第一篇：怎樣證明直線與圓相切？

怎樣證明直線與圓相切？

在直線與圓的各種位置關(guān)系中，相切是一種重要的位置關(guān)系．

現(xiàn)介紹以下三種判別直線與圓相切的基本方法：

(1)利用切線的定義——在已知條件中有“半徑與一條直線交于半徑的外端”，于是只需直接證明這條直線垂直于半徑的外端．

例1：已知：△ABC內(nèi)接于⊙O，⊙O的直徑AE交BC于F點(diǎn)，點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上，且∠CAP=∠ABC．

求證：PA是⊙O的切線．

證明：連接EC．

∵AE是⊙O的直徑，∴∠ACE=90°，∴∠E＋∠EAC=90°．

∵∠E=∠B，又∠B=∠CAP，∴∠E=∠CAP，∴∠EAC＋∠CAP=∠EAC＋∠E=90°，∴∠EAP=90°，∴PA⊥OA，且過(guò)A點(diǎn)，則PA是⊙O的切線．

(2)利用切線的判定定理——在已知條件中，有“一條直線過(guò)圓上某一公共點(diǎn)(即為切點(diǎn))，但沒(méi)有半徑”，于是先連接圓心與這個(gè)公共點(diǎn)成為半徑，然后再證明這條直線和這條半徑垂直．

例2：以Rt△ABC的直角邊BC為直徑作⊙O交斜邊AB于P，Q為AC的中點(diǎn)． 求證：PQ必為⊙O的切線．

證明 連接OP，CP．

∵BC為直徑，∴∠BPC=90°，即∠APC=90°．

又∵Q為AC中點(diǎn)，∴QP=QC，∴∠1=∠2．

又OP=OC，∴∠3=∠4．

又∠ACB=90°，∴∠2＋∠4=∠1＋∠3=∠ACB＝90°，∴∠OPQ=90°．

∵P點(diǎn)在⊙O上，且P為半徑OP的端點(diǎn)，則QP為⊙O的切線．

說(shuō)明：要證PQ與半徑垂直，即連接OP．這是判別相切中添輔助線的常用方法．

(3)證明“d=R”——在已知條件中“沒(méi)有半徑，也沒(méi)有與圓有公共交點(diǎn)的直線”，于是過(guò)圓心作直線的垂線，然后再證明這條垂線的長(zhǎng)(d)等于圓的半徑(R)．

例3：已知：在△ABC中，AD⊥BC與D，且AD=BC，E、F為AB、AC的中點(diǎn)，O為EF2的中點(diǎn)。

求證：以EF為直徑的圓與BC相切．

證明：作OH⊥BC于H，設(shè)AD與EF交于M，又AD⊥BC，∴OH∥MD，則OHDM是矩形．

∴OH是⊙O的半徑，則EF為直徑的圓與BC相切.思考題：

1．AB是⊙O的直徑，AC是弦，AC=CD，EF過(guò)點(diǎn)C，EF⊥BD于G．

求證：EF是⊙O的切線．

提示：連接CO，則OC是⊙O的半徑，再證OC⊥EF．

2．DB是圓的直徑，點(diǎn)A在DB的延長(zhǎng)線上，AB=OB，∠CAD=30°．求證：AC是⊙O的切線．

提示：∵AC與⊙O沒(méi)有公共點(diǎn)，∴作OE⊥AC于E，再證OE是⊙O的半徑．

第二篇：證明直線與圓相切的常見(jiàn)方法（定稿）

證明直線與圓相切的常見(jiàn)方法

學(xué)習(xí)了直線與圓的位置關(guān)系,常會(huì)遇到證明一條直線是圓的切線的題目,如何證明一條直線是圓的切線,一般會(huì)出現(xiàn)以下三種情況.一、若證明是圓的切線的直線與圓有公共點(diǎn),且存在連接公共點(diǎn)的半徑,此時(shí)可根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線”來(lái)證明.簡(jiǎn)記為“見(jiàn)半徑，證垂直”.例1如圖1,已知AB為⊙O的直徑,直線PA過(guò)點(diǎn)A,且∠PAC=∠B.求證:PA是⊙O的切線.圖 1分析：要證明PA是⊙O的切線，因?yàn)锳B是⊙O的直徑，所以只要證明AB⊥AP.可結(jié)合直徑所對(duì)的圓周為直角進(jìn)行推理.證明：因?yàn)锳B為⊙O的直徑，所以∠ACB=90°，所以∠CAB+∠B=90°，因?yàn)椤螾AC=∠B，所以∠CAB+∠PAC=90°，即∠BAP=90°，所以PA是⊙O的切線.二、若給出了直線與圓的公共點(diǎn)，但未給出過(guò)這點(diǎn)的半徑，則連結(jié)公共點(diǎn)和圓心，然后根據(jù)“經(jīng)過(guò)半徑外端且垂直這條半徑的直線是圓的切線”來(lái)證明.簡(jiǎn)記為“作半徑，證垂直”.例2如圖2，已知⊙Ｏ是△ABC的外接圓，AB是⊙Ｏ的直徑，D是AB的延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，AE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AC平分∠EAB．

求證：DE是⊙O的切線．

證明：連接OC，則OA=OC，所以∠CAO=∠ACO，因?yàn)锳C平分∠EAB，所以∠EAC=∠CAO=∠ACＯ，所以AE∥CO，又AE⊥DE，所以CO⊥DE，所以DE是⊙O的切線．

三、若直線與圓的公共點(diǎn)不明確時(shí)，則過(guò)圓心作該直線的垂線段，然后根據(jù)“圓心到直線的距離等于圓的半徑，該直線是圓的切線”來(lái)證明.簡(jiǎn)記為“作垂直，證相等”.例3如圖3，已知，O為正方形ABCD對(duì)角線上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OA的長(zhǎng)為半徑的⊙O與BC相切于M，與AB、AD分別相交于E、F.求證：CD與⊙O相切．

圖3

分析：要識(shí)別“CD與⊙O相切”，由于不知道CD經(jīng)過(guò)圓上哪一點(diǎn)，所以先過(guò)點(diǎn)O作：ON⊥CD于N，再證明ON是⊙O半徑。易知OM是⊙O的半徑，只要證明：OM=ON即可.證明：連結(jié)OM，作ON⊥CD于N，因?yàn)?⊙O與BC相切，所以 OM⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以 AC平分∠BCD.所以O(shè)M=ON.圖 4

所以CD與⊙O相切.總結(jié)： 切線判斷并不難，認(rèn)真審題是重點(diǎn)；直線與圓有交點(diǎn)，連接半徑是關(guān)鍵，推得垂直是切線；若沒(méi)明確是切點(diǎn)，作過(guò)圓心垂線段，半徑相等得切線.

第三篇：圓錐曲線與直線相切的條件教案

圓錐曲線與直線相切的條件教案

教學(xué)目的(1)掌握?qǐng)A錐曲線與直線相切的條件及圓錐曲線切線的定義；

(2)使學(xué)生會(huì)用初等數(shù)學(xué)方法求圓錐曲線的切線；

(3)應(yīng)用相切的公式解題，從而培養(yǎng)學(xué)生綜合應(yīng)用能力．

教學(xué)過(guò)程

一、問(wèn)題提出

1．有心的二次曲線包括哪些？無(wú)心的二次曲線包括哪些？

(答：有心的二次曲線是圓、橢圓及雙曲線；無(wú)心的二次曲線是拋物線．)

(由教師啟發(fā)下，讓學(xué)生共同討論．)

(1)當(dāng)α＞0，β＞0且α＝β時(shí)，方程表示為圓；

(2)當(dāng)α＞0，β＞0且α≠β時(shí)，方程表示為橢圓；

(3)當(dāng)α、β為異號(hào)時(shí)，方程表示為雙曲線．

因此，這個(gè)方程可以統(tǒng)一表示有心的二次曲線．

3．圓錐曲線與直線的相切的條件是什么？

設(shè)直線l′與圓錐曲線相交于P、Q兩點(diǎn)(圖1)，將直線l′繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)Q逐漸靠近點(diǎn)P，當(dāng)l′轉(zhuǎn)到直線l的位置時(shí)，點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，這時(shí)，直線l叫做圓錐曲線在點(diǎn)P的切線．也就是圓錐曲線與直線l相切．根據(jù)這個(gè)定義，于是圓錐曲線方程

f(x，y)＝0

與直線方程

y＝kx＋m

組成的方程組應(yīng)有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解．實(shí)系數(shù)一元二次方程有兩個(gè)相同的實(shí)數(shù)解的充要條件是判別式Δ＝0，根據(jù)條件轉(zhuǎn)化為求Δ＝0．

(啟發(fā)學(xué)生回答，由教師歸納，然后板書(shū)課題．)

今天我們要研究“圓錐曲線與直線相切的條件”．

二、講述新課

根據(jù)上面分析，得

由②代入①，化簡(jiǎn)、整理得(αk2＋β)x2＋2αkmβ＋α(m2－β)＝0．③

當(dāng)αk＋β≠0時(shí)(二次項(xiàng)系數(shù))，Δ＝4αkm－4α(αk＋β)(m－β)

＝4α2k2m2－4α2k2m2＋4α2k2β－4αβm2＋4αβ2

＝4αβ(αk2＋β－m2)．

(啟發(fā)學(xué)生討論．)

由于α、β均不為零，因此當(dāng)Δ＝0時(shí)可知有心二次曲線與直線y＝kx＋m相切的充要條件為

m2＝αk2＋β，(αk2＋β≠0)④

這里αk2＋β恰是方程③的二次項(xiàng)系數(shù)．

(引導(dǎo)學(xué)生對(duì)結(jié)論④，在圓、橢圓、雙曲線各種情況下變化規(guī)律進(jìn)行討論，教師邊歸納，邊板書(shū)．)

(1)對(duì)于圓x2＋y2＝γ2，可寫(xiě)成

222

222

即有α＝β＝γ2，于是相切條件為m2＝γ2(k2＋1)．

(2)對(duì)于橢圓(焦點(diǎn)在x軸上)

即有α＝a，β＝b，于是相切條件為m＝ak＋b．

(3)對(duì)于橢圓(焦點(diǎn)在y軸上)

即有α＝b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝b2k2＋a2．

(4)對(duì)于雙曲線(焦點(diǎn)在x軸上)

即有α＝a2，β＝－b2，于是相切條件為m2＝a2k2－b2．

(5)對(duì)于雙曲線(焦點(diǎn)在y軸上)

即有α＝－b2，β＝a2，于是相切條件為m2＝a2－b2k2．

[應(yīng)用有心曲線統(tǒng)一公式，這樣就不必從圓、橢圓、雙曲線一個(gè)一個(gè)地去求，可避免一個(gè)一個(gè)冗長(zhǎng)復(fù)雜的計(jì)算，使問(wèn)題的解決變得簡(jiǎn)捷．]

2．無(wú)心的二次曲線y2＝2px與直線y＝kx＋m相切的條件

根據(jù)上面的分析，得

由②代入①，化簡(jiǎn)整理，得

(kx＋m)2＝2px，k2x2＋(2mk－2p)x＋m2＝0．

當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)k2≠0時(shí)，Δ＝(2mk－2p)2－4k2m2＝4p2－8mkp

＝4p(p－2mk)＝0．

無(wú)心的二次曲線x2＝2py與直線y＝kx＋m相切的條件，應(yīng)為

(讓學(xué)生獨(dú)立完成．)

三、鞏固新課

(讓學(xué)生直接對(duì)照上述結(jié)論，設(shè)所求公切線的斜率為k，截距為m，再根據(jù)橢

解 設(shè)所求的公切線斜率為k，截距為m，根據(jù)相切條件有

由②代入①，化簡(jiǎn)整理，得

81k4＋36k2－5＝0，(9k2－1)(9k2＋5)＝0，∵9k2＋5≠0，∴9k2－1＝0，代入②，得m＝±5．

因此，所求的公切線方程為

即

x＋3y＋15=0或x－3y＋15=0．

求雙曲線的兩條互相垂直的切線交點(diǎn)的軌跡方程．

(幫助學(xué)生分析解題的幾個(gè)要點(diǎn)，然后由學(xué)生上黑板解，教師巡視指點(diǎn)．)

y=kx＋m，則由相切條件，可知m2=a2k2－b2．

(2)設(shè)兩切線交點(diǎn)為P(x0，y0)，則切線方程為

y－y0=k(x－x0)，即

y=kx＋(y0－kx0)．

(3)y=kx＋m，y=kx＋(y0－kx0)表示同一直線，就有

m=(y0－kx0)，∴(y0－kx0)=ak－b．

整理得

(4)k1k2=－1，用韋達(dá)定理從方程①求得k1k2，即

因此，點(diǎn)P的軌跡方程為

x＋y=a－b．

這里a＞b，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)實(shí)圓；

a=b，點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)點(diǎn)圓；

a＜b，點(diǎn)P無(wú)軌跡(虛圓)．

解略．

法，不難得出軌跡方程為圓方程

x＋y=a＋b；

這題若改為求拋物線y=2px的兩條互相垂直的切線的交點(diǎn)的軌跡方程，方法也類似，不難得出軌跡方程為

即點(diǎn)P一定在準(zhǔn)線上．

[這樣改變一下題目，可讓學(xué)生開(kāi)拓思路，舉一反三．]

四、練習(xí)

1．已知l為橢圓x＋4y=4的切線并與坐標(biāo)軸交于A、B兩點(diǎn)，求|AB|的最小值及取得最小值時(shí)切線l的方程．

2解 如圖2，設(shè)切線方程為

y=kx＋m，根據(jù)相切條件有m2=4k2＋1，即①

|OA|2=4k2＋1．

在y=kx＋m中，令y=0，得

即

于是得

代入m=4k＋1，求得 2

因此，所求的切線共有四條(圖3)，它們的方程為

求四邊形ABCD的最大面積．

則由相切條件，知

m2=a2k2＋b2，故兩切線方程為

即

兩切線間的距離

∴四邊形ABCD的最大面積為

五、補(bǔ)充作業(yè)

軌跡方程．

2．求出斜率為k的圓錐曲線的切線方程．

教案說(shuō)明

這一節(jié)課的指導(dǎo)思想是：根據(jù)現(xiàn)代教育理論，強(qiáng)調(diào)在教學(xué)的過(guò)程中培養(yǎng)能力，特別是思維能力．?dāng)?shù)學(xué)思維結(jié)構(gòu)與科學(xué)結(jié)構(gòu)十分相似，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的過(guò)程，就是從一種思維結(jié)構(gòu)過(guò)渡到另一種思維結(jié)構(gòu)的過(guò)程，數(shù)學(xué)知識(shí)只是進(jìn)行思維結(jié)構(gòu)訓(xùn)練的材料．二次曲線與直線相切的條件若從上述結(jié)構(gòu)進(jìn)行訓(xùn)練，就是使學(xué)生形成完整的思維結(jié)構(gòu)，使對(duì)數(shù)學(xué)的認(rèn)識(shí)有新的突破．這一點(diǎn)已成為我在課堂教學(xué)中進(jìn)行探索和研討的課題．

這節(jié)課的整個(gè)教學(xué)過(guò)程中，著重于講解——啟導(dǎo)——探究，培養(yǎng)學(xué)生的分析能力．講解時(shí)，突出重點(diǎn)：“相切條件”，并以此為中心，達(dá)到舉一反

三、觸類旁通．其中也穿插了自學(xué)討論，而不是教師滿堂灌．

在練習(xí)中，注意到了再現(xiàn)性練習(xí)、鞏固性練習(xí)，同時(shí)也留有發(fā)現(xiàn)性練習(xí)，使學(xué)生以新帶舊，鞏固新知，發(fā)展智力，反過(guò)來(lái)從思維結(jié)構(gòu)上形成完整體系，以認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)本身．

第四篇：蘇教版直線與圓單元測(cè)試(A級(jí))

蘇教版直線與圓單元測(cè)試（A級(jí)）

一、填空題（共70分）

1、已知過(guò)兩點(diǎn)A（4，y）,B(2,-3)的直線的傾斜角是135°，則y=_______。

2、過(guò)點(diǎn)（3,1），且斜率是4的直線方程為_(kāi)______________。

3、原點(diǎn)到直線的距離為_(kāi)__________；

4、過(guò)點(diǎn)（1，0）且與直線x-2y-2=0平行的直線方程________________.5、直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)是___________；

6、已知過(guò)點(diǎn)A(-2,m)和B（m，4）的直線與直線平行，則m的值為_(kāi)_____________；

7、圓心為A（2，-3）,半徑長(zhǎng)為5的圓的方程為_(kāi)_____________；

8、點(diǎn)（0,2）關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)是_________；

9、空間兩點(diǎn)P（3，-2,5），Q（6,0，-1）間的距離PQ為_(kāi)_______；

10、在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)______________；

11、以線段A（-4，-5），B（6，-1）為直徑的圓的方程是______________；

12、設(shè)直線過(guò)點(diǎn)，其斜率為1，且與圓相切，則。

13、經(jīng)過(guò)三點(diǎn)A（-1,5），B（5,5），C（6，-2）的圓的方程是____________________；

14、一束光線從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)x軸反射到圓上的最短路徑是。

二、解答題

15、已知半徑為5的圓過(guò)點(diǎn)P（-4,3），且圓心在直線上，求這個(gè)圓的方程。

16、已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A（-1,5），B（-2，-1），C（4,7），求BC邊上的中線AM的長(zhǎng)和AM所在直線的方程。

17、求過(guò)兩條直線和的交點(diǎn)，且垂直于直線的直線方程。

18、已知直線與，則當(dāng)為何值時(shí)，直線：

(1)平行？（2）垂直？（3）相交?

19、求過(guò)點(diǎn)A（2,4）向圓所引的切線方程；并求出切線長(zhǎng)。

20、已知圓C：，直線。

（1）求證：對(duì)直線與圓C總有兩個(gè)不同的交點(diǎn)；

（2）若直線與圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，且，求直線的方程。

第五篇：直線與圓的位置關(guān)系教案

《直線與圓的位置關(guān)系》教案

教學(xué)目標(biāo)：

根據(jù)學(xué)過(guò)的直線與圓的位置關(guān)系的知識(shí)，組織學(xué)生對(duì)編出的有關(guān)題目進(jìn)行討論.討論中引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)

（1）如何從解決過(guò)的問(wèn)題中生發(fā)出新問(wèn)題.（2）新問(wèn)題的解決方案與原有舊方法之間的聯(lián)系與區(qū)別.通過(guò)編解題的過(guò)程，使學(xué)生基本了解、把握有關(guān)直線與圓的位置關(guān)系的知識(shí)可解決的基本問(wèn)題，并初步體驗(yàn)數(shù)學(xué)問(wèn)題變化、發(fā)展的過(guò)程，探索其解法.重點(diǎn)及難點(diǎn)：

從學(xué)生所編出的具體問(wèn)題出發(fā)，適時(shí)適度地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注問(wèn)題發(fā)展及解決的一般策略.教學(xué)過(guò)程

一、引入：

1、判斷直線與圓的位置關(guān)系的基本方法：

（1）圓心到直線的距離

（2）判別式法

2、回顧予留問(wèn)題：

要求學(xué)生由學(xué)過(guò)知識(shí)編出有關(guān)直線與圓位置關(guān)系的新題目，并考慮下面問(wèn)題：

（1）為何這樣編題.（2）能否解決自編題目.（3）分析解題方法及步驟與已學(xué)過(guò)的基本方法、步驟的聯(lián)系與區(qū)別.二、探討過(guò)程：

教師引導(dǎo)學(xué)生要注重的幾個(gè)基本問(wèn)題：

1、位置關(guān)系判定方法與求曲線方程問(wèn)題的結(jié)合.2、位置關(guān)系判定方法與函數(shù)或不等式的結(jié)合.3、將圓變?yōu)橄嚓P(guān)曲線.備選題

1、求過(guò)點(diǎn)P（-3，-2）且與圓x2+y2+2x-4y+1=0相切的直線方程.備選題

2、已知P(x, y)為圓(x+2)2+y2=1上任意一點(diǎn)，求（1）（2）2x+3y=b的取值范圍.備選題

3、實(shí)數(shù)k取何值時(shí)，直線L：y=kx+2k-1與曲線: y=兩個(gè)公共點(diǎn)；沒(méi)有公共點(diǎn).三、小結(jié)：

1、問(wèn)題變化、發(fā)展的一些常見(jiàn)方法，如：

（1）變常數(shù)為常數(shù)，改系數(shù).（2）變曲線整體為部分.有一個(gè)公共點(diǎn)；=m的最大、最小值.（3）變定曲線為動(dòng)曲線.2、理解與體會(huì)解決問(wèn)題的一般策略，重視“新”與“舊”的聯(lián)系與區(qū)別，并注意哪些可化歸為“舊”的方法去解決.自編題目：

下面是四中學(xué)生在課堂上自己編的題目，這些題目由學(xué)生自己親自編的或是自學(xué)中從課外書(shū)上找來(lái)的題目，這些題目都與本節(jié)課內(nèi)容有關(guān).①已知圓方程為(x-a)2+(y-b)2=r2，P（x0, y0）是圓外一點(diǎn)，求過(guò)P點(diǎn)的圓的兩切線的夾角如何計(jì)算？

②P（x0, y0）是圓x2+(y-1)2=1上一點(diǎn)，求x0+y0+c≥0中c的范圍.③圓過(guò)A點(diǎn)（4，1），且與y=x相切，求切線方程.④直線x+2y-3=0與x2+y2+x-2ay+a=0相交于A、B兩點(diǎn)，且OA⊥OB，求圓方程？

⑤P是x2+y2=25上一點(diǎn)，A（5，5），B（2，4），求|AP|2+|BP|2最小值.⑥圓方程x2+y2=4，直線過(guò)點(diǎn)（-3，-1），且與圓相交分得弦長(zhǎng)為3∶1，求直線方程.⑦圓方程x2+y2=9，x-y+m=0，弦長(zhǎng)為

2，求m.⑧圓O(x-a)2+(y-b)2=r2，P(x0, y0)圓一點(diǎn)，求過(guò)P點(diǎn)弦長(zhǎng)最短的直線方程？

⑨求y=的最值.圓錐曲線的定義及其應(yīng)用

[教學(xué)內(nèi)容]

圓錐曲線的定義及其應(yīng)用。

[教學(xué)目標(biāo)]

通過(guò)本課的教學(xué)，讓學(xué)生較深刻地了解三種圓錐的定義是對(duì)圓錐曲線本質(zhì)的刻畫(huà)，它決定了曲線的形狀和幾何性質(zhì)，因此在圓錐曲線的應(yīng)用中，定義本身就是最重要的性質(zhì)。

1．利用圓錐曲線的定義，確定點(diǎn)與圓錐曲線位置關(guān)系的表達(dá)式，體現(xiàn)用二元不等式表示平面區(qū)域的研究方法。

2．根據(jù)圓錐曲線定義建立焦半徑的表達(dá)式求解有關(guān)問(wèn)題，培養(yǎng)尋求聯(lián)系定義的能力。

3．探討使用圓錐曲線定義，用幾何法作出過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)的切線，激發(fā)學(xué)生探索的興趣。

4．掌握用定義判斷圓錐曲線類型及求解與圓錐曲線相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡，提高學(xué)生分析、識(shí)別曲線，解決問(wèn)題的綜合能力。

[教學(xué)重點(diǎn)]

尋找所解問(wèn)題與圓錐曲線定義的聯(lián)系。

[教學(xué)過(guò)程]

一、回顧圓錐曲線定義，確定點(diǎn)、直線（切線）與曲線的位置關(guān)系。

1．由定義確定的圓錐曲線標(biāo)準(zhǔn)方程。

2．點(diǎn)與圓錐曲線的位置關(guān)系。

3．過(guò)圓錐曲線上一點(diǎn)作切線的幾何畫(huà)法。

二、圓錐曲線定義在焦半徑、焦點(diǎn)弦等問(wèn)題中的應(yīng)用。

例1．設(shè)橢圓+=1(a>b>0)，F(xiàn)1、F2是其左、右焦點(diǎn)，P(x0, y0)是橢圓上任意一點(diǎn)。

（1）寫(xiě)出|PF1|、|PF2|的表達(dá)式，求|PF1|、|PF1|·|PF2|的最大最小值及對(duì)應(yīng)的P點(diǎn)位置。

（2）過(guò)F1作不與x軸重合的直線L，判斷橢圓上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)關(guān)于L對(duì)稱。

（3）P1(x1,y1)、P2(x2,y2)、P3(x3, y3)是橢圓上三點(diǎn)，且x1, x2, x3成等差，求證|PF1|、|PF2|、|PF3|成等差。

（4）若∠F1PF2=2?，求證：ΔPF1F2的面積S=btg?

（5）當(dāng)a=2, b=最小值。

時(shí)，定點(diǎn)A（1，1），求|PF1|+|PA|的最大最小值及|PA|+2|PF2|的2例2．已知雙曲線-=1，F(xiàn)1、F2是其左、右焦點(diǎn)。

（1）設(shè)P(x0, y0)是雙曲線上一點(diǎn)，求|PF1|、|PF2|的表達(dá)式。

（2）設(shè)P(x0, y0)在雙曲線右支上，求證以|PF1|為直徑的圓必與實(shí)軸為直徑的圓內(nèi)切。

（3）當(dāng)b=1時(shí)，橢圓求ΔQF1F2的面積。

+y=1 恰與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，Q是兩曲線的一個(gè)公共點(diǎn)，2例3．已知AB是過(guò)拋物線y=2px(p>0)焦點(diǎn)的弦，A(x1, y1), B(x2, y2)、F為焦點(diǎn)，求證：

（1）以|AB|為直徑的圓必與拋物線的準(zhǔn)線相切。

（2）|AB|=x1+x2+p

（3）若弦CD長(zhǎng)4p, 則CD弦中點(diǎn)到y(tǒng)軸的最小距離為

2（4）+為定值。

（5）當(dāng)p=2時(shí)，|AF|+|BF|=|AF|·|BF|

三、利用定義判斷曲線類型，確定動(dòng)點(diǎn)軌跡。

例4．判斷方程=1表示的曲線類型。

例5．以點(diǎn)F（1，0）和直線x=-1為對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)和準(zhǔn)線的橢圓，它的一個(gè)短軸端點(diǎn)為B，點(diǎn)P是BF的中點(diǎn)，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程。

備用題：雙曲線實(shí)軸平行x軸，離心率e=，它的左分支經(jīng)過(guò)圓x+y+4x-10y+20=0的2

2圓心M，雙曲線左焦點(diǎn)在此圓上，求雙曲線右頂點(diǎn)的軌跡方程。