(shù)的和 140+63+30=233

5、求3、57的最小公倍數(shù) ［3、5、7］=105

6、如果和大于最小公倍數(shù)，要從和里減去最小公倍數(shù)的若干倍：233–105×2=23 例

2、一個數(shù)除以3余2，除以5余2，除以7余4，求適合這些條件的最小的數(shù)。解法一： 70×2+21×2+15×4=242 ［3、5、7］=105 242–105×2=32 解法

二、35+21×2+15×4=137 ［3、5、7］=105 137–105=32 例

3、一個數(shù)除以5余3，除以6余4，除以7余1，求適合這些條件的最小的數(shù)。

1、因為［

6、7］=42，而42÷5余2，根據(jù)第二個依據(jù)，42×4÷5應(yīng)余8(2×4)，實際余3，所以取42×4=168

2、因為［

7、5］=35，而35÷6余5，則取35×2=70

3、［

5、6］=30,30÷7余2，則取30×4=120

4、［5、6、7、］=210 5、168+70+120–210=148 例

4、我國古代算書上有一道韓信點兵的算題：衛(wèi)兵一隊列成五行縱隊，末行一人；列成六行縱隊末行五人；列成七行縱隊，末行四人；列成十一行縱隊，末行十人。求兵數(shù)。

1、［6、7、11］=462 462÷5余2 462×3÷5余1 取462×3=1386

2、［7、11、5］=385 385÷6余5 385×5÷6余5 取385×5=1925

3、［11、5、6］=330 330÷7余1 220×4÷7余4 取330×4=1320

4、［5、6、7］=210 210÷11余1 210×10÷11余10 取210×10=2100

5、求四個數(shù)的和 1386+1925+1320+2100=6731

6、［5、6、7、11］=2310 7、6731–2310×2=2111

第五篇：小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路技巧

演講稿 工作總結(jié) 調(diào)研報告 講話稿 事跡材料 心得體會 策劃方案

小學(xué)數(shù)學(xué)解題思路技巧

神奇的1和0 ［知識要點］

1．我們用字母α表示除0以外的任何數(shù)，則有

⑴ α×1=1×α=α；

α÷1=α。

⑵ α＋0=0＋α=α；

α－0=α；

α×0=0×α=0；

0÷α=0。

⑶ α÷0無意義。

2．掌握含0的數(shù)的讀法，規(guī)定末尾的0不讀；中間有一個0或幾個0連在一起都只讀一個0。［范例解析］

例1 計算下面由數(shù)字1組成的“金字塔”，把所有的1都加起來，看誰算得快。

解

“金字塔”每層的和分別是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10。

它們的總和是：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10 例2 請回答：數(shù)字3最少是幾個數(shù)字相乘的積？最多呢？

解

由于3×1=3，所以3最少是兩個數(shù)字的積，最多可看成是一個數(shù)3和無窮多個數(shù)1的積。

例3 我們做一個數(shù)字計算游戲。任取一個不是1的數(shù)，如果是雙數(shù)就除以2（如取18，就18÷2）；如果是單數(shù)就乘以3加上1后再除

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以2[如取7，就（7×3＋1）÷2]?，F(xiàn)在我們?nèi)?shù)3，反復(fù)用這兩種方法計算，最后的結(jié)果怎樣？任取數(shù)7呢？

解

將數(shù)3按這兩種方法計算有：

3×3＋1=10

10÷2=5

5×3＋1=16

16÷2=8

8÷2=4

4÷2=2

2÷2=1

簡記為：3→10→5→16→8→4→2→1

同樣，對于數(shù)7有：

7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1 數(shù)3和數(shù)7經(jīng)過用規(guī)定的兩種方法反復(fù)計算，最后的結(jié)果都是1。這種計算方法稱“角谷猜想”。例4 2÷0得幾？說明理由。

解

假定2÷0=α，根據(jù)除法的意義，應(yīng)有α×0=2。但α×0=0，所以α×0不能等于2。這說明，找不到一個數(shù)與0的積等于2，故2÷0無意義。

例5 把兩個“9”和兩個“0”拿來組成四位數(shù)，那么：

⑴ 兩個0都不讀出來的數(shù)是什么數(shù)？

⑵ 只讀出一個0的數(shù)是什么數(shù)？

⑶ 四位數(shù)中最大的一個數(shù)是什么數(shù)？

⑷ 四位數(shù)中最小的一個數(shù)是什么數(shù)？

解

⑴ 9900

⑵ 9090

⑶ 9009

⑷ 9900 例6 計算：⑴ 1300×3

⑵ 1600×5

⑶ 470×3

⑷ 5008

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×5 解

［思路技巧］

任何一個數(shù)中間或末尾的0，都占一個數(shù)位。因此，用乘數(shù)去乘被乘數(shù)時，不管乘數(shù)中間有幾個0，都要一個一個地同乘數(shù)相乘；遇到被乘數(shù)末尾有0的時候，可以先用乘數(shù)去乘0前面的數(shù)，然后在乘得的數(shù)的末尾填寫0，填寫0的個數(shù)要與被乘數(shù)末尾的0的個數(shù)相同。

總之，0和1有許多奇妙的性質(zhì)，用途很廣，例如，電子計算機所采用的二進制數(shù)，就只用1和0來表示。隨著數(shù)學(xué)知識的增長，你會越來越感到它們重要。［習(xí)題精選］ 1．填空。

1×（）=1

1＋（）=1

1－（）=1

2－（）=1

1÷（）=1

7÷（）=1 2．計算。

⑴ 617×0×4

⑵ 5783×9×0

⑶ 80×3×1 ⑷ 2030×3×4

⑸ 3020×2×3

⑹ 7010×1×2 3．用“角谷猜想”計算方法填數(shù)。

⑴ 6→□→□→□→□→□→□→□→

⑵ 18→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→□→1

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4．在6的后面添上一個0，這個數(shù)是原來的幾倍？比原來的數(shù)多多少？

5．1400末尾的兩個0可以不讀，也可以不寫，對嗎？為什么？ 6．1005中間的兩個零只讀一個，也可以只寫一個，對嗎？為什么？ 7．0、2、4、6、8五個數(shù)字的和與2、4、6、8、0五個數(shù)字的積相比，不用計算，你說是和大？還是積大？ 8．比比看，誰做得又對又快？

1＋0

0＋1

1×1

1×0

1－1

0＋0

1÷1

0×0

1－0

0÷1 1＋1

6×1

6÷1

7＋0

0＋7

7－0

0÷7

7－7

7×7（6－6）×4

（8－8）×0

0÷（8－4）

1×1＋1÷1＋0×1＋0÷1 9．用四個

3、三個0寫成七位數(shù)，按下面的要求寫出各多位數(shù)：

一個零都不讀出來

（）

只讀出一個零

（）

讀出兩個零

（）

讀出三個零

（）10．?dāng)?shù)字迷。

下面每個題里都有一組數(shù)，請你從中找出一個適合各問條件的數(shù)：

⑴ 7 6 25 53 19

這個數(shù)被3除余1；

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這個數(shù)比最小的兩位數(shù)大；

這個數(shù)加上1，再乘以5正好是最小的三位數(shù)；

這個數(shù)的幾？

⑵ 30500 53010

400200 7003000

這個數(shù)只讀出一個零；

這個數(shù)的最高位在二節(jié)中；

這個數(shù)各個數(shù)位上的數(shù)的和為8；

這個數(shù)是幾？

11．用1、0、0、4四個數(shù)字寫出兩個四位數(shù)，要使它們是差是99，這兩個四位數(shù)分別是（）和（）。余數(shù)的妙用 ［知識要點］

1．被除數(shù)=除數(shù)×商＋余數(shù)；

2．余數(shù)要比除數(shù)?。?/p>

3．會解有余數(shù)除法的應(yīng)用題。［范例解析］

例1 如圖1-1。把14個乒乓球平均分給三個班，每班分得幾個？還余下幾個？

解

14÷3 = 4余2

每班分得4個還余2個。

例2 下面三個豎式，哪個對？哪個不對？為什么不對？

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解

第一個豎式不對，它的余數(shù)8比除數(shù)5還大，還可商1，即商應(yīng)為8；

第二個豎式也不對，因商和除數(shù)的積不能大于被除數(shù)；

第三個豎式是對的，余數(shù)3小于除數(shù)5。

說明

計算有余數(shù)的除法，余數(shù)一定要比除數(shù)小。這時被除數(shù)、除數(shù)、商和余數(shù)的關(guān)系是：

被除數(shù) = 除數(shù)×商＋余數(shù)

被除數(shù)－余數(shù) = 除數(shù)×商

例3 把11、12、13、14、15、16、17分別除以3時，各得哪些余數(shù)？

解

11÷3 = 3余2；

12÷3 = 4余0；

13÷3 = 4余1；

14÷3 = 4余2；

15÷3 = 5余0；

16÷3 = 5余1；

17÷3 = 5余2。說明

一串連續(xù)數(shù)除以同一個數(shù)，因為它們的余數(shù)小于除數(shù)，所以余數(shù)重復(fù)出現(xiàn)。

“余數(shù)”在我們生活中還有不少的用處呢！

例4 國慶節(jié)掛彩燈，用六種顏色的燈泡，按紅、黃、藍、白、綠、紫的次序裝配，總共要裝50只燈，每種顏色的燈泡各需要多少只？

解

可以這樣想，六種顏色的燈泡作為一組，50只燈泡可以分成50÷6 = 8（組）余2（只）

于是，其中有四種顏色的燈泡各配8只，另兩種顏色的燈泡

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各配9只。

例5 今天是星期三，再過20天是星期幾？

解

今天是星期三，因為一個星期有7天，以星期一為星期的第一天計算，因已經(jīng)過了3天。所以有

（20＋3）÷7 = 3余2

即再過20天是星期二。

例6 把4、7、18、2四個數(shù)填入下式的括號中。

（）÷（）=（）余（）

分析

第一個括號是被除數(shù)，它必須填最大的一個數(shù)18。其次，除數(shù)比余數(shù)要大，因此，第二個括號中的數(shù)必須比最后一個括號中的數(shù)要大，但是7×4大于18，所以最后一個括號中只能填數(shù)4。即題中式子填數(shù)如下：

（18）÷（7）=（2）余（4）［思路技巧］

１．正確理解余數(shù)的性質(zhì)，是正確解決有關(guān)余數(shù)問題的關(guān)鍵。

２．計算有余數(shù)的除法，余數(shù)一定要比除數(shù)小。［習(xí)題精選］ １． 看圖填數(shù)。

⑴

11÷3 = ______(根)......______（根）

⑵

14÷4 = ______(份)......______（個）

14÷3 = ______(個)......______（個）

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２． 下面各題的計算對嗎？把不對的改過來。

⑴ 38÷5 = 6......8

49÷6 = 7......7

49÷8 = 5......9

33÷4 = 8......1

2÷1 = 1......1

17÷3 = 5......2

３．（）里最大能填幾？

（）×8＜55

（）×5＜19

（）×7＜33

（）×9＜62

（）×6＜50

（）×4＜14 ４．55除以7，商幾余幾？除以8呢？除以9呢？ ５．

被4除沒有余數(shù)的：________________

被9除沒有余數(shù)的：________________ ６．⑴ 用下面各數(shù)除以2時，得到哪些余數(shù)？除以4時，得到哪些余數(shù)？11、13、14、15、17、19

⑵ 用下面各數(shù)分別除以5、6時，各得到哪些余數(shù)？11、12、13、14、15、16、17 ７．把23、7、3、2填入兩個式子中，使它們的余數(shù)相同。

（）÷（）=（）......（）

（）÷（）=（）......（）８．下面三個算式的被除數(shù)相同，你能填出來嗎？

（）÷7 =（）......1

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（）÷6 =（）......5

（）÷5 =（）......4 ９．在□里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

１０．在機場上停著20架飛機，準備每3架編為一組起飛，可以編成幾組？還聲幾架？

１１．⑴ 把16張風(fēng)景畫片平均分給5個同學(xué)，每人分得幾張？還剩幾張？

⑵ 把16張風(fēng)景畫片分給同學(xué)，每人分得5張，可以分給幾個同學(xué)？還剩幾張？

１２．⑴ 一件襯衣前面要釘5個紐扣，袖口要釘2個紐扣，一共要釘幾個紐扣？

⑵ 現(xiàn)有45個紐扣，每件釘7個，夠釘幾件襯衣？還剩幾個紐扣？

１３．有30千克水果糖，每盒裝4千克，剩下的裝在紙袋里，紙袋里裝多少千克糖？

１４．一個星期有7天，十月份有31天，十月份里有幾個星期零幾天？

１５．⑴ 學(xué)校開會慶“六一”，有9面彩旗，平均插在會場兩邊，每邊插幾面？還剩幾面？

⑵ 學(xué)校開會慶“六一”，有9面彩旗，會場兩邊各插4面旗，中間插1面旗，共插了幾面旗？

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周期現(xiàn)象 ［知識要點］

自然界里有許多現(xiàn)象，如春、夏、秋、冬年復(fù)一年地交替；白天與黑夜反復(fù)出現(xiàn)；我國民間流傳著“初

三、初四娥眉月，十五、十六月團圓”的說法；七天一個星期，等等，都是周期現(xiàn)象。

算術(shù)中也有一些有趣的周期問題。例如，一串連續(xù)的自然數(shù)被3除的余數(shù)是： 1、2、0、1、2、0、1、2、0、......它是1、2、0重復(fù)出現(xiàn)的一列數(shù)，即周期是3。

本節(jié)就是要讓學(xué)生初步了解周期現(xiàn)象，并會用周期解某些較簡單的問題。［范例解析］

例1 有一串黑白珠子排列如圖1-4所示。

○●○○○●○○○●○○○●○○○●○......圖1-4

其中黑珠與白珠共有70個，那么最后一個是黑珠還是白珠？共有幾個白珠？

解

我們由圖1-4可知○●○○四個珠子是一個周期，又70÷4=17余2，即這一串珠子經(jīng)過17次重復(fù)后還余2個珠子○●，因此，最后一個是黑珠子。

一個周期的4個主張中有3個白珠，最后2個主張中有一個白珠，白珠一共應(yīng)有：

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3×17＋1 = 51＋1 = 52（個）

說明

對于周期問題，關(guān)鍵是要抓住周期規(guī)律這一重要環(huán)節(jié)，問題才好解決。

例2 1994年4月10日是星期六，那么這一年的7月5日是星期幾？ 解

從4月10日至7月5日的天數(shù)是：

（30－9）＋31＋30＋5 = 87（天）

又一個周期的周期是7，所以

87÷7 = 12余3

即87天經(jīng)過12個星期又3天，這3天應(yīng)是星期

六、星期日、星期一。

我們推算出7月5日是星期一。

例3 1、2、0、1、2、0、1、2、0......第1995個數(shù)字是多少？ 解

這一列數(shù)中，它的一個周期是：1、2、0，即周期是3。又

1995÷3 = 665

故這一列數(shù)按12、0重復(fù)665次，所以第1995個數(shù)字是0。例4 1＋2＋3＋4＋...＋1992＋1993被5除的余數(shù)是多少？ 分析

這個問題如果先求和，就比較麻煩。我們知道，這1993個數(shù)被5除的余數(shù)周期性的出現(xiàn)，組成下面一列數(shù)： 1、2、3、4、0、1、2、3、4、0、1、2、3、4、0......我們知道，1、2、3、4、0是一個周期，周期是5。并且一個周期的5個余數(shù)的和是：

1＋2＋3＋4＋0 = 10

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又10÷5 = 2，即是一個周期中5個數(shù)字之和可被5 除盡。這就是說，前5個數(shù)字的和能被5整除，接著的5個數(shù)字的和同樣也能被5整除，等等。這樣，有多少個5個數(shù)字的和可以被5整除呢？ 我們知道，1993÷5 = 398余3。

即應(yīng)有398個5個數(shù)字的和可以被5整除。只考慮最后三個數(shù)的余數(shù)是1、2、3。

又1＋2＋3 = 6，6÷5 = 1余1 所以，它們的和被5除的余數(shù)是1。

［思路技巧］

１．對于周期問題，解決的關(guān)鍵是要正確觀察出周期的規(guī)律。２．有些問題，雖然不是周期問題，我們可以巧妙地將它轉(zhuǎn)化為周期問題來解決。［習(xí)題精選］

１．2、1、1、3、5、2、1、1、3、5......，第273個數(shù)字是多少？ ２．某年3月5日是星期四，那么這一年的10月1日是星期幾？ ３．某年的9月15 日是星期五，那么這一年的5月5日是星期幾？ ４．同樣大小的紅、白、黑三色球共193個，它們按如圖1-5規(guī)則排列，其中紅球有多少個？最后一個球是什么顏色？

５．1＋2＋3＋4＋......＋1993＋1994的和被9除的余數(shù)是多少？ ６．有14個數(shù)排成一橫排，每個數(shù)寫在一個方格子里，它們具有這樣的性質(zhì)：任何三個相鄰的數(shù)加起來都是10；另外從左邊算起的第4精心收集

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個數(shù)等于5，第12個數(shù)等于4，問第8和數(shù)“？”等于多少？

？

７．1＋2＋3＋......＋9999＋10000被7除的余數(shù)是多少？

８．1994年的1月5日是星期三，問這一年的7月1日是星期幾？ ９．1、2、0、3、1、2、0、3、1、2、0、3......這一列數(shù)的第186個數(shù)字是多少？這186個數(shù)的和是多少？

１０．拼音字母A、B、C按下面的規(guī)律排列：A、B、A、A、C、A、B、A、A、C......共有178個字母。請?zhí)钕铝锌崭瘢?/p>

⑴ 一個周期A、B、A、A、C它有（）個字母；

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⑵ 一個周期中A有（）個，余數(shù)中A有（）；

⑶ 共有（）×（）＋（）=（）個A；

⑷ 最后一個字母是（）。加減巧算 ［知識要點］

１．加法的交換律與結(jié)合律，用字母表示則有：

α＋b = b ＋α，α＋(b＋c)=(α＋b)＋c

２．減法的性質(zhì)，用字母表示則有：

α－(b＋c)= α－b－c

反之，α－b－c = α－(b＋c)［范例解析］

例1 簡便計算下列各題。

⑴ 129＋84＋71

⑵ 83＋135＋65

⑶ 34＋75＋66

128＋73＋27＋17 解

⑴

129＋84＋71 =（129＋71）＋84 = 200＋84 = 284

⑵

83＋135＋65

= 83＋（135＋65）= 83＋200

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⑷

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= 283

⑶

34＋75＋66 =（34＋66）＋75 = 100＋75 = 175

⑷

128＋73＋27＋17 =（128＋17）＋（73＋27）= 145＋100 = 245

例2 你能巧算297＋65的和嗎？

分析

我們發(fā)現(xiàn)，第一個加數(shù)只要加上數(shù)3就湊成整數(shù)300，這樣計算就方便多了。

解法一

297＋65 = 297＋65＋3－3 =（297＋3）＋（65－3）= 300＋62 = 362

解法二

297＋65 = 297＋62＋3 =（297＋3）＋62

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= 300＋62 = 362 說明

“湊整”是速算中最常見、簡單易行的方法，計算時，若湊成10、100、1000、......計算自然方便。但“湊整”不是任意湊，而是有目的地進行，才能起到速算的效果。再看例3。例3 速算下面兩題。

⑴ 3471＋5899

⑵ 3891－1992 解

⑴

3471＋5899 = 3471＋（5899＋101）－101 = 3471＋6000－101 = 9471－101 = 9370 ⑵

3891－1992 =（3891－2000）＋8 = 1891＋8 = 1899

例4 速算下面兩題。

⑴ 280－（80＋92）

⑵ 297－173－27 解

⑴

280－（80＋92）= 280－80－92 = 200－92

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= 108 ⑵

297－173－27 = 297－（173＋27）= 297－200 = 97 ［思路技巧］

“湊整”是速算中最常見的方法，有目的地把數(shù)湊成10、100、1000、......，可以使問題簡化。［習(xí)題精選］

１．簡便計算下面各題。

⑴ 74＋29＋26

⑵ 153＋29＋171

⑶ 58＋47＋42＋13

⑷ 149＋32＋151＋68

⑸ 2608＋529＋392＋27 ２．看誰算的快。

⑴ 36－12－6

⑵ 75－36－19

⑶ 129－（29＋40）

⑷ 1995－（1001＋895）３．速算。

⑴ 5789＋2011

⑵ 1832－997

⑶ 6801＋345＋3199

⑷ 362＋345＋638＋655 ４．看誰算的快。

⑴ 57＋78＋43＋42

⑵ 249＋132＋151＋68

⑶ 405＋997

⑷ 298＋87 ５． 下面有這樣幾排數(shù)。

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⑴ 第一豎行各個數(shù)的和是15，請你很快算出其余四個豎行各個數(shù)的和；

⑵ 第一橫行各個數(shù)的和是55，請你很快算出其余四個豎行各個數(shù)的和。乘法巧算

［知識要點］

１．用乘法口訣計算減法；

２．乘法的交換律、結(jié)合律。用字母表示為：

α×b = b×α，α×(b×c)=(α×b)×c；

３．乘法對加法的分配律，用字母表示為：

α×(b＋c)= α×b＋α×c；

α×b＋α×c = α×(b＋c)［范例解析］

例1 下面有一組減法計算題，想一想，能找出它們的計算規(guī)律嗎？

21－12 = 9

31－13 = 18

41－14 = 27

51－15 = 36

61－16 = 45

71－17 = 54

81－18 = 63

91－19 = 72 分析

首先看被減數(shù)和減數(shù)的關(guān)系，它們正好是被減數(shù)的十位數(shù)字與

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個位數(shù)字的位置交換了一下就得到減數(shù)；其次，它們的差正好是9的倍數(shù)。即9的1倍、2倍、3倍、4倍、5倍、6倍、7倍、8倍，也即是9的乘法口訣的得數(shù)。這是說明道理？

因為十位上的數(shù)變成個位上的數(shù)，就要相差幾個9，如10→1，差1個9；20→2，差2個9；30→3，差3個9；......反過來也一樣，1→10，差1個9；2→20，差2個9；3→30，差3個9；......所以，一個兩位數(shù)交換它的個位與十位上的數(shù)字的位置后，得一新的兩位數(shù)，然后將大數(shù)減去小數(shù)，它們的差就是這兩個數(shù)字的差與9的乘積。即可用的乘法口訣計算。例2 下面一組減法題，看誰算得快。

⑴ 72－27 =（）

⑵ 43－34 =（）

⑶ 83－38 =（）

⑷ 53－35 =（）

⑸ 94－49 =（）⑹ 63－36 =（）

⑺ 87－78 =（）

⑻ 73－37 =（）

解

⑴ 五九四十五

⑵ 一九得九

⑶ 五九四十五

⑷ 二九一十八

⑸ 五九四十五

⑹ 三九二十七

⑺ 五九四十五

⑻ 四九三十六

例3 簡便計算下列各題。

⑴ 214×5×8

⑵ 6×586×5

⑶ 1607×4×5

⑷ 25×8×125×4 解

⑴ 214×5×8

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= 214×（5×8）= 214×40 = 8560 ⑵ 6×586×5 =（6×5）×586 = 30×58 = 17580 ⑶ 1607×4×5 = 1607×（4×5）= 1607×20 = 32140 ⑷ 25×8×125×4 =（25×4）×（125×8）= 100×1000 = 100000 例4 下面有一組乘法算式，看誰算得快。

1×99 =

2×99 =

3×99 =

4×99 =

5×99 =

6×99 =

7×99 =

8×99 =

9×99 = 分析

我們首先找規(guī)律。從2×99看起，它可以靠成是：

2×99 = 2×（100－1）

= 2×100－2×1

= 200－2

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=198

照這樣計算，3×99 = 300－3 = 297，即幾乘以99可看成是幾百減去幾就得結(jié)果，因此，我們可很快算出各式的結(jié)果。

解

1×99 = 99

2×99 = 200－2 = 198

3×99 = 300－3 = 297

4×99 = 400－4 = 396

5×99 = 500－5 = 495

6×99 = 600－6 = 594

7×99 = 700－7 = 693

8×99 = 800－5 = 792

9×99 = 900－9 = 891 ［思路技巧］

有目的地把數(shù)湊成整

十、整百、......，可使計算簡便。［習(xí)題精選］

１．請你用乘法口訣來計算下面各題，看誰算得快。

53－35 =（）

94－49 =（）

73－37 =（）

82－28 =（）

63－36 =（）

40－4 =（）

32－23 =（）

80－8 =（）

96－69 =（）

70－7 =（）

42－24 =（）

71－17 =（）２．速算下面各題。

⑴ 2×729×5

⑵ 4×83×25

⑶ 17×125×8 ⑷ 132×5×4

⑸ 222×5×8

⑹ 828×25×2

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３．簡便計算。

⑴ 42×3＋42×2

⑵ 17×19＋181×17

⑶ 125×（8－1）

⑷ 5×（24＋38）４．下面有三個算式：

142×2 = 284

142×3 = 426

142×4 = 568 你能利用這三個算式計算下面兩道乘法題的得數(shù)嗎？

142×5 =（）

142×6 =（）

５．我們知道：37×3 = 111，你能利用它快速算出下面各式結(jié)果嗎？

37×6 =

37×9 =

37×12 =

37×15 =

37×18 =

37×21 = 連續(xù)自然數(shù)求和 ［知識要點］

１．連續(xù)自然數(shù)求和的方法：

頭尾兩數(shù)相加的和×加數(shù)的個數(shù)÷2 ２．連續(xù)自然數(shù)逢單時求和的方法：

中間的加數(shù)×加數(shù)的個數(shù)。［范例解析］

例1 比一比，看誰算得快。

1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9 = ？ 解法1 如圖2-2所示。

4個10加上5等于45。

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解法2 如圖2-3所示。5個9等于45。解法3

得到9個10，即90，它是和數(shù)的2倍，即90÷2 = 45。說明

解法1是利用“湊整”技巧進行簡算； 解法2是利用“0”的神奇性配對進行速算； 解法3是常說的高斯求和法速算。

你聽說過數(shù)學(xué)家高斯小時候的故事嗎？有一次老師出了一道數(shù)學(xué)題： “求1＋2＋3＋4＋......＋100的和”。老師的話音剛落，高斯就舉手說：等于5050。

高斯是怎樣算的？他將這100個數(shù)倒過來，每相對兩數(shù)的和等于101，共有100個101，將101乘以100后再除以2，結(jié)果等于5050。我們由此得到啟發(fā)，一組連續(xù)自然數(shù)相加時，可用下面的公式求和。

頭尾兩數(shù)相加的和×加數(shù)的個數(shù)÷2 例2 計算下面兩題。

⑴ 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13 = ？

⑵ 21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28 =？ 解

⑴ 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13

=（4＋13）×10÷2

= 17×10÷2

= 170÷2

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= 85

⑵ 21＋22＋23＋24＋25＋26＋27＋28

=（21＋28）×8÷2

= 49×8÷2

= 392÷2

= 196 說明

只要的連續(xù)自然數(shù)求和，不一定要從1開始，均可用此法計算。例3 求和：53＋54＋55＋56＋57＋58＋59 解法1

53＋54＋55＋56＋57＋58＋59

=（53＋59）×7÷2

= 112×7÷2

= 784÷2

= 392 解法2

53＋54＋55＋56＋57＋58＋59

= 56×7

= 392 說明

如果相加的連續(xù)自然數(shù)的個數(shù)逢單時，也可用下式計算和：

中間的加數(shù)×加數(shù)的個數(shù)。例4 求和。

⑴ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17

⑵ 24＋26＋8＋30＋32 解

⑴ 1＋3＋5＋7＋9＋11＋13＋15＋17

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= 9×9 = 81 ⑵ 24＋26＋8＋30＋32 = 28×5 = 140 說明

此兩題雖然不是連續(xù)自然數(shù)相加，但是每相鄰的兩個加數(shù)直接都相差同一個數(shù)，同樣可用公式計算。［思路技巧］

計算連續(xù)自然數(shù)相加時，可用頭尾兩數(shù)相加的和×加數(shù)的個數(shù)÷2計算；如果相加的連續(xù)自然數(shù)是單數(shù)時，可用中間的加數(shù)×加數(shù)的個數(shù)求和；如果不是連續(xù)自然數(shù)相加，但每相鄰兩個加數(shù)之間都相差同一個數(shù)，也可用以上兩種方法計算。［習(xí)題精選］ １．求和。

⑴ 12＋13＋14＋15＋16＋17＋18＋19 ⑵ 28＋29＋30＋31＋32＋33 ⑶ 101＋104＋107＋110＋113＋116 ２．求和。

⑴ 41＋42＋43＋44＋45 ⑵ 12＋14＋16＋18＋20＋22＋24 ３．求和。

⑴ 77＋78＋79＋80＋81＋82

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⑵ 1006＋1005＋1004＋1003＋1002＋1001 用運算符號連算式 ［知識要點］

１．添運算符號＋、－、×、÷和括號（），使等式成立；

２．逆推法；

３．湊數(shù)放。［范例解析］

例１

用運算符號把下面式子中的４個３連起來，使等式成立。

３ ３ ３ ３= 9

①

分析

我們從最后一個3向前考慮添運算符號，如果添×號，①變?yōu)椋骸?3 = 9 兩邊除以3，即為= 3

②

將②中左邊最后一個3前再添×號，②變?yōu)椋骸?3 = 3，兩邊再除以3，即為：= 1。顯然再添÷號。解÷ 3 × 3 × 3 = 9 例２

在下列5個5之間，添上適當(dāng)?shù)倪\算符號--＋、－、×、÷和（），使得下面等式成立。

5 5 5 5 = 10

①

分析

我們從①的后邊逐步向前邊考慮，最后一個5前面如果要添運算符號的話，只可能是＋、－、×、÷運算符號中的一個。如果是加號，①式變?yōu)?/p>

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演講稿 工作總結(jié) 調(diào)研報告 講話稿 事跡材料 心得體會 策劃方案 5 5 5 ＋ 5 = 10

②

兩邊減5，即變?yōu)?5 5 5 5 = 5

③

再重復(fù)上面的想法，如果③左邊最后一個5前面又是加號，則③式變?yōu)? 5 5=0。這等式很容易得出：

（5－5）×5 = 0或（5－5）÷5 = 0或5×（5－5）= 0 如果③式左邊最后一個5前面是減號，③式變?yōu)? 5 5 = 10，這式子沒有解。

如果③式左邊最后一個5前面是乘號或除號，也沒有解。

如果①式最后一個5前面是減號、乘號或除號，可采用上面的方法進行同樣的分析。

解

（5－5）×5＋5＋5 = 10（5－5）÷5＋5＋5 = 10

5×（5－5）＋5＋5 = 10

（5×5＋5×5）÷5 = 10

（5÷5＋5÷5）×5 = 10

等等。

說明

上面的分析方法，是從最后一個數(shù)字開始向前推想，所以我們可以把這種方法叫逆推法，使用時一定要考慮全面、周到。例３

在下列六個數(shù)的中間添上適當(dāng)?shù)倪\算符號，使得下面的算式成立：965 2 7 8 314 0 = 1986。

分析

這題如果采用逆推法，那肯定會相當(dāng)?shù)穆闊覀儽仨毩硇锌?/p>

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慮，先找一個與1986比較接近的數(shù)，如965×2 = 1930，這個數(shù)比1986小56，這樣原問題就轉(zhuǎn)化為：能否用剩下的六個數(shù)經(jīng)過適當(dāng)?shù)乃膭t運算得出一個等于56的算式呢？然后作適當(dāng)?shù)脑黾踊驕p少，使算式成立，增加或減小的部分也采用上述的方法，我們也給它取個名，叫湊數(shù)法。

解

965×2＋7×8＋314×0 = 1986 例４

在下列數(shù)碼的某些相鄰地方，只添運算符號＋和－，使得等式成立： 8 7 6 5 4 3 2 1 = 20 分析

我們從頭開始想，98＋7 = 105

105－65 = 40 這一來問題轉(zhuǎn)化我用4 3 2 1湊出個20來，而21－3＋3 = 20。解

98＋7－65＋4－3－21 = 20 例５

有2、3、4、6四個數(shù)字，請你選擇合適的運算符號，最少組成五個算式，使它們都等于24。

解

2×6＋3×4 = 24； 4×6÷（3－2）= 24； 3×6＋4＋2 = 24； 4×2×（6－3）= 24； 3×（6－2＋4）= 24 ［思路技巧］

在數(shù)字之間添加運算符號使，可采用逆推法或湊數(shù)法解答。

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［習(xí)題精選］

１．在3個7中間的□里添入適當(dāng)?shù)倪\算符號和括號，使等式成立。

7□7□7 = 2

7□7□7 = 6

7□7□7 = 8 7□7□7 = 7

7□7□7 = 42

7□7□7 = 56 ２．在下面各數(shù)之間填上“＋”、“－”、“×”、“÷”、“（）”使等式成立。

⑴ 快樂的1989年：

4 4 4 4 = 1

4 4 4 4 = 9

4 4 4 4 = 8

4 4 4 4 = 9 ⑵ 慶祝國慶四十周年：

2 3 4 5 6 = 40

3 4 5 6 1 = 40

4 5 6 1 2 = 40

5 6 1 2 3 = 40

6 1 2 3 4 = 40

1 2 3 4 5 = 40 ⑶ 在下面○里填上和左邊對應(yīng)地方不同的運算符號，使兩邊的計算結(jié)果相等。

6＋2＋4 = 6○2○4

8＋2＋3 = 8○2○3

12－2－2 = 12○2○2

18－9－3 = 18○9○3

1×3＋2×4 = 1○3○2○4 ⑷ 下面每一道小題的□里都要填同一個數(shù)字。

□＋□＜□×□

□＋□＞□×□

□＋□＝□×□

□＋□＞□÷□

３．在（）中填上＋、－、×、÷符號使等式成立。

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1（）2（）3 = 1

1（）2（）3（）4 = 9

1（）2（）3（）4（）5 = 8

1（）2（）3（）4（）5（）6 = 9 ４．○內(nèi)應(yīng)填上什么運算符號？□內(nèi)應(yīng)填上什么數(shù)？

５．只填一個加號和兩個減號于下列某些數(shù)碼間，使等式成立。2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ６．只填兩個加號和兩個減號于下列某些數(shù)碼間，使等式成立。2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ７．只填一個乘號和七個加號于下列9個數(shù)之間，使等式成立。2 3 4 5 6 7 8 9 = 100 ８． 下面是幾組數(shù)碼，逆能不能將它們分別拼成數(shù)，并用運算符號排成一道算式題，使各題的得數(shù)均等于1995？

例如，“5、5、7、7”這組數(shù)得：5×5×57 = 1995 ⑴ 3、3、6、6、6 ⑵ 3、3、3、3、3、3、3、3 找規(guī)律填數(shù) ［知識要點］

１．?dāng)?shù)列填數(shù)；

２．陣圖填數(shù)。［范例解析］

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例1 找規(guī)律填出后面三個數(shù)：

⑴ 3，4，6，9，13，18，______，______，______； ⑵ 56，61，47，44，______，______，______； ⑶ 3，9，27，______，______，______； ⑷ 7，14，21，28，______，______，______； ⑸ 0，1，1，2，3，5，8，______，______，______。

解

⑴ 這一列數(shù)，從第二個數(shù)開始，逐漸增大，那它是按什么規(guī)律變化的呢？我們仔細觀察，第二個數(shù)4比第一個數(shù)3大1；第三個數(shù)比第二個數(shù)大2；第四個數(shù)比第三個數(shù)大3；第五個數(shù)比第四個數(shù)大4；第六個數(shù)比第五個數(shù)大5。如圖3-1所示。

即是按照加

1、加

2、加

3、加

4、......的規(guī)律加下去。因此，應(yīng)填24，31，39。

⑵ 這一列數(shù)正好⑴相反，它們是逐漸減少。其中，第二個數(shù)51比第一個數(shù)56少5；第三個數(shù)又比第二個數(shù)少4；第四個數(shù)比第三個數(shù)少3。如圖3-2所示。

即是按照減

5、減

4、減

3、......的規(guī)律減下去。因此，應(yīng)填42，41，40。

⑶ 這一列數(shù)中，第二個數(shù)是第一個數(shù)的3倍；第三個數(shù)又是第二個數(shù)的3倍，如圖3-3所示。

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圖3-3

即是按照前一個數(shù)擴大3倍，得后一個數(shù)的規(guī)律算下去。因此，應(yīng)填81，243，729。

⑷ 我們觀察發(fā)現(xiàn)，這一列數(shù)中的第二個數(shù)是第一個數(shù)的2倍，第三個數(shù)又是第一個數(shù)的3倍，第四個數(shù)是第一個數(shù)的4倍，如圖3-4所示。

即是按照把第一個數(shù)擴大2倍、3倍、4倍......的規(guī)律酸下去因此，應(yīng)填35，42，49。

⑸ 這一列數(shù)的變化規(guī)律較復(fù)雜一點，要仔細地觀察。我們改變一下觀察研究的順序，即從8起往左看，可看出：8是3＋5的和，5又是它的前兩個數(shù)2＋3的和，3則是1＋2的和，2是1＋1的和，1是0＋1的和。如圖3-5所示。

即是按照后一個數(shù)是前兩個數(shù)的和的規(guī)律算下去。因此，應(yīng)填13，21，34。

說明

在一列數(shù)中填數(shù)，關(guān)鍵是要找出這列數(shù)中各數(shù)之間的變化規(guī)律，按規(guī)律酸下去，才能正確填才其中的缺數(shù)。例2 你能把空缺的數(shù)填出來嗎？ 2 8 3

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演講稿 工作總結(jié) 調(diào)研報告 講話稿 事跡材料 心得體會 策劃方案 4 4 2 分析

我們發(fā)現(xiàn)，這已知的7個數(shù)字之間找不出它們的變化規(guī)律。因此，我們應(yīng)該變換觀察的角度，即分單雙位上的數(shù)考慮，這就將一列數(shù)分才人下的兩列數(shù)： 2 3 4 ？

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前一列數(shù)是按照后一個數(shù)是前一個數(shù)加1的規(guī)律算下去，因此，空缺數(shù)應(yīng)填5。

說明

有時一列數(shù)是由兩個有規(guī)律的數(shù)串混合組成的。在填空缺數(shù)時，應(yīng)注意這一點。

例3 找規(guī)律，很快把圖3-6中小圓圈里的數(shù)填出來。

分析

首先觀察第一橫行和第二橫行，發(fā)現(xiàn)第二橫行的第二、第三、第四個數(shù)都是它的第一個數(shù)3與第一橫行的第二、第三、第四個數(shù)的乘積。即3×2 = 6，3×3 = 9，3×5 = 15。又第三橫行的第四個數(shù)35正好是7×5的積。這就是圖中數(shù)字之間的規(guī)律，按照這一規(guī)律，如圖3-7所示，缺數(shù)應(yīng)填8，20，14，21。

例4 圖3-8中是一個數(shù)字金字塔，青你先根據(jù)上下數(shù)字間的聯(lián)系找出它們的規(guī)律，然后填出塔中的方框的數(shù)字。

分析

從上往下看，第一行是一個數(shù)2；第二行是兩個數(shù)2、2；第三行是三個數(shù)2、4、2；則4應(yīng)看作是第二行的2×2的積，這是因為第四行的8正好是第三行的2×4的積。這就是它的變化規(guī)律，如圖3-9所示。圖中畫上“ /”表示尖端所指的數(shù)字是上一行兩個數(shù)的積。

因此，方框中應(yīng)填8、16、64（見圖3-9）。

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［思路技巧］

找規(guī)律填數(shù)是一類有趣的問題，解決這類問題常常要考慮運用觀察、試探、枚舉、歸納等研究問題的手段，尋找已知的數(shù)上下、左右及前后之間的相互聯(lián)系和規(guī)律，推導(dǎo)出未知的數(shù)。［習(xí)題精選］

１．先觀察下面每一行數(shù)的排列有什么規(guī)律，然后在（個適當(dāng)?shù)臄?shù)：

⑴ 1，4，7，10，（），16，19； 1 2 3 4 5 2 2 3 4 5 3 3 3 4

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5 5 5 5

⑵ 1，1，2，3，5，8，（），21，34；

⑶ 1，4，9，16，25，36，（），64，81；

⑷ 12，15，18，（），24，27，（），33；

⑸ 6，12，（），24，（），（），42，48；

⑹ 95，90，（），80，75，（），（），60；

⑺21，24，27，（），（）；

⑻50，48，46，（），（）。

圖3-10 ２．按照圖3-10中數(shù)字排列規(guī)律，在空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。３．在圖3-11中，依照第一個三角形里三個數(shù)之間的關(guān)系，在其他三角形的空格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

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４．不用乘法，找出規(guī)律后，就可以按規(guī)律把積填上去。

1×99 = 99

2×99 = 198

3×99 = 297

4×99 = 396

5×99 = 495

6×99 =

7×99 =

8×99 =

9×99 = ５．找規(guī)律填空缺的數(shù)。0 1 3 6 10 15 ？ ？

６．如圖3-12，在金字塔圖中每一塊磚上都有一個數(shù)字，請你根據(jù)上下數(shù)字之間的聯(lián)系，找出它們的規(guī)律，然后填在空磚上。７．根據(jù)葉子中數(shù)字的計算規(guī)律，填出花中所空的數(shù)。

８．下面兩題中的數(shù)去掉其中的一個數(shù)，其余的都是按規(guī)律排列的，請你去掉這個數(shù)。

⑴ 5，10，15，17，20；

⑵ 72，70，68，66，36。９．請按圖3-14中的規(guī)律在空白處填上數(shù)。

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奇怪的算式 ［知識要點］

根據(jù)推理的方法來確定算式中的數(shù)字，分加法算式謎、減法算式謎、乘法算式謎幾種。［范例解析］

例1 填出方框里的數(shù)。

分析

9加幾個位上是3？十位上哪兩個數(shù)相加得8。

解

等。

例2 填出右邊算式方框里的數(shù)。

分析

18減幾得9？十位上2＋4 = 6，6＋1 = 7。解

例3 右面的算式中，只有五個數(shù)字已些出，補上其他的數(shù)字：

分析

先填哪一個呢？做這一類題目要善于發(fā)現(xiàn)問題的突破口。從百位進位來看，和的千位數(shù)只能是1，從十位相加來看，進位到百位，也只能進1。因此□2□的百位是9，和的百位是0。通過上面的分析，就找到了這道題目的突破口。

再從15－7－6 = 2，11－2－1 = 8，得出算式：

例4 在下面的加法算式中，每個漢字代表一個數(shù)字，相同的漢字代表的數(shù)字相同，求這個算式：

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分析

千位上的“邊”是進位得來，所以“邊”= 1，其次，從個位知道，“看”＋“看”的末位數(shù)字還是“看”，所以“看”= 0，因此推出：

想想看 = 想×110

算算看 = 算×110

所以和數(shù)“邊算邊看”是11的倍數(shù)，因而“算”=2。進而推出：想想 = 121-22 = 99。

所求的算式是990＋220 = 1210。

例5 下面的算式由0，1，......，9十個數(shù)字組成，已寫出三個數(shù)字，補上其他數(shù)字。

分析

這一算式有十個數(shù)字，分別是0，1，......，9這十個數(shù)字，因此這個算式中所有數(shù)字各不相同，解題時要充分利用著一點，為了說明的方便，用英文字母A、B、C、D、E、F來表示要填的數(shù)字，很明顯，A = 1。

解題的突破口是確定B，B可以是7或9，因為F至少是3，所以十位相加后一定要進位，如果B是9，C將是2，就出現(xiàn)數(shù)字的重復(fù)，因此，B只能是7，C是0。

現(xiàn)在還沒有用上的數(shù)字是9，6，5，3，其中只有6是雙數(shù)，因此，個位上D和E必定是單數(shù)，只能是D = 9，E = 3，因此也確定了F = 6，這個算式如右所示。

例6 如圖是一個動物式子，不同的動物代表不同的數(shù)字，請你想一想，算一算，這些動物各代表哪些數(shù)字？

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圖3-15 分析

這個式子從哪里下手解答呢？根據(jù)兩個一位數(shù)相加和只能滿十的特點，首先，推出公雞等于“1”。然后，又根據(jù)兩熊貓相加，和仍然是熊貓，推出熊貓只能等于“0”。講熊貓等于0，代入式中，又根據(jù)公雞等于“1”推出白兔等于“5”。將白兔等于5代入式中，推出松鼠等于2。

這個算式是：

說明

奇怪的算式，實際上就是“算式之謎：”，也稱“趣味算式問題”。它是一種猜謎游戲，故有較強的趣味性，可以鍛煉思維能力。

既然趣味算式問題是一種猜謎游戲，“湊”就成了它的當(dāng)然方法之一，而且在某些情況下，“湊”還是一種有效的方法。例7 填出右邊算式方框里的數(shù)。

分析

因為積的個位數(shù)字是5，所以被乘數(shù)的個位數(shù)字只能是5；又積是千位數(shù)，且最高位是數(shù)字1，所以被乘數(shù)百位上的數(shù)字只能是2。解

［思路技巧］

解算式謎這類題，要認真觀察算式，抓住問題的突破口。［習(xí)題精選］

１．在方框里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列各式成立。

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２．在圓圈和方框里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立（圓圈和方框分別代表兩個不同的數(shù)）。

３．算一算，下列圖形各表示什么數(shù)。

⑴ □＋△ = 26

△ =（）

△－5 = 3

□=（）

⑵

⑶ ○－□ = 4

○ = 3

○＋□ = 14

□ =（）

⑷

４．在方框里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

５．下面三個算式的被除數(shù)相同，你能填出來嗎？

□÷7 = □......1

□÷6 = □......5

□÷5 = □......4 ６．寫算式（能寫幾道就寫幾道）。

□÷□ = 2

□÷□ = 5

□÷□ = 7

□÷□ = 9 ７．在下面算式的圓圈里填上合適的運算符號，方框里填上合適的數(shù)。你能寫出幾種填法？（每次填的運算符號不要完全相同）

8○□○□ = 21。８．?dāng)?shù)字還原。

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下面的豎式，是用△、○、□、★、◎這樣的圖形表示0至9中的數(shù)字。想一想，這五個圖形各代表幾呢？ ⑴

⑵

⑶ ◎＋◎ = ◎×◎

◎ =（）９．在下面豎式中的方格里填上適當(dāng)?shù)臄?shù)。

10．請將下面豎式里的字換成數(shù)字，使豎式成立。

11．巧填豎式。

12．題中每一個字母或字都代表一個數(shù)，請想一想它們各代表什么數(shù)字，算式才能成立？

調(diào)整法趣談

［知識要點］

１．調(diào)整法的意義。

我們看下面的點子圖：

●●●●●

●●

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圖3-16 它一共有二組，一組有5個點子，另一組有兩個點子，圖中一共有多少個點子？

算式：5＋2 = 7（個）。現(xiàn)在問：怎樣改變點子圖，來表示算式2＋5呢？我們可用交換點子位置或移動點子位置來改變。如圖所示：

這種通過交換點子位置或移動點子位置的操作過程，我們較做調(diào)整法。

２．調(diào)整法的用途，我們通過舉例來說明。［范例解析］

例1 右面正方形方格中的數(shù)字，怎樣移動才能使橫行和豎行三個數(shù)相加的和相等？

分析

我們可從圖中觀察到：豎行三數(shù)的和都是6，它們相等，打上“√”號，而橫行三數(shù)的和都不相等，因此，要調(diào)整位置的是橫行的數(shù)字。我們只要按照下面圖3-19箭頭所示進行交換調(diào)整，問題就得到解決。

說明

凡是符合條件的橫行或豎行打上“√”，可使問題一目了然，方便調(diào)整。

例2 圖中有“＋”、“－”、“×”、“÷”四種運算符號。移動這些符號，使每行每列的四種符號不相同。

分析

通過觀察，發(fā)現(xiàn)3-20中只有從左數(shù)第二列符號與題目要求不

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同，因此我們先考慮列的情況，第一列多“＋”號，缺“÷”號，而第三列多“÷”號缺“＋”，如下圖交換后，把符合條件的行與列打上“√”。

經(jīng)過

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