第一篇：直線與圓的方程的綜合應(yīng)用教案參考

直線與圓的方程的應(yīng)用

一、教學(xué)目標(biāo)

1、知識與技能

（1）理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)；（2）利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系；（3）會用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題．

2、過程與方法

用坐標(biāo)法解決幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題； 第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論．

3、情態(tài)與價值觀

讓學(xué)生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力．

二、教學(xué)重點、難點：

重點與難點：直線與圓的方程的應(yīng)用．

三、教學(xué)過程

例

4、圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確到0.01）

思考:(用坐標(biāo)法)

1.圓心和半徑能直接求出嗎？ 2.怎樣求出圓的方程？ 3.怎樣求出支柱A2P2的長度？

解：建立如圖所示的坐標(biāo)系，設(shè)圓心坐標(biāo)是（0，b）, 圓的半徑是r ,則圓的方程是x2+(y-b)2=r2.把P（0，4）B（10，0）代入圓的方程得方程組： 02+(4-b)2= r2 102+(0-b)2=r2

解得，b=-10.5

r2=14.52 所以圓的方程是： x2+(y+10.5)2=14.52

把點P2的橫坐標(biāo)x=-2 代入圓的方程，得

(-2)2+(y+10.5)2=14.52

22因為y>0,所以y=14.5-(-2)-10.5≈14.36-10.5=3.86(m)答：支柱A2P2的長度約為3.86m.例

5、已知內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.解：以四邊形ABCD互相垂直的對角線作為x軸y軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)A(a,0),B(0,b),C(c,0),D(0,d)過四邊形的外接圓圓心O’作AC、BD、AD邊的垂線，垂足為M、N、E，則M、N、E分別為AC、BD、AD邊的中點。由線段的中點坐標(biāo)公式有：

x?x?a?c,y?y?b?d,x?a,y?dOMONEE 2222aca2bdd2122所以，|O'E|?(??)?(??)?b?c 2222222 又|BC|?b2?c2

所以：|O'E|?1|BC|22

用坐標(biāo)法解決平面幾何問題的步驟：

第一步：建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；

第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題； 第三步：把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論.練習(xí)：求直線l: 2x-y-2=0被圓C:(x-3)+y=9所截得的弦長.22解：聯(lián)立兩個方程得x1?2x?y?2?0(x?3)2?y2?9

四、課堂小結(jié)

? ? ? ? 7?297?29x2?55解得：,4?2294?229y1?y2?55229d?(x1?x2)2?(y1?y2)2?5理解直線與圓的位置關(guān)系的幾何性質(zhì)； 利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的位置關(guān)系； 熟悉直線與方程的關(guān)系，并應(yīng)用其解決相關(guān)問題 會用“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題．

第二篇：直線與圓的方程的應(yīng)用說課教案

人教版數(shù)學(xué)必修2 §4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

直線與圓的方程的應(yīng)用（說課教案）

蘄春一中 邵海建

各位專家、老師：

下午好！

我今天說課的內(nèi)容是人教版數(shù)學(xué)必修2§4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用，我講這節(jié)課的方式主要是從這幾個方面考慮。

教材分析

直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實踐及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用。本小節(jié)設(shè)置了兩道例題，分別說明直線與圓的方程在實際生活中的應(yīng)用，以及用坐標(biāo)法研究幾何問題的基本思想及其解題的過程。為此我確定了這節(jié)的重難點是： ? 教學(xué)的重點:利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的方程的應(yīng)用;? 教學(xué)的難點:如何構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系,利用平面直角坐標(biāo)系與用其它的方法的解決直線與圓的方程的應(yīng)用問題的優(yōu)點。

教學(xué)目標(biāo)

? 知識目標(biāo)：利用平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的方程的應(yīng)用； ? 能力目標(biāo)：會用“數(shù)學(xué)結(jié)合”的數(shù)學(xué)思想解決問題，讓學(xué)生通過觀察圖形，理解并掌握直線與圓的方程的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生分析問題與解決問題的能力；

? 情感目標(biāo)：通過建立平面直角坐標(biāo)系解決直線與圓的方程的應(yīng)用讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)的強大與數(shù)學(xué)的優(yōu)美。

教法分析

新課程強調(diào)教師要調(diào)整自己的角色，改變傳統(tǒng)的教育方式，要體現(xiàn)出以人為本，以學(xué)生為中心，讓學(xué)生真正成為學(xué)習(xí)的主人而不是知識的奴隸?；脒@個我舉出一些生動有趣的問題讓學(xué)生去探討得到用坐標(biāo)法解決問題的步驟，體會成功的快樂。

現(xiàn)代認(rèn)知學(xué)認(rèn)為，揭示知識的形成過程，對學(xué)生學(xué)習(xí)新知識是十分必要的。同時通過展現(xiàn)知識的發(fā)生、發(fā)展過程，給學(xué)生思考、探索、發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)新提供了最大的空間，可以使學(xué)生在整個教學(xué)過程中始終處于積極的思維狀態(tài)，進(jìn)而培養(yǎng)他們獨立思考和大膽求索的精神，這樣才能全面落實本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。

學(xué)情分析 人教版數(shù)學(xué)必修2 §4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

學(xué)生在學(xué)這節(jié)知識前已經(jīng)了解了在直角坐標(biāo)系下直線的方程與圓的方程，以及直線與圓的位置關(guān)系等知識，但還沒有形成用代數(shù)的方法去解決幾何證明問題及實際應(yīng)用題。為此我將本節(jié)課的內(nèi)容分為以下幾個部分：舊知復(fù)習(xí)，新課引入，知識探究，舉一反三，實戰(zhàn)演練，課后練習(xí)。

教學(xué)過程

一．復(fù)習(xí)舊知:

? 大家知道確定一個圓需要哪些要素嗎? ? 前面我們用什么方法研究直線與圓的有關(guān)問題？

設(shè)計意圖是讓學(xué)生回顧已學(xué)過的知識，從而達(dá)到溫故而知新。并能很好的認(rèn)識到知識的形成過程。

二．新知引入

某城市中的高空觀覽車的高度是100m,在離觀覽車約150m 處有一建筑物

某人在離建筑物100m的地方剛好可以看到觀覽車，你根據(jù)上述數(shù)據(jù)，如何求 該建筑物的高度？人的身高可以忽略不計。

設(shè)計意圖是通過一個實際的例子讓學(xué)生產(chǎn)生興趣，想通過數(shù)學(xué)去解決問題從而對本節(jié)知識產(chǎn)生興趣。

三．新知探究

? 問題一.如何將這個實際問題用數(shù)學(xué)語言來描述? ? 問題二.這個問題同學(xué)們有什么方法解決呢？ ? 問題三.能不能用圓的方程來做呢? 設(shè)計意圖是著名教育家玻利亞說過解決問題是對過去的回憶，讓目標(biāo)調(diào)動你的記憶力。這也是本節(jié)課的難點，我讓學(xué)生合作，小組討論等形式得到答案。從而體會到探究的樂趣，也得到了解決問題新的方法。并看到坐標(biāo)法的好處及數(shù)學(xué)的優(yōu)美。時間要15分鐘。

四.舉一反三

題一.圖中是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP=4m，在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長（精確到0.01）題二.已知內(nèi)接于圓的四邊形的對角線互相垂直，求證圓心到一邊的距離等于這條邊所對邊長的一半.五.課堂演練

1.某圓拱橋的水面跨度20m,拱高4m.現(xiàn)有一船,寬10m,水面以上高3m,這條船能否從橋下通過?

設(shè)計意圖是通過反復(fù)訓(xùn)練讓學(xué)生對坐標(biāo)法接受并能很好運用。人教版數(shù)學(xué)必修2 §4.2.3直線與圓的方程的應(yīng)用

六．課后小結(jié)

1.用坐標(biāo)法可以解決很多實際問題,對于幾何的研究實現(xiàn)了騰飛;2.用坐標(biāo)法解決直線與圓的方程的應(yīng)用的三個步驟: 第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系,用坐標(biāo)與方程表示問題中的幾何元素,將實際問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題;第二步：通過代數(shù)運算,解決代數(shù)問題;第三步：把代數(shù)運算結(jié)果”翻譯”成實際表達(dá)的含義.設(shè)計意圖是課堂小結(jié)是對這節(jié)課內(nèi)容的一個總結(jié)與回顧，同時也能鍛煉學(xué)生對知識的歸納并能從歸納中得出新的結(jié)論。

七.課后訓(xùn)練

1.看課本P124體會坐標(biāo)法的價值;2.課本P133A組第8題與B組第一題,第二題

設(shè)計意圖是這個課后訓(xùn)練的設(shè)置含有兩個部分，一部分為閱讀材料，讓學(xué)生通過閱讀了解坐標(biāo)法的發(fā)展并體會坐標(biāo) 法的好處；另一部分則是進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生掌握坐標(biāo)法這個方法。

課后反思

根據(jù)建構(gòu)主義理論及新課程標(biāo)準(zhǔn)，學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，同是學(xué)生在掌握知識更注重知識的形成過程。本節(jié)課是在我的引導(dǎo)下，對已學(xué)知識進(jìn)行歸納、總結(jié)，以形成更系統(tǒng)、更完整的體系 ；對已學(xué)知識進(jìn)一步加深理解，強化記憶，是一個再認(rèn)識，再學(xué)習(xí)的過程，對已掌握的技能、規(guī)律、方法進(jìn)行深化和進(jìn)一步熟悉，提高學(xué)生分析、理解問題的能力。而在課后和部分學(xué)生交流發(fā)現(xiàn)學(xué)生對本節(jié)知識的運用很熟練，但有一些細(xì)節(jié)地方還待加強，比如如何合理構(gòu)建直角坐標(biāo)系，運算的熟練性。

第三篇：4、2、3直線與圓的方程的應(yīng)用教案

教學(xué)，重要的不是教師的“教”，而是學(xué)生的“學(xué)”

heda2007@163.com 4、2、3直線與圓的方程的應(yīng)用

學(xué)案編寫者：黃岡實驗學(xué)校數(shù)學(xué)教師孟凡洲

一、【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1、坐標(biāo)法求直線和圓的應(yīng)用性問題；

2、面積最小圓、中點弦問題的解決方法.【教學(xué)效果】：教學(xué)目標(biāo)的給出，有利于學(xué)生整體上把握課堂.二、【自學(xué)內(nèi)容和要求及自學(xué)過程】

直線與圓的方程在生產(chǎn)、生活實踐以及數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，本節(jié)通過幾個例子說明直線與圓的方程在實際生活以及平面幾何中的應(yīng)用.1、自學(xué)例

4、例5，體會其中的解題方法和技巧（坐標(biāo)法解題）<1>教材上例

4、例5都是用坐標(biāo)法解決幾何問題的，你能否總結(jié) 一下坐標(biāo)法（代數(shù)法）解決幾何問題的步驟嗎？

<2>解決直線與圓的問題時，一般采用坐標(biāo)法（代數(shù)法）、幾何法來解決問題，多數(shù)是采用圓心到直線的距離與半徑的關(guān)系來解 決，我們教材上例

4、例5采用了代數(shù)法，你能用幾何法來完 成例4嗎？試著作一下！<3>比較幾何法和坐標(biāo)法，你認(rèn)為那種方法比較簡便實用？

結(jié)論：<1>第一步：建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，用坐標(biāo)和方程表示問題中的幾何元素，將平面幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題；第二步：通過代數(shù)運算，解決代數(shù)問題；第三步：將代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何結(jié)論；<2>過點P2作P2H?OP.由已知，|OP|?4,|OA|?10.，在RT?AOC中，有|CA|?|CO|?|OA|,設(shè)拱圓所在的半徑為r，則有r222222222?(r?4)?10.2222解得r?14.5.RT?CP2H中，有|CP2|?|CH|?|P2H|.根據(jù)圖形我們可以知道|P2H|?|OA2|=2，|CH|?r?|OA2|?14.5?4?206.25又|OC|?14.5?4?10.5|OH|?|CH|?|CO|?，于是有我們可以很容易得到下列結(jié)論，結(jié)論如下：

206.25?10.5?14.36?10.5?3.86，所以支柱A2P2的長度約為3.86cm.<3>我們把兩種方法比較，會發(fā)現(xiàn)坐標(biāo)法同通俗易懂，而幾何法比較難想，繁瑣，因此解題時要有所選擇.練習(xí)：完成教材練習(xí)1、2、3、4題.2、面積最小圓問題、中點弦軌跡問題

例

1、求通過直線2x?y?3?0與圓x?y?2x?4y?1?0的交點，且面積最小的圓的方程.結(jié)論：解法一：利用過兩曲線交點的曲線系.我們可以設(shè)圓的方程為

x?y?2x?4y?1??(2x?y?3)?0.配方得到標(biāo)準(zhǔn)式方程如下所示(x?1??)?(y?2??/2)?(1??)?(2??/2)?3??1，可以得到黃岡實驗學(xué)校高一數(shù)學(xué)講義

編寫者：孟凡洲 QQ：191745313 22222222教學(xué)，重要的不是教師的“教”，而是學(xué)生的“學(xué)”

heda2007@163.com r2?(5/4)????4?5/4(??2/5)?19/5，當(dāng)???2/5時，此時半19/5，所求圓的方程為(x?3/5)?(y?9/5)?19/5.解法二：

222徑r?22利用平面幾何知識.以直線與圓的交點A（x1,y1),B(x2,y2)連線為直徑的圓符合條件.把兩個方程式聯(lián)立，消去y，得5x?6x?2?0.因為判別式大于零，我們可以根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系也即韋達(dá)定理得到線段AB的中點的橫坐標(biāo)為x0?(x1?x2)/2??3/5，y0?2x0?3?9/5，又半徑r?0.5|x1?x2|.1?2?22219/5（弦長公式），所以所求的圓的方程是:(x?3/5)?(y?9/5)?19/5.解法三：我們可以求出兩點的坐標(biāo)，根據(jù)兩點間距離公式和中點坐標(biāo)公式求出半徑和圓心，求出圓的方程.例

2、已知圓O的方程為x?y?9，求過點A(1,2)所作的弦的中點的軌跡.結(jié)論：解法一：參數(shù)法（常規(guī)方法）設(shè)過A所在的直線方程為y-2=k(x-1)(k存在時），P（x,y)，則x?y?9,y?kx?(2?k)，消去（1?k)x?2k(2?k)x?k?4k?5?0.所以我們可以y，得到如下方程2222222得到下面結(jié)果x1?x2?2k(k?2)/(k?1)，利用中點坐標(biāo)公式及中點在直線上，得：x?k(k?2)/(k?1),y?(?k?2)/(k?1)(k為參數(shù)）.消去k得P點的軌跡方程為x?y?x?2y?0，當(dāng)k不存在時，中點P（1，0）的坐標(biāo)也適合方程.所以P點的軌跡是以點（1/2,1)為圓心，5/2為半徑的圓.解法二：代點法（涉及中點問題可考慮此法）我們可以設(shè)過點A的弦為MN，則可以設(shè)兩點的坐標(biāo)為M(x1,y1),N(x2,y2).因為M、N都在圓上，所以我們可以得到x1?y1?9,x2?y2?9，然后我們把兩式向減可以得到：(x1?x2)?[(y1?y2)/(x1?x2)].(y1?y2)?0(x1?x2).設(shè)P（x,y)則x?(x1?x2)/2,y?(y1?y2)/2.所以由這個結(jié)論和M、N、P、A四點共線，可以得到(y1?y2)/(x1?x2)?(y?2)/(x?1)(x?1).所以2x+[(y-2)/(x-1)]?2y=0，所以P點的軌跡方程為x?y?x?2y?0（x=1時也成立），所以P點的軌跡是以點（1/2,1)為圓心，5/2為半徑的圓.解法三：數(shù)形結(jié)合（利用平面幾何知識），由垂徑定理可知OP?PA,故點P的軌跡是以AO為直徑的圓.【教學(xué)效果】：這一部分知識內(nèi)容比較艱澀，但是是高考的考點，要求基礎(chǔ)好的同學(xué)能完全徹底理解.三、【作業(yè)】

1、必做題：習(xí)題4.2B組的2、3、4題；

2、選做題：習(xí)題4.2B組第5題.黃岡實驗學(xué)校高一數(shù)學(xué)講義

編寫者：孟凡洲 QQ：191745313

22222222222教學(xué)，重要的不是教師的“教”，而是學(xué)生的“學(xué)”

heda2007@163.com

四、【小結(jié)】

本節(jié)課主要學(xué)習(xí)了坐標(biāo)法解決圓和直線的應(yīng)用性問題、中點弦問題、面積最小圓問題.這節(jié)課的重點是中點弦問題，中點弦問題時高考的一個考點，也為我們以后學(xué)習(xí)雙曲線、拋物線、橢圓做一個預(yù)演.這節(jié)課學(xué)習(xí)完以后要求學(xué)生能達(dá)到熟練的解決中點弦問題以及有一定的解決綜合性問題的能力.五、【教學(xué)反思】

作為高一的學(xué)生，這部分知識比較艱澀，所以允許部分學(xué)生聽不懂，但是要求每一個學(xué)生都要知道，這部分內(nèi)容是高考的考點.黃岡實驗學(xué)校高一數(shù)學(xué)講義

編寫者：孟凡洲 QQ：191745313

第四篇：直線與方程教案

平面解析幾何 第一講 直線方程 知識歸納：

一、直線的傾斜角與斜率

1、確定直線的幾何要素是：直線上兩不同的點或直線上一點和直線的方向兩個相對獨立的條件

注意：表示直線方向的有：直線的傾斜角（斜率）、直線的方向向量、直線的法向量

2、直線的傾斜角：當(dāng)直線l 與x 軸相交時，我們?nèi) 軸作為基準(zhǔn)，x 軸正向與直線l 向上方向之間所成的角α叫做直線l 的傾斜角。

注意：①從用運動變化的觀點來看，直線的傾斜角是由x 軸繞交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到與直線重合時所成的角；

②規(guī)定：直線與x 軸平行或重合時，直線的傾斜角為00 ③直線傾斜角α的取值范圍是：00≤α<1800

④在同一直角坐標(biāo)系下，任何一條直線都有傾斜角且唯一，傾斜程度相同的直線，其傾斜角相等，傾斜程度不同的直線，其傾斜角不相等。

3、直線的斜率：傾斜角不是900的直線，它的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，即k =tan α(α≠900)。它從另一個方面反映了直線的傾斜程度。注意：一條直線必有一個確定的傾斜角，但不一定有斜率，當(dāng)α=00時，k =0；當(dāng)00<α<1800時，k >0；當(dāng)α=900時，k 不存在，當(dāng)900<α<1800時，k <0。即：斜率的取值范圍為k ∈R 例

1、給出下列命題：①若直線傾斜角為α，則直線斜率為tan α；②若直線傾斜角為tan α，則直線的傾斜角為α； ③直線的傾斜角越大，它的斜率越大；④直線的斜率越大，其傾斜角越大；⑤直線的傾斜角的正切值叫做直線的斜率。其中正確命題的序號為 例

2、已知直線的傾斜角為α，且sin α=4，求直線的斜率k 5

4、直線斜率的坐標(biāo)公式

經(jīng)過兩點P 的直線的斜率公式：k =y 1-y 2 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)x 1-x 2 注意：①斜率公式與兩點的順序無關(guān)，即k =y 1-y 2=y 2-y 1(x ≠x)12 x 1-x 2 x 2-x 1 ②特別地：當(dāng)y 1=y 2, x 1≠x 2時，k =0；此時直線平行于x 軸或與x 軸重合；當(dāng)y 1≠y 2, x 1=x 2時，k 不存在，此時

直線的傾斜角為900，直線與y 軸平行或重合。

例

3、已知點P(2,1),Q(m ,-3)，求直線P , Q 的斜率并判斷傾斜角的范圍。

例

4、（三點共線問題）已知A(-3,-5), B(1,3), C(5,11)三點，證明這三點在同一條直線上 例

5、（最值問題）已知實數(shù)x , y，滿足2x +y =8，當(dāng)2≤x ≤8時，求y 的最大值和最小值 x

5、直線的方向向量：已知P 是直線l 上的兩點，直線上的向量PP 及與它平行的向量都1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)12稱為直線的方向向量。直線PP 與x 軸不垂直時，x 1≠x 2，此時，向量12的坐標(biāo)是

1也是直線PP 的方向向量，且它PP 1212 x 2-x 1 1，其中k 為直線PP 的斜率(x 2-x 1, y 2-y 1)，即（1，k）12x 2-x 1

6、直線的法向量：如果向量n 與直線l 垂直，則稱向量n 為直線l 的法向量。

二、直線的方程

1、定義：一般地，以一個方程的解為坐標(biāo)的點都是某條直線上的點，反過來，這條直線上點的坐標(biāo)都是這個方程的解，這是，這個方程就叫做這條直線的方程，這條直線叫做這個方程的直線。

2、直線方程的幾種形式（1）點斜式：

問題：若直線l 經(jīng)過點P，且斜率為k，求直線l 的方程。0(x 0, y 0)解析：設(shè)點P(x , y)是直線l 上不同于點P 的任意一點，根據(jù)經(jīng)過兩點的直線的斜率公式，得k =y-y 0，可化為0 x-x 0、斜率為k 的直線l 的方程。y-y 0=k(x-x 0)，即為過點P 0 方程y-y 0=k(x-x 0)是由直線上一點及其斜率確定的，把這個方程叫做直線的點斜式的方程，簡稱點斜式。注意：①k =y-y 0與y-y 0=k(x-x 0)是不同的，前者表示直線上缺少一個點x ≠x 0，后者才是整條直線； x-x 0 ②當(dāng)直線l 的傾斜角為00時，tan 00=0，即k =0，這時直線l 的方程為y =y 0 ③當(dāng)直線的傾斜角為900時，直線l 斜率不存在，這時直線l 與y 軸平行或重合，它的方程不能用點斜式表示，它的方程是x =x 0。即：局限性是不能表示垂直于x 軸的直線。④經(jīng)過點P 的直線有無數(shù)條，可分為兩類情況： 0(x 0, y 0)ⅰ、斜率為k 的直線，方程為y-y 0=k(x-x 0)ⅱ、斜率不存在的直線，方程為x-x 0=0或?qū)憺閤 =x 0 例

6、根據(jù)條件寫出下列各題中的直線的方程

①經(jīng)過點P，傾斜角α=450，②經(jīng)過點P , 2)，斜率為2 ③經(jīng)過點(4,2)，且與x 軸平行 1(-2,3)1(1④經(jīng)過點(-2,-3)，且與x 軸垂直（2）斜截式：

問題：已知直線l 的斜率是k，與y 軸的交點是P(0,b)，代入直線方程的點斜式，得直線l 的方程y-b =k(x-0)，也就是y =kx +b，我們稱b 是直線l 在y 軸上的截距。

這個方程是由直線l 的斜率k 和它在y 軸上的截距確定的，所以叫做直線的斜截式方程，簡稱斜截式。注意：①b ∈R ②局限性：不表示垂直于x 軸的直線

③斜截式方程和一次函數(shù)的解析式相同，都是y =kx +b，但有區(qū)別：當(dāng)斜率不為0時，y =kx +b 是一次函數(shù)，當(dāng)k =0時，y =b 不是一次函數(shù)；一次函數(shù)y =kx +b（k =0）必是一條直線的斜截式方程。例7、求傾斜角是直線y =+1的傾斜角的1，且在y 軸上的截距為-5的直線的方程。4（3）兩點式：

問題：已知直線l 經(jīng)過兩點P 1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1≠x 2)，求直線l 的方程 解析：因為直線l 經(jīng)過兩點P ≠1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)(x 1

x 2，)所以它的斜率k =y 2-y 1，代入點斜式，得 x 2-x 1 y-y 1= y 2-y 1(x-x 1)，當(dāng)y 2≠y 1時，方程可以寫成y-y 1=x-x 1 x 2-x 1y 2-y 1x 2-x 1 這個方程是由直線上兩點確定的，所以叫做直線的兩點式方程，簡稱兩點式。注意：①方程y-y =y 2-y 1(x-x)與方程y-y 1=x-x 1比較，后者比前者表示直線的范圍更小了，前者不能 11 x 2-x 1 y 2-y 1 x 2-x 1 表示斜率不存在的直線，后者除此外，還不能表示斜率為0的直線；局限性：不能表示垂直于坐標(biāo)軸的直線。②兩點式方程與這兩個點的順序無關(guān)。例

8、已知點A(-5, 0)，B(3,-3)，求直線AB 的方程

例

9、一條光線從點A(3,2)出發(fā)，經(jīng)x 軸反射，通過點B(-1, 6)，求入射光線和反射光線所在直線的方程（4）截距式：

問題：已知直線l 與x 軸的交點為(a , 0)，與y 軸的交點為(0,b)，其中a ≠0, b ≠0，求直線l 的方程。解析：因為直線l 經(jīng)過A(a , 0)和B(0,b)兩點，將這兩點的坐標(biāo)代入兩點式，得如果直線與x 軸的交點為(a , 0)，則稱a 為直線在x 軸上的截距。

以上直線方程是由直線在x 軸和y 軸上的截距確定的，所以叫做直線的截距式方程，簡稱截距式

注意：方程x +y =1中a ≠0, b ≠0，所以它不能表示與坐標(biāo)軸平行（重合）的直線，還不能表示過原點的直 a b y-0x-a，即為x +y =1 = b-00-a a b 線。

例

10、過兩點A(-1,1)，B(3,9)的直線在x 軸上的截距為（5）一般式方程：

以上幾種形式的直線方程都是二元一次方程，即平面上任何一條直線都可以用一個關(guān)于x y 的二元一次方程表示； 而關(guān)于x y 的二元一次方程，它都表示一條直線。因此我們把x y 的二元一次方程 Ax +By +C =0(其中 A,B 不同時為0)叫做直線的一般式方程，簡稱一般式。

注意：①直線的一般式方程能表示所有直線的方程，這是其他形式的方程所不具備的。②直線的一般式方程成立的條件是A,B 不同時為0。

③雖然直線的一般式有三個系數(shù)，但是只需兩個獨立的條件即可求直線的方程，若A ≠0, 則方程可化為x +B y +C =0;若B ≠0，則方程可化為A x +y +C =0，即y =-A x-C;A A B B B B 若A =0，B ≠0時，方程化為y =-C , 它表示與x 軸平行或重合的直線； B 若A ≠0，B =0時，方程化為x =-C，它表示一條與y 軸平行或重合的直線； A 若ABC ≠0時，則方程可化為 x-A + 因此只需要兩個條件即可。y =1-B ④直線方程的其他形式都可以轉(zhuǎn)化為一般式，因此在解題時若沒有特殊說明，應(yīng)把最后結(jié)果互為直線的一般式 例

11、設(shè)直線l 的方程為(m-2m-3)x +(2m +m-1)y =2m-6，根據(jù)下列條件分別確定m 的值（1）l 在x 軸上的截距為-3（2）l 的斜率是-1（6）點向式：

問題：設(shè)直線l 經(jīng)過點P，v =(a , b)是它的一個方向向量，求直線l 的方程 0(x 0, y 0)解析:設(shè)P(x , y)是直線l 上的任意一點，則向量P 與v 共線，根據(jù)向量共線的充要條件，存在唯一實數(shù)t，0P x =x 0+at ①，使P，即(x-x 0, y-y 0)=t(a , b)，所以?方程組①稱為直線的參數(shù)式方程。0P =tv ? ?y =y 0+bt 2 2 如果直線l 與坐標(biāo)軸不平行，則ab ≠0，于是可得 x-x 0y-y 0 =t , =t，消去參數(shù)t，得到直線l 的普通方程 a b x-x 0y-y 0 這個方程稱為直線l 的點向式方程，a , b 叫做直線l 的方向數(shù)。= a b 思考：若給出直線的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線的方向向量？（7）點法式：

問題：設(shè)直線l 有法向量n =(A , B)，且經(jīng)過點P，求直線l 的方程 0(x 0, y 0)解析：設(shè)P(x , y)是直線l 上的任意一點，則有P，即P 0P ⊥n 0P ?n =0 因為PP 0=(x-x 0, y-y 0)，n =(A , B)，所以有A(x-x 0)+B(y-y 0)=0 這個方向是由直線l 上一點P 及直線l 的法向量n 確定的，稱為直線l 的點法式。0(x 0, y 0)思考：若給出直線的一般式方程Ax +By +C =0，如何確定直線的法向量？

三、直線的位置關(guān)系（同一平面上的直線）

1、平行與垂直（1）兩條直線平行的判定

①當(dāng)兩條直線的斜率存在時，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定

設(shè)兩條直線分別為，則l 1, l 2的傾斜角相等，即由α1=α2，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 若l 1//l 2，可得tan α1=tan α2，也即k 1=k 2，此時b 1≠b 2；反之也成立。所以有l(wèi) 1//l 2?k 1=k 2且b 1≠b 2 ②當(dāng)兩條直線的斜率都不存在時，二者的傾斜角均為900，若不重合，則它們也是平行直線 注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時，有如下結(jié)論： 設(shè)兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1不為0）或l 1//l 2?A（可用直線的方向向量或法向量解釋）1B 2-A 2B 1=0且B 1C 2-B 2C 1≠0或AC 12-A 2C 1≠0例

12、已知點A(2,2)和直線l ：3x +4y-20=0，求過點A 和直線l平行的直線。（引出平行直線系方程）（2）兩條直線垂直的判定

①當(dāng)兩條直線的斜率存在且不為0時，均可化成它的斜截式方程，所以以斜截式為例來研究直線平行的判定 設(shè)兩條直線分別為，l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2 則得直線l 1的方向向量為：a =(1, k 1)l 2的方向向量為：b =(1, k 2)，所以有l(wèi) 1⊥l 2?a ⊥b ?a ?b =0?1?1+k 1?k 2=0 即l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1 注意： 或用兩條直線的傾斜角推倒：即tan α2=tan(900+α1)=-=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1//l 2?A 1=B 1≠C 1（其中分母 A 2 B 2 C 2 1，得到k 1?k 2=-1 tan α1

②兩條直線中，一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零，則兩條直線垂直。由①②得，兩條直線垂直的判定就可敘述為：一般地，l 1⊥l 2?k 1?k 2=-1或一條斜率不存在，同時另一條斜率等于零。

注意：當(dāng)不考慮斜率，即給出直線的一般式時，有如下結(jié)論： 設(shè)兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1 例

14、已知兩直線l 1：x +my +6=0，l 2：(m-2)x +3y +2m =0，當(dāng)m 為何值時，直線l 1與l 2：①平行 ②重合 ③垂直

例

15、已知長方形ABCD 的三個頂點的坐標(biāo)分別為A(0,1),B(1,0),C(3,2),求第四個頂點D 的坐標(biāo)

例

16、求證：不論m 為取什么實數(shù)，直線(2m 2-1)x +(m 2-1)y =m 2-5總通過某一定點 =0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 可得l 1⊥l 2?A 1A 2+B 2B 1=0 例

13、求與直線3x +4y +1=0垂直且過點（1，2）的直線方程（引出垂直直線系方程）)例

17、已知直線ax-y +2a +1=0，（1）若x ∈(-1（2）若a ∈(-, 1, 1)時，y >0恒成立，求a 的取值范圍； 16 時，恒有y >0，求x 的取值范圍

四、到角、夾角（1）到角公式

定義：兩條直線l 1和l 2相交構(gòu)成四個角，他們是兩對對頂角，為了區(qū)別這些角，我們把直線l 1繞交點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到與l 2重合時所轉(zhuǎn)的角，叫做l 1到l 2的角，如圖，直線l 1到l 2的角是θ1，l 2到l 1的角是θ2(θ1>0, θ2>0, θ1+θ2=π)

推倒：設(shè)已知直線方程分別是l 1：y =k 1x +b 1 l 2：y =k 2x +b 2.l 1到l 2的角是θ ① 若1+k 1?k 2=0，即k 1?k 2=-1，那么θ= π 2 ② 若1+k 1?k 2≠0，設(shè)l

1、l 2的傾斜角分別為α1, α2，則tan α1=k 1, tan α2=k 2 由圖1）的θ=α2-α1，所以tan θ=tan(α2-α1)由圖2）的θ=π-(α1-α2)=π+(α2-α1)，所以tan θ=tan*π+(α2-α1)+=

tan π+tan(α2-α1)0+tan(α2-α1)==tan(α2-α1)

1-tan πtan(α2-α1)1-0 于是tan θ=tan(α2-α1)= tan α2-tan α1k-k =21 1+tan α2tan α11+k 1k 2

即tan θ= k 2-k 1 就是l 1到l 2的角θ1+k 1k 2（2）夾角公式

定義：由（1）得，l 2到l 1的角是π-θ，所以當(dāng)l 1與l 2相交但不垂直時，在θ和π-θ中有且只有一個角是銳角，我們把其中的銳角叫做兩條直線的夾角，記夾角為α，則tan α=當(dāng)直線l 1⊥l 2時，直線l 1與l 2的夾角為 k 2-k 1，即為夾角公式 1+k 1k 2 π 2 例

18、等腰三角形一腰所在直線l 1的方程是x-2y-2=0，底邊所在直線l 2的方程是x +y-1=0，點(-2,0)在另一腰上，求這條腰所在直線l 3的方程

五、兩條直線的交點坐標(biāo)：

1、設(shè)兩條直線分別為l 1：A 1x +B 1y +C 1=0，l 2：A 2x +B 2y +C 2=0 則l 1與l 2是否有交點，只需看方程組

?A 1x +B 1y +C 1=0是否有唯一解 ? ?A 2x +B 2y +C 2=0 若方程組有唯一解，則這兩條直線相交，此解就是交點的坐標(biāo)； 若方程組無解，則兩條直線無公共點，此時兩條直線平行； 若方程組有無窮多解，則兩直線重合

例

19、求經(jīng)過兩直線2x-3y-3=0和x +y +2=0的交點且與直線3x +y-1=0平行的直線方程。經(jīng)過兩直線l 1:A 1x +B 1y +C 1=0與l 2:A 2x +B 2y +C 2=0交點的直線系方程為其中λ是待定系數(shù)，在這個方程中，無論λ取什么實數(shù)，A 1x +B 1y +C 1+λ(A 2x +B 2y +C 2)=0，都得到A 2x +B 2y +C 2=0，因此，它不能表示直線l 2。

2、對稱問題

（1）點關(guān)于點的對稱，點A(a，b)關(guān)于P , y 0)的對稱點B（m，n），則由中點坐標(biāo)公式0(x 0 m =2x 0-a , n =2y 0-b，即B（2x 0-a , 2y 0-b）。

（2）點關(guān)于直線的對稱，點A(x 0, y 0)關(guān)于直線l :Ax +By +C =0（A、B 不同時為0）的對稱點

A '(x 1, y 1)，則有AA ’的中點在l 上且直線AA ’與已知直線l 垂直。

（3）直線關(guān)于直線的對稱，一般轉(zhuǎn)化為點關(guān)于直線的對稱解決，若已知直線l 1與對稱軸l 相交，則交點必在與l 1對稱的直線l 2上，然后再求出l 1上任意不同于交點的已知點P 1關(guān)于對稱軸對稱的點P 2，那么經(jīng)過交點及點

P 2的直線就是l 2；若直線l 1與對稱軸l平行，則在l 1上任取兩不同點P

1、P 2，求其關(guān)于對稱軸l 的對稱

點P

1、P 2，過P

1、P 2的直線就是l 2。

例題20、已知直線l :x +y-1=0，試求①點P(4,5)關(guān)于l 的對稱坐標(biāo)；②直線l 1:y =2x +3關(guān)于直線 ' ' ' ' l 的對稱的直線方程。例題21、求函數(shù)y =

六、兩點間的距離，點到直線間的距離 +的最小值。

P（1）兩點間的距離：已知P 1P 2=1(x 1, y 1), P 2(x 2, y 2)則

（2）點到直線的距離: l 已知點P，求點P 0(x 0, y 0)，直線l :Ax +By +C =0（A、B 不同時為0）0到直線的距離。解法一：如圖，作P 0Q ⊥l 于點Q，設(shè)Q(x 1, y 1)，若A,B ≠O, 則由k 1=-A B(, 得k P 0Q = B A k 1k P 0Q =-1)，?Ax +By +C =0 ?

B ?B y-y =(x-x)從而直線P 的方程為，解方程組Q y-y =(x-x 0)得0000?A ?A ?B 2x 0-ABy 0-AC x =??1A 2+B 2 ?2 ?y =A y 0-ABx 0-BC 1??A 2+B 2 ∴d =PQ ==0 Ax 0+By 0+C ==A 2+B 2 容易驗證當(dāng)A=0或B=0時，上式仍然成立。

l 解法二：如圖，設(shè)A ≠0,B ≠0，則直線l 與x 軸和y 軸都相交，過點P 0分別作x 軸和y 軸的平行線，交直線

于R 和S，則直線P 0R 的方程為y =y 0，R 的坐標(biāo)為（-By 0+C , y 0）； A x ,-直線P 0S 的方程為x =x 0，S 的坐標(biāo)為（-0 Ax 0+C），B 于是有P 0R =-Ax 0+By 0+C By 0+C-x 0=, A A = Ax 0+By 0+C Ax 0+C P-y 0= , RS =0S =-B B 0+By 0+C。

=d，由三角形面積公式可得d ?RS =P 設(shè)PQ 00R ?P 0S.于是得d = 因此，點P 0(x 0, y 0)到直線l :Ax +By +C = 0的距離d =上式仍成立。注意: P 0R ?P 0S RS = 容易驗證，當(dāng)A=0或B=0時，①若給出的方程不是一般式，則應(yīng)先把方程化為一般式，再利用公式求距離； ②點到直線的距離是點到直線上的點的最短距離；

③若點在直線上，則點到直線的距離為0，但距離公式仍然成立，因為此時Ax 0+By 0+C =0。（3）兩平行線間的距離。

定義；兩條平行直線間的距離是指夾在兩條平行直線間公垂線段的長，即一條直線上的點到另一條直線的距離。

兩條平行直線l 1:Ax +By +C 1=0與l 2:Ax +By +C 2= 0的距離公式d = 推導(dǎo)過程：設(shè)P 則P 到l 2:Ax +By +C 2=0的距離

0(x 0, y 0)為直線l 1:Ax +By +C 1=0上任意一點，0為d =，又因為P 0在l 1:Ax +By +C 1=0上，所以Ax 0+By 0+C 1=0，即Ax 0+By 0=-C 1, 所以d = 注意：應(yīng)用此公式時，要把兩直線化為一般式，且x、y 的系數(shù)分別相等。

例題

22、求經(jīng)過點A(-1,2)與B(-,0)的直線上一點C（5，n）到直線x +y =1的距離。例題

23、求經(jīng)過點A（1，2）且到原點的距離等于1 的直線方程。例題

24、已知三角形ABC 中，點A（1，1），B（m）（1

例題

25、求過點P（1，2）且與A（2，3），B(4,-5)兩點距離相等的直線方程。作業(yè)：

1、設(shè)θ∈(52 π 2 , π)，則直線x cos θ+y sin θ+1=0的傾斜角α為（）(B)θ(C)θ+(A)θ-π 2 π 2(D)π-θ

2、設(shè)P（x，y）是曲線C ：x 2+y 2+4x +3=0上任意一點，則 y 的取值范圍是()x A ．[-3, 3] B ．(-∞,-3]?*, +∞)C ．[-3, ] D ．(-∞,-]?*, +∞)3333

3、已知M(2，－3)，N(－3，－2)，直線l 過點A(1，1)且與線段MN 相交，則直線l 的斜率k 的取值范圍是 3 或k ≤－4 4 3 B.－4≤k ≤ 4 33 C.≤k ≤4D.－≤k ≤4 44

4．過點P（6，－2）且在x 軸上的截距比在y 軸上的截距大1的直線的方程是 A ．2x +3y-6=0 C ．x-y +3=0 B ．2x +3y-6=0或3x +4y-12=0 D ．x +2y-2=0或2x +3y-6=0

5、若直線l 經(jīng)過點(1,1),且與兩坐標(biāo)軸所圍成的三角形的面積為2, 則直線l 的條數(shù)為(A)1(B)2(C)3(D)4

6、如圖所示，直線l 1：ax －y ＋b=0與l 2：bx －y ＋a=0(ab≠0,a ≠b)的圖象只可能是()

7、若三點A(3,a)、B(2,3)、C(4,b)在一條直線上, 則有()(A)a=3,b=5(B)b=a+1(C)2a－b=3(D)a－2b=3

8、直線l 經(jīng)過原點和點(－1, －1), 則它的傾斜角是 a A.π5ππ5ππ B.C.或 D.－ 44444 9.已知直線l 1：A 1x +B 1y +C 1＝0與直線l 2：A 2x +B 2y +C 2＝0相交，則方程λ1（A 1x ＋B 1y ＋C 1）＋λ2（A 2x +B 2y +C 2）2 =0,(λ1≠0)表示（）+λ22

A.過l 1與l 2交點的一切直線 B.過l 1與l 2的交點，但不包括l 1可包括l 2的一切直線 C.過l 1與l 2的交點，但包括l 1不包括l 2的一切直線 D.過l 1與l 2的交點，但既不包括l 1又不包括l 2的一切直線 10.方程(a －1)x －y +2a +1=0(a ∈R)所表示的直線()A.恒過定點(－2,3)B.恒過定點(2，3)C.恒過點(－2,3)和點(2，3)D.都是平行

11、過點(-1，)且與直線3x-y +1=0的夾角為 π 的直線方程是（）6 A、x-3y +4=0 B、x +1=0或x +3y-2=0 C、x+1=0或x-y +4=0 D、y =或x +3y-2=0

12、直線x cos α+3y +2=0的傾斜角的取值范圍是_________。

13、直線l 的方向向量為（-1，2），直線l 的傾斜角為

14、已知直線L 過P（-2，3）且平行于向量d=（4，5），則直線L 的方程為。

15、已知點M(a , b)在直線3x +4y = 15上，則

16、△ABC 的三個頂點A(－3,0),B(2,1),C(－2,3).求：

（1）BC 所在直線的方程;（2）BC 邊上中線AD 所在直線的方程;（3）BC 邊的垂直平分線DE 的方程.17、求到兩直線l 1： 3x +4y-5=0和 l 2：6x +8y-9=0距離相等的點P(x , y)滿足的方程

第五篇：直線方程教案

Ⅰ.課題導(dǎo)入

［師］同學(xué)們，我們前面幾節(jié)課，我們學(xué)習(xí)了直線方程的各種形式，以一個方程的解為坐標(biāo)的點都是某條直線上的點；反之這條直線上的點的坐標(biāo)都是這個方程的解。這是這個方程叫做這條直線的方程；這條直線叫做這個方程的直線?，F(xiàn)在大家回憶一下，我們都學(xué)習(xí)了直線方程的哪些特殊的形式。我們學(xué)習(xí)了直線方程的點斜式、斜截式、兩點式、截距式等形式，對直線方程的表示形式有了一定的認(rèn)識.現(xiàn)在，我們來回顧一下它們的基本形式.點斜式的基本形式：y－y1＝k（x－x1）適用于斜率存在的直線.斜截式的基本形式：y＝kx＋b適用于斜率存在的直線；

兩點式的基本形式：直線；

截距式的基本形式：

y?y1x?x1（x1≠x2，y1≠y2）適用于斜率存在且不為0的?y2?y1x2?x1xy?＝1（a，b≠0）適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.ab在使用這些方程時要注意它們時要注意它們的限制條件。

那么大家觀察一下這些方程，都是x,y的幾次方程??？［生］都是關(guān)于x，y的二元一次方程.那么我們原來在代數(shù)中學(xué)過二元一次方程它的一般形式是什么呀？（板書）Ax＋By＋C＝0 我們現(xiàn)在來看一次這幾種學(xué)過的特殊形式，它們經(jīng)過一些變形，比如說去分母、移項、合并，這樣一些變形步驟。能不能最后都化成這個統(tǒng)一的形式呢？比如說y＝kx＋b，?xayb＝1，這些我們最終都可以吧它們變成這種形式。剩下的兩種形式的變形留給同學(xué)們課下自己去完成。那么在學(xué)習(xí)這些直線的特殊形式的時候，應(yīng)該說各有其特點，但是也有些不足。在使用的過程中有些局限性。比如說點斜式和斜截式它們的斜率都必須存在，兩點式適用于適用于斜率存在且不為0的直線，截距式適用于橫縱截距都存在且不為0的直線.那么我們現(xiàn)在想一想有沒有另外一種形式，可以綜合他們各自的一些特點，也就是這些方程最后化成一個統(tǒng)一的形式。能不能代表平面直角坐標(biāo)系中的直線。要解決這些問題呢，要分兩個方面進(jìn)行討論。

1.直線和二元一次方程的關(guān)系

（1）在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.一個方面：是不是平面上的任意直線，表示它的方程都可以寫成Ax＋By＋C＝0的形式，剛才大家做了一些練習(xí)，當(dāng)然這只是特殊形式，是不是所有的直線都可以寫成這種形式呢？直線按斜率來分類可以分幾類？斜率存在和斜率不存在。這兩類是不是都可以轉(zhuǎn)化成一元二次方程的形式。當(dāng)傾斜角不等于90°是斜率存在，直線方程可以寫成y＝kx＋b的形式?？梢赞D(zhuǎn)化成kx-y＋b=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=k B=-1 C=b。當(dāng)傾斜角等于90°斜率不存在，直線方程可以寫成x=x0的形式?？梢赞D(zhuǎn)化成x-x0=0和Ax＋By＋C＝0比較發(fā)現(xiàn)什么？A=1 B=0 C=-x0 好，我們就把它分為這兩種情況，當(dāng)斜率存在的時候我們一般把它設(shè)成一個簡單的斜截式，斜截式經(jīng)過變形就可以化成一般的形式。而對于斜率不存在的時候，它的方程形式就是x=x0直線方程也可以轉(zhuǎn)化成這樣的一個形式。那么由此可以下這樣一個結(jié)論：平面上的任意的一條直線，表示它的方程最后都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程的形式。剛才我們從這個角度考慮，就是直線都可以轉(zhuǎn)化成二元一次方程，現(xiàn)在我們反過來看，是不是任意的一個二元一次方程最終在直角坐標(biāo)系下都能夠表示直線。

（2）在平面直角坐標(biāo)系中，任何關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線.因為x，y的二元一次方程的一般形式是Ax＋By＋C＝0，其中A、B不同時為0，在B≠0和B＝0的兩種情況下，二元一次方程可分別化成直線的斜截式方程y＝－示與y軸平行或重合的直線方程x＝－

ACx?和表BBC.A也就是說Ax＋By＋C＝0（A，B不同時為零）大家想想如果AB都等于零這個直線方程就沒了?，F(xiàn)在我們考慮一下，這個方程能不能經(jīng)過一些適當(dāng)?shù)淖冃?，變成我們熟悉的形式，而確定它就是一個在平面直角坐標(biāo)系中就是一條直線呢？By＝-Ax-C 斜截式方程，斜率是 是y軸上的截距。二元一次方程通過變形在直角坐標(biāo)系下都表示一條直線。那么我們從兩個方面在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都有一個表示這條直線的關(guān)于x，y的二元一次方程.在平面直角坐標(biāo)系中，二元一次方程都表示一條直線.根據(jù)上述結(jié)論，我們可以得到直線方程的一般式.我們就把代數(shù)中的二元一次方程定義為直線的一般式方程。

定義：我們把關(guān)于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0（其中A,B不同時為0）叫做直線的一般式方程。我們在學(xué)習(xí)前面直線的幾種特殊形式的方程，一眼就可以看出這條直線的某些特點，比如說點斜式就可以看出它的斜率還有過一個定點，還有兩點式可以看出它過兩個定點。那么我們怎么通過直線的一般式方程觀察直線的一些特點呢？比如說A=0表示什么樣一條直線？y=-平行于x軸的直線，也有可能與x軸重合。如果要平行于y軸這個系數(shù)要滿足什么樣的條件？如果旦旦是c等于零，通過原點的直線。假如AB都不等于零它的斜率我們怎么看出來？這些直線的特點我們要能掌握住。我們對直線的一般式方程有了一定的了解。直線的一般式方程和和那幾種特殊的形式之間有一個互相的轉(zhuǎn)化，那么我們來看一個例子，通過一些轉(zhuǎn)化來解決實際問題。

［例1］已知直線經(jīng)過點A(6，－４），斜率為－

4，求直線的點斜式和一般式方程.3分析：本題中的直線方程的點斜式可直接代入點斜式得到，主要讓學(xué)生體會由點斜式向一般式的轉(zhuǎn)化，把握直線方程一般式的特點.解：經(jīng)過點A(6，－４)，并且斜率等于－

4的直線方程的點斜式是： 3y＋４＝－4（x－6）3化成一般式得：４x＋3y－12＝0 同學(xué)們在以后解題時，可能求直線方程的時候，求出不一定是一般式，可能是點斜式、兩點式等等，如題目沒有特殊要求我們都要把各種形式化成一般式。對于直線方程的一般式，一般作如下約定：x的系數(shù)為正，x，y的系數(shù)及常數(shù)項一般不出現(xiàn)分?jǐn)?shù)，一般按含x項，含y項、常數(shù)項順序排列.