第一篇:圓的對稱性說課稿
《圓的對稱性》說課稿
彬縣公劉中學(xué)
段海鋒
尊敬的各位領(lǐng)導(dǎo)、老師:
大家好!今天我說課的題目是義務(wù)教育課程北師大版數(shù)學(xué)九年級上冊《圓的對稱性》,下面我按教材分析、教材處理、教法的選擇與應(yīng)用、教學(xué)模式和教學(xué)過程五部分來談?wù)劚竟?jié)課的設(shè)計(jì)思路。
一、教材分析:
(一)教材的地位與作用
本節(jié)課是圓的性質(zhì)的重要體現(xiàn),是圓的軸對稱性的具體化,也是今后證明線段等、角等、弧等、垂直關(guān)系的重要依據(jù),同時(shí)也為圓的計(jì)算和作圖提供了方法和依據(jù),所以它在教材中處于舉足輕重的位置。
另外,本節(jié)課通過“實(shí)驗(yàn)--觀察--猜想——合作交流——證明”的途徑,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的動手能力,觀察能力,分析、聯(lián)想能力、與人合作交流的能力,同時(shí)利用圓的軸對稱性,可以對學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)美的教育。
因此,掌握垂徑定理對學(xué)生更好地認(rèn)識現(xiàn)實(shí)世界,建立空間觀念、培養(yǎng)推理論證能力具有十分重要的作用。
(二)教學(xué)目標(biāo)
根據(jù)《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》對這部分知識的要求及本課的特點(diǎn),結(jié)合學(xué)生的實(shí)情,本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)確定為:
(1)知識與技能目標(biāo)
使學(xué)生理解圓的軸對稱性;掌握垂徑定理;學(xué)會運(yùn)用垂徑定理解決有關(guān)的證明、計(jì)算和作圖問題。培養(yǎng)學(xué)生觀察能力、分析能力及聯(lián)想能力。
(2)過程與方法目標(biāo)
在實(shí)驗(yàn)過程中,培養(yǎng)學(xué)生觀察、聯(lián)想、猜測、推理、探索發(fā)現(xiàn)新知識的能力和創(chuàng)新思維、創(chuàng)新想象的能力。通過分組訓(xùn)練、深化新知,共同感受收獲的喜悅。
(3)情感與態(tài)度目標(biāo)
在解決問題過程中,培養(yǎng)學(xué)生敢于面對挑戰(zhàn)和善于克服困難的意志,鼓勵學(xué)生大膽嘗試,勇于探索,從中獲得成功的經(jīng)驗(yàn),充分享受數(shù)學(xué)之美,從而體驗(yàn)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。
知識與技能目標(biāo)固然重要,對于本節(jié)課:過程與方法和情感與態(tài)度更重要,因?yàn)檫@部分是幾何教學(xué)的重點(diǎn),是由實(shí)驗(yàn)幾何向論證幾何的過渡,過程與方法可以幫助學(xué)生學(xué)會認(rèn)識事物、分析問題的方法;有良好的情感態(tài)度能培養(yǎng)好的學(xué)習(xí)興趣,養(yǎng)成好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
(三)教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)
教學(xué)重點(diǎn):垂徑定理及其應(yīng)用。
(由于垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論比較復(fù)雜,很容易混淆遺漏,所以,對垂徑定理的題設(shè)與結(jié)論區(qū)分是難點(diǎn)之一,同時(shí),對定理的證明方法“疊合法”學(xué)生不常用到,是本節(jié)的又一難點(diǎn)。)
教學(xué)難點(diǎn):對垂徑定理題設(shè)與結(jié)論的區(qū)分及定理的證明方法。
突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的關(guān)鍵:創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的問題情境,通過學(xué)生動手操作,多媒體生動直觀地演示,讓學(xué)生經(jīng)歷“提出問題——探究討論——?dú)w納發(fā)現(xiàn)”的過程,在這個(gè)過程中,要給學(xué)生在充足的活動時(shí)間,使學(xué)生在積極思維的狀態(tài)下參與探究性學(xué)習(xí)。
而理解垂徑定理的關(guān)鍵是圓的軸對稱性。
二、教學(xué)方法的選擇與應(yīng)用
本節(jié)課我采用實(shí)驗(yàn)操作,直觀演示,合作交流等方法指導(dǎo)學(xué)生動眼觀察、動手操作、動腦思考、動口表述,讓學(xué)生從實(shí)踐中獲取知識,并通過討論來深化對知識的理解。
同時(shí)采用多媒體輔助教學(xué)和實(shí)物演示,直觀生動地反映圖形特點(diǎn)。
三、教學(xué)模式
為了實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo),優(yōu)化教學(xué)過程,本節(jié)課設(shè)計(jì)了六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié):課前準(zhǔn)備(制作實(shí)驗(yàn)器材、完成預(yù)習(xí)提綱)、創(chuàng)設(shè)問題情境引入新課、講授新課、課堂小結(jié)、創(chuàng)新探究、課后作業(yè)。
四、教學(xué)過程
第一環(huán)節(jié)
課前準(zhǔn)備
活動內(nèi)容:(提前一天布置)
1.每人制作兩張圓紙片(最好用16K打印紙)2.預(yù)習(xí)課本P88~P92內(nèi)容
設(shè)計(jì)意圖:通過第1個(gè)活動,希望學(xué)生能利用身邊的工具去畫圖,并制作圖紙片,培養(yǎng)學(xué)生的動手能力;在第2個(gè)活動中,主要指導(dǎo)學(xué)生開展自學(xué),培養(yǎng)良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。預(yù)期存在的問題:
學(xué)生在制作圖紙片時(shí),有時(shí)可能沒有將圓心標(biāo)出來,老師要對其進(jìn)行啟發(fā)引導(dǎo),找出圓心。
第二環(huán)節(jié)
創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課
活動內(nèi)容:
教師提出問題:軸對稱圖形的定義是什么?我們是用什么方法研究了軸對稱圖形?學(xué)生回憶并回答。
活動目的:通過教師與學(xué)生的互動,一方面使學(xué)生能較快進(jìn)入新課的學(xué)習(xí)狀態(tài),另一方面也提高學(xué)生的學(xué)習(xí)的興趣,讓他們帶著問題去學(xué)習(xí),揭開了探究該節(jié)課內(nèi)容的序幕。預(yù)期存在的問題:
由于學(xué)生在七年級學(xué)習(xí)了軸對稱圖形的內(nèi)容。部分學(xué)生可能遺忘了定義,因此教師要通過一些學(xué)生熟悉的軸對稱圖形來引導(dǎo)同學(xué)正確敘述其定義,比如通過矩形。教師作出演示,學(xué)生會更容易表達(dá)。第三環(huán)節(jié)
講授新課
活動內(nèi)容:
(一)想一想圓是軸對稱圖形嗎?如果是,它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸?你是用什么方法解決上述問題的?
(二)認(rèn)識弧、弦、直徑這些與圓有關(guān)的概念。
(三)探索垂徑定理。
做一做
1.在一張紙上任意畫一個(gè)⊙O,沿圓周將圓剪下,把這個(gè)圓對折使圓的兩半部分重合.
2.得到一條折痕CD.
3.在⊙O上任取一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作CD折痕 的垂線,得到新的折痕,其中,點(diǎn)M是兩條折痕的交點(diǎn),即垂足.
4.將紙打開,新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B,如右圖
問題:(1)觀察右圖,它是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?
(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些等量關(guān)系?說一說你的理由。
總結(jié)得出垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧。
(四)講解例題及完成隨堂練習(xí)。
[例1]如右圖所示,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中CD,點(diǎn)O是CD的圓心),其中CD=600m,E為CD上一點(diǎn),且OE⊥CD,垂足為F,EF=90 m.求這段彎路的半徑.
練習(xí):完成課本P92隨堂練習(xí):1
(五)探索垂徑定理逆定理并完成隨堂練習(xí)。想一想:
如下圖示,AB是⊙O的弦(不是直徑),作一條平分AB的直徑CD,交AB于點(diǎn)M.
同學(xué)們利用圓紙片動手做一做,然后回答:(1)上圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么?(2)你能發(fā)現(xiàn)圖中有那些等量關(guān)系?說一說你的理由。
總結(jié)得出垂徑定理逆定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧。
練習(xí):完成課本P92隨堂練習(xí):2
活動目的:內(nèi)容
(一)的主要目的就是通過學(xué)生動手實(shí)驗(yàn),采用折疊的方法認(rèn)識圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條過圓心的直線;內(nèi)容
(二)的主要目的就是讓學(xué)生弄清和圓有關(guān)的這些概念,便于以后內(nèi)容的學(xué)習(xí)研究;內(nèi)容
(三)的主要目的就是通過學(xué)生做一做,觀察,猜想,驗(yàn)證等的過程得到新知,同時(shí)也培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力,以及再次體會研究圖形的多種方法。內(nèi)容
(四)的主要目的讓學(xué)生應(yīng)用新知識構(gòu)造直角三角形,并通過方程的方法去解決幾何問題。內(nèi)容
(五)的主要目的與內(nèi)容
(三)相似。第四環(huán)節(jié)
課堂小結(jié)
活動內(nèi)容:師生互相交流總結(jié):
1.本節(jié)課我們探索了圓的軸對稱性;
2.利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理;
3.垂徑定理和勾股定理相結(jié)合,構(gòu)造直角三角形,可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題。
活動目的:通過回顧本節(jié)課經(jīng)歷的各個(gè)環(huán)節(jié),鼓勵學(xué)生暢談自己的收獲和感想,培養(yǎng)學(xué)生良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。第五環(huán)節(jié)
課后作業(yè)
1.課本習(xí)題3.2,1,2。試一試1 2.預(yù)習(xí)課本P94~97內(nèi)容。
以上就是我對本節(jié)課的想法與設(shè)計(jì),有不到之處敬請指正,謝謝大家!
彬縣公劉中學(xué)
段
海 鋒
第二篇:《圓的對稱性》教案
《圓的對稱性》教案
教學(xué)目標(biāo)
1.知識與技能
(1)理解圓的軸對稱性和中心對稱性,會畫出圓的對稱軸,會找圓的對稱中心;(2)掌握圓心角、弧和弦之間的關(guān)系,并會用它們之間的關(guān)系解題. 2.過程與方法
(1)通過對圓的對稱性的理解,培養(yǎng)學(xué)生的觀察、分析、發(fā)現(xiàn)問題和概括問題的能力,促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維水平的發(fā)展和提高;
(2)通過對圓心角、弧和弦之間的關(guān)系的探究,掌握解題的方法和技巧. 3.情感、態(tài)度與價(jià)值觀
經(jīng)過觀察、總結(jié)和應(yīng)用等數(shù)學(xué)活動,感受數(shù)學(xué)活動充滿了探索性與創(chuàng)造性,體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的樂趣.
教學(xué)重難點(diǎn)
重點(diǎn):對圓心角、弧和弦之間的關(guān)系的理解.
難點(diǎn):能靈活運(yùn)用圓的對稱性解決有關(guān)實(shí)際問題,會用圓心角、弧和弦之間的關(guān)系解題.
教學(xué)過程
一、創(chuàng)設(shè)情境,導(dǎo)入新課
問:前面我們已探討過軸對稱圖形,哪位同學(xué)能敘述一下軸對稱圖形的定義?
(如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊后,直線兩旁的部分能夠互相重合,那么這個(gè)圖形叫做軸對稱圖形,這條直線叫做對稱軸).
問:我們是用什么方法來研究軸對稱圖形? 生:折疊.
今天我們繼續(xù)來探究圓的對稱性.
問題1:前面我們已經(jīng)認(rèn)識了圓,你還記得確定圓的兩個(gè)元素嗎? 生:圓心和半徑.
問題2:你還記得學(xué)習(xí)圓中的哪些概念嗎? 憶一憶:
1.圓:平面上到____________等于______的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓,其中______為圓心,定長為________. 2.?。簣A上_____叫做圓弧,簡稱弧,圓的任意一條____的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧,每一條弧都叫做圓的半徑.__________稱為優(yōu)弧,_____________稱為劣?。?/p>
3.___________叫做等圓,_________叫做等弧. 4.圓心角:頂點(diǎn)在_____的角叫做圓心角.
二、探究交流,獲取新知 知識點(diǎn)一:圓的對稱性
1.圓是軸對稱圖形嗎?如果是,它的對稱軸是什么?你能找到多少條對稱軸?
2.大家交流一下:你是用什么方法來解決這個(gè)問題的呢?
動手操作:請同學(xué)們用自己準(zhǔn)備好的圓形紙張折疊:看折痕經(jīng)不經(jīng)過圓心?
學(xué)生討論得出結(jié)論:我們通過折疊的方法得到圓是軸對稱圖形,經(jīng)過圓心的一條直線是圓的對稱軸,圓的對稱軸有無數(shù)條.
知識點(diǎn)二:圓的中心對稱性.
問:一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,還能與原來的圖形重合嗎?
讓學(xué)生得出結(jié)論:一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,都能與原來的圖形重合,我們把圓的這個(gè)特性稱之為圓的旋轉(zhuǎn)不變性.圓是中心對稱圖形,對稱中心為圓心.
做一做:
在等圓⊙O和⊙O? 中,分別作相等的圓心角∠AOB和?A?O?B?(如圖3-8),將兩圓重疊,并固定圓心,然后把其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,得OA與OA?重合.你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系嗎?說一說你的理由.
小紅認(rèn)為AB=A?B?,AB=A?B?,她是這樣想的: ∵半徑OA重合,?AOB=?A?O?B?,∴半徑OB與OB?重合,∵點(diǎn)A與點(diǎn)A?重合,點(diǎn)B與點(diǎn)B?重合,∴AB與A?B?重合,弦AB與弦A?B?重合,∴AB=A?B?,AB=A?B?.
生:小紅的想法正確嗎?同學(xué)們交流自己想法,然后得出結(jié)論,教師點(diǎn)撥. 結(jié)論:在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等. 知識點(diǎn)三:圓心角、弧、弦之間的關(guān)系.
問:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角所對的弧相等,那么它們所對的弦相等嗎?這兩個(gè)圓心角相等嗎?你是怎么想的?
學(xué)生之間交流,談?wù)劯髯韵敕?,教師點(diǎn)撥.
結(jié)論:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.
三、例題講解
例:如圖3-9,AB,DE是⊙O的直徑,C是⊙O上的一點(diǎn),且AD=CE,BE與CE的大小有什么關(guān)系?為什么?
解:BE=CE,理由是: ∵∠AOD=∠BOE,∴AD=BE,又∵AD=CEa2+b2 ∴BE=CE,∴BE=CE. 議一議
在得出本結(jié)論的過程中,你用到了哪些方法?與同伴進(jìn)行交流.
四、隨堂練習(xí)
1.日常生活中的許多圖案或現(xiàn)象都與圓的對稱性有關(guān),試舉幾例. 2.利用一個(gè)圓及其若干條弦分別設(shè)計(jì)出符合下列條件的圖案:(1)是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形;(2)是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形;(3)既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形.
3.已知,A,B是⊙O上的兩點(diǎn),∠AOB=120°,C是AB的中點(diǎn),試確定四邊形OACB的形狀,并說明理由.
五、知識拓展
如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=25°,以點(diǎn)C為圓心,AC為半徑的圓交AB于點(diǎn)D,求?AD所對的圓心角的度數(shù).
六、自我小結(jié),獲取感悟
1.對自己說,你在本節(jié)課中學(xué)習(xí)了哪些知識點(diǎn)?有何收獲? 2.對同學(xué)說,你有哪些學(xué)習(xí)感悟和溫馨提示? 3.對老師說,你還有哪些困惑?
七、布置作業(yè)
P72-73習(xí)題1-3題.
第三篇:圓的對稱性教案
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圓的對稱性
教學(xué)目標(biāo)(一)教學(xué)知識點(diǎn) 1.圓的軸對稱性. 2.垂徑定理及其逆定理.
3.運(yùn)用垂徑定理及其逆定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算和證明.(二)能力訓(xùn)練要求
1.經(jīng)歷探索圓的對稱性及相關(guān)性質(zhì)的過程,進(jìn)一步體會和理解研究幾何圖形的各種方法.
2.培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立探索、相互合作交流的精神.(三)情感與價(jià)值觀要求
通過學(xué)習(xí)垂徑定理及其逆定理的證明,使學(xué)生領(lǐng)會數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性和探索精神,培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和積極參與的主動精神.
垂徑定理及其逆定理. 垂徑定理及其逆定理的證明. 指導(dǎo)探索和自主探索相結(jié)合. 投影片兩張:
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條對稱軸?
[生]圓是軸對稱圖形,過圓心的直線是它的對稱軸,有無數(shù)條對稱軸. [師]是嗎?你是用什么方法解決上述問題的?大家互相討論一下.
[生]我們可以利用折疊的方法,解決上述問題.把一個(gè)圓對折以后,圓的兩半部分重合,折痕是一條過圓心的直線,由于過圓心可以作無數(shù)條直線,這樣便可知圓有無數(shù)條對稱軸.
[師]很好. 教師板書:
圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條過圓心的直線. 下面我們來認(rèn)識一下弧、弦、直徑這些與圓有關(guān)的概念. 1.圓?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧,簡稱弧(arc). 2.弦:連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦(chord). 3.直徑:經(jīng)過圓心的弦叫直徑(diameter).
如下圖,以A、B為端點(diǎn)的弧記作?;線段AB是⊙O的AB,讀作“圓弧AB”或“弧AB”一條弦,弧CD是⊙O的一條直徑.
注意:
1.弧包括優(yōu)弧(major arc)和劣弧(minor arc),大于半圓的弧稱為優(yōu)弧,小于半圓的弧稱為劣弧.如上圖中,以A、D為端點(diǎn)的弧有兩條:優(yōu)弧ACD(記作?ACD),劣弧ABD(記作?AD).半圓:圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧,每一條弧叫半圓弧,簡稱半圓.半圓是弧,但弧不一定是半圓;半圓既不是劣弧,也不是優(yōu)?。?/p>
2.直徑是弦,但弦不一定是直徑.
下面我們一起來做一做:(出示投影片§3.2.1A)按下面的步驟做一做:
1.在一張紙上任意畫一個(gè)⊙O,沿圓周將圓剪下,把這個(gè)圓對折,使圓的兩半部分重北京今日學(xué)易科技有限公司
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合.
2.得到一條折痕CD.
3.在⊙O上任取一點(diǎn)A,過點(diǎn)A作CD折痕的垂線,得到新的折痕,其中,點(diǎn)M是兩條折痕的交點(diǎn),即垂足.
4.將紙打開,新的折痕與圓交于另一點(diǎn)B,如上圖. [師]老師和大家一起動手.(教師敘述步驟,師生共同操作)[師]通過
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[生]垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的弧.
[師]同學(xué)們總結(jié)得很好.這就是利用圓的軸對稱性得到的與圓相關(guān)的一個(gè)重要性質(zhì)——垂徑定理.在這里注意;①條件中的“弦”可以是直徑.②結(jié)論中的“平分弧”指平分弦所對的劣弧、優(yōu)弦.
下面,我們一起看一下定理的證明:(教師邊板書,邊敘述)如上圖,連結(jié)OA、OB,則OA=OB. 在Rt△OAM和Rt△OBM中,∵OA=OB,OM=OM,∴Rt△OAM≌Rt△OBM,∴AM=BM.
∴點(diǎn)A和點(diǎn)B關(guān)于CD對稱. ∵⊙O關(guān)于直徑CD對稱,∴當(dāng)圓沿著直徑CD對折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,∴=,=
.
與
重合,與
重合.
[師]為了運(yùn)用的方便,不易出現(xiàn)錯(cuò)誤,易于記憶,可將原定理敘述為:一條直線若滿足:(1)過圓心;(2)垂直于弦,那么可推出:①平分弦,②平分弦所對的優(yōu)弧,③平分弦所對的劣弧.
即垂徑定理的條件有兩項(xiàng),結(jié)論有三項(xiàng).用符號語言可表述為: 如圖3-7,在⊙O中,?AM?BM,CD是直徑???????AD?BD,CD?AB于M????AC?BC.下面,我們通過求解例1,來熟悉垂徑定理:
[例1]如下圖所示,一條公路的轉(zhuǎn)彎處是一段圓弧(即圖中,點(diǎn)O是的圓心),?上一點(diǎn),且OE⊥CD,垂足為F,EF=90m,求這段彎路的半徑. 其中CD=600m,E為CD北京今日學(xué)易科技有限公司
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[師生共析]要求彎路的半徑,連結(jié)OC,只要求出OC的長便可以了.因?yàn)橐阎狾E⊥CD,所以CF=何求解?
[生]連結(jié)OC,設(shè)彎路的半徑為R m,則 1CD=300cm,OF=OE-EF,此時(shí)就得到了一個(gè)Rt△CFO,哪位同學(xué)能口述一下如2OF=(R-90)m,∵OE⊥CD,∴CF=11CD=×600=300(m). 22據(jù)勾股定理,得
OC2=CF2+OF2,即R=300+(R-90)解這個(gè)方程,得R=545. ∴這段彎路的半徑為545m.
[師]在上述解題過程中使用了列方程的方法,用代數(shù)方法解決幾何問題,這種思想應(yīng)在今后的解題過程中注意運(yùn)用.
隨堂練習(xí):P92.1.略
下面我們來想一想(出示投影片§3.2.1B)如下圖示,AB是⊙O的弦(不是直徑),作一條平分AB的直徑CD,交AB于點(diǎn)M. 2
22[師]上圖是軸對稱圖形嗎?如果是,其對稱軸是什么? [生]它是軸對稱圖形,其對稱軸是直徑CD所在的直線.
[師]很好.你是用什么方法驗(yàn)證上述結(jié)論的?大家互相交流討論一下,你還有什么發(fā)現(xiàn)?
[生]通過折疊的方法,與剛才垂徑定理的探索方法類似,在一張紙上畫一個(gè)⊙O,作一北京今日學(xué)易科技有限公司
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條不是直徑的弦AB,將圓對折,使點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,便得到一條折痕CD與弦AB交于點(diǎn)M.CD就是⊙O的對稱軸,A點(diǎn)、B點(diǎn)關(guān)于直徑CD對稱.由軸對稱可知,AB⊥CD,[師]大家想想還有別的方法嗎?互相討論一下.
[生]如上圖.連接OA、OB便可得到一個(gè)等腰△OAB,即OA=OB,又AM=MB,即M點(diǎn)為等腰△OAB底邊上的中線.由等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知CD⊥AB,又CD是⊙O的對稱軸,當(dāng)圓沿CD對折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,與
重合,與
重合. =,=
.
[師]在上述的探討中,你會得出什么結(jié)論?
[生]平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的弧. [師]為什么上述條件要強(qiáng)調(diào)“弦不是直徑”?
[生]因?yàn)閳A的任意兩條直徑互相平分,但是它們不一定是互相垂直的. [師]我們把上述結(jié)論稱為垂徑定理的一個(gè)逆定理. [師]同學(xué)們,你能寫出它的證明過程嗎? [生]如上圖,連結(jié)OA、OB,則OA=OB. 在等腰△OAB中,∵AM=MB,∴CD⊥AB(等腰三角形的三線合一). ∵⊙O關(guān)于直徑CD對稱.
∴當(dāng)圓沿著直徑CD對折時(shí),點(diǎn)A與點(diǎn)B重合,∴=,=
.
與
重合,與
重合.
[師]接下來,做隨堂練習(xí):P92.
2.如果圓的兩條弦互相平行,那么這兩條弦所夾的弧相等嗎?為什么? 答:相等.
理由:如下圖示,過圓心O作垂直于弦的直徑EF,由垂徑定理設(shè)用等量減等量差相等,得
-
=
-,即
=
=,=,故結(jié)論成立.
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符合條件的圖形有三種情況:(1)圓心在平行弦外,(2)在其中一條線弦上,(3)在平行弦內(nèi),但理由相同.
Ⅲ.課時(shí)小結(jié)
1.本節(jié)課我們探索了圓的對稱性.
2.利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理.
3.垂徑定理和勾股定理相結(jié)合,構(gòu)造直角三角形,可解決計(jì)算弦長、半徑、弦心距等問題.
Ⅳ.課后作業(yè)
(一)課本P93,習(xí)題3.2,1、2(二)1.預(yù)習(xí)內(nèi)容:P94~97 2.預(yù)習(xí)提綱:(1)圓是中心對稱圖形.
(2)圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理. Ⅴ.活動與探究
1.銀川市某居民區(qū)一處圓形下水管道破裂,修理人員準(zhǔn)備更換一段新管道.如圖所示,污水水面寬度為60cm,水面至管道頂部距離為10cm,問修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑多大的管道?
[過程]讓學(xué)生在探究過程中,進(jìn)一步把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題,掌握通過作輔助線構(gòu)造垂徑定理基本結(jié)構(gòu)圖,進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的思維.
[結(jié)果]
如下圖示,連結(jié)OA,過O作OE⊥AB,垂足為E,交圓于F,則AE=
1AB=30cm.令⊙2O的半徑為R,則OA=R,OE=OF-EF=R-10.在Rt△AEO中,OA2=AE2+OE2,即R2=302+(R-10).解得R=50cm.修理人員應(yīng)準(zhǔn)備內(nèi)徑為100cm的管道. 2北京今日學(xué)易科技有限公司
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板書設(shè)計(jì)
§3.2.1 圓的對稱性
一、圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條過圓心的直徑.
二、與圓有關(guān)的概念:
1.圓弧 2.弦 3.直徑
注意:弧包括優(yōu)弧、劣弧、半圓.
三、垂徑定理:垂直于弦的直徑平分這條弦,并且平分弦所對的?。?/p>
例1:略
四、垂徑定理逆定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的?。?注意;弦不是直徑.
五、課堂練習(xí)
六、課時(shí)小結(jié)
七、課后作業(yè)
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第四篇:圓的對稱性教學(xué)設(shè)計(jì)
《圓的對稱性(1)》教學(xué)設(shè)計(jì)
江蘇省藍(lán)天杯教學(xué)設(shè)計(jì)評比獲獎作品
一、課題
《圓的對稱性(1)》是蘇教版教科書九年級上冊第五章第二節(jié)的第一課時(shí)內(nèi)容。
二、教材分析
《圓的對稱性(1)》是學(xué)生在學(xué)習(xí)了有關(guān)中心對稱圖形的知識,圓的相關(guān)概念(包括弦、弧、圓心角、同圓、等圓、等弧等)后所學(xué)習(xí)的一節(jié)重要內(nèi)容。本節(jié)課主要是在理解了圓的中心對稱性與旋轉(zhuǎn)不變性的基礎(chǔ)上,通過學(xué)生自主探究,掌握在同圓或等圓中,圓心角和它所對的弧、弦三者之間的關(guān)系。它為后續(xù)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓的其它知識以及解決與圓有關(guān)的問題提供了重要基礎(chǔ)。
三、教學(xué)目標(biāo)
1、知識技能
(1)經(jīng)歷圓繞圓心旋轉(zhuǎn),理解圓的中心對稱性以及圓的旋轉(zhuǎn)不變性;(2)經(jīng)歷操作、猜想、說理、歸納等數(shù)學(xué)活動,理解并掌握在同圓或等圓中,圓心角和它所對弧、弦三者之間的關(guān)系,并能應(yīng)用其解決相關(guān)問題;(3)掌握弧的度數(shù)概念,并會計(jì)算弧的度數(shù)。
2、數(shù)學(xué)思考
(1)在參與操作、觀察、猜想、說理、歸納等數(shù)學(xué)活動中,發(fā)展合情推理和演繹推理能力,清晰地表達(dá)自己的想法;
(2)通過數(shù)學(xué)活動培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)。
3、問題解決
(1)通過問題解決的過程讓學(xué)生學(xué)會從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題;
(2)通過對問題的解決,讓學(xué)生獲得分析問題和解決問題的一些基本方法,發(fā)展創(chuàng)新意識;
(3)進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決問題時(shí)的合作意識。
4、情感態(tài)度
在解決問題的過程中,體驗(yàn)獲得成功的樂趣,鍛煉克服困難的意志。
四、教學(xué)重、難點(diǎn)
1、重點(diǎn):在同圓或等圓中,圓心角和它所對弧、弦三者之間的關(guān)系及其應(yīng)用
2、難點(diǎn):從感性認(rèn)識到理性認(rèn)識,從直觀到抽象的數(shù)學(xué)知識探索過程以及歸納能力的培養(yǎng)。
五、設(shè)計(jì)理念
1、注重學(xué)生的自主動手實(shí)踐,體現(xiàn)學(xué)生的主體地位
數(shù)學(xué)教學(xué)活動,特別是教學(xué)活動應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣,調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)積極性,而重視了學(xué)生的動手實(shí)踐,自主活動,能夠很好的達(dá)到這個(gè)效果。
2、注重“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)”,體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識的形成的過程
“操作、猜想、說理、歸納總結(jié)”是一個(gè)較完整的探索數(shù)學(xué)知識的過程,讓學(xué)生親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識探索的全過程,有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維方式,有助于學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的理解,有助于培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)基本活動經(jīng)驗(yàn)”。
3、注重歸納總結(jié),體現(xiàn)理性思維
歸納總結(jié)是從感性到理性,從特殊到一般的質(zhì)的飛躍,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。
六、設(shè)計(jì)思路
本節(jié)課中,探索新知由若干個(gè)活動組成,通過學(xué)生操作、觀察、猜想、說理、歸納總結(jié)等一系列活動獲得新知,最后通過對若干條題目的解決來到達(dá)鞏固新知的作用。
七、教學(xué)過程
1、創(chuàng)設(shè)情境,引入新課
活動一:欣賞圖片和動畫,感知圓的對稱性
(1)通過多媒體課件,向?qū)W生展示生活中關(guān)于圓對稱性的一些實(shí)例,例如:正在旋轉(zhuǎn)的摩天輪,緩慢旋轉(zhuǎn)的車輪,剪紙時(shí)將圓沿著直徑翻折等,學(xué)生欣賞動畫,并思考它們的共性,很容易發(fā)現(xiàn)圓具有對稱性。
教師板書本節(jié)課課題。
【設(shè)計(jì)意圖】圓的對稱性在學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)中是大量存在的,展示的動畫,貼近學(xué)生生活實(shí)際,容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,創(chuàng)設(shè)這個(gè)情景,還能增加學(xué)生的聯(lián)想思維能力,為下面的探究活動打下基礎(chǔ)。
(2)關(guān)于對稱,我們學(xué)到今天主要學(xué)習(xí)了軸對稱和中心對稱,那么什么是中心對稱圖形?
學(xué)生很容易能夠回答出:把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形重合,那么這個(gè)圖形叫做中心對稱圖形,這個(gè)點(diǎn)是它的對稱中心。
【設(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)舊知,同時(shí)也指明了本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是在圓的中心對稱性上面。
(3)我們采用什么方法研究中心對稱圖形?
根據(jù)中心對稱圖形的定義,學(xué)生易回答出:采用旋轉(zhuǎn)的方法研究中心對稱圖形。
【設(shè)計(jì)意圖】為本節(jié)課研究圓的中心對稱性提供了方法,即,利用旋轉(zhuǎn)來研究。
2、活動、思考,探索新知
活動二:動手操作,感受圓的中心對稱性
(1)圓是中心對稱圖形嗎?請同學(xué)們拿出事先準(zhǔn)備好的圓(圓心處被大頭針戳在一張硬紙板上,圓可以繞著圓心自由旋轉(zhuǎn))按照中心對稱圖形的定義轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)圓。
根據(jù)前面的復(fù)習(xí),學(xué)生很快根據(jù)自己的操作,發(fā)現(xiàn):將圓繞圓心旋轉(zhuǎn)180°后,能夠和原來的圖形重合,從而得到圓是中心對稱圖形,它的對稱中心就是圓心。
這里,教師可以讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并總結(jié)本節(jié)課的第一個(gè)知識點(diǎn):圓是中心對稱圖形,圓心是它的對稱中心。
【設(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過活動,親身體驗(yàn)“圓的中心對稱性”,既強(qiáng)化了對中心對稱圖形概念的理解,又實(shí)實(shí)在在的看到了圓是中心對稱圖形。
(2)請同學(xué)們將你們手上的圓繞圓心任意轉(zhuǎn)動一定的角度,你們能發(fā)現(xiàn)什么?自己做一做,互相討論下!
學(xué)生會發(fā)現(xiàn),無論將圓繞圓心怎樣轉(zhuǎn)動,所得的圓還和原來的圓重合。教師進(jìn)一步總結(jié):其實(shí)圓具有旋轉(zhuǎn)不變性,即,一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任何一個(gè)角度后,都能與原來的圖形重合。
【設(shè)計(jì)意圖】圓的旋轉(zhuǎn)不變性的研究是為進(jìn)一步研究圓的性質(zhì)打下基礎(chǔ)?;顒尤翰僮?、觀察、猜想、說理,初步探索(1)請同學(xué)們利用量角器在你們剛才準(zhǔn)備的圓上畫出兩個(gè)相等且互不重疊的圓心角,分別記作∠AOB和∠A1OB1,并連接弦AB、A1B1。(提醒學(xué)生注意:畫∠AOB和∠A1OB1時(shí),要使OB相對于OA的方向與OB1相對于OA1的方向一致)
(2)將扇形OAB剪下,將它繞著圓心O旋轉(zhuǎn),使得OA與OA1重合。(3)在操作中,仔細(xì)觀察,你發(fā)現(xiàn)了什么?互相討論一下!
如上圖,通過操作、觀察,討論,學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn),剪下來的部分繞著圓心旋轉(zhuǎn),當(dāng)OA與OA1重合時(shí),OB與OB1也重合,整個(gè)扇形OAB與扇形OA1B1完全重合,⌒AB 與A⌒1 B1重合,弦AB與弦A1B1重合。
(4)根據(jù)對剛才的操作、觀察以及你們所發(fā)現(xiàn)的情況,你們能從數(shù)學(xué)的角度猜想出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論嗎?
引導(dǎo)學(xué)生得到:在⊙O中,如果∠AOB=∠A1OB1,則⌒AB =A⌒1 B1,AB=A1B1。這里,學(xué)生很容易把“在⊙O中”給遺漏掉,教師要注意提醒。
(5)這個(gè)猜想出來的結(jié)論對嗎?如果正確,你能根據(jù)前面所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識,對你的這個(gè)猜想進(jìn)行證明嗎?請同學(xué)們互相討論,然后嘗試著寫一寫。
在思考證明的方法時(shí),大部分學(xué)生都會想到利用△AOB≌△A1OB1這樣的常規(guī)方法來證明AB=A1B1,這里教師要加以肯定,但是對于證明⌒AB =A⌒1 B1,卻會顯得束手無策,因?yàn)樵谶@節(jié)課前,并沒有學(xué)習(xí)過關(guān)于證明弧相等的方法。這里,教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶等弧的概念,即,能夠互相重合的弧叫做等弧,而在剛才的操作過程中,最后確實(shí)出現(xiàn)了兩弧重合的現(xiàn)象,進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn):只要能說明到A與A1重合,B與B1重合即可證明到⌒AB =A⌒1 B1,同時(shí)也可證明到AB=A1B1,這樣也不需要用全等的方式來證明了。
(6)我們一起來把這個(gè)證明過程寫一寫?!驹O(shè)計(jì)意圖】通過操作、觀察、猜想、說理這一系列的數(shù)學(xué)活動,讓學(xué)生親身體驗(yàn)了數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生的全過程,感受了研究數(shù)學(xué)的科學(xué)方法,培養(yǎng)了學(xué)生的動手能力、數(shù)學(xué)觀察能力、數(shù)學(xué)猜想能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力,同時(shí)也為本節(jié)課的重點(diǎn)難點(diǎn)部分的提出打下基礎(chǔ),最后讓學(xué)生自己寫出證明過程可以使學(xué)生對證明過程更加理解,思路更加清晰。
(7)通過證明,我們發(fā)現(xiàn),“在⊙O中,如果∠AOB=∠A1OB1,則⌒AB =A⌒1 B1,AB=A1B1?!钡@個(gè)是針對在⊙O中的結(jié)論,那現(xiàn)在不給我們一個(gè)具體的圖形,你能直接用一句文字語言來描述一下上面的這種性質(zhì)嗎?討論一下,然后告訴我。
教師要引導(dǎo)學(xué)生首先找到,前面操作過程中的,圓心角、弧、弦之間的關(guān)系,即,弧與弦都是相等的圓心角所對的,這樣,學(xué)生很快就能總結(jié)出“在同圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等?!保珜W(xué)生在總結(jié)的時(shí)候容易漏掉“在同圓中”這個(gè)前提。無論學(xué)生是否出現(xiàn)這個(gè)問題,教師都要加以強(qiáng)調(diào)“在同圓中”這個(gè)條件,這時(shí)教師在多媒體課件上展示兩組圓,一組是不等的兩個(gè)圓,另一組是兩個(gè)等圓,通過動畫直觀展示給學(xué)生看,第一組在不等的兩個(gè)圓中,雖然圓心角是相等的,但是所對的弧與弦確實(shí)不相等,而另一組在兩個(gè)等圓中,圓心角相等,所對的弧與弦是相等的。從而讓學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn),不僅不能把“在同圓中”這個(gè)條件前提漏掉,還要把它改一改,改成“在同圓或等圓中”。
【設(shè)計(jì)意圖】通過具體實(shí)物的操作,猜想以及證明后,最為重要的一步就是將猜想的結(jié)論進(jìn)一步一般化、數(shù)學(xué)化,在這一過程中,需要教師加以引導(dǎo),這樣既能讓學(xué)生從中感悟到各個(gè)相關(guān)量之間的具體聯(lián)系,又能讓學(xué)生更深的理解其中的真正內(nèi)涵所在,為將來能夠更好的應(yīng)用結(jié)論提高良好的基礎(chǔ)。
教師將結(jié)論板書在黑板上?;顒铀模核伎?、探索,形成知識升華
(1)在同圓或等圓中,如果圓心角所對的弧相等,那么它們所對的弦相等嗎?這兩個(gè)圓心角相等嗎?為什么?在同圓或等圓中,如果圓心角所對的弦相等,那么它們所對的弧相等嗎?這兩個(gè)圓心角相等嗎?為什么?
對于這兩個(gè)問題,教師鼓勵學(xué)生用剛才前面的研究方法,猜一猜,證一證。由前面活動三的基礎(chǔ),這個(gè)兩個(gè)問題都不會太困難,教師要把時(shí)間完全的交由學(xué)生自主探索,自主證明,并模仿活動三,將兩個(gè)結(jié)論得出。(2)我們上面所涉及的問題都是在同圓或等圓中,都是針對的關(guān)于圓心角、圓心角所對的弧與弦直接的關(guān)系,我們發(fā)現(xiàn),它們?nèi)咧苯?,只要有一組量是相等的,其余兩個(gè)量就都相等了,那能不能用一句話總結(jié)一下?
學(xué)生非常容易就可以得出:在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組兩都分別相等。這里教師還應(yīng)強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn),一是“在同圓或等圓中”這個(gè)條件不能遺漏,二是在同圓或等圓中,弦相等所對弧相等中的弧必須是同為“優(yōu)弧”或同為“劣弧”。
【設(shè)計(jì)意圖】通過思考、探索活動三中的逆命題是否成立,進(jìn)一步讓學(xué)生獨(dú)立自主的體驗(yàn)了研究數(shù)學(xué)的方式方法,同時(shí)也進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生說理的能力,歸納總結(jié)的能力。
(3)教師將結(jié)論板書在黑板上,提出,這個(gè)結(jié)論我們今后在解決問題的時(shí)候可以直接使用,但是,我們在做題目的時(shí)候通常都需要用數(shù)學(xué)符號語言來描述,能不能請同學(xué)們根據(jù)老師所畫的圖,用數(shù)學(xué)符號語言把這個(gè)結(jié)論描述出來?
教師請三位學(xué)生到黑板上把三個(gè)結(jié)論分別用數(shù)學(xué)符號語言寫出來,其他學(xué)生在下面寫,教師加以適當(dāng)?shù)男薷暮涂偨Y(jié)。
【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)符號語言是解決數(shù)學(xué)問題尤其是說理證明時(shí)重要的表達(dá)方式,學(xué)生必須能夠熟練的將文字語言和數(shù)學(xué)符號語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化,同時(shí)在書寫數(shù)學(xué)符號語言的同時(shí)也再一次的讓學(xué)生感受了在同圓或等圓中,圓心角、圓心角所對弧與弦三者之間的聯(lián)系,進(jìn)一步加深了對概念的理解和記憶。
(4)教師指出,今后,在圓中,若要證明圓心角相等、弦相等、弧相等就要想到我們剛剛學(xué)習(xí)過的知識,即利用圓心角和它所對的弧、弦之間的關(guān)系?!驹O(shè)計(jì)意圖】教師幫助學(xué)生進(jìn)一步凝練總結(jié),形成新的數(shù)學(xué)解題技能。活動五:關(guān)于“弧度”的概念
(1)將頂點(diǎn)在圓心的圓周角等分成360份時(shí),每一份的圓心角是多少度?為什么?
學(xué)生小學(xué)時(shí)就已經(jīng)知道圓一周角等于360°,基本都能回答出是1°的角。(2)那這360個(gè)1°的圓心角所對的弧有什么關(guān)系?
這個(gè)在活動三和活動四中已經(jīng)具體總結(jié)過了,學(xué)以致用,學(xué)生很快可回答出,它們都是等弧。(3)教師提出,通常,我們把1°的圓心角所對的弧叫做1°弧。(4)請問,n°圓心角所對的弧度數(shù)是多少? 學(xué)生不難回答,n°圓心角所對的弧度數(shù)是n°。(5)那n°弧所對的圓心角度數(shù)是多少? 學(xué)生不難回答,n°弧所對的圓心角度數(shù)是n°。
(6)哪個(gè)同學(xué)能把剛才我們一起敘述的結(jié)論用一句話總結(jié)一下嗎? 對學(xué)生來說,這個(gè)問題也不難回答,圓心角的度數(shù)與它多對的弧的度數(shù)相等?!驹O(shè)計(jì)意圖】設(shè)計(jì)一系列簡單的問題,層層深入,讓對學(xué)生而言非常陌生的概念“弧的度數(shù)”與學(xué)生非常熟悉的知識和本節(jié)課剛學(xué)習(xí)過的知識聯(lián)系起來,順利得到結(jié)論。
(7)請同學(xué)們思考一個(gè)問題,弧的度數(shù)相等與等弧是一個(gè)意思嗎? 引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)弧的度數(shù)的概念與等弧的概念,畫一畫、想一想、討論一下。為了能讓學(xué)生能夠理解,教師可以通過多媒體展示出兩個(gè)例子。
圖1 圖2 如圖1所示,⌒AB 與⌒CD 的所對圓心角是相等的,因此,它們兩個(gè)弧的度數(shù)是相等的,但是,很顯然,⌒AB ≠⌒CD,它們并不能重合,但是由圖2所示,由于是⌒、⌒在同圓中,EFGH 的度數(shù)是相等的,也是等弧,原因就在于本節(jié)課剛學(xué)過的知識,在同圓或等圓中,圓心角相等,它所對的弧也相等,而圓心角相等,也意味著圓心角所對的弧的度數(shù)是相等的。讓學(xué)生從直觀的角度和邏輯關(guān)系上認(rèn)識到:第一、兩條弧,弧的度數(shù)相等時(shí),兩條弧不一定是等弧,除非這兩條弧是在同圓或等圓中;第二、兩條弧是等弧,那它們的度數(shù)肯定相等。因此只有在等弧時(shí)才能用等號把兩條弧連起來,而弧的度數(shù)相等,就不能這樣。
【設(shè)計(jì)意圖】弧的度數(shù)相等和等弧歷來是學(xué)生最容易搞混淆的知識,因此本節(jié)課講到這里必須要引導(dǎo)學(xué)生加以區(qū)別,同時(shí)由對弧的度數(shù)相等和等弧這兩個(gè)概念的區(qū)別和聯(lián)系,讓學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)了對弧的度數(shù)和等弧概念的理解,也復(fù)習(xí)了本節(jié)課剛剛學(xué)過的兩個(gè)知識點(diǎn)。
3、例題教學(xué)、鞏固新知
例
1、如圖,AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOB=∠BOC?!螦BC與∠BAC相等嗎?為什么?
學(xué)生由于剛接觸圓心角和它所對的弧、弦之間的關(guān)系,比較陌生,還不善于利用這個(gè)關(guān)系來解決問題,因此要引導(dǎo)學(xué)生從本節(jié)課剛講的知識點(diǎn)入手解決。采取師生一起分析,學(xué)生自主寫過程,師生共同對典型的錯(cuò)誤進(jìn)行糾正的模式完成對本例題的講解。
【設(shè)計(jì)意圖】本題涉及到本節(jié)課的知識點(diǎn)主要是:在同圓中,相等的圓心角所對的弦相等。通過對本題的解決,讓學(xué)生再次體驗(yàn)同圓或等圓中,圓心角和它所對的弧、弦之間的關(guān)系。
4、課堂練習(xí),強(qiáng)化應(yīng)用
1、如圖,在⊙O中,⌒AC =⌒BD,∠AOB=50°,求∠COD的度數(shù)。
2、如圖,在⊙O中,⌒AB =⌒AC,∠A=40°,求∠ABC的度數(shù)。
3、如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠B=28°,以C為圓心,CA為半徑的圓交AB于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E,求⌒AD、⌒DE 的度數(shù)。
【設(shè)計(jì)意圖】根據(jù)本節(jié)課所涉及的主要內(nèi)容,層層深入、由易到難的設(shè)置了課堂習(xí)題,既能增強(qiáng)后進(jìn)生的學(xué)習(xí)信心,也能達(dá)到強(qiáng)化學(xué)生對本節(jié)課的理解。
5、回顧、小結(jié)
本節(jié)課你學(xué)到了哪些知識,有哪些收獲?
學(xué)生歸納,梳理本節(jié)課所學(xué)習(xí)的知識,整理出要點(diǎn)。
【設(shè)計(jì)意圖】通過學(xué)生自己小結(jié),有利于培養(yǎng)學(xué)生的概括能力,使學(xué)生自主構(gòu)建知識體系,養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣。
6、作業(yè)布置
1、完成補(bǔ)充習(xí)題第83頁5.2圓的對稱性(1),其中1至5題為必做題,第6題學(xué)有余力的學(xué)生完成。
【設(shè)計(jì)意圖】作業(yè)分層布置,讓不同層次的學(xué)生得到不同的發(fā)展,而選做題并不是難題,這樣可以讓學(xué)生增強(qiáng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的自信心。
2、課后思考:圓除了中心對稱性還有怎樣的對稱性,自己研究研究,并預(yù)習(xí)下一課內(nèi)容。
【設(shè)計(jì)意圖】設(shè)置疑問,激發(fā)學(xué)生的求知欲,鼓勵學(xué)生課后獨(dú)立思考,自主預(yù)習(xí)。
八、教學(xué)反思
本節(jié)課的設(shè)計(jì)理念在第五部分已經(jīng)提及,縱觀整個(gè)教學(xué)過程,教者深深地感到:一節(jié)數(shù)學(xué)課,能否上好,探究是否到位,很大程度上取決于教師的教學(xué)觀念、方式方法。新課程標(biāo)準(zhǔn)指出:學(xué)生是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的主人,教師是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的組織者、引導(dǎo)者與合作者。因此,在數(shù)學(xué)教學(xué)中,要充分發(fā)揮學(xué)生的主體地位,讓學(xué)生在動手實(shí)踐、自主探索與合作交流中發(fā)現(xiàn)方法、獲得技能、培養(yǎng)思維、發(fā)展能力,做學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的主人,教師則是對學(xué)生的發(fā)言多做點(diǎn)評、總結(jié)、啟發(fā)與引導(dǎo),發(fā)揮教師應(yīng)有的主導(dǎo)作用,從而徹底摒棄教師“一言堂”,實(shí)現(xiàn)高效教學(xué)。
第五篇:3.2 圓的對稱性教案二
圓的對稱性
教學(xué)目標(biāo)
(一)教學(xué)知識點(diǎn)(二)1.圓的旋轉(zhuǎn)不變性.
2.圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理.(二)能力訓(xùn)練要求
1.通過觀察、比較、操作、推理、歸納等活動,發(fā)展空間觀念、推理能力以及概括問題的能力.
2.利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性,研究圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理.(三)情感與價(jià)值觀要求
培養(yǎng)學(xué)生積極探索數(shù)學(xué)問題的態(tài)度及方法. 教學(xué)重點(diǎn)
圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理. 教學(xué)難點(diǎn)
“圓心角、弧、弦之間關(guān)系定理”中的“在同圓或等圓”條件的理解及定理的證明.
教學(xué)方法 指導(dǎo)探索法. 教具準(zhǔn)備 投影片兩張
第一張:做一做(記作§3.2.2A)第二張:舉反例圖(記作§3.2.2B)教學(xué)過程
Ⅰ.創(chuàng)設(shè)問題情境,引入新課
[師]我們研究過中心對稱圖形,我們是用什么方法來研究它的,它的定義是什么?哪位同學(xué)知道?
[生]用旋轉(zhuǎn)的方法.中心對稱圖形是指把一個(gè)圖形繞某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°,如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形互相重合,那么這個(gè)圖形叫中心對稱圖形.這個(gè)點(diǎn)就是它的對稱中心.
[師]圓是一個(gè)特殊的圓形,通過前面的學(xué)習(xí),同學(xué)們已經(jīng)了解到圓既是一個(gè)軸對稱圖形又是一個(gè)中心對稱圖形.那么,圓還有其他特性嗎?下面我們繼續(xù)來探討.
Ⅱ.講授新課
[師]同學(xué)們請觀察老師手中的兩個(gè)圓有什么特點(diǎn)? [生]大小一樣.
[師]現(xiàn)在老師把這兩個(gè)圓疊在一起,使它倆重合,將圓心固定.
將上面這個(gè)圓旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,兩個(gè)圓還重合嗎? [生]重合.
[師]通過旋轉(zhuǎn)的方法我們知道:圓具有旋轉(zhuǎn)不變的特性.即一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度,都能與原來的圖形重合.圓的中心對稱性是其旋轉(zhuǎn)不變性的特例.即圓是中心對稱圖形,對稱中心為圓心.
[師]我們一起來做一做.(出示投影片§3.2.2A)按下面的步驟做一做:
1.在兩張透明紙上,作兩個(gè)半徑相等的⊙O和⊙O′,沿圓周分別將兩圓剪下.
2.在⊙O和⊙O'上分別作相等的圓心角∠AOB和∠A'O'B'(如下圖示),圓心固定.注意:在畫∠AOB與∠A'O'B'時(shí),要使OB相對于OA的方向與O'B'相對于O'A'的方向一致,否則當(dāng)OA與OA'重合時(shí),OB與O'B'不能重合.
3.將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,使得OA與O'A'重合.
[生]教師敘述步驟,同學(xué)們一起動手操作.
[師]通過上面的做一做,你能發(fā)現(xiàn)哪些等量關(guān)系?同學(xué)們互相交流一下,說一說你的理由.
[生甲]由已知條件可知∠AOB=∠A'O'B'.
[生乙]由兩圓的半徑相等,可以得到∠OAB=∠OBA=∠O'A'B'=∠O'B'A'.
[生丙]由△AOB≌△A'O'B',可得到AB=A'B'. [生丁]由旋轉(zhuǎn)法可知?AB??A?B?. ??
[師]很好.大家說得思路很清晰,其實(shí)剛才丁同學(xué)說到一種新的證明弧相等的方法——疊合法.
[師生共析]我們在上述做一做的過程中發(fā)現(xiàn),固定圓心,將其中一個(gè)圓旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度,使半徑OA與O'A'重合時(shí),由于∠AOB=∠A'O'B'.這樣便得到半徑OB與O'B'重合.因?yàn)辄c(diǎn)A和點(diǎn)A'重合,點(diǎn)B和點(diǎn)B'重合,所以和重合,弦AB與弦A'B'重合,即,AB=A'B'. 的理由是[師]在上述操作過程中,你會得出什么結(jié)論?
[生]在等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等.
[師]同學(xué)做得很好,這就是我們通過實(shí)驗(yàn)利用圓的旋轉(zhuǎn)不變性探索到的圓的另一個(gè)特性:圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理.
下面,我們一起來看一看命題的證明.(學(xué)生互相討論交流,學(xué)生口述,教師板書)如上圖所示,已知:⊙O和⊙O'是兩個(gè)半徑相等的圓,∠AOB=∠A'O'B'. 求證:,AB=A'B'.
證明:將⊙O和⊙O'疊合在一起,固定圓心,將其中的一個(gè)圓旋轉(zhuǎn),一個(gè)角度,使得半徑OA與O'A'重合,∵∠AOB=∠A'O'B',∴半徑OB與O'B'重合.
∵點(diǎn)A與點(diǎn)A'重合,點(diǎn)B與點(diǎn)B'重合,∴∴與重合,弦AB與弦A'B'重合.,AB=A'B'.
上面的結(jié)論,在同圓中也成立.于是得到下面的定理: 在同圓或等圓中,相等的圓心角所對的弧相等,所對的弦相等.
注意:在運(yùn)用這個(gè)定理時(shí),一定不能忘記“在同圓或等圓中”這個(gè)前提.否則也不一定有所對的弧相等、弦相等這樣的結(jié)論.
[師](通過舉反例強(qiáng)化對定理的理解)請同學(xué)們畫一個(gè)只能是圓心角相等的這個(gè)條件的圖.(出示投影片§3.2.2B)
[生]如下圖示,雖然∠AOB=∠A'O'B',但AB≠A'B',下面我們共同想一想.
[師]如果我們把兩個(gè)圓心角用①表示;兩條弧用②表示;兩條弦用③表示.我們就可以得出這樣的結(jié)論:
在同圓或等圓中??②???也相等
①相等??③如果在同圓或等圓這個(gè)前提下.將題設(shè)和結(jié)論中任何一項(xiàng)交換一下,結(jié)論正確嗎?你是怎么想的?請你說一說.(同學(xué)們互相交流、討論)
[生甲]如果將上述題設(shè)①和結(jié)論②換一下,結(jié)論仍正確.可以通過旋轉(zhuǎn)法或疊合法得到證明.
[生乙]如果將上述題設(shè)①和結(jié)論③互換一下,結(jié)論也正確,可以通過證明全等或疊合法得到.
[師]好,通過上面的探索,你得到了什么結(jié)論?
[生]在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.
在同圓或等圓中,如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦或兩條弦的弦心距中有一組量相等,那么它們所對應(yīng)的其余各組量都分別相等.
注意:(1)不能忽略“在同圓或等圓中”這個(gè)前提條件,否則,丟掉這個(gè)前提,雖然圓心角相等,但所對的弧、弦、弦心距不一定相等.
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧.
(3)要結(jié)合圖形深刻體會圓心角、弧、弦、弦心距這四個(gè)概念和“所對”一詞的含義.否則易錯(cuò)用此關(guān)系.
(4)在具體應(yīng)用上述定理解決問題時(shí),可根據(jù)需要,擇其有關(guān)部分.如“在同圓中,等弧所對的圓心角相等”“在等圓中,弦心距相等的弦相等”等等.
例如,下圖中的∠1=∠2,有的同學(xué)認(rèn)為∠1對AD,∠2對BC,就推出了AD=BC,顯然這是錯(cuò)誤的,因?yàn)锳D、BC不是“等圓心角對等弦”的弦.
[師]下面我們通過練習(xí)鞏固本節(jié)課的所學(xué)內(nèi)容. 課本P97
隨堂練習(xí)1、2、3 Ⅲ.課時(shí)小結(jié)
[師]通過這一節(jié)的學(xué)習(xí),在得出本節(jié)結(jié)論的過程中,回憶一下我們使用了哪些研究圖形的方法?(同學(xué)們之間相互討論、歸納)
[生]本節(jié)采用的方法有多種,利用折疊法研究了圓是軸對稱圖形;利用圓的軸對稱性研究了垂徑定理及其逆定理;利用旋轉(zhuǎn)的方法得到了圓的旋轉(zhuǎn)不變性,由圓的旋轉(zhuǎn)不變性,我們探究了圓心角、孤、弦、弦心距之間相等關(guān)系定理??
Ⅳ.課后作業(yè)
課本P98
習(xí)題3.3:
1、2 Ⅴ.活動與探究(略)板書設(shè)計(jì)
§3.2.2 圓的對稱性
一、圓的旋轉(zhuǎn)不變性
圓是中心對稱圖形,對稱中心為圓心.
二、圓心角、弧、弦之間相等關(guān)系定理. 證明:略
三、隨堂練習(xí)
四、課時(shí)小結(jié)
五、課后作業(yè)