第一篇：第二章立體幾何小結(jié)

第二章小結(jié)

-----本章主要問題方法總結(jié)

1、證線在面上：

⑴公理1 數(shù)學(xué)符號(hào)

⑵面面垂直的性質(zhì)2 數(shù)學(xué)符號(hào)

2、確定一個(gè)平面的方法：公理2及其三個(gè)推論

公理2： 推論1 推論2 推論3

3、證點(diǎn)在線上的方法：公理3 數(shù)學(xué)符號(hào)

4、空間兩直線平行的證明方法：

⑴公理4 數(shù)學(xué)符號(hào)

⑵線面平行的性質(zhì)定理 數(shù)學(xué)符號(hào)

⑶面面平行的性質(zhì)定理 數(shù)學(xué)符號(hào) ⑷線面垂直的性質(zhì)定理 數(shù)學(xué)符號(hào)

5、證明線面平行的方法：

⑴線面平行的定義

⑵線面平行的判定理 數(shù)學(xué)符號(hào)

⑶面面平行的性質(zhì)定理補(bǔ)充定理：兩平面平行，其中一個(gè)平面內(nèi)的任意直線平行與另一個(gè)平面。

數(shù)學(xué)符號(hào) 6:、證線面相交得方法：

⑴定義法：

⑵反證法：

7、證面面平行的方法：

⑴面面平行的定義即兩個(gè)平面沒有公共點(diǎn)。

⑵面面平行的判定定理

數(shù)學(xué)符號(hào)

⑶面面平行的判定定理推論：一個(gè)平面內(nèi)的兩相交直線分別平行于另一個(gè)平面內(nèi)的兩 1 相交直線那么著兩個(gè)平面平行。

數(shù)學(xué)符號(hào) ⑷垂直于同一條直線的兩平面平行。

數(shù)學(xué)符號(hào)

⑸平行于同一個(gè)平面兩平面平行。

數(shù)學(xué)符號(hào)

８、線面垂直的判定方法：

⑴定義法

⑵線面垂直的判定定理

數(shù)學(xué)符號(hào)

⑶兩直線平行，其中一條直線垂直一個(gè)平面另一條直線也垂直于這個(gè)平面。

數(shù)學(xué)符號(hào) ⑷面面垂直的性質(zhì)定理

數(shù)學(xué)符號(hào)

9、求空間角的問題：異面直線所成的角、直線與平面所成的角、二面角。

一般步驟： A、找出或作出有角的圖形 B、證明它符合定義

C、計(jì)算角的大小（解三角形）

⑴求異面直線所成角兩條思維途徑：

第一條：以兩條異面直線四個(gè)頂點(diǎn)中的一個(gè)端點(diǎn)為頂點(diǎn)作角。

第二條：以兩條異面直線所在的兩個(gè)平面的交線上的一點(diǎn)為頂點(diǎn)作角 說明：第一條是本質(zhì)，第二條是第一條的特殊情況。

⑵直線與平面所成的角

作角的關(guān)鍵：通常取斜線上某個(gè)特殊點(diǎn)作平面的垂線段，連接垂足和斜足，是產(chǎn)生線面所成角的關(guān)鍵。作垂線時(shí)常在這個(gè)面的垂面內(nèi)作垂線。⑶二面角的求法： 定義法

垂面法 垂線法

回顧性練習(xí)：

練習(xí)1 如圖，三棱錐S-ABC四個(gè)面都是正三角形，已知E、F分別是棱SC、AB的中點(diǎn)，試求異面直線EF和SA所成的角。

SECFA

B

練習(xí)2 已知ABCD-A1B1C1D1是長方體，且ABCD是邊長為a的正方形，E是D D1的中點(diǎn)，O是正方形ABCD的中心，直線EO與B1D1所成的角是45度，如圖，求直線EO與BC1所成的角。

D1A1EB1C1DOA

CB

練習(xí)3 如圖 ,∠BAD＝90度的等腰三角形⊿ABD與底面正⊿CBD所在平面互相垂直，E是BC的中點(diǎn)，則AE與平面BCD所成的角是多少？

ABEC

練習(xí)4 如圖，在三棱錐S-ABC中，SA⊥平面ABC,AB⊥BC,DE垂直平分SC且分別交AC、SC于D、E兩點(diǎn)，又SA＝AB,SB＝BC.求二面角E-BD-C的大小.D

SEADBC

第二篇：高中立體幾何初步小結(jié)（定稿）

立體幾何證明初步總結(jié)

①、三個(gè)公理和三個(gè)推論：

這是判斷幾點(diǎn)共線（證這幾點(diǎn)是兩個(gè)平面的公共點(diǎn)）和三條直線共點(diǎn)（證其中兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上）的方法之一。②、證明線線平行的方法

1．平行于同一直線的兩條直線平行； 2．垂直于同一平面的兩條直線平行；

3．如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交，那么這條直線就和這條直線平行；

4．如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。5．在同一平面內(nèi)的的兩條直線，可依據(jù)平面幾何的定理證明（如三角形中位線定理；平行四邊形對(duì)邊平行；平行線分線段成比例定理的逆定理等）③、證明線面平行的方法

1．由定義：一條直線和平面無公共點(diǎn)；

2．如果不在一個(gè)平面內(nèi)的一條直線和平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行；

3．兩平面平行，則其中一個(gè)平面內(nèi)的一條直線必平行于另一個(gè)平面； ④、證明面面平行的方法

1．由定義：沒有公共點(diǎn)的兩個(gè)平面平行；

2．如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行； ⑤、證明線線垂直的方法

1．定義：兩直線相交成90?角，或經(jīng)過平移后相交成90?角（異面垂直）； 2．直線和平面垂直，則該直線和平面內(nèi)的任一直線垂直； 3．一條直線和兩平行線中的一條垂直，也和另一條垂直；

4．平面幾何中常用的定理：菱形、正方形的對(duì)角線互相垂直；等腰三角形“三線合一”；圓的直徑所對(duì)的圓周角是直角；勾股定理。⑥、證明線面垂直的方法

1．定義：如果一條直線和平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，則這條直線和平面垂直； 2．如果一條直線和平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則這條直線和這個(gè)平面垂直； 3．如果兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面；

4．如果兩個(gè)平面垂直，那么在第一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線，也垂直于另一個(gè)平面；

⑦、證明面面垂直的方法

1．證明兩個(gè)平面的二面角為90?角。

2．一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，則這個(gè)平面垂直于另一個(gè)平面。大策略 空間平面平行關(guān)系垂直關(guān)系 小策略平行轉(zhuǎn)化 線線平行 線面平行面面平行 垂直轉(zhuǎn)化 線線垂直 線面垂直面面垂直

二、有“心”的三角形

1．內(nèi)心：內(nèi)切圓圓心，是各角平分線的交點(diǎn)； 2．外心：外接圓圓心，是各邊垂直平分線交點(diǎn)；

3．重心：各邊中線交點(diǎn)，重心將所在中線分成兩段比值為2:1； 4．垂心：高的交點(diǎn)。

第三篇：立體幾何2018高考

2018年06月11日青岡一中的高中數(shù)學(xué)組卷

一．選擇題（共11小題）

1．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）

A． B． C． D．

2．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A．12π B．12π C．8

π

D．10π

3．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為（）A． B． C．

D．

4．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=成角的余弦值為（）A． B． C．

D．，則異面直線AD1與DB1所5．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）

第1頁（共23頁）

A．2 B．4 C．6 D．8

6．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為（）A．8 B．6 C．8

D．8

7．設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為9A．12，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）B．18 C．2D．54

8．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

A．1 B．2 C．3 D．4

9．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

第2頁（共23頁）

A．2 B．2 C．3 D．2

10．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B．

C．

D．

11．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（）

A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ

1二．解答題（共8小題）

12．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2．（1）設(shè)圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；

（2）設(shè)PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點(diǎn)，如圖．求異面直線PM與OB所成的角的大小．

13．如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF．（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值．

第3頁（共23頁）

14．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2（1）證明：PO⊥平面ABC；，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．

（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．

15．如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=2（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．，∠BAD=90°．

16．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧的點(diǎn)．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

所在平面垂直，M是上異于C，D（2）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說明理由．

第4頁（共23頁）

17．如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧上異于C，D的點(diǎn)．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

所在平面垂直，M是（2）當(dāng)三棱錐M﹣ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．

18．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求證：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PE⊥BC；

（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求證：EF∥平面PCD．

第5頁（共23頁）

第6頁（共23頁）

2018年06月11日青岡一中的高中數(shù)學(xué)組卷

參考答案與試題解析

一．選擇題（共11小題）

1．中國古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來．構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是（）

A． B． C． D．

【解答】解：由題意可知，如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長方體，小的長方體，是榫頭，從圖形看出，輪廓是長方形，內(nèi)含一個(gè)長方形，并且一條邊重合，另外3邊是虛線，所以木構(gòu)件的俯視圖是A．

故選：A．

2．已知圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，則該圓柱的表面積為（）A．12π B．12π C．8

π

D．10π

【解答】解：設(shè)圓柱的底面直徑為2R，則高為2R，圓柱的上、下底面的中心分別為O1，O2，過直線O1O2的平面截該圓柱所得的截面是面積為8的正方形，可得：4R2=8，解得R=，第7頁（共23頁）

則該圓柱的表面積為：故選：D．

=10π．

3．在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E為棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AE與CD所成角的正切值為（）A． B． C．

D．

【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，坐標(biāo)系，設(shè)正方體ABCD﹣A1B1C1D1棱長為2，則A（2，0，0），E（0，2，1），D（0，0，0），C（0，2，0），=（﹣2，2，1），=（0，﹣2，0），設(shè)異面直線AE與CD所成角為θ，則cosθ===，sinθ==，∴tanθ=．

∴異面直線AE與CD所成角的正切值為．

故選：C．

第8頁（共23頁）

1為z軸，建立空間直角DD

4．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=成角的余弦值為（）A． B． C．

D．，則異面直線AD1與DB1所【解答】解：以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，∵在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=，），D（0，0，0），∴A（1，0，0），D1（0，0，B1（1，1，），），=（﹣1，0，=（1，1，），設(shè)異面直線AD1與DB1所成角為θ，則cosθ=

=

=，． ∴異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為故選：C．

5．某幾何體的三視圖如圖所示（單位：cm），則該幾何體的體積（單位：cm3）是（）

第9頁（共23頁）

A．2 B．4 C．6 D．8

【解答】解：根據(jù)三視圖：該幾何體為底面為直角梯形的四棱柱．

如圖所示：故該幾何體的體積為：V=故選：C．

．

6．在長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，則該長方體的體積為（）A．8 B．6 C．8

D．8

【解答】解：長方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，AC1與平面BB1C1C所成的角為30°，即∠AC1B=30°，可得BC1=可得BB1=

=

2．=8

．

=2

．

所以該長方體的體積為：2×故選：C．

第10頁（共23頁）

7．設(shè)A，B，C，D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且面積為9A．12，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為（）B．18 C．2D．54

【解答】解：△ABC為等邊三角形且面積為9，可得，解得AB=6，球心為O，三角形ABC 的外心為O′，顯然D在O′O的延長線與球的交點(diǎn)如圖： O′C==，OO′=

=2，則三棱錐D﹣ABC高的最大值為：6，則三棱錐D﹣ABC體積的最大值為：故選：B．

=18

．

8．某四棱錐的三視圖如圖所示，在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）

第11頁（共23頁）

A．1 B．2 C．3 D．4

【解答】解：四棱錐的三視圖對(duì)應(yīng)的直觀圖為：PA⊥底面ABCD，AC=，CD=，可得三角形PCD不是直角三角形． PC=3，PD=2所以側(cè)面中有3個(gè)直角三角形，分別為：△PAB，△PBC，△PAD． 故選：C．

9．某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）

第12頁（共23頁）

A．2 B．2 C．3 D．2

【解答】解：由題意可知幾何體是圓柱，底面周長16，高為：2，直觀圖以及側(cè)面展開圖如圖：

圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度：故選：B．

10．已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）A． B．

C．

D．

=2．

【解答】解：正方體的所有棱中，實(shí)際上是3組平行的棱，每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，如圖：所示的正六邊形平行的平面，并且正六邊形時(shí)，α截此正方體所得截面面積的最大，此時(shí)正六邊形的邊長故選：A．

明明就的最大值為：6×

=

．

11．已知四棱錐S﹣ABCD的底面是正方形，側(cè)棱長均相等，E是線段AB上的點(diǎn)（不含端點(diǎn)）．設(shè)SE與BC所成的角為θ1，SE與平面ABCD所成的角為θ2，二面角S﹣AB﹣C的平面角為θ3，則（）

A．θ1≤θ2≤θ3 B．θ3≤θ2≤θ1 C．θ1≤θ3≤θ2 D．θ2≤θ3≤θ1

第13頁（共23頁）

【解答】解：∵由題意可知S在底面ABCD的射影為正方形ABCD的中心． 過E作EF∥BC，交CD于F，過底面ABCD的中心O作ON⊥EF交EF于N，連接SN，取CD中點(diǎn)M，連接SM，OM，OE，則EN=OM，則θ1=∠SEN，θ2=∠SEO，θ3=∠SMO． 顯然，θ1，θ2，θ3均為銳角． ∵tanθ1=∴θ1≥θ3，又sinθ3=∴θ3≥θ2． 故選：D．，sinθ2=，SE≥SM，=，tanθ3=，SN≥SO，二．解答題（共8小題）

12．已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2．（1）設(shè)圓錐的母線長為4，求圓錐的體積；

（2）設(shè)PO=4，OA、OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點(diǎn)，如圖．求異面直線PM與OB所成的角的大?。?/p>

【解答】解：（1）∵圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，半徑為2，圓錐的母線長為4，第14頁（共23頁）

∴圓錐的體積V==

=．

（2）∵PO=4，OA，OB是底面半徑，且∠AOB=90°，M為線段AB的中點(diǎn)，∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，OB為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，P（0，0，4），A（2，0，0），B（0，2，0），M（1，1，0），O（0，0，0），=（1，1，﹣4），=（0，2，0），設(shè)異面直線PM與OB所成的角為θ，則cosθ==

=

．

∴θ=arccos．

∴異面直線PM與OB所成的角的為arccos

．

13．如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以把△DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF．（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值．

第15頁（共23頁）

DF為折痕

【解答】（1）證明：由題意，點(diǎn)E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，則，由于四邊形ABCD為正方形，所以EF⊥BC． 由于PF⊥BF，EF∩PF=F，則BF⊥平面PEF．

又因?yàn)锽F?平面ABFD，所以：平面PEF⊥平面ABFD．（2）在平面DEF中，過P作PH⊥EF于點(diǎn)H，聯(lián)結(jié)DH，由于EF為面ABCD和面PEF的交線，PH⊥EF，則PH⊥面ABFD，故PH⊥DH．

在三棱錐P﹣DEF中，可以利用等體積法求PH，因?yàn)镈E∥BF且PF⊥BF，所以PF⊥DE，又因?yàn)椤鱌DF≌△CDF，所以∠FPD=∠FCD=90°，所以PF⊥PD，由于DE∩PD=D，則PF⊥平面PDE，故VF﹣PDE=，因?yàn)锽F∥DA且BF⊥面PEF，所以DA⊥面PEF，所以DE⊥EP．

設(shè)正方形邊長為2a，則PD=2a，DE=a 在△PDE中，所以故VF﹣PDE=，，第16頁（共23頁）

又因?yàn)樗訮H==，=，． 所以在△PHD中，sin∠PDH=即∠PDH為DP與平面ABFD所成角的正弦值為：

14．如圖，在三棱錐P﹣ABC中，AB=BC=2（1）證明：PO⊥平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱BC上，且MC=2MB，求點(diǎn)C到平面POM的距離．，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點(diǎn)．

【解答】（1）證明：∵AB=BC=2角形，AC=4，∴AB2+BC2=AC2，即△ABC是直角三又O為AC的中點(diǎn)，∴OA=OB=OC，∵PA=PB=PC，∴△POA≌△POB≌△POC，∴∠POA=∠POB=∠POC=90°，∴PO⊥AC，PO⊥OB，OB∩AC=0，∴PO⊥平面ABC；（2）解：由（1）得PO⊥平面ABC，PO=在△COM中，OM=S，=

．

=××=，第17頁（共23頁）

S△COM==．，設(shè)點(diǎn)C到平面POM的距離為d．由VP﹣OMC=VC﹣POM?解得d=，． ∴點(diǎn)C到平面POM的距離為

15．如圖，在四面體ABCD中，△ABC是等邊三角形，平面ABC⊥平面ABD，點(diǎn)M為棱AB的中點(diǎn)，AB=2，AD=2（Ⅰ）求證：AD⊥BC；

（Ⅱ）求異面直線BC與MD所成角的余弦值；（Ⅲ）求直線CD與平面ABD所成角的正弦值．，∠BAD=90°．

【解答】（Ⅰ）證明：由平面ABC⊥平面ABD，平面ABC∩平面ABD=AB，AD⊥AB，得AD⊥平面ABC，故AD⊥BC；

（Ⅱ）解：取棱AC的中點(diǎn)N，連接MN，ND，∵M(jìn)為棱AB的中點(diǎn)，故MN∥BC，∴∠DMN（或其補(bǔ)角）為異面直線BC與MD所成角，在Rt△DAM中，AM=1，故DM=∵AD⊥平面ABC，故AD⊥AC，在Rt△DAN中，AN=1，故DN=，在等腰三角形DMN中，MN=1，可得cos∠DMN=∴異面直線BC與MD所成角的余弦值為

；

．

（Ⅲ）解：連接CM，∵△ABC為等邊三角形，M為邊AB的中點(diǎn)，故CM⊥AB，CM=，第18頁（共23頁）

又∵平面ABC⊥平面ABD，而CM?平面ABC，故CM⊥平面ABD，則∠CDM為直線CD與平面ABD所成角． 在Rt△CAD中，CD=在Rt△CMD中，sin∠CDM=，．

． ∴直線CD與平面ABD所成角的正弦值為

16．如圖，矩形ABCD所在平面與半圓弧的點(diǎn)．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）在線段AM上是否存在點(diǎn)P，使得MC∥平面PBD？說明理由．

所在平面垂直，M是

上異于C，D

【解答】（1）證明：矩形ABCD所在平面與半圓弦半圓弦所在平面，CM?半圓弦

所在平面，所在平面垂直，所以AD⊥∴CM⊥AD，M是上異于C，D的點(diǎn)．∴CM⊥DM，DM∩AD=D，∴CD⊥平面AMD，CD?平面CMB，∴平面AMD⊥平面BMC；（2）解：存在P是AM的中點(diǎn)，理由：

連接BD交AC于O，取AM的中點(diǎn)P，連接OP，可得MC∥OP，MC?平面BDP，OP?平面BDP，第19頁（共23頁）

所以MC∥平面PBD．

17．如圖，邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧上異于C，D的點(diǎn)．

（1）證明：平面AMD⊥平面BMC；

（2）當(dāng)三棱錐M﹣ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值．

所在平面垂直，M是

【解答】解：（1）證明：在半圓中，DM⊥MC，∵正方形ABCD所在的平面與半圓弧∴AD⊥平面BCM，則AD⊥MC，∵AD∩DM=D，∴MC⊥平面ADM，∵M(jìn)C?平面MBC，∴平面AMD⊥平面BMC．（2）∵△ABC的面積為定值，∴要使三棱錐M﹣ABC體積最大，則三棱錐的高最大，此時(shí)M為圓弧的中點(diǎn)，建立以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示的空間直角坐標(biāo)系如圖 ∵正方形ABCD的邊長為2，∴A（2，﹣1，0），B（2，1，0），M（0，0，1），則平面MCD的法向量=（1，0，0），設(shè)平面MAB的法向量為=（x，y，z）

第20頁（共23頁）

所在平面垂直，則=（0，2，0），=（﹣2，1，1），由?=2y=0，?=﹣2x+y+z=0，令x=1，則y=0，z=2，即=（1，0，2），則cos＜，＞=

=

=，則面MAB與面MCD所成二面角的正弦值sinα=

=

．

18．在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1． 求證：（1）AB∥平面A1B1C；（2）平面ABB1A1⊥平面A1BC．

【解答】證明：（1）平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AB∥A1B1，?AB∥平面A1B1C；

（2）在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，?四邊形ABB1A1是菱形，⊥AB1⊥A1B．

第21頁（共23頁）

在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=AB，AB1⊥B1C1?AB1⊥BC． ∴

?AB1⊥面A1BC，且AB1?平面ABB1A1?平面ABB1A1⊥平面A1BC．

19．如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，E，F(xiàn)分別為AD，PB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：PE⊥BC；

（Ⅱ）求證：平面PAB⊥平面PCD；（Ⅲ）求證：EF∥平面PCD．

【解答】證明：（Ⅰ）PA=PD，E為AD的中點(diǎn)，可得PE⊥AD，底面ABCD為矩形，可得BC∥AD，則PE⊥BC；

（Ⅱ）由于平面PAB和平面PCD有一個(gè)公共點(diǎn)P，且AB∥CD，在平面PAB內(nèi)過P作直線PG∥AB，可得PG∥CD，即有平面PAB∩平面PCD=PG，由平面PAD⊥平面ABCD，又AB⊥AD，可得AB⊥平面PAD，即有AB⊥PA，PA⊥PG；

同理可得CD⊥PD，即有PD⊥PG，可得∠APD為平面PAB和平面PCD的平面角，第22頁（共23頁）

由PA⊥PD，可得平面PAB⊥平面PCD；

（Ⅲ）取PC的中點(diǎn)H，連接DH，F(xiàn)H，在三角形PCD中，F(xiàn)H為中位線，可得FH∥BC，F(xiàn)H=BC，由DE∥BC，DE=BC，可得DE=FH，DE∥FH，四邊形EFHD為平行四邊形，可得EF∥DH，EF?平面PCD，DH?平面PCD，即有EF∥平面PCD．

第23頁（共23頁）

第四篇：教案 立體幾何

【教學(xué)過程】 *揭示課題 9 立體幾何 *復(fù)習(xí)導(dǎo)入

一、點(diǎn)線面的位置關(guān)系 點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：A?a　A?a 2.點(diǎn)與面的位置關(guān)系： A??　A?? 3.直線與直線的位置關(guān)系：平行 相交 異面 4直線與平面的位置關(guān)系： 在平面內(nèi) 相交平行

二、線面平行的判定定理

1.線線平行：平行于同一條直線的兩條直線互相平行

2.線面平行：如果平面外的一條直線和這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線就和這個(gè)平面平行

3.面面平行：如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面互相平行

三、線面平行的性質(zhì)定理

1.線線平行：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行并且方向相同，那么這兩個(gè)角相等

2.線面平行：如果一條直線和一個(gè)平面平行，并且經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)面相交，那么這條直線和交線平行

3.面面平行：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行

四、線面垂直的判定定理

1.線面垂直：如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線與這個(gè)平面垂直

2.面面垂直：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直

五、線面垂直性質(zhì)定理

1.線面垂直：如果兩條直線垂直于同一個(gè)平面，那么這兩條直線平行

2.面面垂直：如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面

六、柱、錐、球 1.棱柱、圓柱

S側(cè)=底面周長?高V體=底面面積?高2.棱錐、圓錐

1底面周長?母線2 1V體=底面積?高3S側(cè)?3.球

S表=4?r243 V體=?r3*練習(xí)講解 復(fù)習(xí)題A組 *歸納小結(jié)

本章立體幾何部分概念偏多，需要著重分辨判定定理與性質(zhì)定理的適用范圍，將點(diǎn)線面位置關(guān)系化為最簡單的線線判斷，由此可提高位置判定的速度，能夠更加地熟練運(yùn)用各大定理。

第五篇：高中立體幾何

高中立體幾何的學(xué)習(xí)

高中立體幾何的學(xué)習(xí)主要在于培養(yǎng)空間抽象能力的基礎(chǔ)上，發(fā)展學(xué)生的邏輯思維能力和空間想象能力。立體幾何是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個(gè)難點(diǎn)，學(xué)生普遍反映“幾何比代數(shù)難學(xué)”。但很多學(xué)好這部分的同學(xué)，又覺得這部分很簡單。那么,怎樣才能學(xué)好立體幾何呢?我這里談?wù)勛约旱恼J(rèn)識(shí)。

一．空間想象能力的提高。

開始學(xué)習(xí)的時(shí)候，首先要多看簡單的立體幾何題目，不能從難題入手。自己動(dòng)手畫一些立體幾何的圖形，比如教材上的習(xí)題，輔導(dǎo)書上的練習(xí)題，不看原圖，自己先畫。畫出來的圖形很可能和給出的圖不一樣，這是好事，再對(duì)比一下，那個(gè)圖更容易解題。

二．邏輯思維能力的培養(yǎng)。

培養(yǎng)邏輯思維能力，首先是牢固掌握數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)，其次掌握必要的邏輯知識(shí)和邏輯思維。

1.加強(qiáng)對(duì)基本概念理解。

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識(shí)體系的兩大組成部分之一，理解與掌握數(shù)學(xué)概念是學(xué)好數(shù)學(xué)，提高數(shù)學(xué)能力的關(guān)鍵。

對(duì)于基本概念的理解，首先要多想。比如對(duì)異面直線的理解，兩條直線不在同一個(gè)平面是簡單的定義，如何才能不在同一個(gè)平面呢，第一是把同一個(gè)[平面上的直線離開這個(gè)平面，或者用兩支筆來比劃，這樣直觀上有了異面直線的概念，然后想在數(shù)學(xué)上怎么才能保證兩條直

線不在一個(gè)平面，那些條件能保證兩條直線不在一個(gè)平面。我們多去想想，就可以知道，只要直線不平行，并且不相交，那么就異面，對(duì)于不平行的條件，在平面幾何中我們已經(jīng)知道，如何能保證不相交呢，想象延長線等手段能不能得到證明呢，如果不能，那么把其中一條直線放在一個(gè)平面，看另外一條直線和這個(gè)平面是否平行，這樣我們對(duì)異面直線的概念就比較容易掌握。

這在立體幾何“簡單幾何體”部分的學(xué)習(xí)中顯得尤為突出，本章節(jié)中涉及大量的基本概念，掌握概念的合理性，嚴(yán)謹(jǐn)性，辨析相近易混的概念。如：正四面體與正三棱錐、長方體與直平行六面體、軸截面與直截面、球面與球等概念的區(qū)別和聯(lián)系。

2.加強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)命題理解，學(xué)會(huì)靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)命題解決問題。

對(duì)數(shù)學(xué)的公理，定理的理解和應(yīng)用，突出反映在題目的證明和計(jì)算上。需要避免證明中出現(xiàn)邏輯推理不嚴(yán)密，運(yùn)用定理、公理、法則時(shí)言非有據(jù)，或以主觀臆斷代替嚴(yán)密的科學(xué)論證，書寫格式不合理，層次不清，數(shù)學(xué)符號(hào)語言使用不當(dāng)，不合乎習(xí)慣等。

（1）重視定理本身的證明。我們知道，定理本身的證明思路具有示范性，典型性，它體現(xiàn)了基本的邏輯推理知識(shí)和基本的證明思想的培養(yǎng),以及規(guī)范的書寫格式的養(yǎng)成。做到不僅會(huì)分析定理的條件和結(jié)論,而且能掌握定理的內(nèi)容,證明的思想方法,適用范圍和表達(dá)形式.特別是進(jìn)入高中學(xué)習(xí)以后所涉及到的一些新的證題的思想方法,如新教材上的立體幾何例題:“過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線,和平面內(nèi)不經(jīng)過該點(diǎn)的直線是異面直線.”此定理的證明就采用了反證法,那么反

證法的證題思想就需要去體會(huì),一般步驟,書寫格式,注意要點(diǎn)等.并配以適當(dāng)?shù)挠?xùn)練,以初步掌握應(yīng)用反證法證明立體幾何題.(2)提高應(yīng)用定理分析問題和解決問題的能力.這常常體現(xiàn)在遇到一個(gè)幾何題以后,不知從何下手.對(duì)于習(xí)題，我們首先需要知道：要干什么（要求的結(jié)論是什么），那些條件能滿足要求，這樣一步一步往前找條件。當(dāng)然這要根據(jù)具體情況，需要多看習(xí)題，我反對(duì)題海，但必要的練習(xí)是不可以缺少的。