第一篇：三重積分的計(jì)算方法小結(jié)與例題

三重積分的計(jì)算方法介紹：

三重積分的計(jì)算是化為三次積分進(jìn)行的。其實(shí)質(zhì)是計(jì)算一個(gè)定積分（一重積分）和一個(gè)二重積分。從順序看：

如果先做定積分?f(x,y,z)dz，再做二重積分??F(x,y)d?，就是“投

z1z2D影法”，也即“先一后二”。步驟為：找?及在xoy面投影域D。多D上一點(diǎn)（x,y）“穿線”確定z的積分限，完成了“先一”這一步（定積分）；進(jìn)而按二重積分的計(jì)算步驟計(jì)算投影域D上的二重積分，完成“后二”這一步。???f(x,y,z)dv???[?f(x,y,z)dz]d?

?Dz1z2如果先做二重積分??f(x,y,z)d?再做定積分?F(z)dz，就是“截面

Dzc2c1法”，也即“先二后一”。步驟為：確定?位于平面z?c1與z?c2之間，即z?[c1,c2]，過z作平行于xoy面的平面截?，截面Dz。區(qū)域Dz的邊界曲面都是z的函數(shù)。計(jì)算區(qū)域Dz上的二重積分??f(x,y,z)d?，完成Dz了“先二”這一步（二重積分）；進(jìn)而計(jì)算定積分?F(z)dz，完成“后

c1c2一”這一步。???f(x,y,z)dv??[??f(x,y,z)d?]dz

?c1Dzc2當(dāng)被積函數(shù)f（z）僅為z的函數(shù)（與x,y無關(guān)），且Dz的面積?(z)容易求出時(shí)，“截面法”尤為方便。

為了簡化積分的計(jì)算，還有如何選擇適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系計(jì)算的問題。可以按以下幾點(diǎn)考慮：將積分區(qū)域?投影到xoy面，得投影區(qū)域D(平面)（1）D是X型或Y型，可選擇直角坐標(biāo)系計(jì)算（當(dāng)?的邊界曲面中有較多的平面時(shí)，常用直角坐標(biāo)系計(jì)算）

（2）D是圓域（或其部分），且被積函數(shù)形如f(x2?y2),f()時(shí)，可選擇柱面坐標(biāo)系計(jì)算（當(dāng)?為圓柱體或圓錐體時(shí)，常用柱面坐標(biāo)計(jì)算）

（3）?是球體或球頂錐體，且被積函數(shù)形如f(x2?y2?z2)時(shí)，可選擇球面坐標(biāo)系計(jì)算

以上是一般常見的三重積分的計(jì)算方法。對?向其它坐標(biāo)面投影或?不易作出的情形不贅述。

yx三重積分的計(jì)算方法小結(jié)：

1.對三重積分，采用“投影法”還是“截面法”，要視積分域?及被積函數(shù)f(x,y,z)的情況選取。

一般地，投影法（先一后二）：較直觀易掌握；

截面法（先二后一）： Dz是?在z處的截面，其邊界曲線方

程易寫錯(cuò)，故較難一些。

特殊地，對Dz積分時(shí)，f(x,y,z)與x,y無關(guān)，可直接計(jì)算SDz。因而?中只要z?[a,b], 且f(x,y,z)僅含z時(shí)，選取“截面法”更佳。

2.對坐標(biāo)系的選取，當(dāng)?為柱體，錐體，或由柱面，錐面，旋轉(zhuǎn)拋物面與其它曲面所圍成的形體；被積函數(shù)為僅含z或zf(x2?y2)時(shí)，可考慮用柱面坐標(biāo)計(jì)算。

三重積分的計(jì)算方法例題：

補(bǔ)例1：計(jì)算三重積分I????zdxdydz，其中?為平面x?y?z?1與三個(gè)坐標(biāo)面

?x?0,y?0,z?0圍成的閉區(qū)域。

解1“投影法” 1.畫出?及在xoy面投影域D.2.“穿線”0?z?1?x?y

X型

D：

0?x?10?y?1?x

0?x?1∴?：0?y?1?x

0?z?1?x?y

3.計(jì)算

11?x1?x?y11?xI????zdxdydz??dx?dy?001?0zdz??dx?00111?x(1?x?y)2dy??[(1?x)2y?(1?x)y2?y3]10dx2203111311 ??(1?x)3dx?[x?x2?x3?x4]1

?06062424

解2“截面法”1.畫出?。2.z?[0,1] 過點(diǎn)z作垂直于z軸的平面截?得Dz。

Dz是兩直角邊為x,y的直角三角形，x?1?z,y?1?z 3.計(jì)算

111I????zdxdydz??[??zdxdy]dz??z[??dxdy]dz??zSDzdz

?0Dz0Dz0

1111??z(xy)dz??z(1?z)(1?z)dz??(z?2z2?z3)dz?22202400

補(bǔ)例2：計(jì)算???x2?y2dv，其中?是x2?y2?z2和z=1圍成的閉區(qū)域。解1“投影法”

?z?x2?2y2?1.畫出?及在xoy面投影域D.由?z?1消去z，111得x2?y2?1即D：x2?y2?1

2.“穿線”x2?y2?z?1，???1?x?1

X型

D：?

22???1?x?y?1?x??1?x?1??∴ ?:??1?x2?y?1?x2

?22??x?y?z?13.計(jì)算11?x111?x2????x2?y2dv??dx?1?dy2?1?xx?y2?2x2?y2dz??dx?1?1?x2?x2?y2(1?x2?y2)dy??6

注：可用柱坐標(biāo)計(jì)算。

解2“截面法”

1.畫出?。

2.z?[0,1] 過點(diǎn)z作垂直于z軸的平面截?得Dz：x2?y2?z2

?0???2? Dz： ??0?r?z?0???2?

用柱坐標(biāo)計(jì)算

?:??0?r?z?0?z?1?

3.計(jì)算1????x?ydv??[??0Dz2212?zx?ydxdy]dz??[?d??rdr]dz??2?[r3]0dz???z3dz?3306000022212?z11

補(bǔ)例3：化三重積分I????f(x,y,z)dxdydz為三次積分，其中?：

?z?x2?2y2及z?2?x2所圍成的閉區(qū)域。

解：1.畫出?及在xoy面上的投影域D.22??z?x?2y?2由 ?消去z，得x2?y2?1 ?z?2?x即D： x2?y2?1

2.“穿線” x2?2y2?z?2?x2

???1?x?1

X型 D：? 22???1?x?y?1?x??1?x?1???：??1?x2?y?1?x2

?x2?2y2?z?2?x2??11?x22?x23．計(jì)算 I????f(x,y,z)dxdydz??dx??1?1?x2?dyx2?2y2?f(x,y,z)dz

注：當(dāng)f(x,y,z)為已知的解析式時(shí)可用柱坐標(biāo)計(jì)算。

補(bǔ)例4：計(jì)算???zdv，其中?為z?6?x2?y2及z?x2?y2所圍成的閉區(qū)域。

?解1“投影法”

1.畫出?及在xoy面投影域D，用柱坐標(biāo)計(jì)算

?x?rcos??

由?y?rsin?

化?的邊界曲面方程為：z=6-r2，z=r

?z?z??z?6?r2?0???2?得r?2 ∴D：r?2 即?2.解?

0?r?2z?r??“穿線”

?0???2??r?z?6?r2

∴?:?0?r?2?r?z?6?r2?2?26?r22

6?r23．計(jì)算

2???zdv???[?D?rzdz]rdrd???d??rdr00?r1?r2zdz?2??r[z2]6dr r202222

???r[(6?r)?r]dr???(36r?13r2?r5)dr?0092?。3解2“截面法”

1.畫出?。如圖：?由z?6?r2及z?r圍成。

2.z?[0,6]?[0,2]?[2,6] ???1??2 ?1由z=r與z=2圍成； z?[0,2]，Dz：r?z

?0???2??

?1：?0?r?z

?0?z?2??2由z=2與z=6?r2圍成； z?[2,6]，Dz：r?6?z

?0???2???2：?0?r?6?z

?2?z?6?263.計(jì)算 =???zdv????zdv??z[??rdrd?]dz??z[??rdrd?]dz ???zdv??1?20Dz12Dz2

262262236??zSDz1dz??zSDz2dz??z[?(z)]dz??z[?(6?z)]dz???zdz???(6z?z2)dz?02020292?3注：被積函數(shù)z是柱坐標(biāo)中的第三個(gè)變量，不能用第二個(gè)坐標(biāo)r代換。

補(bǔ)例5：計(jì)算???(x2?y2)dv，其中?由不等式0?a?x2?y2?z2?A，z?0所確定。

?x??cos?sin??解：用球坐標(biāo)計(jì)算。由?y??sin?sin?得?的邊界曲面的球坐標(biāo)方程：a???A

?z??cos??P??，連結(jié)OP=?，其與z軸正向的夾角為?，OP=?。P在xoy面的投影為P?，連結(jié)OP?，其與x軸正向的 夾角為?。

?∴?：a???A，0???，0???2?

?2?222A222?215A3(x?y)dv?d?d?(?sin?)?sin?d?2?sin?[?]ad? =???????5?00a0?22?52?524?55(A?a)?sin3?d??(A?a5)??1?(A?a5)

=553150三重積分的計(jì)算方法練習(xí)

（x2?y2)dv，1.計(jì)算???其中?是旋轉(zhuǎn)面x2?y2?2z與平面z=2,z=8所圍成的閉區(qū)域。

2.計(jì)算???（x?z)dv，其中?是錐面z?x2?y2與球面z?1?x2?y2所?圍成的閉區(qū)域。

為了檢測三重積分計(jì)算的掌握情況，請同學(xué)們按照例題的格式，獨(dú)立完成以上的練習(xí)，答案后續(xù)。

第二篇：高等數(shù)學(xué)三重積分計(jì)算方法總結(jié)

高等數(shù)學(xué)三重積分計(jì)算方法總結(jié)

1、利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分：（1）投影法（先一后二）：

1）外層(二重積分)：區(qū)域Ω在xoy面上的投影區(qū)域Dxy 2）內(nèi)層(定積分)：

從區(qū)域Ω的底面上的z值，到區(qū)域Ω的頂面上的z值。

（2）截面法（先二后一）：

1)外層(定積分): 區(qū)域Ω在z 軸上的投影區(qū)間。2)內(nèi)層(二重積分):Ω垂直于z 軸的截面區(qū)域。

2、利用柱坐標(biāo)計(jì)算三重積分 ????f(x,y,z)dv?????f(?cos?,?sin?,z)?d?d?dz3、利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分

????f(x,y,z)dxdydz?????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcos?)rsin?drd?d?2定限方法:(1)轉(zhuǎn)面定θ(2)轉(zhuǎn)線定φ(3)線段定r

4、利用對稱性化簡三重積分計(jì)算 設(shè)積分區(qū)域Ω關(guān)于xoy平面對稱，(1)若被積函數(shù) f(x,y,z)是關(guān)于z 的奇函數(shù)，則三重積分為零。(2)若被積函數(shù) f(x,y,z)是關(guān)于z 的偶函數(shù)，則三重積分等于：在xoy平面上方的半個(gè)Ω，區(qū)域上的三重積分的兩倍.使用對稱性時(shí)應(yīng)注意：

1）積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對稱性； ２）被積函數(shù)關(guān)于變量的奇偶性。

2例 計(jì)算

???

x(x

?

y

?

z)

dxdydz，其中Ω是由曲面z = x2 + y2和x2 + y2 + z2 =2所圍成的空間閉區(qū)域.解：? x(x?y?z)2 ?x(x2?y2?z2)?2x2y?2xyz?2zx2 ?x(x2?y2?z2)?2xyz

?是關(guān)于x 的奇函數(shù)，且?關(guān)于 yoz 面對稱 故其積分為零。

2x2 y是關(guān)于y 的奇函數(shù),且關(guān)于 zox 面對稱

????2x?2ydv?0,?I?????x(x?y?z)2dxdydz

??????2?02x2zdxdydz,22?2????cos??z??d?d?dz????0 d?? d?? 2?cos??zdz?22??2322?d???cos?(2????)d?013224 24?5?

第三篇：農(nóng)行信用卡積分計(jì)算方法

積分計(jì)算規(guī)則

（一）持卡人使用金穗貸記卡在百貨公司、餐廳、賓館、其他零售商店的刷卡消費(fèi)可累計(jì)積分。計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)為消費(fèi)滿人民幣1元可積1分，消費(fèi)滿1美元可積8分，美元和人民幣積分可合并計(jì)算；積分不可轉(zhuǎn)讓，同一賬戶的主卡及附屬卡積分合并計(jì)算，同一持卡人名下不同賬戶的多張卡積分不可合并計(jì)算。

（三）下列項(xiàng)目不予計(jì)算積分：

2、房地產(chǎn)類、批發(fā)類、各種機(jī)動(dòng)車、航空器及其零配件銷售、租賃與維修、燃油銷售、自動(dòng)售油機(jī)、公共事業(yè)、政府服務(wù)、納稅、代扣代繳、慈善及社會公益、醫(yī)療機(jī)構(gòu)、法律服務(wù)、博彩類、學(xué)校、兒童保育、農(nóng)業(yè)服務(wù)、承包服務(wù)、園藝、電器零件與設(shè)備、供暖、清潔、非現(xiàn)金金融產(chǎn)品及服務(wù)、直銷、保險(xiǎn)、證券、會計(jì)、審計(jì)等類的商戶消費(fèi)。

第四篇：考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三重積分的計(jì)算方法總結(jié)(數(shù)一)

凱程考研，為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)生引路！

考研數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：三重積分的計(jì)算方法總

結(jié)(數(shù)一)

三重積分是考研數(shù)一單獨(dú)要求的考點(diǎn)，其中三重積分的計(jì)算在計(jì)算曲面、曲線積分中有重要應(yīng)用，而且三重積分、曲線曲面積分每年必考一個(gè)大題一個(gè)小題，是考試的重點(diǎn)之一。下面凱程教育數(shù)學(xué)老師幫大家總結(jié)一下三重積分的計(jì)算方法。

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考研復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)練習(xí)題二

考研復(fù)習(xí)已經(jīng)開始了，在掌握基礎(chǔ)定理、公式的基礎(chǔ)上，還要通過做題不斷檢驗(yàn)復(fù)習(xí)成功和查漏補(bǔ)缺。凱程教育分享考研數(shù)學(xué)備考練習(xí)題。希望大家愛邊復(fù)習(xí)邊做題，不斷提升。

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考研復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)練習(xí)題四

考研復(fù)習(xí)已經(jīng)開始了，在掌握基礎(chǔ)定理、公式的基礎(chǔ)上，還要通過做題不斷檢驗(yàn)復(fù)習(xí)成功和查漏補(bǔ)缺。凱程教育分享考研數(shù)學(xué)備考練習(xí)題。希望大家愛邊復(fù)習(xí)邊做題，不斷提升。

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凱程教育：

凱程考研成立于2005年，國內(nèi)首家全日制集訓(xùn)機(jī)構(gòu)考研，一直從事高端全日制輔導(dǎo)，由李海洋教授、張鑫教授、盧營教授、王洋教授、楊武金教授、張釋然教授、索玉柱教授、方浩教授等一批高級考研教研隊(duì)伍組成，為學(xué)員全程高質(zhì)量授課、答疑、測試、督導(dǎo)、報(bào)考指導(dǎo)、方法指導(dǎo)、聯(lián)系導(dǎo)師、復(fù)試等全方位的考研服務(wù)。凱程考研的宗旨：讓學(xué)習(xí)成為一種習(xí)慣；

凱程考研的價(jià)值觀口號：凱旋歸來，前程萬里； 信念：讓每個(gè)學(xué)員都有好最好的歸宿；

使命：完善全新的教育模式，做中國最專業(yè)的考研輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)； 激情：永不言棄，樂觀向上；

敬業(yè)：以專業(yè)的態(tài)度做非凡的事業(yè)；

服務(wù)：以學(xué)員的前途為已任，為學(xué)員提供高效、專業(yè)的服務(wù)，團(tuán)隊(duì)合作，為學(xué)員服務(wù)，為學(xué)員引路。

如何選擇考研輔導(dǎo)班：

在考研準(zhǔn)備的過程中，會遇到不少困難，尤其對于跨專業(yè)考生的專業(yè)課來說，通過報(bào)輔導(dǎo)班來彌補(bǔ)自己復(fù)習(xí)的不足，可以大大提高復(fù)習(xí)效率，節(jié)省復(fù)習(xí)時(shí)間，大家可以通過以下幾個(gè)方面來考察輔導(dǎo)班，或許能幫你找到適合你的輔導(dǎo)班。

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師資力量：師資力量是考察輔導(dǎo)班的首要因素，考生可以針對輔導(dǎo)名師的輔導(dǎo)年限、輔導(dǎo)經(jīng)驗(yàn)、歷年輔導(dǎo)效果、學(xué)員評價(jià)等因素進(jìn)行綜合評價(jià)，詢問往屆學(xué)長然后選擇。判斷師資力量關(guān)鍵在于綜合實(shí)力，因?yàn)槿魏我婚T課程，都不是由

一、兩個(gè)教師包到底的，是一批教師配合的結(jié)果。還要深入了解教師的學(xué)術(shù)背景、資料著述成就、輔導(dǎo)成就等。凱程考研名師云集，李海洋、張鑫教授、方浩教授、盧營教授、孫浩教授等一大批名師在凱程授課。而有的機(jī)構(gòu)只是很普通的老師授課，對知識點(diǎn)把握和命題方向，欠缺火候。

對該專業(yè)有輔導(dǎo)歷史：必須對該專業(yè)深刻理解，才能深入輔導(dǎo)學(xué)員考取該校。在考研輔導(dǎo)班中，從來見過如此輝煌的成績：凱程教育拿下2015五道口金融學(xué)院狀元，考取五道口15人，清華經(jīng)管金融碩士10人，人大金融碩士15個(gè)，中財(cái)和貿(mào)大金融碩士合計(jì)20人，北師大教育學(xué)7人，會計(jì)碩士保錄班考取30人，翻譯碩士接近20人，中傳狀元王園璐、鄭家威都是來自凱程，法學(xué)方面，凱程在人大、北大、貿(mào)大、政法、武漢大學(xué)、公安大學(xué)等院校斬獲多個(gè)法學(xué)和法碩狀元，更多專業(yè)成績請查看凱程網(wǎng)站。在凱程官方網(wǎng)站的光榮榜，成功學(xué)員經(jīng)驗(yàn)談視頻特別多，都是凱程戰(zhàn)績的最好證明。對于如此高的成績，凱程集訓(xùn)營班主任邢老師說，凱程如此優(yōu)異的成績，是與我們凱程嚴(yán)格的管理，全方位的輔導(dǎo)是分不開的，很多學(xué)生本科都不是名校，某些學(xué)生來自二本三本甚至不知名的院校，還有很多是工作了多年才回來考的，大多數(shù)是跨專業(yè)考研，他們的難度大，競爭激烈，沒有嚴(yán)格的訓(xùn)練和同學(xué)們的刻苦學(xué)習(xí)，是很難達(dá)到優(yōu)異的成績。最好的辦法是直接和凱程老師詳細(xì)溝通一下就清楚了。

建校歷史：機(jī)構(gòu)成立的歷史也是一個(gè)參考因素，歷史越久，積累的人脈資源更多。例如，凱程教育已經(jīng)成立10年（2005年），一直以來專注于考研，成功率一直遙遙領(lǐng)先，同學(xué)們有興趣可以聯(lián)系一下他們在線老師或者電話。

有沒有實(shí)體學(xué)校校區(qū)：有些機(jī)構(gòu)比較小，就是一個(gè)在寫字樓里上課，自習(xí)，這種環(huán)境是不太好的，一個(gè)優(yōu)秀的機(jī)構(gòu)必須是在教學(xué)環(huán)境，大學(xué)校園這樣環(huán)境。凱程有自己的學(xué)習(xí)校區(qū)，有吃住學(xué)一體化教學(xué)環(huán)境，獨(dú)立衛(wèi)浴、空調(diào)、暖氣齊全，這也是一個(gè)考研機(jī)構(gòu)實(shí)力的體現(xiàn)。此外，最好還要看一下他們的營業(yè)執(zhí)照。

第五篇：多元函數(shù)積分的計(jì)算方法與技巧范文

.多元函數(shù)積分

二重積分的計(jì)算方法與應(yīng)用。

（一）在作二次積分時(shí)，首先是把一個(gè)自變量看成是一個(gè)參數(shù)，而不是看成變量，這樣第一步是作單變量函數(shù)的定積分，然后得到一個(gè)包含第二個(gè)變量的表達(dá)式，再對第二個(gè)變量求定積分，這樣就得到了二重積分的值。這里對于選擇進(jìn)行積分運(yùn)算的自變量的順序是完全任意的，也就是說，假設(shè)函數(shù)的積分區(qū)間，是由曲線

y?y1(x)y?y2(x)

和，x=a，x=b

所圍成的區(qū)域，那么f在這個(gè)區(qū)域上的二重積分為

by(x)b

??f(x,y)dxdy??adx?y2(x)f(x,y)dy??y2((xx))dy?af(x,y)dxy11D

（二）另外一種常常更為簡單的計(jì)算二重積分的方法，是在極坐標(biāo)下，通過把二重積分轉(zhuǎn)變?yōu)槎畏e分來得到結(jié)果。

一般公式就是

r2f(rcos?,rsin?)rdr??f(x,y)d????d??r(?)1

?

(?)

D

三重積分及其應(yīng)用與計(jì)算。

在這兩種坐標(biāo)里計(jì)算多重積分，首先是給出分別在這些坐標(biāo)系里的體積微元的表達(dá)式： 在圓柱坐標(biāo)系里是dv?rdrd?dz；

在球面坐標(biāo)系里是dv?rsin?drd?d?。

因此可以分別得到在這兩個(gè)坐標(biāo)系里的三重積分的計(jì)算公式： 在圓柱坐標(biāo)系里是在?

???f(x,y,z)dv????f(rcos?,rsin?,z)rdrd?dz

?

?

； 里

是

球

?

面坐標(biāo)系

???f(x,y,z)dv????f(rsin?cos?,rsin?sin?,rcoa?)rsin?drd?d?