第一篇：如何克服學(xué)生推理與證明過程中遇到的困難

如何克服學(xué)生推理與證明過程中遇到的困難推理與證明需要一定的邏輯思維能力，而學(xué)生的邏輯思維能力存在著一定的差異，有的好一些，他們接受這方面的知識會非常輕松，而有的學(xué)生卻是總不得法，學(xué)習起來非常困難，所以，很多學(xué)生在學(xué)習幾何推理證明時，都會感到很困惑：一是不知如何下手來進行推理與證明；二是對于所給出的條件不知有何作用。那么怎樣才能克服在培養(yǎng)學(xué)生推理與證明能力過程中遇到的困難，下面我就結(jié)合自己的教學(xué)實踐，談?wù)勎业目捶ǎ?/p>

1、分析到位，在教學(xué)中教師要準確地把握每一個概念中的要點，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會咬文嚼字、逐字推敲去把握關(guān)鍵字眼幫助理解，并學(xué)會用幾何語言進行簡單推理，另外每一個概念都會涉及到一個圖形，以及我們在實踐中都會遇到一些重要圖形，我們暫且稱它們?yōu)榛緢D形，可以說每個復(fù)雜的圖形都是由這些基本圖形構(gòu)建而成的，而這些正是分析解決復(fù)雜圖形的突破口之所在，在分析時才有可能把這些復(fù)雜圖形分解成若干個基本圖形，用基本圖形的基本結(jié)論幫助我們沖破難點進而解決問題。

2、多做練習，做題時，先讓學(xué)生讀題，然后讓學(xué)生回答題目中有哪些已知條件，并在圖形中標出這個已知條件，然后讓學(xué)生回答由此可以得出什么結(jié)論，與所問問題有什么聯(lián)系。在層層分析后，結(jié)論很快就可浮出水面，這樣經(jīng)過多次練習之后，學(xué)生基本能掌握幾何推理了，而證明其實就是一個由已知條件推出所求問題的一個因果關(guān)系的過程。寫證明過程時，已知的部分都是因為，由已知得到的就是結(jié)論。這樣寫出來就行了。熟練掌握就可以了。

通過多年的教學(xué)實踐，我深深體會到：(1)必須不斷提高教師自身業(yè)務(wù)水平，改進教學(xué)方法，充分利用現(xiàn)代化教學(xué)手段，揭示圖形運動變化規(guī)律，真正使學(xué)生對幾何學(xué)習產(chǎn)生興趣，樂意學(xué)習，有信心學(xué)好。(2)教學(xué)中必須注意讓學(xué)生掌握分析問題的方法，為繼續(xù)學(xué)習打下堅實的基礎(chǔ)。以培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的思維為途徑，提高學(xué)生的素質(zhì)，教會學(xué)生學(xué)習，教會學(xué)生思考，教會學(xué)生實踐，使他們終身受益。

第二篇：怎樣克服在培養(yǎng)學(xué)生推理與證明能力過程中遇到的困難的

培養(yǎng)學(xué)生推理與證明能力過程中遇到的困

難

培養(yǎng)學(xué)生推理與證明能力是一個長期的過程，不是一蹴而就的。是一個循序漸進的過程，學(xué)會推理方法是平幾入門的關(guān)鍵，在教學(xué)中必須明確指出，說理題或簡單的推理題，不能僅僅依靠直觀測量來判斷，更不能無根據(jù)想當然推理。推理應(yīng)當每一步都有理由，即均有合理的依據(jù)，前后都有因果關(guān)系，推理的語言一定要嚴密規(guī)范。

在學(xué)習推理的入門時我抓住這樣幾個關(guān)鍵環(huán)節(jié)：下面就我的理解作一下介紹：

1、培養(yǎng)幾何的推理與證明能力首先要引導(dǎo)學(xué)生過好“翻譯關(guān)”（三種語言：文字語言、圖形語言、幾何語言互譯），中學(xué)教材涉及到的定義、定理、公理是非常之多的，而這些也正是學(xué)好推理證明的基礎(chǔ)，因此在教學(xué)中教師要準確地把握每一個概念中的要點，引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會咬文嚼字、逐字推敲去把握關(guān)鍵字眼幫助理解，教會學(xué)生自學(xué)的本領(lǐng)。學(xué)會用幾何語言進行簡單推理填空學(xué)習了概念，突破了語言障礙關(guān)后，緊接著我采用填空形式用幾何語言進行簡單說理，強調(diào)文、圖、式三者的互譯和統(tǒng)一。這是從概念走向推理的基本方法。

2、要善于培養(yǎng)學(xué)生循基本圖形解決問題的能力。每一個概念都會涉及到一個圖形，以及我們在實踐中都會遇到一些重要圖形，我們暫且稱它們?yōu)榛緢D形，可以說每個復(fù)雜的圖形都是由這些基本圖形構(gòu)建而成的，而這些正是分析解決復(fù)雜圖形的突破口之所在，在分析時才有可能把這些復(fù)

雜圖形分解成若干個基本圖形，用基本圖形的基本結(jié)論幫助我們沖突難點進而解決問題。

3、充分利用現(xiàn)代科技手段，但也不能忽略一些傳統(tǒng)的手段的價值?，F(xiàn)代科技手段的引入大大地提高的課堂的效率，也使相對枯燥無味的幾何更具有了生動性，也大大刺激學(xué)生的感官。但在有的教學(xué)環(huán)境下，幾何的教學(xué)中，一些傳統(tǒng)的教學(xué)手段可能也更能突顯出它的意義所在，例如：在概念教學(xué)中、復(fù)雜圖形的幾何證明題中，我們就可以用彩筆去勾勒出其關(guān)鍵字眼、基本圖形突顯出它的意義所在等等。

4、幾何的推理證明不僅僅要求學(xué)生學(xué)會分析，更要求在推理過程中要做到步步有據(jù)、合情合理，它的嚴謹性更是彰顯出數(shù)學(xué)這一學(xué)科的特點。在幾何推理證明中，分析的方法有很多：分析法、倒推法、兩頭湊法等等，這就要求我們教師在選題上應(yīng)該注意到選擇更有代表性的題目來彰顯這些方法的特色，以便能讓學(xué)生靈活選用方法，同時要讓學(xué)生養(yǎng)成一種回頭看的習慣：執(zhí)因索果、執(zhí)果索因，做到步步有據(jù)。與此同時，要注意培養(yǎng)學(xué)生的歸納能力，借助口訣、歌訣來幫助學(xué)生理清思路、突破難點。

5、二次推理法的培養(yǎng)

使學(xué)生明確連續(xù)推理的結(jié)構(gòu)形式是把第一次推理的結(jié)論作為第二次推理的條件。

二次推理的結(jié)構(gòu)是：第一次推理的結(jié)論與第二次推理的條件共同構(gòu)成第二次推理的條件，因此第一次推理與第二次推理有密切聯(lián)系。

推理教學(xué)必須遵循循序漸進的原則，從容易著手，從簡單開始，讓學(xué)生熟

悉簡單過程和一般步驟。在每一層次教學(xué)中，注意對每個學(xué)生跟蹤檢測，發(fā)現(xiàn)問題，及時補救，做到初始階段，人人過關(guān)。如在作業(yè)中：常常發(fā)現(xiàn)有學(xué)生用“邊邊角”來判定兩個三角形全等。教師光說沒有“邊邊角”判定是不行的。要舉一個反例讓學(xué)生真正搞清“邊邊角”不一定全等。

6、分析與論證

把三角形全等教學(xué)作為突破口，掃除幾何推理入門障礙。在推理上要求學(xué)生能用三角形全等的知識獨立論證，即一次全等，或二次全等。以及能通過分析，或添輔助線進行推理論證。幾何證題中的分析是打開證題的鑰匙，在這一階段必須教會學(xué)生分析，把培養(yǎng)分析能力，掌握分析方法，用綜合法寫出證明過程作為這一階段的重點。這一階段推理論證分三個層次。

(1)學(xué)會用一次全等證明，幫助學(xué)生分析解題的思路，由結(jié)論推到已知條件，而證題與分析相逆，從已知條件推到結(jié)論。這是幾何入門的基礎(chǔ)，在教學(xué)中必須引起足夠的重視，每題都要引導(dǎo)學(xué)生寫出正確分析，再寫出正確的證題步驟這樣才能真正入門。

(2)學(xué)會運用二次全等證明

二次全等證明是幾何入門推理論證的深入和難點，突破這個難點，學(xué)生的推理論證能力就會有較大的提高。用二次全等困難之處在找出第二對全等三角形，并提供全等的條件。解決這個難點的關(guān)鍵是使學(xué)生懂得，當不能通過一次全等直接論證時還缺什么條件？缺的這個條件可以通過哪兩個三角形找到，即找到一個證題的中介環(huán)節(jié)，通過它聯(lián)結(jié)條件和結(jié)論。

7、學(xué)會添輔助線進行推理論證

添輔助線是幾何證明題中常用方法，可起到橋梁作用。恰當添輔助線是證

題的關(guān)鍵，要使學(xué)生學(xué)會添輔助線的常用方法，培養(yǎng)學(xué)生在幾何論證中的發(fā)散性思維（一題多解或一題多圖等）。如過一點引已知直線的平行線，等腰三角形中作高，在多邊形中連結(jié)不相鄰兩個頂點，梯形中延長兩腰，平移腰，平移對角線，作中位線等等。

8、重視對學(xué)習有困難學(xué)生的輔導(dǎo)

面向全體學(xué)生，重視加強對幾何學(xué)習有困難學(xué)生的輔導(dǎo)和幫助是幾何入門的重要措施。既要減負又要增效，在不增加學(xué)生負擔前提下進行必要的補缺補差，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習興趣。使全體學(xué)生的幾何學(xué)習都獲得成功。

通過幾何入門教學(xué)的實踐，學(xué)生學(xué)習幾何興趣不斷提高，變被動學(xué)習為主動學(xué)習，效果明顯。

十余年教學(xué)實踐，深深體會到：(1)必須不斷提高教師自身業(yè)務(wù)水平，改進教學(xué)方法，充分利用現(xiàn)代化教學(xué)手段，揭示圖形運動變化規(guī)律，真正使學(xué)生對幾何學(xué)習產(chǎn)生興趣，樂意學(xué)習，有信心學(xué)好。(2)教學(xué)中必須注意防止兩極分化，對重點概念、方法做到人人過關(guān)，學(xué)會分析問題的方法，為繼續(xù)學(xué)習打下堅實的基礎(chǔ)。總之通過數(shù)學(xué)教學(xué)，最終使學(xué)生的素質(zhì)全面提高，而要取得比較理想的效果，還必須依靠教師對教材的分析，深入思考，恰當施教，以培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的思維為途徑，提高學(xué)生的素質(zhì)，教會學(xué)生學(xué)習，教會學(xué)生思考，教會學(xué)生實踐，使他們終身受益?？傊?，如何克服在培養(yǎng)學(xué)生推理與證明能力過程中遇到的困難的，做為教師我覺的教會學(xué)生“點石成金”方法應(yīng)該更具有它的現(xiàn)實意義，教是為了更好的不教.

第三篇：推理與證明

第3講 推理與證明

【知識要點】

1.歸納推理：由某類事物的部分對象具有某些特征，推出該類事物的全部對象都具有這些特征的推理，或由個別事實概括出一般結(jié)論的推理

2．類比推理是從特殊到特殊的推理，是尋找事物之間的共同或相似性質(zhì)。類比的性質(zhì)相似性越多，相似的性質(zhì)與推測的性質(zhì)之間的關(guān)系就越相關(guān)，從而類比得出的結(jié)論就越可靠。3．類比推理的一般步驟：

①找出兩類事物之間的相似性或者一致性。

②用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得出一個明確的命題（猜想）【典型例題】

1、（2011?江西）觀察下列各式：7=49，7=343，7=2401，?，則7

34201

1的末兩位數(shù)字為（）

A、01 B、43 C、07 D、49

2、（2011?江西）觀察下列各式：5=3125，5=15625，5=78125，?，則5A、3125 B、5625 C、0625 D、8125

3、（2010?臨潁縣）平面內(nèi)平行于同一條直線的兩條直線平行，由此類比思維，我們可以得到（）A、空間中平行于同一平面的兩個平面平行 B、空間中平行于同一條直線的兩條直線平行 C、空間中平行于同一條平面的兩條直線平行 D、空間中平行于同一條直線的兩個平面平行

4、（2007?廣東）設(shè)S是至少含有兩個元素的集合，在S上定義了一個二元運算“*”（即對任意的a，b∈S，對于有序元素對（a，b），在S中有唯一確定的元素與之對應(yīng)）有a*（b*a）=b，則對任意的a，b∈S，下列等式中不恒成立的是（）

A、（a*b）*a=a B、[a*（b*a）]*（a*b）=a C、b*（b*b）=b D、（a*b）*[b*（a*b）]=b

5、（2007?廣東）如圖是某汽車維修公司的維修點環(huán)形分布圖．公司在年初分配給A，B，C，D四個維修點某種配件各50件．在使用前發(fā)現(xiàn)需將A，B，C，D四個維修點的這批配件分別調(diào)整為40，45，54，61件，但調(diào)整只能在相鄰維修點之間進行，那么要完成上述調(diào)整，最少的調(diào)動件次（n件配件從一個維修點調(diào)整到相鄰維修點的調(diào)動件次為n）為（）

A、15 B、16 C、17 D、18

6、（2006?陜西）為確保信息安全，信息需加密傳輸，發(fā)送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文（解密），已知加密規(guī)則為：明文a，b，c，d對應(yīng)密文a+2b，2b+c，2c+3d，4d，例如，明文1，2，3，4對應(yīng)密文5，7，18，16．當接收方收到密文14，9，23，28時，則解密得到的明文為（）A、4，6，1，7 B、7，6，1，4 C、6，4，1，7 D、1，6，4，7

7、（2006?山東）定義集合運算：A⊙B={z︳z=xy（x+y），x∈A，y∈B}，設(shè)集合A={0，1}，B={2，3}，則集合A⊙B的所有元素之和為（）

A、0 B、6 C、12 D、18

7201

1的末四位數(shù)字為（）

8、（2006?遼寧）設(shè)⊕是R上的一個運算，A是V的非空子集，若對任意a，b∈A，有a⊕b∈A，則稱A對運算⊕封閉．下列數(shù)集對加法、減法、乘法和除法（除數(shù)不等于零）四則運算都封閉的是（）A、自然數(shù)集 B、整數(shù)集 C、有理數(shù)集 D、無理數(shù)集

9、（2006?廣東）對于任意的兩個實數(shù)對（a，b）和（c，d），規(guī)定：（a，b）=（c，d），當且僅當a=c，b=d；運算“?”為：（a，b）?（c，d）=（ac-bd，bc+ad）；運算“⊕”為：（a，b）⊕（c，d）=（a+c，b+d），設(shè)p，q∈R，若（1，2）?（p，q）=（5，0），則（1，2）⊕（p，q）=（）A、（4，0）B、（2，0）C、（0，2）D、（0，-4）

10、（2005?湖南）設(shè)f0（x）=sinx，f1（x）=f0′（x），f2（x）=f1′（x），?，fn+1（x）=fn′（x），n∈N，則f2005（x）=（）

A、sinx B、-sinx C、cosx D、-cosx

11、（2004?安徽）已知數(shù)列{an}滿足a0=1，an=a0+a1+?+an-1，n≥

1、，則當n≥1時，an=（）A、2 B、n

C、2 D、2-

1n-1n

12、若數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an=（n≥3且n∈N*），則a17=（）

A、1 B、2 C、D、2-987

13、如圖所示的三角形數(shù)陣叫“萊布尼茲調(diào)和三角形”，有，則運用歸納推理得到第11 行第2個數(shù)（從左往右數(shù)）為（）A、B、C、D、14、根據(jù)給出的數(shù)塔猜測1 234 567×9+8=（）

1×9+2=11 12×9+3=111 123×9+4=1 111 1 234×9+5=11 111 12 345×9+6=111 111．

A、11111110 B、11111111 C、11111112 D、11111113

15、將n個連續(xù)自然數(shù)按規(guī)律排成右表，根據(jù)規(guī)律，從2008到2010，箭頭方向依次是（）

A、B、C、D、16、下列推理過程利用的推理方法分別是（）（1）通過大量試驗得出拋硬幣出現(xiàn)正面的概率為0.5；（2）函數(shù)f（x）=x2-|x|為偶函數(shù)；

（3）科學(xué)家通過研究老鷹的眼睛發(fā)明了電子鷹眼． A、演繹推理，歸納推理，類比推理 B、類比推理，演繹推理，類比推理 C、歸納推理，合情推理，類比推理 D、歸納推理，演繹推理，類比推理

17、下列表述正確的是（）①歸納推理是由部分到整體的推理； ②歸納推理是由一般到一般的推理； ③演繹推理是由一般到特殊的推理； ④類比推理是由特殊到一般的推理； ⑤類比推理是由特殊到特殊的推理． A、①②③ B、②③④ C、②④⑤ D、①③⑤

18、在古希臘，畢達哥拉斯學(xué)派把1，3，6，10，15，21，28，?這些數(shù)叫做三角形數(shù)，因為這些數(shù)對應(yīng)的點可以排成一個正三角形，則第n個三角形數(shù)為（）A、n B、1、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 照此規(guī)律，第五個等式應(yīng)為 5+6+7+8+9+10+11+12+13=81．

2、（2011?陜西）觀察下列等式 1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49 ?

照此規(guī)律，第n個等式為 n+（n+1）+（n+2）+?+（3n-2）=（2n-1）2 ．

C、n-1 D、2

第四篇：推理與證明

推理與證明

學(xué)生推理與證明的建立，是一個漫長的過程，這個過程的開始可以追溯到小孩牙牙學(xué)語時候起，小孩在爸爸媽媽跟前不停的問為什么，可以看做推理的雛形。接著到幼兒園、小學(xué)，教材里也有簡單的說理，小學(xué)教材里有簡單地說理題，意在培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維。

初中新教材對推理與證明的滲透，也是從說理開始的，但內(nèi)容比較少，也就是教材中的直觀幾何內(nèi)容。很快便轉(zhuǎn)向推理，也就是證明。剛開始推理的步驟，是簡單的兩三步，接著到四五步，后面還一定要求學(xué)生寫清楚為什么。在學(xué)習這一部分內(nèi)容的時候，好多學(xué)生在后面的括號里不寫為什么，我便給他們舉例小孩子學(xué)走路的過程，一個小孩剛開始學(xué)走路的時候，需要大人或其他可依附的東西，漸漸地，她會脫離工具自己走。學(xué)習證明的過程亦如此，起先在括號里寫清為什么，并且只是簡單的幾步，然后證明比較難一點的，步驟比較多的。

隨著社會的進步，中學(xué)教材加強了解析幾何、向量幾何，傳統(tǒng)的歐式幾何受到?jīng)_擊，并且教材對這一部分的編排分散在初中各個年級，直觀幾何分量多了還加入了變換如平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、對稱變換，投影等內(nèi)容。老師們對內(nèi)容的編排不太理解，看了專家的講座，漸漸明白了：這樣編排不是降低了推理能力，而是加強了推理能力的培養(yǎng)，體現(xiàn)了逐步發(fā)展的過程，把變換放到中學(xué)，加強了中學(xué)和大學(xué)教材的統(tǒng)一，但一個不爭的事實是，對演繹推理確實弱了。

關(guān)于開展課題學(xué)習的實踐與認識

新課程教材編排了課題學(xué)習這部分內(nèi)容，對授課的老師，還是學(xué)生的學(xué)習都是一個全新的內(nèi)容，怎樣上好這部分內(nèi)容，對老師、對學(xué)生而言，都是一個創(chuàng)新的機會。至于課題學(xué)習的評價方式，到現(xiàn)在為止，大多數(shù)省份還是一個空白，考不考?怎樣考?學(xué)習它吧，學(xué)習的東西不能在試卷上體現(xiàn)出來，于是，好多老師對這部分采取漠視的處理方法;不學(xué)習吧，課本上安排了這部分內(nèi)容。還有一部分老師覺得，課題學(xué)習是對某一個問題專門研究，很深!老師不知講到什么程度才合理，學(xué)生不知掌握到什么程度。

經(jīng)過幾年的實踐與這次培訓(xùn)的認識，我覺得課題學(xué)習是“實踐與綜合應(yīng)用”在新課課程中的主要呈現(xiàn)形式，是一種區(qū)別于傳統(tǒng)的、全新的，具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習，課本的編寫者安排的主要目的是：

1.希望為學(xué)生提供更多的實踐與探索的機會。

2.讓學(xué)生通過對有挑戰(zhàn)性和綜合性問題的解決，經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程。

3.讓學(xué)生獲得研究問題地方法和經(jīng)驗，使學(xué)生的思維能力、自主探索與合作交流的意識和能力得到發(fā)展。

4.讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，以及解決問題的成功喜悅，增進學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的信心。

5.使數(shù)學(xué)學(xué)習活動成為生動活潑的、主動的和富有個性的過程。

課題學(xué)習首先提出一個主問題(問題是一個載體)，然后給出資料，利用資料挖掘知識。在這個過程中，多關(guān)注知識的價值，淡化數(shù)學(xué)術(shù)語，讓學(xué)生充分經(jīng)歷數(shù)學(xué)化的過程，激發(fā)學(xué)生參與的熱情，使其體會到學(xué)習數(shù)學(xué)的樂趣，始終以學(xué)生為主體，明白課題學(xué)習是為學(xué)習服務(wù)的。

第五篇：推理與證明

推理與證明

1． 蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師，單個蜂巢可以近似地看作是一個正六邊形，如圖為一組蜂巢的截面圖.其中第一個圖有1個蜂巢，第二個

圖有7個蜂巢，第三個圖有19個蜂巢，按此規(guī)律，以f(n)

表示第n幅圖的蜂巢總數(shù).則f(4)=___37

__;f(n)=_3n2?3n?

1__________.2．下面是按照一定規(guī)律畫出的一列“樹型”圖：

設(shè)第n個圖有an個樹枝，則an?1與an(n≥2)之間的關(guān)系是．

答案：an?1?2an?

2若平面內(nèi)有n條直線,其中任何兩條不平行,且任何三條不共點(即不相交于一點),則這n條直線將平面分成了幾部分。

3．類比平面向量基本定理:“如果e1,e2是平面?內(nèi)兩個不共線的向量，那么對于平面內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)?1,?2，使得a??1e1??2e2”，寫出空間向量基本定理是．

如果e1,e2,e3是空間三個不共面的向量，那么對于空間內(nèi)任一向量a，有且只有一對實數(shù)

????????

?1,?2,?3，使得a??1e1??2e2??3e

34．寫出用三段論證明f(x)?x3?sinx(x?R)為奇函數(shù)的步驟是： 大前提． 小前提結(jié)論

滿足f(?x)??f(x)的函數(shù)是奇函數(shù)，大前提

f(?x)?(?x)?sin(?x)??x?sinx??(x?sinx)??f(x)，小前提

所以f(x)?x3?sinx是奇函數(shù)．結(jié)論5． 已知f(n)?1? 答案：

12?

1k

?

???

1n

(n?N)，用數(shù)學(xué)歸納法證明f(2)?

?

n

n2

時，f(2k?1)?f(2k)

等于．

?

12?2

k

???

k?1

6lg1

.5?3a?

b?clg12?1?a?2b

7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1+2+3+?

+n2=

n

?

n2，則當n=k+1時左端應(yīng)在n=k的基礎(chǔ)上加

上.(k+1)+(k+2)+(k+3)+?+(k+1)

8?

?m，n成立的條件不

等式．

當m?n?20

9．在數(shù)列?an?中，a1?2，an?1?

答案：an?10．

26n?

5an3an?1

(n?N)，可以猜測數(shù)列通項an的表達式為?

．

若三角形內(nèi)切圓的半徑為r，三邊長為a，b，c，則三角形的面積等于S?

r(a?b?c)，根據(jù)類比推理的方法，若一個四面體的內(nèi)切球的半徑為R，四個面的面積分別是

V?． S1，S2，S，S，則四面體的體積3

4答案：R(S1?S2?S3?S4)

11．已知f(x)?ax?

x?2x?1

(a?1)，證明方程f(x)?0沒有負數(shù)根.假設(shè)x0是f(x)?0的負數(shù)根，則x0?0且x0??1且ax??

?0?a

x0

x0?2x0?1，?1?0??

x0?2x0?1

解得?1，12

這與x0?0矛盾，故方程f(x)?0?x0?2，沒有負數(shù)根.12．已知命題：“若數(shù)列?an?是等比數(shù)列，且an?

0，則數(shù)列bn?

n?N)

?

也是等

比數(shù)列”．類比這一性質(zhì)，你能得到關(guān)于等差數(shù)列的一個什么性質(zhì)？并證明你的結(jié)論．

解：類比等比數(shù)列的性質(zhì)，可以得到等差數(shù)列的一個性質(zhì)是：若數(shù)列?an?是等差數(shù)列，則數(shù)列bn?

a1?a2???an

n

也是等差數(shù)列．

n(n?1)d

2n

?a1?

d2(n?1)

證明如下：

設(shè)等差數(shù)列?an?的公差為d，則bn?所以數(shù)列?bn?是以a1為首項，13．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1(n2?12)?2(n2?22)???n(n2?n2)?都成立．

（1）當n?1時，由以上可知等式成立；

（2）假設(shè)當n?k時，等式成立，即1(k2?12)?2(k2?22)???k(k2?k2)?則當n?k?1時，1[(k?1)?1]?2[(k?1)?2]???k[(k?1)?k]?(k?1)[(k?1)?(k?1)] ?1(k?1)?2(k?2)???k(k?k)?(2k?1)?2(2k?1)???k(2k?1)?14k?

a1?a2???an

n

na1??，d2

為公差的等差數(shù)列．

n?

n

對一切正整數(shù)n

k?

k，22222222

222222

k?(2k?1)·

k(k?1)

?

(k?1)?

(k?1)

．

由（1）（2）知，等式結(jié)一切正整數(shù) 都成立．

14．用數(shù)學(xué)歸納法證明42n?1+3n+2能被13整除，其中n∈N*.2×1+11+2

(1)當n=1時，4+3=91能被13整除.(2)假設(shè)當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，則當n=k+1時，42(k+1)+1+3k+3=42k+1·42+3k+2·3－42k+1·3+42k+1·3=42k+1·13+3·(42k+1+3k+2).∵42k+1·13能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除, ∴當n=k+1時也成立.由（1）（2）知，當n∈N*時，42n+1+3n+2能被13整除.15．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對一切大于1的自然數(shù)，不等式（1+

2n?12

13）（1+）?（1+

112n?1）＞

均成立.43

（1）當n=2時，左邊=1+=；右邊=

.∵左邊＞右邊，∴不等式成立.（2）假設(shè)n=k(k≥2,且k∈N*)時不等式成立，即（1+）（1+）?（1+

12k?1）＞

2k?12

12k?1

.12(k?1)?1

]

則當n=k+1時，（1+）（1+）?（1+＞

2k?12）＞[1?

4k

2k?1

·

2k?22k?1

=

2k?222k?1

=

4k

?8k?4

＞

?8k?3

=

2k?3

=

2(k?1)?1

.22k?122k?122k?1

∴當n=k+1時，不等式也成立.由（1）（2）知，對于一切大于1的自然數(shù)n,不等式都成立.16。試證明：不論正數(shù)a、b、c是等差數(shù)列還是等比數(shù)列，當n＞1,n∈N*且a、b、c互不相

等時，均有：an+cn＞2bn.設(shè)a、b、c為等比數(shù)列，a=∴a+c=

n

n

bq,c=bq(q＞0且q≠1),bq

nn

+bnqn=bn（1q

n

+qn)＞2bn.a

n

(2)設(shè)a、b、c為等差數(shù)列，則2b=a+c猜想下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當n=2時，由2(a+c)＞(a+c)，∴②設(shè)n=k時成立，即則當n=k+1時，＞

?c

2n

＞（a?c2)n(n≥2且n∈N*)

a

?c2

?（a?c2)

a

k

?c2

k?

1k

?(?1

4a?c2),k

a

k?1

?c2

(ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)

a?c2

(ak+1+ck+1+ak·c+ck·a)=

(ak+ck)(a+c)＞()k·（a?c2)=（a?c2)k+1

17．平面內(nèi)有n個圓，其中每兩個圓都相交于兩點，且每三個圓都不相交于同一點，求證這n個圓把平面分成n?n?2個部分。

證明：（1）當n?1時，一個圓把平面分成兩個區(qū)域，而12?1?2?2，命題成立．

（2）假設(shè)n=k（k≥1）時，命題成立，即k個圓把平面分成k?k?2個區(qū)域．

當n=k+1時，第k+1個圓與原有的k個圓有2k個交點，這些交點把第k+1個圓分成了2k段弧，而其中的每一段弧都把它所在的區(qū)域分成了兩部分，因此增加了2k個區(qū)域，共有k2?k?2?2k?(k?1)2?(k?1)?2個區(qū)域． ∴n=k+1時，命題也成立．

由（1）、（2）知，對任意的n∈N*，命題都成立．

18．如圖（1），在三角形ABC中，AB?AC，若AD?BC，則AB2?BD·BC；若類比該命題，如圖（2），三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影為M，則有什么結(jié)論？命題是否是真命題．

解：命題是：三棱錐A?BCD中，AD?面ABC，若A點在三角形BCD所在平面內(nèi)的射影

為M，則有S△?S△BCM·S△BCD是一個真命題． ABC證明如下：

在圖（2）中，連結(jié)DM，并延長交BC于E，連結(jié)AE，則有DE?BC． 因為AD?面ABC，所以AD?AE． 又AM?DE，所以AE2?EM·ED． 于是S

△ABC

?1??1??1???BC·AE???BC·EM?·?BC·ED??S△BCM·S△BCD． ?2??2??2?

19． 已知數(shù)列{an}中，Sn是它的前n項和，并且Sn+1=4an+2（n=1，2，?），a1=1.（1）設(shè)bn=an+1-2an(n=1,2,?)，求證：數(shù)列{bn}是等比數(shù)列；（2）設(shè)cn=

an2

n

(n=1,2,?),求證：數(shù)列{cn}是等差數(shù)列.（1）∵ Sn+1=4an+2，∴Sn+2=4an+1+2.兩式相減，得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an(n=1,2,?), 即an+2=4an+1-4an,變形得an+2-2an+1=2(an+1-2an).∵ bn=an+1-2an(n=1,2,?), ∴ bn+1=2bn.由此可知，數(shù)列{bn}是公比為2的等比數(shù)列.（2）由S2=a1+a2=4a1+2，a1=1.得a2=5,b1=a2-2a1=3.故bn=3·2n-1.∵ cn=

an2

n

(n=1,2,?),∴ cn+1-cn=

an?12

n?1

an2

n

=

an?1?2an

n?1

=

bn2

n?1

.34

將bn=3·2n-1代入得cn+1-cn=(n=1,2,?),由此可知，數(shù)列{cn}是公差為的等差數(shù)列，它的首項c1=

a12

=，故cn=n-(n=1,2,?).131