第一篇：小結(jié)函數(shù)對(duì)稱性

小 結(jié) 函 數(shù) 對(duì) 稱 性

數(shù)學(xué)組

劉宏博

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的主線，是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，也是整個(gè)高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ).函數(shù)的性質(zhì)是競(jìng)賽和高考的重點(diǎn)與熱點(diǎn)，函數(shù)的對(duì)稱性是函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)，對(duì)稱關(guān)系不僅廣泛存在于數(shù)學(xué)問(wèn)題之中，而且利用對(duì)稱性往往能更簡(jiǎn)捷地使問(wèn)題得到解決，對(duì)稱關(guān)系還充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)之美.本文擬通過(guò)函數(shù)自身的對(duì)稱性和不同函數(shù)之間的對(duì)稱性這兩個(gè)方面來(lái)小結(jié)與函數(shù)對(duì)稱有關(guān)的性質(zhì).一、函數(shù)自身的對(duì)稱性

定理1.函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)對(duì)稱的充要條件是

f(x)+ f(2a－x)= 2b 證明：（必要性）設(shè)點(diǎn)P(x ,y)是y = f(x)圖像上任一點(diǎn)，∵點(diǎn)P(x ,y)關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)的對(duì)稱點(diǎn)P‘（2a－x，2b－y）也在y = f(x)圖像上，∴ 2b－y = f(2a－x)即y + f(2a－x)=2b故f(x)+ f(2a－x)= 2b，必要性得證.（充分性）設(shè)點(diǎn)P(x0,y0)是y = f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f(x0)∵ f(x)+ f(2a－x)=2b∴f(x0)+ f(2a－x0)=2b，即2b－y0 = f(2a－x0).故點(diǎn)P‘（2a－x0，2b－y0）也在y = f(x)圖像上，而點(diǎn)P與點(diǎn)P‘關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)對(duì)稱，充分性得征.推論：函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱的充要條件是f(x)+ f(－x)= 0 定理2.函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于直線x = a對(duì)稱的充要條件是

f(a +x)= f(a－x)即f(x)= f(2a－x)（證明留給讀者）推論：函數(shù) y = f(x)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的充要條件是f(x)= f(－x)定理3.①若函數(shù)y = f(x)圖像同時(shí)關(guān)于點(diǎn)A(a ,c)和點(diǎn)B(b ,c)成中心對(duì)稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個(gè)周期.②若函數(shù)y = f(x)圖像同時(shí)關(guān)于直線x = a 和直線x = b成軸對(duì)稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數(shù)，且2| a－b|是其一個(gè)周期.③若函數(shù)y = f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a ,c)成中心對(duì)稱又關(guān)于直線x =b成軸對(duì)稱（a≠b），則y = f(x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個(gè)周期.①②的證明留給讀者，以下給出③的證明： ∵函數(shù)y = f(x)圖像既關(guān)于點(diǎn)A(a ,c)成中心對(duì)稱，∴f(x)+ f(2a－x)=2c，用2b－x代x得： f(2b－x)+ f [2a－(2b－x)] =2c………………（*）又∵函數(shù)y = f(x)圖像直線x =b成軸對(duì)稱，∴ f(2b－x)= f(x)代入（*）得：

f(x)= 2c－f [2(a－b)+ x]…………（**），用2（a－b）－x代x得 f [2(a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b)+ x]代入（**）得：

f(x)= f [4(a－b)+ x],故y = f(x)是周期函數(shù)，且4| a－b|是其一個(gè)周期.二、不同函數(shù)之間的對(duì)稱性

定理4.函數(shù)y = f(x)與y = 2b－f(2a－x)的圖像關(guān)于點(diǎn)A(a ,b)成中心對(duì)稱.定理5.①函數(shù)y = f(x)與y = f(2a－x)的圖像關(guān)于直線x = a成軸對(duì)稱.②函數(shù)y = f(x)與a－x = f(a－y)的圖像關(guān)于直線x +y = a成軸對(duì)稱.③函數(shù)y = f(x)與x－a = f(y + a)的圖像關(guān)于直線x－y = a成軸對(duì)稱.定理4與定理5中的①②證明留給讀者，現(xiàn)證定理5中的③

設(shè)點(diǎn)P(x0 ,y0)是y = f(x)圖像上任一點(diǎn)，則y0 = f(x0)。記點(diǎn)P(x ,y)關(guān)于直線x－y = a的軸對(duì)稱點(diǎn)為P‘（x1，y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a，∴x0 = a + y1 , y0= x1－a 代入y0 = f(x0)之中得x1－a = f(a + y1)∴點(diǎn)P‘（x1，y1）在函數(shù)x－a = f(y + a)的圖像上.同理可證：函數(shù)x－a = f(y + a)的圖像上任一點(diǎn)關(guān)于直線x－y = a的軸對(duì)稱點(diǎn)也在函數(shù)y = f(x)的圖像上。故定理5中的③成立.推論：函數(shù)y = f(x)的圖像與x = f(y)的圖像關(guān)于直線x = y 成軸對(duì)稱.三、函數(shù)對(duì)稱性應(yīng)用舉例 例1：定義在R上的非常數(shù)函數(shù)滿足：f(10+x)為偶函數(shù)，且f(5－x)= f(5+x),則f(x)一定是（）

(B)是偶函數(shù)，但不是周期函數(shù)

(D)是奇函數(shù)，但不是周期函數(shù)(A)是偶函數(shù)，也是周期函數(shù)(C)是奇函數(shù)，也是周期函數(shù)

解：∵f(10+x)為偶函數(shù)，∴f(10+x)= f(10－x).∴f(x)有兩條對(duì)稱軸 x = 5與x =10，因此f(x)是以10為其一個(gè)周期的周期函數(shù)，∴x =0即y軸也是f(x)的對(duì)稱軸，因此f(x)還是一個(gè)偶函數(shù).故選(A)

例2.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且f(1+x)= f(1－x),當(dāng)－1≤x≤0時(shí)，f(x)= －1x，則f(8.6)= _________

2解：∵f(x)是定義在R上的偶函數(shù)∴x = 0是y = f(x)對(duì)稱軸；

又∵f(1+x)= f(1－x)∴x = 1也是y = f(x)對(duì)稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數(shù)，∴f(8.6)= f(8+0.6)= f(0.6)= f(－0.6)= 0.3 例3.設(shè)f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且f(x+2)= －f(x),當(dāng)0≤x≤1時(shí)，f(x)= x，則f(7.5)=（）

(A)

0.5(B)－0.5

(C)1.5

(D)－1.5 解：∵y = f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，∴點(diǎn)（0，0）是其對(duì)稱中心；

又∵f(x+2)= －f(x)= f(－x)，即f(1+ x)= f(1－x)，∴直線x = 1是y = f(x)對(duì)稱軸，故y = f(x)是周期為2的周期函數(shù).∴f(7.5)= f(8－0.5)= f(－0.5)= －f(0.5)=－0.5 故選(B)

第二篇：高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性和周期性小結(jié)

高中數(shù)學(xué)函數(shù)對(duì)稱性和周期性小結(jié)

一、函數(shù)對(duì)稱性：

1.2.3.4.5.6.7.8.f(a+x)= f(a-x)==> f(x)關(guān)于x=a對(duì)稱

f(a+x)= f(b-x)==> f(x)關(guān)于 x=(a+b)/2 對(duì)稱 f(a+x)=-f(a-x)==> f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，0）對(duì)稱 f(a+x)=-f(a-x)+ 2b ==> f(x)關(guān)于點(diǎn)（a，b）對(duì)稱

f(a+x)=-f(b-x)+ c ==> f(x)關(guān)于點(diǎn) [（a+b）/2，c/2] 對(duì)稱 y = f(x)與 y = f(-x)關(guān)于 x=0 對(duì)稱 y = f(x)與 y =-f(x)關(guān)于 y=0 對(duì)稱 y =f(x)與 y=-f(-x)關(guān)于點(diǎn)(0,0)對(duì)稱

例1：證明函數(shù) y = f(a+x)與 y = f(b-x)關(guān)于 x=(b-a)/2 對(duì)稱。

【解析】求兩個(gè)不同函數(shù)的對(duì)稱軸，用設(shè)點(diǎn)和對(duì)稱原理作解。

證明：假設(shè)任意一點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y = f(a+x)上，令關(guān)于 x=t 的對(duì)稱點(diǎn)Q（2t – m，n），那么n =f(a+m)= f[ b –(2t – m)] ∴ b – 2t =a，==> t =(b-a)/2，即證得對(duì)稱軸為 x=(b-a)/2.例2：證明函數(shù) y = f(ax)上，令關(guān)于 x=t 的對(duì)稱點(diǎn)Q（2t – m，n），那么n =f(a-m)= f[(2t – m)– b] ∴ 2ta)= 1 – 2/[f(x)+1]，等式右邊通分得f(xa)= [1 + f(x)]/[f(x)– 1]，即

/[f(xf(x)] ∴

/[f(x1/f(x)= f(x2a)==> f(x)= f(x + 4a)∴

函數(shù)最小正周期 T=|4a|

第三篇：函數(shù)的對(duì)稱性和周期性復(fù)習(xí)教案

函數(shù)的對(duì)稱性和周期性

株洲家教：***

函數(shù)的對(duì)稱性和周期性

一.明確復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.理解函數(shù)周期性的概念，會(huì)用定義判定函數(shù)的周期；

2.理解函數(shù)的周期性與圖象的對(duì)稱性之間的關(guān)系，會(huì)運(yùn)用函數(shù)的周期性處理一些簡(jiǎn)單問(wèn)題。3.掌握常見(jiàn)的函數(shù)對(duì)稱問(wèn)題

二、建構(gòu)知識(shí)網(wǎng)絡(luò)

一、兩個(gè)函數(shù)的圖象對(duì)稱性

y?f(x)與y??f(x)關(guān)于x軸對(duì)稱。

換種說(shuō)法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)??g(x)，即它們關(guān)于y?0對(duì)稱。

2、y?f(x)與y?f(?x)關(guān)于Y軸對(duì)稱。

換種說(shuō)法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(?x)，即它們關(guān)于x?0對(duì)稱。

1、y?f(x)與y?f(2a?x)關(guān)于直線x?a對(duì)稱。

換種說(shuō)法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(2a?x)，即它們關(guān)于x?a對(duì)稱。

4、y?f(x)與y?2a?f(x)關(guān)于直線y?a對(duì)稱。

換種說(shuō)法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(x)?2a，即它們關(guān)于y?a對(duì)稱。

5、y?f(x)與y?2b?f(2a?x)關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。

換種說(shuō)法：y?f(x)與y?g(x)若滿足f(x)?g(2a?x)?2b，即它們關(guān)于點(diǎn)(a,b)對(duì)稱。

a?b6、y?f(a?x)與y?(x?b)關(guān)于直線x?對(duì)稱。

23、二、單個(gè)函數(shù)的對(duì)稱性 性質(zhì)1：函數(shù)證明：在函數(shù)y?f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)時(shí)，函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于直線x?y?f(x)上任取一點(diǎn)(x1,y1)，則y1?f(x1)，點(diǎn)(x1,y1)關(guān)于直線

a?b對(duì)稱。2x?a?b的對(duì)稱點(diǎn)(a?b?x1,y1)，當(dāng)x?a?b?x1時(shí) 2f(a?b?x1)?f[a?(b?x1)]?f[b?(b?x1)]?f(x1)?y1

y?f(x)圖象上。故點(diǎn)(a?b?x1,y1)也在函數(shù)由于點(diǎn)(x1,y1)是圖象上任意一點(diǎn)，因此，函數(shù)的圖象關(guān)于直線x?（注：特別地，a=b=0時(shí)，該函數(shù)為偶函數(shù)。）

性質(zhì)2：函數(shù)證明：在函數(shù)（a?b對(duì)稱。2a?bc，）對(duì)稱。22y?f(x)滿足f(a?x)?f(b?x)?c時(shí)，函數(shù)y?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（y?f(x)上任取一點(diǎn)(x1,y1)，則y1?f(x1)，點(diǎn)(x1,y1)關(guān)于點(diǎn)

a?bc，）的對(duì)稱點(diǎn)（a?b?x1，c－y1），當(dāng)x?a?b?x1時(shí)，22f(a?b?x1)?c?f[b?(b?x1)]?c?f(x1)?c?y1 即點(diǎn)（a?b?x1，c－y1）在函數(shù)y?f(x)的圖象上。

由于點(diǎn)(x1,y1)為函數(shù)函數(shù)y?f(x)圖象上的任意一點(diǎn)可知

a?bc，）對(duì)稱。（注：當(dāng)a=b=c=0時(shí)，函數(shù)為奇函數(shù)。）22b?a性質(zhì)3：函數(shù)y?f(a?x)的圖象與y?f(b?x)的圖象關(guān)于直線x?對(duì)稱。

2y?f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)（證明：在函數(shù)y1）。y?f(a?x)上任取一點(diǎn)(x1,y1)，則y1?f(a?x1)，點(diǎn)(x1,y1)關(guān)于直線x?b?a對(duì)稱點(diǎn)（b?a?x1，2f[b?(b?a?x1)]?f[b?b?a?x1]?f(a?x1)?y1 故點(diǎn)（b?a?x1，y1）在函數(shù)y?f(b?x)上。由于

函數(shù)的對(duì)稱性和周期性

株洲家教：*** 由點(diǎn)(x1,y1)是函數(shù)因此y?f(a?x)圖象上任一點(diǎn)

y?f(a?x)與y?f(b?x)關(guān)于直線x?b?a對(duì)稱。

2三、周期性

1、一般地，對(duì)于函數(shù)么函數(shù)f(x)，如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個(gè)值時(shí)，都有f(x?T)?f(x)，那f(x)就叫做周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫做這個(gè)函數(shù)的周期。說(shuō)明：周期函數(shù)定義域必是無(wú)界的。

推廣：若f(x?a)?f(x?b)，則f(x)是周期函數(shù)，b?a是它的一個(gè)周期

?0,k?Z)也是周期，所有周期中最小的正數(shù)叫最小正周期。一般所說(shuō)的周期是指函數(shù)的最小2.若T是周期，則kT(k正周期。

說(shuō)明：周期函數(shù)并非都有最小正周期。如常函數(shù)

3、對(duì)于非零常數(shù)證明：

f(x)?C；

A，若函數(shù)y?f(x)滿足f(x?A)??f(x)，則函數(shù)y?f(x)必有一個(gè)周期為2A。

f(x?2A)?f[x?(x?A)]??f(x?A)??[?f(x)]?f(x)∴函數(shù)y?f(x)的一個(gè)周期為2A。

14、對(duì)于非零常數(shù)A，函數(shù)y?f(x)滿足f(x?A)?，則函數(shù)y?f(x)的一個(gè)周期為2A。

f(x)證明：f(x?2A)?f(x?A?A)?1?f(x)。

f(x?A)1，則函數(shù)y?f(x)的一個(gè)周期為2A。f(x)

5、對(duì)于非零常數(shù)A，函數(shù)y?f(x)滿足f(x?A)??證明：f(x?2A)?f(x?A?A)??A，函數(shù)y?f(x)滿足

6、對(duì)于非零常數(shù)

1?f(x)。

f(x?A)A1?f(x)A1?f(x)f(x?)?或f(x?)?21?f(x)21?f(x)則函數(shù)

y?f(x)的一個(gè)周期為2A。

證明：先看第一個(gè)關(guān)系式

3A)3AAf(x?2A)?f(x? ?)?3A221?f(x?)2A1?1?f(x?A)1?f(x?A?)1?f(x?A)2????f(x?A)A1?f(x?A)1?f(x?A?)1?21?f(x?A)f(x?2A)??f(x?A)f(x?A)?f(x)?f(x)?f(x?2A)

1?f(x?第二個(gè)式子與第一的證明方法相同

f(x)的定義域?yàn)镹，且對(duì)任意正整數(shù)x

都有f(x)?f(x?a)?f(x?a)(a?0)則函數(shù)的一個(gè)周期為6a 證明：f(x)?f(x?a)?f(x?a)

（1）

f(x?a)?f(x)?f(x?2a)

（2）兩式相加得：f(x?a)??f(x?2a)

f(x)??f(x?3a)?f(x?6a)

四、對(duì)稱性和周期性之間的聯(lián)系

7、已知函數(shù)性質(zhì)1：函數(shù)y?f(x)滿足f(a?x)?f(a?x)，f(b?x)?f(b?x)(a?b)，求證：函數(shù)y?f(x)是周期函數(shù)。

函數(shù)的對(duì)稱性和周期性

株洲家教：***

f(a?x)?f(a?x)得f(x)?f(2a?x)

f(b?x)?f(b?x)得f(x)?f(2b?x)∴f(2a?x)?f(2b?x)∴f(x)?f(2b?2a?x)

∴函數(shù)y?f(x)是周期函數(shù)，且2b?2a是一個(gè)周期。

性質(zhì)2：函數(shù)y?f(x)滿足f(a?x)?f(a?x)?c和f(b?x)?f(b?x)?c(a?b)時(shí)，函數(shù)y?f(x)是周期函證明：∵數(shù)。（函數(shù)y?f(x)圖象有兩個(gè)對(duì)稱中心（a，cc）、（b，）時(shí)，函數(shù)y?f(x)是周期函數(shù)，且對(duì)稱中心距離的兩倍，22是函數(shù)的一個(gè)周期）

證明：由f(a?x)?f(a?x)?c?f(x)?f(2a?x)?c)?f(b?x)??cf(x)?f(2b?x)? c

f(b?x

得f(2a?x)?f(2b?x)

得f(x)?f(2b?2a?x)

∴函數(shù)y?f(x)是以2b?2a為周期的函數(shù)。性質(zhì)3：函數(shù)y?f(x)有一個(gè)對(duì)稱中心（a，c）和一個(gè)對(duì)稱軸x?b（a≠b）時(shí)，該函數(shù)也是周期函數(shù)，且一個(gè)周期是4(b?a)。

f(a?x)?f(a?x)?2c?f(x)?f(2a?x)?2c

f(b?x)?f(b?x)?f(x)?f(2b?x)

f(4(b?a)?x)?f(2b?(4a?2b?x))

f(4a?2b?x)?f(2a?(2b?2a?x))?2c?f(2b?2a?x)

?2c?f(2b?(2a?x))?2c?f(2a?x)

?2c?(2c?f(x))?2c?2c?f(x)?f(x)

推論：若定義在R上的函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x?a和點(diǎn)(b,0)(a?b)對(duì)稱，則f(x)是周期函數(shù)，4(b?a)是證明：它的一個(gè)周期

證明：由已知f(x)?f(2a?x),f(x)??f(2b?x).?f(x)?f(2a?x)??f[2b?(2a?x)]??f[2(b?a)?x] ??f[2a?2(b?a)?x]??f[2(2a?b)?x]?f[2b?2(2a?b)?x]?f[4(b?a)?x],周期為4(b?a).舉例:y?sinx等.性質(zhì)4：若函數(shù)f(x)對(duì)定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x?a)?f(x?a),則2a為函數(shù)f(x)的周期。（若f(x)滿足f(x?a)?f(x?a)則f(x)的圖象以x?a為圖象的對(duì)稱軸，應(yīng)注意二者的區(qū)別)證明：?f(x?a)?f(x?a)?f(x)?f(x?2a)

性質(zhì)5：已知函數(shù)y?f?x?對(duì)任意實(shí)數(shù)x,都有f?a?x??f?x??b，則y?f?x?是以

2a為周期的函數(shù) 證明：f(a?x)?b?f(x)

f(x?2a)?f((x?a)?a)?b?f(x?a)?b?(b?f(x))?f(x)

五、典型例題

例1（2005·福建理）f(x)是定義在R上的以3為周期的奇函數(shù)，且f(2)?0，則方程f(x)?0在區(qū)間（0，6）內(nèi)解的個(gè)數(shù)的最小值是（）A．2

B．3 解：

C．4

D．5)f(x)是R上的奇函數(shù)，則f(0?)0，由f(x?3?f(2)?0?f(?1)?0?f(1)?0

∴f(4)?0 ∴x=1，2，3，4，5時(shí)，f(x)?0

這是答案中的五個(gè)解。

?但是

f(?1?5)?f(f(x得)f(3)?0，f(2)?0?f(5)?0

1?5?3)?f(1 ?)?f?(1 5)f(1?5)?0 又

f(?1?5?知?5)?f(1?5?3?)f(? 4而

0?f(1知 x?1.5,x?4.5,f(x)?0也成立，可知：在（0，6）內(nèi)的解的個(gè)數(shù)的最小值為7。例3 已知定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x?2)??f(x)，則f(6)的值為（）(A)－1

(B)0

(C)

(D)2

函數(shù)的對(duì)稱性和周期性

株洲家教：*** 解：因?yàn)樗运詅(x)是定義在R上的奇函數(shù)

f(0)?0，又f(x?4)??f(x?2)?f(x)，故函數(shù)，f(x)的周期為4 f(6)?f(2)??f(0)?0，選B

f(x)滿足f(x?2)??f(x),且x?(0,1)時(shí),f(x)?2x,則f(log118)的值為。

2例4．已知奇函數(shù)解：?f(x?2)??f(x)?f?x???f(x?2)?f(x?4)

89f(log118)?f(?log218)?f(4?log218)?f(log2)?f(?log2)

9829log299??f(log2)??28??

88例5 已知f(x)是以2為周期的偶函數(shù)，且當(dāng)x?(0,1)時(shí)，f(x)?x?1.求f(x)在(1,2)上的解析式。

解法1：

從解析式入手，由奇偶性結(jié)合周期性，將要求區(qū)間上問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知解析式的區(qū)間上

∵x?(1,2), 則?x?(?2,?1)

∴2?x?(0,1), ∵ T?2，是偶函數(shù)

∴ f(x)?f(?x)?f(2?x)?2?x?1?3?x

x?(1,2)

解法2：

f(x)?f(x?2)

如圖：x?(0,1), f(x)?x?1.∵是偶函數(shù) ∴x?(?1,0)時(shí)f(x)?f(?x)??x?1

又周期為2，x?(1,2)時(shí)x?2?(?1,0)∴f(x)?f(x?2)??(x?2)?1?3?x

例6 f(x)的定義域是R，且f(x?2)[1?f(x)]?1?f(x),若f(0)?2008（從圖象入手也可解決，且較直觀）求 f(2008)的值。

f(x?4)?1?1f(x?2)?1f(x?4)?1?1???f(x?8)解：f(x)?f(x?2)?1f(x?4)?1?1f(x?4)f(x?4)?1周期為8，?f(2008)?f(0)?2008

1例7 函數(shù)f?x?對(duì)于任意實(shí)數(shù)x滿足條件f?x?2??，若f?1???5,則f?f?5???

f?x?_______________。解：由f?x?2??1f?x?得

f?x?4??1?f(x)f?x?2?，所以

f(5)?f(1)??5，則

11??

f(?1?2)5例8 若函數(shù)f(x)在R上是奇函數(shù)，且在??1，0?上是增函數(shù)，且f(x?2)??f(x).①求f(x)的周期；

②證明f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(2k,0)中心對(duì)稱;關(guān)于直線x?2k?1軸對(duì)稱,(k?Z);③討論f(x)在(1,2)上的單調(diào)性； f?f?5???f(?5)?f(?1)?

解: ①由已知f(x)??f(x?2)?f(x?2?2)?f(x?4)，故周期T?4.②設(shè)P(x,y)是圖象上任意一點(diǎn),則y?f(x),且P關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱的點(diǎn)為P1(4k?x,?y).P關(guān)于直線x?2k?1對(duì)稱的點(diǎn)為P2(4k?2?x,y)

函數(shù)的對(duì)稱性和周期性

株洲家教：***

f(4k?x)?f(?x)??f(x)??y,∴點(diǎn)P1在圖象上,圖象關(guān)于點(diǎn)(2k,0)對(duì)稱.又f(x)是奇函數(shù),f(x?2)??f(x)?f(?x)∴f(4k?2?x)?f(2?x)?f(x)?y

x?2k?1對(duì)稱.∴點(diǎn)P2在圖象上,圖象關(guān)于直線∵x1?x2?2，則?2??x2??x1??1，0?2?x2?2?x1?1

∵f(x)在(?1,0)上遞增, ∴f(2?x1)?f(2?x2)……(*)又f(x?2)??f(x)?f(?x)

∴f(2?x1)?f(x1),f(2?x2)?f(x2).所以：f(x2)?f(x1)，f(x)在(1,2)上是減函數(shù).例9 已知函數(shù)y?f(x)是定義在R上的周期函數(shù)，周期T?5，函數(shù)y?f(x)(?1?x?1)是奇函數(shù).又知y?f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，在[1,4]上是二次函數(shù)，且在x?2時(shí)函數(shù)取得最小值?5.（1）證明：f(1)?f(4)?0；

（2）求y?f(x),x?[1,4]的解析式；（3）求y?f(x)在[4,9]上的解析式.解：∵f(x)是以5為周期的周期函數(shù)，且在[?1,1]上是奇函數(shù)，∴f(1)??f(?1)??f(5?1)??f(4)，∴f(1)?f(4)?0.2②當(dāng)x?[1,4]時(shí)，由題意可設(shè)f(x)?a(x?2)?5(a?0)，22由f(1)?f(4)?0得a(1?2)?5?a(4?2)?5?0，∴a?2，f(x)?2(x?2)2?5(1?x?4).③∵y?f(x)(?1?x?1)是奇函數(shù)，∴f(0)?0，又知y?f(x)在[0,1]上是一次函數(shù)，∴可設(shè)f(x)?kx(0?x?1)∴③設(shè)1?f(1)?2(1?2)2?5??3，∴k??3，∴當(dāng)0?x?1時(shí)，f(x)??3x，從而?1?x?0時(shí)，f(x)??f(?x)??3x，故?1?x?1時(shí)，f(x)??3x.∴當(dāng)4?x?6時(shí)，有?1?x?5?1，∴f(x)?f(x?5)??3(x?5)??3x?15.當(dāng)6?x?9時(shí)，1?x?5?4，22∴f(x)?f(x?5)?2[(x?5)?2]?5?2(x?7)?5

??3x?15,4?x?6∴f(x)??.2?2(x?7)?5,6?x?9而

第四篇：復(fù)變函數(shù)小結(jié)

復(fù)變函數(shù)小結(jié) 第一章 復(fù)變函數(shù)

1)掌握復(fù)數(shù)的定義(引入),知道復(fù)數(shù)的幾何意義(即復(fù)數(shù)可看成復(fù)數(shù)平面的一個(gè)點(diǎn)也可以表示為復(fù)數(shù)平面上的向量)2)掌握 復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示與三角表示式及指數(shù)表示式的關(guān)系.3)掌握復(fù)數(shù)的幾種運(yùn)算:(1)相等;(2)加法;(3)減法;(4)乘法;(5)除法;(6)開(kāi)方;(7)共軛.需要注意的是開(kāi)方 : 開(kāi)n次有n個(gè)根.例題

nz1?n?1ei??0?2?k??n?1ei??0?2?k?n,?k?0,1,2,?n?1?

4)掌握復(fù)變函數(shù)的定義,知道復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)的定義.5)熟悉幾個(gè)常用的基本初等函數(shù)及性質(zhì):(1)多項(xiàng)式;(2)有理分式;(3)根式;(4)指數(shù);(5)三角函數(shù).6)掌握復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義, 因復(fù)變函數(shù)導(dǎo)數(shù)的定義在形式上跟實(shí)變函數(shù)的導(dǎo)數(shù)定義一樣,故實(shí)變函數(shù)中關(guān)于導(dǎo)數(shù)的規(guī)則和公式在復(fù)變函數(shù)情況仍適用.7)復(fù)變函數(shù)可導(dǎo)的充要條件是:(1)函數(shù)f(z)的實(shí)部u 與虛部的偏導(dǎo)數(shù)存在,且連續(xù).?u?u?v?v，,?x?y?x?y(2)滿足 C-R條件

?u?v?u?v?,??.?x?y?y?x8)知道復(fù)變函數(shù)解析的定義,復(fù)變函數(shù)解析,可導(dǎo)及連續(xù)的關(guān)系.9)解析函數(shù)的性質(zhì):

(1)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實(shí)部u與虛部v的等值(勢(shì))線互相正交.(2)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實(shí)部u與虛部v均為調(diào)和函數(shù).(3)若f(z)在區(qū)域B上解析,則f(z)的實(shí)部u與虛部v 不是獨(dú)立的,可由己知解析函數(shù)的實(shí)部u(或v)求出解析函數(shù)f(z).具體求法有3種

:1.直接積分法;2.湊全微分法;3.路徑積分法.10)解析函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用:

平面標(biāo)量場(chǎng).11)知道復(fù)變函數(shù)中多值性的起源在于幅角,只需對(duì)幅角作限定(一般限定在主值范圍,且一般把幅角作限定的復(fù)變平面稱為黎曼面.),多值函數(shù)就退化為單值函數(shù).第二章 復(fù)變函數(shù)的積分

1)知道復(fù)變函數(shù)積分的定義,以及它與實(shí)變函數(shù)的路徑的關(guān)系.2)掌握單連通區(qū)域與復(fù)連通區(qū)域上Cauchy定理及數(shù)學(xué)表示式:?f?z?dz?0(1)其中l(wèi)為區(qū)域的所有邊界線.l

對(duì)單連通區(qū)域(1)可表示為

?lf?z?dzn?0,(2)對(duì)復(fù)連通區(qū)域(1)也可表示為:

?f?z?dz???f?z?dzli?1ci(3)其中l(wèi)為區(qū)域的外邊界線,ci為區(qū)域的內(nèi)邊界線.(3)式反映對(duì)復(fù)連通區(qū)域的解析函數(shù)沿外邊界的積分值與沿內(nèi)邊界積分的關(guān)系.作為(3)式一個(gè)特例: 包含一個(gè)奇點(diǎn)的任意一個(gè)閉合曲線積分值相同,它為求積分帶來(lái)方便.n??z?adz?l?0,?n??1?一個(gè)重要的積分公式: ?z?a?ndz?2?i,?n??1?

?l其中l(wèi) 包含a 點(diǎn).Cauchy定理為本章的重點(diǎn).3)解析函數(shù)的不定積分.f?z??f'12?i12?i?llf???d???z?z),4)Cauchy公式

?z???z???(?lf???d?2, ,fnn!2?i?(?f???d??z)n?1若對(duì)復(fù)連通區(qū)域 l 為區(qū)域的所有邊界線.第三章 冪級(jí)數(shù)

1)了解一般的復(fù)數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù),知道級(jí)數(shù)收斂的Cauchy判據(jù),絕對(duì)收斂與一致收斂的概念,掌握外氏定理及運(yùn)用.2)掌握冪級(jí)數(shù)的一般形式,收斂半徑的計(jì)算(R?limn??anan?1)，知道冪級(jí)數(shù)在收斂圓內(nèi)絕對(duì)且一致收斂，能逐項(xiàng)求導(dǎo)與積分.3)掌握解析函數(shù)在單連通區(qū)域的Taylor 展開(kāi)式: ?f?z???a?z?z?k0k?0k,ak?fk?z0?k!

知道Taylor 展開(kāi)式是唯一的,即同一個(gè)函數(shù)在同一區(qū)域的展開(kāi)式不管用什么方法得出其結(jié)果是相同的.熟悉一些基本的Taylor 展開(kāi)式: 例?1?ez,?2?cosz,sinz,?3?11?z,?4?ln?1?z?

知道函數(shù)在無(wú)窮運(yùn)點(diǎn)的展開(kāi)式.4)掌握解析函數(shù)在復(fù)連通區(qū)域的洛朗 展開(kāi)式: f?z???a?z?kk????z0?,其中akk??2?i??c1f???d??z0?k?1，c為環(huán)域內(nèi)任一沿逆時(shí)針?lè)较虻拈]合曲線.知道洛朗 展開(kāi)式是唯一的,即同一個(gè)函數(shù)在同一環(huán)域的展開(kāi)式不管用什么方法得出其結(jié)果是相同的.所以對(duì)洛朗展開(kāi)可利用熟悉的一些基本Taylor展開(kāi)式來(lái)處理,例如對(duì)有理分式總可以把它分解為一系列最簡(jiǎn)單的有理分式（1z?z0)之和, 而對(duì)1z?z0能用等比級(jí)數(shù)來(lái)展開(kāi)(關(guān)鍵是滿足公比的絕對(duì)值小11?z?于1).并與

??k?0z,z?1 比較.知道在什么情況下洛

k朗展開(kāi)就退化為T(mén)aylor展開(kāi).5)掌握孤立奇點(diǎn)的分類方法:(1)可去奇點(diǎn):設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開(kāi)時(shí),其洛朗展開(kāi)式中沒(méi)有負(fù)冪項(xiàng),就稱z0是f(z)的可去奇點(diǎn).性質(zhì)limf?z??a

a為常數(shù).z?z0(2)m階極點(diǎn): 設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開(kāi)時(shí),其洛朗展開(kāi)式中有有限項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng),其負(fù)冪項(xiàng)的最高冪為m,就稱z0是f(z)的m階極點(diǎn).性質(zhì)limf?z??z?z0?.(4)本性奇點(diǎn): 設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開(kāi)時(shí),其洛朗展開(kāi)式中有無(wú)窮多項(xiàng)負(fù)冪項(xiàng),就稱z0是f(z)的本性奇點(diǎn).性質(zhì)limf?z?不存在z?z0

知道函數(shù)在無(wú)窮運(yùn)點(diǎn)奇點(diǎn)的分類.第四章 留數(shù)定理

1)掌握留數(shù)定理及其計(jì)算

?f?z?dzl?2?i?Resf?zi?,其中zi為l內(nèi)的奇點(diǎn)i?1n 2)掌握留數(shù)計(jì)算的兩種方法

(1)洛朗展開(kāi) : 設(shè)z0是f(z)的奇點(diǎn)當(dāng)f(z)在z=z0的鄰域上展開(kāi)時(shí),其洛朗展開(kāi)式中的負(fù)一次冪的系數(shù)a-1=Resf(z0).任何情況都適合.(2)對(duì)m階極點(diǎn)Resf?z0??lim?mz?z01dn?1n?1?1?!dz??z?z0?f?z??,作為一個(gè)特例,若f(z)=P(z)/ Q(z),當(dāng)f(z)為一階極點(diǎn), P?z0??0,Q?z0??0,Resf?z0??? 'Q?z0?P?z0主要處理有理分式中分母為單根情況.3)應(yīng)用留數(shù)定理計(jì)算實(shí)變函數(shù)定積分 ?類型一

2??0?z?z?1z?z?1R?cos?,sin??d???R?,?22i?z?1?dz??iz?2?i?Resf?zi?,?1???1??iz?zi為f?z?在單單位圓的奇點(diǎn)?z?z?1z?z?1,f?z??R?,?22i?

?1)被積函數(shù)為三角函數(shù)的有理分式.2)積分區(qū)域?yàn)閇0,2π] 作變換z=eiθ,當(dāng)θ從變到2π時(shí),復(fù)變數(shù)z恰好在單位圓上走一圈.類型二

積分條件: 1)積分區(qū)域?yàn)?-∞,∞)

2)f(z)在實(shí)軸有一價(jià)極點(diǎn)bk,且在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)ak外是解析的，3)當(dāng)z→∞時(shí),zf(z)→0 ??f?x?dx???2?i?Resf?ak???i?Resf?bk?.(2)

k?1k?1mp

?類型三

(m>0)???f?x?eimxdx,令F?z??f?z?eimz

積分條件: 1)積分區(qū)域?yàn)?-∞,∞)

2)f(z)在實(shí)軸有一價(jià)極點(diǎn)bk,且在上半平面除有限個(gè)奇點(diǎn)ak外是解析的，3)當(dāng)z→∞時(shí),f(z)→0, ??f?x?e???imxdx?2?i?ResF?ak???i?ResF?bk?k?1k?1mp

(3)當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)(3)為?f?x?sin0mxdx??[?ResF?ak??k?1?m1pRe?2k?1?sF?bk?]當(dāng)f??x?為偶函數(shù)時(shí),???mf?x?eimxdx?2?f?x?cosmxdx,0

?f?x?cosmxdx0??i[?ResF?ak??k?11pRe?2k?1sF?bk?]

第五篇：可測(cè)函數(shù)小結(jié)

可測(cè)函數(shù)

（一）可測(cè)函數(shù)的定義

1、在可測(cè)函數(shù)定義的學(xué)習(xí)過(guò)程中，對(duì)于可測(cè)函數(shù)的表示：?a∈R, 有{x | > a}可測(cè)，則f(x)可測(cè) ；用簡(jiǎn)單間函數(shù)列來(lái)表示：有簡(jiǎn)單函數(shù)列{φn},f(x)滿足limφn = f(x), 則f(x)可測(cè)；由魯津定理得用連續(xù)函數(shù)逼近可測(cè)函數(shù)；n??通過(guò)本章可測(cè)函數(shù)的學(xué)習(xí)，要把這三種關(guān)系透徹理解、掌握。

2、簡(jiǎn)單函數(shù)的引入對(duì)于學(xué)習(xí)討論可測(cè)函數(shù)、L積分都有重要的意義。簡(jiǎn)單函數(shù)是常量函數(shù)、分段函數(shù)的進(jìn)一步擴(kuò)展。通過(guò)簡(jiǎn)單函數(shù)，對(duì)可測(cè)函數(shù)及L積分的討論從簡(jiǎn)到繁、從特殊到一般過(guò)渡；要證明某個(gè)命題對(duì)于可測(cè)函數(shù)（或其一部分）成立，可先證明該命題對(duì)簡(jiǎn)單函數(shù)成立，再由極限過(guò)程過(guò)渡到一般可測(cè)函數(shù)。

3、可測(cè)函數(shù)列的等價(jià)條件。

（二）可測(cè)函數(shù)列的收斂性

由L測(cè)度建立的L積分理論中，零測(cè)度集不影響函數(shù)的可積性和積分值。實(shí)變函數(shù)中的L積分與數(shù)學(xué)分析中的R積分，有一個(gè)很重要的不同點(diǎn)，就是命題的成立引入了“幾乎處處”的概念。

對(duì)于可測(cè)函數(shù)列的三種強(qiáng)度不等的收斂定義：幾乎一致收斂、幾乎處處收斂、依測(cè)度收斂，要理解其意義與作用及相互關(guān)系。

可測(cè)函數(shù)列{fn(x)}處處收斂與依測(cè)度收斂雖然有很大區(qū)別，但仍有密切聯(lián)系，主要表現(xiàn)在于：

（1）處收斂的函數(shù)列可能不是依測(cè)度收斂，依測(cè)度收斂的函數(shù)列仍右能不是處處收斂。（2）若{fn(x)}依測(cè)度收斂f(x)，則必有子列{fn i(x)}幾乎處處收斂

于f(x)。

（3）幾乎一致收斂函數(shù)列{fn(x)}一定依測(cè)度收斂于同一函數(shù) ；反之，若{fn(x)}依測(cè)度收斂于f(x)，則存在子列幾乎一致收斂函數(shù)f(x)。

（三）函數(shù)可測(cè)與連續(xù)的關(guān)系——魯津定理

區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)、單調(diào)函數(shù)、簡(jiǎn)單函數(shù)都是可測(cè)函數(shù)，所以可測(cè)函數(shù)類比連續(xù)函數(shù)類更廣。魯津定理給出了連續(xù)函數(shù)與可測(cè)函數(shù)的關(guān)系，表明用連續(xù)函數(shù)可以“逼近”可測(cè)函數(shù)，從而用我們比較熟悉的連續(xù)函數(shù)去把握比較抽象的可測(cè)函數(shù)，在某些情況下可以適當(dāng)?shù)匕芽蓽y(cè)函數(shù)轉(zhuǎn)換為連續(xù)函數(shù)。

函數(shù)可測(cè)與連續(xù)關(guān)系的主要結(jié)論有：（1）閉集上的連續(xù)函數(shù)可測(cè)；（2）任一可測(cè)集上的連續(xù)函數(shù)可測(cè)；

（3）f于E幾乎處處有限可測(cè)，則存在閉集F?E，m(E-F)< ε，有連續(xù)函數(shù)g, 在F上有 f(x)= g(x).上述結(jié)論揭示了連續(xù)函數(shù)與可測(cè)函數(shù)的密切聯(lián)系，這種關(guān)系讓我們對(duì)于可測(cè)函數(shù)的了解更加深入，也是研究可測(cè)函數(shù)的有效手段。

魯津定理給出了可測(cè)函數(shù)的一種構(gòu)造，定理所述的結(jié)論是使函數(shù)為可測(cè)的一個(gè)充分條件。魯津定理的結(jié)論可作為可測(cè)函數(shù)的定義，由此可建立可測(cè)函數(shù)的另一種觀點(diǎn)。