第一篇：【高一數(shù)學(xué)】三角函數(shù)典型例題剖析與規(guī)律總結(jié)(共5頁)

三角函數(shù)典型例題剖析與規(guī)律總結(jié)

山東 田振民

一：函數(shù)的定義域問題 1.求函數(shù)y?分析：要求y?2sinx?1的定義域。

2sin?1的定義域，只需求滿足2sinx?1?0的x集合，即只需求出滿足1sinx??的x值集合，由于正弦函數(shù)具有周期性，只需先根據(jù)問題要求，求出在一個周2期上的適合條件的區(qū)間，然后兩邊加上2k??k?Z?即可。解：由題意知需2sinx?1?0，也即需sinx??1??3??①在一周期??,上符合①的角為?2?22??7????7????k?Z? ,由此可得到函數(shù)的定義域?yàn)?,2k??,2k??????6666????小結(jié):確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)：（1）正、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域。（2）若函數(shù)是分式函數(shù)，則分母不能為零。（3）若函數(shù)是偶函數(shù)，則被開方式不能為負(fù)。（4）若函數(shù)是形如y?（5）當(dāng)函數(shù)是有實(shí)際logf?x??a?0,a?1?的函數(shù)，則其定義域由f?x?確定。a問題確定時，其定義域不僅要使解析式有意義同時還要使實(shí)際問題有意義。二．函數(shù)值域及最大值，最小值（1）求函數(shù)的值域 例。求下列函數(shù)的值域

（1）y?3?2sin2x

（2）y?cosx2?2sinx?2

分析：利用cosx?1與sinx?1進(jìn)行求解。解：（1）??1?sin2x?1?1?y?5?y??1,5?（2）

y?cosx?2sinx?2??sin2x?2sinx?1???sinx?1???1?sinx?1,?y???4,0?.22評注：一般函數(shù)的值域求法有：觀察法，配方法判別式法，反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)罷了。（2）函數(shù)的最大值與最小值。例。求下列函數(shù)的最大值與最小值（1）y?1?1???????sinx

（2）y?2sin?2x?????x??

6??66?2?（3）y?2cos2x?5sinx?4（4）y?3cos2x?4cosx?1x????2??,? ?33?分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解過程要注意自變量的去值范圍（3）（4）可利用二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c在閉區(qū)間?m,n?上求最值得方法。解(1)

：?162?1?sinx?0 ??2??1?sinx?1?當(dāng)sinx??1時，ymax?;當(dāng)sinx?1時ymin?22???1?sinx?1(2)??1?cos(2x?(3)?????)?1,?當(dāng)cos?2x???1時，ymax?5；當(dāng)cos(2x?)??1時，ymin?1.33?3?25?9?y?2cosx?5sinx?4??2sinx?5sinx?2??2?sinx???,sinx???1,1?，4?8?22?當(dāng)sinx??1，即x??當(dāng)sinx?1，即x?(4)

?2?2k?(k?Z）時，y有最小值?9；

?2?2k?(k?Z），y有最大值1。

211??2???11?y?3cos2x?4cosx?1?3(cosx?)2?,?x??,?,cosx???,?,從而cosx??,即332?33??22?2?151?1x?時，、ymax?當(dāng)cosx?,即x?時，ymin??34234小結(jié)：求值域或最大值，最小值的問題，一般的依據(jù)是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切實(shí)數(shù)；（3）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在最大值和最小值。根據(jù)上面的原則，常常把給出的函數(shù)變成以下幾種形式；

（1）sin??x???一次形式（2）sinx?f(y)或cosx?f(y)的形式，通過f(y)?1來確定或其他變形來確定。三：函數(shù)的周期性

例

求下列函數(shù)的周期?1?f(x)?cos2x?2?f(x)?2sin(x??)26分析：該例的兩個函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過變量的替換，將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。

（1）把2x看成是一個新的變量u，那么cosu的最小正周期是2?，就是說，當(dāng)u增加到u?2?且必須增加到u?2?時，函數(shù)cosu的值重復(fù)出現(xiàn)，而u?2??2x?2??2(x??),所以當(dāng)自變量x增加到x??且必須增加到x??時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此，y?sin2x的周期是?。

（2）?2sin(?x2??x???2?)?2sin???即6?26???x?x??12sin??x?4?????2sin(?)?f(x)?2sin(?)的周期是4?。

6?2626?2小結(jié)：由上面的例題我們看到函數(shù)周期的變化僅與自變量x的系數(shù)有關(guān)。一般地，函數(shù)y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)（其中A,?,?為常數(shù)，A?0,??0,x?R)的周期T?四．函數(shù)的奇偶性

例 判斷下列函數(shù)的奇偶性

2??。

1?sinx?cos2x(1)f(x)?xsin(??x)(2)f(x)?

1?sinx分析：可利用函數(shù)奇偶性定義予以判斷。解：（1）函數(shù)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對稱。

f(x)?xsin(??x)??xsinx,f(?x)?(?x)sin(??x)??xsinx?f(x)?f(x)是偶函數(shù)。（2函數(shù)應(yīng)滿足1?sinx?0?函數(shù)的定義于為?xx?R，且x?2k?????3?,k?Z?.?函數(shù)的定義2?域不關(guān)于原點(diǎn)對稱。? 函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。

評注：判斷函數(shù)奇偶性時，必須先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，如果是，再驗(yàn)證f(?x)是否等于?f(x)或f(x)，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性，如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)。五：函數(shù)的單調(diào)性 例：下列函數(shù)，在????,??上是增函數(shù)的是（）?2?y?cosx

Cy?sin2x

Dy?cos2x A.y?sinx

B分析：??2?x??,???2x?2?.可根據(jù)sinx與cosx在各象限的單調(diào)性作出判斷。

解：

?????x??，???2x?2?,y?sinx與y?cosx在?，??上都是減函數(shù)，?排除A,B，2?2?知y?sin2x在2x???,2??內(nèi)不具有單調(diào)性，?又可排除C，?應(yīng)選D。

小結(jié)：求形如y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)(其中A?0,??0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：(1)把“?x??(??0)"視為一個整體；（2）A?0(A?0)時，所列不等式的方向與y?sinx(x?R),y?cosx(x?R)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式的方向相同（反）。1的定義域?yàn)椋ǎ﹕inx

練習(xí)：1.函數(shù)y?A.RB.?x?Rx?k?,k?Z??C.??1,0???0,1?D.?xx?0?

2.函數(shù)y?cos(x????)，x??0,?的值域是（）6?2??13???,?22??C?3??,1??2?D?1??2,1? ??A.?31????2,2???B3.函數(shù)y?sin(?x??4)(??0)的周期為

2?，則?=------------.34.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）

A.y?sin2xBy??sinxCy?sinxDy?sinx?1

5.下列函數(shù)中，奇函數(shù)的個數(shù)為（）

（1）y?x2sinx（2）y?sinx,x??0,2??（3）y?sinx,x????,??（4）y?xcosx

A.1.B2C3D4

6.在區(qū)間?0,????上，下列函數(shù)為增函數(shù)的是（）2??By??1cosxCy??sinxDy??cosx A.y?1sinx7.函數(shù)y?sin2x的單調(diào)減區(qū)間是（）

AC3?????2k?,?2k??2?2?????2k?,3??2k???3???B?k??,k???44??????D?k??,k???44??

?k?Z?8.如果x??2，則函數(shù)y?cosx?sinx的最小值是—————— 49.函數(shù)y?tanx(?4?x3??且x?)的值域?yàn)椋ǎ?2A??1,1?B???,?1???1,???C???,1?D??1,??? 答案：B B 3 C C D B 1?2 B 2

2．3 函數(shù)的單調(diào)性 學(xué)法導(dǎo)引

1．熟練掌握增減性的概念．要注意定義中對區(qū)間內(nèi)，的任意性，而不是某兩個特殊值，． 2．掌握好證明函數(shù)單調(diào)性的方法(用定義)：取值——作差——定號——判斷． 3．熟悉幾種基本函數(shù)的單調(diào)性．

4．掌握好利用函數(shù)的單調(diào)性來比較數(shù)的大小的方法． 知識要點(diǎn)精講

1．增函數(shù)、減函數(shù)、單調(diào)性、單調(diào)區(qū)間的概念

(1)函數(shù)的單調(diào)性是函數(shù)在定義域內(nèi)某一區(qū)間內(nèi)的局部性質(zhì)，而不是整體性質(zhì)． 一是同屬于一個單調(diào)區(qū)間，二是任意性，切不可用兩個特殊值代替，三是規(guī)定了大小關(guān)系．要證明函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)遞增(遞減)的，而要證f(x)在區(qū)間[a，b]上不是遞增(遞減)的，則只需舉出反例即可． 2．判斷函數(shù)單調(diào)性的方法

最基本的方法是依據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義來證明，其步驟如下：

并通過因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判斷差的符號的方向變化；

第三步：定號，即確定差的符號，當(dāng)符號不確定時，可進(jìn)行分區(qū)間討論；

第四步：判斷，即根據(jù)定義確定是增函數(shù)還是減函數(shù)．

也可根據(jù)函數(shù)簡單的運(yùn)算性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)來確定函數(shù)的單調(diào)性． 3．函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，它在研究函數(shù)時具有重要的作用．具體表現(xiàn)在：

(1)利用函數(shù)的單調(diào)性，可以把比較函數(shù)值的大小問題，轉(zhuǎn)化為比較自變量的大小問題，也是我們解不等式的依據(jù)．

(2)確定函數(shù)的值域或求函數(shù)的最值．

對于函數(shù)f(x)，如果它在區(qū)間[a，b]上是增函數(shù)，那么它的值域是[f(a)，f(b)]，如果它在區(qū)間[a，b]上是減函數(shù)，那么它的值域是[f(b)，f(a)]，如果它在區(qū)間[a，c]上是增(減)函數(shù)，在[c，b]上是減(增)函數(shù)，那么它的最大(小)值是f(c)． 4．常用函數(shù)的單調(diào)性

(1)一次函數(shù)y＝kx＋b，當(dāng)k＞0時，函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)k＜0時，函數(shù)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)． 思維整合

【重點(diǎn)】本節(jié)重點(diǎn)是函數(shù)單調(diào)性的概念以及函數(shù)單調(diào)性的判定、函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用． 【難點(diǎn)】利用函數(shù)單調(diào)性的概念來證明或判斷函數(shù)的單調(diào)性． 【易錯點(diǎn)】1．復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性只注意復(fù)合關(guān)系，不注意范圍； 精典例題再現(xiàn) 【解析重點(diǎn)】

例 求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．

［解析］求函數(shù)單調(diào)區(qū)間有多種方法，可以利用定義法，可以利用基本的初等函數(shù)的單調(diào)性，也可以用圖象的直觀性．

作出函數(shù)的圖象，如圖2－3－1所示：

在(－∞，－1]和[0，1]上，函數(shù)f(x)是增函數(shù)，在[－1，0]和[1，＋∞)上，函數(shù)是減函數(shù)．故其單調(diào)遞增區(qū)間為(－∞，－1]和[0，1]；其單調(diào)遞減區(qū)間為[－1，0]和[1，＋∞)． 點(diǎn)撥 對于(2)中求復(fù)合函數(shù)單調(diào)區(qū)間的問題，一般有以下結(jié)論：設(shè)y＝f(u)，u＝g(x)，x∈[a，b]，u∈[m，n]，若f(u)是[m，n]上的增函數(shù)，則f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性相同；如果f(u)是[m，n]上的減函數(shù)，則f[g(x)]的增減性與g(x)的增減性相反，此種問題特別要注意考慮函數(shù)的定義域．

第二篇：三角函數(shù)典型例題剖析與規(guī)律總結(jié)

三角函數(shù)典型例題剖析與規(guī)律總結(jié)

一：函數(shù)的定義域問題 1.求函數(shù)y?分析：要求y?sinx??122sinx?1的定義域。

2sin?1的定義域，只需求滿足2sinx?1?0的x集合，即只需求出滿足的x值集合，由于正弦函數(shù)具有周期性，只需先根據(jù)問題要求，求出在一個周期上的適合條件的區(qū)間，然后兩邊加上2k??k?Z?即可。

12解：由題意知需2sinx?1?0，也即需sinx??①在一周期?????3??2,2??上符合①的角為

?7????7???,由此可得到函數(shù)的定義域?yàn)?k?Z? ?,2k??,2k???66???66????小結(jié):確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)：（1）正、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域。（2）若函數(shù)是分式函數(shù)，則分母不能為零。（3）若函數(shù)是偶函數(shù)，則被開方式不能為負(fù)。（4）若函數(shù)是形如y?logaf?x??a?0,a?1?的函數(shù)，則其定義域由f?x?確定。（5）當(dāng)函數(shù)是有實(shí)際問題確定時，其定義域不僅要使解析式有意義同時還要使實(shí)際問題有意義。二．函數(shù)值域及最大值，最小值（1）求函數(shù)的值域 例。求下列函數(shù)的值域

（1）y?3?2sin2x

（2）y?cosx2?2sinx?2

分析：利用cosx?1與sinx?1進(jìn)行求解。解：（1）??1?sin2x?1?1?y?5?y??1,5?（2）

y?cos2x?2sinx?2??sin2x?2sinx?1???sinx?1???1?sinx?1,?y???4,0?.2評注：一般函數(shù)的值域求法有：觀察法，配方法判別式法，反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)罷了。（2）函數(shù)的最大值與最小值。例。求下列函數(shù)的最大值與最小值（1）y?1?1???????sinx

（2）y?2sin?2x?????x?? 26??66??2（3）y?2cosx?5sinx?4（4）y?3cos2x?4cosx?1??2?? x??,??33?分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解過程要注意自變量的去值范圍（3）（4）可利用二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c在閉區(qū)間?m,n?上求最值得方法。解(1)1?62?1?sinx?0 ????1?sinx?1?當(dāng)sinx??1時，ymax?;當(dāng)sinx?1時ymin?222??1?sinx?1?：(2)??1?cos(2x??????)?1,?當(dāng)cos?2x???1時，ymax?5；當(dāng)cos(2x?)??1時，ymin?1.33?3?(3)

5?9?y?2cosx?5sinx?4??2sinx?5sinx?2??2?sinx???,?sinx???1,1?，4?8?222?當(dāng)sinx??1，即x???2?2k?(k?Z）時，y有最小值?9；

當(dāng)sinx?1，即x?(4)y?3cosx?2?32?2?2k?(k?Z），y有最大值1。

x?4cosx?1?3(cosx?154當(dāng)cosx?2312)?21??2??,?x??，cosx??3?33?1?11??，從而cosx??,即?22?2??時，、ymax?,即x??3時，ymin??14小結(jié)：求值域或最大值，最小值的問題，一般的依據(jù)是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切實(shí)數(shù)；（3）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在最大值和最小值。根據(jù)上面的原則，常常把給出的函數(shù)變成以下幾種形式；

（1）sin??x???一次形式（2）sinx?f(y)或cosx?f(y)的形式，通過f(y)?1來確定或其他變形來確定。三：函數(shù)的周期性

例

求下列函數(shù)的周期?1?f(x)?cos2x?2?f(x)?2sin(x2??6)

分析：該例的兩個函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過變量的替換，將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。

（1）把2x看成是一個新的變量u，那么cosu的最小正周期是2?，就是說，當(dāng)u增加到u?2?且必須增加到u?2?時，函數(shù)cosu的值重復(fù)出現(xiàn)，而u?2??2x?2??2(x??),所以當(dāng)自變量x增加到x??且必須增加到x??時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此，y?sin2x的周期是?。（2）?2sin(x2???x???2?)?2sin???即66??2??x?x??12sin??x?4?????2sin(?)?f(x)?2sin(?)的周期是4?。

6?2626?2小結(jié)：由上面的例題我們看到函數(shù)周期的變化僅與自變量x的系數(shù)有關(guān)。一般地，函數(shù)y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)（其中A,?,?為常數(shù)，A?0,??0,x?R)的周期T?2??。

四．函數(shù)的奇偶性 例 判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)?xsin(??x)(2)f(x)?1?sinx?cos1?sinx2x

分析：可利用函數(shù)奇偶性定義予以判斷。

解：（1）函數(shù)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對稱。f(x)?xsin(??x)??xsinx,f(?x)?(?x)sin(??x)??xsinx?f(x)?f(x)是偶函數(shù)。

??3?,k?Z?.?函數(shù)的定義?xx?R，且x?2k??2??（2函數(shù)應(yīng)滿足1?sinx?0?函數(shù)的定義于為域不關(guān)于原點(diǎn)對稱。? 函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。

評注：判斷函數(shù)奇偶性時，必須先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，如果是，再驗(yàn)證f(?x)是否等于?f(x)或f(x)，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性，如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)。五：函數(shù)的單調(diào)性 例：下列函數(shù)，在?A.???,??上是增函數(shù)的是（）?2?y?cosx

Cy?sin2x

Dy?cos2x y?sinx

B分析：??2?x??,???2x?2?.可根據(jù)sinx與cosx在各象限的單調(diào)性作出判斷。

??????x??，解：?y?sinx與y?cosx在?，??上都是減函數(shù)，排除，A,B???2x?2?,??2?2知y?sin2x在2x???,2??內(nèi)不具有單調(diào)性，?又可排除C，?應(yīng)選D。

小結(jié)：求形如y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)(其中A?0,??0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：(1)把“?x??(??0)"視為一個整體；（2）A?0(A?0)時，所列不等式的方向式的方向相同（反）。與y?sinx(x?R),y?cosx(x?R)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等

練習(xí)：1.函數(shù)y?A.RB.1sinx的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

C.?x?Rx?k?,k?Z??6)，??1,0???0,1?D.?xx?0?

2.函數(shù)y?cos(x????x??0,?的值域是()

?2??3?,1???2?2?3A.?31???,??22??B?13??,??22??CD?1? ?2,1???3.函數(shù)y?sin(?x??4)(??0)的周期為，則?=------------.4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）

A.y?sin2xBy??sinxCy?sinxDy?sinx?1

5.下列函數(shù)中，奇函數(shù)的個數(shù)為（）

（1）y?x2sinx（2）y?sinx,x??0,2??（3）y?sinx,x????,??（4）y?xcosx

A.1.B2C3D4

6.在區(qū)間?0,?1sinx????上，下列函數(shù)為增函數(shù)的是（）

2?By??1cosxCy??sinxDy??cosx A.y?7.函數(shù)y?sin2x的單調(diào)減區(qū)間是（）

AC3?????2k?,?2k??2?2???3???B?k??,k??44???D??k??4,k??4???2???2k?,3??2k?????

?k?Z?8.如果x??4，則函數(shù)?4y?cos3?4x?sin的最小值是——————

9.函數(shù)y?tanx(?x且x??2)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A??1,1?B???,?1???1,???C???,1?D??1,??? 答案：B B 3 C C D B 1?22 B

例1 已知，且，則可以表示（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

分析 由題意求，不僅要看選擇支給出的四個角中哪一個角在區(qū)間內(nèi)，還要看哪一個角的正弦值為

依據(jù)誘導(dǎo)公式，有，由此排除了B和D．

又因此本題應(yīng)選C．，故，點(diǎn)評 反三角函數(shù)的記號既然表示一個特定區(qū)間上的角，就可以此為基礎(chǔ)表示其他指定范圍內(nèi)的角．

例2

（1）若，則等于（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

（2）已知，那么的值是（）．

（A）

（B）

（C）

（D）

分析（1）方法1

因?yàn)?/p>

（注意）.（注意由有）.于是原式，故選.方法 2 利用，，又，，故選（A）.（2）本題是的條件下，求兩角和的值，只要求出這兩個角和的正切值，并確定其取值范圍即可．

設(shè)，由，有，，故，并且，.由此可知，故選.點(diǎn)評 本題是利用反三角函數(shù)的概念，通過設(shè)輔助角，把反三角函數(shù)的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的問題來解決，這是常用的處理方法，同時，揭示了反三角函數(shù)和三角函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系．

例3 的值=

．

分析 本題實(shí)質(zhì)上是求角的大小，可以先求它的某種三角函數(shù)值，再估計(jì)其取值范圍而確定．

設(shè)，則，且

又設(shè)，則，且，故．

∴

又由，可得

∴，即．

例4 函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

，值域?yàn)?/p>

．

分析 所求函數(shù)定義域應(yīng)該由下列條件確定：

解得為，故所求定義域?yàn)?/p>

．

又由，則，∴，即所求值域?yàn)?/p>

點(diǎn)評 求值域時既要認(rèn)識給定函數(shù)是復(fù)合函數(shù)，又要注意定義域的制約作用．

例5 函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是

．

分析 由

由于函數(shù)，得函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

由函數(shù)

和

復(fù)合而成，而函數(shù)在其定義域內(nèi)是減函數(shù)，故只要求出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，為

因此，已知函數(shù)的遞增敬意是

點(diǎn)評 這里不僅要正確運(yùn)用復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的規(guī)律，而且要注意函數(shù)的單調(diào)區(qū)間定是其定義域的子區(qū)間．

例6 滿足的的取值范圍是

；

滿足的的取值范圍是

．

分析 此類題既要用到函數(shù)的單調(diào)性，還要注意相應(yīng)式有意義對的限制條件．

例7

若是（）．

（A），則在上滿足的的取值范圍

（B）

（C）

（D）

分析 這是一道既要運(yùn)用三角函數(shù)的性質(zhì)，又要運(yùn)用以反三角函數(shù)表示一定范圍內(nèi)的角的題目．如下圖，滿足已知條件的的取值范圍是，其中

同樣 滿足：，因此本題應(yīng)選B．，故，

第三篇：三角函數(shù)典型例題剖析與規(guī)律總結(jié)

三角函數(shù)典型例題剖析與規(guī)律總結(jié)

山東 田振民

一：函數(shù)的定義域問題 1.求函數(shù)y?分析：要求y?sinx??122sinx?1的定義域。

2sin?1的定義域，只需求滿足2sinx?1?0的x集合，即只需求出滿足的x值集合，由于正弦函數(shù)具有周期性，只需先根據(jù)問題要求，求出在一個周期上的適合條件的區(qū)間，然后兩邊加上2k??k?Z?即可。

12??解：由題意知需2sinx?1?0，也即需sinx??①在一周期???3??2,上符合①的角為?2??7????7???,由此可得到函數(shù)的定義域?yàn)?,2k??,2k???66????k?Z? 66????小結(jié):確定三角函數(shù)的定義域的依據(jù)：（1）正、余弦函數(shù)、正切函數(shù)的定義域。（2）若函數(shù)是分式函數(shù)，則分母不能為零。（3）若函數(shù)是偶函數(shù)，則被開方式不能為負(fù)。（4）若函數(shù)是形如y?loga（5）當(dāng)函數(shù)是有實(shí)際f?x??a?0,a?1?的函數(shù)，則其定義域由f?x?確定。問題確定時，其定義域不僅要使解析式有意義同時還要使實(shí)際問題有意義。二．函數(shù)值域及最大值，最小值（1）求函數(shù)的值域 例。求下列函數(shù)的值域

（1）y?3?2sin2x

（2）y?cosx2?2sinx?2

分析：利用cosx?1與sinx?1進(jìn)行求解。解：（1）??1?sin2x?1?1?y?5?y??1,5?（2）

y?cos2x?2sinx?2??sin2x?2sinx?1???sinx?1???1?sinx?1,?y???4,0?.2評注：一般函數(shù)的值域求法有：觀察法，配方法判別式法，反比例函數(shù)法等，而三角函數(shù)是函數(shù)的特殊形式，其一般方法也適用，只不過要結(jié)合三角函數(shù)本身的性質(zhì)罷了。（2）函數(shù)的最大值與最小值。例。求下列函數(shù)的最大值與最小值（1）y?1?1???????sinx

（2）y?2sin?2x?????x?? 2666????（3）y?2cos2x?5sinx?4（4）y?3cos2x?4cosx?1??2?? x??,??33?分析：（1）（2）可利用sinx,cosx的值域求解求解過程要注意自變量的去值范圍（3）（4）可利用二次函數(shù)f(x)?ax2?bx?c在閉區(qū)間?m,n?上求最值得方法。解(1)

：1?1?sinx?062? ????1?sinx?1?當(dāng)sinx??1時，y?;當(dāng)sinx?1時y?2maxmin22??1?sinx?1?(2)??1?cos(2x??????)?1,?當(dāng)cos?2x???1時，ymax?5；當(dāng)cos(2x?)??1時，ymin?1.33?3?(3)

5?9?y?2cosx?5sinx?4??2sinx?5sinx?2??2?sinx???,?sinx???1,1?，4?8?222?當(dāng)sinx??1，即x???2?2k?(k?Z）時，y有最小值?9；

當(dāng)sinx?1，即x?(4)y?3cosx?2?32?2?2k?(k?Z），y有最大值1。

x?4cosx?1?3(cosx?154當(dāng)cosx?2312)?21??2?,?x??,3?33??,cosx??141?11??，從而cosx??,即?22?2??時，、ymax?,即x??3時，ymin??小結(jié)：求值域或最大值，最小值的問題，一般的依據(jù)是：（1）sinx,cosx的有界性；（2）tanx的值可取一切實(shí)數(shù)；（3）連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上存在最大值和最小值。根據(jù)上面的原則，常常把給出的函數(shù)變成以下幾種形式；

（1）sin??x???一次形式（2）sinx?f(y)或cosx?f(y)的形式，通過f(y)?1來確定或其他變形來確定。三：函數(shù)的周期性

例

求下列函數(shù)的周期?1?f(x)?cos2x?2?f(x)?2sin(x2??6)

分析：該例的兩個函數(shù)都是復(fù)合函數(shù)，我們可以通過變量的替換，將它們歸結(jié)為基本三角函數(shù)去處理。

（1）把2x看成是一個新的變量u，那么cosu的最小正周期是2?，就是說，當(dāng)u增加到u?2?且必須增加到u?2?時，函數(shù)cosu的值重復(fù)出現(xiàn)，而u?2??2x?2??2(x??),所以當(dāng)自變量x增加到x??且必須增加到x??時，函數(shù)值重復(fù)出現(xiàn)，因此，y?sin2x的周期是?。

x2（2）?2sin(???x???2?)?2sin???即66??2??x?x??12sin??x?4?????2sin(?)?f(x)?2sin(?)的周期是4?。

262626??小結(jié)：由上面的例題我們看到函數(shù)周期的變化僅與自變量x的系數(shù)有關(guān)。一般地，函數(shù)y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)（其中A,?,?為常數(shù)，A?0,??0,x?R)的周期T?2??。

四．函數(shù)的奇偶性

例 判斷下列函數(shù)的奇偶性

(1)f(x)?xsin(??x)(2)f(x)?1?sinx?cos1?sinx2x

分析：可利用函數(shù)奇偶性定義予以判斷。解：（1）函數(shù)的定義域R關(guān)于原點(diǎn)對稱。f(x)?xsin(??x)??xsinx,f(?x)?(?x)sin(??x)??xsinx?f(x)?f(x)是偶函數(shù)。

??3?,k?Z?.?函數(shù)的定義?xx?R，且x?2k??2??（2函數(shù)應(yīng)滿足1?sinx?0?函數(shù)的定義于為域不關(guān)于原點(diǎn)對稱。? 函數(shù)既不是奇函數(shù)又不是偶函數(shù)。

評注：判斷函數(shù)奇偶性時，必須先檢查定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱的區(qū)間，如果是，再驗(yàn)證f(?x)是否等于?f(x)或f(x)，進(jìn)而判斷函數(shù)的奇偶性，如果不是，則該函數(shù)必為非奇非偶函數(shù)。五：函數(shù)的單調(diào)性 例：下列函數(shù)，在?A.???,??上是增函數(shù)的是（）?2?y?cosx

Cy?sin2x

Dy?cos2x y?sinx

B分析：??2?x??,???2x?2?.可根據(jù)sinx與cosx在各象限的單調(diào)性作出??判斷。

?y?sinx與y?cosx在解：????排除A,B，??x??，???2x?2?,，??上都是減函數(shù)，22??知y?sin2x在2x???,2??內(nèi)不具有單調(diào)性，?又可排除C，?應(yīng)選D。

小結(jié)：求形如y?Asin(?x??)或y?Acos(?x??)(其中A?0,??0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，可以通過解不等式的方法去解答，列不等式的原則是：(1)把“?x??(??0)"視為一個整體；（2）A?0(A?0)時，所列不等式的方向式的方向相同（反）。與y?sinx(x?R),y?cosx(x?R)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等

練習(xí)：1.函數(shù)y?A.RB.1sinx的定義域?yàn)椋ǎ?/p>

C.?x?Rx?k?,k?Z??6)，??x??0,?2??1,0???0,1?D.?xx?0?

2.函數(shù)y?cos(x???的值域是（）??3?,1??2???1??2,1? ??A.?31???,??22??B?13???,?22??CD3.函數(shù)y?sin(?x??4)(??0)的周期為

2?3，則?=------------.4.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是（）

A.y?sin2xBy??sinxCy?sinxDy?sinx?1

5.下列函數(shù)中，奇函數(shù)的個數(shù)為（）

2（1）y?xsinx（2）y?sinx,x??0,2??（3）y?sinx,x????,??（4）y?xcosx

A.1.B2C3D4

6.在區(qū)間?0,?????上，下列函數(shù)為增函數(shù)的是（）2?A.y?1sinxBy??1cosxCy??sinxDy??cosx

7.函數(shù)y?sin2x的單調(diào)減區(qū)間是（）

A3?????2k?,?2k??2?2???3???B?k??,k??44???D??k??4,k??4???2C???2k?,3??2k?????

?k?Z?8.如果x??4，則函數(shù)?4y?cos3?4x?sin的最小值是——————

9.函數(shù)y?tanx(?x且x??2)的值域?yàn)椋ǎ?/p>

A??1,1?B???,?1???1,???C???,1?D??1,??? 答案：B B 3 C C D B 1?22 B

第四篇：機(jī)械能守恒定律典型例題剖析

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機(jī)械能守恒定律典型例題剖析

例

1、如圖示，長為l 的輕質(zhì)硬棒的底端和中點(diǎn)各固定一個質(zhì)量為m的小球，為使輕質(zhì)硬棒能繞轉(zhuǎn)軸O轉(zhuǎn)到最高點(diǎn)，則底端小球在如圖示位置應(yīng)具有的最小速度v=。解：系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，ΔEP +ΔEK=0

因?yàn)樾∏蜣D(zhuǎn)到最高點(diǎn)的最小速度可以為0，所以，11?v?mv2?m???mg?l?mg?2l22?2?

24gl?52?v?

4.8gl

例 2.如圖所示，一固定的楔形木塊，其斜面的傾角θ=30°，另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪。一柔軟的細(xì)線跨過定滑輪，兩端分別與物塊A和B連結(jié)，A的質(zhì)量為4m，B的質(zhì)量為m，開始時將B按在地面上不動，然后放開手，讓A沿斜面下滑而B上升。物塊A與斜面間無摩擦。設(shè)當(dāng)A沿斜面下滑S 距離后，細(xì)線突然斷了。求物塊B上升離地的最大高度H.解：對系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律

4mgSsinθ – mgS = 1/2× 5 mv

2∴v2=2gS/

5細(xì)線斷后，B做豎直上拋運(yùn)動，由機(jī)械能守恒定律

mgH= mgS+1/2× mv2∴H = 1.2 S

例 3.如圖所示，半徑為R、圓心為O的大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，兩個輕質(zhì)小圓環(huán)套在大圓環(huán)上．一根輕質(zhì)長繩穿過兩個小圓環(huán)，它的兩端都系上質(zhì)量為m的重物，忽略小圓環(huán)的大小。

（1）將兩個小圓環(huán)固定在大圓環(huán)豎直對稱軸的兩側(cè)θ=30°的位置上(如圖)．在 兩個小圓環(huán)間繩子的中點(diǎn)C處，掛上一個質(zhì)量M= m的重

環(huán)間的繩子水平，然后無初速釋放重物M．設(shè)繩

子

與大、小圓環(huán)間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離．

（2）若不掛重物M．小圓環(huán)可以在大圓環(huán)上自

由移動，且繩子與大、小圓環(huán)間及大、小圓環(huán)之2物，使兩個小圓

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高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家 間的摩擦均可以忽略，問兩個小圓環(huán)分別在哪些位置時，系統(tǒng)可處于平衡狀態(tài)?

解：(1)重物向下先做加速運(yùn)動，后做減速運(yùn)動，當(dāng)重物速度

為零時，下降的距離最大．設(shè)下降的最大距離為h，由機(jī)械能守恒定律得

解得

Mgh?2mg?h2?Rsinθ?Rsinθ?????h

?2R（另解h=0舍去）

(2)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時，兩小環(huán)的可能位置為

a． 兩小環(huán)同時位于大圓環(huán)的底端．

b．兩小環(huán)同時位于大圓環(huán)的頂端．

c．兩小環(huán)一個位于大圓環(huán)的頂端，另一個位于大圓環(huán)的底端．

d．除上述三種情況外，根據(jù)對稱性可知，系統(tǒng)如能平衡，則兩小圓環(huán)的位置一定關(guān)于大圓環(huán)豎直對稱軸對稱．設(shè)平衡時，兩小圓環(huán)在大圓環(huán)豎直對稱

軸兩側(cè)α角的位置上(如圖所示)．

對于重物，受繩子拉力與重力作用，有T=mg

對于小圓環(huán)，受到三個力的作用，水平繩的拉力T、豎直繩子的拉力T、大圓環(huán)的支持力N.兩繩子的拉力沿大圓環(huán)切向的分力大小相等，方向相反

得α=α′, 而α+α′=90°，所以α=45 °

例 4.如圖質(zhì)量為m1的物體A經(jīng)一輕質(zhì)彈簧與下方地面上的質(zhì)量為m2的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于

靜止?fàn)顟B(tài)。一條不可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都牌伸直狀態(tài)，A上方的一段沿豎直方向。現(xiàn)在掛鉤上掛一質(zhì)量為m3的物體C上升。

若將C換成另一個質(zhì)量為(m1+m3)物體D，仍從上述初始位置

由靜止?fàn)顟B(tài)釋放，則這次B則離地時D的速度的大小是多少？

已知重力加速度為g。

解:開始時，B靜止平衡，設(shè)彈簧的壓縮量為x1,kx1?m1g

掛C后，當(dāng)B剛要離地時，設(shè)彈簧伸長量為x2，有

kx2?m2g 歡迎廣大教師踴躍來稿，稿酬豐厚。

高考資源網(wǎng)（），您身邊的高考專家 此時，A和C速度均為零。從掛C到此時，根據(jù)機(jī)械能守恒定律彈簧彈性勢能的改變量為

?E?m3g(x1?x2)?m1g(x1?x2)

將C換成D后，有

1?E?(m1?m3?m1)v2?(m1?m3)g(x1?x2)?m1g(x1?x2)2

2m1(m1?m2)g2

k(2m1?m3)聯(lián)立以上各式可以解得

v?

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第五篇：勻變速直線運(yùn)動規(guī)律典型例題應(yīng)用

勻變速直線運(yùn)動規(guī)律典型例題應(yīng)用

1．勻變速直線運(yùn)動中，加速度a、初速度VO、末速度Vt、時間t、位移x之間關(guān)

系正確的是()

A．x?v0t?12atB．x=V0t2

C．x?1

2atD．x=（V0+Vt）t/2

222．汽車在平直的公路上以20m／s的速度行駛，當(dāng)汽車以5m／s的加速度剎車時，剎車2s內(nèi)與剎車6S內(nèi)的位移之比為()

A．1：lB．3：4C．3：lD．4：3

3．一個作勻加速直線運(yùn)動的物體，其位移和時間的關(guān)系是s=18t-6t2，則它的速度為零的時刻為()

A．1．5sB．3sC．6sD．18s

4．初速度為零的勻變速直線運(yùn)動，第一秒、第二秒、第三秒的位移之比為()

A．1：2：3B．1：2：4C．1：3：5D．1：4：9

5．以下敘述正確的是（）

A．勻加速直線運(yùn)動中，加速度一定與速度同向

B．勻減速直線運(yùn)動中，加速度一定與速度反向

C．勻加速直線運(yùn)動的加速度一定大于勻減速直線運(yùn)動加速度

D．-5m/s2一定大于+3 m/s2

6．由靜止開始作勻變速直線運(yùn)動的物體，笫4s內(nèi)平均速度為14m/s，則它 在第3s內(nèi)的位移是_________m，第4s末的速度是_______m/s，它通過第三個2m所需時間為__________s。

7．某飛機(jī)的起飛速度是60m/s，在跑道上可能產(chǎn)生的最大加速度為4 m/s2，該飛機(jī)從靜止到起飛成功需要跑道的最小長度為___________。

8．某市規(guī)定：卡車在市區(qū)內(nèi)行駛速度不得超過40km／h，一次一輛市區(qū)路面緊急剎車后，經(jīng)1．5s停止，量得剎車痕跡S=9m，問這車是否違章行駛?

9．一輛汽車，以36km／h的速度勻速行駛lOs，然后以lm／s2的加速度勻加速行駛10s，汽車在這20s內(nèi)的位移是多大?平均速度是多大?汽車在加速的10s內(nèi)平均速度是多大?

10．做勻加速直線運(yùn)動的物體，速度從v增加到2v時通過的距離是30m，則當(dāng)速度從3v增加到4v時，求物體通過的距離是多大?