第一篇：廣西南寧歷年中考數(shù)學(xué)幾何綜合證明題(第25題)

歷年中考數(shù)學(xué)幾何綜合證明題（第25題）2006年

BCD中，P是CD邊上的一點(diǎn)，AP與BP分別平分?DAB和?CBA． 25．如圖10，在A

（1）判斷△APB是什么三角形，證明你的結(jié)論；（2）比較DP與PC的大小；

cm，（3）畫出以AB為直徑的O，交AD于點(diǎn)E，連結(jié)BE與AP交于點(diǎn)F，若AD?

5AP?8cm，求證△AEF∽△APB，并求tan?AFE的值．

2007年

圖10

25．如圖12，在平面直角坐標(biāo)系中，A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(?2，0)B(8，0)，以AB為直徑的半圓P與y軸交于點(diǎn)M，以AB為一邊作正方形ABCD．（1）求C，M兩點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）連接CM，試判斷直線CM是否與

P相切？說明你的理由；

（3）在x軸上是否存在一點(diǎn)Q，使得△QMC的周長(zhǎng)最?。咳舸嬖?，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2008年 25．如圖11，P與O相交于A，B兩點(diǎn)，P經(jīng)過圓心O，點(diǎn)C是P的優(yōu)弧AB上

任意一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，B重合），連結(jié)AB，AC，BC，OC．（1）指出圖中與?ACO相等的一個(gè)角；

（2）當(dāng)點(diǎn)C在P上什么位置時(shí)，直線AC與O相切？請(qǐng)說明理由；（3）當(dāng)?ACB?60時(shí)，兩圓半徑有怎樣的大小關(guān)系？說明你的理由．（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．

圖1

12009年

25．如圖13-1，在邊長(zhǎng)為5的正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是BC、DC邊上的點(diǎn)，且AE?EF，BE?2.（1）求EC∶CF的值；

（2）延長(zhǎng)EF交正方形外角平分線CP于點(diǎn)P（如圖13-2），試判斷AE與EP的大小關(guān)系，并說明理由；

（3）在圖13-2的AB邊上是否存在一點(diǎn)M，使得四邊形DMEP是平行四邊形？若存在，請(qǐng)給予證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

P

FB E C B E C圖13-1 圖13-

22010年

25．如圖11-①，AB為⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點(diǎn)A，DE與⊙O相切于點(diǎn)E，點(diǎn)C為DE延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE?CB.（1）求證：BC為⊙O的切線；

（2）連接AE，AE的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)（如圖11-②所示）.若AB?AD?2，求線段BC和EG的長(zhǎng).A D AB 圖11-①

C B C 圖11-② G

25．如圖，已知CD是⊙O的直徑，AC⊥CD，垂足為C，弦DE∥OA，直線AE、CD相交

于點(diǎn)B．

(1)求證：直線AB是⊙O的切線．

(2)當(dāng)AC＝1，BE＝2，求tan∠OAC的值．

B

2012年

25．如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2，AB=4．將紙片折疊，使頂點(diǎn)A與邊CD上的點(diǎn)E重合，折痕FG分別與AB，CD交于點(diǎn)G，F(xiàn)，AE與FG交于點(diǎn)O．

（1）如圖1，求證：A，G，E，F(xiàn)四點(diǎn)圍成的四邊形是菱形；

（2）如圖2，當(dāng)△AED的外接圓與BC相切于點(diǎn)N時(shí)，求證：點(diǎn)N是線段BC的中點(diǎn)；

（3）如圖2，在（2）的條件下，求折痕FG的長(zhǎng)．

25、如圖13，在ABC中，∠BAC=90，AB=AC，AB是O的直徑，O交BC于點(diǎn)D，DEAC于點(diǎn)E，BE交O于點(diǎn)F，連接AF的延長(zhǎng)線交DE于點(diǎn)P。

（1）求證：DE是O的切線。

（2）求tan∠ABE的值；

（3）若OA=2，求線段AP的長(zhǎng)。

第二篇：廣西南寧歷年中考數(shù)學(xué)簡(jiǎn)單幾何證明題

2006年

23．將圖8（1）中的矩形ABCD沿對(duì)角線AC剪開，再把△ABC沿著AD方向平移，得到圖8（2）中的△A?BC?，除△ADC與△C?BA?全等外，你還可以指出哪幾對(duì)全等的三．．．角形（不能添加輔助線和字母）？請(qǐng)選擇其中一對(duì)加以證明．

B C

圖8（2）

?

2007年

21．如圖10，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，若把△ADE繞著點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△CFE．

（1）請(qǐng)指出圖中哪些線段與線段CF相等；

（2）試判斷四邊形DBCF是怎樣的四邊形？證明你的結(jié)論．

BF圖10

2008年

21．如圖8，在△ABC中，D是BC的中點(diǎn)，DE?AB，DF?AC，垂足分別是E，F(xiàn)，BE?CF．

（1）圖中有幾對(duì)全等的三角形？請(qǐng)一一列出；（2）選擇一對(duì)你認(rèn)為全等的三角形進(jìn)行證明．

（注意：在試題卷上作答無效）．．．．．．．．．

E D 圖8 C

2009年

23．如圖11，PA、PB是半徑為1的⊙O的兩條切線，點(diǎn)A、B分別為切點(diǎn)，?APB?60°，OP與弦AB交于點(diǎn)C，與⊙O交于點(diǎn)

D．

（1）在不添加任何輔助線的情況下，寫出圖中所有的全等三角形；（2）求陰影部分的面積（結(jié)果保留π）．

圖1

12010年

21.某廠房屋頂呈人字架形（等腰三角形），如圖8所示，已知AC?BC?8m，?A?30°，CD?AB，于點(diǎn)D．

（1）求?ACB的大小.（2）求AB的長(zhǎng)度.C A D 圖8 B

23．如圖10，已知Rt△ABC≌Rt△ADE，?ABC??ADE?90°，BC與DE相交于

EB．點(diǎn)F，連接CD，（1）圖中還有幾對(duì)全等三角形，請(qǐng)你一一列舉.（2）求證：CF?EF.A DF B C 圖10

2011年

23．如圖，點(diǎn)B、F、C、E在同一直線上，并且BF＝CE，∠B＝∠C．(1)請(qǐng)你只添加一個(gè)條件(不再加輔助線)，使得△ABC≌△DEF．

你添加的條件是：． F(2)添加了條件后，證明△ABC≌△DEF．

2012年

22．如圖所示，∠BAC=∠ABD=90°，AC=BD，點(diǎn)O是AD，BC的交點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)．

（1）圖中有哪幾對(duì)全等三角形？請(qǐng)寫出來；

（2）試判斷OE和AB的位置關(guān)系，并給予證明．

2013年

23、如圖11，在菱形ABCD中，AC是對(duì)角線，點(diǎn)E、F

分別是邊BC、AD的中點(diǎn)。C E

（1）求證：ABE≌CDF。

（2）若∠B=60°，AB=4，求線段AE的長(zhǎng)。

圖11

第三篇：中考數(shù)學(xué)幾何證明題

中考數(shù)學(xué)幾何證明題

在?ABCD中，∠BAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC于點(diǎn)F.(1)在圖1中證明CE=CF;

(2)若∠ABC=90°，G是EF的中點(diǎn)(如圖2)，直接寫出∠BDG的度數(shù);

第一個(gè)問我會(huì)，求第二個(gè)問。需要過程，快呀！

連接GC、BG

∵四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=90°

∴四邊形ABCD為矩形

∵AF平分∠BAD

∴∠DAF=∠BAF=45°

∵∠DCB=90°，DF∥AB

∴∠DFA=45°，∠ECF=90°

∴△ECF為等腰Rt△

∵G為EF中點(diǎn)

∴EG=CG=FG

∵△ABE為等腰Rt△，AB=DC

∴BE=DC

∵∠CEF=∠GCF=45°→∠BEG=∠DCG=135°

∴△BEG≌△DCG

∴BG=DG

∵CG⊥EF→∠DGC+∠DGB=90°

又∵∠DGC=∠BGE

∴∠BGE+∠DGB=90°

∴△DGB為等腰Rt△

∴∠BDG=45°

分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。

對(duì)于證明題，有三種思考方式：

(1)正向思維。對(duì)于一般簡(jiǎn)單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這里就不詳細(xì)講述了。

(2)逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運(yùn)用逆向思維解題，能使學(xué)生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學(xué)生的解題思路。這種方法是推薦學(xué)生一定要掌握的。在初中數(shù)學(xué)中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現(xiàn)的更加明顯，數(shù)學(xué)這門學(xué)科知識(shí)點(diǎn)很少，關(guān)鍵是怎樣運(yùn)用，對(duì)于初中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經(jīng)上初三了，幾何學(xué)的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現(xiàn)在開始，總結(jié)做題方法。同學(xué)們認(rèn)真讀完一道題的題干后，不知道從何入手，建議你從結(jié)論出發(fā)。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那么結(jié)合圖形可以看出，只要證出某兩個(gè)三角形相等即可;要證三角形全等，結(jié)合所給的條件，看還缺少什么條件需要證明，證明這個(gè)條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然后把過程正著寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學(xué)們一定要試一試。

(3)正逆結(jié)合。對(duì)于從結(jié)論很難分析出思路的題目，同學(xué)們可以結(jié)合結(jié)論和已知條件認(rèn)真的分析，初中數(shù)學(xué)中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們?nèi)切文尺呏悬c(diǎn)，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點(diǎn)倍長(zhǎng)法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對(duì)角線，或補(bǔ)形等等。正逆結(jié)合，戰(zhàn)無不勝。

第四篇：中考數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何證明題

2011年中考數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何證明題

（一）1.（1）如圖1所示，在四邊形ABCD中，AC=BD，AC與BD相交于點(diǎn)O，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)EF，分別交AC、BD于點(diǎn)M、N，試判斷△OMN的形狀，并加以證明；

（2）如圖2，在四邊形ABCD中，若AB?CD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)FE并延長(zhǎng)，分別與BA、CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M、N，請(qǐng)?jiān)趫D2中畫圖并觀察，圖中是否有相等的角，若有，請(qǐng)直接寫出結(jié)論：；

（3）如圖3，在△ABC中，AC?AB，點(diǎn)D在AC上，AB?CD，E、F分別是AD、BC的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)FE并延長(zhǎng)，與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，若?FEC?45?，判斷點(diǎn)M與以AD為直徑的圓的位置關(guān)系，并簡(jiǎn)要說明理由．B

A

ME

DB

(4)觀察圖

1、圖

2、圖3的特性，請(qǐng)你根據(jù)這一特性構(gòu)造一個(gè)圖形，使它仍然具有EF、EG、ＣH這樣的線

段，并滿足（1）或（2）的結(jié)論，寫出相關(guān)題設(shè)的條件和結(jié)論.3.如圖，△ABC是等邊三角形，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，D在線段BC上，連接DF，以DF為邊在DF的右側(cè)作等邊△DFE，ED的延長(zhǎng)線交AB于H，連接EC，則以下結(jié)論：①∠AHE+∠AFD=180°；②AF=在線段BC上（不與B，C重合）運(yùn)動(dòng)，其他條件不變時(shí)

BC；③當(dāng)D

2BH

是定值；④當(dāng)D在線段BC上（不與B，C重合）BD

BC?EC

運(yùn)動(dòng)，其他條件不變時(shí)是定值；

DC

（1）其中正確的是-------------------；（2）對(duì)于（1）中的結(jié)論加以說明；

F

C

F

圖 1圖2圖

32．（1）如圖1，已知矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC上的一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥AC于點(diǎn)G，CH⊥BD

于點(diǎn)H，試證明CH=EF+EG;

圖

1D

DC

(2)若點(diǎn)E在ＢＣ的延長(zhǎng)線上，如圖2，過點(diǎn)E作EF⊥BD于點(diǎn)F，EG⊥AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，CH⊥BD于點(diǎn)H，則EF、EG、ＣH三者之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；

(3)如圖3，BD是正方形ABCD的對(duì)角線,L在BD上，且BL=BC, 連結(jié)CL，點(diǎn)E是CL上任一點(diǎn), EF⊥BD于

點(diǎn)F，EG⊥BC于點(diǎn)G，猜想EF、EG、BD之間具有怎樣的數(shù)量關(guān)系，直接寫出你的猜想；

F

H

BCD

E

4.在△ABC中，AC=BC，?ACB?90?，點(diǎn)D為AC的中點(diǎn)．

（1）如圖1，E為線段DC上任意一點(diǎn)，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連結(jié)CF，過點(diǎn)F作FH?FC，交直線AB于點(diǎn)H．判斷FH與FC的數(shù)量關(guān)系并加以證明．（2）如圖2，若E為線段DC的延長(zhǎng)線上任意一點(diǎn)，（1）中的其他條件不變，你在（1）中得出的結(jié)論是否發(fā)生改變，直接寫出你的結(jié)論，不必證明．

A

A

F

D F

D

E

C B

C

圖

1E

圖

2H

5.如圖12，在△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別在邊AC、AB上，并且∠ABE=∠ACF，BE、CF交于點(diǎn)O．過點(diǎn)O作OP⊥AC，OQ⊥AB，P、Q為垂足．求證：DP=DQ．

證明．

8.設(shè)點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上一點(diǎn)，線段DE和AF相交于點(diǎn)P，點(diǎn)Q在線段DE

上，且AQ∥PC．(1)證明：PC＝2AQ．

(2)當(dāng)點(diǎn)F為BC的中點(diǎn)時(shí)，試比較△PFC和梯形APCQ面積的大小關(guān)系，并對(duì)你的結(jié)論加以證明．

6.如圖。，BD是△ABC的內(nèi)角平分線，CE是△ABC的外角平分線，過點(diǎn)A作AF⊥BD，AG⊥CE，垂足分別為F、G。

探究：線段FG的長(zhǎng)與△ABC三邊的關(guān)系，并加以證明。

說明：⑴如果你經(jīng)歷反復(fù)探索，沒有找到解決問題的方法，請(qǐng)你把探索過程中的某種思路寫出來(要求至少寫3步)；⑵在你經(jīng)歷說明⑴的過程之后，可以從下列①、②中選取一個(gè)補(bǔ)充或更換已知條件，完成你的證明。注意：選?、偻瓿勺C明得10分；選?、谕瓿勺C明得7分。①可畫出將△ADF沿BD折疊后的圖形； ②將CE變?yōu)椤鰽BC的內(nèi)角平分線。(如圖2)

附加題：探究BD、CE滿足什么條件時(shí)，線段FG的長(zhǎng)與△ABC的周長(zhǎng)存在一定的數(shù)量關(guān)系，并給出證明。

9.兩塊等腰直角三角板△ABC和△DEC如圖擺放，其中∠ACB =∠DCE = 90°，F(xiàn)是DE的中點(diǎn)，H是AE的中點(diǎn)，G是BD的中點(diǎn)．

（1）如圖1，若點(diǎn)D、E分別在AC、BC的延長(zhǎng)線上，通過觀察和測(cè)量，猜想FH和FG的數(shù)量關(guān)系為_______和位置關(guān)系為______；

（2）如圖2，若將三角板△DEC繞著點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至ACE在一條直線上時(shí)，其余條件均不變，則（1）中的猜想是否還成立，若成立，請(qǐng)證明，不成立請(qǐng)說明理由；

（2）如圖3，將圖1中的△DEC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)一個(gè)銳角，得到圖3，（1）中的猜想還成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用證明.CH

G

A圖3 圖1 圖

27.在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠DAB．

(1)如圖①，當(dāng)∠DAB＝120°，∠B＝∠D＝90°時(shí)，求證：AB＋AD＝AC．

(2)如圖②，當(dāng)∠DAB＝120°，∠B與∠D互補(bǔ)時(shí)，線段AB、AD、AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想，并給予證明．

(3)如圖③，當(dāng)∠DAB＝90°，∠B與∠D互補(bǔ)時(shí)，線段AB、AD、AC有怎樣的數(shù)量關(guān)系?寫出你的猜想，并給予

10.已知△ABC中，AB＝AC＝3，∠BAC＝90°，點(diǎn)D為BC上一點(diǎn)，把一個(gè)足夠大的直角三角板的直角頂點(diǎn)放

在D處．

(1)如圖①，若BD＝CD，將三角板繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，兩條直角邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、點(diǎn)F，求出重疊部分AEDF的面積(直接寫出結(jié)果)．

(2)如圖②，若BD＝CD，將三角板繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交AB于點(diǎn)E、另一條直角邊交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，設(shè)AE＝x，重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．(3)若BD＝2CD，將三角板繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使一條直角邊交AC于點(diǎn)F、另一條直角邊交射線AB于點(diǎn)E．設(shè)CF＝x(x＞1)，重疊部分的面積為y，求出y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．

2、如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB，DF⊥AC，若AB＝kAC，試探究BE與CF的數(shù)量關(guān)系。

3、如圖，在△ABC和△PQD中，AC＝kBC，DP＝kDQ，∠C＝∠PDQ，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，點(diǎn)P在直線BC上，連接EQ交PC于點(diǎn)H。猜想線段EH與AC的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想，若證明有困難，則可選k＝1證明之。

4、在△ABC中，O是AC上一點(diǎn)，P、Q分別是AB、BC上一點(diǎn)，∠B＝45°，∠POQ＝135°，BC＝kAB，OC＝mAO。試說明OP與OQ是數(shù)量關(guān)系，選擇條件：（1）m＝1，（2）m＝k＝1。

2011年中考幾何經(jīng)典證明題

（二）1、如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC，E為CB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且∠EAB＝∠BAD，設(shè)DC＝kBD，試探究EC與EA的數(shù)量關(guān)系。

5、如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，∠CAD＝∠B，AC＝kAB，E在AD延長(zhǎng)線上,∠CED＝∠ADB，探究AE與AD的關(guān)系。

6、如圖，∠BAC＝90°，AD⊥BC，DE⊥AB, AB＝kAC，探究BE與AE是數(shù)量關(guān)系。

第五篇：中考數(shù)學(xué)幾何證明題「含答案」

重慶中考（往屆）數(shù)學(xué)24題專題練習(xí)

1、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，連接BE，CE

（1）求證：BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接DG，求證：BG=DG+CD．

在BG上取BH=AB=CD，連EH，顯然△ABE與△CDE全等，則∠ABE=∠DCE，∠AEB=∠DEC

又∠BEC=90°=∠BFC，對(duì)頂角∠BGE=∠CGF，故∠FBE=∠DCE，所以∠ABE=∠FBE

在BF上取BH=AB，連接EH，由BH=AB，∠ABE=∠FBE，BE=BE，故△ABE與△HBE全等

故∠AEB=∠HEB，AE=EH

而∠AEB+∠DEC+∠BEC=180°，∠AEB=∠DEC，∠BEC=90°

所以∠AEB=∠DEC=45°=∠HEB

故∠AEH=∠AEB+∠HEB=90°=∠HED

同理，∠DEG=45°=∠HEG

EH=AE=ED，EG=EG

故△HEG與△FEG全等，所以HG=DG

即BG=BH+HG=AB+DG=DG+CD2、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接ED，與BC交于點(diǎn)H．過E作CD的垂線，垂足為CD上的一點(diǎn)F，并與BC交于點(diǎn)G．已知G為CH的中點(diǎn)．

（1）若HE=HG，求證：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的長(zhǎng)．

3、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且EB⊥AB，EF⊥AF．

（1）當(dāng)CE=1時(shí)，求△BCE的面積；

（2）求證：BD=EF+CE．

4、如圖．在平行四邊形ABCD中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為線段BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．過點(diǎn)E

EF∥CA，交CD于點(diǎn)F，連接OF．

（1）求證：OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．

5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于E，延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于G，且DG=DE，AB=，CF=6．

（1）求線段CD的長(zhǎng)；

（2）H在邊BF上，且∠HDF=∠E，連接CH，求證：∠BCH=45°﹣∠EBC．

6、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．

（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面積；

（2）若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，且滿足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求證：HD=BE+BF．

7、已知：如圖，ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點(diǎn)E．

（1）求證：AE=ED；

（2）若AB=BC，求∠CAF的度數(shù)．

8、已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．

（1）求證：∠DAE=∠DCE；

（2）當(dāng)CG=CE時(shí)，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

9、如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．

（1）求證：DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．

10、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E為CD的中點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于F；

（1）證明：EF=EA；

（2）過D作DG⊥BC于G，連接EG，試證明：EG⊥AF．

11、如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF，點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．

（1）求證：EB=EF；

（2）延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)G恰好是BC的中點(diǎn)，若AB=6，求BC的長(zhǎng)．

12、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高．

（1）求證：AE=GF；

（2）設(shè)AE=1，求四邊形DEGF的面積．

13、已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE=AC，連AG．

（1）求證：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的長(zhǎng)．

14、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中點(diǎn)F，連接AF、BF．

（1）求證：AD=BE；

（2）試判斷△ABF的形狀，并說明理由．

15、如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求證：AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的長(zhǎng)．

16、如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC．

（1）求證：AE⊥BD；

（2）若AD=4，BC=14，求EF的長(zhǎng)．

17、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E為垂足，AC=BC．

（1）求證：CD=BE；

（2）若AD=3，DC=4，求AE．

18、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的長(zhǎng)．

19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且．

（1）求證：BF=EF﹣ED；

（2）連接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度數(shù)．

20、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求

AE的長(zhǎng)．

（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE﹣AD．

21、如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，DH⊥BC．

（1）求證：DH=（AD+BC）；

（2）若AC=6，求梯形ABCD的面積．

22、已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，在GD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使DE=DC，連接AE，BD．

（1）求證：△AGE≌△DAB；

（2）過點(diǎn)E作EF∥DB，交BC于點(diǎn)F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．

23、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點(diǎn)F，EF=EC，連接DF．

（1）試說明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=，試判斷△DCF的形狀；

（3）在條件（2）下，射線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△PCD是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

24、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，且DE=CF．AF交BE于P．

（1）證明：△ABE≌△DAF；

（2）求∠BPF的度數(shù)．

25、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使CF=CD．

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）如果BC=8，求△DBF的面積？

26、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分別為CG、AB的中點(diǎn)．

（1）求證：△AGD為正三角形；

（2）求EF的長(zhǎng)度．

27、已知，如圖，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，∠ECD=45°，連接ED，過D作DF⊥BC于F．

（1）若∠BEC=75°，F(xiàn)C=3，求梯形ABCD的周長(zhǎng)．

（2）求證：ED=BE+FC．

28、已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，直線CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：△BCE≌△AFE；

（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的長(zhǎng)．

29、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．

求證：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE；

（3）若△DEF的周長(zhǎng)為6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面積．

30、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．連接BD，過A點(diǎn)作BD的垂線，交BC于E．

（1）求證：四邊形ABED是菱形；

（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面積．

參考答案

1、如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，連接BE，CE

（1）求證：BE=CE；

（2）若∠BEC=90°，過點(diǎn)B作BF⊥CD，垂足為點(diǎn)F，交CE于點(diǎn)G，連接DG，求證：BG=DG+CD．

證明：（1）已知等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，E為AD中點(diǎn)，∴AB=DC，∠BAE=∠CDE，AE=DE，∴△BAE≌△CDE，∴BE=CE；

（2）延長(zhǎng)CD和BE的延長(zhǎng)線交于H，∵BF⊥CD，∠HEC=90°，∴∠EBF+∠H=∠ECH+∠H=90°

∴∠EBF=∠ECH，又∠BEC=∠CEH=90°，BE=CE（已證），∴△BEG≌△CEH，∴EG=EH，BG=CH=DH+CD，∵△BAE≌△CDE（已證），∴∠AEB=∠GED，∠HED=∠AEB，∴∠GED=∠HED，又EG=EH（已證），ED=ED，∴△GED≌△HED，∴DG=DH，∴BG=DG+CD．

2、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，E為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接ED，與BC交于點(diǎn)H．過E作CD的垂線，垂足為CD上的一點(diǎn)F，并與BC交于點(diǎn)G．已知G為CH的中點(diǎn)．

（1）若HE=HG，求證：△EBH≌△GFC；

（2）若CD=4，BH=1，求AD的長(zhǎng)．

（1）證明：∵HE=HG，∴∠HEG=∠HGE，∵∠HGE=∠FGC，∠BEH=∠HEG，∴∠BEH=∠FGC，∵G是HC的中點(diǎn)，∴HG=GC，∴HE=GC，∵∠HBE=∠CFG=90°．

∴△EBH≌△GFC；

（2）解：∵ED平分∠AEF，∠A=∠DFE=90°，∴AD=DF，∵DF=DC﹣FC，∵△EBH≌△GFC，∴FC=BH=1，∴AD=4﹣1=3．

3、如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，AD=DC=BC，∠DAB=60°，E是對(duì)角線AC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且EB⊥AB，EF⊥AF．

（1）當(dāng)CE=1時(shí)，求△BCE的面積；

（2）求證：BD=EF+CE．

（2）過E點(diǎn)作EM⊥DB于點(diǎn)M，四邊形FDME是矩形，F(xiàn)E=DM，∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，△BME≌△ECB，BM=CE，繼而可證明BD=DM+BM=EF+CE．

（1）解：∵AD=CD，∴∠DAC=∠DCA，∵DC∥AB，∴∠DCA=∠CAB，∴，∵DC∥AB，AD=BC，∴∠DAB=∠CBA=60°，∴∠ACB=180°﹣（∠CAB+∠CBA）=90°，∴∠BCE=180°﹣∠ACB=90°，∵BE⊥AB，∴∠ABE=90°，∴∠CBE=∠ABE﹣∠ABC=30°，在Rt△BCE中，BE=2CE=2，∴…（5分）

（2）證明：過E點(diǎn)作EM⊥DB于點(diǎn)M，∴四邊形FDME是矩形，∴FE=DM，∵∠BME=∠BCE=90°，∠BEC=∠MBE=60°，∴△BME≌△ECB，∴BM=CE，∴BD=DM+BM=EF+CE…（10分）

4、如圖．在平行四邊形ABCD中，O為對(duì)角線的交點(diǎn)，點(diǎn)E為線段BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且．過點(diǎn)E作EF∥CA，交CD于點(diǎn)F，連接OF．

（1）求證：OF∥BC；

（2）如果梯形OBEF是等腰梯形，判斷四邊形ABCD的形狀，并給出證明．

解答：（1）證明：延長(zhǎng)EF交AD于G（如圖），在平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∵EF∥CA，EG∥CA，∴四邊形ACEG是平行四邊形，∴AG=CE，又∵，AD=BC，∴，∵AD∥BC，∴∠ADC=∠ECF，在△CEF和△DGF中，∵∠CFE=∠DFG，∠ADC=∠ECF，CE=DG，∴△CEF≌△DGF（AAS），∴CF=DF，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OB=OD，∴OF∥BE．

（2）解：如果梯形OBEF是等腰梯形，那么四邊形ABCD是矩形．

證明：∵OF∥CE，EF∥CO，∴四邊形OCEF是平行四邊形，∴EF=OC，又∵梯形OBEF是等腰梯形，∴BO=EF，∴OB=OC，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AC=2OC，BD=2BO．

∴AC=BD，∴平行四邊形ABCD是矩形．

5、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BF⊥CD于F，延長(zhǎng)BF交AD的延長(zhǎng)線于E，延長(zhǎng)CD交BA的延長(zhǎng)線于G，且DG=DE，AB=，CF=6．

（1）求線段CD的長(zhǎng)；

（2）H在邊BF上，且∠HDF=∠E，連接CH，求證：∠BCH=45°﹣∠EBC．

（1）解：連接BD，由∠ABC=90°，AD∥BC得∠GAD=90°，又∵BF⊥CD，∴∠DFE=90°

又∵DG=DE，∠GDA=∠EDF，∴△GAD≌△EFD，∴DA=DF，又∵BD=BD，∴Rt△BAD≌Rt△BFD（HL），∴BF=BA=，∠ADB=∠BDF

又∵CF=6，∴BC=，又∵AD∥BC，∴∠ADB=∠CBD，∴∠BDF=∠CBD，∴CD=CB=8．

（2）證明：∵AD∥BC，∴∠E=∠CBF，∵∠HDF=∠E，∴∠HDF=∠CBF，由（1）得，∠ADB=∠CBD，∴∠HDB=∠HBD，∴HD=HB，由（1）得CD=CB，∴△CDH≌△CBH，∴∠DCH=∠BCH，∴∠BCH=∠BCD==．

6、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠D=45°．

（1）若AB=6cm，求梯形ABCD的面積；

（2）若E、F、G、H分別是梯形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上一點(diǎn)，且滿足EF=GH，∠EFH=∠FHG，求證：HD=BE+BF．

解：（1）連AC，過C作CM⊥AD于M，如圖，在Rt△ABC中，AB=6，sin∠ACB==，∴AC=10，∴BC=8，在Rt△CDM中，∠D=45°，∴DM=CM=AB=6，∴AD=6+8=14，∴梯形ABCD的面積=?（8+14）?6=66（cm2）；

（2）證明：過G作GN⊥AD，如圖，∵∠D=45°，∴△DNG為等腰直角三角形，∴DN=GN，又∵AD∥BC，∴∠BFH=∠FHN，而∠EFH=∠FHG，∴∠BFE=∠GHN，∵EF=GH，∴Rt△BEF≌Rt△NGH，∴BE=GN，BF=HN，∴DA=AN+DN=AN+DG=BF+BE．

7、已知：如圖，?ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，延長(zhǎng)CD至F，使DF=CD，連接BF交AD于點(diǎn)E．

（1）求證：AE=ED；

（2）若AB=BC，求∠CAF的度數(shù)．

（1）證明：如圖．

∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD，AB=CD．

∵DF=CD，∴AB∥DF．

∵DF=CD，∴AB=DF．

∴四邊形ABDF是平行四邊形，∴AE=DE．

（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，且AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形．

∴AC⊥BD．

∴∠COD=90°．

∵四邊形ABDF是平行四邊形，∴AF∥BD．

∴∠CAF=∠COD=90°．

8、已知：如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)G是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AG，分別交BD、CD于點(diǎn)E、F．

（1）求證：∠DAE=∠DCE；

（2）當(dāng)CG=CE時(shí)，試判斷CF與EG之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？并證明你的結(jié)論．

（1）證明：在△DAE和△DCE中，∠ADE=∠CDE（正方形的對(duì)角線平分對(duì)角），ED=DE（公共邊），AE=CE（正方形的四條邊長(zhǎng)相等），∴△DAE≌△DCE

（SAS），∴∠DAE=∠DCE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等）；

（2）解：如圖，由（1）知，△DAE≌△DCE，∴AE=EC，∴∠EAC=∠ECA（等邊對(duì)等角）；

又∵CG=CE（已知），∴∠G=∠CEG（等邊對(duì)等角）；

而∠CEG=2∠EAC（外角定理），∠ECB=2∠CEG（外角定理），∴4∠EAC﹣∠ECA=∠ACB=45°，∴∠G=∠CEG=30°；

過點(diǎn)C作CH⊥AG于點(diǎn)H，∴∠FCH=30°，∴在直角△ECH中，EH=CH，EG=2CH，在直角△FCH中，CH=CF，∴EG=2×CF=3CF．

9、如圖，已知正方形ABCD，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，點(diǎn)F是CD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接EF，若BE=DF，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)．

（1）求證：DP平分∠ADC；

（2）若∠AEB=75°，AB=2，求△DFP的面積．

（1）證明：連接PC．

∵ABCD是正方形，∴∠ABE=∠ADF=90°，AB=AD．

∵BE=DF，∴△ABE≌△ADF．（SAS）

∴∠BAE=∠DAF，AE=AF．

∴∠EAF=∠BAD=90°．

∵P是EF的中點(diǎn)，∴PA=EF，PC=EF，∴PA=PC．

又

AD=CD，PD公共，∴△PAD≌△PCD，（SSS）

∴∠ADP=∠CDP，即DP平分∠ADC；

（2）作PH⊥CF于H點(diǎn)．

∵P是EF的中點(diǎn)，∴PH=EC．

設(shè)EC=x．

由（1）知△EAF是等腰直角三角形，∴∠AEF=45°，∴∠FEC=180°﹣45°﹣75°=60°，∴EF=2x，F(xiàn)C=x，BE=2﹣x．

在Rt△ABE中，22+（2﹣x）2=（x）2解得

x1=﹣2﹣2（舍去），x2=﹣2+2．

∴PH=﹣1+，F(xiàn)D=（﹣2+2）﹣2=﹣2+4．

∴S△DPF=（﹣2+4）×=3﹣5．

10、如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，BD=BC，E為CD的中點(diǎn)，交BC的延長(zhǎng)線于F；

（1）證明：EF=EA；

（2）過D作DG⊥BC于G，連接EG，試證明：EG⊥AF．

（1）證明：

∵AD∥BC，∴∠DAE=∠F，∠ADE=∠FCE．

∵E為CD的中點(diǎn)，∴ED=EC．

∴△ADE≌△FCE．

∴EF=EA．（5分）

（2）解：連接GA，∵AD∥BC，∠ABC=90°，∴∠DAB=90°．

∵DG⊥BC，∴四邊形ABGD是矩形．

∴BG=AD，GA=BD．

∵BD=BC，∴GA=BC．

由（1）得△ADE≌△FCE，∴AD=FC．

∴GF=GC+FC=GC+AD=GC+BG=BC=GA．

∵由（1）得EF=EA，∴EG⊥AF．（5分）

11、如圖，直角梯形ABCD中，∠DAB=90°，AB∥CD，AB=AD，∠ABC=60度．以AD為邊在直角梯形ABCD外作等邊三角形ADF，點(diǎn)E是直角梯形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且∠EAD=∠EDA=15°，連接EB、EF．

（1）求證：EB=EF；

（2）延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)G，點(diǎn)G恰好是BC的中點(diǎn)，若AB=6，求BC的長(zhǎng)．

（1）證明：∵△ADF為等邊三角形，∴AF=AD，∠FAD=60°（1分）

∵∠DAB=90°，∠EAD=15°，AD=AB（2分）

∴∠FAE=∠BAE=75°，AB=AF，（3分）

∵AE為公共邊

∴△FAE≌△BAE（4分）

∴EF=EB（5分）

（2）解：如圖，連接EC．（6分）

∵在等邊三角形△ADF中，∴FD=FA，∵∠EAD=∠EDA=15°，∴ED=EA，∴EF是AD的垂直平分線，則∠EFA=∠EFD=30°．（7分）

由（1）△FAE≌△BAE知∠EBA=∠EFA=30°．

∵∠FAE=∠BAE=75°，∴∠BEA=∠BAE=∠FEA=75°，∴BE=BA=6．

∵∠FEA+∠BEA+∠GEB=180°，∴∠GEB=30°，∵∠ABC=60°，∴∠GBE=30°

∴GE=GB．（8分）

∵點(diǎn)G是BC的中點(diǎn)，∴EG=CG

∵∠CGE=∠GEB+∠GBE=60°，∴△CEG為等邊三角形，∴∠CEG=60°，∴∠CEB=∠CEG+∠GEB=90°（9分）

∴在Rt△CEB中，BC=2CE，BC2=CE2+BE2

∴CE=，∴BC=（10分）；

解法二：過C作CQ⊥AB于Q，∵CQ=AB=AD=6，∵∠ABC=60°，∴BC=6÷=4．

12、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=AD，∠C=60°，AE⊥BD于點(diǎn)E，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高．

（1）求證：AE=GF；

（2）設(shè)AE=1，求四邊形DEGF的面積．

（1）證明：∵AB=DC，∴梯形ABCD為等腰梯形．

∵∠C=60°，∴∠BAD=∠ADC=120°，又∵AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=30°．

∴∠DBC=∠ADB=30°．

∴∠BDC=90°．（1分）

由已知AE⊥BD，∴AE∥DC．（2分）

又∵AE為等腰三角形ABD的高，∴E是BD的中點(diǎn)，∵F是DC的中點(diǎn)，∴EF∥BC．

∴EF∥AD．

∴四邊形AEFD是平行四邊形．（3分）

∴AE=DF（4分）

∵F是DC的中點(diǎn)，DG是梯形ABCD的高，∴GF=DF，（5分）

∴AE=GF．（6分）

（2）解：在Rt△AED中，∠ADB=30°，∵AE=1，∴AD=2．

在Rt△DGC中∠C=60°，并且DC=AD=2，∴DG=．（8分）

由（1）知：在平行四邊形AEFD中EF=AD=2，又∵DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴四邊形DEGF的面積=EF?DG=．（10分）

13、已知，如圖在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)G，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且AE=AC，連AG．

（1）求證：FC=BE；

（2）若AD=DC=2，求AG的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC于點(diǎn)F，∴∠ABC=∠AFE．

∵AC=AE，∠EAF=∠CAB，∴△ABC≌△AFE，∴AB=AF．

∴AE﹣AB=AC﹣AF，即FC=BE；

（2）解：∵AD=DC=2，DF⊥AC，∴AF=AC=AE．

∴AG=CG，∴∠E=30°．

∵∠EAD=90°，∴∠ADE=60°，∴∠FAD=∠E=30°，∴FC=，∵AD∥BC，∴∠ACG=∠FAD=30°，∴CG=2，∴AG=2．

14、如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，點(diǎn)E是AB邊上一點(diǎn)，AE=BC，DE⊥EC，取DC的中點(diǎn)F，連接AF、BF．

（1）求證：AD=BE；

（2）試判斷△ABF的形狀，并說明理由．

（1）證明：∵AD∥BC，∴∠BAD+∠ABC=180°，∵∠ABC=90°，∴∠BAD=∠ABC=90°，∵DE⊥EC，∴∠AED+∠BEC=90°

∵∠AED+∠ADE=90°，∴∠BEC=∠ADE，∵∠DAE=∠EBC，AE=BC，∴△EAD≌△EBC，∴AD=BE．

（2）答：△ABF是等腰直角三角形．

理由是：延長(zhǎng)AF交BC的延長(zhǎng)線于M，∵AD∥BM，∴∠DAF=∠M，∵∠AFD=∠CFM，DF=FC，∴△ADF≌△MFC，∴AD=CM，∵AD=BE，∴BE=CM，∵AE=BC，∴AB=BM，∴△ABM是等腰直角三角形，∵△ADF≌△MFC，∴AF=FM，∴∠ABC=90°，∴BF⊥AM，BF=AM=AF，∴△AFB是等腰直角三角形．

15、（2011?潼南縣）如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AD⊥DC，AB=BC，且AE⊥BC．

（1）求證：AD=AE；

（2）若AD=8，DC=4，求AB的長(zhǎng)．

解答：（1）證明：連接AC，∵AB∥CD，∴∠ACD=∠BAC，∵AB=BC，∴∠ACB=∠BAC，∴∠ACD=∠ACB，∵AD⊥DC，AE⊥BC，∴∠D=∠AEC=90°，∵AC=AC，∴，∴△ADC≌△AEC，（AAS）

∴AD=AE；

（2）解：由（1）知：AD=AE，DC=EC，設(shè)AB=x，則BE=x﹣4，AE=8，在Rt△ABE中∠AEB=90°，由勾股定理得：82+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，∴AB=10．

說明：依據(jù)此評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，其它方法如：過點(diǎn)C作CF⊥AB用來證明和計(jì)算均可得分．

16、如圖，已知梯形ABCD中，AD∥CB，E，F(xiàn)分別是BD，AC的中點(diǎn)，BD平分∠ABC．

（1）求證：AE⊥BD；

（2）若AD=4，BC=14，求EF的長(zhǎng)．

（1）證明：∵AD∥CB，∴∠ADB=∠CBD，又BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD，∴∠ADB=∠ABD，∴AB=AD，∴△ABD是等腰三角形，已知E是BD的中點(diǎn)，∴AE⊥BD．

（2）解：延長(zhǎng)AE交BC于G，∵BD平分∠ABC，∴∠ABE=∠GBE，又∵AE⊥BD（已證），∴∠AEB=∠GEB，BE=BE，∴△ABE≌△GBE，∴AE=GE，BG=AB=AD，又F是AC的中點(diǎn)（已知），所以由三角形中位線定理得：

EF=CG=（BC﹣BG）=（BC﹣AD）

=×（14﹣4）=5．

答：EF的長(zhǎng)為5．

17、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠D=90°，BE⊥AC，E為垂足，AC=BC．

（1）求證：CD=BE；

（2）若AD=3，DC=4，求AE．

（1）證明：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCE，而BE⊥AC，∴∠D=∠BEC=90°，AC=BC，∴△BCE≌△CAD．

∴CD=BE．

（2）解：在Rt△ADC中，根據(jù)勾股定理得AC==5，∵△BCE≌△CAD，∴CE=AD=3．

∴AE=AC﹣CE=2．

18、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AC，∠B=45°，AD=1，BC=4，求DC的長(zhǎng)．

解：如圖，過點(diǎn)D作DF∥AB，分別交AC，BC于點(diǎn)E，F(xiàn)．（1分）

∵AB⊥AC，∴∠AED=∠BAC=90度．

∵AD∥BC，∴∠DAE=180°﹣∠B﹣∠BAC=45度．

在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=45°，BC=4，∴AC=BC?sin45°=4×=2（2分）

在Rt△ADE中，∠AED=90°，∠DAE=45°，AD=1，∴DE=AE=．∴CE=AC﹣AE=．（4分）

在Rt△DEC中，∠CED=90°，∴DC==．（5分）

19、已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=DC，點(diǎn)E、F分別在AD、AB上，且．

（1）求證：BF=EF﹣ED；

（2）連接AC，若∠B=80°，∠DEC=70°，求∠ACF的度數(shù)．

證明：∵FC=F′C，EC=EC，∠ECF＇=∠BCF+∠DCE=∠ECF，∴△FCE≌△F′CE，∴EF′=EF=DF′+ED，∴BF=EF﹣ED；

（2）解：∵AB=BC，∠B=80°，∴∠ACB=50°，由（1）得∠FEC=∠DEC=70°，∴∠ECB=70°，而∠B=∠BCD=80°，∴∠DCE=10°，∴∠BCF=30°，∴∠ACF=∠BCA﹣∠BCF=20°．

20、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，點(diǎn)E在BC上，AE=BE，且AF⊥AB，連接EF．

（1）若EF⊥AF，AF=4，AB=6，求

AE的長(zhǎng)．

（2）若點(diǎn)F是CD的中點(diǎn)，求證：CE=BE﹣AD．

解：（1）作EM⊥AB，交AB于點(diǎn)M．∵AE=BE，EM⊥AB，∴AM=BM=×6=3；

∵∠AME=∠MAF=∠AFE=90°，∴四邊形AMEF是矩形，∴EF=AM=3；

在Rt△AFE中，AE==5；

（2）延長(zhǎng)AF、BC交于點(diǎn)N．

∵AD∥EN，∴∠DAF=∠N；

∵∠AFD=∠NFC，DF=FC，∴△ADF≌△NCF（AAS），∴AD=CN；

∵∠B+∠N=90°，∠BAE+∠EAN=90°，又AE=BE，∠B=∠BAE，∴∠N=∠EAN，AE=EN，∴BE=EN=EC+CN=EC+AD，∴CE=BE﹣AD．

．21、如圖，四邊形ABCD為等腰梯形，AD∥BC，AB=CD，對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，且AC⊥BD，DH⊥BC．

（1）求證：DH=（AD+BC）；

（2）若AC=6，求梯形ABCD的面積．

解：（1）證明：過D作DE∥AC交BC延長(zhǎng)線于E，（1分）

∵AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形．（2分）

∴CE=AD，DE=AC．

∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴BD=AC=DE．

∵AC⊥BD，∴DE⊥BD．

∴△DBE為等腰直角三角形．（4分）

∵DH⊥BC，∴DH=BE=（CE+BC）=（AD+BC）．（5分）

（2）∵AD=CE，∴．（7分）

∵△DBE為等腰直角三角形BD=DE=6，∴．

∴梯形ABCD的面積為18．（8分）

注：此題解題方法并不唯一．

22、已知，如圖，△ABC是等邊三角形，過AC邊上的點(diǎn)D作DG∥BC，交AB于點(diǎn)G，在GD的延長(zhǎng)線上取點(diǎn)E，使DE=DC，連接AE，BD．

（1）求證：△AGE≌△DAB；

（2）過點(diǎn)E作EF∥DB，交BC于點(diǎn)F，連AF，求∠AFE的度數(shù)．

（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，DG∥BC，∴∠AGD=∠ABC=60°，∠ADG=∠ACB=60°，且∠BAC=60°，∴△AGD是等邊三角形，AG=GD=AD，∠AGD=60°．

∵DE=DC，∴GE=GD+DE=AD+DC=AC=AB，∵∠AGD=∠BAD，AG=AD，∴△AGE≌△DAB；

（2）解：由（1）知AE=BD，∠ABD=∠AEG．

∵EF∥DB，DG∥BC，∴四邊形BFED是平行四邊形．

∴EF=BD，∴EF=AE．

∵∠DBC=∠DEF，∴∠ABD+∠DBC=∠AEG+∠DEF，即∠AEF=∠ABC=60°．

∴△AFE是等邊三角形，∠AFE=60°．

23、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，DE=EC，EF∥AB交BC于點(diǎn)F，EF=EC，連接DF．

（1）試說明梯形ABCD是等腰梯形；

（2）若AD=1，BC=3，DC=，試判斷△DCF的形狀；

（3）在條件（2）下，射線BC上是否存在一點(diǎn)P，使△PCD是等腰三角形，若存在，請(qǐng)直接寫出PB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．

解：（1）證明：∵EF=EC，∴∠EFC=∠ECF，∵EF∥AB，∴∠B=∠EFC，∴∠B=∠ECF，∴梯形ABCD是等腰梯形；

（2）△DCF是等腰直角三角形，證明：∵DE=EC，EF=EC，∴EF=CD，∴△CDF是直角三角形（如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形），∵梯形ABCD是等腰梯形，∴CF=（BC﹣AD）=1，∵DC=，∴由勾股定理得：DF=1，∴△DCF是等腰直角三角形；

（3）共四種情況：

∵DF⊥BC，∴當(dāng)PF=CF時(shí)，△PCD是等腰三角形，即PF=1，∴PB=1；

當(dāng)P與F重合時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=2；

當(dāng)PC=CD=（P在點(diǎn)C的左側(cè)）時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=3﹣；

當(dāng)PC=CD=（P在點(diǎn)C的右側(cè)）時(shí)，△PCD是等腰三角形，∴PB=3+．

故共四種情況：PB=1，PB=2，PB=3﹣，PB=3+．（每個(gè)1分）

24、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，AD=DC，E、F分別在AD、DC的延長(zhǎng)線上，且DE=CF．AF交BE于P．

（1）證明：△ABE≌△DAF；

（2）求∠BPF的度數(shù)．

解答：（1）證明：∵在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=∠BCD=60°，∴AB=CD，∵AD=DC，∴BA=AD，∠BAE=∠ADF=120°，∵DE=CF，∴AE=DF，在△BAE和△ADF中，∴△ABE≌△DAF（SAS）．

（2）解：∵由（1）△BAE≌△ADF，∴∠ABE=∠DAF．

∴∠BPF=∠ABE+∠BAP=∠BAE．

而AD∥BC，∠C=∠ABC=60°，∴∠BPF=120°．

25、如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，BD⊥DC，將BC延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使CF=CD．

（1）求∠ABC的度數(shù)；

（2）如果BC=8，求△DBF的面積？

解答：解：（1）∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∵AB=AD，∴∠ADB=∠ABD，∴∠DBC=∠ABD，∵在梯形ABCD中AB=DC，∴∠ABC=∠DCB=2∠DBC，∵BD⊥DC，∴∠DBC+2∠DBC=90°

∴∠DBC=30°

∴∠ABC=60°

（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∵∠DBC=30°，BC=8，∴DC=4，∵CF=CD∴CF=4，∴BF=12，∵∠F+∠FDC=∠DCB=60°，∠F=∠FDC

∴∠F=30°，∵∠DBC=30°，∴∠F=∠DBC，∴DB=DF，∴，在直角三角形DBH中，∴，∴，∴，即△DBF的面積為．

26、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC=10cm，AC交BD于G，且∠AGD=60°，E、F分別為CG、AB的中點(diǎn)．

（1）求證：△AGD為正三角形；

（2）求EF的長(zhǎng)度．

（1）證明：連接BE，∵梯形ABCD中，AB=DC，∴AC=BD，可證△ABC≌△DCB，∴∠GCB=∠GBC，又∵∠BGC=∠AGD=60°

∴△AGD為等邊三角形，（2）解：∵BE為△BCG的中線，∴BE⊥AC，在Rt△ABE中，EF為斜邊AB上的中線，∴EF=AB=5cm．

27、已知，如圖，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=BC，點(diǎn)E是AB上的點(diǎn)，∠ECD=45°，連接ED，過D作DF⊥BC于F．

（1）若∠BEC=75°，F(xiàn)C=3，求梯形ABCD的周長(zhǎng)．

（2）求證：ED=BE+FC．

解：（1）∵∠BEC=75°，∠ABC=90°，∴∠ECB=15°，∵∠ECD=45°，∴∠DCF=60°，在Rt△DFC中：∠DCF=60°，F(xiàn)C=3，∴DF=3，DC=6，由題得，四邊形ABFD是矩形，∴AB=DF=3，∵AB=BC，∴BC=3，∴BF=BC﹣FC=3﹣3，∴AD=DF=3﹣3，∴C梯形ABCD=3×2+6+3﹣3=9+3，答：梯形ABCD的周長(zhǎng)是9+3．

其實(shí)也還有一種方法的啦。

（2）過點(diǎn)C作CM垂直AD的延長(zhǎng)線于M，再延長(zhǎng)DM到N，使MN=BE，∴CN=CE，可證∠NCD=∠DCE，∵CD=CD，∴△DEC≌△DNC，∴ED=EN，∴ED=BE+FC．

28、已知：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，直線CE交DA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

（1）求證：△BCE≌△AFE；

（2）若AB⊥BC且BC=4，AB=6，求EF的長(zhǎng)．

（1）證明：∵AD∥BC，E是AB的中點(diǎn)，∴AE=BE，∠B=∠EAF，∠BCE=∠F．

∴△BCE≌△AFE（AAS）．

（2）解：∵AD∥BC，∴∠DAB=∠ABC=90°．

∵AE=BE，∠AEF=∠BEC，∴△BCE≌△AFE．

∴AF=BC=4．

∵EF2=AF2+AE2=9+16=25，∴EF=5．

29、已知：如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長(zhǎng)線交DC于點(diǎn)E．

求證：

（1）△BFC≌△DFC；

（2）AD=DE；

（3）若△DEF的周長(zhǎng)為6，AD=2，BC=5，求梯形ABCD的面積．

（1）∵DC=BC，∠1=∠2，CF=CF，∴△DCF≌△BCF．

（2）延長(zhǎng)DF交BC于G，∵AD∥BG，AB∥DG，∴四邊形ABGD為平行四邊形．

∴AD=BG．

∵△DFC≌△BFC，∴∠EDF=∠GBF，DF=BF．

又∵∠3=∠4，∴△DFE≌△BFG．

∴DE=BG，EF=GF．

∴AD=DE．

（3）∵EF=GF，DF=BF，∴EF+BF=GF+DF，即：BE=DG．

∵DG=AB，∴BE=AB．

∵C△DFE=DF+FE+DE=6，∴BF+FE+DE=6，即：EB+DE=6．

∴AB+AD=6．

又∵AD=2，∴AB=4．

∴DG=AB=4．

∵BG=AD=2，∴GC=BC﹣BG=5﹣2=3．

又∵DC=BC=5，在△DGC中∵42+32=52

∴DG2+GC2=DC2

∴∠DGC=90°．

∴S梯形ABCD=（AD+BC）?DG

=（2+5）×4

=14．

30、如圖，梯形ABCD中，AD∥BC．∠C=90°，且AB=AD．連接BD，過A點(diǎn)作BD的垂線，交BC于E．

（1）求證：四邊形ABED是菱形；

（2）如果EC=3cm，CD=4cm，求梯形ABCD的面積．

解答：解：（1）證明：∵AD∥BC，DE2=CD2+CE2=42+32=25，∴∠OAD=∠OEB，∴DE=5

又∵AB=AD，AO⊥BD，∴AD=BE=5，∴OB=OD，∴S梯形ABCD=．

又∵∠AOD=∠EOB，∴△ADO≌△EBO（AAS），∴AD=EB，又∵AD∥BE，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AB=AD

∴四邊形ABCD是菱形．

（2）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=DE=BE，