第一篇：立體幾何解題分析

關(guān)于高考立體幾何復(fù)習(xí)建議

立體幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一。也是高考考查的重要內(nèi)容，高考對直體幾何的考查呈現(xiàn)出比較明顯的規(guī)律。無論是試題的數(shù)量。還是試題的難度，都體現(xiàn)出相對的穩(wěn)定性。存高考試卷中必有一個立體幾何解答題。這個試題一般設(shè)有2～3個小問，或證明平行與垂直，或計算角與距離。在突出考查空間想象能力的同時，考查思維能力與運算能力。另外還有1～2個選擇題或填空題。這幾個小題在考查基礎(chǔ)知識的同時，突出考查對圖形的理解與想象能力，考查創(chuàng)新意識。從難度來看，立體幾何解答題屬于中等題，應(yīng)是大多數(shù)同學(xué)得分的試題：在選擇題、填空題中，近幾年考察三視圖的題型比較多，對空間想象能力和創(chuàng)新能力要求較高。

一、成績數(shù)據(jù)分析

從2012年我校高考成績數(shù)據(jù)分析來看，“立體幾何”部分占填空1道，大題1道。其中填空題第10題，滿分5分，我校得分1.90分，低于同類校0.99分，低于全市校1.07分。解答題第17題，滿分13分，我校得分4.68分，低于同類校2.26分，低于全市校2.25分，其中第一問滿分4分，我校得分2.71分，低于同類校0.58分，低于全市校0.35分；第二問滿分4分，我校得分1.65分，低于同類校1.20分，低于全市校1.03分；第三問滿分5分，我校得分0.32分，低于同類校0.48分，低于全市校0.87分。

二、存在問題

在立體幾何中，畫出空間圖形的直觀圖，對空間圖形中位置關(guān)系的識別，恰當(dāng)?shù)刈儞Q處理圖形，運用空間圖形解決問題是學(xué)好立體幾何的關(guān)鍵，是空間想象能力的核心成分。在高三立體幾何復(fù)習(xí)教學(xué)中，我發(fā)現(xiàn)學(xué)生在畫圖、識圖、用圖中存在不少問題。因此，有必要探究個中原因，反思我們的教學(xué)。

（1）基本作圖能力薄弱

在高三復(fù)習(xí)中，發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生隨手畫圖，不用直尺；有的學(xué)生畫出的圖形線條不簡潔，虛實線不分，缺乏立體感。此外，學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)中沒有儲存足夠的基本立體幾何模型，從而想不到借助基本圖形來判斷復(fù)雜的位置關(guān)系。基本作圖能力的薄弱影響了學(xué)生對圖形的觀察與分析，制約了識圖能力的提高。

（2）數(shù)學(xué)語言轉(zhuǎn)換能力不強

空間想象能力要求學(xué)生能借助圖形來反映用文字語言或符號語言所表達的空間圖形或位置關(guān)系。即從語言或式子中提取關(guān)鍵信息，在頭腦中形成空間圖形的“表象”，再畫出其直觀圖，就是說先想圖，后畫圖。這里進行了兩次轉(zhuǎn)化，一是文字語言或符號語言轉(zhuǎn)化為圖形語言，二是空間向平面的轉(zhuǎn)化，而大部分學(xué)生就是在轉(zhuǎn)化的過程中出現(xiàn)問題。

（3）識圖、用圖的能力欠缺

學(xué)好立體幾何要求學(xué)生具有熟練的識圖、用圖能力，即從復(fù)雜的圖形中區(qū)別出基本圖形，并通過對基本圖形的分析，識別出基本元素之間的基本關(guān)系。學(xué)生往往對圖形仔細觀察不夠，推理分析不深，不能克服由空間到平面所產(chǎn)生的錯覺，從而不能正確認識各元素的空間位置和圖形的空間結(jié)構(gòu)。

三、反思與建議

對上述存在問題，我認為與老師對作圖教學(xué)重視不夠、示范不夠、指導(dǎo)不夠，學(xué)生的作圖、識圖、用圖訓(xùn)練不夠有密切關(guān)系。由于高考對作圖基本不考，所以有的老師干脆把“斜二測畫法”晾在一邊，砍掉不教了。在實際教學(xué)中，圖形教學(xué)“草草收場”，習(xí)題教學(xué)“匆忙登場”；重視解題訓(xùn)練，忽視讀圖、識圖能力培養(yǎng)；重視嚴密推理，忽視耐心觀察而獲取感性認識的現(xiàn)象屢見不鮮。針對此種現(xiàn)象我提出下列幾點建議與老師們共同探討：

（1）重視基本作圖技能的訓(xùn)練，培養(yǎng)學(xué)生的作圖能力

立體幾何離不開圖形，學(xué)好立體幾何應(yīng)從圖形入手，學(xué)會畫圖、識圖、用圖。教師首先要高度重視作圖教學(xué)，把圖形教學(xué)落實到具體行動上來。要認識到培養(yǎng)空間想象能力，必須過好作圖這一基礎(chǔ)關(guān)，而教學(xué)不僅僅是為了考試，而是為了學(xué)生的數(shù)學(xué)素質(zhì)全面提高和終身的發(fā)展，老師們應(yīng)從這個高度出發(fā)，重視圖形教學(xué)。其次要從最基本的平面圖形的直觀圖、幾何體的直觀圖入手，作好示范、嚴格要求，引導(dǎo)學(xué)生作出一個個漂亮而富有立體感的直觀圖，豐富學(xué)生的美感和想象力。

（2）強化概念教學(xué)、夯實空間想象的基礎(chǔ)

立體幾何圖形的特征是通過概念來描述的，對概念的深刻理解是解題的基礎(chǔ)，學(xué)生只有正確理解了概念，才能在頭腦中想象并勾畫出相應(yīng)的幾何圖形，分

解出解題需要的元素。概念既是思維的基本元素，又是空間想象的出發(fā)點。要抓住概念的本質(zhì)特征和關(guān)鍵要素進行教學(xué)弄清概念中包含哪些基本元素，以何種位置關(guān)系出現(xiàn)。使學(xué)生能多角度多層面透視概念，形成對概念的深刻理解。

（3）突出圖形變換和轉(zhuǎn)化的訓(xùn)練，提高學(xué)生的圖形處理的能力

熟練地對空間圖形進行變形處理，是學(xué)好立體幾何的硬功夫，也是空間想象能力深化的標(biāo)志。在教學(xué)中，我們應(yīng)該有意識地加強這方面的訓(xùn)練，使學(xué)生在運動變化中認識圖形，理解圖形，使空間圖形在學(xué)生面前不再僵化、呆板，而變得靈活、有生氣。一方面要加強對圖形的分割、補全、折疊、展開、剪拼等變形的訓(xùn)練，通過對圖形的直觀處理為解題提供幫助、使解題過程簡潔、明快。另一方面要加強對圖形的平移變形處理的訓(xùn)練。

（4）滲透數(shù)學(xué)思想方法提升空間想象能力

數(shù)學(xué)思想是對數(shù)學(xué)知識理性的、本質(zhì)的、高度抽象的和概括的認識；數(shù)學(xué)方法是解決和研究數(shù)學(xué)問題，并達到目的的方法、手段、途徑或程序。數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)精髓之所在，是教學(xué)的重點。立體幾何教學(xué)中，我們主要要突出降維思想和類比思維方法的教學(xué)。

最后還是要引領(lǐng)學(xué)生深刻理解課本知識，強化知識重點、彌補知識弱點和盲點，使知識和能力產(chǎn)生良性遷移，爭取達到弄通一題帶動一類題的效果，提高課堂教學(xué)效益，有效提高學(xué)生復(fù)習(xí)效率，使高考復(fù)習(xí)更見成效。

王玨

2012．10

第二篇：立體幾何解題思路

立體幾何解題技巧

立體幾何解答題的設(shè)計，注意了求解方法既可用向量方法處理，又可以用傳統(tǒng)的幾何方法解決，并且一般來說，向量方法比用傳統(tǒng)方法解決較為簡單。由于立體幾何解答題屬于常規(guī)題、中檔題，因而，立體幾何的復(fù)習(xí)應(yīng)緊扣教材，熟練掌握課本中的每一個概念、每一個定理的種種用途，突破畫圖、讀圖、識圖、用圖的道道難關(guān)，同時要注意總結(jié)證明垂直、平行的常用方法和技巧，掌握角、距離、面積、體積等的轉(zhuǎn)化和計算方法，在做題的過程中進行反思，在反思中總結(jié)、提煉，不斷提升空間想象能力及分析問題和解決問題的能力。

1．平行、垂直位置關(guān)系的論證的策略:

（1）由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。

（2）利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。

（3）三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應(yīng)優(yōu)先考慮。

2．空間角的計算方法與技巧:

主要步驟：一作、二證、三算；若用向量，那就是一證、二算。

（1）兩條異面直線所成的角①平移法：②補形法：③向量法：

（2）直線和平面所成的角

①作出直線和平面所成的角，關(guān)鍵是作垂線，找射影轉(zhuǎn)化到同一三角形中計算，或用向量計算。

②用公式計算.（3）二面角

①平面角的作法：（i）定義法；（ii）三垂線定理及其逆定理法；（iii）垂面法。

②平面角的計算法：

（i）找到平面角，然后在三角形中計算（解三角形）或用向量計算；（ii）射影面積法 ；（iii）向量夾角公式.3． 空間距離的計算方法與技巧:

（1）求點到直線的距離：經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點到直線的垂線，然后在相關(guān)的三角形中求解，也可以借助于面積相等求出點到直線的距離。

（2）求兩條異面直線間距離：一般先找出其公垂線，然后求其公垂線段的長。在不能直接作出公垂線的情況下，可轉(zhuǎn)化為線面距離求解（這種情況高考不做要求）。

（3）求點到平面的距離：一般找出（或作出）過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過該點作出平面的垂線，進而計算；也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離；有時直接利用已知點求距離比較困難時，我們可以把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點上去求“點到平面的距離”。求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來求解。

4． 熟記一些常用的小結(jié)論，諸如：正四面體的體積公式是 ；面積射影公式；“立平斜關(guān)系式”；最小角定理。弄清楚棱錐的頂點在底面的射影為底面的內(nèi)心、外心、垂心的條件，這可能是快速解答某些問題的前提。

5．平面圖形的翻折、立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折前、展開前后有關(guān)幾何元素的“不變性”與“不變量”。

6．與球有關(guān)的題型，只能應(yīng)用“老方法”，求出球的半徑即可。

立體幾何解題技巧

由于立體幾何解答題屬于常規(guī)題、中檔題，因而，立體幾何的復(fù)習(xí)應(yīng)緊扣教材，熟練掌握課本中的每一個概念、每一個定理的種種用途，突破畫圖、讀圖、識圖、用圖的道道難關(guān)，同時要注意總結(jié)證明垂直、平行的常用方法和技巧，掌握距離、面積、體積等的轉(zhuǎn)化和計算方法，在做題的過程中進行反思，在反思中總結(jié)、提煉，不斷提升空間想象能力及分析問題和解決問題的能力。

1．平行、垂直位置關(guān)系的論證的策略:

（1）由已知想性質(zhì)，由求證想判定，即分析法與綜合法相結(jié)合尋找證題思路。

（2）利用題設(shè)條件的性質(zhì)適當(dāng)添加輔助線（或面）是解題的常用方法之一。

（3）三垂線定理及其逆定理在高考題中使用的頻率最高，在證明線線垂直時應(yīng)優(yōu)先考慮。

2． 空間距離的計算方法與技巧:

（1）求點到直線的距離：經(jīng)常應(yīng)用三垂線定理作出點到直線的垂線，然后在相關(guān)的三角形中求解，也可以借助于面積相等求出點到直線的距離。

（2）求兩條異面直線間距離：一般先找出其公垂線，然后求其公垂線段的長。在不能直接作出公垂線的情況下，可轉(zhuǎn)化為線面距離求解（這種情況高考不做要求）。

（3）求點到平面的距離：一般找出（或作出）過此點與已知平面垂直的平面，利用面面垂直的性質(zhì)過該點作出平面的垂線，進而計算；也可以利用“三棱錐體積法”直接求距離；有時直接利用已知點求距離比較困難時，我們可以把點到平面的距離轉(zhuǎn)化為直線到平面的距離，從而“轉(zhuǎn)移”到另一點上去求“點到平面的距離”。求直線與平面的距離及平面與平面的距離一般均轉(zhuǎn)化為點到平面的距離來求解。

3。三視圖問題

（1）熟悉常見幾何體的三視圖，如錐體、柱體、臺體、球體的三視圖。

（2）組合體的分解。由規(guī)則幾何體截出一部分的幾何體的分析。

4． 熟記一些常用的小結(jié)論，諸如：正四面體的體積公式是______；面積射影公式_____。弄清楚棱錐的頂點在底面的射影為底面的內(nèi)心、外心、垂心的條件，這可能是快速解答某些問題的前提。

5．平面圖形的翻折、立體圖形的展開等一類問題，要注意翻折前、展開前后有關(guān)幾何元素的“不變性”與“不變量”。

6．與球有關(guān)的題型，只能應(yīng)用“老方法”，求出球的半徑即可。

7.立體幾何讀題：

（1）弄清楚圖形是什么幾何體，規(guī)則的、不規(guī)則的、組合體等。

（2）弄清楚幾何體結(jié)構(gòu)特征。面面、線面、線線之間有哪些關(guān)系（平行、垂直、相等）。

（3）重點留意有哪些面面垂直、線面垂直，線線平行、線面平行等。

8、解題程序劃分為四個過程:①弄清問題。也就是明白“求證題”的已知是什么?條件是什么?未知是什么?結(jié)論是什么?也就是我們常說的審題。②擬定計劃。找出已知與未知的直接或者間接的聯(lián)系。在弄清題意的基礎(chǔ)上,從中捕捉有用的信息,并及時提取記憶網(wǎng)絡(luò)中的有關(guān)信息,再將兩組信息資源作出合乎邏輯的有效組合,從而構(gòu)思出一個成功的計劃。即是我們常說的思考。③執(zhí)行計劃。以簡明、準(zhǔn)確、有序的數(shù)學(xué)語言和數(shù)學(xué)符號將解題思路表述出來,同時驗證解答的合理性。即我們所說的解答。④回顧。對所得的結(jié)論進行驗證,對解題方法進行總結(jié)

第三篇：立體幾何題型分析

立體幾何題型分析

（一）例

1、一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是acm

解：因為正方體的對角線等于球的直徑，求球的體積

所以球的直徑

2R=，所以球的半徑

R=

2a，所以球的體積V?

43?R?

343

?（2a)?

3a

跟蹤練習(xí)：

①已知各頂點都在一個球面上的正四棱柱高為4，體積為16，則這個球的表面積是（）

A.16?B.20?C.24?D.32?

②一個長方體的各頂點均在同一球的球面上，且一個頂點上的三條棱的長分別為1，2，3，則此球的表面積為。

③一個正方體的頂點都在球面上，它的棱長是4cm，則球的體積是，則球的表面積是。④一個正方體的頂點都在球面上，它的球的直徑是8cm，正方體的表面積是。⑤一個正方體的頂點都在球面上，它的球的表面積是48?cm，正方體的表面積是。

例

2、已知圓錐表面積為am2，且它的側(cè)面展開圖是個半圓，求這個圓錐的底面直徑。

解：設(shè)圓錐的底面直徑是2r，母線是l； 依題意：?l?2?r即l?2r；所以?r2r??r?a 即3?r

2?a，即r?，所以圓錐的底面直徑2r?

3?

(m)

跟蹤練習(xí)：

①已知圓錐側(cè)面積為2m，且它的側(cè)面展開圖是個半圓，則圓錐的底面半徑是

②已知圓錐的底面半徑為r，側(cè)面展開圖是個半圓，則這個圓錐的表面積是，體積是。③已知圓錐的母線長為4 cm，側(cè)面展開圖是個半圓，則這個圓錐的表面積是，體積是。

④已知圓錐體積積為

3且它的側(cè)面展開圖是個半圓，則這個圓錐的底面直徑是，母線長是，例

3、如圖，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，并且底面是正三角形，如果圓柱的體積是V

底面直徑與母線長相等，那么三棱柱的體積是多少？

解：設(shè)圓柱底面直徑2r，則母線長為2r，??r22r?V?2?r3?V

??

即則：??3

2)2r?V三棱柱??V三棱柱?

?4?2

所以

V三棱柱?

22?

?

4?

跟蹤練習(xí)：①如圖，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，并且底面是正三角形，如果圓柱的底面半徑是2，底面直徑與母線長相等，那么三棱柱的體積是多少？

②如圖，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，并且底面是正三角形，如果圓柱的側(cè)面積是16?，底面直徑與母線長相等，那么三棱柱的體積是多少？

③如圖，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，并且底面是正三角形，如果三棱柱的底面邊長是3，底面直徑與母線長相等，那么圓柱的體積是多少？

④如圖，圓柱內(nèi)有一個三棱柱，三棱柱的底面在圓柱底面內(nèi)，并且底面是正三角形，如果三棱柱的體積是9，底面直徑與母線長相等，那么圓柱的體積是多少？

例

4、如圖，將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，求棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比

解：設(shè)正方體過一個頂點的三條棱的長分別是a,b,c

則截下的棱錐的體積=

3?

2abc?

abc，正方體的體積= abc

棱錐的體積與剩下的幾何體體積的比=

6abc16

=abc

5abc?

跟蹤練習(xí)：

①將一個正方體截去四個角后得到一個四面體，則這個四面體的體積是正方體體積的幾分之幾？ ②將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，則截去的棱錐的體積是正方體體積幾分之幾？ ③將一個長方體沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，則剩下的幾何體的體積是正方體體積的幾分之幾？④一個正方體體積為12，截去四個角后得到一個四面體，則這個四面體的體積是。⑤一個長方體體積為18，沿相鄰三個面的對角線截出一個棱錐，則剩下的幾何體的體積是

例

5、已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體S?ABC

如圖求它的表面積與體積。解：表面積

=

4?，1

2四面體的高h?

4a)

?

?

a

a

所以體積V?

3C

跟蹤練習(xí)：

①已知三棱錐S?ABC的底面是邊長為6的等邊三角形，側(cè)棱長為5，且頂點在底面的射影是底面三角形的中心，.求它的表面積與體積。

①已知三棱錐S?ABC的底面是等邊三角形，側(cè)棱長為5，高是3，且頂點在底面的射影是底面三角形的中心，.求它的表面積與體積。

例

5、已知圓柱的底面直徑與高都等于一球的直徑，求證：（1）球的體積等于圓柱體積的（2）球的表面積等于圓柱的側(cè)面積

解：（1）設(shè)球的半徑為R，則圓柱的體積V??R2R?2?R球的體積V球?

3；

?R?

?2?R?

V所以球的體積等于圓柱體積的23

（2）圓柱的側(cè)面積S?2?R?2R?4?R=球的表面積

跟蹤練習(xí)：

①已知圓柱的底面直徑與高都等于一球的直徑，球的體積為

32?3，則圓柱的表面積是圓柱的體積

②已知圓柱的底面直徑與高都等于一球的直徑，圓柱的表面積是16?，則球的半徑是圓柱的體積③一個球的體積是

32?3

cm，則它的表面積

例

6、已知圓臺的上、下底面半徑分別是r,R,且側(cè)面面積等于兩底面積之和，求圓臺的母線長。

解：設(shè)圓臺的母線長為l，由題意：?(R?r)l??(R?r)所以l?

R?rR?r

2跟蹤練習(xí)：①一個三棱柱形容器中盛有水，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為12，若側(cè)面AABB水平放置

時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，則棱柱的高為

②一個三棱柱形容器中盛有水，水的容積是6，當(dāng)?shù)酌鍭BC水平放置時，液面高為6，若側(cè)面AA1B1B水平放置時，液面恰好過AC，BC，A1C1，B1C1的中點，則棱柱的體積

選擇題：

1、下列命題正確的序號是（）⑴空間中到定點的距離等于定長的點的集合是個球面；⑵圓臺上、下底

面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；⑶圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的； ⑷圓臺的所有平行于底面的截面都是圓；⑸旋轉(zhuǎn)體所有軸截面是全等的軸對稱平面圖形。A、⑴⑶⑷⑸B、⑴⑶⑷C⑴⑵⑶⑷D⑶⑷⑸

2、下列命題正確的是（）

A 有兩個面互相平行；其余各面都是四邊形的幾何體是棱柱 ；

B 有兩個面互相平行；其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；

C有兩個面互相平行；其余各面都是平行四邊形；每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱 ；D

用一個平面去截棱錐，底面和截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺。

3、下列幾何體是臺體的是（）

A

B

C

D）

①正方體

A．①②

②圓錐

B．①③

③三棱臺 C．①④

④正四棱錐 D．②④

5、下列正確命題的序號是（）①角的水平放置的直觀圖一定是角；②相等的角在直觀圖中一定相等； ③相等的線段在直觀圖中一定相等；④若兩條線段平行，則在直觀圖中對應(yīng)的線段仍然平行。A ①②B ②③C ①④D ①③

6、利用斜二測畫法得到的①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形； ③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形。

以上結(jié)論正確的是（）A ①②B ②③C ①④D ①③

7、不共面的四點可以確定平面的個數(shù)是（）A、1個`B、2個C、3個D、4個

8、共點的三條直線可以確定平面的個數(shù)是（）A、1B、2C、1或3D、49、下列命題：①平面?和平面?相交，它們只有有限個公共點；②經(jīng)過一條直線和這條直線外的一點，有且

只有一個平面；③經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面；④如果兩個平面有三個不共線的公共點，那么這兩個平面重合。正確命題的序號是（）

A、③`B、③④C、①③D、②③④

10、下列命題正確的是（）

A、經(jīng)過三點確定一個平面；B、經(jīng)過一條直線和一個點確定一個平面； C、四邊形確定一個平面；D、兩兩相交且不共線的三條直線確定一個平面。

第四篇：立體幾何教材分析

《數(shù)學(xué)必修模塊2》立體幾何教材分析

長沙市二十六中

為了更好地組織實施好本模塊的教學(xué)，我們高一年級數(shù)學(xué)備課組成員以問題為載體，主要對如下課題進行了研究：（1）課標(biāo)中所提倡的教育理念是什么？（2）新課標(biāo)與原來的教學(xué)大綱有什么不同？（3）本模塊的教學(xué)內(nèi)容包括哪些，每一部分的教學(xué)內(nèi)容是如何展開和深入的，它需要達到的三維目標(biāo)是什么？（4）新教材與舊教材比較，在內(nèi)容和結(jié)構(gòu)特征上都發(fā)生了哪些變化？為什么這樣變化？它所要達到的目的是什么？（5）如何把握立體幾何初步教學(xué)難度？

（一）研究體會第一，通過對《數(shù)學(xué)2》的探索，我們深切體會到它具有如下特色：

1、在內(nèi)容安排上，通過研讀課標(biāo)和新舊教材的如下對比，我們發(fā)現(xiàn)新課程《數(shù)學(xué)2》中立體幾何初步的內(nèi)容體現(xiàn)了從整體到局部，從具體到抽象的原則，而舊教材這部分的內(nèi)容遵循的是從局部到整體的原則。

同時在內(nèi)容的難度要求上，《數(shù)學(xué)2》與舊教材比較,難度進行了降低,并且引入了合情推理.2、突顯“數(shù)學(xué)探究”和“數(shù)學(xué)文化”。

3、所選擇的素材貼近學(xué)生的生活實際，激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，并且在生活中自覺樹立起了數(shù)學(xué)意識，如在第一章空間幾何體中，習(xí)題1.3A組第5題煙筒的直觀圖，第6題鐵路的鋪設(shè)，B組第1題獎杯的三視圖，教材簡單組合體三視圖中的礦泉水瓶，紀(jì)念碑，杠鈴等。

4、注重與各學(xué)科之間的融合，主要是與信息技術(shù)、物理、化學(xué)等學(xué)科的融合。通過與其他學(xué)科的融合，幫助學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中，自覺樹立起了聯(lián)系的觀點，拓展了學(xué)生對問題的認識深度和廣度，有利于學(xué)生體驗數(shù)學(xué)作為基礎(chǔ)學(xué)科的價值。

5、在教科書中，各節(jié)根據(jù)需要，開設(shè)了“思考”、“觀察”和“探究”等欄目，把學(xué)生作為學(xué)習(xí)的主體來編排內(nèi)容，符合新課程的理念，有利于學(xué)生開展自主和合作學(xué)習(xí)，實現(xiàn)教師教學(xué)和學(xué)生學(xué)習(xí)的雙重行為方式的轉(zhuǎn)變。

6、在教材中所穿插的“閱讀與思考”等內(nèi)容，能很好地反映數(shù)學(xué)的歷史、數(shù)學(xué)的應(yīng)用和發(fā)展的最新信息，有利于幫助學(xué)生認識數(shù)學(xué)是人類文化的重要組成部分。

7、在編排方面，在每章均有章頭圖和引言，作為本章內(nèi)容的導(dǎo)入，使學(xué)生對該章學(xué)習(xí)的內(nèi)容產(chǎn)生懸念，發(fā)生興趣，從而初步了解學(xué)習(xí)該章內(nèi)容的必要性。

8、增加了教材旁注，并且多處提到解決問題的基本數(shù)學(xué)思想方法，如直線與平面平行判定定理的旁注：定理告訴我們，可以通過直線間的平行，推證直線與平面平行，這是處理空間位置關(guān)系的一種常用方法，即將直線與平面平行關(guān)系（空間問題）轉(zhuǎn)化為直線間平行關(guān)系（平面問題）。緊跟著例1完了以后，又指出：今后要證明一條直線與這個平面平行，只要在這個平面內(nèi)找出一條直線平行與已知直線平行，就可以斷定已知直線與這個平面平行。這有利于提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力，使學(xué)生不但學(xué)會數(shù)學(xué)，而且會學(xué)數(shù)學(xué)。

第二 根據(jù)新課程的特色，我們積極探索和實踐，轉(zhuǎn)變教學(xué)方式，努力實現(xiàn)新課程理念和編者的意圖：

1、認真研讀課標(biāo)，站在一個整體、全局的高度把握好教學(xué)的深淺度。

（1）從整套教材來看立體幾何教學(xué)、學(xué)習(xí)的要求不是一步到位，而是分階段，分層次，多角度的。

一共分為三個階段

第一階段 必修課程：數(shù)學(xué)2 立體幾何初步

第二階段 選修系列2：空間向量與立體幾何

第三階段 選修系列3-3，球面上的幾何

系列3-5，歐拉公式與閉曲面分類

立體幾何的學(xué)習(xí)也是分層次的：

第一層次：對幾何體的認識，依賴于學(xué)生的直觀感受，不做任何推理的要求。

第二層次：以長方體為載體（包括其它的實物模型、身邊的實際例子）對圖形（模型）進行觀察、實驗和說理，引入合情推理。第三層次：嚴格的推理證明。如線面平行、垂直的性質(zhì)定理的證明。第四層次：空間向量與了立體幾何，用代數(shù)的方法研究幾何問題。

為此，我們在教學(xué)時必須進行分階段，分層次，多角度地教學(xué)，更多地關(guān)注學(xué)生學(xué)習(xí)的情感，防止學(xué)生對立體幾何學(xué)習(xí)出現(xiàn)畏懼心理，喪失學(xué)習(xí)的信心。

（2）正確理解立體幾何初步中，較容易處理的問題采用合情推理和綜合方法處理，而較難處理的問題放在后面采用代數(shù)的方法（選修部分-空間向量與立體幾何）的目的，一是有利于剛開始把更多的時間和精力放在培養(yǎng)學(xué)生空間感和對數(shù)學(xué)思想方法的掌握上。二是有利于化難為易，改變學(xué)生對立體幾何的態(tài)度，建立起學(xué)生學(xué)好立體幾何的信心。三是有利于加強幾何與代數(shù)的聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思想，完善學(xué)生對數(shù)學(xué)的認知結(jié)構(gòu)。

2、在立體幾何初步的教學(xué)中，注意利用學(xué)生身邊的實物模型進行教學(xué)，遵循由直觀到抽象，由感性認識到理性認識，強調(diào)平面問題與空間問題的互相轉(zhuǎn)化方法和思想。

3、利用“思考”、“觀察”和“探究”等欄目，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力和合作

學(xué)習(xí)的精神，增強學(xué)生嘗新的意識。

在本模塊的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，師生所遇到的困難主要有：

1、教與學(xué)的深淺度不好把握；

2、學(xué)生的課外輔導(dǎo)用書很多與課標(biāo)不相符合；

3、整體編排內(nèi)容覆蓋面過廣且容量大與課時少之間的矛盾；

4、學(xué)生學(xué)習(xí)方式和方法還不能適應(yīng)高中新課程的要求；

5、學(xué)生用信息技術(shù)解決數(shù)學(xué)問題的能力比較弱。

所采取的克服方法：

關(guān)于第1個困難的克服，上述已經(jīng)談及。

關(guān)于第2個困難的克服，主要是向?qū)W生推薦好的資料，有選擇的應(yīng)用資料。關(guān)于第3個困難的克服，主要抓住教學(xué)內(nèi)容的本質(zhì)、重點、難點和關(guān)鍵，正確把握好教學(xué)深淺度，有的放矢地授課，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究的能力，其次利用課余時間進行適當(dāng)輔導(dǎo)。

關(guān)于第4個困難的克服，主要是通過開設(shè)學(xué)習(xí)方法講座，向?qū)W生介紹自主學(xué)習(xí)的方式及方法；介紹高中數(shù)學(xué)的特點及應(yīng)采取的學(xué)習(xí)方法；大力開展研究性學(xué)習(xí)活動。

關(guān)于第5個困難的克服，重要是利用課余時間，加強對學(xué)生使用數(shù)學(xué)軟件能力的培訓(xùn)，特別是讓學(xué)生學(xué)會使用《幾何畫板》。

三 模塊反思

（一）經(jīng)驗教訓(xùn)

（1）備課時，認真研讀《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》中有關(guān)數(shù)學(xué)2的相關(guān)內(nèi)容，做到心中有課標(biāo)，以課標(biāo)審視教材中所提供的素材是否符合要求，是否需要更換，即樹立起正確的教材觀：用教材教，而不是教教材，如球的體積和表面積，根據(jù)課標(biāo)要求只需了解公式即可，為此，在處理這一節(jié)時，我們應(yīng)只要求學(xué)生初步了解公式導(dǎo)出過程中所隱含的數(shù)學(xué)思想方法，并不要求理解證明過程。

（2）在教學(xué)內(nèi)容與課時安排上，大膽突破小節(jié)與小節(jié)之間的框架結(jié)構(gòu)束縛，如在“1.1.1柱、錐、臺、球的結(jié)構(gòu)”和“1.1.2簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征”中，我們是這樣安排課時的：第1課時安排學(xué)習(xí)“柱、錐的結(jié)構(gòu)特征”，在第2課時安排學(xué)習(xí)“臺、球和簡單的結(jié)構(gòu)特征”。

（3）抓住內(nèi)容的本質(zhì)和重點，有的放矢地授課，培養(yǎng)學(xué)生自主學(xué)習(xí)和探究的能力，如“空間幾何體的三視圖”，由于來自課改地區(qū)的學(xué)生以前學(xué)過這部分的知識，并且“柱、錐、臺、球的三視圖”是“簡單組合體的三視圖”的基礎(chǔ)，因此在教學(xué)時，前部分的內(nèi)容主要由教師引導(dǎo)學(xué)生完成學(xué)習(xí)，后一部分的內(nèi)容則可由學(xué)生自主學(xué)習(xí)完成，教師給予檢查反饋。

（4）在“第二章 點、直線、平面之間的位置關(guān)系”教學(xué)中，注意利用學(xué)生身邊的實物模型進行教學(xué)，遵循由直觀到抽象，由感性認識到理性認識，強調(diào)平面問題與空間問題之間的互相轉(zhuǎn)化方法和思想，把重點放在引導(dǎo)學(xué)生如何學(xué)上，使學(xué)生的自學(xué)能力得到提高。

（5）學(xué)習(xí)掌握使用信息技術(shù)處理問題的方法

如第一章復(fù)習(xí)參考題B組第3題：你見過如圖1所示的紙簍嗎？仔細觀察它的幾何結(jié)構(gòu)，可以發(fā)現(xiàn)，它可以由多條直線圍成，你知道它是怎么形成的嗎？

對于教材中的這道題，如果只靠學(xué)生的憑空思考，許多學(xué)生是無法解決的，為此，老師可以讓學(xué)生利用幾何畫板做如下數(shù)學(xué)實驗：如圖2所示的正方體，棱長為1，其中?、?'底面和上底面中心，如果以??'為軸，轉(zhuǎn)動正方體。（1）如果跟蹤線段??

'，那么它留下的軌跡是什么圖形？（2）如果跟蹤正方體的一條對角線，如?C'，那么它留下的軌跡是什么圖形？（3）你認為應(yīng)跟蹤哪一條線C

段，它所留下的軌跡才能得到紙簍面？隨著正方體的轉(zhuǎn)動和學(xué)生不斷調(diào)整跟蹤的線段，可以發(fā)現(xiàn)正方體側(cè)面對角線留下的軌跡即是紙簍面。此題也可以在A組第2題的基礎(chǔ)上啟發(fā)學(xué)生得出答案。但同樣要借助《幾何畫板》演示，在教具方面，注意黑板、實物模型和多媒體三者之間的合理相互配合使用，發(fā)揮各自的優(yōu)點，一般情況下，重要的定義、定理、數(shù)學(xué)基本思想方法等在教學(xué)的過程中學(xué)生后繼需要用來幫助解題的內(nèi)容，則應(yīng)板書：需要動態(tài)演示的可用多媒體（如簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征）；實物模型則由更有利于學(xué)生觀察，省去做課件的時間。在教學(xué)中注重強調(diào)自然語言，數(shù)學(xué)符號語言和圖形語言的使用，特別是圖形語言的使用，應(yīng)讓學(xué)生養(yǎng)成習(xí)慣，圖形語言有諸多優(yōu)點。

（二）三點建議

（1）建議1.3.2球的體積和表面積的公式推導(dǎo)過程，作為學(xué)生的閱讀材料；

（2）“經(jīng)過直線和這條直線外的一點，有且只有一個平面”和“經(jīng)過兩條相交直線，有且只有一個平面”這兩個結(jié)論，從教學(xué)的角度來考慮，我們認為把他們調(diào)整為平面公理2的推論更好一些，而不是作為課后的判斷題。

（3）通過《數(shù)學(xué)2》從表那些所選擇的素材，編排的內(nèi)容，結(jié)構(gòu)和設(shè)計等方面是比較科學(xué)的、合理的，能很好的體現(xiàn)《高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求和理念，但我們認為《課標(biāo)》在課程安排上普遍感到時間不夠用，可彈性差，我們建議做什么事情都不能一刀切，應(yīng)充分考慮到數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性和重要性，考慮每個學(xué)校學(xué)生水平的差距性，合理地安排課時，給我們的教學(xué)留有一定的彈性。

第五篇：立體幾何易錯題分析

立體幾何易錯題分析

1.下列正方體或正四面體中，P、Q、R、S分別是所在棱的中點，這四個點不共面的一個圖是()

A 正解：D

錯因：空間感不強.2.如果a,b是異面直線，P是不在a,b上的任意一點，下列四個結(jié)論：（1）過P一定可作直線L與a,b都相交；（2）過P一定可作直線L與a,b都垂直；（3）過P一定可作平面（4）過P一定可作直線L與a,b都平行，其中正確的結(jié)論有（）?與a,b都平行；

A、0個B、1個C、2個D、3個 正解：B.(2)正確

錯解：C 認為（1）（3）對D 認為（1）（2）（3）對

錯因：認為（2）錯誤的同學(xué)，對空間兩條直線垂直理解不深刻，認為作的直線應(yīng)該與a,b 都垂直相交；而認為（1）（3）對的同學(xué)，是因為設(shè)能借助于兩個平行平面襯托從而對問題的分析欠嚴密.正解：C

錯因：將平面圖形折成空間圖形后線面位置關(guān)系理不清，易瞎猜.3.判斷題：若兩個平面互相垂直，過其中一個平面內(nèi)一點作它們的交線的垂線，則此直線

垂直于另一個平面.（）正解：本題不對.錯因：未能認真審題或空間想象力不夠，忽略過該點向平面外作垂線的情況.4.?和?是兩個不重合的平面，在下列條件中可判定平面?和?平行的是（）.A．?和?都垂直于平面g

B．?內(nèi)不共線的三點到?的距離相等 C．l,m是平面?內(nèi)的直線且l//?,m//?

D．l,m是兩條異面直線且l//?,m//?,m//?,l//? 正解：D

對于A,?,?可平行也可相交；對于B，三個點可在?平面同側(cè)或異側(cè)；對于C,l,m在平面? 內(nèi)可平行，可相交.對于D正確證明如下：過直線l,m分別作平面與平面?,?相交，設(shè)交線分別為l1,m1與 l2,m2，由已知l//?,l//?得l//l1,l//l2，從而l1//l2，則l1//?，同理m1//?，S

Q RS B

Q PC

S

R P DQ

??//?。

錯解：B往往只考慮距離相等，不考慮兩側(cè).5． △ABC的BC邊上的高線為AD，BD=a，CD=b，將△ABC沿AD折成大小為q的二

面角B-AD-C，若cos??

ab，則三棱錐A-BCD的側(cè)面三角形ABC是（）

A、銳角三角形B、鈍角三角形

C、直角三角形D、形狀與a,b的值有關(guān)的三角形

6.底面是正三角形，且每個側(cè)面是等腰三角形的三棱錐是（）

A、一定是正三棱錐C、不是斜三棱錐正解： D

錯因：此是正三棱錐的性質(zhì)，但很多學(xué)生憑感覺認為如果側(cè)面是等腰三角形，則側(cè)棱長相等，所以一定是正三棱錐，事實上，只須考察一個正三角形繞其一邊抬起后所構(gòu)成的三棱錐就知道應(yīng)選D

7.有一棱長為a的正方體骨架，其內(nèi)放置一氣球，使其充氣且盡可能地大（仍保持為球的形狀），則氣球表面積的最大值為__________.正解：2?a2.錯解：學(xué)生認為球最大時為正方體的內(nèi)切球，所以球的直徑為a，球的表面積為?a2.這里學(xué)生未能弄清正方體骨架是一個空架子，球最大時與正方體的各棱相切，直徑應(yīng)為.B、一定是正四面體D、可能是斜三棱錐

8.過球面上兩已知點可以作的大圓個數(shù)是_________個.正解： 1個或無數(shù)個.錯解：1個.錯誤原因是沒有注意球面上兩已知點與球心共線的特殊情況，可作無數(shù)個.9.自半徑為R的球面上一點P引球的兩兩垂直的弦PA、PB、PC,則

PA?PB

?PC=_____。

正解:4R2,可將PA,PB,PC看成是球內(nèi)接長方體的三邊,則PA?PB?PC應(yīng)是長方體對角線的平方,即球直徑的平方.10．一個直角三角形的兩條直角邊長為2和4，沿斜邊高線折成直二面角，則兩直角邊所

夾角的余弦值為_____.正解：

.設(shè)AB==

BD=

=

=

AD=-=

?CD?AB,?BD?CD,AD?CD ??ADB為二面角B-CD-A的平面角，??ADB?

?

?AB?(5)?（85

5)?

20?32025

?

2855

2?4?（?cos?ACB?

52?2?4

85)

?

錯因：折疊后仍然BD?CD,AD?CD判斷不了，找不到Rt?ADB,AB的長求不出.錯因：沒有考慮到球內(nèi)接長方體，直接運算，易造成計算錯誤.11.直二面角α－l－β的棱l上有一點A，在平面a,b內(nèi)各有一條射線AB，AC與l成45，AB??,AC??，則∠BAC=.正解：600或1200

錯因：畫圖時只考慮一種情況

12.如圖在三棱柱ABC-A'B'C'中，已知底面ABC是底角等于30?，底邊AC=43 的等

腰三角形，且B'C?AC,B'C?22，面B'AC與面ABC成45?，A'B與AB'交于點E.⑴求證：AC?BA'；(2)求三棱錐B'?BEC的體積.正解：(1)證：取AC中點D，連ED，?E是AB'的中點，?ED12B'C?

?B'C?AC,?DE?AC

?

又??ABC是底角等于30的等腰?，?BD?AC,BN?DE?D

?AC?面BDE,?AC?BE,即AC?BA'

(3)解：由(1)知

?EDB是二面角B'?AC?B的一個平面角，??EDB＝45，ED?

?

2,BD?ADtan30

?

?23?

?2

在?DBE中：

EB

?ED

?BD

?2ED?BDcos45?2?4?22???

?

?2

11?

VB'-BEC=VA-BEC=2VA-BED=2?245=

32錯因：求體積，不考慮用等積法，有時，硬算導(dǎo)致最后錯解。

13．如圖，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=3，AA1=4,M為AA1的中點，P是BC上一點，且由P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱CC1到M點的最短路線長為29，設(shè)這條最短路線與C1C的交點為N.求: ⑴該三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；

⑵PC和NC的長；

正解：①正三棱柱ABC-A1B1C1的側(cè)面展開圖是一個長為9，寬為4的矩形，其對角線長為92

?4

?97

②如圖1，將側(cè)面BC1旋轉(zhuǎn)120?使其與側(cè)面AC1在同一平面上，點P運動到點P1的位置，連接MP1，則MP1就是由點P沿棱柱側(cè)面經(jīng)過CC1到點M的最短路線.設(shè)PC＝x，則P1C＝x，在Rt?MAP1中，（3＋x)2?22?29,x?2 ?MCMA

?P1C2P

1A

?5,?NC?

錯因：①不會找29 的線段在哪里.②不知道利用側(cè)面BCC1 B1展開圖求解.